როგორ მოვძებნოთ წარმოებული?

დიფერენცირების წესები.

ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებული რომ იპოვოთ, თქვენ უნდა დაეუფლოთ მხოლოდ სამ ცნებას:

2. დიფერენცირების წესები.

3. რთული ფუნქციის წარმოებული.

ზუსტად ამ თანმიმდევრობით. ეს არის მინიშნება.)

რა თქმა უნდა, კარგი იქნებოდა წარმოდგენა ზოგადად წარმოებულების შესახებ). რა არის წარმოებული და როგორ ვიმუშაოთ წარმოებულების ცხრილთან, ნათლად არის ახსნილი წინა გაკვეთილზე. აქ შევეხებით დიფერენცირების წესებს.

დიფერენციაცია არის წარმოებულის პოვნის ოპერაცია. ამ ტერმინის უკან მეტი არაფერი იმალება. იმათ. გამონათქვამები "იპოვე ფუნქციის წარმოებული"და "ფუნქციის დიფერენცირება"- იგივეა.

გამოხატულება "დიფერენცირების წესები"ეხება წარმოებულის პოვნას არითმეტიკული მოქმედებებიდან.ეს გაგება ბევრს ეხმარება, რათა თავიდან აიცილოთ დაბნეულობა თქვენს თავში.

მოდით, კონცენტრირება მოვახდინოთ და დავიმახსოვროთ ყველა, ყველა, ყველა არითმეტიკული მოქმედება. ოთხი მათგანია). შეკრება (ჯამობა), გამოკლება (განსხვავება), გამრავლება (ნამრავლი) და გაყოფა (რაოდენობა). აქ არის დიფერენცირების წესები:

ფირფიტა აჩვენებს ხუთიწესების შესახებ ოთხიარითმეტიკული მოქმედებები. მე არ შემიცვლია.) უბრალოდ, წესი 4 არის მე-3 წესის ელემენტარული შედეგი. მაგრამ ის იმდენად პოპულარულია, რომ აზრი აქვს დამოუკიდებელ ფორმულად დაწერა (და დამახსოვრება!).

აღნიშვნების ქვეშ უდა ვზოგიერთი (აბსოლუტურად ნებისმიერი!) ფუნქცია იგულისხმება U(x)და V(x).

მოდით შევხედოთ რამდენიმე მაგალითს. პირველი - უმარტივესი.

იპოვეთ y=sinx ფუნქციის წარმოებული - x 2

აქ გვაქვს განსხვავებაორი ელემენტარული ფუნქცია. ჩვენ ვიყენებთ წესს 2. ჩვენ ვივარაუდებთ, რომ sinx არის ფუნქცია უდა x 2 არის ფუნქცია ვ.ჩვენ გვაქვს სრული უფლება დავწეროთ:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)" - (x 2)"

ეს უკეთესია, არა?) რჩება მხოლოდ x-ის სინუსის და კვადრატის წარმოებულების პოვნა. ამ მიზნით არსებობს წარმოებულების ცხრილი. ჩვენ უბრალოდ ვეძებთ ფუნქციებს, რომლებიც გვჭირდება ცხრილში ( სინქსიდა x 2), ნახეთ რა წარმოებულები აქვთ და დაწერეთ პასუხი:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

ესე იგი. ჯამის დიფერენციაციის წესი 1 ზუსტად იგივე მუშაობს.

რა მოხდება, თუ გვაქვს რამდენიმე ტერმინი? პრობლემა არ არის.) ფუნქციას ვყოფთ ტერმინებად და ვეძებთ თითოეული ტერმინის წარმოებულს სხვებისგან დამოუკიდებლად. მაგალითად:

იპოვეთ y=sinx - x 2 +cosx - x +3 ფუნქციის წარმოებული

თამამად ვწერთ:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

გაკვეთილის ბოლოს მივცემ რჩევებს, რათა გავამარტივოთ ცხოვრება დიფერენცირებისას.)

