Помислете за най-често срещаните трансформации на графики на тригонометрични функции. Трансформации на графики на тригонометрични функции с модул Графики на тригонометрични функции и техните трансформации
Т Е М А: Трансформации на графики на тригонометрични функции с модул.
ЦЕЛ: Разглеждане на получаване на графики на тригонометрични функции на формата
г= f(|x|) ;г = | f(х)| .
Развийте математическата логика и внимание.
Х О Д У Р О К А:
орг. момент: Обявяване на темата, целите и задачите на урока.
Учител: Днес трябва да се научим как да чертаем функции y = sin |x|; y = cos|x|
Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| използвайки знанията си за трансформации на трансцендентни функции от формата y = f(|x|) и y = |f(x)| . Може да попитате „За какво е това?“ Факт е, че свойствата на функциите се променят в този случай, но това се вижда най-добре, както знаете, на графиката.
Нека си припомним как се записват тези функции с помощта на дефиницията
деца: f(|x|) =
|f(x)| = 
Учител: И така, за да начертаете функцията y =f(|x|), ако е известна графиката на функцията
y =f{ х), трябва да оставите тази част от графиката на функцията y = на мястоf(х), което
съответства на неотрицателната част от областта на дефиниране на функцията y =f(х). Отразявайки това
част е симетрична спрямо оста y, получаваме съответната друга част от графиката
отрицателна част от областта на дефиницията.
Тоест на графиката изглежда така: y = f (x)
(Тези графики са начертани на дъската. Деца в тетрадките)
Сега, въз основа на това, ще построим графика на функциите y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|
Фигура 1. Y = sin x
Фигура 2. Y = sin |x|
Сега нека начертаем функциите Y = |sin x | и Y = |2 sin x + 2|
За да начертаете функцията y = \f(х)\, ако е известна графиката на функцията y =f(х), трябва да оставите на място тази част, къдетоf(х) > ЗА, и покажете симетрично другата му част спрямо оста x, къдетоf(х) < 0.
Конспект на урок по алгебра и начало на анализ в 10 клас
на тема: „Преобразуване на графики на тригонометрични функции“
Целта на урока: систематизиране на знанията по темата „Свойства и графики на тригонометрични функции y=sin (x), y=cos (x)”.
Цели на урока:
- повторете свойствата на тригонометричните функции y=sin (x), y=cos (x);
- повторете формули за намаляване;
- конвертиране на графики на тригонометрични функции;
- развиват вниманието, паметта, логическото мислене; активизира умствената дейност, способността за анализ, обобщение и разсъждение;
- насърчаване на трудолюбие, усърдие при постигане на целите, интерес към предмета.
Оборудване на урока: ИКТ
Тип урок: научаване на нови неща
Напредък на урока
Преди урока 2 ученика чертаят на дъската графики от домашното.
Организационен момент:
Здравейте момчета!
Днес в урока ще трансформираме графиките на тригонометричните функции y=sin (x), y=cos (x).
Устна работа:
Проверка на домашните.
решаване на пъзели.
Учене на нов материал
Всички трансформации на функционални графики са универсални - те са подходящи за всички функции, включително тригонометричните. Тук ще се ограничим до кратко напомняне на основните трансформации на графиките.
Трансформация на графики на функции.
Дадена е функцията y = f (x). Започваме да изграждаме всички графики от графиката на тази функция, след което извършваме действия с нея.
функция
Какво да правим с графика
y = f(x) + a
Повдигаме всички точки на първата графика с единица нагоре.
y = f(x) – a
Спускаме всички точки на първата графика с единица надолу.
y = f(x + a)
Преместваме всички точки на първата графика с единица наляво.
y = f (x – a)
Преместваме всички точки на първата графика с единица надясно.
y = a*f (x),a>1
Ние фиксираме нулите на място, преместваме горните точки по-високо с пъти и спускаме долните по-ниско с пъти.
