სლაიდი 2

მათემატიკა ახალგაზრდების მეცნიერებაა. სხვაგვარად არ შეიძლება. მათემატიკა არის გონებრივი ტანვარჯიშის ფორმა, რომელიც მოითხოვს ახალგაზრდობის მთელ მოქნილობას და გამძლეობას. ნორბერტ ვინერი (1894-1964), ამერიკელი მეცნიერი

სლაიდი 3

ურთიერთობა a და b რიცხვებს შორის (მათემატიკური გამოსახულებები), რომლებიც დაკავშირებულია უტოლობის ნიშნებით -

სლაიდი 4

ისტორიული ფონი თანასწორობისა და უთანასწორობის დადასტურების პრობლემები წარმოიშვა ძველ დროში. თანასწორობისა და უთანასწორობის ნიშნების აღსანიშნავად გამოიყენებოდა სპეციალური სიტყვები ან მათი შემოკლებები. ძვ.წ IV საუკუნე, ევკლიდე, ელემენტთა წიგნი V: თუ a, b, c, d დადებითი რიცხვებია და a არის უდიდესი რიცხვი a/b=c/d პროპორციით, მაშინ მოქმედებს უტოლობა a+d=b + გ. III საუკუნე პაპუს ალექსანდრიელის მთავარი ნაშრომი „მათემატიკური კრებული“: თუ a, b, c, d დადებითი რიცხვებია და a/b>c/d, მაშინ დაკმაყოფილებულია უტოლობა ad>bc. 2000 წელზე მეტი ძვ.წ ცნობილი იყო, რომ უტოლობა იქცევა ნამდვილ თანასწორობაში, როდესაც a=b.

სლაიდი 5

თანამედროვე სპეციალური ნიშნები 1557 წ. ტოლობის ნიშანი = შემოიღო ინგლისელმა მათემატიკოსმა რ.რიკორდმა. მისი მოტივი: „ორი ობიექტი არ შეიძლება იყოს ორ პარალელურ სეგმენტზე ტოლი“. 1631 წ ნიშნები > და

სლაიდი 6

უტოლობების ტიპები ცვლადით (ერთი ან მეტი) მკაცრი არა მკაცრი მოდულით პარამეტრით არასტანდარტული სისტემები კოლექციები რიცხვითი მარტივი ორმაგი მრავლობითი ალგებრული მთელი რიცხვები: -წრფივი -კვადრატული -უფრო მაღალი სიმძლავრეები წილადი-რაციონალური ირაციონალური ტრიგონომეტრიული ექსპონენციალური ლოგარითული ტიპიx

სლაიდი 7

უტოლობების ამოხსნის მეთოდები გრაფიკული ძირითადი სპეციალური ფუნქციონალურ-გრაფიკული უტოლობების თვისებების გამოყენება ეკვივალენტურ სისტემებზე გადასვლა ეკვივალენტურ კრებულებზე გადასვლა ცვლადი ინტერვალის მეთოდის ჩანაცვლება (განზოგადებულის ჩათვლით) ალგებრული გაყოფის მეთოდი არა მკაცრი უტოლობებისთვის

სლაიდი 8

არის ცვლადის მნიშვნელობა, რომელიც ჩანაცვლებისას აქცევს მას ნამდვილ რიცხვობრივ უტოლობად. ამოხსენით უტოლობა - იპოვეთ მისი ყველა ამონახსნები ან დაამტკიცეთ, რომ არ არსებობს. ორი უტოლობა ექვივალენტურად ითვლება, თუ თითოეულის ყველა ამონახსნი არის მეორე უტოლობის ამონახსნები ან ორივე უტოლობას არ აქვს ამონახსნები. უტოლობები უტოლობების ამოხსნა ერთ ცვლადში

სლაიდი 9

აღწერეთ უთანასწორობები. ამოიღეთ ზეპირად 3)(x – 2)(x + 3)  0

სლაიდი 10

გრაფიკული მეთოდი

გრაფიკულად ამოხსენით უტოლობა 1) ააგეთ გრაფიკი 2) ააგეთ გრაფიკი იმავე კოორდინატულ სისტემაში. 3) იპოვეთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციზა (მნიშვნელობები აღებულია დაახლოებით, ჩვენ ვამოწმებთ სიზუსტეს ჩანაცვლებით). 4) გრაფიკიდან განვსაზღვრავთ ამ უტოლობის ამოხსნას. 5) ჩაწერეთ პასუხი.

სლაიდი 11

f(x) უტოლობის ამოხსნის ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი

სლაიდი 12

ფუნქციონალურ-გრაფიკული მეთოდი ამოხსენით უტოლობა: 3) განტოლებას f(x)=g(x) აქვს მაქსიმუმ ერთი ფესვი. გამოსავალი. 4) შერჩევით ვხვდებით, რომ x = 2. II რიცხვით ღერძზე Ox-ზე გამოვსახოთ f (x) და g (x) ფუნქციების გრაფიკები, რომლებიც გადიან x = 2 წერტილში. III განვსაზღვროთ ამონახსნები და დავწეროთ პასუხი. უპასუხე. x -7 განუსაზღვრელი 2

სლაიდი 13

ამოხსენით უტოლობა:

სლაიდი 14

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა-9 ფუნქციის გრაფიკების აგება, 2008 წ

სლაიდი 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

სლაიდი 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 უტოლობის ამონახსნების ინტერვალების რაოდენობის განსაზღვრა a პარამეტრის თითოეული მნიშვნელობისთვის

სლაიდი 17

ერთიანი სახელმწიფო გამოცდა-9 ფუნქციის გრაფიკის აგება, 2008 წ

სლაიდი 18

სლაიდი 19

კვადრატული უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი ყველაზე მოსახერხებელი მეთოდია გრაფიკული მეთოდი. ამ სტატიაში განვიხილავთ, თუ როგორ იხსნება კვადრატული უტოლობა გრაფიკულად. პირველ რიგში, მოდით განვიხილოთ, რა არის ამ მეთოდის არსი. შემდეგი, ჩვენ წარმოგიდგენთ ალგორითმს და განვიხილავთ კვადრატული უტოლობების გრაფიკულად ამოხსნის მაგალითებს.

გვერდის ნავიგაცია.

გრაფიკული მეთოდის არსი

Საერთოდ უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდიერთი ცვლადით გამოიყენება არა მხოლოდ კვადრატული უტოლობების გადასაჭრელად, არამედ სხვა სახის უტოლობაც. არსი გრაფიკული მეთოდიუთანასწორობის გადაწყვეტილებებიშემდეგი: განვიხილოთ y=f(x) და y=g(x) ფუნქციები, რომლებიც შეესაბამება უტოლობის მარცხენა და მარჯვენა მხარეს, ააგეთ მათი გრაფიკები ერთ მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში და გაარკვიეთ რა ინტერვალებით არის ერთ-ერთის გრაფიკი. ისინი უფრო დაბალია ან უფრო მაღალი ვიდრე სხვა. ის ინტერვალები სადაც

• f ფუნქციის გრაფიკი g ფუნქციის გრაფიკის ზემოთ არის ამონახსნები f(x)>g(x) უტოლობაზე;
• f ფუნქციის გრაფიკი g ფუნქციის გრაფიკზე დაბალი არ არის f(x)≥g(x) უტოლობის ამონახსნები;
• f-ის გრაფიკი g-ის გრაფიკის ქვემოთ არის ამონახსნები f(x) უტოლობაზე.
• f ფუნქციის გრაფიკი, რომელიც არ აღემატება g ფუნქციის გრაფიკს, არის ამონახსნები f(x)≤g(x) უტოლობაზე.

ასევე ვიტყვით, რომ f და g ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები არის f(x)=g(x) განტოლების ამონახსნები.

გადავიტანოთ ეს შედეგები ჩვენს შემთხვევაზე - ამოხსნათ a x 2 +b x+c კვადრატული უტოლობა<0 (≤, >, ≥).

შემოგვაქვს ორი ფუნქცია: პირველი y=a x 2 +b x+c (f(x)=a x 2 +b x+c) შეესაბამება კვადრატული უტოლობის მარცხენა მხარეს, მეორე y=0 (g (-ით x)=0 ) შეესაბამება უტოლობის მარჯვენა მხარეს. განრიგი კვადრატული ფუნქცია f არის პარაბოლა და გრაფიკი მუდმივი ფუნქცია g – სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა აბსცისის ღერძს Ox.

შემდეგი, უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის მიხედვით, აუცილებელია გავაანალიზოთ, რა ინტერვალებით არის განთავსებული ერთი ფუნქციის გრაფიკი მეორის ზემოთ ან ქვემოთ, რაც მოგვცემს საშუალებას ჩამოვწეროთ კვადრატული უტოლობის სასურველი ამოხსნა. ჩვენს შემთხვევაში, ჩვენ უნდა გავაანალიზოთ პარაბოლის პოზიცია Ox-ის ღერძთან მიმართებაში.

a, b და c კოეფიციენტების მნიშვნელობებიდან გამომდინარე, შესაძლებელია შემდეგი ექვსი ვარიანტი (ჩვენი საჭიროებისთვის საკმარისია სქემატური წარმოდგენა და ჩვენ არ გვჭირდება Oy ღერძის გამოსახვა, რადგან მისი პოზიცია გავლენას არ ახდენს უთანასწორობის გადაწყვეტილებები):

ამ ნახატზე ვხედავთ პარაბოლას, რომლის ტოტები მიმართულია ზემოთ და რომელიც კვეთს Ox ღერძს ორ წერტილში, რომლის აბსციზა არის x 1 და x 2. ეს ნახაზი შეესაბამება ვარიანტს, როდესაც კოეფიციენტი a დადებითია (ის პასუხისმგებელია პარაბოლის ტოტების ზევით მიმართულებაზე) და როცა მნიშვნელობა დადებითია. კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი a x 2 +b x+c (ამ შემთხვევაში, ტრინომს აქვს ორი ფესვი, რომელიც აღვნიშნეთ x 1 და x 2, და ვივარაუდეთ, რომ x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2, x 2 =3.

