Туындыны қалай табуға болады?

Дифференциация ережелері.

Кез келген функцияның туындысын табу үшін тек үш ұғымды меңгеру керек:

2. Дифференциациялау ережелері.

3. Күрделі функцияның туындысы.

Дәл сол тәртіппен. Бұл кеңес.)

Әрине, жалпы туынды құралдар туралы түсінік болса жақсы болар еді). Туынды дегеніміз не, туынды таблицамен қалай жұмыс істеу керектігі алдыңғы сабақта нақты түсіндірілді. Мұнда дифференциация ережелерімен айналысамыз.

Дифференциалдау – туындыны табу операциясы. Бұл терминнің астарында бұдан артық жасырылған ештеңе жоқ. Сол. өрнектер «функцияның туындысын тап»Және «функцияны дифференциалдау»- бұл бірдей нәрсе.

Өрнек «дифференциация ережелері»туындыны табуды білдіреді арифметикалық амалдардан.Бұл түсінік сіздің басыңыздағы шатасуды болдырмауға көп көмектеседі.

Барлық, барлық, барлық арифметикалық амалдарды жинақтап, есімізге түсірейік. Олардың төртеуі бар). Қосу (қосынды), алу (айырма), көбейту (көбейтінді) және бөлу (бөлінді). Міне, олар дифференциация ережелері:

Пластина көрсетеді бестуралы ережелер төртарифметикалық амалдар. Мен қысқаша өзгерген жоқпын.) Бұл жай ғана 4-ереже 3-ереженің қарапайым салдары. Бірақ оның танымал болғаны сонша, оны тәуелсіз формула ретінде жазу (және есте сақтау!) мағынасы бар.

Белгілер бойынша УЖәне Вкейбір (мүлдем кез келген!) функциялар білдіреді U(x)Және V(x).

Бірнеше мысалды қарастырайық. Біріншісі - ең қарапайымдары.

y=sinx - x 2 функциясының туындысын табыңыз

Міне бізде айырмашылықекі элементар функция. Біз 2-ережені қолданамыз. Біз sinx функциясы деп есептейміз У, және x 2 - функция В.Біздің жазуға толық құқығымыз бар:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Бұл жақсырақ, иә?) Тек синус пен х квадратының туындыларын табу ғана қалды. Осы мақсатта туынды құралдар кестесі бар. Біз тек кестеден қажетті функцияларды іздейміз ( синксЖәне x 2), олардың қандай туындылары бар екенін қараңыз және жауабын жазыңыз:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Міне бітті. Қосындыны саралаудың 1-ережесі дәл осылай жұмыс істейді.

Егер бізде бірнеше термин болса ше? Үлкен мәселе емес.) Біз функцияны терминдерге бөліп, басқаларына тәуелсіз әрбір мүшенің туындысын іздейміз. Мысалы:

y=sinx - x 2 +cosx - x +3 функциясының туындысын табыңыз

Біз батыл жазамыз:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3))"

Сабақтың соңында саралау кезінде өмірді жеңілдету үшін кеңестер беремін.)

Практикалық кеңес:

1. Дифференциациядан бұрын бастапқы функцияны жеңілдету мүмкіндігін қараңыз.

2. Күрделі мысалдарда біз барлық жақшалар мен сызықшалар арқылы шешімді егжей-тегжейлі сипаттаймыз.

3. Бөлгіште тұрақты саны бар бөлшектерді дифференциалдау кезінде бөлуді көбейтуге айналдырып, 4-ережені қолданамыз.

Берілген функцияның туындысын табу мәселесі орта мектептің математика курстарында және жоғары оқу орындарында негізгі мәселелердің бірі болып табылады. Функцияны толық зерттеп, оның туындысын алмай оның графигін салу мүмкін емес. Функцияның туындысын оңай табуға болады, егер дифференциалдаудың негізгі ережелерін, сондай-ақ негізгі функциялардың туындылары кестесін білсеңіз. Функцияның туындысын қалай табуға болатынын анықтайық.

Аргумент өсімі нөлге ұмтылған кезде функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының шегі функцияның туындысы болып табылады.

