Слайд 2

Математика – наука молодых. Иначе и быть не может. Занятия математикой – это такая гимнастика ума, для которой нужны вся гибкость и вся выносливость молодости. Норберт Винер (1894-1964), американский ученый

Слайд 3

отношение между числами a и b (математическими выражениями), соединенное знаками Неравенство -

Слайд 4

Историческая справка Задачи на доказательство равенств и неравенств возникли в глубокой древности. Для обозначения знаков равенства и неравенства использовали специальные слова или их сокращения. IV век до н.э., Евклид, V книга «Начал»: если a, b, c, d – положительные числа и a – наибольшее число в пропорции a/b=c/d, то выполняется неравенство a+d=b+c. III век, основной труд Паппа Александрийского «Математическое собрание»: если a, b, c, d – положительные числа и a/b>c/d, то выполняется неравенство ad>bc. Более 2000 лет до н.э. было известно неравенство Обращается в верное равенство при a=b.

Слайд 5

Современные специальные знаки 1557 год. Введен знак равенства = английским математиком Р.Рикордом. Его мотив: «Никакие два предмета не могут быть более равными, чем два параллельных отрезка». 1631 год. Введены знаки > и

Слайд 6

Виды неравенств С переменной (одной или несколькими) Строгие Нестрогие С модулем С параметром Нестандартные Системы Совокупности Числовые Простые Двойные Кратные Целые алгебраические: -линейные -квадратные -высших степеней Дробно-рациональные Иррациональные Тригонометрические Показательные Логарифмические Смешанного типа

Слайд 7

Методы решения неравенств Графический Основные Специальные Функционально- графический Использование свойств неравенств Переход к равносильным системам Переход к равносильным совокупностям Замена переменной Метод интервалов (в том числе обобщенный) Алгебраические Метод расщепления для нестрогих неравенств

Слайд 8

называется значение переменной, которое при подстановке обращает его в верное числовое неравенство. Решить неравенство – найти все его решения или доказать, что их нет. Два неравенства называются равносильными, если все решения каждого являются решениями другого неравенства или оба неравенства решений не имеют. Неравенства Решением неравенства с одной переменной

Слайд 9

Охарактеризуйте неравенства. Решите устно 3)(x – 2)(x + 3)  0

Слайд 10

Графический метод

Решите графически неравенство 1) Строим график 2) Строим график в той же системе координат. 3) Находим абсциссы точек пересечения графиков (значения берутся приближенно, точность проверяем подстановкой). 4) Определяем по графику решения данного неравенства. 5) Записываем ответ.

Слайд 11

Функционально-графический метод решения неравенства f(x)

Слайд 12

Функционально-графический метод Решите неравенство: 3)Уравнение f(x)=g(x) имеет не более одногокорня. Решение. 4)Подбором находим, что х=2. II.Схематически изобразим на числовой оси Ох графики функций f(x)и g(x), проходящиечерез точку х=2. III.Определим решения и запишем ответ. Ответ. х -7 не определена 2

Слайд 13

Решите неравенства:

Слайд 14

Построить графики функции ЕГЭ-9, 2008 год

Слайд 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

Слайд 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Определите число промежутков решений неравенства для каждого значения параметра a

Слайд 17

Построить график функции ЕГЭ-9, 2008 год

Слайд 18

Слайд 19

Один из самых удобных методов решения квадратных неравенств – это графический метод. В этой статье мы разберем, как решаются квадратные неравенства графическим способом. Сначала обсудим, в чем суть этого способа. А дальше приведем алгоритм и рассмотрим примеры решения квадратных неравенств графическим способом.

Навигация по странице.

Суть графического способа

Вообще графический способ решения неравенств с одной переменной применяется не только для решения квадратных неравенств, но и неравенств других видов. Суть графического способа решения неравенств следующая: рассматривают функции y=f(x) и y=g(x) , которые соответствуют левой и правой частям неравенства, строят их графики в одной прямоугольной системе координат и выясняют, на каких промежутках график одной из них располагается ниже или выше другого. Те промежутки, на которых

• график функции f выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)>g(x) ;
• график функции f не ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)≥g(x) ;
• график функции f ниже графика функции g являются решениями неравенства f(x)
• график функции f не выше графика функции g являются решениями неравенства f(x)≤g(x) .

Также скажем, что абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f(x)=g(x) .

Перенесем эти результаты на наш случай – для решения квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c<0 (≤, >, ≥).

Вводим две функции: первая y=a·x 2 +b·x+c (при этом f(x)=a·x 2 +b·x+c) отвечает левой части квадратного неравенства, вторая y=0 (при этом g(x)=0 ) отвечает правой части неравенства. Графиком квадратичной функции f является парабола, а графиком постоянной функции g – прямая, совпадающая с осью абсцисс Ox .

Дальше согласно графическому способу решения неравенств надо проанализировать, на каких промежутках график одной функции расположен выше или ниже другого, что позволит записать искомое решение квадратного неравенства. В нашем случае нужно проанализировать положение параболы относительно оси Ox .

В зависимости от значений коэффициентов a , b и c возможны следующие шесть вариантов (для наших нужд достаточно схематического изображения, и можно не изображать ось Oy , так как ее положение не влияет на решения неравенства):

На этом чертеже мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая пересекает ось Ox в двух точках, абсциссы которых есть x 1 и x 2 . Этот чертеж отвечает варианту, когда коэффициент a – положительный (он отвечает за направленность вверх ветвей параболы), и когда положительно значение дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c (при этом трехчлен имеет два корня, которые мы обозначили как x 1 и x 2 , причем приняли, что x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0 , x 1 =−2 , x 2 =3 .

Давайте для наглядности изобразим красным цветом части параболы, расположенные выше оси абсцисс, а синим цветом – расположенные ниже оси абсцисс.