სიცხადისთვის, წითლად გამოვსახოთ პარაბოლის ნაწილები x ღერძის ზემოთ, ხოლო ლურჯში - x ღერძის ქვემოთ.


ახლა გავარკვიოთ რომელი ინტერვალები შეესაბამება ამ ნაწილებს. შემდეგი ნახაზი დაგეხმარებათ მათ ამოცნობაში (მომავალში ჩვენ გავაკეთებთ მსგავს არჩევანს მართკუთხედების სახით გონებრივად):


ასე რომ, აბსცისის ღერძზე ორი ინტერვალი (−∞, x 1) და (x 2, +∞) იყო მონიშნული წითლად, მათზე პარაბოლა არის Ox ღერძის ზემოთ, ისინი ქმნიან ამოხსნას კვადრატული უტოლობის a x 2 +b x. +c>0 , და ინტერვალი (x 1 , x 2) მონიშნულია ლურჯად, Ox ღერძის ქვემოთ არის პარაბოლა, რომელიც წარმოადგენს a x 2 +b x+c უტოლობის ამოხსნას.<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

ახლა კი მოკლედ: a>0 და D=b 2 −4 a c>0 (ან D"=D/4>0 ლუწი კოეფიციენტისთვის b)

• a x 2 +b x+c>0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) ან სხვა აღნიშვნით x x2;
• a x 2 +b x+c≥0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის (−∞, x 1 ]∪ ან სხვა აღნიშვნით x 1 ≤x≤x 2,

სადაც x 1 და x 2 არის a x 2 +b x+c კვადრატული ტრინომის ფესვები და x 1


აქ ჩვენ ვხედავთ პარაბოლას, რომლის ტოტები მიმართულია ზევით და რომელიც ეხება აბსცისის ღერძს, ანუ მას აქვს ერთი საერთო წერტილი ამ წერტილის აბსციზას x 0-ად. წარმოდგენილი შემთხვევა შეესაბამება a>0 (ტოტები მიმართულია ზემოთ) და D=0 (კვადრატულ ტრინომს აქვს ერთი ფესვი x 0). მაგალითად, შეგიძლიათ აიღოთ კვადრატული ფუნქცია y=x 2 −4·x+4, აქ a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 და x 0 =2.

ნახატზე ნათლად ჩანს, რომ პარაბოლა მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ ყველგან, გარდა კონტაქტის წერტილისა, ანუ ინტერვალებზე (−∞, x 0), (x 0, ∞). სიცხადისთვის, ხაზგასმით გამოვყოთ ნახაზში არსებული უბნები წინა აბზაცის ანალოგიით.


ვაკეთებთ დასკვნებს: a>0-სთვის და D=0

• a·x 2 +b·x+c>0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) ან სხვა აღნიშვნით x≠x 0;
• a·x 2 +b·x+c≥0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის (−∞, +∞) ან სხვა აღნიშვნით x∈R ;
• კვადრატული უტოლობა a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• კვადრატულ უტოლობას a x 2 +b x+c≤0 აქვს უნიკალური ამონახსნი x=x 0 (ის მოცემულია ტანგენციის წერტილით),

სადაც x 0 არის კვადრატული ტრინომის ფესვი a x 2 + b x + c.


ამ შემთხვევაში პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ და მას არ აქვს საერთო წერტილები აბსცისის ღერძთან. აქ გვაქვს პირობები a>0 (ტოტები მიმართულია ზემოთ) და D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

ცხადია, პარაბოლა მდებარეობს Ox ღერძის ზემოთ მთელ სიგრძეზე (არ არსებობს ინტერვალები, რომლებშიც ის არის Ox ღერძის ქვემოთ, არ არის ტანგენციის წერტილი).


ამრიგად, a>0-სთვის და D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 და a x 2 +b x+c≥0 არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე და უტოლობები a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

და რჩება სამი ვარიანტი პარაბოლას მდებარეობისთვის, ტოტებით მიმართული ქვემოთ და არა ზევით, Ox-ის ღერძთან შედარებით. პრინციპში, მათი გათვალისწინება არ არის საჭირო, რადგან უტოლობის ორივე მხარის -1-ზე გამრავლება საშუალებას გვაძლევს გადავიდეთ ეკვივალენტურ უტოლობაზე დადებითი კოეფიციენტით x 2-ზე. მაგრამ მაინც არ მტკივა ამ შემთხვევებზე წარმოდგენა. მსჯელობა აქაც მსგავსია, ამიტომ ჩვენ ჩამოვწერთ მხოლოდ ძირითად შედეგებს.

ამოხსნის ალგორითმი

ყველა წინა გამოთვლების შედეგია კვადრატული უტოლობების გრაფიკულად ამოხსნის ალგორითმი:

კოორდინატულ სიბრტყეზე შესრულებულია სქემატური ნახაზი, რომელზეც გამოსახულია Ox ღერძი (არ არის აუცილებელი Oy ღერძის გამოსახვა) და პარაბოლის ესკიზი, რომელიც შეესაბამება კვადრატულ ფუნქციას y=a·x 2 +b·x+c. პარაბოლას ესკიზის დასახატად საკმარისია ორი წერტილის გარკვევა:

• პირველ რიგში, a კოეფიციენტის მნიშვნელობით განისაზღვრება, თუ სად არის მიმართული მისი ტოტები (a>0 - ზევით, a<0 – вниз).
• და მეორეც, a x 2 + b x + c კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, დგინდება, კვეთს თუ არა პარაბოლა აბსცისის ღერძს ორ წერტილში (D>0-სთვის), ეხება თუ არა მას ერთ წერტილში (D=-სთვის). 0), ან არ აქვს საერთო წერტილები Ox ღერძთან (D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• როდესაც ნახატი მზად არის, გამოიყენეთ იგი ალგორითმის მეორე საფეხურზე

  • a·x 2 +b·x+c>0 კვადრატული უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს აბსცისის ზემოთ;
  • a·x 2 +b·x+c≥0 უტოლობის ამოხსნისას დგინდება ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს აბსცისის ღერძის ზემოთ და ემატება გადაკვეთის წერტილების აბსცისები (ან ტანგენტური წერტილის აბსცისა). მათ;
  • a x 2 +b x+c უტოლობის ამოხსნისას<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • დაბოლოს, a·x 2 +b·x+c≤0 ფორმის კვადრატული უტოლობის ამოხსნისას, გვხვდება ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა არის Ox ღერძის ქვემოთ და გადაკვეთის წერტილების აბსცისა (ან ტანგენტური წერტილის აბსციზა). ) ემატება მათ;

  ისინი ქმნიან კვადრატული უტოლობის სასურველ ამონახსანს და თუ არ არის ასეთი ინტერვალები და არ არის ტანგენციის წერტილები, მაშინ თავდაპირველ კვადრატულ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

რჩება მხოლოდ ამ ალგორითმის გამოყენებით რამდენიმე კვადრატული უტოლობის ამოხსნა.

მაგალითები ხსნარებით

მაგალითი.

ამოხსენით უტოლობა .

გამოსავალი.

ჩვენ უნდა გადავჭრათ კვადრატული უტოლობა, გამოვიყენოთ წინა აბზაცის ალგორითმი. პირველ ეტაპზე ჩვენ უნდა დავხატოთ კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი . x 2-ის კოეფიციენტი უდრის 2-ს, ის დადებითია, შესაბამისად, პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ. მოდით გავარკვიოთ, აქვს თუ არა პარაბოლას საერთო წერტილები x ღერძთან, რომ გავაკეთოთ ეს, ჩვენ გამოვთვალოთ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი . Ჩვენ გვაქვს . დისკრიმინანტი ნულზე მეტი აღმოჩნდა, ამიტომ ტრინომილს ორი რეალური ფესვი აქვს: და , ანუ x 1 =−3 და x 2 =1/3.

აქედან ირკვევა, რომ პარაბოლა კვეთს Ox ღერძს ორ წერტილში აბსცისებით −3 და 1/3. ნახაზში ამ წერტილებს გამოვსახავთ ჩვეულებრივ წერტილებად, რადგან ვხსნით არამკაცრ უტოლობას. დაზუსტებული მონაცემების საფუძველზე ვიღებთ შემდეგ ნახატს (ის შეესაბამება სტატიის პირველი პუნქტის პირველ შაბლონს):

გადავიდეთ ალგორითმის მეორე საფეხურზე. ვინაიდან ჩვენ ვხსნით არამკაცრ კვადრატულ უტოლობას ≤ ნიშნით, უნდა განვსაზღვროთ ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს აბსცისის ქვემოთ და დავუმატოთ მათ გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

ნახაზიდან ირკვევა, რომ პარაბოლა x ღერძის ქვემოთ არის ინტერვალზე (−3, 1/3) და მას ვუმატებთ გადაკვეთის წერტილების აბსცისებს, ანუ რიცხვებს −3 და 1/3. შედეგად, მივდივართ რიცხვითი ინტერვალით [−3, 1/3]. ეს არის გამოსავალი, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ. ის შეიძლება დაიწეროს როგორც ორმაგი უტოლობა −3≤x≤1/3.

პასუხი:

[−3, 1/3] ან −3≤x≤1/3.

მაგალითი.

იპოვეთ კვადრატული უტოლობის ამონახსნი −x 2 +16 x−63<0 .

გამოსავალი.

ჩვეულებისამებრ, ვიწყებთ ნახატით. ცვლადის კვადრატის რიცხვითი კოეფიციენტი უარყოფითია, −1, შესაბამისად, პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ. მოდით გამოვთვალოთ დისკრიმინანტი, ან კიდევ უკეთესი, მისი მეოთხე ნაწილი: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. მისი მნიშვნელობა დადებითია, მოდით გამოვთვალოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები: და , x 1 =7 და x 2 =9. ასე რომ, პარაბოლა კვეთს Ox-ის ღერძს ორ წერტილში 7-ისა და 9-ის აბსცისებთან (პირველი უტოლობა მკაცრია, ამიტომ ჩვენ გამოვსახავთ ამ წერტილებს ცარიელი ცენტრით).

