Luați în considerare cele mai comune transformări ale graficelor funcțiilor trigonometrice. Transformări de grafice ale funcțiilor trigonometrice cu modulul Grafice ale funcțiilor trigonometrice și transformările acestora
T E M A: Transformări de grafice ale funcțiilor trigonometrice cu modul.
ŢINTĂ: Considerarea obţinerii graficelor funcţiilor trigonometrice de forma
y= f(|x|) ;y = | f(x)| .
Dezvoltați logica și atenția matematică.
H O D U R O K A:
Org. moment: Anunțarea temei, scopurilor și obiectivelor lecției.
Profesor: Astăzi trebuie să învățăm cum să graficăm funcțiile y = sin |x|; y = cos|x|
Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| folosind cunoștințele noastre despre transformările funcțiilor transcendentale de forma y = f(|x|) și y = |f(x)| . Puteți întreba: „Pentru ce este asta?” Faptul este că proprietățile funcțiilor se modifică în acest caz, dar acest lucru se vede cel mai bine, după cum știți, pe grafic.
Să ne amintim cum sunt scrise aceste funcții folosind definiția
Copii: f(|x|) =
|f(x)| = 
Profesor: Deci, pentru a reprezenta grafic funcția y =f(|x|), dacă se cunoaşte graficul funcţiei
y =f{ x), trebuie să lăsați acea parte a graficului funcției y = pe locf(x), care
corespunde părții nenegative din domeniul de definire a funcției y =f(x). Reflectând acest lucru
parte este simetrică față de axa y, obținem o altă parte a graficului corespunzătoare
parte negativă a domeniului definiției.
Adică, pe grafic arată astfel: y = f (x)
(Aceste grafice sunt desenate pe tablă. Copii în caiete)
Acum, pe baza acestui lucru, vom construi un grafic al funcțiilor y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|
Fig 1. Y = sin x
Figura 2. Y = sin |x|
Acum să reprezentăm grafic funcțiile Y = |sin x | și Y = |2 sin x + 2|
Pentru a reprezenta grafic funcția y = \f(x)\, dacă se cunoaşte graficul funcţiei y =f(x), trebuie să lăsați pe loc acea parte în caref(x) > DESPRE, și afișați simetric cealaltă parte a acesteia în raport cu axa x, undef(x) < 0.
Rezumatul lecției de algebră și începutul analizei în clasa a X-a
pe tema: „Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice”
Scopul lecției: sistematizarea cunoștințelor pe tema „Proprietăți și grafice ale funcțiilor trigonometrice y=sin (x), y=cos (x)”.
Obiectivele lecției:
- repetați proprietățile funcțiilor trigonometrice y=sin (x), y=cos (x);
- formule de reducere repetate;
- conversia graficelor de funcții trigonometrice;
- dezvoltă atenția, memoria, gândirea logică; intensificarea activității mentale, capacitatea de a analiza, generaliza și raționa;
- încurajarea muncii asidue, a diligenței în atingerea obiectivelor, a interesului pentru subiect.
Echipament pentru lecție: TIC
Tipul de lecție: învățarea de lucruri noi
Progresul lecției
Înainte de lecție, 2 elevi desenează pe tablă grafice din temele lor.
Punct organizatoric:
Salut baieti!
Astăzi în lecție vom transforma graficele funcțiilor trigonometrice y=sin (x), y=cos (x).
Lucrare orala:
Verificarea temelor.
rezolvarea puzzle-urilor.
Învățarea de materiale noi
Toate transformările graficelor de funcții sunt universale - sunt potrivite pentru toate funcțiile, inclusiv pentru cele trigonometrice. Aici ne vom limita la o scurtă reamintire a principalelor transformări ale graficelor.
Transformarea graficelor de funcții.
Este dată funcția y = f (x). Începem să construim toate graficele din graficul acestei funcții, apoi facem acțiuni cu aceasta.
Funcţie
Ce să faci cu programul
y = f(x) + a
Ridicam toate punctele primului grafic cu o unitate in sus.
y = f(x) – a
Coborâm toate punctele primului grafic în unități.
y = f(x + a)
Deplasăm toate punctele primului grafic cu o unitate spre stânga.
y = f (x – a)
Deplasăm toate punctele primului grafic cu o unitate spre dreapta.
y = a*f (x),a>1
Fixăm zerourile la locul lor, mutăm punctele superioare mai sus de o dată, iar pe cele inferioare le coborâm mai jos de o dată.