პრაქტიკული რჩევა:

1. დიფერენციაციამდე ნახეთ, შესაძლებელია თუ არა ორიგინალური ფუნქციის გამარტივება.

2. რთულ მაგალითებში ჩვენ დეტალურად აღვწერთ ამოხსნას, ყველა ფრჩხილებითა და ტირეებით.

3. მნიშვნელში მუდმივი რიცხვის მქონე წილადების დიფერენცირებისას გაყოფას ვაქცევთ გამრავლებად და ვიყენებთ წესს 4.

მოცემული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის პრობლემა ერთ-ერთი მთავარია საშუალო სკოლის მათემატიკის კურსებსა და უმაღლეს სასწავლებლებში. შეუძლებელია ფუნქციის სრულად შესწავლა და მისი გრაფიკის აგება მისი წარმოებულის გარეშე. ფუნქციის წარმოებული ადვილად მოიძებნება, თუ იცით დიფერენცირების ძირითადი წესები, ასევე ძირითადი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი. მოდით გავარკვიოთ, როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული.

ფუნქციის წარმოებული არის ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც არგუმენტის ზრდა ნულისკენ მიისწრაფვის.

ამ განმარტების გაგება საკმაოდ რთულია, ვინაიდან ლიმიტის ცნება სკოლაში ბოლომდე არ არის შესწავლილი. მაგრამ იმისთვის, რომ ვიპოვოთ სხვადასხვა ფუნქციის წარმოებულები, არ არის აუცილებელი გავიგოთ განსაზღვრება მათემატიკოსებს და პირდაპირ გადავიდეთ წარმოებულის პოვნაზე.

წარმოებულის პოვნის პროცესს დიფერენციაცია ეწოდება. ფუნქციის დიფერენცირებისას მივიღებთ ახალ ფუნქციას.

მათ აღსანიშნავად გამოვიყენებთ ლათინურ ასოებს f, g და ა.შ.

არსებობს მრავალი განსხვავებული აღნიშვნა წარმოებულებისთვის. ჩვენ გამოვიყენებთ ინსულტს. მაგალითად, g“-ს დაწერა ნიშნავს, რომ ჩვენ ვიპოვით g ფუნქციის წარმოებულს.

წარმოებულების ცხრილი

იმისათვის, რომ ვუპასუხოთ კითხვას, თუ როგორ უნდა ვიპოვოთ წარმოებული, აუცილებელია მივაწოდოთ ძირითადი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილი. ელემენტარული ფუნქციების წარმოებულების გამოსათვლელად არ არის აუცილებელი რთული გამოთვლების ჩატარება. საკმარისია მხოლოდ მისი მნიშვნელობის დათვალიერება წარმოებულების ცხრილში.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/ცოდვა 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

მაგალითი 1. იპოვეთ y=500 ფუნქციის წარმოებული.

ჩვენ ვხედავთ, რომ ეს მუდმივია. წარმოებულების ცხრილიდან ცნობილია, რომ მუდმივის წარმოებული ტოლია ნულის (ფორმულა 1).

მაგალითი 2. იპოვეთ y=x 100 ფუნქციის წარმოებული.

ეს არის სიმძლავრის ფუნქცია, რომლის მაჩვენებლის მაჩვენებელია 100 და მისი წარმოებულის საპოვნელად საჭიროა ფუნქცია გაამრავლოთ მაჩვენებელზე და შეამციროთ ის 1-ით (ფორმულა 3).

(x 100)"=100 x 99

მაგალითი 3. იპოვეთ y=5 x ფუნქციის წარმოებული

ეს ექსპონენციალური ფუნქცია, გამოვთვალოთ მისი წარმოებული ფორმულით 4.

მაგალითი 4. იპოვეთ y= log 4 x ფუნქციის წარმოებული

ჩვენ ვპოულობთ ლოგარითმის წარმოებულს მე-7 ფორმულის გამოყენებით.