ვინაიდან ჩვენ ვხსნით მკაცრ კვადრატულ უტოლობას ნიშნით<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

ნახაზი აჩვენებს, რომ თავდაპირველი კვადრატული უტოლობის ამონახსნები არის ორი ინტერვალი (−∞, 7) , (9, +∞) .

პასუხი:

(−∞, 7)∪(9, +∞) ან სხვა x აღნიშვნით<7 , x>9 .

კვადრატული უტოლობების ამოხსნისას, როდესაც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი მის მარცხენა მხარეს არის ნულის ტოლი, ფრთხილად უნდა იყოთ ტანგენსტური წერტილის აბსცისის პასუხში ჩართვის ან გამორიცხვის შესახებ. ეს დამოკიდებულია უთანასწორობის ნიშანზე: თუ უთანასწორობა მკაცრია, მაშინ ეს არ არის უთანასწორობის გამოსავალი, მაგრამ თუ მკაცრი არ არის, მაშინ არის.

მაგალითი.

აქვს თუ არა კვადრატულ უტოლობას 10 x 2 −14 x+4.9≤0 ერთი ამონახსნი მაინც?

გამოსავალი.

გამოვსახოთ ფუნქცია y=10 x 2 −14 x+4.9. მისი ტოტები მიმართულია ზემოთ, რადგან x 2 კოეფიციენტი დადებითია და ის აბსცისის ღერძს ეხება აბსცისის 0.7 წერტილში, ვინაიდან D"=(−7) 2 −10 4.9=0, საიდანაც ან 0.7 სახით. ათობითი წილადის სქემატურად ასე გამოიყურება:

ვინაიდან ჩვენ ვხსნით კვადრატულ უტოლობას ≤ ნიშნით, მისი ამოხსნა იქნება ის ინტერვალები, რომლებზეც პარაბოლა მდებარეობს Ox ღერძის ქვემოთ, ასევე ტანგენტის წერტილის აბსცისა. ნახაზიდან ირკვევა, რომ არ არის არც ერთი უფსკრული, სადაც პარაბოლა იქნება Ox ღერძის ქვემოთ, ამიტომ მისი ამოხსნა იქნება მხოლოდ ტანგენტის წერტილის აბსცისა, ანუ 0,7.

პასუხი:

ამ უტოლობას აქვს უნიკალური გადაწყვეტა 0.7.

მაგალითი.

ამოხსენით კვადრატული უტოლობა –x 2 +8 x−16<0 .

გამოსავალი.

მივყვებით კვადრატული უტოლობების ამოხსნის ალგორითმს და ვიწყებთ გრაფიკის აგებით. პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვევით, ვინაიდან x 2 კოეფიციენტი უარყოფითია, −1. ვიპოვოთ კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი –x 2 +8 x−16, გვაქვს D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0და შემდგომ x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . ასე რომ, პარაბოლა ეხება Ox ღერძს აბსცისის წერტილში 4. მოდით გავაკეთოთ ნახატი:

ჩვენ ვუყურებთ თავდაპირველი უთანასწორობის ნიშანს, ის იქ არის<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

ჩვენს შემთხვევაში, ეს არის ღია სხივები (−∞, 4) , (4, +∞) . ცალკე აღვნიშნავთ, რომ 4 - შეხების წერტილის აბსციზა - არ არის გამოსავალი, რადგან შეხების წერტილში პარაბოლა არ არის დაბალი ვიდრე Ox ღერძი.

პასუხი:

(−∞, 4)∪(4, +∞) ან სხვა აღნიშვნით x≠4.

განსაკუთრებული ყურადღება მიაქციეთ შემთხვევებს, როდესაც კვადრატული უტოლობის მარცხენა მხარეს კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი ნულზე ნაკლებია. აქ არ არის საჭირო აჩქარება და იმის თქმა, რომ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები (ჩვენ მიჩვეულები ვართ ასეთი დასკვნის გაკეთებას კვადრატული განტოლებისთვის უარყოფითი დისკრიმინანტით). საქმე იმაშია, რომ კვადრატული უტოლობა დ<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

მაგალითი.

იპოვეთ ამონახსნი კვადრატული უტოლობის 3 x 2 +1>0.

გამოსავალი.

ჩვეულებისამებრ, ვიწყებთ ნახატით. კოეფიციენტი a არის 3, ის დადებითია, შესაბამისად, პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ. გამოვთვლით დისკრიმინანტს: D=0 2 −4·3·1=−12 . ვინაიდან დისკრიმინანტი უარყოფითია, პარაბოლას არ აქვს საერთო წერტილები Ox-ის ღერძთან. მიღებული ინფორმაცია საკმარისია სქემატური გრაფიკისთვის:

ჩვენ ვხსნით მკაცრ კვადრატულ უტოლობას > ნიშნით. მისი ამოხსნა იქნება ყველა ინტერვალი, რომელშიც პარაბოლა ოქსის ღერძზე მაღლაა. ჩვენს შემთხვევაში, პარაბოლა არის x ღერძის ზემოთ მთელ სიგრძეზე, ამიტომ სასურველი ამონახსნები იქნება ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

Ox , და თქვენ ასევე უნდა დაამატოთ მათ გადაკვეთის წერტილების აბსცისა ან ტანგენციის აბსცისა. მაგრამ ნახატიდან აშკარად ჩანს, რომ არ არსებობს ასეთი ინტერვალები (რადგან პარაბოლა ყველგან არის აბსცისის ღერძის ქვემოთ), ისევე, როგორც არ არსებობს გადაკვეთის წერტილები, ისევე როგორც არ არის ტანგენციის წერტილები. მაშასადამე, თავდაპირველ კვადრატულ უტოლობას არ აქვს ამონახსნები.

პასუხი:

გადაწყვეტილებების გარეშე ან სხვა ჩანაწერში ∅.

ბიბლიოგრაფია.

• Ალგებრა:სახელმძღვანელო მე-8 კლასისთვის. ზოგადი განათლება ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2008. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Ალგებრა:მე-9 კლასი: საგანმანათლებლო. ზოგადი განათლებისთვის ინსტიტუტები / [იუ. ნ. მაკარიჩევი, ნ.გ.მინდიუკი, კ.ი.ნეშკოვი, ს.ბ.სუვოროვა]; რედაქტორი S.A. თელიაკოვსკი. - მე-16 გამოცემა. - მ.: განათლება, 2009. - 271გვ. : ავად. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-8 კლასი. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A.G. Mordkovich. - მე-11 გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01155-2.
• მორდკოვიჩი ა.გ.Ალგებრა. მე-9 კლასი. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - მე-13 გამოცემა, წაშლილია. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 გვ.: ავად. ISBN 978-5-346-01752-3.
• მორდკოვიჩი ა.გ.ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის დასაწყისი. მე-11 კლასი. 2 საათში ნაწილი 1. სახელმძღვანელო ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების სტუდენტებისთვის (პროფილის დონე) / A.G. Mordkovich, P.V. Semenov. - მე-2 გამოცემა, წაშლილია. - მ.: მნემოსინე, 2008. - 287 გვ.: ილ. ISBN 978-5-346-01027-2.

განტოლებათა გრაფიკული ამოხსნა

ჰეიდეი, 2009 წელი

შესავალი

ძველ დროში კვადრატული განტოლებების ამოხსნის აუცილებლობა გამოწვეული იყო სახმელეთო და სამხედრო გათხრების ტერიტორიების მოძიებასთან დაკავშირებული ამოცანების გადაჭრის აუცილებლობით, აგრეთვე თავად ასტრონომიისა და მათემატიკის განვითარებით. ბაბილონელებმა შეძლეს კვადრატული განტოლებების ამოხსნა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 2000 წელს. ამ განტოლებების ამოხსნის წესი, რომელიც მოცემულია ბაბილონურ ტექსტებში, არსებითად ემთხვევა თანამედროვეებს, მაგრამ უცნობია, როგორ მივიდნენ ბაბილონელები ამ წესამდე.

ევროპაში კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები პირველად ჩამოყალიბდა აბაკუსის წიგნში, რომელიც დაიწერა 1202 წელს იტალიელმა მათემატიკოსმა ლეონარდო ფიბონაჩის მიერ. მისმა წიგნმა ხელი შეუწყო ალგებრული ცოდნის გავრცელებას არა მხოლოდ იტალიაში, არამედ გერმანიაში, საფრანგეთსა და ევროპის სხვა ქვეყნებში.

მაგრამ კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ზოგადი წესი, b და c კოეფიციენტების ყველა შესაძლო კომბინაციით, ჩამოყალიბდა ევროპაში მხოლოდ 1544 წელს მ.შტიფელის მიერ.

1591 წელს ფრანსუა ვიეტი შემოიღო კვადრატული განტოლებების ამოხსნის ფორმულები.

ძველ ბაბილონში მათ შეეძლოთ ამოხსნათ კვადრატული განტოლების ზოგიერთი ტიპი.

დიოფანტე ალექსანდრიელი და ევკლიდე, ალ-ხვარიზმიდა ომარ ხაიამიამოხსნილი განტოლებები გეომეტრიული და გრაფიკული მეთოდებით.

მე-7 კლასში ვსწავლობდით ფუნქციებს y = C, y =kx, y =kx+ მ, y =x 2,y = –x 2, მე-8 კლასში - y = √x, y =|x|, y =ნაჯახი2 + bx+ გ, y =კ/ x. მე-9 კლასის ალგებრის სახელმძღვანელოში ვნახე ფუნქციები, რომლებიც ჯერ არ იყო ჩემთვის ცნობილი: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– ა) 2 + (y –ბ) 2 = რ 2 და სხვები. არსებობს ამ ფუნქციების გრაფიკების აგების წესები. მაინტერესებდა იყო თუ არა სხვა ფუნქციები, რომლებიც ემორჩილება ამ წესებს.

ჩემი საქმეა ფუნქციის გრაფიკების შესწავლა და განტოლებების გრაფიკულად ამოხსნა.

1. რა ფუნქციებია?

ფუნქციის გრაფიკი არის კოორდინატთა სიბრტყის ყველა წერტილის ერთობლიობა, რომელთა აბსციები უდრის არგუმენტების მნიშვნელობებს, ხოლო ორდინატები ტოლია ფუნქციის შესაბამისი მნიშვნელობების.

