გავაანალიზოთ ფუნქციის თვისებები სქემის მიხედვით: გავაანალიზოთ სქემის მიხედვით: 1. ფუნქციის განსაზღვრის დომენი 1. ფუნქციის განსაზღვრის დომენი 2. ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე 2. მნიშვნელობათა სიმრავლე ფუნქციის 3. ფუნქციის ნულები 3. ფუნქციის ნულები 4. ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები 4. ფუნქციის მუდმივი ნიშნის ინტერვალები 5. ფუნქციის ლუწი ან კენტი 5. ლუწი ან კენტი ფუნქციის ფუნქცია 6. ფუნქციის ერთფეროვნება 7. ფუნქციის უდიდესი და უმცირესი მნიშვნელობები 8. ფუნქციის პერიოდულობა 9. ფუნქციის შეზღუდულობა. ფუნქციის

0 x R-სთვის. 5) ფუნქცია არც ლუწია და არც "title=" ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი გრაფიკი და თვისებები y x 1 o 1) განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე (D(y)= რ). 2) მნიშვნელობების სიმრავლე არის ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე (E(y)=R +). 3) არ არსებობს ნულები. 4) y>0 x R-სთვის. 5) ფუნქცია არც ლუწია და არც" class="link_thumb"> 10 !}ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი გრაფიკი და თვისებები y x 1 o 1) განსაზღვრების სფერო არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე (D(y)=R). 2) მნიშვნელობების სიმრავლე არის ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე (E(y)=R +). 3) არ არსებობს ნულები. 4) y>0 x R-სთვის. 5) ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი. 6) ფუნქცია მონოტონურია: ის იზრდება R-ით, როდესაც a>1 და მცირდება R-ით, როდესაც 0 0 x R-სთვის. 5) ფუნქცია არც ლუწია და არც "> 0 x R-სთვის. 5) ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი. 6) ფუნქცია მონოტონურია: ის იზრდება R-ზე a>1-ისთვის და მცირდება R-ისთვის 0"> 0 x R-სთვის. 5) ფუნქცია არც ლუწია და არც " title=" ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი გრაფიკი და თვისებები y x 1 o 1) განსაზღვრების დომენი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე (D( y)=R). 2) მნიშვნელობების სიმრავლე არის ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე (E(y)=R +). 3) არ არსებობს ნულები. 4) y>0 x R-სთვის. 5) ფუნქცია არც ლუწია და არც"> title="ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი გრაფიკი და თვისებები y x 1 o 1) განსაზღვრების სფერო არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე (D(y)=R). 2) მნიშვნელობების სიმრავლე არის ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე (E(y)=R +). 3) არ არსებობს ნულები. 4) y>0 x R-სთვის. 5) ფუნქცია არც ლუწია და არც"> !}

ხის ზრდა ხდება კანონის მიხედვით, სადაც: ა - ხის რაოდენობის ცვლილება დროთა განმავლობაში; A 0 - ხის საწყისი რაოდენობა; t-დრო, k, a- ზოგიერთი მუდმივი. ხის ზრდა ხდება კანონის მიხედვით, სადაც: ა - ხის რაოდენობის ცვლილება დროთა განმავლობაში; A 0 - ხის საწყისი რაოდენობა; t-დრო, k, a- ზოგიერთი მუდმივი. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn A A0A0 A1A1 A2A2 A3A3 AnAn

ქვაბის ტემპერატურა იცვლება კანონის მიხედვით, სადაც: T არის ქვაბის ტემპერატურის ცვლილება დროთა განმავლობაში; T 0 - წყლის დუღილის წერტილი; t-დრო, k, a- ზოგიერთი მუდმივი. ქვაბის ტემპერატურა იცვლება კანონის მიხედვით, სადაც: T არის ქვაბის ტემპერატურის ცვლილება დროთა განმავლობაში; T 0 - წყლის დუღილის წერტილი; t-დრო, k, a- ზოგიერთი მუდმივი. t 0 t0t0 t1t1 t2t2 t3t3 tntn T T0T0 T1T1 T2T2 T3T3