Теперь выясним, какие промежутки этим частям соответствуют. Определить их поможет следующий чертеж (в дальнейшем подобные выделения в форме прямоугольников будем проводить мысленно):


Так на оси абсцисс оказались подсвечены красным цветом два промежутка (−∞, x 1) и (x 2 , +∞) , на них парабола выше оси Ox , они составляют решение квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 , а синим цветом подсвечен промежуток (x 1 , x 2) , на нем парабола ниже оси Ox , он представляет собой решение неравенства a·x 2 +b·x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А теперь кратко: при a>0 и D=b 2 −4·a·c>0 (или D"=D/4>0 при четном коэффициенте b )

• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) или в другой записи xx 2 ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, x 1 ]∪ или в другой записи x 1 ≤x≤x 2 ,

где x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c , причем x 1


Здесь мы видим параболу, ветви которой направлены вверх, и которая касается оси абсцисс, то есть, имеет с ней одну общую точку, обозначим абсциссу этой точки как x 0 . Представленному случаю отвечает a>0 (ветви направлены вверх) и D=0 (квадратный трехчлен имеет один корень x 0 ). Для примера можно взять квадратичную функцию y=x 2 −4·x+4 , здесь a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 и x 0 =2 .

По чертежу отчетливо видно, что парабола расположена выше оси Ox всюду, кроме точки касания, то есть, на промежутках (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Для наглядности выделим на чертеже области по аналогии с предыдущим пунктом.


Делаем выводы: при a>0 и D=0

• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 является (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) или в другой записи x≠x 0 ;
• решением квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 является (−∞, +∞) или в другой записи x∈R ;
• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратное неравенство a·x 2 +b·x+c≤0 имеет единственное решение x=x 0 (его дает точка касания),

где x 0 - корень квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c .


В этом случае ветви параболы направлены вверх, и она не имеет общих точек с осью абсцисс. Здесь мы имеем условия a>0 (ветви направлены вверх) и D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно, парабола расположена выше оси Ox на всем ее протяжении (нет интервалов, на которых она ниже оси Ox , нет точки касания).


Таким образом, при a>0 и D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 и a·x 2 +b·x+c≥0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a·x 2 +b·x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

И остаются три варианта расположения параболы с направленными вниз, а не вверх, ветвями относительно оси Ox . В принципе их можно и не рассматривать, так как умножение обеих частей неравенства на −1 позволяет перейти к равносильному неравенству с положительным коэффициентом при x 2 . Но все же не помешает получить представление и об этих случаях. Рассуждения здесь аналогичные, поэтому запишем лишь главные результаты.

Алгоритм решения

Итогом всех предыдущих выкладок выступает алгоритм решения квадратных неравенств графическим способом :

На координатной плоскости выполняется схематический чертеж, на котором изображается ось Ox (ось Oy изображать не обязательно) и эскиз параболы, отвечающей квадратичной функции y=a·x 2 +b·x+c . Для построения эскиза параболы достаточно выяснить два момента:

• Во-первых, по значению коэффициента a выясняется, куда направлены ее ветви (при a>0 – вверх, при a<0 – вниз).
• А во-вторых, по значению дискриминанта квадратного трехчлена a·x 2 +b·x+c выясняется, пересекает ли парабола ось абсцисс в двух точках (при D>0 ), касается ее в одной точке (при D=0 ), или не имеет общих точек с осью Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Когда чертеж готов, по нему на втором шаге алгоритма

  • при решении квадратного неравенства a·x 2 +b·x+c>0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс;
  • при решении неравенства a·x 2 +b·x+c≥0 определяются промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);
  • при решении неравенства a·x 2 +b·x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • наконец, при решении квадратного неравенства вида a·x 2 +b·x+c≤0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox и к ним добавляются абсциссы точек пересечения (или абсцисса точки касания);

  они и составляют искомое решение квадратного неравенства, а если таких промежутков нет и нет точек касания, то исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Остается лишь решить несколько квадратных неравенств с использованием этого алгоритма.

Примеры с решениями

Пример.

Решите неравенство .

Решение.

Нам требуется решить квадратное неравенство, воспользуемся алгоритмом из предыдущего пункта. На первом шаге нам нужно изобразить эскиз графика квадратичной функции . Коэффициент при x 2 равен 2 , он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Выясним еще, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки, для этого вычислим дискриминант квадратного трехчлена . Имеем . Дискриминант оказался больше нуля, следовательно, трехчлен имеет два действительных корня: и , то есть, x 1 =−3 и x 2 =1/3 .

Отсюда понятно, что парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами −3 и 1/3 . Эти точки изобразим на чертеже обычными точками, так как решаем нестрогое неравенство. По выясненным данным получаем следующий чертеж (он подходит под первый шаблон из первого пункта статьи):

Переходим ко второму шагу алгоритма. Так как мы решаем нестрогое квадратное неравенство со знаком ≤, то нам нужно определить промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс и добавить к ним абсциссы точек пересечения.

Из чертежа видно, что парабола ниже оси абсцисс на интервале (−3, 1/3) и к нему добавляем абсциссы точек пересечения, то есть, числа −3 и 1/3 . В результате приходим к числовому отрезку [−3, 1/3] . Это и есть искомое решение. Его можно записать в виде двойного неравенства −3≤x≤1/3 .

Ответ:

[−3, 1/3] или −3≤x≤1/3 .

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства −x 2 +16·x−63<0 .

Решение.

По обыкновению начинаем с чертежа. Числовой коэффициент при квадрате переменной отрицательный, −1 , поэтому, ветви параболы направлены вниз. Вычислим дискриминант, а лучше – его четвертую часть: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1 . Его значение положительно, вычислим корни квадратного трехчлена: и , x 1 =7 и x 2 =9 . Так парабола пересекает ось Ox в двух точках с абсциссами 7 и 9 (исходное неравенство строгое, поэтому эти точки будем изображать с пустым центром).Теперь можно сделать схематический рисунок:

Так как мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком <, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

По чертежу видно, что решениями исходного квадратного неравенства являются два промежутка (−∞, 7) , (9, +∞) .