წრფივი ფუნქცია მოცემულია განტოლებით y =kx+ ბ, სად კდა ბ- რამდენიმე რიცხვი. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი.

უკუპროპორციული ფუნქცია y =კ/ x, სადაც k ¹ 0. ამ ფუნქციის გრაფიკს ჰიპერბოლა ეწოდება.

ფუნქცია (x– ა) 2 + (y -ბ) 2 = რ2 , სად ა, ბდა რ- რამდენიმე რიცხვი. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის r რადიუსის წრე A წერტილში ცენტრით ( ა, ბ).

კვადრატული ფუნქცია წ= ნაჯახი2 + bx+ გსად A,ბ, თან- რამდენიმე რიცხვი და ა¹ 0. ამ ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა.

განტოლება ზე2 (ა– x) = x2 (ა+ x) . ამ განტოლების გრაფიკი იქნება მრუდი, რომელსაც სტროფოიდი ეწოდება.

/>განტოლება (x2 + წ2 ) 2 = ა(x2 – წ2 ) . ამ განტოლების გრაფიკს ბერნულის ლემნისკატი ეწოდება.

განტოლება. ამ განტოლების გრაფიკს ასტროიდი ეწოდება.

მრუდი (x2 წ2 - 2 ცალი)2 =4 ა2 (x2 + y2 ) . ამ მრუდს კარდიოიდი ეწოდება.

ფუნქციები: y =x 3 - კუბური პარაბოლა, y =x 4, y = 1/x 2.

2. განტოლების ცნება და მისი გრაფიკული ამოხსნა

განტოლება- გამონათქვამი, რომელიც შეიცავს ცვლადს.

ამოხსენით განტოლება- ეს ნიშნავს მისი ყველა ფესვის პოვნას, ან იმის მტკიცებას, რომ ისინი არ არსებობს.

განტოლების ფესვიარის რიცხვი, რომელიც განტოლებაში ჩანაცვლებისას წარმოქმნის სწორ რიცხვობრივ ტოლობას.

განტოლებების გრაფიკულად ამოხსნასაშუალებას გაძლევთ იპოვოთ ფესვების ზუსტი ან სავარაუდო მნიშვნელობა, საშუალებას გაძლევთ იპოვოთ განტოლების ფესვების რაოდენობა.

გრაფიკების აგებისა და განტოლებების ამოხსნისას გამოიყენება ფუნქციის თვისებები, რის გამოც მეთოდს ხშირად ფუნქციონალურ-გრაფიკულს უწოდებენ.

განტოლების ამოსახსნელად მას „ვყოფთ“ ორ ნაწილად, შემოგვაქვს ორი ფუნქცია, ვაშენებთ მათ გრაფიკებს და ვპოულობთ გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების კოორდინატებს. ამ წერტილების აბსციები არის განტოლების ფესვები.

3. ფუნქციის გრაფიკის გამოსახვის ალგორითმი

ფუნქციის გრაფიკის ცოდნა y =ვ(x) , შეგიძლიათ შექმნათ ფუნქციების გრაფიკები y =ვ(x+ მ) ,y =ვ(x)+ ლდა y =ვ(x+ მ)+ ლ. ყველა ეს გრაფიკი მიღებულია ფუნქციის გრაფიკიდან y =ვ(x) პარალელური ტარების ტრანსფორმაციის გამოყენებით: to │ მ│ მასშტაბის ერთეულები მარჯვნივ ან მარცხნივ x-ღერძის გასწვრივ და ზევით │ ლ│ მასშტაბის ერთეული ღერძის გასწვრივ მაღლა ან ქვევით წ.

4. კვადრატული განტოლების გრაფიკული ამოხსნა

კვადრატული ფუნქციის მაგალითის გამოყენებით განვიხილავთ კვადრატული განტოლების გრაფიკულ ამონახსნებს. კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა.

რა იცოდნენ ძველმა ბერძნებმა პარაბოლის შესახებ?

თანამედროვე მათემატიკური სიმბოლიზმი წარმოიშვა მე-16 საუკუნეში.

ძველ ბერძენ მათემატიკოსებს არც კოორდინატთა მეთოდი ჰქონდათ და არც ფუნქციის კონცეფცია. მიუხედავად ამისა, მათ დეტალურად შეისწავლეს პარაბოლის თვისებები. ძველი მათემატიკოსების გამომგონებლობა უბრალოდ გასაოცარია - ბოლოს და ბოლოს, მათ შეეძლოთ მხოლოდ ნახატების გამოყენება და დამოკიდებულებების სიტყვიერი აღწერილობები.

ყველაზე სრულად გამოიკვლია პარაბოლა, ჰიპერბოლა და ელიფსი აპოლონიუს პერგაელი, რომელიც ცხოვრობდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III საუკუნეში. მან დაარქვა ამ მრუდეებს სახელები და მიუთითა, თუ რა პირობებს აკმაყოფილებს ამა თუ იმ მრუდზე მოთავსებული წერტილები (ბოლოს და ბოლოს, ფორმულები არ იყო!).

პარაბოლის ასაგებად არსებობს ალგორითმი:

იპოვეთ პარაბოლის A წვეროს კოორდინატები (x0; y0): X=- ბ/2 ა;

y0=axo2+in0+s;

იპოვეთ პარაბოლის სიმეტრიის ღერძი (სწორი x=x0);

ᲒᲕᲔᲠᲓᲘᲡ ᲬᲧᲕᲔᲢᲐ--

ჩვენ ვადგენთ მნიშვნელობების ცხრილს საკონტროლო წერტილების ასაგებად;

ჩვენ ვაშენებთ მიღებულ წერტილებს და ვაშენებთ წერტილებს, რომლებიც სიმეტრიულია მათთან სიმეტრიის ღერძის მიმართ.

1. ალგორითმის გამოყენებით ავაშენებთ პარაბოლას წ= x2 – 2 x– 3 . ღერძთან გადაკვეთის წერტილების აბსციები xდა არის კვადრატული განტოლების ფესვები x2 – 2 x– 3 = 0.

ამ განტოლების გრაფიკულად ამოხსნის ხუთი გზა არსებობს.

2. მოდით გავყოთ განტოლება ორ ფუნქციად: წ= x2 და წ= 2 x+ 3

3. მოდით გავყოთ განტოლება ორ ფუნქციად: წ= x2 –3 და წ=2 x. განტოლების ფესვები არის პარაბოლისა და წრფის გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

4. გადააქციეთ განტოლება x2 – 2 x– 3 = 0 სრული კვადრატის ფუნქციებად იზოლირებით: წ= (x–1) 2 და წ=4. განტოლების ფესვები არის პარაბოლისა და წრფის გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

5. გაყავით განტოლების ორივე მხარე ტერმინებით x2 – 2 x– 3 = 0 on x, ვიღებთ x– 2 – 3/ x= 0 მოდით გავყოთ ეს განტოლება ორ ფუნქციად: წ= x– 2, წ= 3/ x. განტოლების ფესვები არის წრფისა და ჰიპერბოლის გადაკვეთის წერტილების აბსციები.

5. ხარისხის განტოლებების გრაფიკული ამოხსნან

მაგალითი 1.ამოხსენით განტოლება x5 = 3 – 2 x.

წ= x5 , წ= 3 – 2 x.

პასუხი: x = 1.

მაგალითი 2.ამოხსენით განტოლება 3 √ x= 10 – x.

ამ განტოლების ფესვები არის ორი ფუნქციის გრაფიკის გადაკვეთის წერტილის აბსციზა: წ= 3 √ x, წ= 10 – x.

პასუხი: x = 8.

დასკვნა

ფუნქციების გრაფიკების დათვალიერებისას: y =ნაჯახი2 + bx+ გ, y =კ/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, მე შევამჩნიე, რომ ყველა ეს გრაფიკი აგებულია ღერძებთან მიმართებაში პარალელური თარგმნის წესის მიხედვით xდა წ.

კვადრატული განტოლების ამოხსნის მაგალითის გამოყენებით შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ გრაფიკული მეთოდი ასევე გამოიყენება n ხარისხის განტოლებებისთვის.

განტოლებების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდები ლამაზი და გასაგებია, მაგრამ არ იძლევა რაიმე განტოლების ამოხსნის 100%-იან გარანტიას. გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები შეიძლება იყოს მიახლოებითი.

მე-9 კლასში და საშუალო სკოლაში გავაგრძელებ სხვა ფუნქციების გაცნობას. მაინტერესებს, ემორჩილება თუ არა ეს ფუნქციები პარალელური გადაცემის წესებს მათი გრაფიკების აგებისას.

მომავალ წელს ასევე მინდა განვიხილო განტოლებებისა და უტოლობების სისტემების გრაფიკული ამოხსნის საკითხები.

ლიტერატურა

1. ალგებრა. მე-7 კლასი. ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის / ა.გ. მორდკოვიჩი. M.: Mnemosyne, 2007 წ.

2. ალგებრა. მე-8 კლასი. ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის / ა.გ. მორდკოვიჩი. M.: Mnemosyne, 2007 წ.

3. ალგებრა. მე-9 კლასი. ნაწილი 1. სახელმძღვანელო საგანმანათლებლო დაწესებულებებისათვის / ა.გ. მორდკოვიჩი. M.: Mnemosyne, 2007 წ.

4. გლეიზერ გ.ი. მათემატიკის ისტორია სკოლაში. VII–VIII კლასები. – მ.: განათლება, 1982 წ.

5. ჟურნალი მათემატიკა No5 2009წ.; No8 2007 წელი; No23 2008 წ.

6. განტოლებების გრაფიკული ამოხსნა ინტერნეტში ვებგვერდები: Tol VIKI; სტიმული.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; გვერდი 3–6.htm.