Graficul se va „întinde” în sus și în jos, zerourile rămân pe loc.
y = a*f(x), a<1
Fixăm zerourile, punctele superioare vor coborî de câteva ori, cele inferioare se vor ridica de câteva ori. Graficul se va „micșora” spre axa x.
y = -f(x)
Oglindiți primul grafic despre axa x.
y = f (ax), a<1
Fixați un punct pe axa ordonatelor. Fiecare segment de pe axa absciselor este mărit de un ori. Graficul se va întinde de pe axa ordonatelor în direcții diferite.
y = f (ax), a >1
Fixați un punct pe axa ordonatelor, reduceți fiecare segment de pe axa absciselor cu un factor. Graficul se va „micșora” spre axa y pe ambele părți.
y = | f(x)|
Părțile graficului situate sub axa x sunt oglindite. Întregul grafic va fi localizat în semiplanul superior.
Scheme de soluții.
1)y = sin x + 2.
Construim un grafic y = sin x. Ridicam fiecare punct al graficului in sus cu 2 unitati (de asemenea, zerouri).
2)y = cos x – 3.
Construim un grafic y = cos x. Coborâm fiecare punct al graficului cu 3 unități.
3)y = cos (x - /2)
Construim un grafic y = cos x. Deplasăm toate punctele cu p/2 spre dreapta.
4)y = 2 sinx.
Construim un grafic y = sin x. Lăsăm zerourile pe loc, ridicăm punctele superioare de 2 ori și coborâm pe cele inferioare cu aceeași cantitate.
LUCRĂRI PRACTICE Trasarea graficelor de funcții trigonometrice folosind programul Advanced Grapher.
Să reprezentăm grafic funcția y = -cos 3x + 2.
- Să reprezentăm grafic funcția y = cos x.
- Să o reflectăm în raport cu axa absciselor.
- Acest grafic trebuie comprimat de trei ori de-a lungul axei x.
- În cele din urmă, un astfel de grafic trebuie să fie ridicat cu trei unități de-a lungul axei y.
y = 0,5 sin x.
y = 0,2 cos x-2
y = 5cos 0 .5 x
y= -3sin(x+π).
2) Găsiți greșeala și remediați-o.
V. Material istoric. Un mesaj despre Euler.
Leonhard Euler este cel mai mare matematician al secolului al XVIII-lea. Născut în Elveția. Mulți ani a trăit și a lucrat în Rusia, membru al Academiei din Sankt Petersburg.
De ce ar trebui să știm și să ne amintim numele acestui om de știință?
La începutul secolului al XVIII-lea, trigonometria nu era încă suficient de dezvoltată: nu existau simboluri, formulele erau scrise în cuvinte, era dificil să le înveți, problema semnelor funcțiilor trigonometrice în diferite sferturi de cerc era neclară, iar argumentul unei funcții trigonometrice însemna doar unghiuri sau arce. Numai în lucrările lui Euler trigonometria și-a primit forma modernă. El a fost cel care a început să ia în considerare funcția trigonometrică a unui număr, adică. Argumentul a început să fie înțeles nu numai ca arce sau grade, ci și ca numere. Euler a derivat toate formulele trigonometrice din mai multe formule de bază și a simplificat problema semnelor funcției trigonometrice în diferite sferturi de cerc. Pentru a desemna funcții trigonometrice, a introdus simbolismul: sin x, cos x, tan x, ctg x.
În pragul secolului al XVIII-lea a apărut o nouă direcție în dezvoltarea trigonometriei – analitică. Dacă înainte de aceasta scopul principal al trigonometriei era considerat a fi soluția triunghiurilor, atunci Euler a considerat trigonometria ca știința funcțiilor trigonometrice. Prima parte: doctrina funcțiilor face parte din doctrina generală a funcțiilor, care este studiată în analiza matematică. Partea a doua: rezolvarea triunghiurilor - capitolul geometrie. Astfel de inovații au fost făcute de Euler.
VI. Repetiţie
Lucrare independentă „Adăugați formula”.
VII. Rezumatul lecției:
1) Ce nou ați învățat în clasă astăzi?
2) Ce altceva vrei să știi?
3) Notare.
Algoritm pentru construirea graficelor Graficul funcției y = sin (x-a) poate fi obținut prin deplasarea paralelă a graficului funcției y = sinx de-a lungul axei Ox cu unități a spre dreapta. Graficul funcției y = sin (x+a) poate fi obținut prin deplasarea paralelă a graficului funcției y = sinx de-a lungul axei Ox cu o unitate spre stânga.