Ответ:

(−∞, 7)∪(9, +∞) или в другой записи x<7 , x>9 .

При решении квадратных неравенств, когда дискриминант квадратного трехчлена в его левой части равен нулю, нужно быть внимательным с включением или исключением из ответа абсциссы точки касания. Это зависит от знака неравенства: если неравенство строгое, то она не является решением неравенства, а если нестрогое – то является.

Пример.

Имеет ли квадратное неравенство 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хотя бы одно решение?

Решение.

Построим график функции y=10·x 2 −14·x+4,9 . Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0,7 , так как D"=(−7) 2 −10·4,9=0 , откуда или 0,7 в виде десятичной дроби. Схематически это выглядит так:

Так как мы решаем квадратное неравенство со знаком ≤, то его решением будут промежутки, на которых парабола ниже оси Ox , а также абсцисса точки касания. Из чертежа видно, что нет ни одного промежутка, где бы парабола была ниже оси Ox , поэтому его решением будет лишь абсцисса точки касания, то есть, 0,7 .

Ответ:

данное неравенство имеет единственное решение 0,7 .

Пример.

Решите квадратное неравенство –x 2 +8·x−16<0 .

Решение.

Действуем по алгоритму решения квадратных неравенств и начинаем с построения графика. Ветви параболы направлены вниз, так как коэффициент при x 2 отрицательный, −1 . Найдем дискриминант квадратного трехчлена –x 2 +8·x−16 , имеем D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 и дальше x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Итак, парабола касается оси Ox в точке с абсциссой 4 . Выполним чертеж:

Смотрим на знак исходного неравенства, он есть <. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

В нашем случае это открытые лучи (−∞, 4) , (4, +∞) . Отдельно заметим, что 4 - абсцисса точки касания - не является решением, так как в точке касания парабола не ниже оси Ox.

Ответ:

(−∞, 4)∪(4, +∞) или в другой записи x≠4 .

Обратите особое внимание на случаи, когда дискриминант квадратного трехчлена, находящегося в левой части квадратного неравенства, меньше нуля. Здесь не нужно спешить и говорить, что неравенство решений не имеет (мы же привыкли делать такой вывод для квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом). Дело в том, что квадратное неравенство при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Пример.

Найдите решение квадратного неравенства 3·x 2 +1>0 .

Решение.

Как обычно начинаем с чертежа. Коэффициент a равен 3 , он положителен, следовательно, ветви параболы направлены вверх. Вычисляем дискриминант: D=0 2 −4·3·1=−12 . Так как дискриминант отрицателен, то парабола не имеет с осью Ox общих точек. Полученных сведений достаточно для схематичного графика:

Мы решаем строгое квадратное неравенство со знаком >. Его решением будут все промежутки, на которых парабола находится выше оси Ox . В нашем случае парабола выше оси абсцисс на всем ее протяжении, поэтому искомым решением будет множество всех действительных чисел.

Ox , а также к ним нужно добавить абсциссы точек пересечения или абсциссу точки касания. Но по чертежу хорошо видно, что таких промежутков нет (так как парабола всюду ниже оси абсцисс), как нет и точек пересечения, как нет и точки касания. Следовательно, исходное квадратное неравенство не имеет решений.

Ответ:

нет решений или в другой записи ∅.

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2009. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А. Г. Алгебра и начала математического анализа. 11 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 с.: ил. ISBN 978-5-346-01027-2.

Графическое решение уравнений

Расцвет, 2009

Введение

Необходимость решать квадратные уравнения еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения вавилоняне умели решать еще около 2000 лет до н.э. Правило решения этих уравнений, изложенное в Вавилонских текстах, совпадает по существу с современными, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила.

Формулы решения квадратных уравнений в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 году итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и Германии, Франции и других странах Европы.

Но общее правило решения квадратных уравнений, при всевозможных комбинациях коэффициентов b и c было сформулировано в Европе лишь в 1544 году М. Штифелем.

В 1591 году Франсуа Виет ввел формулы для решения квадратных уравнений.

В древнем Вавилоне могли решить некоторые виды квадратных уравнений.

Диофант Александрийский и Евклид , Аль-Хорезми и Омар Хайям решали уравнения геометрическими и графическими способами.

В 7 классе мы изучали функции у = С, у = kx , у = kx + m , у = x 2,у = – x 2, в 8 классе – у = √ x , у = |x |, у = ax 2 + bx + c , у = k / x . В учебнике алгебры 9 класса я увидела ещё не известные мне функции: у = x 3, у = x 4,у = x 2n, у = x - 2n, у = 3√x , (x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 и другие. Существуют правила построения графиков данных функций. Мне стало интересно, есть ли ещё функции, подчиняющиеся этим правилам.

Моя работа заключается в исследовании графиков функций и графическом решении уравнений.

1. Какие бывают функции

График функции – это множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргументов, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Линейная функция задаётся уравнением у = kx + b , гдеk и b – некоторые числа. Графиком этой функции является прямая.

Функция обратной пропорциональности у = k / x , где k ¹ 0. График этой функции называется гиперболой.

Функция (x – a ) 2 + (у – b ) 2 = r 2 , где а , b и r – некоторые числа. Графиком этой функции является окружность радиуса r с центром в т. А (а , b ).

Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c где а, b , с – некоторые числа и а ¹ 0. Графиком этой функции является парабола.

Уравнение у 2 (a – x ) = x 2 (a + x ) . Графиком этого уравнения будет кривая, называемая строфоидой.

/>Уравнение(x 2 + y 2 ) 2 = a (x 2 – y 2 ) . График этого уравнения называется лемнискатой Бернулли.