რადიოაქტიური დაშლა ხდება კანონის მიხედვით, სადაც: რადიოაქტიური დაშლა ხდება კანონის მიხედვით, სადაც: N არის გაუფუჭებელი ატომების რაოდენობა ნებისმიერ დროს t; N 0 - ატომების საწყისი რაოდენობა (t=0 დროს); t-დრო; N არის გაუფუჭებელი ატომების რიცხვი ნებისმიერ დროს t; N 0 - ატომების საწყისი რაოდენობა (t=0 დროს); t-დრო; T - ნახევარგამოყოფის პერიოდი. T - ნახევარგამოყოფის პერიოდი. t 0 t 1 t 2 N N3N3 N4N4 t4t4 N0N0 t3t3 N2N2 N1N1

C ორგანული პროცესების და რაოდენობების ცვლილების არსებითი თვისებაა ის, რომ დროის თანაბარი პერიოდის განმავლობაში იცვლება ხის სიდიდე ერთიდაიგივე თანაფარდობით. რადიოაქტიური დაშლა

შეადარეთ რიცხვები 1.3 34 და 1.3 40. მაგალითი 1. შეადარეთ რიცხვები 1.3 34 და 1.3 40. ამოხსნის ზოგადი მეთოდი. 1. წარმოადგინეთ რიცხვები ხარისხებად ერთი და იგივე ფუძით (საჭიროების შემთხვევაში) 1.3 34 და 1. გაარკვიეთ, ექსპონენციალური ფუნქცია a = 1.3 იზრდება თუ მცირდება; a>1, მაშინ ექსპონენციალური ფუნქცია იზრდება. a=1.3; a>1, მაშინ ექსპონენციალური ფუნქცია იზრდება. 3. შეადარეთ მაჩვენებლები (ან ფუნქციის არგუმენტები) 34 1, მაშინ ექსპონენციალური ფუნქცია იზრდება. a=1.3; a>1, მაშინ ექსპონენციალური ფუნქცია იზრდება. 3. შეადარეთ ექსპონენტები (ან ფუნქციის არგუმენტები) 34">

გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება 3 x = 4-x. მაგალითი 2. გრაფიკულად ამოხსენით განტოლება 3 x = 4-x. განტოლებების ამოსახსნელად ვიყენებთ ფუნქციურ-გრაფიკულ მეთოდს: ავაშენებთ y=3x და y=4x ფუნქციების გრაფიკებს ერთ კოორდინატულ სისტემაში. y=3x და y=4x ფუნქციების გრაფიკები. შევნიშნავთ, რომ მათ აქვთ ერთი საერთო წერტილი (1;3). ეს ნიშნავს, რომ განტოლებას აქვს ერთი ფესვი x=1. პასუხი: 1 პასუხი: 1 y=4's

4. მაგალითი 3. გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x. გამოსავალი. y=4-x უტოლობების ამოსახსნელად ვიყენებთ ფუნქციურ-გრაფიკულ მეთოდს: 1. ავაშენოთ ერთ სისტემაში 1. ავაშენოთ ერთ კოორდინატულ სისტემურ გრაფიკებში " title=" გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x მაგალითი 3. ამოხსნის გრაფიკული უტოლობა y = 4-x." class="link_thumb"> 24 !}გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x. მაგალითი 3. გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x. გამოსავალი. y=4-x უტოლობების ამოსახსნელად ვიყენებთ ფუნქციურ-გრაფიკულ მეთოდს: 1. ავაშენოთ ერთ კოორდინატულ სისტემაში კოორდინატთა ფუნქციების გრაფიკები y=3 x და y=4-x ფუნქციების გრაფიკები. 2. ავირჩიოთ y=3x ფუნქციის გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს y=4x ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ (> ნიშნიდან). 3. x ღერძზე მონიშნეთ ის ნაწილი, რომელიც შეესაბამება გრაფიკის შერჩეულ ნაწილს (სხვა სიტყვებით: გრაფიკის შერჩეული ნაწილის დაპროექტება x ღერძზე). 4. პასუხი დავწეროთ ინტერვალის სახით: პასუხი: (1;). პასუხი: (1;). 4. მაგალითი 3. გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x. გამოსავალი. y = 4-x უტოლობების ამოხსნისთვის ვიყენებთ ფუნქციურ-გრაფიკულ მეთოდს: 1. ავაშენოთ ერთ სისტემაში 1. ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები "> 4-x ერთ კოორდინატულ სისტემაში. მაგალითი 3. გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x ამოხსნა y =4-x უტოლობების ამოსახსნელად ვიყენებთ ფუნქციურ-გრაფიკულ მეთოდს: 1. ავაშენოთ ფუნქციების კოორდინატთა გრაფიკები y=3 x და y=4-x. აირჩიეთ y=3 ფუნქციის გრაფიკის ნაწილი, რომელიც მდებარეობს y=4-x ფუნქციის ზემოთ (რადგან > ნიშანი). გრაფიკის (სხვა სიტყვებით: გრაფიკის შერჩეული ნაწილის დაპროექტება x-ღერძზე 4. ჩაწერეთ პასუხი ინტერვალის სახით: პასუხი: (1;)."> 4. მაგალითი 3. გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x. გამოსავალი. y=4-x უტოლობების ამოსახსნელად ვიყენებთ ფუნქციურ-გრაფიკულ მეთოდს: 1. ავაშენოთ ერთ სისტემაში 1. ავაშენოთ ერთ კოორდინატულ სისტემურ გრაფიკებში " title=" გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x მაგალითი 3. ამოხსნის გრაფიკული უტოლობა y = 4-x."> title="გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x. მაგალითი 3. გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 3 x > 4-x. გამოსავალი. y=4-x უტოლობების ამოსახსნელად ვიყენებთ ფუნქციურ-გრაფიკულ მეთოდს: 1. ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები ერთ კოორდინატულ სისტემაში."> !}

გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა: 1) 2 x >1; 2) 2 x 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x "> 1; 2) 2 x " title=" გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა: 1) 2 x >1; 2) 2 x"> title="გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა: 1) 2 x >1; 2) 2 x"> !}

დამოუკიდებელი სამუშაო (ტესტი) 1. მიუთითეთ ექსპონენციალური ფუნქცია: 1. მიუთითეთ ექსპონენციალური ფუნქცია: 1) y=x 3 ; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x2; 2) y=x -1; 3) y=-4+2 x; 4) y=0.32 x. 1) y=x2; 2) y=x -1; 3) y=-4+2 x; 4) y=0.32 x. 2. მიუთითეთ ფუნქცია, რომელიც იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე: 2. მიუთითეთ ფუნქცია, რომელიც იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე: 1) y = (2/3) -x; 2) y=2 -x; 3) y = (4/5) x; 4) y =0,9 x. 1) y = (2/3) -x; 2) y=2 -x; 3) y = (4/5) x; 4) y =0,9 x. 1) y = (2/3) x; 2) y=7,5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y =0,1 x. 1) y = (2/3) x; 2) y=7,5 x; 3) y = (3/5) x; 4) y =0,1 x. 3. მიუთითეთ ფუნქცია, რომელიც მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე: 3. მიუთითეთ ფუნქცია, რომელიც მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე: 1) y = (3/11) -x; 2) y=0.4 x; 3) y = (10/7) x; 4) y = 1,5 x. 1) y = (2/17) -x; 2) y=5,4 x; 3) y =0,7 x; 4) y =3 x. 4. მიუთითეთ y=3 -2 x -8 ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე: 4. მიუთითეთ y=2 x+1 +16 ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე: 5. მიუთითეთ მოცემულიდან ყველაზე პატარა რიცხვები: 5. მიუთითეთ მოცემული რიცხვებიდან უმცირესი: 1) 3 - 1/3 ; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3 ; 4) 1 -1/3. 1) 3 -1/3; 2) 27 -1/3; 3) (1/3) -1/3 ; 4) 1 -1/3. 5. მიუთითეთ ამ რიცხვებიდან ყველაზე დიდი: 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2 ; 4) 1 -1/2. 1) 5 -1/2; 2) 25 -1/2; 3) (1/5) -1/2 ; 4) 1 -1/2. 6. გრაფიკულად გაარკვიეთ რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას 2 x = x -1/3 (1/3) x = x 1/2. /3) აქვს x = x 1/2 1) 1 ფესვი; 2) 2 ფესვი; 3) 3 ფესვი; 4) 4 ფესვი.

