Arcsine é às vezes denotado da seguinte forma:
.
Gráfico da função y = arco seno x
O gráfico do arco seno é obtido a partir do gráfico do seno se os eixos das abscissas e das ordenadas forem trocados. Para eliminar a ambigüidade, o intervalo de valores é limitado ao intervalo durante o qual a função é monotônica. Esta definição é chamada de valor principal do arco seno.
Arccoseno às vezes é denotado da seguinte forma:
.
Gráfico da função y = arcos x
O gráfico do arco cosseno é obtido a partir do gráfico do cosseno se os eixos abscissa e ordenada forem trocados. Para eliminar a ambigüidade, o intervalo de valores é limitado ao intervalo durante o qual a função é monotônica. Esta definição é chamada de valor principal do arco cosseno.
A função arco seno é estranha:
arco seno (- x) = arco seno (-sin arco seno x) = arco seno (pecado (-arco seno x)) = - arco seno x
A função arco cosseno não é par nem ímpar:
arcos(- x) = arcos(-cos arcos x) = arcos(cos(π-arccos x)) = π - arcos x ≠ ± arcos x
As funções arco seno e arco cosseno são contínuas em seu domínio de definição (ver prova de continuidade). As principais propriedades do arco seno e do arco cosseno são apresentadas na tabela.
e = arco seno x | e = arcos x | |
Escopo e continuidade | - 1 ≤ x ≤ 1 | - 1 ≤ x ≤ 1 |
Faixa de valores | ||
Subindo, descendo | aumenta monotonicamente | diminui monotonicamente |
Altos | ||
Mínimos | ||
Zeros, y = 0 | x = 0 | x = 1 |
Interceptar pontos com o eixo das ordenadas, x = 0 | e = 0 | y = π/ 2 |
Esta tabela apresenta os valores de arcossenos e arcossenos, em graus e radianos, para determinados valores do argumento.
x | arco seno x | arcos x | ||
saudação | alegre. | saudação | alegre. | |
- 1 | - 90° | - | 180° | π |
- | - 60° | - | 150° | |
- | - 45° | - | 135° | |
- | - 30° | - | 120° | |
0 | 0° | 0 | 90° | |
30° | 60° | |||
45° | 45° | |||
60° | 30° | |||
1 | 90° | 0° | 0 |
≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386
em ou
em e
em e
em ou
em e
em e
no
no
no
no
;
.
Consulte Derivação de derivados de arco seno e arco coseno > > >
Derivadas de ordem superior:
,
onde é um polinômio de grau.
;
;
.
É determinado pelas fórmulas:
Integrais Fazemos a substituição x = santo .,
Integramos por partes, levando em consideração que -π/:
.
2 ≤ t ≤ π/2
.
Vamos expressar o arco cosseno através do arco seno:< 1
Expansão da série
;
.
ocorre a seguinte decomposição:
Funções inversas
pecado (arco seno x) = x
cos(arcos x) = x .
Os inversos do arco seno e do arco cosseno são seno e cosseno, respectivamente.
arco seno (sen x) = x As seguintes fórmulas são válidas em todo o domínio de definição:
arcos(cos x) = x As fórmulas a seguir são válidas apenas no conjunto de valores de arco seno e arco cosseno:
no
no .
EM. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemática para engenheiros e estudantes universitários, “Lan”, 2009.
Veja também:
Problemas relacionados a funções trigonométricas inversas são frequentemente oferecidos em exames finais escolares e em vestibulares de algumas universidades. Um estudo detalhado deste tema só pode ser alcançado em disciplinas optativas ou optativas. O curso proposto visa desenvolver da forma mais completa possível as habilidades de cada aluno e melhorar sua preparação matemática.
O curso dura 10 horas:
1.Funções arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 horas).
3. Operações trigonométricas inversas sobre funções trigonométricas (2 horas).
Lição 1 (2 horas) Tópico: Funções y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.
Objetivo: cobertura completa deste assunto.
1.Função y = arco seno x.
a) Para a função y = sin x em um segmento existe uma função inversa (de valor único), que concordamos em chamar de arco seno e denotá-la da seguinte forma: y = arco seno x. O gráfico da função inversa é simétrico ao gráfico da função principal em relação à bissetriz dos ângulos coordenados I - III.
Propriedades da função y = arco seno x.