Уравнение. График этого уравнения называется астроидой.

Кривая(x 2 y 2 – 2 a x) 2 =4 a 2 (x 2 + y 2 ) . Эта кривая называется кардиоидой.

Функции: у = x 3 – кубическая парабола, у = x 4, у = 1/ x 2.

2. Понятие уравнения, его графического решения

Уравнение – выражение, содержащее переменную.

Решить уравнение – это значит найти все его корни, или доказать, что их нет.

Корень уравнения – это число, при подстановке которого в уравнение получается верное числовое равенство.

Решение уравнений графическим способом позволяет найти точное или приближенное значение корней, позволяет найти количество корней уравнения.

При построении графиков и решении уравнений используются свойства функции, поэтому метод чаще называют функционально-графическим.

Для решения уравнение «делим» на две части, вводим две функции, строим их графики, находим координаты точек пересечения графиков. Абсциссы этих точек и есть корни уравнения.

3. Алгоритм построения графика функции

Зная график функции у = f (x ) , можно построить графики функций у = f (x + m ) ,у = f (x )+ l и у = f (x + m )+ l . Все эти графики получаются из графика функции у = f (x ) с помощью преобразования параллельного переноса: на │ m │ единиц масштаба вправо или влево вдоль оси x и на │ l │ единиц масштаба вверх или вниз вдоль оси y .

4. Графическое решение квадратного уравнения

На примере квадратичной функции мы рассмотрим графическое решение квадратного уравнения. Графиком квадратичной функции является парабола.

Что знали о параболе древние греки?

Современная математическая символика возникла в 16 веке.

У древнегреческих же математиков ни координатного метода, ни понятия функции не было. Тем не менее, свойства параболы были изучены ими подробно. Изобретательность античных математиков просто поражает воображение, – ведь они могли использовать только чертежи и словесные описания зависимостей.

Наиболее полно исследовал параболу, гиперболу и эллипс Аполоний Пергский , живший в 3 веке до н.э. Он же дал этим кривым названия и указал, каким условиям удовлетворяют точки, лежащие на той или иной кривой (ведь формул-то не было!).

Существует алгоритм построения параболы:

Находим координаты вершины параболы А (х0; у0): х =- b /2 a ;

y0=ахо2+вх0+с;

Находим ось симметрии параболы (прямая х=х0);

PAGE_BREAK--

Составляем таблицу значений для построения контрольных точек;

Строим полученные точки и построим точки им симметричные относительно оси симметрии.

1. По алгоритму построим параболу y = x 2 – 2 x – 3 . Абсциссы точек пересечения с осью x и есть корни квадратного уравнения x 2 – 2 x – 3 = 0.

Существует пять способов графического решения этого уравнения.

2. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 и y = 2 x + 3

3. Разобьём уравнение на две функции: y = x 2 –3 и y =2 x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

4. Преобразуем уравнениеx 2 – 2 x – 3 = 0 при помощи выделения полного квадрата на функции: y = (x –1) 2 иy =4. Корни уравнения – абсциссы точек пересечения параболы с прямой.

5. Разделим почленно обе части уравненияx 2 – 2 x – 3 = 0 на x , получим x – 2 – 3/ x = 0 , разобьём данное уравнение на две функции: y = x – 2, y = 3/ x . Корни уравнения – абсциссы точек пересечения прямой и гиперболы.

5. Графическое решение уравнений степени n

Пример 1. Решить уравнение x 5 = 3 – 2 x .

y = x 5 , y = 3 – 2 x .

Ответ: x = 1.

Пример 2. Решить уравнение 3 √ x = 10 – x .

Корнями данного уравнения является абсцисса точки пересечения графиков двух функций: y = 3 √ x , y = 10 – x .

Ответ: x = 8.

Заключение

Рассмотрев графики функций: у = ax 2 + bx + c , у = k / x , у = √ x , у = |x |, у = x 3, у = x 4,у = 3√x , я заметила, что все эти графики строятся по правилу параллельного переноса относительно осей x и y .

На примере решения квадратного уравнения можно сделать выводы, что графический способ применим и для уравнений степени n.

Графические способы решения уравнений красивы и понятны, но не дают стопроцентной гарантии решения любого уравнения. Абсциссы точек пересечения графиков могут быть приближёнными.

В 9 классе и в старших классах я буду ещё знакомиться с другими функциями. Мне интересно знать: подчиняются ли те функции правилам параллельного переноса при построении их графиков.

На следующий год мне хочется также рассмотреть вопросы графического решения систем уравнений и неравенств.

Литература

1. Алгебра. 7 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

2. Алгебра. 8 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

3. Алгебра. 9 класс. Ч. 1. Учебник для общеобразовательных учреждений/ А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007.

4. Глейзер Г.И. История математики в школе. VII–VIII классы. – М.: Просвещение, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графическое решение уравнений сайты в Интернете: Тол ВИКИ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3–6.htm.

Министерство образования и молодежной политики Ставропольского края

Государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение

Георгиевский региональный колледж «Интеграл»

ИНДИВИДУАЛЬНЫЙ ПРОЕКТ

По дисциплине « Математика: алгебра, начала математического анализа, геометрия»

На тему: “Графическое решение уравнений и неравенств”

Выполнил студент группы ПК-61, обучающийся по специальности

«Программирование в компьютерных системах»

Целлер Тимур Витальевич

Руководитель: преподаватель Серкова Н.А.

Дата сдачи: « » 2017г.

Дата защиты: « » 2017г.

Георгиевск 2017г.

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

ЦЕЛЬ ПРОЕКТА:

Цель: Выяснить преимущества графического способа решения уравнений и неравенств.

Задачи:

Сравнить аналитический и графический способ решения уравнений и неравенств.