Графиката ще се „разтяга“ нагоре и надолу, нулите остават на мястото си.
y = a*f(x), a<1
Поправяме нулите, горните точки ще се понижат пъти, долните ще се повишат пъти. Графиката ще се „свие“ към оста x.
y = -f(x)
Огледайте първата графика около оста x.
y = f (ax), a<1
Фиксирайте точка върху ординатната ос. Всеки сегмент по абсцисната ос се увеличава с пъти. Графиката ще се простира от ординатната ос в различни посоки.
y = f (ax), a >1
Фиксирайте точка върху ординатната ос, намалете всеки сегмент върху абсцисната ос с фактор. Графиката ще се „свие“ към оста y от двете страни.
y = | f(x)|
Частите от графиката, разположени под оста x, са огледални. Цялата графика ще бъде разположена в горната полуравнина.
Схеми за решение.
1)y = sin x + 2.
Изграждаме графика y = sin x. Повдигаме всяка точка от графиката нагоре с 2 единици (също и нули).
2)y = cos x – 3.
Изграждаме графика y = cos x. Намаляваме всяка точка от графиката надолу с 3 единици.
3)y = cos (x - /2)
Изграждаме графика y = cos x. Изместваме всички точки с p/2 надясно.
4)y = 2 sinx.
Изграждаме графика y = sin x. Оставяме нулите на място, повдигаме горните точки 2 пъти и спускаме долните със същото количество.
ПРАКТИЧЕСКА РАБОТА Построяване на графики на тригонометрични функции с помощта на програмата Advanced Grapher.
Нека начертаем функцията y = -cos 3x + 2.
- Нека начертаем функцията y = cos x.
- Нека го отразим спрямо абсцисната ос.
- Тази графика трябва да бъде компресирана три пъти по оста x.
- И накрая, такава графика трябва да бъде повдигната нагоре с три единици по оста y.
y = 0,5 sin x.
у = 0,2 cos x-2
y = 5cos 0 0,5 x
y= -3sin(x+π).
2) Намерете грешката и я поправете.
V. Исторически материал. Съобщение за Ойлер.
Леонхард Ойлер е най-великият математик на 18 век. Роден в Швейцария. Дълги години живее и работи в Русия, член на Петербургската академия.
Защо трябва да знаем и помним името на този учен?
До началото на 18 век тригонометрията все още не беше достатъчно развита: нямаше символи, формулите бяха написани с думи, беше трудно да се научат, въпросът за знаците на тригонометричните функции в различни четвъртини на кръг беше неясен, и аргументът на тригонометрична функция означава само ъгли или дъги. Само в трудовете на Ойлер тригонометрията получава съвременната си форма. Именно той започва да разглежда тригонометричната функция на число, т.е. Аргументът започва да се разбира не само като дъги или градуси, но и като числа. Ойлер извежда всички тригонометрични формули от няколко основни и рационализира въпроса за знаците на тригонометричната функция в различни четвъртини на кръга. За да обозначи тригонометричните функции, той въведе символиката: sin x, cos x, tan x, ctg x.
На прага на 18 век в развитието на тригонометрията се появява ново направление - аналитично. Ако преди това основната цел на тригонометрията се смяташе за решаване на триъгълници, тогава Ойлер разглежда тригонометрията като наука за тригонометричните функции. Първа част: учението за функциите е част от общото учение за функциите, което се изучава в математическия анализ. Втора част: решаване на триъгълници - глава по геометрия. Такива нововъведения са направени от Ойлер.
VI. Повторение
Самостоятелна работа „Добавете формулата“.
VII. Обобщение на урока:
1) Какво ново научихте в клас днес?
2) Какво още искате да знаете?
3) Оценяване.
Алгоритъм за построяване на графики Графиката на функцията y = sin (x-a) може да се получи чрез успоредно преместване на графиката на функцията y = sinx по оста Ox с единица надясно. Графиката на функцията y = sin (x+a) може да се получи чрез успоредно преместване на графиката на функцията y = sinx по оста Ox с единица наляво.