Бұл анықтаманы түсіну өте қиын, өйткені шек ұғымы мектепте толық зерттелмеген. Бірақ әртүрлі функциялардың туындыларын табу үшін анықтаманы түсіну қажет емес, оны математиктерге қалдырып, туындыны табуға көшейік;

Туындыны табу процесі дифференциалдау деп аталады. Функцияны дифференциалдау кезінде біз жаңа функция аламыз.

Оларды белгілеу үшін латын әріптері f, g, т.б.

Туындылар үшін көптеген әртүрлі белгілер бар. Біз инсультті қолданамыз. Мысалы, g» деп жазу g функциясының туындысын табамыз дегенді білдіреді.

Туындылар кестесі

Туындыны қалай табуға болады деген сұраққа жауап беру үшін негізгі функциялардың туындыларының кестесін беру қажет. Элементар функциялардың туындыларын есептеу үшін күрделі есептеулер жүргізу қажет емес. Туындылар кестесіндегі оның мәнін қарау жеткілікті.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Мысал 1. y=500 функциясының туындысын табыңыз.

Біз мұның тұрақты екенін көреміз. Туындылар кестесінен тұрақтының туындысы нөлге тең екені белгілі (формула 1).

Мысал 2. y=x 100 функциясының туындысын табыңыз.

Бұл дәреже көрсеткіші 100 болатын дәреже функциясы және оның туындысын табу үшін функцияны дәрежеге көбейтіп, оны 1-ге азайту керек (формула 3).

(x 100)"=100 x 99

Мысал 3. y=5 x функциясының туындысын табыңыз

Бұл көрсеткіштік функция, 4 формула арқылы оның туындысын есептейік.

Мысал 4. y= log 4 x функциясының туындысын табыңыз

Логарифмнің туындысын 7 формула арқылы табамыз.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Дифференциация ережелері

Енді функцияның туындысы кестеде жоқ болса, оны қалай табуға болатынын анықтайық. Зерттелетін функциялардың көпшілігі қарапайым емес, қарапайым амалдарды (қосу, алу, көбейту, бөлу және санға көбейту) қолданатын қарапайым функциялардың комбинациясы. Олардың туындыларын табу үшін дифференциалдау ережелерін білу керек. Төменде f және g әріптері функцияларды білдіреді, ал C тұрақты болып табылады.

1. Тұрақты коэффициентті туындының таңбасынан шығаруға болады

Мысал 5. y= 6*x 8 функциясының туындысын табыңыз

Тұрақты 6 коэффициентін алып, тек x 4-ті ғана ажыратамыз. Бұл дәрежелік функция, оның туындысы туындылар кестесінің 3 формуласы арқылы табылады.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Қосындының туындысы туындылардың қосындысына тең

(f + g)"=f" + g"

Мысал 6. y= x 100 +sin x функциясының туындысын табыңыз

Функция дегеніміз – туындыларын кестеден табуға болатын екі функцияның қосындысы. (x 100)"=100 x 99 және (sin x)"=cos x болғандықтан. Қосындының туындысы осы туындылардың қосындысына тең болады:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Айырманың туындысы туындылардың айырмасына тең

(f – g)"=f" – g"

Мысал 7. y= x 100 – cos x функциясының туындысын табыңыз

Бұл функция екі функцияның айырмашылығы болып табылады, олардың туындыларын кестеден де табуға болады. Сонда айырманың туындысы туындылардың айырмасына тең болады және таңбаны өзгертуді ұмытпаңыз, өйткені (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Мысал 8. y=e x +tg x– x 2 функциясының туындысын табыңыз.

Бұл функцияның қосындысы да, айырмасы да бар, әр мүшенің туындысын табайық;

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Сонда бастапқы функцияның туындысы мынаған тең болады:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Өнімнің туындысы

(f * g)"=f" * g + f * g"

Мысал 9. y= cos x *e x функциясының туындысын табыңыз

Ол үшін алдымен әрбір фактордың туындысын табамыз (cos x)"=–sin x және (e x)"=e x. Енді барлығын өнім формуласына ауыстырайық. Бірінші функцияның туындысын екіншісіне көбейтіп, бірінші функцияның туындысын екіншісінің туындысына қосамыз.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Бөлімшенің туындысы