Ознакомиться в каких случаях графический способ имеет преимущества.

Рассмотреть решение уравнений с модулем и параметром.

Актуальность исследования: Анализ материала, посвящённого графическому решению уравнений и неравенств в учебных пособиях «Алгебра и начала математического анализа» разных авторов, учёт целей изучения данной темы. Атак же обязательных результатов обучения, связанных с рассматриваемой темой.

Содержание

Введение

1. Уравнения с параметрами

1.1. Определения

1.2. Алгоритм решения

1.3. Примеры

2. Неравенства с параметрами

2.1. Определения

2.2. Алгоритм решения

2.3. Примеры

3. Применение графиков в решении уравнений

3.1. Графическое решение квадратного уравнения

3.2. Системы уравнений

3.3. Тригонометрические уравнения

4. Применение графиков в решении неравенств

5.Заключение

6. Список литературы

Введение

Изучение многих физических процессов и геометрических закономерностей часто приводит к решению задач с параметрами. Некоторые Вузы также включают в экзаменационные билеты уравнения, неравенства и их системы, которые часто бывают весьма сложными и требующими нестандартного подхода к решению. В школе же этот один из наиболее трудных разделов школьного курса математики рассматривается только на немногочисленных факультативных занятиях.

Готовя данную работу, я ставил цель более глубокого изучения этой темы, выявления наиболее рационального решения, быстро приводящего к ответу. На мой взгляд графический метод является удобным и быстрым способом решения уравнений и неравенств с параметрами.

В моём проекте рассмотрены часто встречающиеся типы уравнений, неравенств и их систем.

1. Уравнения с параметрами

1. Основные определения

Рассмотрим уравнение

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

где a, b, c, …, k, x -переменные величины.

Любая система значений переменных

а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

при которой и левая и правая части этого уравнения принимают действительные значения, называется системой допустимых значений переменных a, b, c, …, k, x. Пусть А – множество всех допустимых значений а, B – множество всех допустимых значений b, и т.д., Х – множество всех допустимых значений х, т.е. аА, bB, …, xX. Если у каждого из множеств A, B, C, …, K выбрать и зафиксировать соответственно по одному значению a, b, c, …, k и подставить их в уравнение (1), то получим уравнение относительно x, т.е. уравнение с одним неизвестным.

Переменные a, b, c, …, k, которые при решении уравнения считаются постоянными, называются параметрами, а само уравнение называется уравнением, содержащим параметры.

Параметры обозначаются первыми буквами латинского алфавита: a, b, c, d, …, k, l, m, n а неизвестные – буквами x, y,z.

Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.

Два уравнения, содержащие одни и те же параметры, называются равносильными, если:

а) они имеют смысл при одних и тех же значениях параметров;

б) каждое решение первого уравнения является решением второго и наоборот.

1. Алгоритм решения

Находим область определения уравнения.

Выражаем a как функцию от х.

В системе координат хОа строим график функции а=(х) для тех значений х, которые входят в область определения данного уравнения.

Находим точки пересечения прямой а=с, где с(-;+) с графиком функции а=(х).Если прямая а=с пересекает график а=(х), то определяем абсциссы точек пересечения. Для этого достаточно решить уравнение а=(х) относительно х.

Записываем ответ.

1. Примеры

I. Решить уравнение

(1)

Решение.

Поскольку х=0 не является корнем уравнения, то можно разрешить уравнение относительно а:

или

График функции – две “склеенных” гиперболы. Количество решений исходного уравнения определяется количеством точек пересечения построенной линии и прямой у=а.

Если а  (-;-1](1;+) , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в одной точке. Абсциссу этой точки найдем при решении уравнения относительно х.

Таким образом, на этом промежутке уравнение (1) имеет решение.

Если а  , то прямая у=а пересекает график уравнения (1) в двух точках. Абсциссы этих точек можно найти из уравнений и, получаем

и.

Если а  , то прямая у=а не пересекает график уравнения (1), следовательно решений нет.

Ответ:

Если а  (-;-1](1;+), то;

Если а  , то, ;

Если а  , то решений нет.

II. Найти все значения параметра а, при которых уравнение имеет три различных корня.

Решение.

Переписав уравнение в виде и рассмотрев пару функций, можно заметить, что искомые значения параметра а и только они будут соответствовать тем положениям графика функции, при которых он имеет точно три точки пересечения с графиком функции.

В системе координат хОу построим график функции). Для этого можно представить её в виде и, рассмотрев четыре возникающих случая, запишем эту функцию в виде

Поскольку график функции – это прямая, имеющая угол наклона к оси Ох, равный, и пересекающая ось Оу в точке с координатами (0 , а), заключаем, что три указанные точки пересечения можно получить лишь в случае, когда эта прямая касается графика функции. Поэтому находим производную

Ответ: .

III. Найти все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений

имеет решения.

Решение.

Из первого уравнения системы получим при Следовательно, это уравнение задаёт семейство “полупарабол” - правые ветви параболы “скользят” вершинами по оси абсцисс.

Выделим в левой части второго уравнения полные квадраты и разложим её на множители

Множеством точек плоскости, удовлетворяющих второму уравнению, являются две прямые

Выясним, при каких значениях параметра а кривая из семейства “полупарабол” имеет хотя бы одну общую точку с одной из полученных прямых.

Если вершины полупарабол находятся правее точки А, но левее точки В (точка В соответствует вершине той “полупараболы”, которая касается

прямой), то рассматриваемые графики не имеют общих точек. Если вершина “полупараболы” совпадает с точкой А, то.

Случай касания “полупараболы” с прямой определим из условия существования единственного решения системы

В этом случае уравнение

имеет один корень, откуда находим:

Следовательно, исходная система не имеет решений при, а при или имеет хотя бы одно решение.

Ответ: а  (-;-3] (;+).

IV. Решить уравнение

Решение.