1. მიუთითეთ ექსპონენციალური ფუნქცია: 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x+1. 1) y=x 3; 2) y=x 5/3; 3) y=3 x+1; 4) y=3 x მიუთითეთ ფუნქცია, რომელიც იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე: 2. მიუთითეთ ფუნქცია, რომელიც იზრდება განსაზღვრების მთელ დომენზე: 1) y = (2/3)-x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y =0,9 x. 1) y = (2/3)-x; 2) y=2-x; 3) y = (4/5)x; 4) y =0,9 x. 3. მიუთითეთ ფუნქცია, რომელიც მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე: 3. მიუთითეთ ფუნქცია, რომელიც მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე: 1) y = (3/11)-x; 2) y=0.4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1,5 x. 1) y = (3/11)-x; 2) y=0.4 x; 3) y = (10/7)x; 4) y = 1,5 x. 4. მიუთითეთ y=3-2 x-8 ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე: 4. მიუთითეთ y=3-2 x-8 ფუნქციის მნიშვნელობების სიმრავლე: 5. მიუთითეთ მოცემულიდან ყველაზე პატარა რიცხვები: 5. მიუთითეთ მოცემული რიცხვებიდან უმცირესი: 1) 3- 1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 1) 3-1/3; 2) 27-1/3; 3) (1/3)-1/3; 4) 1-1/3. 6. გრაფიკულად გაარკვიე რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას 2 x=x- 1/3 6. გრაფიკულად გაარკვიე რამდენი ფესვი აქვს განტოლებას 2 x=x- 1/3 1) 1 ფესვი; 2) 2 ფესვი; 3) 3 ფესვი; 4) 4 ფესვი. 1) 1 ფესვი; 2) 2 ფესვი; 3) 3 ფესვი; 4) 4 ფესვი.

სატესტო სამუშაო აირჩიეთ ექსპონენციალური ფუნქციები, რომლებიც: აირჩიეთ ექსპონენციალური ფუნქციები, რომლებიც: ვარიანტი I – მცირდება განსაზღვრების დომენზე; ვარიანტი I - შემცირება განსაზღვრის არეალში; ვარიანტი II - იზრდება განმარტების არეალში. ვარიანტი II - იზრდება განმარტების არეალში.

ფოკუსირება: განმარტება. ფუნქცია სახეობას უწოდებენ .

ექსპონენციალური ფუნქცია კომენტარი. გამორიცხვა საბაზისო მნიშვნელობებისგანა ნომრები 0; 1 და კომენტარი. გამორიცხვა საბაზისო მნიშვნელობებისგანუარყოფითი მნიშვნელობები

აიხსნება შემდეგი გარემოებებით: თავად ანალიტიკური გამოხატულება a x ამ შემთხვევაში, ის ინარჩუნებს თავის მნიშვნელობას და შეიძლება გამოყენებულ იქნას პრობლემების გადაჭრაში. მაგალითად, გამოხატვისთვის x წ წერტილი = 1 x = 1; წ

არის მისაღები მნიშვნელობების ფარგლებში.

ფუნქციების გრაფიკების აგება: და.
ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი y = ა x	ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი y = ა , 0< a < 1

, a > 1

ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები	ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი y = ა x	ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკი y = ა , 0< a < 1
ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები
ფუნქციის დომენი
2. ფუნქციის დიაპაზონი	3. ერთეულთან შედარების ინტერვალები აზე ა > 1	3. ერთეულთან შედარების ინტერვალები ა > 0, 0< a ა < 1
	3. ერთეულთან შედარების ინტერვალები ა < 0, 0< a ა < 1	3. ერთეულთან შედარების ინტერვალები ა < 0, a ა > 1
> 0, ა	4. ლუწი, კენტი.
ფუნქცია არც ლუწია და არც კენტი (ზოგადი ფორმის ფუნქცია).	5.ერთფეროვნება. მონოტონურად იზრდება	რ მონოტონურად იზრდება
მონოტონურად მცირდება	6. უკიდურესობები.
ექსპონენციალურ ფუნქციას არ აქვს ექსტრემები.	7.ასიმპტოტი O-ღერძი x
არის ჰორიზონტალური ასიმპტოტი. ა 8. ნებისმიერი რეალური ღირებულებებისთვის და;

წ

ცხრილის შევსებისას ამოცანები წყდება შევსების პარალელურად.

რა არგუმენტების მნიშვნელობები მოქმედებს ფუნქციებისთვის:

დავალება No2. (ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონის საპოვნელად).

სურათზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკი. მიუთითეთ ფუნქციის განსაზღვრის დომენი და მნიშვნელობების დიაპაზონი:

დავალება No 3. (ერთთან შედარების ინტერვალების მითითება).

შეადარეთ თითოეული შემდეგი ძალა ერთთან:

დავალება No 4. (ფუნქციის შესწავლა ერთფეროვნებისთვის).