0) se poate obține din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (la 00) se poate obține din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (la 0 7 Algoritm pentru construirea graficelor Graficul funcţiei y = sin (Kx) (K>0) poate fi obţinut din graficul funcţiei y = sin x prin întinderea acesteia (la 01 compresie de K ori) de-a lungul axei Ox. 0) se poate obține din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (la 0 0) se poate obține din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (la 01 compresie cu un factor K) de-a lungul axa Ox."> 0) se poate obține din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (la 00) se poate obține din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (la 0 title=" Algoritm de graficare Graficul funcției y = sin (Kx) (K>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (la 0
8 Compresie și întindere pe axa y Trasează un grafic al funcției y = sin2 x Trasează un grafic al funcției y = sin K > 1 compresie 0 1 compresie 0 1 compresie 0 1 compresie 0 1 compresie 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 !}
0) poate fi obținut din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (pentru K>1 prin întindere cu un factor K) de-a lungul axei Oy. Graficul funcției y = Кsin (x) (К>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sinx its с" title="Algoritm grafic: Graficul funcției y = Кsin ( x) (К>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (pentru K>1 prin întindere de K ori) de-a lungul axei Oy Graficul funcției y = Ksin (x). (K>0) se poate obține din graficul funcției y = sinx it with" class="link_thumb"> 9 !} Algoritm pentru construirea graficelor: Graficul funcției y = Ksin (x) (K>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (pentru K>1 prin întinderea ei cu un factor K ) de-a lungul axei Oy. Graficul funcției y = Кsin (x) (К>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sinx comprimând-o (la 01 întindere de K ori) de-a lungul axei Оу. Graficul funcției y = Ksin (x) (K>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sinx its c "> 0) poate fi obținut din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (pentru K>1 prin întindere K ori) de-a lungul axei Oy Graficul funcției y = Ksin (x) (K>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sinx prin comprimarea acesteia (cu întindere 01. de K ori) de-a lungul axei Oy Graficul funcției y = Ksin (x) (K>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sinx it cu" title=" Algoritm pentru construirea graficelor. : Graficul funcției y = Ksin (x) (K>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (pentru K> 1 întindere de K ori) de-a lungul axei Oy a funcției y = Ksin (x) (K>0) se poate obține din graficul funcției y = sinx cu ea"> title="Algoritm pentru construirea graficelor: Graficul funcției y = Ksin (x) (K>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sin x prin întinderea acesteia (pentru K>1 prin întinderea ei cu un factor K ) de-a lungul axei Oy. Graficul funcției y = Кsin (x) (К>0) poate fi obținut din graficul funcției y = sinx it cu">!}
1 întindere 0 1 întindere 0 10 10 Compresie și întindere pe axa x K > 1 întindere 0 1 întindere 0 1 întindere 0 1 întindere 0 1 întindere 0 title="10 Compresie și întindere pe axa x K > 1 întindere 0
13 Deplasare de-a lungul axei ordonatelor Construiți un grafic al funcției y=sins+3 Construiți un grafic al funcției y=sins-3 + sus - jos y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Transformarea graficului
X y 1 -2 Verificați: y 1 = sinx; y 2 = sinx + 2; y 3 = sinx
Note de lecție de algebră în clasa a X-a
Vasileva Ekaterina Sergheevna,
profesor de matematică
OGBOU "Smolensk special (corecțional)
școală generală de tipurile I și II"
Smolensk
Subiectul lecției: „Transformarea graficelor funcțiilor trigonometrice.”
Numemodul: conversia graficelor funcţiilor trigonometrice. Integrareadidacticţintă: exersează abilitățile în construirea graficelor funcțiilor trigonometrice. Plan de acțiune țintă pentru studenți:
- revizuirea proprietăților de bază ale funcțiilor trigonometrice; exersează deprinderea de a converti grafice ale funcțiilor trigonometrice; promovează dezvoltarea gândirii logice; cultiva interesul pentru studierea subiectului.
Banca de informatii.
Control de intrare. Numiți proprietățile funcțiilor y = sin x (Fig. 1).Orez. 1
Proprietăți:
- D(y)=R E(y)=[-1;1], funcția este limitată sin(-x)=-sinx, funcția este impară Perioada pozitivă minimă: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 la x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Cel mai mare valoarea egală cu 1, y=sin x ia în punctele x=π/2+ 2πk, k Є Z. Cea mai mică valoare egală cu -1, y=sin x ia în punctele x=3π/2+ 2πk, k Є Z.