Использовав равенство, заданное уравнение перепишем в виде

Это уравнение равносильно системе

Уравнение перепишем в виде

. (*)

Последнее уравнение проще всего решить, используя геометрические соображения. Построим графики функций и Из графика следует, что при графики не пересекаются и, следовательно, уравнение не имеет решений.

Если, то при графики функций совпадают и, следовательно, все значения являются решениями уравнения (*).

При графики пересекаются в одной точке, абсцисса которой. Таким образом, при уравнение (*) имеет единственное решение - .

Исследуем теперь, при каких значениях а найденные решения уравнения (*) будут удовлетворять условиям

Пусть, тогда. Система примет вид

Её решением будет промежуток х (1;5). Учитывая, что, можно заключить, что при исходному уравнению удовлетворяют все значения х из промежутка исходное неравенство равносильно верному числовому неравенству 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

На интеграле (1;+∞) опять получаем линейное неравенство 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однако тот же самый результат можно получить из наглядных и в то же время строгих геометрических соображений. На рисунке 7 построены графики функций: y = f ( x )=| x -1|+| x +1| и y =4.

Рисунок 7.

На интеграле (-2;2) график функции y = f (x ) расположен под графиком функции у=4, а это означает, что неравенство f (x )<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Неравенства с параметрами.

Решение неравенств с одним или несколькими параметрами представляет собой, как правило, задачу более сложную по сравнению с задачей, в которой параметры отсутствуют.

Например, неравенство √а+х+√а-х>4, содержащее параметр а, естественно, требует, для своего решения гораздо больше усилий, чем неравенство √1+х + √1-х>1.

Что значит решить первое из этих неравенств? Это, по существу, означает решить не одно неравенство, а целый класс, целое множество неравенств, которые получаются, если придавать параметру а конкретные числовые значения. Второе же из выписанных неравенств является частным случаем первого, так как получается из него при значении а=1.

Таким образом, решить неравенство, содержащее параметры, это значит определить, при каких значениях параметров неравенство имеет решения и для всех таких значений параметров найти все решения.

Пример1:

Решить неравенство |х-а|+|х+а|< b , a <>0.

Для решения данного неравенства с двумя параметрами a u b воспользуемся геометрическими соображениями. На рисунке 8 и 9 построены графики функций.

Y = f (x )=| x - a |+| x + a | u y = b .

Очевидно, что при b <=2| a | прямая y = b проходит не выше горизонтального отрезка кривой y =| x - a |+| x + a | и, следовательно, неравенство в этом случае не имеет решений (рисунок 8). Если же b >2| a |, то прямая y = b пересекает график функции y = f (x ) в двух точках (- b /2; b ) u (b /2; b )(рисунок 6) и неравенство в этом случае справедливо при – b /2< x < b /2,так как при этих значениях переменной кривая y =| x + a |+| x - a | расположена под прямой y = b .

Ответ: Если b <=2| a | , то решений нет,

Если b >2| a |, то x €(- b /2; b /2).

III ) Тригонометрические неравенства:

При решении неравенств с тригонометрическими функциями существенно используется периодичность этих функций и их монотонность на соответствующих промежутках. Простейшие тригонометрические неравенства. Функция sin x имеет положительный период 2π. Поэтому неравенства вида: sin x>a, sin x>=a,

sin x

Достаточно решить сначала на каком-либо отрезке длины 2 π . Множество всех решений получим, прибавив к каждому из найденных на этом отрезке решений числа вида 2 π п, пЄ Z .

Пример 1: Решить неравенство sin x >-1/2.(рисунок 10)

Сначала решим это неравенство на отрезке[-π/2;3π/2]. Рассмотрим его левую часть – отрезок [-π/2;3π/2].Здесь уравнение sin x =-1/2 имеет одно решение х=-π/6; а функция sin x монотонно возрастает. Значит, если –π/2<= x <= -π/6, то sin x <= sin (- π /6)=-1/2, т.е. эти значения х решениями неравенства не являются. Если же –π/6<х<=π/2 то sin x > sin (-π/6) = –1/2. Все эти значения х не являются решениями неравенства.

На оставшемся отрезке [π/2;3π/2] функция sin x монотонно убывает и уравнение sin x = -1/2 имеет одно решение х=7π/6. Следовательно, если π/2<= x <7π/, то sin x > sin (7π/6)=-1/2, т.е. все эти значения х являются решениями неравенства. Для x Є имеем sin x <= sin (7π/6)=-1/2, эти значения х решениями не являются. Таким образом, множество всех решений данного неравенства на отрезке [-π/2;3π/2] есть интеграл (-π/6;7π/6).

В силу периодичности функции sin x с периодом 2π значения х из любого интеграла вида: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄ Z , также являются решениями неравенства. Никакие другие значения х решениями этого неравенства не являются.

Ответ: -π/6+2π n < x <7π/6+2π n , где n Є Z .

Заключение

Мы рассмотрели графический метод решения уравнений и неравенств; рассмотрели конкретные примеры, при решении которых использовали такие свойства функций, как монотонность и четность. Анализ научной литературы, учебников математики позволил структурировать отобранный материал в соответствии с целями исследования, подобрать и разработать эффективные методы решения уравнений и неравенств. В работе представлен графический метод решения уравнений и неравенств и примеры, в которых используются данные методы. Результатом проекта можно считать творческие задания, как вспомогательный материал для развития навыка решения уравнений и неравенств графическим методом.

Список использованной литературы

Далингер В. А. “Геометрия помогает алгебре”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1996 г.

Далингер В. А. “Все для обеспечения успеха на выпускных и вступительных экзаменах по математике”. Издательство Омского педуниверситета. Омск 1995 г.

Окунев А. А. “Графическое решение уравнений с параметрами”. Издательство “Школа - Пресс”. Москва 1986 г.