შეადარეთ რეალური რიცხვები ზომის მიხედვით მდა ნთუ:

ამოცანა No5. (ფუნქციის შესწავლა ერთფეროვნებისთვის).

გამოიტანე დასკვნა საფუძვლებთან დაკავშირებით კომენტარი. გამორიცხვა საბაზისო მნიშვნელობებისგან, თუ:

y(x) = 10 x ; f(x) = 6 x ; z(x) - 4 x

როგორ არის ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები ერთმანეთთან შედარებით x > 0, x = 0, x< 0?

ფუნქციის გრაფიკები აშენდა ერთ კოორდინატულ სიბრტყეში:

y(x) = (0,1) x ; f(x) = (0.5) x ; z(x) = (0.8) x.

როგორ არის ექსპონენციალური ფუნქციების გრაფიკები ერთმანეთთან შედარებით x > 0, x = 0, x< 0?

ნომერი ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი მუდმივი მათემატიკაში. განმარტებით, ის მიმდევრობის ზღვრის ტოლი შეუზღუდავად იზრდება n . აღნიშვნაე შევიდა ლეონარდ ეილერი 1736 წელს. მან გამოთვალა ამ რიცხვის პირველი 23 ციფრი ათწილადის აღნიშვნით და თავად რიცხვს ნაპიერის პატივსაცემად ეწოდა "არაპიერის რიცხვი". აღნიშვნანომერი განსაკუთრებულ როლს თამაშობს მათემატიკურ ანალიზში. ექსპონენციალური ფუნქცია აღნიშვნა, ბაზით ე.წ და დანიშნულია. y = e x პირველი ნიშნები აღნიშვნანომრები ადვილად დასამახსოვრებელი:

ორი, მძიმე, შვიდი, ლეო ტოლსტოის დაბადების წელი - ორჯერ, ორმოცდახუთი, ოთხმოცდაათი, ორმოცდახუთი.

საშინაო დავალება:

კოლმოგოროვის პუნქტი 35; No445-447; 451; 453.

გაიმეორეთ მოდულის ნიშნის ქვეშ ცვლადის შემცველი ფუნქციების გრაფიკების აგების ალგორითმი.

პრეზენტაციის გადახედვის გამოსაყენებლად შექმენით Google ანგარიში და შედით მასში: https://accounts.google.com

სლაიდის წარწერები:

MAOU "სლადკოვსკაიას საშუალო სკოლა" ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი, კლასი 10

y = a x ფორმის ფუნქციას, სადაც a არის მოცემული რიცხვი, a > 0, a ≠ 1, x-ცვლადი, ეწოდება ექსპონენციალური.

ექსპონენციალურ ფუნქციას აქვს შემდეგი თვისებები: O.O.F: ყველა რეალური რიცხვის R სიმრავლე; მრავალვალენტიანი: ყველა დადებითი რიცხვის სიმრავლე; ექსპონენციალური ფუნქცია y=a x იზრდება ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლეზე, თუ a>1 და მცირდება, თუ 0

ექსპონენციალური ფუნქციის მზარდი და კლებადი თვისებების გამოყენებით, შეგიძლიათ შეადაროთ რიცხვები და ამოხსნათ ექსპონენციალური უტოლობები. შეადარეთ: ა) 5 3 და 5 5; ბ) 4 7 და 4 3; გ) 0,2 2 და 0,2 6; დ) 0,9 2 და 0,9. ამოხსნით: ა) 2 x >1; ბ) 13 x+1 0,7; დ) 0.04 x a b ან a x 1, შემდეგ x>b (x

გრაფიკულად ამოხსენით განტოლებები: 1) 3 x =4-x, 2) 0,5 x =x+3.

თუ მდუღარე ქვაბს ცეცხლიდან ამოიღებთ, ის ჯერ სწრაფად გაცივდება, შემდეგ კი გაცივება ხდება ბევრად ნელა, ეს ფენომენი აღწერილია ფორმულით T = (T 1 - T 0) e - kt + T 1 გამოყენება ექსპონენციალური ფუნქცია ცხოვრებაში, მეცნიერებასა და ტექნოლოგიაში

ხის ზრდა ხდება კანონის მიხედვით: ა - ხის რაოდენობის ცვლილება დროთა განმავლობაში; A 0 - ხის საწყისი რაოდენობა; t - დრო, k, a - ზოგიერთი მუდმივი. ჰაერის წნევა მცირდება სიმაღლესთან ერთად კანონის მიხედვით: P არის წნევა h სიმაღლეზე, P0 არის წნევა ზღვის დონეზე და არის გარკვეული მუდმივი.