0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягане (при 00) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягане (при 0 7Алгоритъм за построяване на графики Графиката на функцията y = sin (Kx) (K>0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягането й (при 01 компресия с K пъти) по оста Ox. 0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягането й (при 0 0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягането й (при 01 компресия с коефициент K) по продължение оста Ox."> 0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягане (при 00) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягане (при 0 title=" Graphing algorithm) Графиката на функцията y = sin (Kx) (K>0) може да бъде получена от графиката на функцията y = sin x чрез нейното разтягане (при 0
8 Компресия и разтягане до ордината Графика на функцията y = sin2 x Графика на функцията y = sin K > 1 компресия 0 1 компресия 0 1 компресия 0 1 компресия 0 1 компресия 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 !}
0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягането й (за K>1 чрез разтягане с коефициент K) по оста Oy. Графиката на функцията y = Кsin (x) (К>0) може да се получи от графиката на функцията y = sinx нейното с" title="Graphing algorithm: Графиката на функцията y = Кsin ( x) (К>0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягане (за K>1 чрез разтягане с K пъти) по оста Oy. Графиката на функцията y = Ksin (x) (K>0) може да се получи от графиката на функцията y = sinx it with" class="link_thumb"> 9 !}Алгоритъм за построяване на графики: Графиката на функцията y = Ksin (x) (K>0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягане (за K>1 чрез разтягане с фактор K ) по оста Oy. Графиката на функцията y = Кsin (x) (К>0) може да се получи от графиката на функцията y = sinx чрез нейното компресиране (при 01 разтягане с K пъти) по оста Оу. Графиката на функцията y = Ksin (x) (K>0) може да се получи от графиката на функцията y = sinx нейното c "> 0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягане (за K>1 чрез разтягане K пъти) по оста Oy Графиката на функцията y = Ksin (x) (K>0) може да се получи от графиката на функцията y = sinx чрез нейното компресиране (с 01 разтягане. по K пъти) по оста Oy. Графиката на функцията y = Ksin (x) (K>0) може да се получи от графиката на функцията y = sinx it с" title=" Алгоритъм за построяване на графики). : Графиката на функцията y = Ksin (x) (K>0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягане (за K> 1 разтягане с K пъти) по оста Oy на функцията y = Ksin (x) (K>0) може да се получи от графиката на функцията y = sinx с нея"> title="Алгоритъм за построяване на графики: Графиката на функцията y = Ksin (x) (K>0) може да се получи от графиката на функцията y = sin x чрез разтягане (за K>1 чрез разтягане с фактор K ) по оста Oy. Графиката на функцията y = Кsin (x) (К>0) може да се получи от графиката на функцията y = sinx тя с">!}
1 разтягане 0 1 разтягане 0 10 10 Компресия и разтягане към оста x K > 1 разтягане 0 1 разтягане 0 1 разтягане 0 1 разтягане 0 1 разтягане 0 title="10 Компресия и разтягане към оста x K > 1 разтягане 0
13 Преместване по ординатната ос Постройте графика на функцията y=sins+3 Построете графика на функцията y=sins-3 + нагоре - надолу y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Трансформация на графиката
X y 1 -2 Проверка: y 1 = sinx; y 2 = sinx + 2; y 3 = sinx
Конспекти от уроци по алгебра в 10 клас
Василиева Екатерина Сергеевна,
учител по математика
OGBOU "Смоленск специален (поправителен)
общообразователно училище I и II тип"
Смоленск
Тема на урока: „Преобразуване на графики на тригонометрични функции.“
Имемодул: конвертиране на графики на тригонометрични функции. Интегриранедидактическицел: практикуват умения за построяване на графики на тригонометрични функции. Целеви план за действие за учениците:
- преглед на основните свойства на тригонометричните функции; упражняват уменията за преобразуване на графики на тригонометрични функции; насърчаване на развитието на логическото мислене; култивирайте интерес към изучаването на предмета.
Банка информация.
Входящ контрол. Назовете свойствата на функциите y = sin x (фиг. 1).ориз. 1
Свойства:
- D(y)=R E(y)=[-1;1], функцията е ограничена sin(-x)=-sinx, функцията е нечетна Минимален положителен период: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 при x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Най-голям стойността, равна на 1, y=sin x приема в точките x=π/2+ 2πk, k Є Z. Най-малката стойност, равна на -1, y=sin x приема в точките x=3π/2+ 2πk, k Є Z.