Письменский Д. Т. “Математика для старшеклассников”. Издательство “Айрис”. Москва 1996 г.

Ястрибинецкий Г. А. “Уравнений и неравенства, содержащие параметры”. Издательство “Просвещение”. Москва 1972 г.

Г. Корн и Т.Корн “Справочник по математике”. Издательство “Наука” физико–математическая литература. Москва 1977 г.

Амелькин В. В. и Рабцевич В. Л. “Задачи с параметрами” . Издательство “Асар”. Минск 1996 г.

Интернет ресурсы

Графический метод является одним из основных методов решения квадратных неравенств. В статье мы приведем алгоритм применения графического метода, а затем рассмотрим частные случаи на примерах.

Суть графического метода

Метод применим для решения любых неравенств, не только квадратных. Суть его вот в чем: правую и левую части неравенства рассматривают как две отдельные функции y = f (x) и y = g (x) , их графики строят в прямоугольной системе координат и смотрят, какой из графиков располагается выше другого, и на каких промежутках. Оцениваются промежутки следующим образом:

Определение 1

• решениями неравенства f (x) > g (x) являются интервалы, где график функции f выше графика функции g ;
• решениями неравенства f (x) ≥ g (x) являются интервалы, где график функции f не ниже графика функции g ;
• решениями неравенства f (x) < g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• решениями неравенства f (x) ≤ g (x) являются интервалы, где график функции f не выше графика функции g ;
• абсциссы точек пересечения графиков функций f и g являются решениями уравнения f (x) = g (x) .

Рассмотрим приведенный выше алгоритм на примере. Для этого возьмем квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c < 0 (≤ , > , ≥) и выведем из него две функции. Левая часть неравенства будет отвечать y = a · x 2 + b · x + c (при этом f (x) = a · x 2 + b · x + c) , а правая y = 0 (при этом g (x) = 0).

Графиком первой функции является парабола, второй прямая линия, которая совпадает с осью абсцисс О х. Проанализируем положение параболы относительно оси О х. Для этого выполним схематический рисунок.

Ветви параболы направлены вверх. Она пересекает ось О х в точках x 1 и x 2 . Коэффициент а в данном случае положительный, так как именно он отвечает за направление ветвей параболы. Дискриминант положителен, что указывает на наличие двух корней у квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c . Корни трехчлена мы обозначили как x 1 и x 2 , причем приняли, что x 1 < x 2 , так как на оси О х изобразили точку с абсциссой x 1 левее точки с абсциссой x 2 .

Части параболы, расположенные выше оси О х обозначим красным, ниже – синим. Это позволит нам сделать рисунок более наглядным.

Выделим промежутки, которые соответствуют этим частям и отметим их на рисунке полями определенного цвета.

Красным мы отметили промежутки (− ∞ , x 1) и (x 2 , + ∞) , на них парабола выше оси О х. Они являются a · x 2 + b · x + c > 0 . Синим мы отметили промежуток (x 1 , x 2) , который является решением неравенства a · x 2 + b · x + c < 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Сделаем краткую запись решения. При a > 0 и D = b 2 − 4 · a · c > 0 (или D " = D 4 > 0 при четном коэффициенте b) мы получаем:

• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 является (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) или в другой записи x < x 1 , x > x 2 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) или в другой записи x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c < 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≤ 0 является [ x 1 , x 2 ] или в другой записи x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

где x 1 и x 2 – корни квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c , причем x 1 < x 2 .

На данном рисунке парабола касается оси O х только в одной точке, которая обозначена как x 0 a > 0 . D = 0 , следовательно, квадратный трехчлен имеет один корень x 0 .

Парабола расположена выше оси O х полностью, за исключением точки касания координатной оси. Обозначим цветом промежутки (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Запишем результаты. При a > 0 и D = 0 :

• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c > 0 является (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) или в другой записи x ≠ x 0 ;
• решением квадратного неравенства a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является (− ∞ , + ∞) или в другой записи x ∈ R ;
• квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c < 0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси O x );
• квадратное неравенство a · x 2 + b · x + c ≤ 0 имеет единственное решение x = x 0 (его дает точка касания),

где x 0 - корень квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c .

Рассмотрим третий случай, когда ветви параболы направлены вверх и не касаются оси O x . Ветви параболы направлены вверх, что означает, что a > 0 . Квадратный трехчлен не имеет действительных корней, так как D < 0 .

На графике нет интервалов, на которых парабола была бы ниже оси абсцисс. Это мы будем учитывать при выборе цвета для нашего рисунка.

Получается, что при a > 0 и D < 0 решением квадратных неравенств a · x 2 + b · x + c > 0 и a · x 2 + b · x + c ≥ 0 является множество всех действительных чисел, а неравенства a · x 2 + b · x + c < 0 и a · x 2 + b · x + c ≤ 0 не имеют решений.

Нам осталось рассмотреть три варианта, когда ветви параболы направлены вниз. На этих трех вариантах можно не останавливаться подробно, так как при умножении обеих частей неравенства на − 1 мы получаем равносильное неравенство с положительным коэффициентом при х 2 .

Рассмотрение предыдущего раздела статьи подготовило нас к восприятию алгоритма решения неравенств с использованием графического способа. Для проведения вычислений нам необходимо будет каждый раз использовать чертеж, на котором будет изображена координатная прямая O х и парабола, которая отвечает квадратичной функции y = a · x 2 + b · x + c . Ось O у мы в большинстве случаев изображать не будем, так как для вычислений она не нужна и будет лишь перегружать чертеж.

Для построения параболы нам необходимо будет знать две вещи:

Определение 2

• направление ветвей, которое определяется значением коэффициента a ;
• наличие точек пересечения параболы и оси абсцисс, которые определяются значением дискриминанта квадратного трехчлена a · x 2 + b · x + c .