მოსახლეობის ზრდა ქვეყანაში ხალხის რაოდენობის ცვლილება მოკლე დროში აღწერილია ფორმულით, სადაც N 0 არის ხალხის რაოდენობა t=0 დროს, N არის ხალხის რაოდენობა t დროს, a არის მუდმივი.

ორგანული გამრავლების კანონი: ხელსაყრელ პირობებში (მტრების არარსებობა, საკვების დიდი რაოდენობა) ცოცხალი ორგანიზმები მრავლდებოდნენ ექსპონენციალური ფუნქციის კანონის მიხედვით. მაგალითად: ერთ შინაურ ბუზს შეუძლია ზაფხულში 8 x 10 14 შთამომავლობის გაჩენა. მათი წონა იქნებოდა რამდენიმე მილიონი ტონა (და ბუზების წყვილის წონა გადააჭარბებდა ჩვენს პლანეტას), დაიკავებდნენ უზარმაზარ სივრცეს და ჯაჭვში რომ იყვნენ გაფორმებული, მისი სიგრძე უფრო დიდი იქნებოდა. ვიდრე მანძილი დედამიწიდან მზემდე. მაგრამ იმის გამო, რომ ბუზების გარდა, არსებობს მრავალი სხვა ცხოველი და მცენარე, რომელთაგან ბევრი ბუზების ბუნებრივი მტერია, მათი რიცხვი არ აღწევს ზემოთ მოცემულ მნიშვნელობებს.

როდესაც რადიოაქტიური ნივთიერება იშლება, მისი რაოდენობა მცირდება, გარკვეული დროის შემდეგ თავდაპირველი ნივთიერების ნახევარი რჩება. დროის ამ პერიოდს t 0 ეწოდება ნახევარგამოყოფის პერიოდი. ზოგადი ფორმულაამ პროცესისთვის: m = m 0 (1/2) -t/t 0, სადაც m 0 არის ნივთიერების საწყისი მასა. რაც უფრო გრძელია ნახევარგამოყოფის პერიოდი, მით უფრო ნელა იშლება ნივთიერება. ეს ფენომენი გამოიყენება არქეოლოგიური აღმოჩენების ასაკის დასადგენად. მაგალითად, რადიუმი იშლება კანონის მიხედვით: M = M 0 e -kt. ამ ფორმულის გამოყენებით მეცნიერებმა გამოთვალეს დედამიწის ასაკი (რადიუმი იშლება დაახლოებით დედამიწის ასაკის ტოლ დროში).

თემაზე: მეთოდოლოგიური განვითარება, პრეზენტაციები და შენიშვნები

სასწავლო პროცესში ინტეგრაციის გამოყენება, როგორც ანალიტიკური და შემოქმედებითი შესაძლებლობების განვითარების საშუალება....

პრეზენტაცია „ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი“ ნათლად არის წარმოდგენილი სასწავლო მასალაამ თემაზე. პრეზენტაციის დროს დეტალურად განიხილება ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები, მისი ქცევა კოორდინატულ სისტემაში, განხილულია ამოცანების ამოხსნის მაგალითები ფუნქციის თვისებების, განტოლებებისა და უტოლობების გამოყენებით, შესწავლილია მნიშვნელოვანი თეორემები თემაზე. პრეზენტაციის დახმარებით მასწავლებელს შეუძლია გააუმჯობესოს მათემატიკის გაკვეთილის ეფექტურობა. მასალის ნათელი პრეზენტაცია ხელს უწყობს მოსწავლეების ყურადღების შენარჩუნებას თემის შესწავლაზე, ხოლო ანიმაციური ეფექტები ხელს უწყობს პრობლემების გადაჭრის უფრო ნათლად დემონსტრირებას. ცნებების, თვისებებისა და ხსნარის მახასიათებლების უფრო სწრაფად დასამახსოვრებლად გამოიყენება ფერის ხაზგასმა.

