Vaatleme trigonomeetriliste funktsioonide graafikute levinumaid teisendusi. Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendused mooduliga Trigonomeetriliste funktsioonide graafikud ja nende teisendused
TEEMA: Mooduliga trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendused.
SIHT: Vormi trigonomeetriliste funktsioonide graafikute saamise kaalumine
y= f(|x|) ;y = | f(x)| .
Arenda matemaatilist loogikat ja tähelepanu.
TUNNIDE AJAL:
Org. hetk: Tunni teema, eesmärkide ja eesmärkide väljakuulutamine.
Õpetaja: Täna peame õppima, kuidas joonistada funktsioone y = sin |x|; y = cos|x|
Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| kasutades meie teadmisi transtsendentaalsete funktsioonide teisendustest kujul y = f(|x|) ja y = |f(x)| . Te küsite: "Milleks see on?" Fakt on see, et funktsioonide omadused sel juhul muutuvad, kuid seda on kõige paremini näha, nagu teate, graafikul.
Meenutagem, kuidas need funktsioonid definitsiooni kasutades kirjutatakse
Lapsed: f(|x|) =
|f(x)| = 
Õpetaja: Niisiis, funktsiooni y = joonistamiseksf(|x|), kui funktsiooni graafik on teada
y =f{ x), peate funktsiooni y = graafiku selle osa oma kohale jätmaf(x), mis
vastab funktsiooni y = definitsioonipiirkonna mittenegatiivsele osalef(x). Seda peegeldades
osa on sümmeetriline y-telje suhtes, saame vastava graafiku teise osa
määratlusvaldkonna negatiivne osa.
See tähendab, et graafikul näeb see välja järgmine: y = f (x)
(Need graafikud on joonistatud tahvlile. Lapsed vihikutes)
Nüüd koostame selle põhjal funktsioonide y = sin |x| graafiku; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|
Joonis 1. Y = sin x
Joonis 2. Y = sin |x|
Nüüd joonistame graafikule funktsioonid Y = |sin x | ja Y = |2 sin x + 2|
Funktsiooni y = \ joonistamiseksf(x)\, kui funktsiooni y = graafik on teadaf(x), peate jätma selle osa, kusf(x) > KOHTA, ja kuvab sümmeetriliselt selle teise osa x-telje suhtes, kusf(x) < 0.
Algebra tunni kokkuvõte ja analüüsi algus 10. klassis
teemal: “Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine”
Tunni eesmärk: süstematiseerida teadmisi teemal “Trigonomeetriliste funktsioonide omadused ja graafikud y=sin (x), y=cos (x)”.
Tunni eesmärgid:
- kordame trigonomeetriliste funktsioonide omadusi y=sin (x), y=cos (x);
- redutseerimisvalemite kordamine;
- trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine;
- arendada tähelepanu, mälu, loogilist mõtlemist; intensiivistada vaimset tegevust, analüüsi-, üldistus- ja arutlusvõimet;
- soodustab töökust, püüdlikkust eesmärkide saavutamisel, huvi aine vastu.
Tunni varustus: IKT
Tunni tüüp: uute asjade õppimine
Tundide ajal
Enne tundi joonistavad 2 õpilast tahvlile oma kodutöödest graafikud.
Korraldamise aeg:
Tere kutid!
Tänases tunnis teisendame trigonomeetriliste funktsioonide graafikud y=sin (x), y=cos (x).
Suuline töö:
Kodutööde kontrollimine.
mõistatuste lahendamine.
Uue materjali õppimine
Kõik funktsioonigraafikute teisendused on universaalsed – sobivad kõikide funktsioonide jaoks, ka trigonomeetriliste jaoks. Siinkohal piirdume graafikute peamiste teisenduste põgusa meeldetuletusega.
Funktsioonigraafikute teisendus.
Funktsioon y = f (x) on antud. Alustame kõigi graafikute koostamist selle funktsiooni graafikust, seejärel teostame sellega toiminguid.
Funktsioon
Mida teha graafikuga
y = f(x) + a
Tõstame kõik esimese graafiku punktid ühiku võrra ülespoole.
y = f(x) – a
Me langetame kõik esimese graafiku punktid ühiku võrra allapoole.
y = f(x + a)
Nihutame kõik esimese graafiku punktid ühiku võrra vasakule.
y = f (x – a)
Nihutame kõiki esimese graafiku punkte ühiku võrra paremale.
y = a*f(x),a>1
Kinnitame nullid paika, nihutame ülemised punktid kordade võrra kõrgemale ja alumised langetame kordade võrra madalamale.