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Мысал 10. y= x 50 /sin x функциясының туындысын табыңыз

Бөлімнің туындысын табу үшін алдымен алым мен бөлгіштің туындысын бөлек табамыз: (x 50)"=50 x 49 және (sin x)"= cos x. Көрсеткіштің туындысын формулаға қойып, мынаны аламыз:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Күрделі функцияның туындысы

Күрделі функция деп бірнеше функциялардың құрамы арқылы бейнеленген функцияны айтады. Күрделі функцияның туындысын табудың да ережесі бар:

(u (v))"=u"(v)*v"

Осындай функцияның туындысын қалай табуға болатынын анықтайық. y= u(v(x)) күрделі функция болсын. Функцияны u сыртқы, ал v - ішкі деп атаймыз.

Мысалы:

y=sin (x 3) – күрделі функция.

Сонда y=sin(t) сыртқы функция болады

t=x 3 - ішкі.

Осы функцияның туындысын есептеп көрейік. Формула бойынша ішкі және сыртқы функциялардың туындыларын көбейту керек.

(sin t)"=cos (t) - сыртқы функцияның туындысы (мұндағы t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - ішкі функцияның туындысы

Сонда (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 күрделі функцияның туындысы болады.

Туындыны және оны есептеу әдістерін білмейінше математикадағы физикалық есептерді немесе мысалдарды шешу мүмкін емес. Туынды – математикалық талдаудағы ең маңызды ұғымдардың бірі. Біз бүгінгі мақаланы осы негізгі тақырыпқа арнауды шештік. Туынды дегеніміз не, оның физикалық және геометриялық мағынасы қандай, функцияның туындысы қалай есептеледі? Барлық осы сұрақтарды біріктіруге болады: туындыны қалай түсінуге болады?

Туындының геометриялық және физикалық мағынасы

Функция болсын f(x) , белгілі бір аралықта көрсетілген (а, б) . Осы интервалға x және x0 нүктелері жатады. х өзгерген кезде функцияның өзі өзгереді. Аргументті өзгерту – оның мәндеріндегі айырмашылық x-x0 . Бұл айырмашылық былай жазылады дельта x және аргумент өсімі деп аталады. Функцияның өзгеруі немесе артуы - бұл функцияның екі нүктедегі мәндерінің айырмашылығы. Туынды анықтамасы:

Функцияның нүктедегі туындысы - берілген нүктедегі функция өсімінің соңғысы нөлге ұмтылған кездегі аргумент өсіміне қатынасының шегі.

Әйтпесе оны былай жазуға болады:

Мұндай шекті табудың мәні неде? Және бұл не:

нүктедегі функцияның туындысы OX осі арасындағы бұрыштың тангенсіне және берілген нүктедегі функция графигіне жанамаға тең.

Туындының физикалық мағынасы: жолдың уақытқа қатысты туындысы түзу сызықты қозғалыс жылдамдығына тең.

Шынында да, мектеп кезінен бастап бәрі жылдамдықтың ерекше жол екенін біледі x=f(t) және уақыт т . Белгілі бір уақыт аралығындағы орташа жылдамдық:

Бір мезетте қозғалыс жылдамдығын анықтау t0 шектеуді есептеу керек:

Бірінші ереже: тұрақты мәнді орнату

Тұрақтыны туынды таңбадан шығаруға болады. Оның үстіне мұны істеу керек. Математикадағы мысалдарды шешу кезінде оны ереже ретінде қабылдаңыз - Егер сіз өрнекті жеңілдете алсаңыз, оны жеңілдетуді ұмытпаңыз .

Мысал. Туындыны есептейік:

Екінші ереже: функциялар қосындысының туындысы

Екі функцияның қосындысының туындысы осы функциялардың туындыларының қосындысына тең. Функциялар айырмасының туындысы үшін де солай.

Біз бұл теореманың дәлелін бермейміз, керісінше практикалық мысалды қарастырамыз.

Функцияның туындысын табыңыз:

Үшінші ереже: функциялар туындысының туындысы

Екі дифференциалданатын функцияның туындысының туындысы мына формуламен есептеледі:

Мысалы: функцияның туындысын табыңыз:

Шешімі:

Мұнда күрделі функциялардың туындыларын есептеу туралы айту маңызды. Күрделі функцияның туындысы осы функцияның аралық аргументке қатысты туындысының туындысына және тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргументтің туындысына тең.