1) Domínio de definição: segmento [-1; 1];
2)Área de mudança: segmento;
3)Função y = arco seno x ímpar: arco seno (-x) = - arco seno x;
4)A função y = arcsin x está aumentando monotonicamente;
5) O gráfico cruza os eixos Ox, Oy na origem. etc. Mas estamos interessados apenas no argumento que está no segmento. Este seria o argumento. Então, .
Exemplo 2. Encontre .Solução. Argumentando da mesma forma que no Exemplo 1, obtemos .
b) exercícios orais. Encontre: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Exemplo de resposta: , porque . As expressões fazem sentido: ; arco seno 1,5; ?
c) Organize em ordem crescente: arco seno, arco seno (-0,3), arco seno 0,9.
II. Funções y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (semelhante).
Objetivo: nesta lição é necessário desenvolver habilidades na determinação de valores funções trigonométricas, na construção de gráficos de funções trigonométricas inversas usando D (y), E (y) e as transformações necessárias.
Nesta lição, faça exercícios que incluem encontrar o domínio de definição, o domínio de valor de funções do tipo: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.
Você deve construir gráficos das funções: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcos seno 2x; c) y = arco seno;
d) y = arco seno; e) y = arco seno; e) y = arco seno; g) y = | arcossin | .
Exemplo. Vamos plotar y = arcos
Você pode incluir os seguintes exercícios em sua lição de casa: construir gráficos de funções: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .
Gráficos de funções inversas
Objetivo: ampliar o conhecimento matemático (importante para quem ingressa em especialidades com maiores exigências de formação matemática) por meio da introdução de relações básicas para funções trigonométricas inversas.
Material para a aula.
Algumas operações trigonométricas simples em funções trigonométricas inversas: sin (arco sen x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.
Exercícios.
a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .
ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .
b) cos (+ arco seno 0,6) = - cos (arco seno 0,6). Seja arco sen 0,6 = a, sen a = 0,6;
cos (arco seno x) = ; pecado (arcos x) = .
Nota: colocamos o sinal “+” na frente da raiz porque a = arcsin x satisfaz.
c) pecado (1,5 + arco seno). Resposta: ;
d) ctg (+ arctg 3).
e) tg ( – arcctg 4).
e) cos (0,5 + arcos). Responder: .
Calcular:
a) pecado (2 arctan 5) .
Seja arctan 5 = a, então sen 2 a = ou pecado (2 arctan 5) = ;
b) cos (+ 2 arco seno 0,8).
c) arcg + arcg.
Seja a = arctg, b = arctg,
então tg(a + b) = .
d) pecado (arco seno + arco seno).
e) Prove que para todo x I [-1; 1] verdadeiro arco seno x + arcos x =.
Prova:
arco seno x = – arcos x
pecado (arco seno x) = pecado ( – arcos x)
x = cos (arcos x)
Para resolver você mesmo: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).
Para uma solução caseira: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arco seno + arco seno; 3) ctg ( – arcos 0,6); 4) cos (2 arco 5); 5) sen (1,5 – arco seno 0,8); 6) arco 0,5 – arco 3.
Objetivo: Nesta lição, demonstrar o uso de proporções na transformação de expressões mais complexas.
Material para a aula.
ORALMENTE:
a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);
b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);
c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());
d) tg (arccos), ctg (arccos()).
ESCRITO:
1) cos (arco seno + arco seno + arco seno).
2) cos (arctg 5–arccos 0,8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0,8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0,8) =
3) tg ( - arco seno 0,6) = - tg (arco seno 0,6) =
4)
O trabalho independente ajudará a identificar o nível de domínio do material.
1)tg (arctg 2 –arctg) 2) cos(-arctan2) 3) arco seno + arcos |
1) cos (arco seno + arco seno) 2) pecado (1,5 - Arctan 3) 3) arcotg3 – arcotg 2 |
Para trabalho de casa podemos sugerir:
1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) pecado 2 (arctg 2 – arcctg()); 3) sin (2 arcg + tan (arcsin)); 4) pecado(2 arctan); 5) tg ((arco seno))
Objetivo: formar a compreensão dos alunos sobre operações trigonométricas inversas em funções trigonométricas, com foco em aumentar a compreensão da teoria em estudo.
Ao estudar este tema, presume-se que o volume de material teórico a ser memorizado seja limitado.