Graafik “venib” üles-alla, nullid jäävad paika.
y = a*f(x), a<1
Parandame nullid, ülemised punktid langevad korda, alumised tõusevad korda. Graafik "kahaneb" x-telje suunas.
y = -f(x)
Peegeldage esimene graafik x-telje ümber.
y = f (ax), a<1
Kinnitage punkt ordinaatteljel. Iga segmenti abstsissteljel suurendatakse kordades. Graafik ulatub ordinaatteljelt erinevates suundades.
y = f (ax), a >1
Kinnitage punkt ordinaatteljel, vähendage iga abstsisstellje segmenti teguri võrra. Graafik "kahaneb" mõlemalt poolt y-telje suunas.
y = | f(x)|
Abstsisstelje all olevad graafiku osad on peegeldatud. Kogu graafik asub ülemisel pooltasandil.
Lahendusskeemid.
1)y = sin x + 2.
Koostame graafiku y = sin x. Tõstame graafiku iga punkti 2 ühiku võrra ülespoole (ka nullid).
2)y = cos x – 3.
Koostame graafiku y = cos x. Langetame graafiku iga punkti 3 ühiku võrra allapoole.
3)y = cos (x - /2)
Koostame graafiku y = cos x. Nihutame kõik punktid p/2 võrra paremale.
4)y = 2 sinx.
Koostame graafiku y = sin x. Jätame nullid paika, tõstame ülemisi punkte 2 korda ja langetame alumisi sama palju.
PRAKTILINE TÖÖ Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute joonistamine Advanced Grapher programmi abil.
Joonistame funktsiooni y = -cos 3x + 2.
- Joonistame funktsiooni y = cos x.
- Peegeldame seda abstsisstelje suhtes.
- Seda graafikut tuleb piki x-telge kolm korda kokku suruda.
- Lõpuks tuleb sellist graafikut tõsta piki y-telge kolme ühiku võrra ülespoole.
y = 0,5 sin x.
y = 0,2 cos x-2
y = 5cos 0 .5 x
y= -3sin(x+π).
2) Leidke viga ja parandage see.
V. Ajalooline materjal. Sõnum Euleri kohta.
Leonhard Euler on 18. sajandi suurim matemaatik. Sündinud Šveitsis. Aastaid elas ja töötas Venemaal, Peterburi Akadeemia liige.
Miks peaksime teadma ja meeles pidama selle teadlase nime?
18. sajandi alguseks ei olnud trigonomeetria veel piisavalt arenenud: puudusid sümbolid, valemid kirjutati sõnadega, neid oli raske õppida, ebaselge oli küsimus trigonomeetriliste funktsioonide märkide kohta ringi erinevates veerandkondades, ja trigonomeetrilise funktsiooni argument tähendas ainult nurki või kaare. Alles Euleri töödes sai trigonomeetria oma kaasaegse vormi. Just tema hakkas arvestama arvu trigonomeetrilise funktsiooniga, s.o. Argumenti hakati mõistma mitte ainult kaare või kraadina, vaid ka arvudena. Euler tuletas kõik trigonomeetrilised valemid mitmest põhivalemist ja lihtsustas trigonomeetrilise funktsiooni märkide küsimust ringi erinevates veerandkondades. Trigonomeetriliste funktsioonide tähistamiseks võttis ta kasutusele sümboolika: sin x, cos x, tan x, ctg x.
18. sajandi künnisel ilmnes trigonomeetria arengus uus suund - analüütiline. Kui enne seda peeti trigonomeetria peamiseks eesmärgiks kolmnurkade lahendamist, siis Euler pidas trigonomeetriat trigonomeetriliste funktsioonide teaduseks. Esimene osa: funktsioonide õpetus on osa üldisest funktsiooniõpetusest, mida uuritakse matemaatilises analüüsis. Teine osa: kolmnurkade lahendamine – geomeetria peatükk. Sellised uuendused tegi Euler.
VI. Kordamine
Iseseisev töö “Lisa valem”.
VII. Tunni kokkuvõte:
1) Mida uut sa täna tunnis õppisid?
2) Mida sa veel teada tahad?
3) Hindamine.
Graafikute koostamise algoritm Funktsiooni y = sin (x-a) graafiku saab saada funktsiooni y = sinx graafiku paralleelsel liigutamisel piki Ox-telge ühiku võrra paremale. Funktsiooni y = sin (x+a) graafiku saab saada funktsiooni y = sinx graafiku paralleelsel liigutamisel piki Ox-telge ühiku võrra vasakule.