სტავროპოლის ტერიტორიის განათლებისა და ახალგაზრდული პოლიტიკის სამინისტრო

სახელმწიფო საბიუჯეტო პროფესიული საგანმანათლებლო დაწესებულება

გეორგიევსკის რეგიონალური კოლეჯი "ინტეგრალი"

ინდივიდუალური პროექტი

დისციპლინაში „მათემატიკა: ალგებრა, მათემატიკური ანალიზის პრინციპები, გეომეტრია“

თემაზე: „განტოლებათა და უტოლობათა გრაფიკული ამოხსნა“

დაასრულა PK-61 ჯგუფის სტუდენტმა, რომელიც სწავლობს სპეციალობას

"პროგრამირება კომპიუტერულ სისტემებში"

ზელერი ტიმურ ვიტალიევიჩი

ხელმძღვანელი: მასწავლებელი სერკოვა ნ.ა.

Მიღების თარიღი:"" 2017 წელი

დაცვის თარიღი:"" 2017 წელი

გეორგიევსკი 2017 წ

განმარტებითი შენიშვნა

პროექტის მიზანი:

სამიზნე: გაარკვიეთ განტოლებებისა და უტოლობათა ამოხსნის გრაფიკული მეთოდის უპირატესობები.

Დავალებები:

შეადარეთ განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ანალიტიკური და გრაფიკული მეთოდები.

გაარკვიეთ რა შემთხვევებში აქვს გრაფიკულ მეთოდს უპირატესობა.

განვიხილოთ განტოლებების ამოხსნა მოდულითა და პარამეტრით.

კვლევის აქტუალობა: სხვადასხვა ავტორის სახელმძღვანელოებში „ალგებრა და მათემატიკური ანალიზის საწყისები“ განტოლებათა და უტოლობათა გრაფიკული ამოხსნისთვის მიძღვნილი მასალის ანალიზი ამ თემის შესწავლის მიზნების გათვალისწინებით. ასევე განსახილველ თემასთან დაკავშირებული სავალდებულო სწავლის შედეგები.

შინაარსი

შესავალი

1. განტოლებები პარამეტრებით

1.1. განმარტებები

1.2. ამოხსნის ალგორითმი

1.3. მაგალითები

2. უტოლობები პარამეტრებთან

2.1. განმარტებები

2.2. ამოხსნის ალგორითმი

2.3. მაგალითები

3. გრაფიკების გამოყენება განტოლებების ამოხსნისას

3.1. კვადრატული განტოლების გრაფიკული ამოხსნა

3.2. განტოლებათა სისტემები

3.3. ტრიგონომეტრიული განტოლებები

4. გრაფიკების გამოყენება უტოლობების ამოხსნისას

5.დასკვნა

6. ლიტერატურა

შესავალი

მრავალი ფიზიკური პროცესის და გეომეტრიული ნიმუშის შესწავლა ხშირად იწვევს პარამეტრებთან დაკავშირებული პრობლემების გადაჭრას. ზოგიერთი უნივერსიტეტი ასევე შეიცავს განტოლებებს, უტოლობას და მათ სისტემებს საგამოცდო ნაშრომებში, რომლებიც ხშირად ძალიან რთულია და ამოხსნის არასტანდარტულ მიდგომას მოითხოვს. სკოლაში სასკოლო მათემატიკის კურსის ეს ერთ-ერთი ყველაზე რთული განყოფილება განიხილება მხოლოდ რამდენიმე არჩევით კლასში.

ამ ნაშრომის მომზადებისას, მე დავსახე ამ თემის უფრო ღრმა შესწავლის მიზანი, ყველაზე რაციონალური გადაწყვეტის გამოვლენა, რომელიც სწრაფად მიგვიყვანს პასუხამდე. ჩემი აზრით, გრაფიკული მეთოდი არის მოსახერხებელი და სწრაფი გზა განტოლებებისა და უტოლობების პარამეტრებით ამოსახსნელად.

ჩემი პროექტი განიხილავს განტოლებების, უტოლობების და მათ სისტემებს, რომლებიც ხშირად გვხვდება.

1. განტოლებები პარამეტრებით

1. ძირითადი განმარტებები

განვიხილოთ განტოლება

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

სადაც a, b, c, …, k, x არის ცვლადი სიდიდეები.

ცვლადი მნიშვნელობების ნებისმიერი სისტემა

a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

რომელშიც ამ განტოლების ორივე მარცხენა და მარჯვენა მხარე იღებს რეალურ მნიშვნელობებს, ეწოდება a, b, c, ..., k, x ცვლადების დასაშვები მნიშვნელობების სისტემა. მოდით A იყოს a-ს ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე, B იყოს b-ის ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე და ა.შ., X იყოს x-ის ყველა დასაშვები მნიშვნელობის სიმრავლე, ე.ი. aA, bB, …, xX. თუ A, B, C, …, K სიმრავლეებიდან ავირჩევთ და ვაფიქსირებთ, შესაბამისად, ერთ მნიშვნელობას a, b, c, …, k და ჩავანაცვლებთ მათ განტოლებაში (1), მაშინ მივიღებთ განტოლებას x-ისთვის, ე.ი. განტოლება ერთი უცნობით.

ცვლადებს a, b, c, ..., k, რომლებიც განტოლების ამოხსნისას მუდმივად ითვლება, პარამეტრებს უწოდებენ, ხოლო თავად განტოლებას პარამეტრების შემცველი განტოლება.

პარამეტრები აღინიშნა ლათინური ანბანის პირველი ასოებით: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, ხოლო უცნობი - x, y, z ასოებით.

პარამეტრებით განტოლების ამოხსნა ნიშნავს იმის მითითებას, თუ რა პარამეტრების მნიშვნელობებზე არსებობს ამონახსნები და რა არის ისინი.

ორ განტოლებას, რომელიც შეიცავს ერთსა და იმავე პარამეტრებს, ეწოდება ეკვივალენტური, თუ:

ა) მათ აქვთ აზრი იმავე პარამეტრის მნიშვნელობებზე;

ბ) პირველი განტოლების ყოველი ამონახსნი არის მეორე და პირიქით.

1. ამოხსნის ალგორითმი

იპოვეთ განტოლების განსაზღვრის სფერო.

გამოვხატავთ a-ს x-ის ფუნქციით.

xOa კოორდინატთა სისტემაში ვაშენებთ a=(x) ფუნქციის გრაფიკს x-ის იმ მნიშვნელობებისთვის, რომლებიც შედის ამ განტოლების განსაზღვრის დომენში.

ვპოულობთ a=c წრფის გადაკვეთის წერტილებს, სადაც c(-;+) a=(x) ფუნქციის გრაფიკით თუ წრფივი a=c კვეთს გრაფიკს a=(). x), შემდეგ განვსაზღვრავთ გადაკვეთის წერტილების აბსციებს. ამისათვის საკმარისია ამოხსნათ განტოლება a=(x) x-ისთვის.

ჩვენ ვწერთ პასუხს.

1. მაგალითები

I. ამოხსენით განტოლება

(1)

გამოსავალი.

ვინაიდან x=0 არ არის განტოლების ფესვი, განტოლება შეიძლება გადაწყდეს:

ან

ფუნქციის გრაფიკი არის ორი „წებოვანი“ ჰიპერბოლა. თავდაპირველი განტოლების ამონახსნების რაოდენობა განისაზღვრება აგებული წრფის გადაკვეთის წერტილებისა და y=a სწორი წრფის რაოდენობით.

თუ a  (-;-1](1;+) , მაშინ სწორი y=a კვეთს (1) განტოლების გრაფიკს ერთ წერტილში.განტოლების ამოხსნისას ვიპოვით ამ წერტილის აბსცისს. x-სთვის.

ამრიგად, ამ ინტერვალზე, განტოლებას (1) აქვს ამონახსნი.

თუ a , მაშინ სწორი y=a კვეთს (1) განტოლების გრაფიკს ორ წერტილში. ამ წერტილების აბსცისები შეიძლება ვიპოვოთ განტოლებიდან და მივიღებთ

და.

თუ a , მაშინ სწორი y=a არ კვეთს (1) განტოლების გრაფიკს, შესაბამისად ამონახსნები არ არსებობს.

პასუხი:

თუ a  (-;-1](1;+), მაშინ;

თუ a  , მაშინ;

თუ a  , მაშინ გამოსავალი არ არსებობს.

II. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომლის განტოლებას სამი განსხვავებული ფესვი აქვს.

გამოსავალი.

განტოლების სახით გადაწერით და ფუნქციების წყვილის განხილვით, შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ პარამეტრის a და მხოლოდ ისინი სასურველი მნიშვნელობები შეესაბამება ფუნქციის გრაფიკის იმ პოზიციებს, რომლებშიც მას აქვს ზუსტად სამი გადაკვეთის წერტილი. ფუნქციის გრაფიკი.

xOy კოორდინატთა სისტემაში ჩვენ ავაშენებთ ფუნქციის გრაფიკს). ამისათვის ჩვენ შეგვიძლია წარმოვადგინოთ იგი ფორმაში და, ოთხი წარმოქმნილი შემთხვევის განხილვის შემდეგ, დავწეროთ ეს ფუნქცია ფორმაში

ვინაიდან ფუნქციის გრაფიკი არის სწორი ხაზი, რომელსაც აქვს დახრილობის კუთხე Ox ღერძის მიმართ და კვეთს Oy ღერძს კოორდინატებით (0, a) წერტილში, დავასკვნათ, რომ სამი მითითებული გადაკვეთის წერტილის მიღება შესაძლებელია მხოლოდ. იმ შემთხვევაში, როდესაც ეს ხაზი ეხება ფუნქციის გრაფიკს. ამიტომ ვპოულობთ წარმოებულს

პასუხი:.

III. იპოვეთ a პარამეტრის ყველა მნიშვნელობა, რომელთაგან თითოეული განტოლებათა სისტემაა

აქვს გადაწყვეტილებები.

გამოსავალი.

სისტემის პირველი განტოლებიდან, რომელსაც მივიღებთ მაშასადამე, ეს განტოლება განსაზღვრავს "ნახევრად პარაბოლების" ოჯახს - პარაბოლის მარჯვენა ტოტები "სრიალებს" თავიანთი წვეროებით აბსცისის ღერძის გასწვრივ.