Material da aula:
Você pode começar a aprender novos materiais estudando a função y = arcsin (sin x) e traçando seu gráfico.
3. Cada x I R está associado a y I, ou seja,<= y <= такое, что sin y = sin x.
4. A função é ímpar: sin(-x) = - sin x; arco seno (pecado (-x)) = - arco seno (pecado x).
6. Gráfico y = arco seno (sen x) em:
a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .
b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо
pecado y = pecado (- x) = pecado x, 0<= - x <= .
Então,
Tendo construído y = arcsin (sin x) on , continuamos simetricamente em torno da origem em [- ; 0], dada a estranheza desta função. Usando a periodicidade, continuamos ao longo de toda a reta numérica.
Então anote alguns relacionamentos: arco seno (sen a) = a se<= a <= ; arccos (cos um ) = a se 0<= a <= ; arctg (tg a) = a se< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .
E faça os seguintes exercícios:a) arccos(sin 2).Resposta: 2 - ; b) arco seno (cos 0,6). Resposta: - 0,1; c) arctg (tg 2). Resposta: 2 - ;
d) arcctg(tg 0,6).Resposta: 0,9; e) arcos (cos ( - 2)). Resposta: 2 - ; e) arco seno (pecado (-0,6)). Resposta: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Resposta: 2 - ; h) arcctg (tg 0,6). Resposta: - 0,6; -artan x; e) arcos + arcos
GRÁFICOS DE FUNÇÃO
- muitos R todos os números reais.
Vários valores de função— segmento [-1; 1], ou seja função seno - limitado.
Função estranha: sin(−x)=−sen x para todo x ∈ R.
A função é periódica
sin(x+2π k) = sin x, onde k ∈ Z para todo x ∈ R.
pecado x = 0 para x = π k , k ∈ Z.
pecado x > 0(positivo) para todo x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.
pecado x< 0 (negativo) para todo x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.
Domínio de Função- muitos R todos os números reais.
Vários valores de função— segmento [-1; 1], ou seja função cosseno - limitado.
Função uniforme: cos(−x)=cos x para todo x ∈ R.
A função é periódica com o menor período positivo 2π:
cos(x+2π k) = cos x, onde k ∈ Z para todo x ∈ R.
cos x = 0 no | |
porque x > 0 para todos | |
porque x< 0 para todos | |
Aumentos de função de −1 a 1 em intervalos: | |
A função está diminuindo de −1 a 1 em intervalos: | |
O maior valor da função sin x = 1 nos pontos: | |
O menor valor da função sin x = −1 nos pontos: |
Vários valores de função- toda a reta numérica, ou seja, tangente - função ilimitado.
Função estranha: tg(−x)=−tgx
O gráfico da função é simétrico em relação ao eixo OY.
A função é periódica com o menor período positivo π, ou seja, tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z para todo x do domínio de definição.
Vários valores de função- toda a reta numérica, ou seja, cotangente - função ilimitado.
Função estranha: ctg(−x)=−ctg x para todo x do domínio de definição.A função é periódica com o menor período positivo π, ou seja, cog(x+π k)=ctg x, k ∈ Z para todo x do domínio de definição.
Domínio de Função— segmento [-1; 1]
Vários valores de função- segmento -π /2 arco seno x π /2, ou seja, arco seno - função limitado.
Função estranha: arco sen(−x)=−arcsin x para todo x ∈ R.
O gráfico da função é simétrico em relação à origem.
Em toda a área de definição.
Domínio de Função— segmento [-1; 1]
Vários valores de função— segmento 0 arcos x π, ou seja, arco cosseno - função limitado.
A função está aumentando em toda a área de definição.
Domínio de Função- muitos R todos os números reais.
Vários valores de função— segmento 0 π, ou seja, arco tangente - função limitado.
Função estranha: arctg(−x)=−arctg x para todo x ∈ R.
O gráfico da função é simétrico em relação à origem.
A função está aumentando em toda a área de definição.
Domínio de Função- muitos R todos os números reais.
Vários valores de função— segmento 0 π, ou seja, arco tangente - função limitado.
A função não é par nem ímpar.
O gráfico da função não é assimétrico nem em relação à origem das coordenadas, nem em relação ao eixo Oy.
A função está diminuindo em toda a área de definição.