0) saab funktsiooni y = sin x graafikult seda venitades (00 juures) saab funktsiooni y = sin x graafikult venitades (0 7 juures Graafikute koostamise algoritm Funktsiooni y = sin (Kx) (K>0) graafiku saab saada funktsiooni y = sin x graafikult, venitades seda (01 tihendusel K korda) piki Ox-telge. 0) saab funktsiooni y = sin x graafikult seda venitades (0 juures 0) saab funktsiooni y = sin x graafikult, venitades seda (01 tihendamisel teguriga K) mööda Ox telg."> 0) saab funktsiooni y = sin x graafikult seda venitades (punktis 00) saab funktsiooni y = sin x graafikult seda venitades (punktis 0 title=" Graafimisalgoritm Funktsiooni y = sin (Kx) (K>0) graafiku saab funktsiooni y = sin x graafikust, venitades seda (0 juures
8 Pakkimine ja venitamine ordinaatteljele Joonistage funktsioon y = sin2 x Graafik funktsioon y = sin K > 1 tihendus 0 1 tihendus 0 1 tihendus 0 1 tihendus 0 1 tihendus 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 !}
0) saab funktsiooni y = sin x graafikult, venitades seda (K>1 korral venitades teguri K võrra) piki Oy telge. Funktsiooni y = Кsin (x) (К>0) graafiku saab saada funktsiooni y = sinx graafikult its с" title="Graafimise algoritm: Funktsiooni y = Кsin () graafik x) (К>0) saab funktsiooni y = sin x graafikult, venitades seda (K>1 korral K korda) piki Oy telge Funktsiooni y = Ksin (x) graafik. (K>0) saab funktsiooni y = sinx it with graafikult" class="link_thumb"> 9 !} Graafikute koostamise algoritm: Funktsiooni y = Ksin (x) graafik (K>0) saadakse funktsiooni y = sin x graafikult, venitades seda (K>1 korral venitades seda koefitsiendiga K ) piki Oy telge. Funktsiooni y = Кsin (x) (К>0) graafiku saab funktsiooni y = sinx graafikult, surudes seda (01-l venitades K korda) piki Оу telge. Funktsiooni y = Ksin (x) graafiku (K>0) saab funktsiooni y = sinx graafikult selle c "> 0) saab funktsiooni y = sin x graafikult seda venitades (K>1 jaoks venitades K korda) piki Oy telge Funktsiooni y = Ksin (x) (K>0) graafiku saab funktsiooni y = sinx graafikult selle kokkusurumisel (01 venitamisega). K korda) piki Oy telge Funktsiooni y = Ksin (x) graafik (K>0) saadakse funktsiooni y = sinx it graafikult koos" title=" Graafikute koostamise algoritm). : Funktsiooni y = Ksin (x) graafik (K>0) saadakse funktsiooni y = sin x graafikult, venitades seda (K> 1 venitamisel K korda) piki Oy telge funktsiooni y = Ksin (x) (K>0) saab saada funktsiooni y = sinx graafikult koos sellega"> title="Graafikute koostamise algoritm: Funktsiooni y = Ksin (x) graafik (K>0) saadakse funktsiooni y = sin x graafikult, venitades seda (K>1 korral venitades seda koefitsiendiga K ) piki Oy telge. Funktsiooni y = Кsin (x) (К>0) graafiku saab saada funktsiooni y = sinx graafikust koos">!}
1 venitus 0 1 venitus 0 10 10 Kokkusurumine ja venitamine x-teljele K > 1 venitamine 0 1 venitamine 0 1 venitamine 0 1 venitamine 0 1 venitamine 0 title="10 Kokkusurumine ja venitamine x-teljele K > 1 venitamine 0
13 Nihutamine piki ordinaattelge Funktsiooni y=sins+3 graafiku koostamine Funktsiooni y=sins-3 + üles-alla graafiku koostamine y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Graafiku teisendus
X y 1 -2 Kontrollige: y 1 = sinx; y 2 = sinx + 2; y 3 = sinx
Algebra tunnikonspektid 10. klassis
Vassiljeva Jekaterina Sergeevna,
matemaatika õpetaja
OGBOU "Smolenski eri (paranduslik)
I ja II tüüpi põhikool"
Smolensk
Tunni teema: "Trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine."
Nimimoodul: trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamine. Integreeriminedidaktilinesihtmärk: harjutada trigonomeetriliste funktsioonide graafikute koostamise oskusi. Sihtne tegevuskava õpilastele:
- vaadata üle trigonomeetriliste funktsioonide põhiomadused; harjutada trigonomeetriliste funktsioonide graafikute teisendamise oskust; edendada loogilise mõtlemise arengut; kasvatada huvi aine õppimise vastu.
Infopank.
Sissetulev kontroll. Nimetage funktsioonide y = sin x omadused (joonis 1).Riis. 1
Omadused:
- D(y)=R E(y)=[-1;1], funktsioon on piiratud sin(-x)=-sinx, funktsioon on paaritu Minimaalne positiivne periood: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 at x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Suurim väärtus 1, y=sin x saab punktides x=π/2+ 2πk, k Є Z. Väikseima väärtusega -1, y=sin x saab punktides x=3π/2+ 2πk, k Є Z.