(log 4 x)"=1/x ln 4

დიფერენცირების წესები

მოდით ახლა გავარკვიოთ, როგორ ვიპოვოთ ფუნქციის წარმოებული, თუ ის არ არის ცხრილში. შესწავლილი ფუნქციების უმეტესობა არ არის ელემენტარული, მაგრამ არის ელემენტარული ფუნქციების კომბინაცია მარტივი ოპერაციების გამოყენებით (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა და რიცხვზე გამრავლება). მათი წარმოებულების მოსაძებნად, თქვენ უნდა იცოდეთ დიფერენცირების წესები. ქვემოთ, ასოები f და g აღნიშნავენ ფუნქციებს, ხოლო C არის მუდმივი.

1. მუდმივი კოეფიციენტი შეიძლება ამოღებულ იქნეს წარმოებულის ნიშნიდან

მაგალითი 5. იპოვეთ y= 6*x 8 ფუნქციის წარმოებული

ვიღებთ 6-ის მუდმივ კოეფიციენტს და განვასხვავებთ მხოლოდ x 4-ს. ეს არის სიმძლავრის ფუნქცია, რომლის წარმოებული გვხვდება წარმოებულების ცხრილის მე-3 ფორმულის გამოყენებით.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. ჯამის წარმოებული უდრის წარმოებულთა ჯამს

(f + g)"=f" + g"

მაგალითი 6. იპოვეთ y= x 100 +sin x ფუნქციის წარმოებული

ფუნქცია არის ორი ფუნქციის ჯამი, რომელთა წარმოებულები შეგვიძლია ვიპოვოთ ცხრილიდან. ვინაიდან (x 100)"=100 x 99 და (sin x)"=cos x. ჯამის წარმოებული იქნება ამ წარმოებულების ჯამის ტოლი:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. სხვაობის წარმოებული უდრის წარმოებულთა სხვაობას

(f – g)"=f" – g"

მაგალითი 7. იპოვეთ y= x 100 ფუნქციის წარმოებული – cos x

ეს ფუნქცია არის ორი ფუნქციის განსხვავება, რომელთა წარმოებულები ასევე შეგვიძლია ვიპოვოთ ცხრილიდან. მაშინ სხვაობის წარმოებული უდრის წარმოებულთა სხვაობას და არ დაგავიწყდეთ ნიშნის შეცვლა, ვინაიდან (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

მაგალითი 8. იპოვეთ y=e x +tg x– x 2 ფუნქციის წარმოებული.

ამ ფუნქციას აქვს როგორც ჯამი, ასევე განსხვავება, მოდი ვიპოვოთ თითოეული ტერმინის წარმოებულები:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. მაშინ ორიგინალური ფუნქციის წარმოებული უდრის:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. პროდუქტის წარმოებული

(f * g)"=f" * g + f * g"

მაგალითი 9. იპოვეთ y= cos x *e x ფუნქციის წარმოებული

ამისათვის ჩვენ ჯერ ვპოულობთ თითოეული ფაქტორის წარმოებულს (cos x)"=–sin x და (e x)"=e x. ახლა მოდით ჩავანაცვლოთ ყველაფერი პროდუქტის ფორმულაში. პირველი ფუნქციის წარმოებულს ვამრავლებთ მეორეზე და ვამატებთ პირველი ფუნქციის ნამრავლს მეორის წარმოებულზე.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. კოეფიციენტის წარმოებული

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

მაგალითი 10. იპოვეთ y= x 50 /sin x ფუნქციის წარმოებული

კოეფიციენტის წარმოებულის საპოვნელად ჯერ ცალ-ცალკე ვპოულობთ მრიცხველის და მნიშვნელის წარმოებულს: (x 50)"=50 x 49 და (sin x)"= cos x. კოეფიციენტის წარმოებულის ფორმულაში ჩანაცვლებით, მივიღებთ:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

რთული ფუნქციის წარმოებული

რთული ფუნქცია არის ფუნქცია, რომელიც წარმოდგენილია რამდენიმე ფუნქციის კომპოზიციით. ასევე არსებობს რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის წესი:

(u (v))"=u"(v)*v"

მოდით გავარკვიოთ, როგორ ვიპოვოთ ასეთი ფუნქციის წარმოებული. მოდით y= u(v(x)) იყოს რთული ფუნქცია. ფუნქციას ვუწოდოთ u გარე, ხოლო v - შიდა.