ავირჩიოთ სრული კვადრატები მეორე განტოლების მარცხენა მხარეს და გავამრავლოთ იგი

სიბრტყის წერტილების სიმრავლე, რომელიც აკმაყოფილებს მეორე განტოლებას, არის ორი სწორი ხაზი

მოდით გავარკვიოთ პარამეტრის რა მნიშვნელობებზე აქვს მრუდი "ნახევრად პარაბოლების" ოჯახიდან მინიმუმ ერთი საერთო წერტილი ერთ-ერთ სწორ ხაზთან.

თუ ნახევრადპარაბოლების წვეროები მდებარეობს A წერტილის მარჯვნივ, მაგრამ B წერტილის მარცხნივ (B წერტილი შეესაბამება "ნახევარპარაბოლის" წვეროს, რომელიც ეხება

სწორი ხაზი), მაშინ განხილულ გრაფიკებს არ აქვთ საერთო წერტილები. თუ "ნახევრად პარაბოლას" წვერო ემთხვევა A წერტილს, მაშინ.

ჩვენ განვსაზღვრავთ "ნახევრად პარაბოლას" ხაზთან შეხების შემთხვევას სისტემის უნიკალური ხსნარის არსებობის მდგომარეობიდან.

ამ შემთხვევაში, განტოლება

აქვს ერთი ფესვი, საიდანაც ვპოულობთ:

შესაბამისად, თავდაპირველ სისტემას არ აქვს გამოსავალი, მაგრამ აქვს ან აქვს მინიმუმ ერთი გამოსავალი.

პასუხი: a  (-;-3] (;+).

IV. ამოხსენით განტოლება

გამოსავალი.

ტოლობის გამოყენებით გადავიწერთ მოცემულ განტოლებას ფორმაში

ეს განტოლება სისტემის ტოლფასია

განტოლებას ვწერთ ფორმაში

. (*)

ბოლო განტოლება ყველაზე მარტივი ამოსახსნელია გეომეტრიული მოსაზრებების გამოყენებით. ავაშენოთ ფუნქციების გრაფიკები და გრაფიკიდან გამომდინარეობს, რომ გრაფიკები არ იკვეთება და, შესაბამისად, განტოლებას არ აქვს ამონახსნები.

თუ, მაშინ როდესაც ფუნქციების გრაფიკები ემთხვევა და, შესაბამისად, ყველა მნიშვნელობა არის განტოლების ამონახსნები (*).

როდესაც გრაფიკები იკვეთება ერთ წერტილში, რომლის აბსციზა არის. ამრიგად, როდესაც განტოლებას (*) აქვს უნიკალური ამონახსნი - .

მოდით ახლა გამოვიკვლიოთ, თუ რა მნიშვნელობებით დააკმაყოფილებს (*) განტოლების ნაპოვნი ამონახსნები პირობებს

დაე მერე იყოს. სისტემა მიიღებს ფორმას

მისი ამონახსნი იქნება x (1;5) ინტერვალი. ამის გათვალისწინებით, შეგვიძლია დავასკვნათ, რომ თუ თავდაპირველი განტოლება აკმაყოფილებს x-ის ყველა მნიშვნელობას ინტერვალიდან, საწყისი უტოლობა უდრის სწორი რიცხვითი უტოლობის 2-ს.<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

ინტეგრალზე (1;+∞) კვლავ ვიღებთ წრფივ უტოლობას 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

თუმცა, იგივე შედეგი შეიძლება მივიღოთ ვიზუალური და ამავე დროს მკაცრი გეომეტრიული მოსაზრებებიდან. სურათი 7 გვიჩვენებს ფუნქციის გრაფიკებს:წ= ვ( x)=| x-1|+| x+1| დაწ=4.

სურათი 7.

ფუნქციის ინტეგრალურ (-2;2) გრაფიკზეწ= ვ(x) მდებარეობს y=4 ფუნქციის გრაფიკის ქვეშ, რაც ნიშნავს, რომ უტოლობავ(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )უტოლობები პარამეტრებთან.

უტოლობების ამოხსნა ერთი ან მეტი პარამეტრით, როგორც წესი, უფრო რთული ამოცანაა იმ პრობლემასთან შედარებით, რომელშიც პარამეტრი არ არის.

მაგალითად, უტოლობა √a+x+√a-x>4, რომელიც შეიცავს a პარამეტრს, ბუნებრივია, გაცილებით მეტ ძალისხმევას მოითხოვს ამოსახსნელად, ვიდრე უტოლობა √1+x + √1-x>1.

რას ნიშნავს ამ უტოლობებიდან პირველის ამოხსნა? ეს, არსებითად, ნიშნავს არა მხოლოდ ერთი უტოლობის, არამედ მთელი კლასის, უტოლობების მთელი ნაკრების ამოხსნას, რომლებიც მიიღება თუ პარამეტრს a მივანიჭებთ კონკრეტულ ციფრულ მნიშვნელობებს. დაწერილი უტოლობებიდან მეორე არის პირველის განსაკუთრებული შემთხვევა, რადგან მისგან მიღებულია a = 1 მნიშვნელობით.

ამრიგად, პარამეტრების შემცველი უტოლობის ამოხსნა ნიშნავს იმის დადგენა, თუ რა პარამეტრების მნიშვნელობებზე აქვს უტოლობას ამონახსნები და ყველა ასეთი პარამეტრის მნიშვნელობებისთვის ყველა ამონახსნის პოვნა.

მაგალითი 1:

ამოხსენით უტოლობა |x-a|+|x+a|< ბ, ა<>0.

ამ უტოლობის ამოხსნა ორი პარამეტრითა u ბმოდით გამოვიყენოთ გეომეტრიული მოსაზრებები. 8 და 9 სურათებზე ნაჩვენებია ფუნქციის გრაფიკები.

ი= ვ(x)=| x- ა|+| x+ ა| u წ= ბ.

აშკარაა, რომ როცაბ<=2| ა| სწორიწ= ბარ გადის მრუდის ჰორიზონტალური სეგმენტის ზემოთწ=| x- ა|+| x+ ა| და, შესაბამისად, უთანასწორობას ამ შემთხვევაში არ აქვს ამონახსნები (სურათი 8). თუბ>2| ა|, შემდეგ ხაზიწ= ბკვეთს ფუნქციის გრაფიკსწ= ვ(x) ორ წერტილში (-ბ/2; ბ) u (ბ/2; ბ)(სურათი 6) და უტოლობა ამ შემთხვევაში მოქმედებს -ბ/2< x< ბ/2, ვინაიდან ცვლადის ამ მნიშვნელობებისთვის მრუდიწ=| x+ ა|+| x- ა| მდებარეობს სწორი ხაზის ქვეშწ= ბ.

პასუხი: თუბ<=2| ა| მაშინ გამოსავალი არ არის,

თუბ>2| ა|, შემდეგx €(- ბ/2; ბ/2).

III) ტრიგონომეტრიული უტოლობები:

ტრიგონომეტრიული ფუნქციებით უტოლობების ამოხსნისას არსებითად გამოიყენება ამ ფუნქციების პერიოდულობა და მათი ერთფეროვნება შესაბამის ინტერვალებზე. უმარტივესი ტრიგონომეტრიული უტოლობა. ფუნქციაცოდვა xაქვს დადებითი პერიოდი 2π. მაშასადამე, ფორმის უტოლობები:sin x>a, sin x>=a,

ცოდვა x

საკმარისია ჯერ ამოხსნათ 2 სიგრძის ზოგიერთ სეგმენტზეπ . ჩვენ ვიღებთ ყველა ამონახსნის სიმრავლეს ამ სეგმენტზე ნაპოვნი თითოეულ ამონახსნის ფორმის 2-ის ნომრების დამატებით.π p, pЄზ.

მაგალითი 1: უტოლობის ამოხსნაცოდვა x>-1/2.(სურათი 10)

ჯერ ეს უტოლობა მოვაგვაროთ [-π/2;3π/2] ინტერვალზე. განვიხილოთ მისი მარცხენა მხარე - სეგმენტი [-π/2;3π/2] აქ არის განტოლებაცოდვა x=-1/2 აქვს ერთი ამონახსნი x=-π/6; და ფუნქციაცოდვა xმონოტონურად იზრდება. ეს ნიშნავს, რომ თუ –π/2<= x<= -π/6, то ცოდვა x<= ცოდვა(- π /6)=-1/2, ე.ი. x-ის ეს მნიშვნელობები არ არის უტოლობის ამოხსნა. თუ –π/6<х<=π/2 то ცოდვა x> ცოდვა(-π/6) = –1/2. x-ის ყველა ეს მნიშვნელობა არ არის უტოლობის ამოხსნა.

დარჩენილ სეგმენტზე [π/2;3π/2] ფუნქციაცოდვა xგანტოლებაც მონოტონურად მცირდებაცოდვა x= -1/2 აქვს ერთი ამონახსნი x=7π/6. ამიტომ, თუ π/2<= x<7π/, то ცოდვა x> ცოდვა(7π/6)=-1/2, ე.ი. x-ის ყველა ეს მნიშვნელობა არის უტოლობის ამონახსნები. ამისთვისxᲩვენ გვაქვსცოდვა x<= ცოდვა(7π/6)=-1/2, x-ის ეს მნიშვნელობები არ არის ამონახსნები. ამრიგად, ამ უტოლობის ყველა ამონახსნის სიმრავლე [-π/2;3π/2] ინტერვალზე არის ინტეგრალი (-π/6;7π/6).

ფუნქციის პერიოდულობის გამოცოდვა xx-ის 2π მნიშვნელობების პერიოდით ნებისმიერი ფორმის ინტეგრალიდან: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄზ, ასევე არის უთანასწორობის გადაწყვეტილებები. x-ის არცერთი სხვა მნიშვნელობა არ არის ამ უტოლობის ამოხსნა.

პასუხი: -π/6+2πნ< x<7π/6+2π ნ, სადნЄ ზ.