Riis. 2
Omadused:
- D (y)=R E (y)=[-1;1], funktsioon on piiratud cos(-x)= cos x, funktsioon on paaris Minimaalne positiivne periood: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 at x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+ 2πk), k Є Z cos x Suurim väärtus 1, y=cos x võtab punktides x= 2πk, k Є Z. Väikseim väärtus, mis võrdub -1, y=cos x võtab punktides x=π+ 2πk , k Є Z.
Riis . 3
Omadused:
- D(y)-hulk kõigist reaalarvudest, välja arvatud arvud kujul x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), piiramata funktsioon tg(-x)=-tg x , paaritu funktsiooni väikseim positiivne periood: π
tg(x+π)= tan x tgx= 0 at x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x
Riis. 4
Omadused:
- D(y)-hulk kõigist reaalarvudest, välja arvatud arvud kujul x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), piiramata funktsioon ctg(-x)=-ctg x, paaritu funktsioon Minimaalne positiivne periood: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 at x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x
Materjali selgitus.
- y=
f(x)+
a, kus a on konstantne arv, peate graafikut liigutama y=
f(x)
piki ordinaattelge. Kui a>0, siis liigume graafiku endaga paralleelselt ülespoole, kui a Funktsiooni graafiku koostamiseks y=
kf(x)
peame funktsiooni graafikut venitama y=
f(x)
V k
korda piki ordinaattelge. Kui |
k|>1
, siis ulatub graafik piki telge OY, Kui 0k| , siis – kompressioon. Funktsiooni graafik y=
f(x+
b)
saadud graafikult y=
f(x)
paralleeltransleerimise teel piki abstsisstelge. Kui b>0, siis graafik liigub vasakule, kui b
Funktsiooni graafiku tegemiseks y= f(kx) tuleb ajakava venitada y= f(x) mööda abstsisstelge. Kui | k|>1 , siis surutakse graafik piki telge kokku Oh, kui 0
Materjali kinnitamine.
Tase A
Privaatnedidaktilinesihtmärk: harjutada trigonomeetriliste funktsioonide konstrueerimise oskust teisenduste abil.
MetoodilinekommentaarSestõpilased:
Ox 3 korda.
Funktsiooni graafik saadakse graafikust piki telge venitades Oy 2 korda.
Funktsiooni graafik saadakse graafikust paralleeltransleerimise teel piki telge 2 ühikut ülespoole Oy.
Funktsiooni graafik saadakse graafikult paralleeltransleerimise teel piki abstsisstellge ühikute kaupa vasakule.
G 
Funktsiooni graafik saadakse graafikult piki telge kokku surudes Oy 4 korda.
Tase B.
Privaatnedidaktilinesihtmärk: trigonomeetriline funktsioonid poolt järjekindel teisenduste rakendamine.
MetoodilinekommentaarSestõpilased: konstrueerida funktsioonide graafikuid, sooritades teisendusi.
Funktsiooni graafik saadakse graafikult paralleeltransleerimise teel mööda abstsisstellge ühikute kaupa paremale.
Funktsiooni graafik saadakse funktsiooni graafikust, sooritades järjestikku järgmisi teisendusi:
1) paralleeltõlge ühikutega mööda abstsisstelge vasakule
2) kokkusurumine piki Oy telge 4 korda .
Funktsiooni graafik saadakse funktsiooni graafikult, mille iga ordinaat muutub koefitsiendiga -2. Selleks teostame järgmised teisendused:
1) kuvada sümmeetriliselt telje suhtes Ox,
2) venitada 2 korda piki telge Oy.
järjekindel tehke järgmised teisendused:
1) kokkusurumine piki abstsisstelge 2 korda;
2) venitamine V 3 korda kaasa teljed Oy;
3) paralleelselt üleandmine peal 1 üksus üles kaasa teljed ordinaat.
Tase KOOS .
Privaatnedidaktilinesihtmärk: harjutada graafiku tegemise oskust trigonomeetriline funktsioonid poolt järjekindel teisenduste rakendamine.
Metoodiline kommentaar Sest õpilased : palun märkige , mis muutumine vaja hukata Sest Ehitus graafikud . Ehitada graafika .
1. 
Funktsiooni graafik saadakse funktsiooni graafikust, sooritades järjestikku järgmisi teisendusi:
1) ekraan on telje suhtes sümmeetriline Ox,
2) kokkusurumine 2 korda mööda Oy telge;
3) paralleelne translatsioon 2 ühikut allapoole mööda Oy telge.
2.
Funktsiooni graafik saadakse funktsiooni graafikust järjekindel sooritades järgmisi teisendusi: selgub www. lennujaam. ru/ teenuseid/ graafik. html