მაგალითად:

y=sin (x 3) რთული ფუნქციაა.

მაშინ y=sin(t) არის გარე ფუნქცია

t=x 3 - შიდა.

შევეცადოთ გამოვთვალოთ ამ ფუნქციის წარმოებული. ფორმულის მიხედვით, თქვენ უნდა გაამრავლოთ შიდა და გარე ფუნქციების წარმოებულები.

(sin t)"=cos (t) - გარე ფუნქციის წარმოებული (სადაც t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - შიდა ფუნქციის წარმოებული

მაშინ (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 არის რთული ფუნქციის წარმოებული.

მათემატიკაში ფიზიკური ამოცანების ან მაგალითების ამოხსნა სრულიად შეუძლებელია წარმოებულის და მისი გამოთვლის მეთოდების ცოდნის გარეშე. წარმოებული მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნებაა. გადავწყვიტეთ დღევანდელი სტატია ამ ფუნდამენტურ თემას მივუძღვნათ. რა არის წარმოებული, როგორია მისი ფიზიკური და გეომეტრიული მნიშვნელობა, როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული? ყველა ეს კითხვა შეიძლება გაერთიანდეს ერთში: როგორ გავიგოთ წარმოებული?

წარმოებულის გეომეტრიული და ფიზიკური მნიშვნელობა

დაე, იყოს ფუნქცია f(x) , მითითებულია გარკვეულ ინტერვალში (ა, ბ) . წერტილები x და x0 ეკუთვნის ამ ინტერვალს. როდესაც x იცვლება, თავად ფუნქცია იცვლება. არგუმენტის შეცვლა - განსხვავება მის მნიშვნელობებში x-x0 . ეს განსხვავება იწერება როგორც დელტა x და ეწოდება არგუმენტის ზრდა. ფუნქციის ცვლილება ან ზრდა არის განსხვავება ფუნქციის მნიშვნელობებს შორის ორ წერტილში. წარმოებულის განმარტება:

ფუნქციის წარმოებული არის მოცემულ წერტილში ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, როდესაც ეს უკანასკნელი ნულისკენ მიისწრაფვის.

წინააღმდეგ შემთხვევაში შეიძლება ასე დაიწეროს:

რა აზრი აქვს ასეთი ლიმიტის პოვნას? და აი რა არის ეს:

წერტილის ფუნქციის წარმოებული ტოლია OX ღერძს შორის კუთხის ტანგენტსა და მოცემულ წერტილში ფუნქციის გრაფიკის ტანგენტს.

წარმოებულის ფიზიკური მნიშვნელობა: გზის წარმოებული დროის მიმართ უდრის მართკუთხა მოძრაობის სიჩქარეს.

მართლაც, სკოლის დროიდან ყველამ იცის, რომ სიჩქარე განსაკუთრებული გზაა x=f(t) და დრო ტ . საშუალო სიჩქარე გარკვეული პერიოდის განმავლობაში:

დროის მომენტში მოძრაობის სიჩქარის გასარკვევად t0 თქვენ უნდა გამოთვალოთ ლიმიტი:

წესი პირველი: დააყენეთ მუდმივი

მუდმივი შეიძლება ამოღებულ იქნას წარმოებული ნიშნიდან. უფრო მეტიც, ეს უნდა გაკეთდეს. მათემატიკაში მაგალითების ამოხსნისას აიღეთ როგორც წესი - თუ შეგიძლიათ გამოხატვის გამარტივება, დარწმუნდით, რომ გაამარტივეთ იგი .