დემონსტრირება იწყება y=3 x ექსპონენციალური ფუნქციის მაგალითებით სხვადასხვა მაჩვენებლებით - დადებითი და უარყოფითი მთელი რიცხვები, წილადები და ათწილადები. თითოეული ინდიკატორისთვის გამოითვლება ფუნქციის მნიშვნელობა. შემდეგი, გრაფიკი აგებულია იმავე ფუნქციისთვის. მე-2 სლაიდზე აგებულია ცხრილი, რომელიც ივსება y = 3 x ფუნქციის გრაფიკის კუთვნილი წერტილების კოორდინატებით. კოორდინატულ სიბრტყეზე ამ წერტილებზე დაყრდნობით აგებულია შესაბამისი გრაფიკი. მსგავსი გრაფიკები y=2 x, y=5 x და y=7 x აგებულია გრაფიკის გვერდით. თითოეული ფუნქცია მონიშნულია სხვადასხვა ფერში. ამ ფუნქციების გრაფიკები შედგენილია იმავე ფერებში. ცხადია, ექსპონენციალური ფუნქციის ფუძის ზრდასთან ერთად, გრაფიკი უფრო ციცაბო ხდება და უახლოვდება ორდინატთა ღერძს. იგივე სლაიდი აღწერს ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებებს. აღინიშნა, რომ განსაზღვრების დომენი არის რიცხვითი წრფე (-∞;+∞), ფუნქცია არ არის ლუწი ან კენტი, განსაზღვრების ყველა დომენზე ფუნქცია იზრდება და არ აქვს უდიდესი ან უმცირესი მნიშვნელობა. ექსპონენციალური ფუნქცია შემოსაზღვრულია ქვემოთ, მაგრამ არა შემოსაზღვრული ზევით, განუწყვეტელი განსაზღვრების დომენზე და ამოზნექილი ქვემოთ. ფუნქციის მნიშვნელობების დიაპაზონი ეკუთვნის ინტერვალს (0;+∞).

სლაიდ 4 წარმოადგენს y = (1/3) x ფუნქციის შესწავლას. აგებულია ფუნქციის გრაფიკი. ამისათვის ცხრილი ივსება ფუნქციის გრაფიკის კუთვნილი წერტილების კოორდინატებით. ამ წერტილების გამოყენებით, გრაფიკი აგებულია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაზე. ფუნქციის თვისებები აღწერილია ახლოს. აღნიშნულია, რომ განმარტების დომენი არის მთელი რიცხვითი ღერძი. ეს ფუნქცია არ არის კენტი ან ლუწი, მცირდება განსაზღვრების მთელ დომენზე და არ აქვს მაქსიმალური ან მინიმალური მნიშვნელობა. ფუნქცია y=(1/3) x შემოსაზღვრულია ქვემოდან და შეუზღუდავი ზემოდან, უწყვეტია განსაზღვრების დომენში და აქვს ქვევით ამოზნექილი. მნიშვნელობების დიაპაზონი არის დადებითი ნახევრადღერძი (0;+∞).

y = (1/3) x ფუნქციის მოცემული მაგალითის გამოყენებით, ჩვენ შეგვიძლია გამოვყოთ ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებები ერთზე ნაკლები დადებითი ფუძით და განვმარტოთ მისი გრაფიკის იდეა. სლაიდი 5 აჩვენებს ასეთი ფუნქციის ზოგად ხედს y = (1/a) x, სადაც 0

სლაიდი 6 ადარებს y=(1/3) x და y=3 x ფუნქციების გრაფიკებს. ჩანს, რომ ეს გრაფიკები სიმეტრიულია ორდინატთან მიმართებაში. იმისათვის, რომ შედარება უფრო ნათელი გახდეს, გრაფიკები შეღებილია იმავე ფერებში, როგორც ფუნქციის ფორმულები.

შემდეგი, წარმოდგენილია ექსპონენციალური ფუნქციის განმარტება. მე-7 სლაიდზე ჩარჩოში მონიშნულია განმარტება, რომელიც მიუთითებს, რომ y = a x ფორმის ფუნქციას, სადაც დადებითი a, არ უდრის 1-ს, ეწოდება ექსპონენციალური. შემდეგ, ცხრილის გამოყენებით, ჩვენ შევადარებთ ექსპონენციალურ ფუნქციას 1-ზე მეტი ფუძით და დადებითი 1-ზე ნაკლები. ცხადია, ფუნქციის თითქმის ყველა თვისება მსგავსია, მხოლოდ a-ზე მეტი ფუძის მქონე ფუნქცია იზრდება და 1-ზე ნაკლები ფუძით ის მცირდება.