დასკვნა

განვიხილეთ განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი; ჩვენ განვიხილეთ კონკრეტული მაგალითები, რომელთა ამოხსნაში გამოყენებული იყო ფუნქციების ისეთი თვისებები, როგორიცაა ერთფეროვნება და პარიტეტი.სამეცნიერო ლიტერატურისა და მათემატიკის სახელმძღვანელოების ანალიზმა შესაძლებელი გახადა შერჩეული მასალის სტრუქტურირება კვლევის მიზნების შესაბამისად, შერჩეული და შემუშავებული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის ეფექტური მეთოდები. ნაშრომში წარმოდგენილია განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის გრაფიკული მეთოდი და მაგალითები, რომლებშიც გამოიყენება ეს მეთოდები. პროექტის შედეგად შეიძლება ჩაითვალოს შემოქმედებითი ამოცანები, როგორც დამხმარე მასალა გრაფიკული მეთოდით განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნის უნარის გასავითარებლად.

გამოყენებული ლიტერატურის სია

Dalinger V. A. "გეომეტრია ეხმარება ალგებრას." გამომცემლობა "სკოლა - პრესა". მოსკოვი 1996 წ

Dalinger V. A. ”ყველაფერი იმისთვის, რომ წარმატებას მიაღწიოს მათემატიკაში დასკვნით და მისაღებ გამოცდებში.” ომსკის პედაგოგიური უნივერსიტეტის გამომცემლობა. ომსკი 1995 წ

Okunev A. A. "განტოლების გრაფიკული ამოხსნა პარამეტრებით." გამომცემლობა "სკოლა - პრესა". მოსკოვი 1986 წ

Pismensky D.T. "მათემატიკა საშუალო სკოლის მოსწავლეებისთვის". გამომცემლობა "ირისი". მოსკოვი 1996 წ

Yastribinetsky G. A. "განტოლებები და უტოლობები, რომლებიც შეიცავს პარამეტრებს." გამომცემლობა "პროსვეშჩენიე". მოსკოვი 1972 წ

G. Korn და T. Korn "მათემატიკის სახელმძღვანელო". გამომცემლობა „მეცნიერება“ ფიზიკურ-მათემატიკური ლიტერატურა. მოსკოვი 1977 წ

ამელკინ V.V. და Rabtsevich V.L. "პრობლემები პარამეტრებთან". გამომცემლობა "ასარი". მინსკი 1996 წ

ინტერნეტ რესურსები

გრაფიკული მეთოდი კვადრატული უტოლობების ამოხსნის ერთ-ერთი მთავარი მეთოდია. სტატიაში წარმოგიდგენთ გრაფიკული მეთოდის გამოყენების ალგორითმს, შემდეგ კი განვიხილავთ სპეციალურ შემთხვევებს მაგალითების გამოყენებით.

გრაფიკული მეთოდის არსი

მეთოდი გამოიყენება ნებისმიერი უტოლობის გადასაჭრელად, არა მხოლოდ კვადრატული. მისი არსი ასეთია: უტოლობის მარჯვენა და მარცხენა მხარეები განიხილება როგორც ორი ცალკეული ფუნქცია y = f (x) და y = g (x), მათი გრაფიკები გამოსახულია მართკუთხა კოორდინატულ სისტემაში და შეხედეთ რომელი გრაფიკია. მდებარეობს მეორის ზემოთ და რომელ ინტერვალებზე. ინტერვალები ფასდება შემდეგნაირად:

განმარტება 1

• f (x) > g (x) უტოლობის ამონახსნები არის ინტერვალები, სადაც f ფუნქციის გრაფიკი უფრო მაღალია, ვიდრე g ფუნქციის გრაფიკი;
• f (x) ≥ g (x) უტოლობის ამონახსნები არის ინტერვალები, სადაც f ფუნქციის გრაფიკი არ არის g ფუნქციის გრაფიკზე დაბალი;
• f(x) უტოლობის ამონახსნები< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• f (x) ≤ g (x) უტოლობის ამონახსნები არის ინტერვალები, სადაც f ფუნქციის გრაფიკი არ არის g ფუნქციის გრაფიკზე მაღალი;
• f და g ფუნქციების გრაფიკების გადაკვეთის წერტილების აბსციები არის f (x) = g (x) განტოლების ამონახსნები.

მოდით შევხედოთ ზემოთ მოცემულ ალგორითმს მაგალითის გამოყენებით. ამისათვის აიღეთ კვადრატული უტოლობა a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) და მისგან გამოიღეთ ორი ფუნქცია. უტოლობის მარცხენა მხარე შეესაბამება y = a · x 2 + b · x + c (ამ შემთხვევაში f (x) = a · x 2 + b · x + c), ხოლო მარჯვენა მხარე y = 0 ( ამ შემთხვევაში g (x) = 0).

პირველი ფუნქციის გრაფიკი არის პარაბოლა, მეორე არის სწორი ხაზი, რომელიც ემთხვევა x ღერძს Ox. გავაანალიზოთ პარაბოლის პოზიცია O x ღერძთან მიმართებაში. ამისათვის მოდით გავაკეთოთ სქემატური ნახაზი.

პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ. ის კვეთს O x ღერძს წერტილებში x 1და x 2. კოეფიციენტი a ამ შემთხვევაში დადებითია, რადგან სწორედ ის არის პასუხისმგებელი პარაბოლის ტოტების მიმართულებაზე. დისკრიმინანტი დადებითია, რაც მიუთითებს იმაზე, რომ კვადრატულ ტრინომს ორი ფესვი აქვს a x 2 + b x + c. ტრინომის ფესვებს აღვნიშნავთ როგორც x 1და x 2, და მიღებული იყო რომ x 1< x 2 , ვინაიდან აბსცისის წერტილი გამოსახულია O x ღერძზე x 1აბსცისის წერტილის მარცხნივ x 2.

O x ღერძის ზემოთ მდებარე პარაბოლას ნაწილები წითლად იქნება აღნიშნული, ქვემოთ - ლურჯით. ეს საშუალებას მოგვცემს ნახატი უფრო ვიზუალური გავხადოთ.

ავირჩიოთ ის ადგილები, რომლებიც შეესაბამება ამ ნაწილებს და მოვნიშნოთ ისინი სურათზე გარკვეული ფერის ველებით.

წითლად აღვნიშნეთ ინტერვალები (− ∞, x 1) და (x 2, + ∞), მათზე პარაბოლა არის O x ღერძის ზემოთ. ისინი არიან a · x 2 + b · x + c > 0. ჩვენ ლურჯად აღვნიშნეთ ინტერვალი (x 1 , x 2), რომელიც არის a x 2 + b x + c უტოლობის ამოხსნა.< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

მოდით გავაკეთოთ გადაწყვეტის მოკლე შინაარსი. a > 0-სთვის და D = b 2 − 4 a c > 0 (ან D " = D 4 > 0 ლუწი კოეფიციენტისთვის b) მივიღებთ:

• კვადრატული უტოლობის ამონახსნი a x 2 + b x + c > 0 არის (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x< x 1 , x >x2;
• კვადრატული უტოლობის ამონახსნი a · x 2 + b · x + c ≥ 0 არის (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• a x 2 + b x + c კვადრატული უტოლობის ამოხსნა< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• a x 2 + b x + c ≤ 0 კვადრატული უტოლობის ამონახსნი არის [ x 1 , x 2 ] ან სხვა აღნიშვნით x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

სადაც x 1 და x 2 არის a x 2 + b x + c კვადრატული ტრინომის ფესვები და x 1< x 2 .

ამ ფიგურაში პარაბოლა ეხება O x ღერძს მხოლოდ ერთ წერტილში, რომელიც მითითებულია როგორც x 0 a > 0. D=0მაშასადამე, კვადრატულ ტრინომს აქვს ერთი ფესვი x 0.

პარაბოლა მდებარეობს O x ღერძის ზემოთ მთლიანად, გარდა კოორდინატთა ღერძის მიზიდულობის წერტილისა. მოდით გავაფერადოთ ინტერვალები (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

დავწეროთ შედეგები. ზე a > 0და D=0:

• კვადრატული უტოლობის ამოხსნა a x 2 + b x + c > 0არის (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x ≠ x 0;
• კვადრატული უტოლობის ამოხსნა a x 2 + b x + c ≥ 0არის (− ∞ , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x ∈ R;
• კვადრატული უტოლობა a x 2 + b x + c< 0 არ აქვს ამონახსნები (არ არსებობს ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს ღერძის ქვემოთ O x);
• კვადრატული უტოლობა a x 2 + b x + c ≤ 0აქვს უნიკალური გადაწყვეტა x = x 0(ეს მოცემულია კონტაქტის წერტილით),

სად x 0- კვადრატული ტრინომის ფესვი a x 2 + b x + c.

განვიხილოთ მესამე შემთხვევა, როდესაც პარაბოლის ტოტები მიმართულია ზემოთ და არ ეხება ღერძს. O x. პარაბოლას ტოტები მიმართულია ზემოთ, რაც იმას ნიშნავს a > 0. კვადრატულ ტრინომს არ აქვს ნამდვილი ფესვები, რადგან დ< 0 .

გრაფიკზე არ არის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა იქნება x ღერძის ქვემოთ. ჩვენ ამას გავითვალისწინებთ ჩვენი ნახატის ფერის არჩევისას.

თურმე როცა a > 0და დ< 0 კვადრატული უტოლობების ამოხსნა a x 2 + b x + c > 0და a x 2 + b x + c ≥ 0არის ყველა რეალური რიცხვისა და უტოლობების სიმრავლე a x 2 + b x + c< 0 და a x 2 + b x + c ≤ 0არ აქვს გადაწყვეტილებები.

ჩვენ გვაქვს სამი ვარიანტი გასათვალისწინებელი, როდესაც პარაბოლის ტოტები მიმართულია ქვემოთ. არ არის საჭირო ამ სამ ვარიანტზე დეტალურად საუბარი, რადგან როცა უტოლობის ორივე მხარეს გავამრავლებთ − 1-ზე, ვიღებთ ეკვივალენტურ უტოლობას დადებითი კოეფიციენტით x 2-ზე.