მაგალითი. გამოვთვალოთ წარმოებული:

წესი მეორე: ფუნქციების ჯამის წარმოებული

ორი ფუნქციის ჯამის წარმოებული უდრის ამ ფუნქციების წარმოებულთა ჯამს. იგივე ეხება ფუნქციების განსხვავების წარმოებულს.

ჩვენ არ მივცემთ ამ თეორემის მტკიცებულებას, არამედ განვიხილავთ პრაქტიკულ მაგალითს.

იპოვეთ ფუნქციის წარმოებული:

წესი მესამე: ფუნქციების ნამრავლის წარმოებული

ორი დიფერენცირებადი ფუნქციის ნამრავლის წარმოებული გამოითვლება ფორმულით:

მაგალითი: იპოვნეთ ფუნქციის წარმოებული:

გამოსავალი:

აქ მნიშვნელოვანია რთული ფუნქციების წარმოებულების გამოთვლაზე საუბარი. რთული ფუნქციის წარმოებული ტოლია ამ ფუნქციის წარმოებულის ნამრავლის შუალედური არგუმენტის მიმართ და შუალედური არგუმენტის წარმოებული დამოუკიდებელი ცვლადის მიმართ.

ზემოთ მოყვანილ მაგალითში ვხვდებით გამოთქმას:

ამ შემთხვევაში, შუალედური არგუმენტი არის 8x მეხუთე ხარისხზე. ასეთი გამონათქვამის წარმოებულის გამოსათვლელად, ჯერ ვიანგარიშებთ გარე ფუნქციის წარმოებულს შუალედურ არგუმენტთან მიმართებაში, შემდეგ კი ვამრავლებთ თავად შუალედური არგუმენტის წარმოებულზე დამოუკიდებელ ცვლადთან მიმართებაში.

წესი მეოთხე: ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებული

ორი ფუნქციის კოეფიციენტის წარმოებულის განსაზღვრის ფორმულა:

ჩვენ შევეცადეთ ვისაუბროთ დუმების წარმოებულებზე ნულიდან. ეს თემა არც ისე მარტივია, როგორც ჩანს, ამიტომ გაფრთხილდით: მაგალითებში ხშირად არის ხარვეზები, ამიტომ ფრთხილად იყავით წარმოებულების გამოთვლაში.

ამ და სხვა თემებზე ნებისმიერი შეკითხვის შემთხვევაში შეგიძლიათ დაუკავშირდეთ სტუდენტურ სამსახურს. მოკლე დროში ჩვენ დაგეხმარებით ურთულესი ტესტის ამოხსნაში და ამოცანების გაგებაში, მაშინაც კი, თუ აქამდე არასოდეს გაგიკეთებიათ წარმოებული გამოთვლები.

კალკულატორი ითვლის ყველა ელემენტარული ფუნქციის წარმოებულებს, იძლევა დეტალურ ამოხსნას. დიფერენციაციის ცვლადი განისაზღვრება ავტომატურად.

ფუნქციის წარმოებული- მათემატიკური ანალიზის ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი ცნება. წარმოებულის გაჩენამ გამოიწვია ისეთ პრობლემებამდე, როგორიცაა, მაგალითად, წერტილის მყისიერი სიჩქარის გამოთვლა დროის მომენტში, თუ ცნობილია დროზე დამოკიდებული ბილიკი, ფუნქციის ტანგენტის პოვნის პრობლემა წერტილში.

ყველაზე ხშირად, ფუნქციის წარმოებული განისაზღვრება, როგორც ფუნქციის ზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან, თუ ის არსებობს.

განმარტება.დაე, ფუნქცია განისაზღვროს წერტილის რომელიმე სამეზობლოში. მაშინ ფუნქციის წარმოებულს წერტილში ეწოდება ლიმიტი, თუ ის არსებობს

როგორ გამოვთვალოთ ფუნქციის წარმოებული?

იმისათვის, რომ ისწავლოთ ფუნქციების დიფერენცირება, თქვენ უნდა ისწავლოთ და გაიგოთ დიფერენციაციის წესებიდა ისწავლეთ გამოყენება წარმოებულების ცხრილი.