Жоғарыдағы мысалда біз өрнекті кездестіреміз:

Бұл жағдайда аралық аргумент бесінші дәрежеге 8x. Мұндай өрнектің туындысын есептеу үшін алдымен аралық аргументке қатысты сыртқы функцияның туындысын есептейміз, содан кейін тәуелсіз айнымалыға қатысты аралық аргументтің өзінің туындысына көбейтеміз.

Төртінші ереже: екі функцияның бөліндісінің туындысы

Екі функцияның бөліндісінің туындысын анықтау формуласы:

Біз нөлден бастап манекендерге арналған туындылар туралы айтуға тырыстық. Бұл тақырып көрінгендей қарапайым емес, сондықтан ескертіңіз: мысалдарда қателер жиі кездеседі, сондықтан туындыларды есептеу кезінде абай болыңыз.

Осы және басқа тақырыптар бойынша кез келген сұрақтар бойынша студенттік қызметке хабарласуға болады. Қысқа уақыт ішінде біз сізге ең қиын сынақты шешуге және бұрын ешқашан туынды есептеулер жасамаған болсаңыз да, тапсырмаларды түсінуге көмектесеміз.

Калькулятор егжей-тегжейлі шешімін бере отырып, барлық элементар функциялардың туындыларын есептейді. Дифференциация айнымалысы автоматты түрде анықталады.

Функцияның туындысы- математикалық талдаудағы маңызды ұғымдардың бірі. Туындының пайда болуы, мысалы, уақыт мезетіндегі нүктенің лездік жылдамдығын есептеу, уақытқа байланысты жол белгілі болса, нүктедегі функцияның жанамасын табу мәселесі сияқты есептерге әкелді.

Көбінесе функцияның туындысы, егер ол бар болса, функция өсімінің аргумент өсіміне қатынасының шегі ретінде анықталады.

Анықтама.Функция нүктенің кейбір маңайында анықталсын. Сонда функцияның нүктедегі туындысы, егер ол бар болса, шек деп аталады

Функцияның туындысын қалай есептейді?

Функцияларды ажыратуды үйрену үшін үйрену және түсіну керек дифференциация ережелеріжәне қолдануды үйренеді туындылар кестесі.

Дифференциация ережелері

Нақты айнымалының ерікті дифференциалданатын функциялары болсын және болсын және кейбір нақты тұрақты болсын. Содан кейін

— функция туындысын дифференциалдау ережесі

— үлестік функцияларды дифференциалдау ережесі

0" биіктігі="33" ені="370" style="vertical-align: -12px;"> — айнымалы көрсеткішті функцияны дифференциалдау

— күрделі функцияны дифференциалдау ережесі

— дәрежелік функцияны дифференциалдау ережесі

Желідегі функцияның туындысы

Біздің калькулятор кез келген функцияның туындысын онлайн режимінде тез және дәл есептейді. Бағдарлама туындыны есептеу кезінде қателіктер жібермейді және ұзақ және жалықтыратын есептеулерден аулақ болуға көмектеседі. Онлайн калькуляторБұл сіздің шешіміңіздің дұрыстығын тексеру қажет болған жағдайда да пайдалы болады, ал егер ол дұрыс емес болса, қатені жылдам табыңыз.

Бетті шарлау.

Туынды тұрақты.

Кестенің ең бірінші формуласын шығарған кезде функцияның нүктедегі туындысын анықтауға кірісеміз. Алайық, мұндағы х – кез келген нақты сан, яғни х – функцияның анықталу облысындағы кез келген сан. Функция өсімінің аргумент өсіміне қатынасының шегін мына жерде жазайық:

Айта кету керек, шектік белгінің астында өрнек алынған, ол емес, өйткені алымда шексіз аз мән жоқ, бірақ дәл нөл. Басқаша айтқанда, тұрақты функцияның өсімі әрқашан нөлге тең болады.

Осылайша, тұрақты функцияның туындысы анықтаудың барлық облысы бойынша нөлге тең.

Мысал.