სტატიის წინა ნაწილის განხილვამ მოგვამზადა გრაფიკული მეთოდის გამოყენებით უტოლობების ამოხსნის ალგორითმის აღქმისთვის. გამოთვლების განსახორციელებლად, ყოველ ჯერზე დაგვჭირდება ნახაზის გამოყენება, რომელიც გამოსახავს კოორდინატთა ხაზს O x და პარაბოლას, რომელიც შეესაბამება კვადრატულ ფუნქციას. y = a x 2 + b x + c. უმეტეს შემთხვევაში, ჩვენ არ გამოვსახავთ O y ღერძს, რადგან ის არ არის საჭირო გამოთვლებისთვის და მხოლოდ გადატვირთავს ნახატს.

პარაბოლის ასაგებად, ჩვენ უნდა ვიცოდეთ ორი რამ:

განმარტება 2

• ტოტების მიმართულება, რომელიც განისაზღვრება a კოეფიციენტის მნიშვნელობით;
• პარაბოლისა და აბსცისის ღერძის გადაკვეთის წერტილების არსებობა, რომლებიც განისაზღვრება კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტის მნიშვნელობით a · x 2 + b · x + c.

გადაკვეთისა და ტანგენციის წერტილებს ჩვეული წესით აღვნიშნავთ არამკაცრი უტოლობების ამოხსნისას და ცარიელის მკაცრის ამოხსნისას.

დასრულებული ნახაზის არსებობა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ გადაწყვეტის შემდეგ ეტაპზე. ის გულისხმობს ინტერვალების განსაზღვრას, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს O x ღერძის ზემოთ ან ქვემოთ. ინტერვალები და გადაკვეთის წერტილები არის კვადრატული უტოლობის ამოხსნა. თუ არ არის გადაკვეთის ან ტანგენციის წერტილები და არ არის ინტერვალები, მაშინ ითვლება, რომ პრობლემის პირობებში მითითებულ უტოლობას არ აქვს გამოსავალი.

ახლა მოდით ამოვხსნათ რამდენიმე კვადრატული უტოლობა ზემოაღნიშნული ალგორითმის გამოყენებით.

მაგალითი 1

აუცილებელია 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 უტოლობა გრაფიკულად ამოხსნათ.

გამოსავალი

დავხატოთ კვადრატული ფუნქციის გრაფიკი y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . კოეფიციენტი at x 2დადებითი, რადგან ის თანაბარია 2 . ეს ნიშნავს, რომ პარაბოლას ტოტები მიმართული იქნება ზემოთ.

გამოვთვალოთ კვადრატული ტრინომის 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 დისკრიმინანტი, რათა გავარკვიოთ აქვს თუ არა პარაბოლას საერთო წერტილები აბსცისის ღერძთან. ჩვენ ვიღებთ:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

როგორც ვხედავთ, D ნულზე მეტია, შესაბამისად, გვაქვს ორი გადაკვეთის წერტილი: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 და x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, ანუ, x 1 = - 3და x 2 = 1 3.

ვხსნით არამკაცრ უტოლობას, ამიტომ გრაფიკზე ვსვამთ ჩვეულებრივ წერტილებს. მოდით დავხატოთ პარაბოლა. როგორც ხედავთ, ნახატს ისეთივე გარეგნობა აქვს, როგორც ჩვენ განვიხილეთ პირველ შაბლონში.

ჩვენს უთანასწორობას აქვს ნიშანი ≤. ამიტომ, ჩვენ უნდა გამოვყოთ ის ინტერვალები გრაფიკზე, სადაც პარაბოლა მდებარეობს O x ღერძის ქვემოთ და დავამატოთ მათ გადაკვეთის წერტილები.

ინტერვალი, რომელიც გვჭირდება არის 3, 1 3. ჩვენ მას ვუმატებთ გადაკვეთის წერტილებს და ვიღებთ რიცხვით სეგმენტს − 3, 1 3. ეს არის ჩვენი პრობლემის გადაწყვეტა. პასუხი შეიძლება დაიწეროს ორმაგი უტოლობის სახით: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

პასუხი:− 3 , 1 3 ან − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

მაგალითი 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 გრაფიკული მეთოდი.

გამოსავალი

ცვლადის კვადრატს აქვს უარყოფითი რიცხვითი კოეფიციენტი, ამიტომ პარაბოლას ტოტები მიმართული იქნება ქვემოთ. გამოვთვალოთ დისკრიმინანტის მეოთხე ნაწილი D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. ეს შედეგი გვეუბნება, რომ იქნება ორი გადაკვეთის წერტილი.

გამოვთვალოთ კვადრატული ტრინომის ფესვები: x 1 = - 8 + 1 - 1 და x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 და x 2 = 9.

გამოდის, რომ პარაბოლა კვეთს x ღერძს წერტილებში 7 და 9 . მოდი, გრაფიკზე ეს წერტილები ცარილად აღვნიშნოთ, რადგან ვმუშაობთ მკაცრ უთანასწორობაზე. ამის შემდეგ დახაზეთ პარაბოლა, რომელიც კვეთს O x ღერძს მონიშნულ წერტილებში.

ჩვენ დავინტერესდებით იმ ინტერვალებით, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს O x ღერძის ქვემოთ. მოდი აღვნიშნოთ ეს ინტერვალები ლურჯად.

ვიღებთ პასუხს: უტოლობის ამონახსნი არის ინტერვალები (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

პასუხი:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x< 7 , x > 9 .

იმ შემთხვევებში, როდესაც კვადრატული ტრინომის დისკრიმინანტი არის ნული, საჭიროა გულდასმით განიხილოს, შევიტანოთ თუ არა პასუხში ტანგენტის წერტილების აბსციზა. სწორი გადაწყვეტილების მისაღებად აუცილებელია უთანასწორობის ნიშნის გათვალისწინება. მკაცრ უტოლობაში x-ღერძის ტანგენციის წერტილი არ არის უტოლობის ამოხსნა, მაგრამ არამკაცრებში ის არის.

მაგალითი 3

ამოხსენით კვადრატული უტოლობა 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0გრაფიკული მეთოდი.

გამოსავალი

პარაბოლას ტოტები ამ შემთხვევაში მიმართული იქნება ზემოთ. ის შეეხება O x ღერძს 0, 7 წერტილში, ვინაიდან

მოდით დავხატოთ ფუნქცია y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. მისი ტოტები მიმართულია ზემოთ, ვინაიდან კოეფიციენტი არის x 2დადებითი და ის ეხება x-ღერძს x-ღერძის წერტილში 0 , 7 , იმიტომ D" = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, საიდანაც x 0 = 7 10 ან 0 , 7 .

დავდოთ წერტილი და დავხატოთ პარაბოლა.

არამკაცრ უტოლობას ვხსნით ≤ ნიშნით. აქედან გამომდინარე. ჩვენ დავინტერესდებით იმ ინტერვალებით, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს x ღერძის ქვემოთ და ტანგენციის წერტილის ქვემოთ. ფიგურაში არ არის ინტერვალები, რომლებიც დააკმაყოფილებს ჩვენს პირობებს. არსებობს მხოლოდ საკონტაქტო წერტილი 0, 7. ეს არის გამოსავალი, რომელსაც ჩვენ ვეძებთ.

პასუხი:უტოლობას აქვს მხოლოდ ერთი ამონახსნი 0, 7.

მაგალითი 4

ამოხსენით კვადრატული უტოლობა – x 2 + 8 x − 16< 0 .

გამოსავალი

პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვევით. დისკრიმინანტი არის ნული. გადაკვეთის წერტილი x 0 = 4.

X ღერძზე ვნიშნავთ მიტანის წერტილს და ვხატავთ პარაბოლას.

საქმე გვაქვს მძიმე უთანასწორობასთან. შესაბამისად, ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს O x ღერძის ქვემოთ. მოდი აღვნიშნოთ ისინი ლურჯად.

აბსცისის წერტილი 4 არ არის გამოსავალი, რადგან პარაბოლა მასზე არ მდებარეობს O x ღერძის ქვემოთ. შესაბამისად, ვიღებთ ორ ინტერვალს (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

პასუხი: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) ან სხვა აღნიშვნით x ≠ 4 .

ყოველთვის არა უარყოფითი მნიშვნელობადისკრიმინაციულ უთანასწორობას გამოსავალი არ ექნება. არის შემთხვევები, როცა ამონახსნი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

მაგალითი 5

ამოხსენით კვადრატული უტოლობა 3 x 2 + 1 > 0 გრაფიკულად.

გამოსავალი

კოეფიციენტი a დადებითია. დისკრიმინანტი უარყოფითია. პარაბოლას ტოტები მიმართული იქნება ზემოთ. პარაბოლას O x ღერძთან გადაკვეთის წერტილები არ არის. მოდით შევხედოთ ნახატს.

ჩვენ ვმუშაობთ მკაცრი უთანასწორობით, რომელსაც აქვს > ნიშანი. ეს ნიშნავს, რომ ჩვენ გვაინტერესებს ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ. ეს არის ზუსტად ის შემთხვევა, როდესაც პასუხი არის ყველა რეალური რიცხვის სიმრავლე.

პასუხი:(− ∞, + ∞) ანუ x ∈ R.

მაგალითი 6

აუცილებელია უთანასწორობის გამოსავლის პოვნა − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0გრაფიკულად.

გამოსავალი

პარაბოლას ტოტები მიმართულია ქვევით. დისკრიმინანტი უარყოფითია, ამიტომ პარაბოლასა და x-ღერძს შორის საერთო წერტილები არ არსებობს. მოდით შევხედოთ ნახატს.

ჩვენ ვმუშაობთ არამკაცრ უტოლობაზე ≥ ნიშნით, ამიტომ ჩვენთვის საინტერესოა ის ინტერვალები, რომლებშიც პარაბოლა მდებარეობს x-ღერძის ზემოთ. გრაფიკის მიხედვით თუ ვიმსჯელებთ, ასეთი ხარვეზები არ არის. ეს ნიშნავს, რომ პრობლემის პირობებში მოცემულ უთანასწორობას არ აქვს გამოსავალი.

პასუხი:არანაირი გადაწყვეტილებები.

თუ შეამჩნევთ შეცდომას ტექსტში, მონიშნეთ იგი და დააჭირეთ Ctrl+Enter