დიფერენცირების წესები

მოდით და იყოს რეალური ცვლადის თვითნებური დიფერენცირებადი ფუნქციები და იყოს რაიმე რეალური მუდმივი. მერე

— ფუნქციების პროდუქტის დიფერენცირების წესი

— კოეფიციენტური ფუნქციების დიფერენცირების წესი

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — ფუნქციის დიფერენციაცია ცვლადი მაჩვენებლით

— რთული ფუნქციის დიფერენცირების წესი

— დენის ფუნქციის დიფერენცირების წესი

ფუნქციის წარმოებული ონლაინ

ჩვენი კალკულატორი სწრაფად და ზუსტად გამოთვლის ნებისმიერი ფუნქციის წარმოებულს ონლაინ. პროგრამა არ დაუშვებს შეცდომებს წარმოებულის გამოთვლისას და დაგეხმარებათ თავიდან აიცილოთ ხანგრძლივი და დამღლელი გამოთვლები. ონლაინ კალკულატორიის ასევე სასარგებლო იქნება იმ შემთხვევაში, როდესაც საჭიროა თქვენი გადაწყვეტის სისწორის შემოწმება და თუ ის არასწორია, სწრაფად იპოვნეთ შეცდომა.

გვერდის ნავიგაცია.

წარმოებული მუდმივია.

ცხრილის პირველივე ფორმულის გამოყვანისას, ჩვენ განვიხილავთ ფუნქციის წარმოებულის განსაზღვრას წერტილში. ავიღოთ, სადაც x არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი, ანუ x არის ნებისმიერი რიცხვი ფუნქციის განსაზღვრის სფეროდან. მოდით დავწეროთ ფუნქციის ზრდის შეფარდების ლიმიტი არგუმენტის ზრდასთან:

უნდა აღინიშნოს, რომ ზღვრული ნიშნის ქვეშ მიიღება გამოთქმა, რომელიც არ არის, რადგან მრიცხველი არ შეიცავს უსასრულოდ მცირე მნიშვნელობას, მაგრამ ზუსტად ნულს. სხვა სიტყვებით რომ ვთქვათ, მუდმივი ფუნქციის ზრდა ყოველთვის ნულის ტოლია.

ამრიგად, მუდმივი ფუნქციის წარმოებული ნულის ტოლია განსაზღვრების მთელ დომენში.

მაგალითი.

იპოვეთ შემდეგი მუდმივი ფუნქციების წარმოებულები

გამოსავალი.

პირველ შემთხვევაში გვაქვს ნატურალური რიცხვის 3-ის წარმოებული, მეორე შემთხვევაში უნდა ავიღოთ a პარამეტრის წარმოებული, რომელიც შეიძლება იყოს ნებისმიერი რეალური რიცხვი, მესამეში - ირაციონალური რიცხვის წარმოებული, მეოთხეში. თუ გვაქვს ნულის წარმოებული (ნული არის მთელი რიცხვი), მეხუთეში - რაციონალური წილადის წარმოებული.

პასუხი:

ყველა ამ ფუნქციის წარმოებულები ნულის ტოლია ნებისმიერი რეალური x-ისთვის (განმარტების მთელ დომენზე)

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებული.

სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას აქვს ფორმა , სადაც მაჩვენებელი p არის ნებისმიერი რეალური რიცხვი.

მოდით, ჯერ დავამტკიცოთ ბუნებრივი მაჩვენებლის ფორმულა, ანუ p = 1, 2, 3, ...

ჩვენ გამოვიყენებთ წარმოებულის განმარტებას. მოდით დავწეროთ სიმძლავრის ფუნქციის გაზრდის შეფარდების ზღვარი არგუმენტის ზრდასთან:

მრიცხველში გამოხატვის გასამარტივებლად, ჩვენ მივმართავთ ფორმულას:

აქედან გამომდინარე,

ეს ამტკიცებს ბუნებრივი მაჩვენებლის სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას.