მაგალითების გადაწყვეტა განიხილება ქვემოთ. მაგალით 1-ში აუცილებელია 3 x =9 განტოლების ამოხსნა. განტოლება იხსნება გრაფიკულად - გამოსახულია y=3 x ფუნქციის გრაფიკი და y=9 ფუნქციის გრაფიკი. ამ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილია M(2;9). შესაბამისად, განტოლების ამონახსნი არის მნიშვნელობა x=2.

სლაიდი 10 აღწერს 5 x =1/25 განტოლების ამოხსნას. წინა მაგალითის მსგავსად, განტოლების ამოხსნა განისაზღვრება გრაფიკულად. ნაჩვენებია y=5 x და y=1/25 ფუნქციების გრაფიკების აგება. ამ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილი არის წერტილი E(-2;1/25), რაც ნიშნავს, რომ განტოლების ამონახსნი არის x=-2.

შემდეგი, შემოთავაზებულია განიხილოს 3 x უტოლობის ამოხსნა<27. Решение выполняется графически - определяется точка пересечения графиков у=3 х и у=27. Затем на плоскости координат хорошо видно, при каких значениях аргумента значения функции у=3 х будут меньшими 27 - это промежуток (-∞;3). Аналогично выполняется решение задания, в котором нужно найти множество решений неравенства (1/4) х <16. На координатной плоскости строятся графики функций, соответствующих правой и левой части неравенства и сравниваются значения. Очевидно, что решением неравенства является промежуток (-2;+∞).

შემდეგ სლაიდებში წარმოდგენილია მნიშვნელოვანი თეორემები, რომლებიც ასახავს ექსპონენციალური ფუნქციის თვისებებს. თეორემა 1 ამბობს, რომ დადებითი a-სთვის ტოლობა a m = a n მოქმედებს, როდესაც m = n. თეორემა 2 ამბობს, რომ დადებითი a-სთვის y=a x ფუნქციის მნიშვნელობა იქნება 1-ზე მეტი დადებითი x-ისთვის და 1-ზე ნაკლები უარყოფითი x-ისთვის. განცხადებას ადასტურებს ექსპონენციალური ფუნქციის გრაფიკის გამოსახულება, რომელიც გვიჩვენებს ფუნქციის ქცევას განსაზღვრების დომენის სხვადასხვა ინტერვალებში. თეორემა 3 აღნიშნავს, რომ 0-ისთვის

შემდეგ, რათა დაეხმარონ მოსწავლეებს მასალის ათვისებაში, განიხილავენ შესწავლილი თეორიული მასალის გამოყენებით ამოცანების გადაჭრის მაგალითებს. მე-5 მაგალითში აუცილებელია y=2·2 x +3 ფუნქციის გრაფიკის აგება. ფუნქციის გრაფიკის აგების პრინციპი ნაჩვენებია y = a x + a + b ფორმაში გადაქცევით. ფუნქცია y = 2 x აგებულია ამ საწყისის მიმართ.

სლაიდი 18 უყურებს 7 x = 8-x განტოლების გრაფიკულ ამონახს. აგებულია სწორი ხაზი y=8x და y=7x ფუნქციის გრაფიკი. გრაფიკების გადაკვეთის წერტილის აბსციზა x=1 არის განტოლების ამონახსნი. ბოლო მაგალითი აღწერს უტოლობის ამოხსნას (1/4) x =x+5. გამოსახულია უტოლობის ორივე მხარის გრაფიკები და აღნიშნულია, რომ მისი ამოხსნა არის მნიშვნელობები (-1;+∞), რომლებზეც y=(1/4) x ფუნქციის მნიშვნელობები ყოველთვის ნაკლებია. მნიშვნელობები y=x+5.

სასკოლო მათემატიკის გაკვეთილის ეფექტურობის ასამაღლებლად რეკომენდებულია პრეზენტაცია „ექსპონენციალური ფუნქცია, მისი თვისებები და გრაფიკი“. პრეზენტაციის მასალის სიცხადე ხელს შეუწყობს სასწავლო მიზნების მიღწევას დისტანციური გაკვეთილის დროს. პრეზენტაცია დამოუკიდებელ სამუშაოდ შეიძლება შესთავაზოს სტუდენტებს, რომლებმაც ვერ აითვისეს თემა საკმარისად კლასში.