ориз. 2
Свойства:
- D (y)=RE (y)=[-1;1], функцията е ограничена cos(-x)= cos x, функцията е четна Минимален положителен период: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+ 2πk), k Є Z cos x Най-голямата стойност, равна на 1, y=cos x приема в точки x= 2πk, k Є Z. Най-малката стойност, равна на -1, y=cos x приема в точки x=π+ 2πk , k Є Z.
ориз . 3
Свойства:
- D(y)-множество от всички реални числа, с изключение на числа от вида x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), неограничена функция tg(-x)=-tg x , нечетна функция най-малък положителен период: π
tg(x+π)= tan x tgx= 0 при x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x
ориз. 4
Свойства:
- D(y)-множество от всички реални числа, с изключение на числа от вида x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), неограничена функция ctg(-x)=-ctg x, нечетна функция Минимум положителен период: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x
Обяснение на материала.
- г=
f(х)+
а, където a е постоянно число, трябва да преместите графиката г=
f(х)
по ординатната ос. Ако a>0, тогава преместваме графиката успоредна на себе си нагоре, ако a За да построим графика на функцията г=
kf(х)
трябва да разтегнем графиката на функцията г=
f(х)
V к
пъти по ординатната ос. Ако |
к|>1
, тогава графиката се разтяга по оста ой, Ако 0к| , след това – компресия. Графика на функция г=
f(х+
b)
получени от графиката г=
f(х)
чрез паралелна транслация по абсцисната ос. Ако b>0, тогава графиката се премества наляво, ако b
Да начертаете графика на функция г= f(kx) трябва да разтегнете графика г= f(х) по абсцисната ос. Ако | к|>1 , тогава графиката се компресира по оста ОХ, ако 0
Фиксиране на материала.
Ниво А
Частнодидактическицел: упражняват уменията за конструиране на тригонометрични функции с помощта на трансформации.
МетодическикоментарЗастуденти:
вол 3 пъти.
Графиката на функция се получава от графика чрез разтягане по оста ой 2 пъти.
Графиката на функция се получава от графиката чрез паралелно преместване 2 единици нагоре по оста ой.
Графиката на функция се получава от графиката чрез паралелно преместване по абсцисната ос с единици вляво.
Ж 
Графиката на функция се получава от графиката чрез компресиране по оста ой 4 пъти.
Ниво Б.
Частнодидактическицел: тригонометриченфункции от последователенприлагане на трансформации.
МетодическикоментарЗастуденти: конструиране на графики на функции чрез извършване на трансформации.
Графиката на функция се получава от графиката чрез паралелно преместване по абсцисната ос с единици надясно.
Графиката на функция се получава от графиката на функция чрез последователно извършване на следните трансформации:
1) паралелен превод с единици вляво по абсцисната ос
2) компресия по оста Oy 4 пъти .
Графиката на функцията се получава от графиката на функцията, всяка ордината на която се променя с коефициент -2. За да направим това, извършваме следните трансформации:
1) показват симетрично спрямо оста вол,
2) разтегнете 2 пъти по оста ой.
последователенизвършете следните трансформации:
1) компресия по абсцисната ос 2 пъти;
2) разтягане V 3 пъти заедно оси ой;
3) паралелен трансфер на 1 единица нагоре заедно оси ордината.
Ниво СЪС .
Частнодидактическицел: практикувайте умения за рисуване на графики тригонометриченфункции от последователенприлагане на трансформации.
Методически коментар За студенти : моля посочете , който трансформация трябва да изпълнявам За строителство графики . Изграждане графики .
1. 
Графиката на функция се получава от графиката на функция чрез последователно извършване на следните трансформации:
1) дисплеят е симетричен спрямо оста вол,
2) компресия 2 пъти по оста Oy;
3) паралелно преместване 2 единици надолу по оста Oy.
2.
Графиката на функция се получава от графиката на функция последователенизвършвайки следните трансформации: оказва се www. летищен портал. ru/ услуги/ графика. html