Төмендегі тұрақты функциялардың туындыларын табыңыз

Шешім.

Бірінші жағдайда бізде 3 натурал санның туындысы бар, екінші жағдайда кез келген нақты сан болуы мүмкін а параметрінің туындысын, үшіншіде иррационал санның туындысын, төртіншіден алу керек. жағдайда бізде нөлдің туындысы бар (нөл - бүтін сан), бесіншіде – рационал бөлшектің туындысы.

Жауап:

Барлық осы функциялардың туындылары кез келген нақты х үшін нөлге тең (анықтаудың барлық облысы бойынша)

Дәрежелік функцияның туындысы.

Дәрежелік функцияның туындысының формуласы пішінге ие , мұндағы p көрсеткіші кез келген нақты сан.

Алдымен натурал көрсеткіштің формуласын дәлелдеп көрейік, яғни p = 1, 2, 3, ...

Туынды анықтамасын қолданамыз. Дәрежелік функцияның өсімшесінің аргумент өсіміне қатынасының шегін жазайық:

Алымдағы өрнекті жеңілдету үшін формулаға жүгінейік:

Демек,

Бұл натурал көрсеткіш үшін дәрежелік функцияның туындысының формуласын дәлелдейді.

Екі жағдайды қарастыру керек: оң x және теріс x үшін.

Алдымен болжаймыз. Бұл жағдайда. Е негізіне теңдіктің логарифмін алайық және логарифмнің қасиетін қолданайық:

Біз жанама түрде анықталған функцияға келдік. Оның туындысын табамыз:

Теріс х үшін дәлелдеуді орындау қалды.

Егер p көрсеткіші жұп сан болса, қуат функциясы да үшін анықталады және жұп болады (бөлімді қараңыз). Яғни, . Бұл жағдайда логарифмдік туынды арқылы дәлелдеуді де қолдануға болады.

Егер p көрсеткіші тақ сан болса, қуат функциясы да үшін анықталады және тақ болады. Яғни, . Бұл жағдайда логарифмдік туындыны қолдануға болмайды. Формуланы дәлелдеу бұл жағдайда дифференциалдау ережелерін және күрделі функцияның туындысын табу ережесін қолдануға болады:

Соңғы ауысу, егер p тақ сан болса, онда p-1 не жұп сан, не нөл (p=1 үшін), сондықтан теріс х үшін теңдік ақиқат болатындығына байланысты мүмкін. .

Сонымен, дәрежелік функцияның туындысының формуласы кез келген нақты р үшін дәлелденеді.

Мысал.

Функциялардың туындыларын табыңыз.

Шешім.

Бірінші және үшінші функцияларды дәреженің қасиеттерін пайдалана отырып, кестелік түрге келтіреміз және дәрежелік функцияның туындысы үшін формуланы қолданамыз:

Көрсеткіштік функцияның туындысы.

Анықтамаға негізделген туынды формуланың туындысын ұсынамыз:

Біз белгісіздікке жеттік. Оны кеңейту үшін біз жаңа айнымалыны енгіземіз және -де. Содан кейін. Соңғы көшуде біз жаңа логарифмдік негізге көшу формуласын қолдандық.

Бастапқы шекке ауыстырайық:

Синус функциясының туындысының анықтамасы бойынша бізде бар .

Синустардың айырымы формуласын қолданайық:

Бірінші керемет шекке көшу қалады:

Осылайша, sin x функциясының туындысы cos x болады.

Косинустың туындысының формуласы дәл осылай дәлелденген.

Дифференциалдау есептерін шығарғанда біз үнемі негізгі функциялардың туындылары кестесіне жүгінеміз, әйтпесе оны не үшін құрастырдық және әрбір формуланы дәлелдедік. Болашақта бұл формулалардың барлығын есте сақтауға кеңес береміз, бұл сізге көп уақытты үнемдейді.

cleverstudent авторлық құқық

Барлық құқықтар қорғалған.
Авторлық құқық туралы заңмен қорғалған. Сайттың ешбір бөлігін, оның ішінде ішкі материалдар мен сыртқы түрін авторлық құқық иесінің алдын ала жазбаша рұқсатынсыз кез келген нысанда көшіруге немесе пайдалануға болмайды.