Orez. 2
Proprietăți:
- D (y)=R E (y)=[-1;1], funcția este limitată cos(-x)= cos x, funcția este par Perioada minimă pozitivă: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 la x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+ 2πk), k Є Z cos x Cea mai mare valoare egală cu 1, y=cos x ia în punctele x= 2πk, k Є Z. Cea mai mică valoare egală cu -1, y=cos x ia în punctele x=π+ 2πk , k Є Z.
Orez . 3
Proprietăți:
- D(y)-mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția numerelor de forma x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), funcție nemărginită tg(-x)=-tg x , funcție impară cea mai mică perioadă pozitivă: π
tg(x+π)= tan x tgx= 0 la x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x
Orez. 4
Proprietăți:
- D(y)-mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția numerelor de forma x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), funcție nemărginită ctg(-x)=-ctg x, funcție impară Minimum perioadă pozitivă: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 la x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x
Explicația materialului.
- y=
f(x)+
o, unde a este un număr constant, trebuie să mutați graficul y=
f(x)
de-a lungul axei ordonatelor. Dacă a>0, atunci mutăm graficul paralel cu el însuși în sus, dacă a Pentru a construi un grafic al funcției y=
kf(x)
trebuie să întindem graficul funcției y=
f(x)
V k
ori de-a lungul axei ordonatelor. Dacă |
k|>1
, apoi graficul se întinde de-a lungul axei OY, Dacă 0k| , apoi – compresie. Graficul unei funcții y=
f(x+
b)
obtinut din grafic y=
f(x)
prin translație paralelă de-a lungul axei absciselor. Dacă b>0, atunci graficul se deplasează la stânga, dacă b
Pentru a reprezenta grafic o funcție y= f(kx) trebuie să întindeți programul y= f(x) de-a lungul axei absciselor. Dacă | k|>1 , apoi graficul este comprimat de-a lungul axei OH, dacă 0
Fixarea materialului.
Nivelul A
Privatdidacticţintă: exersează deprinderea de a construi funcții trigonometrice prin transformări.
MetodiccomentariuPentruelevilor:
Bou De 3 ori.
Graficul unei funcții se obține dintr-un grafic prin întinderea de-a lungul axei Oi de 2 ori.
Graficul unei funcții se obține din grafic prin translație paralelă cu 2 unități în sus de-a lungul axei Oi.
Graficul unei funcții se obține din grafic prin translație paralelă de-a lungul axei absciselor cu unități la stânga.
G 
Graficul unei funcții se obține din grafic prin comprimarea de-a lungul axei Oi de 4 ori.
Nivelul B.
Privatdidacticţintă: trigonometric funcţionează prin consistent aplicând transformări.
MetodiccomentariuPentruelevilor: construiți grafice ale funcțiilor prin efectuarea de transformări.
Graficul unei funcții se obține din grafic prin translație paralelă de-a lungul axei absciselor cu unități la dreapta.
Graficul unei funcții se obține din graficul unei funcții realizând secvențial următoarele transformări:
1) translație paralelă cu unități la stânga de-a lungul axei absciselor
2) compresie de-a lungul axei Oy de 4 ori .
Graficul funcției se obține din graficul funcției, fiecare ordonată a cărei modificare se modifică cu un factor de -2. Pentru a face acest lucru, efectuăm următoarele transformări:
1) afișați simetric față de axă Bou,
2) se întinde de 2 ori de-a lungul axei Oi.
consistent efectuați următoarele transformări:
1) compresie de-a lungul axei absciselor de 2 ori;
2) întinderea V 3 ori de-a lungul topoare Oi;
3) paralel transfer pe 1 unitate Sus de-a lungul topoare ordonată.
Nivel CU .
Privatdidacticţintă: exersați abilitățile de graficare trigonometric funcţionează prin consistent aplicând transformări.
Metodic comentariu Pentru elevilor : va rog indicati , care transformare trebuie să executa Pentru construcție grafice . Construi grafică .
1. 
Graficul unei funcții se obține din graficul unei funcții realizând secvențial următoarele transformări:
1) afișajul este simetric față de axă Bou,
2) compresie de 2 ori de-a lungul axei Oy;
3) translație paralelă cu 2 unități în jos de-a lungul axei Oy.
2.
Graficul unei funcții se obține din graficul unei funcții consistent efectuând următoarele transformări: rezultă www. aeroportul. ru/ servicii/ grafic. html