გასათვალისწინებელია ორი შემთხვევა: დადებითი x და უარყოფითი x.

ჯერ ვივარაუდოთ. ამ შემთხვევაში. ავიღოთ ტოლობის ლოგარითმი e-ზე და გამოვიყენოთ ლოგარითმის თვისება:

მივედით იმპლიციურად მითითებულ ფუნქციამდე. ჩვენ ვპოულობთ მის წარმოებულს:

რჩება უარყოფითი x-ის მტკიცების განხორციელება.

როდესაც მაჩვენებელი p არის ლუწი რიცხვი, მაშინ ძალაუფლების ფუნქცია ასევე განისაზღვრება და არის ლუწი (იხ. განყოფილება). ანუ . ამ შემთხვევაში, თქვენ ასევე შეგიძლიათ გამოიყენოთ მტკიცებულება ლოგარითმული წარმოებულის მეშვეობით.

როდესაც მაჩვენებლის p არის კენტი რიცხვი, მაშინ სიმძლავრის ფუნქცია ასევე განისაზღვრება და არის კენტი. ანუ . ამ შემთხვევაში, ლოგარითმული წარმოებული არ შეიძლება გამოყენებულ იქნას. ფორმულის დასამტკიცებლად ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ გამოიყენოთ დიფერენცირების წესები და რთული ფუნქციის წარმოებულის პოვნის წესი:

ბოლო გადასვლა შესაძლებელია იმის გამო, რომ თუ p არის კენტი რიცხვი, მაშინ p-1 არის ლუწი რიცხვი ან ნულოვანი (p=1-ისთვის), შესაბამისად, x-სთვის ტოლობა მართალია. .

ამრიგად, სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულა დადასტურებულია ნებისმიერი რეალური p-სთვის.

მაგალითი.

იპოვნეთ ფუნქციების წარმოებულები.

გამოსავალი.

პირველ და მესამე ფუნქციებს ვაძლევთ ცხრილის ფორმას, ძალაუფლების თვისებების გამოყენებით და ვიყენებთ სიმძლავრის ფუნქციის წარმოებულის ფორმულას:

ექსპონენციალური ფუნქციის წარმოებული.

წარმოგიდგენთ წარმოებული ფორმულის წარმოებულს განმარტებაზე დაყრდნობით:

გაურკვევლობაში მივედით. მის გასაფართოვებლად, ჩვენ შემოგთავაზებთ ახალ ცვლადს და ზე. მაშინ . ბოლო გადასვლისას გამოვიყენეთ ახალ ლოგარითმულ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა.

მოდით ჩავანაცვლოთ ორიგინალური ლიმიტი:

სინუსური ფუნქციის წარმოებულის განმარტებით გვაქვს .

მოდით გამოვიყენოთ სინუსების სხვაობის ფორმულა:

რჩება პირველ საყურადღებო ზღვარზე გადასვლა:

ამრიგად, sin x ფუნქციის წარმოებული არის cos x.

კოსინუსის წარმოებულის ფორმულა ზუსტად იგივე გზით არის დადასტურებული.

დიფერენციაციის ამოცანების ამოხსნისას მუდმივად მივმართავთ ძირითადი ფუნქციების წარმოებულების ცხრილს, თორემ რატომ შევადგინეთ იგი და დავამტკიცეთ თითოეული ფორმულა. ჩვენ გირჩევთ დაიმახსოვროთ ყველა ეს ფორმულა მომავალში ეს დაზოგავს დიდ დროს.

საავტორო უფლება ჭკვიანი სტუდენტების მიერ

ყველა უფლება დაცულია.
დაცულია საავტორო უფლებების კანონით. საიტის არც ერთი ნაწილი, მათ შორის შიდა მასალები და გარეგნობა, არ შეიძლება იყოს რაიმე ფორმით რეპროდუცირება ან გამოყენება საავტორო უფლებების მფლობელის წინასწარი წერილობითი ნებართვის გარეშე.