Точки пересечения и касания мы будет обозначать обычным способом при решении нестрогих неравенств и пустыми при решении строгих.

Наличие готового чертежа позволяет перейти к следующему шагу решения. Он предполагает определение промежутков, на которых парабола располагается выше или ниже оси O х. Промежутки и точки пересечения и являются решением квадратного неравенства. Если точек пересечения или касания нет и нет интервалов, то считается, что заданное в условиях задачи неравенство не имеет решений.

Теперь решим несколько квадратных неравенств, используя приведенный выше алгоритм.

Пример 1

Необходимо решить неравенство 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 графическим способом.

Решение

Нарисуем график квадратичной функции y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Коэффициент при x 2 положительный, так как равен 2 . Это значит, что ветви параболы будут направлены вверх.

Вычислим дискриминант квадратного трехчлена 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 для того, чтобы выяснить, имеет ли парабола с осью абсцисс общие точки. Получаем:

D = 5 1 3 2 - 4 · 2 · (- 2) = 400 9

Как видим, D больше нуля, следовательно, у нас есть две точки пересечения: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 · 2 и x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 · 2 , то есть, x 1 = − 3 и x 2 = 1 3 .

Мы решаем нестрогое неравенство, следовательно проставляем на графике обычные точки. Рисуем параболу. Как видите, рисунок имеет такой же вид как и в первом рассмотренном нами шаблоне.

Наше неравенство имеет знак ≤ . Следовательно, нам нужно выделить промежутки на графике, на которых парабола расположена ниже оси O x и добавить к ним точки пересечения.

Нужный нам интервал − 3 , 1 3 . Добавляем к нему точки пересечения и получаем числовой отрезок − 3 , 1 3 . Это и есть решение нашей задачи. Записать ответ можно в виде двойного неравенства: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Ответ: − 3 , 1 3 или − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Пример 2

− x 2 + 16 · x − 63 < 0 графическим методом.

Решение

Квадрат переменной имеет отрицательный числовой коэффициент, поэтому ветви параболы будут направлены вниз. Вычислим четвертую часть дискриминанта D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1 . Такой результат подсказывает нам, что точек пересечения будет две.

Вычислим корни квадратного трехчлена: x 1 = - 8 + 1 - 1 и x 2 = - 8 - 1 - 1 , x 1 = 7 и x 2 = 9 .

Получается, что парабола пересекает ось абсцисс в точках 7 и 9 . Отметим эти точки на графике пустыми, так как мы работаем со строгим неравенством. После этого нарисуем параболу, которая пересекает ось O х в отмеченных точках.

Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси O х. Отметим эти интервалы синим цветом.

Получаем ответ: решением неравенства являются промежутки (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Ответ: (− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) или в другой записи x < 7 , x > 9 .

В тех случаях, когда дискриминант квадратного трехчлена равен нулю, необходимо внимательно подходить к вопросу о том, стоит ли включать в ответ абсциссы точки касания. Для того, чтобы принять правильное решение, необходимо учитывать знак неравенства. В строгих неравенствах точка касания оси абсцисс не является решением неравенства, в нестрогих является.

Пример 3

Решите квадратное неравенство 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9 ≤ 0 графическим методом.

Решение

Ветви параболы в данном случае будут направлены вверх. Она будет касаться оси O х в точке 0 , 7 , так как

Построим график функции y = 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9 . Ее ветви направлены вверх, так как коэффициент при x 2 положительный, и она касается оси абсцисс в точке с абсциссой 0 , 7 , так как D " = (− 7) 2 − 10 · 4 , 9 = 0 , откуда x 0 = 7 10 или 0 , 7 .

Поставим точку и нарисуем параболу.

Мы решаем нестрогое неравенство со знаком ≤ . Следовательно. Нас будут интересовать промежутки, на которых парабола располагается ниже оси абсцисс и точка касания. На рисунке нет интервалов, которые удовлетворяли бы нашим условиям. Есть лишь точка касания 0 , 7 . Это и есть искомое решение.

Ответ: Неравенство имеет только одно решение 0 , 7 .

Пример 4

Решите квадратное неравенство – x 2 + 8 · x − 16 < 0 .

Решение

Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант равен нулю. Точка пересечения x 0 = 4 .

Отмечаем точку касания на оси абсцисс и рисуем параболу.

Мы имеем дело со строгим неравенством. Следовательно, нас интересуют интервалы, на которых парабола расположена ниже оси O х. Отметим их синим.

Точка с абсциссой 4 не является решением, так как в ней парабола не расположена ниже оси O x . Следовательно, мы получаем два интервала (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Ответ: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) или в другой записи x ≠ 4 .

Не всегда при отрицательном значении дискриминанта неравенство не будет иметь решений. Есть случаи, когда решением будет являться множество всех действительных чисел.

Пример 5

Решите квадратное неравенство 3 · x 2 + 1 > 0 графическим способом.

Решение

Коэффициент а положительный. Дискриминант отрицательный. Ветви параболы будут направлены вверх. Точек пересечения параболы с осью O х нет. Обратимся к рисунку.

Мы работаем со строгим неравенством, которое имеет знак > . Это значит, что нас интересуют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Это как раз тот случай, когда ответом является множество всех действительный чисел.

Ответ: (− ∞ , + ∞) или так x ∈ R .

Пример 6

Необходимо найти решение неравенства − 2 · x 2 − 7 · x − 12 ≥ 0 графическим способом.

Решение

Ветви параболы направлены вниз. Дискриминант отрицательный, следовательно, общих точек параболы и оси абсцисс нет. Обратимся к рисунку.

Мы работаем с нестрогим неравенством со знаком ≥ , следовательно, интерес для нас представляют промежутки, на которых парабола располагается выше оси абсцисс. Судя по графику, таких промежутков нет. Это значит, что данное у условии задачи неравенство не имеет решений.

Ответ: Нет решений.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter