สไลด์ 2

คณิตศาสตร์เป็นศาสตร์ของเยาวชน มันไม่สามารถเป็นอย่างอื่นได้ คณิตศาสตร์เป็นรูปแบบหนึ่งของยิมนาสติกจิตที่ต้องใช้ความยืดหยุ่นและความอดทนของเยาวชน

นอร์เบิร์ต วีเนอร์ (ค.ศ. 1894-1964) นักวิทยาศาสตร์ชาวอเมริกัน

สไลด์ 3

ความสัมพันธ์ระหว่างตัวเลข a และ b (นิพจน์ทางคณิตศาสตร์) เชื่อมต่อกันด้วยเครื่องหมาย อสมการ -

สไลด์ 4

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์ ปัญหาในการพิสูจน์ความเสมอภาคและความไม่เท่าเทียมกันเกิดขึ้นในสมัยโบราณ มีการใช้คำพิเศษหรือตัวย่อเพื่อแสดงถึงความเท่าเทียมกันและสัญญาณความไม่เท่าเทียมกัน ศตวรรษที่ 4 ก่อนคริสต์ศักราช Euclid เล่มที่ 5 ขององค์ประกอบต่างๆ: ถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนบวก และ a เป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดในสัดส่วน a/b=c/d แล้วความไม่เท่าเทียมกัน a+d=b จะคงอยู่ + ค. ศตวรรษที่ 3 งานหลักของ Pappus of Alexandria “Mathematical Collection”: ถ้า a, b, c, d เป็นจำนวนบวกและ a/b>c/d แสดงว่า ad>bc ที่ไม่เท่ากันเป็นที่น่าพอใจ

มากกว่า 2,000 ปีก่อนคริสตกาล ทราบถึงความไม่เท่าเทียมกัน มันจะกลายเป็นความเท่าเทียมกันที่แท้จริงเมื่อ a=b

สไลด์ 5

ป้ายพิเศษสมัยใหม่ 1557 เครื่องหมายเท่ากับ = ถูกนำมาใช้โดยนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ R. Ricord แรงจูงใจของเขา: “ไม่มีวัตถุสองชิ้นใดจะเท่ากันมากกว่าสองส่วนที่ขนานกัน”

1631 ป้าย > และ

สไลด์ 6

ประเภทของอสมการที่มีตัวแปร (ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไป) เข้มงวด ไม่เข้มงวด ด้วยโมดูลัส พร้อมพารามิเตอร์ ระบบที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน คอลเลกชัน ตัวเลข Simple Double Multiples จำนวนเต็มพีชคณิต: -เชิงเส้น -กำลังสอง -กำลังที่สูงกว่า เศษส่วน-เหตุผล Irrational ตรีโกณมิติ ลอการิทึมเอ็กซ์โปเนนเชียล ชนิดผสม

คือค่าของตัวแปรที่เมื่อแทนที่แล้วจะเปลี่ยนเป็นอสมการเชิงตัวเลขที่แท้จริง แก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน - ค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมดหรือพิสูจน์ว่าไม่มีเลย กล่าวกันว่าอสมการสองประการมีความเท่าเทียมกันหากคำตอบทั้งหมดของแต่ละข้อเป็นคำตอบของอสมการอื่น ๆ หรืออสมการทั้งสองไม่มีคำตอบ อสมการ การแก้อสมการในตัวแปรเดียว

สไลด์ 9

อธิบายความไม่เท่าเทียมกัน แก้โจทย์ด้วยวาจา 3)(x – 2)(x + 3)  0

สไลด์ 10

วิธีการแบบกราฟิก

แก้ความไม่เท่าเทียมกันแบบกราฟิก 1) สร้างกราฟ 2) สร้างกราฟในระบบพิกัดเดียวกัน 3) ค้นหาจุดตัดของกราฟ (ค่าจะถูกนำมาโดยประมาณเราตรวจสอบความถูกต้องโดยการทดแทน) 4) เราพิจารณาจากกราฟวิธีแก้ปัญหาของความไม่เท่าเทียมกันนี้ 5) เขียนคำตอบ

สไลด์ 11

วิธีเชิงฟังก์ชันกราฟิกสำหรับแก้อสมการ f(x)

สไลด์ 12

วิธีเชิงฟังก์ชัน-กราฟิก แก้อสมการ: 3) สมการ f(x)=g(x) มีรากมากที่สุดเพียงอันเดียว สารละลาย. 4) จากการเลือก เราพบว่า x = 2 II. ให้เราแสดงกราฟของฟังก์ชัน f (x) และ g (x) ที่ผ่านจุด x = 2 บนแกนตัวเลข III. เรามาพิจารณาวิธีแก้ปัญหาและเขียนคำตอบกัน คำตอบ. x -7 ไม่ได้กำหนด 2

สไลด์ 13

แก้ความไม่เท่าเทียมกัน:

สไลด์ 14

สร้างกราฟของฟังก์ชัน Unified State Examination-9, 2008

สไลด์ 15

ใช่ x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

สไลด์ 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 กำหนดจำนวนช่วงของการแก้ปัญหากับอสมการสำหรับแต่ละค่าของพารามิเตอร์ a

สไลด์ 17

สร้างกราฟของฟังก์ชัน Unified State Examination-9, 2008

สไลด์ 18

สไลด์ 19

หนึ่งในวิธีที่สะดวกที่สุดในการแก้ปัญหาอสมการกำลังสองคือวิธีกราฟิก ในบทความนี้ เราจะมาดูวิธีการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก ก่อนอื่น เรามาคุยกันว่าสาระสำคัญของวิธีนี้คืออะไร ต่อไป เราจะนำเสนออัลกอริทึมและพิจารณาตัวอย่างการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก

การนำทางหน้า

สาระสำคัญของวิธีกราฟิก

เลย วิธีกราฟิกสำหรับแก้อสมการตัวแปรตัวหนึ่งไม่เพียงแต่ใช้แก้อสมการกำลังสองเท่านั้น แต่ยังใช้แก้อสมการประเภทอื่นๆ ด้วย สาระสำคัญ วิธีกราฟิกการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันถัดไป: พิจารณาฟังก์ชัน y=f(x) และ y=g(x) ซึ่งสอดคล้องกับด้านซ้ายและด้านขวาของอสมการ สร้างกราฟในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมระบบเดียว แล้วหาว่ากราฟของฟังก์ชันใดค่าหนึ่งอยู่ช่วงใด พวกมันต่ำกว่าหรือสูงกว่าอันอื่น ช่วงเวลาเหล่านั้นอยู่ที่ไหน

• กราฟของฟังก์ชัน f เหนือกราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)>g(x) ;
• กราฟของฟังก์ชัน f ไม่ต่ำกว่ากราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)≥g(x) ;
• กราฟของ f ใต้กราฟของ g คือคำตอบของอสมการ f(x)
• กราฟของฟังก์ชัน f ซึ่งไม่สูงกว่ากราฟของฟังก์ชัน g คือคำตอบของอสมการ f(x)≤g(x)

นอกจากนี้เรายังจะบอกว่าจุดตัดของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน f และ g เป็นคำตอบของสมการ f(x)=g(x) .

ลองถ่ายโอนผลลัพธ์เหล่านี้ไปยังกรณีของเรา - เพื่อแก้อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

เราแนะนำฟังก์ชันสองฟังก์ชัน: ฟังก์ชันแรก y=a x 2 +b x+c (โดยมี f(x)=a x 2 +b x+c) สอดคล้องกับด้านซ้ายของอสมการกำลังสอง ฟังก์ชันที่สอง y=0 (โดยมี g ( x)=0 ) สอดคล้องกับด้านขวาของอสมการ กำหนดการ ฟังก์ชันกำลังสอง f คือพาราโบลาและกราฟ ฟังก์ชั่นคงที่ g – เส้นตรงที่ประจวบกับแกนแอบซิสซา Ox

ถัดไปตามวิธีการแก้อสมการแบบกราฟิกจำเป็นต้องวิเคราะห์ในช่วงเวลาใดที่กราฟของฟังก์ชันหนึ่งอยู่เหนือหรือใต้อีกฟังก์ชันหนึ่งซึ่งจะทำให้เราสามารถเขียนวิธีแก้ปัญหาที่ต้องการให้กับอสมการกำลังสองได้ ในกรณีของเรา เราต้องวิเคราะห์ตำแหน่งของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับแกน Ox

ขึ้นอยู่กับค่าของสัมประสิทธิ์ a, b และ c อาจมีหกตัวเลือกต่อไปนี้ (สำหรับความต้องการของเรา การแสดงแผนผังก็เพียงพอแล้ว และเราไม่จำเป็นต้องพรรณนาแกน Oy เนื่องจากตำแหน่งของมันไม่ส่งผลกระทบต่อ แนวทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน):

ในรูปนี้ เราเห็นพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้น และตัดแกนวัวที่จุดสองจุด โดยมีจุดหักมุมคือ x 1 และ x 2 ภาพวาดนี้สอดคล้องกับตัวเลือกเมื่อสัมประสิทธิ์ a เป็นบวก (มีหน้าที่รับผิดชอบในทิศทางขึ้นของกิ่งพาราโบลา) และเมื่อค่าเป็นบวก การแยกแยะของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 +b x+c (ในกรณีนี้ ตรีโกณมิติมีสองราก ซึ่งเราเขียนแทนด้วย x 1 และ x 2 และเราถือว่า x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

เพื่อความชัดเจน เราจะพรรณนาส่วนของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน x เป็นสีแดง และส่วนที่อยู่ใต้แกน x เป็นสีน้ำเงิน


ตอนนี้เรามาดูกันว่าช่วงใดที่ตรงกับส่วนเหล่านี้ ภาพวาดต่อไปนี้จะช่วยให้คุณระบุได้ (ในอนาคตเราจะทำการเลือกที่คล้ายกันในรูปแบบของสี่เหลี่ยมทางจิตใจ):


ดังนั้นบนแกนแอบซิสซา ช่วงเวลาสองช่วง (−∞, x 1) และ (x 2 , +∞) จึงถูกเน้นด้วยสีแดง โดยมีพาราโบลาอยู่เหนือแกน Ox พวกมันประกอบขึ้นเป็นคำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x +c>0 และช่วงเวลา (x 1 , x 2) ถูกเน้นด้วยสีน้ำเงิน มีพาราโบลาอยู่ใต้แกน Ox ซึ่งแสดงถึงคำตอบของอสมการ a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

และตอนนี้โดยย่อ: สำหรับ a>0 และ D=b 2 −4 a c>0 (หรือ D"=D/4>0 สำหรับสัมประสิทธิ์คู่ b)

• วิธีแก้ของอสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c>0 คือ (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) หรือในรูปแบบอื่น x x2;
• วิธีแก้อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c≥0 คือ (−∞, x 1 ]∪ หรือในรูปแบบอื่น x 1 ≤x≤x 2 ,

โดยที่ x 1 และ x 2 คือรากของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 +b x+c และ x 1


ตรงนี้เราเห็นพาราโบลา ซึ่งมีกิ่งก้านชี้ขึ้นและสัมผัสกับแกนแอบซิสซา นั่นคือมันมีจุดร่วมจุดหนึ่งอยู่ด้วย เราแสดงว่าแอบซิสซาของจุดนี้เป็น x 0 กรณีที่นำเสนอสอดคล้องกับ a>0 (กิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบน) และ D=0 (ตรีโกณมิติกำลังสองมีหนึ่งราก x 0) ตัวอย่างเช่น คุณสามารถใช้ฟังก์ชันกำลังสอง y=x 2 −4·x+4 ในที่นี้ a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 และ x 0 =2

จากภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าพาราโบลาอยู่เหนือแกนวัวทุกที่ ยกเว้นจุดที่สัมผัสกัน ซึ่งก็คือ ในช่วงเวลา (−∞, x 0), (x 0, ∞) เพื่อความชัดเจน เรามาเน้นพื้นที่ในภาพวาดโดยเปรียบเทียบกับย่อหน้าก่อนหน้า


เราได้ข้อสรุป: สำหรับ a>0 และ D=0

• วิธีแก้ของอสมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c>0 คือ (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x≠x 0;
• วิธีแก้อสมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c≥0 คือ (−∞, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x∈R ;
• อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• อสมการกำลังสอง a x 2 +b x+c≤0 มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ x=x 0 (กำหนดโดยจุดสัมผัส)

โดยที่ x 0 คือรากของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 + b x + c


ในกรณีนี้ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น และไม่มีจุดร่วมกับแกนแอบซิสซา ที่นี่เรามีเงื่อนไข a>0 (กิ่งก้านชี้ขึ้นด้านบน) และ D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

แน่นอนว่าพาราโบลาตั้งอยู่เหนือแกน Ox ตลอดความยาวทั้งหมด (ไม่มีช่วงใดที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน Ox และไม่มีจุดสัมผัสกัน)


ดังนั้น สำหรับ a>0 และ D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 และ a x 2 +b x+c≥0 คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด และอสมการ a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

และยังมีสามตัวเลือกสำหรับตำแหน่งของพาราโบลาที่มีกิ่งก้านชี้ลง ไม่ใช่ขึ้น สัมพันธ์กับแกนวัว โดยหลักการแล้ว ไม่จำเป็นต้องพิจารณาสิ่งเหล่านี้ เนื่องจากการคูณทั้งสองด้านของอสมการด้วย −1 ทำให้เราได้ค่าอสมการที่เทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์บวกสำหรับ x 2 แต่ก็ยังไม่เสียหายที่จะได้รับแนวคิดเกี่ยวกับกรณีเหล่านี้ เหตุผลตรงนี้คล้ายกัน ดังนั้นเราจะเขียนเฉพาะผลลัพธ์หลักเท่านั้น

อัลกอริธึมโซลูชัน

ผลลัพธ์ของการคำนวณก่อนหน้าทั้งหมดคือ อัลกอริธึมสำหรับการแก้อสมการกำลังสองแบบกราฟิก:

มีการเขียนแผนผังบนระนาบพิกัด ซึ่งแสดงแกน Ox (ไม่จำเป็นต้องวาดแกน Oy) และภาพร่างของพาราโบลาที่สอดคล้องกับฟังก์ชันกำลังสอง y=a·x 2 +b·x+c ในการวาดภาพร่างพาราโบลา ก็เพียงพอที่จะชี้แจงสองประเด็น:

• ประการแรก โดยค่าของสัมประสิทธิ์ a จะถูกกำหนดทิศทางของกิ่งก้าน (สำหรับ a>0 - ขึ้นไป สำหรับ a<0 – вниз).
• และประการที่สอง ขึ้นอยู่กับค่าของดิสปฏิบัติของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 + b x + c จะพิจารณาว่าพาราโบลาตัดแกนแอบซิสซาที่จุดสองจุด (สำหรับ D>0) แล้วแตะจุดนั้นที่จุดหนึ่งหรือไม่ (สำหรับ D= 0) หรือไม่มีจุดร่วมกับแกน Ox (ที่ D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• เมื่อการวาดภาพพร้อมแล้ว ให้ใช้ในขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึม

  • เมื่อแก้สมการกำลังสอง a·x 2 +b·x+c>0 ช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยที่พาราโบลาอยู่เหนือ abscissa
  • เมื่อแก้อสมการ a·x 2 +b·x+c≥0 จะมีการกำหนดช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกนแอบซิสซา และค่าแอบซิสซาของจุดตัดกัน (หรือแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน) จะถูกเพิ่มเข้าไป พวกเขา;
  • เมื่อแก้อสมการ a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • สุดท้าย เมื่อแก้อสมการกำลังสองในรูปแบบ a·x 2 +b·x+c≤0 จะพบว่าพาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกน Ox และเส้นแอบซิสซาของจุดตัดกัน (หรือเส้นแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน) ) ถูกเพิ่มเข้าไป;

  พวกมันคือคำตอบที่ต้องการสำหรับอสมการกำลังสอง และหากไม่มีช่วงเวลาดังกล่าวและไม่มีจุดสัมผัส แสดงว่าอสมการกำลังสองดั้งเดิมก็ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

สิ่งที่เหลืออยู่ก็คือการแก้อสมการกำลังสองบางส่วนโดยใช้อัลกอริทึมนี้

ตัวอย่างพร้อมวิธีแก้ไข

ตัวอย่าง.

แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน .

สารละลาย.

เราจำเป็นต้องแก้อสมการกำลังสอง ลองใช้อัลกอริทึมจากย่อหน้าก่อนหน้ากันดีกว่า ในขั้นตอนแรก เราต้องร่างกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง - สัมประสิทธิ์ของ x 2 เท่ากับ 2 ซึ่งเป็นค่าบวก ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงชี้ขึ้น มาดูกันว่าพาราโบลามีจุดร่วมกับแกน x หรือไม่ เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ เราจะคำนวณการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง - เรามี - การแบ่งแยกกลายเป็นมากกว่าศูนย์ ดังนั้นตรีโกณมิติจึงมีรากที่แท้จริงสองประการ: และ นั่นคือ x 1 =−3 และ x 2 =1/3

จากนี้ จะเห็นได้ชัดว่าพาราโบลาตัดกับแกน Ox ที่จุดสองจุดโดยมีจุดหักมุม −3 และ 1/3 เราจะพรรณนาจุดเหล่านี้ในภาพวาดเป็นจุดธรรมดา เนื่องจากเรากำลังแก้ไขอสมการที่ไม่เข้มงวด จากข้อมูลที่ชี้แจงเราได้รับภาพวาดต่อไปนี้ (เหมาะกับเทมเพลตแรกจากย่อหน้าแรกของบทความ):

มาดูขั้นตอนที่สองของอัลกอริทึมกันดีกว่า เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการกำลังสองแบบไม่เข้มงวดด้วยเครื่องหมาย ≤ เราจึงต้องหาช่วงที่พาราโบลาอยู่ใต้แกนแอบซิสซา และเพิ่มค่าแอบซิสซาของจุดตัดกัน

จากภาพวาด จะเห็นได้ชัดว่าพาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกน x ในช่วงเวลา (−3, 1/3) และเราบวกจุดหักล้างของจุดตัดกันเข้าไปด้วย นั่นคือตัวเลข −3 และ 1/3 เป็นผลให้เรามาถึงช่วงตัวเลข [−3, 1/3] นี่คือวิธีแก้ปัญหาที่เรากำลังมองหา สามารถเขียนเป็นอสมการสองเท่า −3≤x≤1/3

คำตอบ:

[−3, 1/3] หรือ −3≤x≤1/3

ตัวอย่าง.

ค้นหาคำตอบของอสมการกำลังสอง −x 2 +16 x−63<0 .

สารละลาย.

ตามปกติเราจะเริ่มต้นด้วยการวาดภาพ ค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขของกำลังสองของตัวแปรเป็นลบ −1 ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงชี้ลง มาคำนวณการแบ่งแยกหรือดีกว่านั้นคือส่วนที่สี่: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1- ค่าของมันคือบวก ลองคำนวณรากของกำลังสองของตรีโกณมิติกัน: และ , x 1 =7 และ x 2 =9. ดังนั้นพาราโบลาตัดแกน Ox ที่จุดสองจุดด้วยพิกัด 7 และ 9 (อสมการดั้งเดิมนั้นเข้มงวด ดังนั้นเราจะพรรณนาจุดเหล่านี้ด้วยจุดศูนย์กลางว่าง) ตอนนี้เราสามารถวาดแผนผังได้:

เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการกำลังสองเคร่งครัดด้วยเครื่องหมาย<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

ภาพวาดแสดงให้เห็นว่าคำตอบของอสมการกำลังสองดั้งเดิมคือช่วงสองช่วง (−∞, 7) , (9, +∞)

คำตอบ:

(−∞, 7)∪(9, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x<7 , x>9 .

เมื่อแก้สมการกำลังสอง เมื่อค่าการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองทางด้านซ้ายเป็นศูนย์ คุณต้องระมัดระวังในการรวมหรือแยกจุดแอบซิสซาของจุดสัมผัสออกจากคำตอบ ขึ้นอยู่กับสัญญาณของความไม่เท่าเทียมกัน หากความไม่เสมอภาคเข้มงวดก็ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน แต่ถ้าไม่เข้มงวดก็คือเป็น

ตัวอย่าง.

อสมการกำลังสอง 10 x 2 −14 x+4.9≤0 มีวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธีหรือไม่

สารละลาย.

ลองพลอตฟังก์ชัน y=10 x 2 −14 x+4.9 กัน กิ่งก้านของมันชี้ขึ้น เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x 2 เป็นบวก และมันแตะแกน abscissa ที่จุดนั้นด้วย abscissa 0.7 เนื่องจาก D"=(−7) 2 −10 4.9=0 โดยที่ หรือ 0.7 ในรูปแบบ ของเศษส่วนทศนิยมตามแผนผังจะเป็นดังนี้:

เนื่องจากเรากำลังแก้อสมการกำลังสองด้วยเครื่องหมาย ≤ วิธีแก้จะเป็นช่วงที่พาราโบลาอยู่ต่ำกว่าแกน Ox เช่นเดียวกับค่าแอบซิสซาของจุดสัมผัสกัน จากภาพวาด เห็นได้ชัดว่าไม่มีช่องว่างแม้แต่ช่องเดียวที่พาราโบลาจะอยู่ใต้แกน Ox ดังนั้นคำตอบของพาราโบลาจะเป็นเพียงค่า Abscissa ของจุดสัมผัสกันเท่านั้น ซึ่งก็คือ 0.7

คำตอบ:

อสมการนี้มีวิธีแก้ปัญหาเฉพาะ 0.7

ตัวอย่าง.

แก้อสมการกำลังสอง –x 2 +8 x−16<0 .

สารละลาย.

เราปฏิบัติตามอัลกอริทึมในการแก้อสมการกำลังสองและเริ่มต้นด้วยการสร้างกราฟ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง เนื่องจากสัมประสิทธิ์ของ x 2 เป็นลบ −1 ให้เราค้นหาการแบ่งแยกของกำลังสองตรีโนเมียล –x 2 +8 x−16 เราได้ D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0แล้ว x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . ดังนั้น พาราโบลาแตะแกน Ox ที่จุดแอบซิสซา 4 มาวาดรูปกันเถอะ:

เรามองดูสัญญาณของความไม่เท่าเทียมเดิมมีอยู่<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

ในกรณีของเรา สิ่งเหล่านี้คือรังสีเปิด (−∞, 4) , (4, +∞) แยกกัน เราสังเกตว่า 4 - พิกัดของจุดสัมผัส - ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจาก ณ จุดที่สัมผัสกัน พาราโบลาไม่ต่ำกว่าแกน Ox

คำตอบ:

(−∞, 4)∪(4, +∞) หรือในรูปแบบอื่น x≠4

ให้สังเกตเป็นพิเศษในกรณีที่ค่าแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองทางด้านซ้ายของอสมการกำลังสองน้อยกว่าศูนย์ ไม่จำเป็นต้องเร่งรีบและบอกว่าอสมการไม่มีวิธีแก้ปัญหา (เราคุ้นเคยกับการสรุปสมการกำลังสองที่มีการแบ่งแยกเชิงลบเช่นนี้) ประเด็นก็คือความไม่เท่าเทียมกันกำลังสองของ D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

ตัวอย่าง.

หาคำตอบของอสมการกำลังสอง 3 x 2 +1>0

สารละลาย.

ตามปกติเราจะเริ่มต้นด้วยการวาดภาพ สัมประสิทธิ์ a คือ 3 ซึ่งเป็นบวก ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจึงชี้ขึ้น เราคำนวณการแบ่งแยก: D=0 2 −4·3·1=−12 เนื่องจากค่าจำแนกเป็นลบ พาราโบลาจึงไม่มีจุดร่วมกับแกน Ox ข้อมูลที่ได้รับเพียงพอสำหรับกราฟแผนผัง:

เราแก้อสมการกำลังสองเคร่งครัดด้วยเครื่องหมาย > วิธีแก้จะเป็นทุกช่วงที่พาราโบลาอยู่เหนือแกนอ็อกซ์ ในกรณีของเรา พาราโบลาอยู่เหนือแกน x ตลอดความยาว ดังนั้นคำตอบที่ต้องการจะเป็นเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

วัว และสำหรับพวกเขาคุณต้องเพิ่ม abscissa ของจุดตัดหรือ abscissa ของจุดสัมผัสกัน แต่จากภาพวาดจะเห็นได้อย่างชัดเจนว่าไม่มีช่วงเวลาดังกล่าว (เนื่องจากพาราโบลาอยู่ใต้แกนแอบซิสซา) เช่นเดียวกับที่ไม่มีจุดตัดกัน เช่นเดียวกับที่ไม่มีจุดสัมผัสกัน ดังนั้น อสมการกำลังสองดั้งเดิมจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา

คำตอบ:

ไม่มีวิธีแก้ปัญหาหรือในรายการอื่น ∅

อ้างอิง.

• พีชคณิต:หนังสือเรียน สำหรับเกรด 8 การศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2551. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-019243-9.
• พีชคณิต:ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9: การศึกษา เพื่อการศึกษาทั่วไป สถาบัน / [ย. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; แก้ไขโดย เอส.เอ. เทลยาคอฟสกี้ - ฉบับที่ 16 - อ.: การศึกษา, 2552. - 271 น. : ป่วย. - ไอ 978-5-09-021134-5.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักศึกษาสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich - ฉบับที่ 11 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2552. - 215 น.: ป่วย. ไอ 978-5-346-01155-2.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิต. ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 13 ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2011. - 222 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01752-3.
• มอร์ดโควิช เอ.จี.พีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ชั้นประถมศึกษาปีที่ 11 ใน 2 ชั่วโมง ตอนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับนักเรียนสถาบันการศึกษาทั่วไป (ระดับโปรไฟล์) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov - ฉบับที่ 2, ลบแล้ว. - อ.: Mnemosyne, 2551. - 287 หน้า: ป่วย. ไอ 978-5-346-01027-2.

การแก้สมการเชิงกราฟิก

เฮ้เดย์, 2009

การแนะนำ

ความจำเป็นในการแก้สมการกำลังสองในสมัยโบราณมีสาเหตุมาจากความจำเป็นในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการค้นหาพื้นที่ดินและงานขุดค้นทางทหารตลอดจนการพัฒนาทางดาราศาสตร์และคณิตศาสตร์ด้วย ชาวบาบิโลนสามารถแก้สมการกำลังสองได้ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล กฎสำหรับการแก้สมการเหล่านี้ที่กำหนดไว้ในตำราของชาวบาบิโลนโดยพื้นฐานแล้วเกิดขึ้นพร้อมกับสมการสมัยใหม่ แต่ไม่มีใครรู้ว่าชาวบาบิโลนมาถึงกฎนี้ได้อย่างไร

สูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสองในยุโรปมีการกำหนดไว้ครั้งแรกใน Book of Abacus ซึ่งเขียนขึ้นในปี 1202 โดย Leonardo Fibonacci นักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี หนังสือของเขามีส่วนช่วยในการเผยแพร่ความรู้เกี่ยวกับพีชคณิตไม่เพียงแต่ในอิตาลี แต่ยังในเยอรมนี ฝรั่งเศส และประเทศอื่นๆ ในยุโรปด้วย

แต่กฎทั่วไปสำหรับการแก้สมการกำลังสองที่มีการรวมกันที่เป็นไปได้ของสัมประสิทธิ์ b และ c ได้รับการกำหนดขึ้นในยุโรปในปี 1544 โดย M. Stiefel เท่านั้น

ในปี ค.ศ. 1591 ฟรองซัวส์ เวียต แนะนำสูตรสำหรับการแก้สมการกำลังสอง

ในบาบิโลนโบราณ พวกเขาสามารถแก้สมการกำลังสองบางประเภทได้

ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย และ ยุคลิด, อัล-คอวาริซมีและ โอมาร์ คัยยัมสมการแก้สมการโดยใช้วิธีเรขาคณิตและกราฟิก

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 เราเรียนเรื่องฟังก์ชัน y = C, ย =เคเอ็กซ์, ย =เคเอ็กซ์+ ม, ย =x 2,ย = –x 2, ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 - ย = √x, ย =|x|, ย =ขวาน2 + บีเอ็กซ์+ ค, ย =เค/ x- ในหนังสือเรียนพีชคณิตชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ฉันเห็นฟังก์ชันที่ยังไม่รู้จัก: ย =x 3, ย =x 4,ย =x 2n, ย =x- 2n, ย = 3√x, (x– ก) 2 + (คุณ –ข) 2 = ร 2 และอื่น ๆ มีกฎสำหรับการสร้างกราฟของฟังก์ชันเหล่านี้ ฉันสงสัยว่ามีหน้าที่อื่นที่ปฏิบัติตามกฎเหล่านี้หรือไม่

งานของฉันคือศึกษากราฟฟังก์ชันและแก้สมการแบบกราฟิก

1. มีหน้าที่อะไรบ้าง?

กราฟของฟังก์ชันคือเซตของจุดทุกจุดของระนาบพิกัด ซึ่งจุดหักล้างของฟังก์ชันจะเท่ากับค่าของอาร์กิวเมนต์ และพิกัดจะเท่ากับค่าที่สอดคล้องกันของฟังก์ชัน

ฟังก์ชันเชิงเส้นได้มาจากสมการ ย =เคเอ็กซ์+ ข, ที่ไหน เคและ ข- ตัวเลขบางตัว กราฟของฟังก์ชันนี้เป็นเส้นตรง

ฟังก์ชันสัดส่วนผกผัน ย =เค/ xโดยที่ k ¹ 0 กราฟของฟังก์ชันนี้เรียกว่าไฮเปอร์โบลา

การทำงาน (x– ก) 2 + (ใช่ –ข) 2 = ร2 , ที่ไหน ก, ขและ ร- ตัวเลขบางตัว กราฟของฟังก์ชันนี้คือวงกลมรัศมี r โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด A ( ก, ข).

ฟังก์ชันกำลังสอง ย= ขวาน2 + บีเอ็กซ์+ คที่ไหน เอ,ข, กับ– ตัวเลขบางส่วนและ ก¹ 0 กราฟของฟังก์ชันนี้คือพาราโบลา

สมการ ที่2 (ก– x) = x2 (ก+ x) - กราฟของสมการนี้จะเป็นเส้นโค้งที่เรียกว่าสโตรฟอยด์

/>สมการ (x2 + ย2 ) 2 = ก(x2 – ย2 ) - กราฟของสมการนี้เรียกว่าการเล็มนิสเคตของแบร์นูลลี

สมการ กราฟของสมการนี้เรียกว่าแอสรอยด์

เส้นโค้ง (x2 ย2 – 2 ขวาน)2 =4 ก2 (x2 + ย2 ) - เส้นโค้งนี้เรียกว่าคาร์ดิโอด์

ฟังก์ชั่น: ย =x 3 – ลูกบาศก์พาราโบลา ย =x 4, ย = 1/x 2.

2. แนวคิดของสมการและการแก้สมการเชิงกราฟิก

สมการ– นิพจน์ที่มีตัวแปร

แก้สมการ- นี่หมายถึงการค้นหารากเหง้าทั้งหมดหรือการพิสูจน์ว่าไม่มีอยู่จริง

รากของสมการคือตัวเลขที่เมื่อแทนลงในสมการแล้วจะทำให้เกิดความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

การแก้สมการแบบกราฟิกช่วยให้คุณค้นหาค่าที่แน่นอนหรือค่าโดยประมาณของราก ช่วยให้คุณสามารถค้นหาจำนวนรากของสมการได้

เมื่อสร้างกราฟและการแก้สมการ จะใช้คุณสมบัติของฟังก์ชัน ซึ่งเป็นเหตุผลว่าทำไมวิธีนี้จึงเรียกว่าฟังก์ชันเชิงกราฟิก

ในการแก้สมการ เราจะ "แบ่ง" มันออกเป็นสองส่วน แนะนำฟังก์ชันสองฟังก์ชัน สร้างกราฟ และค้นหาพิกัดของจุดตัดกันของกราฟ การขาดดุลของจุดเหล่านี้คือรากของสมการ

3. อัลกอริทึมสำหรับการพล็อตกราฟฟังก์ชัน

รู้จักกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(x) คุณสามารถสร้างกราฟของฟังก์ชันได้ ย =ฉ(x+ ม) ,ย =ฉ(x)+ ลและ ย =ฉ(x+ ม)+ ล- กราฟทั้งหมดนี้ได้มาจากกราฟของฟังก์ชัน ย =ฉ(x) ใช้การแปลงแบบดำเนินการแบบขนาน: ถึง │ ม│ หน่วยมาตราส่วนไปทางขวาหรือซ้ายตามแนวแกน x และบน │ ล│ หน่วยมาตราส่วนขึ้นหรือลงตามแนวแกน ย.

4. ผลเฉลยกราฟิกของสมการกำลังสอง

เมื่อใช้ฟังก์ชันกำลังสองเป็นตัวอย่าง เราจะพิจารณาคำตอบเชิงกราฟิกของสมการกำลังสอง กราฟของฟังก์ชันกำลังสองคือพาราโบลา

ชาวกรีกโบราณรู้อะไรเกี่ยวกับพาราโบลา

สัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์สมัยใหม่มีต้นกำเนิดในศตวรรษที่ 16

นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณไม่มีทั้งวิธีการประสานงานและแนวคิดเรื่องฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม พวกเขาได้ศึกษาคุณสมบัติของพาราโบลาโดยละเอียด ความเฉลียวฉลาดของนักคณิตศาสตร์โบราณนั้นน่าทึ่งมาก - ท้ายที่สุดแล้วพวกเขาทำได้เพียงใช้ภาพวาดและคำอธิบายทางวาจาของการพึ่งพาเท่านั้น

สำรวจพาราโบลา ไฮเปอร์โบลา และวงรีได้ครบถ้วนที่สุด อพอลโลเนียสแห่งเปอร์กาซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช เขาตั้งชื่อเส้นโค้งเหล่านี้และระบุว่าจุดบนเส้นโค้งนี้หรือเส้นโค้งนั้นเป็นไปตามเงื่อนไขใด (เพราะไม่มีสูตรใดๆ เลย!)

มีอัลกอริทึมสำหรับสร้างพาราโบลา:

ค้นหาพิกัดของจุดยอดของพาราโบลา A (x0; y0): เอ็กซ์=- ข/2 ก;

y0=แอกโซ2+ใน0+s;

ค้นหาแกนสมมาตรของพาราโบลา (เส้นตรง x=x0)

PAGE_BREAK--

เรารวบรวมตารางค่าสำหรับการสร้างจุดควบคุม

เราสร้างจุดผลลัพธ์และสร้างจุดที่สมมาตรสัมพันธ์กับแกนสมมาตร

1. ใช้อัลกอริทึม เราจะสร้างพาราโบลา ย= x2 – 2 x– 3 - รอยแยกของจุดตัดกับแกน xและมีรากของสมการกำลังสอง x2 – 2 x– 3 = 0.

มีห้าวิธีในการแก้สมการนี้แบบกราฟิก

2. แบ่งสมการออกเป็นสองฟังก์ชัน: ย= x2 และ ย= 2 x+ 3

3. แบ่งสมการออกเป็นสองฟังก์ชัน: ย= x2 –3 และ ย=2 x- รากของสมการคือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง

4. แปลงสมการ x2 – 2 x– 3 = 0 โดยการแยกกำลังสองที่สมบูรณ์ออกเป็นฟังก์ชัน: ย= (x–1) 2 และ ย=4. รากของสมการคือจุดตัดของพาราโบลากับเส้นตรง

5. หารทั้งสองข้างของเทอมสมการด้วยเทอม x2 – 2 x– 3 = 0 บน xเราได้รับ x– 2 – 3/ x= 0 ลองแบ่งสมการนี้ออกเป็นสองฟังก์ชัน: ย= x– 2, ย= 3/ x. รากของสมการคือจุดตัดของเส้นตรงและไฮเพอร์โบลา

5. คำตอบกราฟิกของสมการระดับn

ตัวอย่างที่ 1แก้สมการ x5 = 3 – 2 x.

ย= x5 , ย= 3 – 2 x.

คำตอบ: x = 1

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการ 3 √ x= 10 – x.

รากของสมการนี้คือค่า abscissa ของจุดตัดกันของกราฟของฟังก์ชันทั้งสอง: ย= 3 √ x, ย= 10 – x.

คำตอบ: x = 8.

บทสรุป

เมื่อดูกราฟของฟังก์ชันแล้ว: ย =ขวาน2 + บีเอ็กซ์+ ค, ย =เค/ xคุณ = √x, ย =|x|, ย =x 3, ย =x 4,ย = 3√x, ฉันสังเกตเห็นว่ากราฟทั้งหมดนี้ถูกสร้างขึ้นตามกฎของการแปลแบบขนานที่สัมพันธ์กับแกน xและ ย.

จากตัวอย่างการแก้สมการกำลังสอง เราสามารถสรุปได้ว่าวิธีกราฟิกยังใช้กับสมการระดับ n ได้ด้วย

วิธีการแก้สมการแบบกราฟิกนั้นสวยงามและเข้าใจได้ แต่ไม่ได้รับประกันว่าจะแก้สมการใดๆ ได้ 100% ฝีของจุดตัดของกราฟสามารถเป็นค่าประมาณได้

ในชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 และมัธยมปลาย ฉันจะทำความคุ้นเคยกับหน้าที่อื่นๆ ต่อไป ฉันสนใจที่จะรู้ว่าฟังก์ชันเหล่านั้นเป็นไปตามกฎการถ่ายโอนแบบขนานเมื่อสร้างกราฟหรือไม่

ปีหน้าฉันอยากจะพิจารณาประเด็นของการแก้ระบบสมการและอสมการแบบกราฟิกด้วย

วรรณกรรม

1. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา / A.G. มอร์ดโควิช. อ.: Mnemosyne, 2007.

2. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา / A.G. มอร์ดโควิช. อ.: Mnemosyne, 2007.

3. พีชคณิต ชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 ส่วนที่ 1 หนังสือเรียนสำหรับสถานศึกษา / A.G. มอร์ดโควิช. อ.: Mnemosyne, 2007.

4. เกลเซอร์ จี.ไอ. ประวัติคณิตศาสตร์ที่โรงเรียน เกรด VII-VIII – อ.: การศึกษา, 2525.

5. วารสารคณิตศาสตร์ ฉบับที่ 5 2552; ฉบับที่ 8 2550; ฉบับที่ 23 2551.

6. เว็บไซต์แก้สมการกราฟิกบนอินเทอร์เน็ต: Tol VIKI; กระตุ้น.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; หน้า 3–6.htm.

นโยบายกระทรวงศึกษาธิการและเยาวชนของดินแดนสตาฟโรปอล

สถาบันการศึกษาวิชาชีพงบประมาณของรัฐ

วิทยาลัยภูมิภาค Georgievsk "บูรณาการ"

โครงการส่วนบุคคล

ในสาขาวิชา “คณิตศาสตร์: พีชคณิต หลักการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เรขาคณิต”

ในหัวข้อ: “การแก้สมการและอสมการเชิงกราฟิก”

จบโดยนักเรียนกลุ่ม PK-61 กำลังศึกษาวิชาเฉพาะทาง

“การเขียนโปรแกรมในระบบคอมพิวเตอร์”

เซลเลอร์ ติมูร์ วิตาลิวิช

หัวหน้า: ครู Serkova N.A.

วันที่จัดส่ง:" " 2017

วันที่กลาโหม:" " 2017

จอร์จีฟสค์ 2017

หมายเหตุอธิบาย

เป้าหมายโครงการ:

เป้า: ค้นหาข้อดีของวิธีการแก้สมการและอสมการแบบกราฟิก

งาน:

เปรียบเทียบวิธีวิเคราะห์และกราฟิกของการแก้สมการและอสมการ

ค้นหาว่าในกรณีใดบ้างที่วิธีการแบบกราฟิกมีข้อดี

ลองแก้สมการด้วยโมดูลัสและพารามิเตอร์

ความเกี่ยวข้องของการศึกษา: การวิเคราะห์เนื้อหาที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการและอสมการเชิงกราฟิกในหนังสือเรียนเรื่องพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยผู้เขียนหลายคนโดยคำนึงถึงเป้าหมายของการศึกษาหัวข้อนี้ ตลอดจนผลการเรียนรู้ภาคบังคับที่เกี่ยวข้องกับหัวข้อที่กำลังพิจารณา

เนื้อหา

การแนะนำ

1. สมการพร้อมพารามิเตอร์

1.1. คำจำกัดความ

1.2. อัลกอริธึมโซลูชัน

1.3. ตัวอย่าง

2. อสมการกับพารามิเตอร์

2.1. คำจำกัดความ

2.2. อัลกอริธึมโซลูชัน

2.3. ตัวอย่าง

3. การใช้กราฟในการแก้สมการ

3.1. คำตอบกราฟิกของสมการกำลังสอง

3.2. ระบบสมการ

3.3. สมการตรีโกณมิติ

4. การประยุกต์กราฟในการแก้อสมการ

5.บทสรุป

6. ข้อมูลอ้างอิง

การแนะนำ

การศึกษากระบวนการทางกายภาพและรูปแบบทางเรขาคณิตหลายอย่างมักนำไปสู่การแก้ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์ มหาวิทยาลัยบางแห่งยังรวมสมการ อสมการ และระบบของสมการไว้ในข้อสอบด้วย ซึ่งมักจะซับซ้อนมากและต้องใช้แนวทางการแก้ปัญหาที่ไม่ได้มาตรฐาน ที่โรงเรียน หนึ่งในส่วนที่ยากที่สุดของหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนนี้ถือเป็นวิชาเลือกเพียงไม่กี่วิชาเท่านั้น

ในการเตรียมงานนี้ ฉันตั้งเป้าหมายของการศึกษาหัวข้อนี้อย่างลึกซึ้งยิ่งขึ้น โดยระบุวิธีแก้ปัญหาที่มีเหตุผลที่สุดซึ่งจะนำไปสู่คำตอบอย่างรวดเร็ว ในความคิดของฉัน วิธีกราฟิกเป็นวิธีที่สะดวกและรวดเร็วในการแก้สมการและอสมการด้วยพารามิเตอร์

โครงงานของฉันตรวจสอบประเภทของสมการ อสมการ และระบบของสมการประเภทต่างๆ ที่พบบ่อย

1. สมการพร้อมพารามิเตอร์

1. คำจำกัดความพื้นฐาน

พิจารณาสมการ

(ก, ข, ค, …, เค, x)=(ก, ข, ค, …, เค, x), (1)

โดยที่ a, b, c, …, k, x เป็นปริมาณที่แปรผันได้

ระบบค่าตัวแปรใดๆ

ก = ก 0 , ข = ข 0 , ค = ค 0 , …, เค = เค 0 , x = x 0 ,

โดยที่ทั้งด้านซ้ายและด้านขวาของสมการนี้รับค่าจริงเรียกว่าระบบค่าที่อนุญาตของตัวแปร a, b, c, ..., k, x ให้ A เป็นเซตของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของ a, B เป็นเซตของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของ b เป็นต้น, X เป็นเซตของค่าที่ยอมรับได้ทั้งหมดของ x เช่น กA, bB, …, xX. หากสำหรับแต่ละเซต A, B, C, …, K เราเลือกและแก้ไขตามลำดับ ค่า a, b, c, …, k และแทนค่าเหล่านั้นลงในสมการ (1) เราจะได้สมการสำหรับ x เช่น. สมการกับสิ่งหนึ่งที่ไม่รู้จัก

ตัวแปร a, b, c, ..., k ซึ่งถือเป็นค่าคงที่เมื่อแก้สมการ เรียกว่าพารามิเตอร์ และตัวสมการเองเรียกว่าสมการที่มีพารามิเตอร์

พารามิเตอร์แสดงด้วยตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษรละติน: a, b, c, d, ..., k, l, m, n และสิ่งที่ไม่รู้จักจะแสดงด้วยตัวอักษร x, y, z

ในการแก้สมการด้วยพารามิเตอร์หมายถึงการระบุว่าค่าของโซลูชันพารามิเตอร์มีค่าเท่าใดและมีค่าเท่าใด

สมการสองสมการที่มีพารามิเตอร์เหมือนกันจะเรียกว่าสมมูลหาก:

ก) มันสมเหตุสมผลสำหรับค่าพารามิเตอร์เดียวกัน

b) ทุกคำตอบของสมการแรกคือคำตอบของสมการที่สอง และในทางกลับกัน

1. อัลกอริธึมโซลูชัน

ค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของสมการ

เราเขียน a เป็นฟังก์ชันของ x

ในระบบพิกัด xOa เราสร้างกราฟของฟังก์ชัน a=(x) สำหรับค่า x เหล่านั้นที่รวมอยู่ในโดเมนของคำจำกัดความของสมการนี้

เราจะหาจุดตัดของเส้นตรง a=c โดยที่ c(-;+) กับกราฟของฟังก์ชัน a=(x) ถ้าเส้นตรง a=c ตัดกับกราฟ a=( x) จากนั้นเราจะหาจุดตัดของจุดตัด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ก็เพียงพอที่จะแก้สมการ a=(x) สำหรับ x

เราเขียนคำตอบ

1. ตัวอย่าง

I. แก้สมการ

(1)

สารละลาย.

เนื่องจาก x=0 ไม่ใช่รากของสมการ จึงสามารถแก้สมการได้เป็น:

หรือ

กราฟของฟังก์ชันคือไฮเปอร์โบลา "ติดกาว" สองตัว จำนวนคำตอบของสมการดั้งเดิมถูกกำหนดโดยจำนวนจุดตัดของเส้นที่สร้างขึ้นและเส้นตรง y=a

ถ้า a  (-;-1](1;+) แล้วเส้นตรง y=a จะตัดกราฟของสมการ (1) ที่จุดหนึ่ง เราจะพบค่า abscissa ของจุดนี้เมื่อแก้สมการสำหรับ x.

ดังนั้น ในช่วงเวลานี้ สมการ (1) จึงมีคำตอบ

ถ้า  แล้วเส้นตรง y=a จะตัดกราฟของสมการ (1) ที่จุดสองจุด ค่าขาดของจุดเหล่านี้หาได้จากสมการ และเราได้

และ.

ถ้า  แล้วเส้นตรง y=a จะไม่ตัดกับกราฟของสมการ (1) ดังนั้นจึงไม่มีคำตอบ

คำตอบ:

ถ้า  (-;-1](1;+) แล้ว;

ถ้า  แล้ว;

ถ้า  แสดงว่าไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ครั้งที่สอง ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ซึ่งสมการมีรากที่แตกต่างกันสามค่า

สารละลาย.

เมื่อเขียนสมการใหม่ในรูปแบบและพิจารณาคู่ของฟังก์ชันแล้ว คุณจะสังเกตได้ว่าค่าที่ต้องการของพารามิเตอร์ a และมีเพียงค่าเท่านั้นที่จะสอดคล้องกับตำแหน่งของกราฟฟังก์ชันซึ่งมีจุดตัดกันสามจุดกับ กราฟฟังก์ชัน

ในระบบพิกัด xOy เราจะสร้างกราฟของฟังก์ชัน) ในการทำเช่นนี้ เราสามารถแสดงมันในรูปแบบ และเมื่อพิจารณาถึงสี่กรณีที่เกิดขึ้นแล้ว เราจึงเขียนฟังก์ชันนี้ในรูปแบบ

เนื่องจากกราฟของฟังก์ชันเป็นเส้นตรงที่มีมุมเอียงกับแกน Ox เท่ากับและตัดกับแกน Oy ที่จุดที่มีพิกัด (0, a) เราจึงสรุปได้ว่าจุดตัดที่ระบุสามจุดสามารถรับได้เพียง ในกรณีที่เส้นนี้สัมผัสกราฟของฟังก์ชัน ดังนั้นเราจึงหาอนุพันธ์ได้

คำตอบ: .

ที่สาม ค้นหาค่าทั้งหมดของพารามิเตอร์ a ซึ่งแต่ละค่าเป็นระบบสมการ

มีวิธีแก้ปัญหา

สารละลาย.

จากสมการแรกของระบบที่เราได้รับที่ ดังนั้น สมการนี้จึงกำหนดตระกูลของ "กึ่งพาราโบลา" - สาขาด้านขวาของพาราโบลา "สไลด์" โดยมีจุดยอดตามแนวแกนแอบซิสซา

ให้เราเลือกกำลังสองสมบูรณ์ทางด้านซ้ายของสมการที่สองแล้วแยกตัวประกอบ

เซตของจุดบนระนาบที่เป็นไปตามสมการที่สองคือเส้นตรงสองเส้น

ให้เราดูว่าค่าของพารามิเตอร์ใดที่เส้นโค้งจากตระกูล "เซมิพาราโบลา" มีจุดร่วมอย่างน้อยหนึ่งจุดโดยมีเส้นตรงเส้นใดเส้นหนึ่งที่เป็นผลลัพธ์

หากจุดยอดของเซมิพาราโบลาอยู่ทางด้านขวาของจุด A แต่อยู่ทางด้านซ้ายของจุด B (จุด B ตรงกับจุดยอดของ “เซมิพาราโบลา” ที่สัมผัสกัน

เส้นตรง) ดังนั้นกราฟที่พิจารณาจะไม่มีจุดร่วม ถ้าจุดยอดของ "กึ่งพาราโบลา" ตรงกับจุด A ก็แสดงว่า

เราพิจารณากรณีของ "กึ่งพาราโบลา" ที่สัมผัสกับเส้นจากสภาวะของการมีอยู่ของโซลูชันเฉพาะของระบบ

ในกรณีนี้คือสมการ

มีรากเดียวจากที่เราพบ:

ดังนั้น ระบบดั้งเดิมจึงไม่มีวิธีแก้ปัญหา แต่มีอย่างน้อยหนึ่งวิธีแก้ปัญหา

คำตอบ: a  (-;-3] (;+)

IV. แก้สมการ

สารละลาย.

เมื่อใช้ความเท่าเทียมกัน เราจะเขียนสมการที่กำหนดใหม่ในรูปแบบ

สมการนี้เทียบเท่ากับระบบ

เราเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ

. (*)

สมการสุดท้ายเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการแก้โดยใช้การพิจารณาทางเรขาคณิต มาสร้างกราฟของฟังก์ชันกัน และ จากกราฟจะตามมาว่ากราฟไม่ตัดกัน ดังนั้นสมการจึงไม่มีคำตอบ

ถ้าหากกราฟของฟังก์ชันตรงกัน ดังนั้น ค่าทั้งหมดจึงเป็นคำตอบของสมการ (*)

เมื่อกราฟตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดตัดของจุดนั้นก็คือ ดังนั้น เมื่อสมการ (*) มีคำตอบเฉพาะ - .

ตอนนี้ให้เราตรวจสอบว่าค่าใดของคำตอบของสมการ (*) ที่พบที่จะตรงตามเงื่อนไข

ปล่อยให้มันเป็นอย่างนั้น ระบบก็จะขึ้นรูปแบบ

คำตอบของมันคือช่วง x (1;5) เมื่อพิจารณาว่าเราสามารถสรุปได้ว่าหากสมการดั้งเดิมเป็นไปตามค่า x ทั้งหมดจากช่วงเวลา อสมการดั้งเดิมจะเท่ากับอสมการตัวเลขที่ถูกต้อง 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

บนอินทิกรัล (1;+∞) เราจะได้อสมการเชิงเส้น 2х อีกครั้ง<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์เดียวกันนี้สามารถได้รับจากการมองเห็นและการพิจารณาทางเรขาคณิตที่เข้มงวดในเวลาเดียวกัน รูปที่ 7 แสดงกราฟฟังก์ชัน:ย= ฉ( x)=| x-1|+| x+1| และย=4.

รูปที่ 7.

บนกราฟอินทิกรัล (-2;2) ของฟังก์ชันย= ฉ(x) อยู่ใต้กราฟของฟังก์ชัน y=4 ซึ่งหมายถึงความไม่เท่าเทียมกันฉ(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

ครั้งที่สอง )ความไม่เท่าเทียมกันกับพารามิเตอร์

ตามกฎแล้ว การแก้ไขอสมการด้วยพารามิเตอร์ตั้งแต่หนึ่งตัวขึ้นไปนั้นเป็นงานที่ซับซ้อนกว่าเมื่อเปรียบเทียบกับปัญหาที่ไม่มีพารามิเตอร์

ตัวอย่างเช่น อสมการ √a+x+√a-x>4 ซึ่งมีพารามิเตอร์ a ต้องใช้ความพยายามในการแก้ปัญหามากกว่าอสมการ √1+x + √1-x>1 มาก

การแก้ไขอสมการประการแรกเหล่านี้หมายความว่าอย่างไร โดยพื้นฐานแล้วสิ่งนี้หมายถึงการแก้ปัญหาไม่เพียงแค่ความไม่เท่าเทียมกันเพียงอย่างเดียว แต่เป็นทั้งคลาสซึ่งเป็นชุดความไม่เท่าเทียมกันทั้งหมดที่ได้รับหากเรากำหนดค่าตัวเลขเฉพาะให้กับพารามิเตอร์ a อสมการที่สองที่เป็นลายลักษณ์อักษรเป็นกรณีพิเศษของอันแรกเนื่องจากได้มาจากค่า a = 1

ดังนั้นเพื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่มีพารามิเตอร์หมายถึงการกำหนดค่าของพารามิเตอร์ความไม่เท่าเทียมกันจะมีวิธีแก้ปัญหาและสำหรับค่าพารามิเตอร์ดังกล่าวทั้งหมดเพื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 1:

แก้อสมการ |x-a|+|x+a|< ข, ก<>0.

เพื่อแก้อสมการนี้ด้วยพารามิเตอร์สองตัวก คุณ ขลองใช้การพิจารณาทางเรขาคณิตกัน รูปที่ 8 และ 9 แสดงกราฟฟังก์ชัน

ย= ฉ(x)=| x- ก|+| x+ ก| คุณ ย= ข.

เห็นได้ชัดว่าเมื่อข<=2| ก- ตรงย= ขไม่ผ่านเหนือส่วนแนวนอนของเส้นโค้งย=| x- ก|+| x+ ก- ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันในกรณีนี้จึงไม่มีทางแก้ไขได้ (ภาพที่ 8) ถ้าข>2| ก| แล้วตามด้วยบรรทัดย= ขตัดกราฟของฟังก์ชันย= ฉ(x) ที่จุดสองจุด (-ข/2; ข) คุณ (ข/2; ข)(รูปที่ 6) และความไม่เท่าเทียมกันในกรณีนี้ใช้ได้กับ –ข/2< x< ข/2 เนื่องจากค่าเหล่านี้ของตัวแปรคือเส้นโค้งย=| x+ ก|+| x- ก- ตั้งอยู่ใต้เส้นตรงย= ข.

คำตอบ: ถ้าข<=2| ก- แล้วไม่มีวิธีแก้ปัญหา

ถ้าข>2| ก| แล้วx €(- ข/2; ข/2).

ที่สาม) อสมการตรีโกณมิติ:

เมื่อแก้ไขอสมการด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะใช้คาบของฟังก์ชันเหล่านี้และความน่าเบื่อในช่วงเวลาที่สอดคล้องกันเป็นหลัก อสมการตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด การทำงานบาป xมีคาบบวกเท่ากับ 2π ดังนั้นความไม่เท่าเทียมกันของแบบฟอร์ม:บาป x>a, บาป x>=a,

บาป x

ก็เพียงพอที่จะแก้โจทย์ในส่วนที่มีความยาว 2 ก่อนπ - เราได้รับชุดโซลูชันทั้งหมดโดยการเพิ่มแต่ละโซลูชันที่พบในหมายเลขส่วนนี้ของแบบฟอร์ม 2π พี, พีЄซี.

ตัวอย่างที่ 1: แก้ความไม่เท่าเทียมกันบาป x>-1/2.(รูปที่ 10)

ก่อนอื่น มาแก้อสมการนี้ตามช่วง [-π/2;3π/2] กัน ลองพิจารณาทางด้านซ้ายของมัน - ส่วน [-π/2;3π/2] นี่คือสมการบาป x=-1/2 มีคำตอบเดียว x=-π/6; และฟังก์ชั่นบาป xเพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อหน่าย ซึ่งหมายความว่า ถ้า –π/2<= x<= -π/6, то บาป x<= บาป(- π /6)=-1/2 เช่น ค่า x เหล่านี้ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน ถ้า –π/6<х<=π/2 то บาป x> บาป(-π/6) = –1/2 ค่า x เหล่านี้ทั้งหมดไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน

ในส่วนที่เหลือ [π/2;3π/2] ฟังก์ชันบาป xสมการก็ลดลงอย่างน่าเบื่อหน่ายบาป x= -1/2 มีคำตอบเดียว x=7π/6 ดังนั้น ถ้า π/2<= x<7π/, то บาป x> บาป(7π/6)=-1/2 เช่น ค่า x ทั้งหมดนี้เป็นวิธีการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน สำหรับxเรามีบาป x<= บาป(7π/6)=-1/2 ค่า x เหล่านี้ไม่ใช่คำตอบ ดังนั้น เซตของคำตอบทั้งหมดของอสมการนี้ในช่วงเวลา [-π/2;3π/2] จึงเป็นปริพันธ์ (-π/6;7π/6)

เนื่องจากมีความเป็นระยะของการทำงานบาป xด้วยระยะเวลา 2π ค่า x จากอินทิกรัลใดๆ ของรูปแบบ: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄซียังเป็นวิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันอีกด้วย ไม่มีค่าอื่นของ x ที่จะแก้อสมการนี้ได้

คำตอบ: -π/6+2πn< x<7π/6+2π n, ที่ไหนnЄ ซี.

บทสรุป

เราดูวิธีการแก้สมการและอสมการแบบกราฟิก เราดูตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง วิธีแก้ปัญหาที่ใช้คุณสมบัติของฟังก์ชัน เช่น ความน่าเบื่อและความเท่าเทียมกันการวิเคราะห์วรรณกรรมทางวิทยาศาสตร์และตำราคณิตศาสตร์ทำให้สามารถจัดโครงสร้างเนื้อหาที่เลือกตามวัตถุประสงค์ของการศึกษา เลือกและพัฒนาวิธีการแก้สมการและอสมการที่มีประสิทธิภาพ บทความนี้นำเสนอวิธีการแก้สมการและอสมการแบบกราฟิกและตัวอย่างที่ใช้วิธีเหล่านี้ ผลลัพธ์ของโครงการถือได้ว่าเป็นงานสร้างสรรค์เป็นวัสดุเสริมสำหรับการพัฒนาทักษะการแก้สมการและอสมการโดยใช้วิธีกราฟิก

รายชื่อวรรณกรรมที่ใช้แล้ว

Dalinger V. A. “เรขาคณิตช่วยพีชคณิต” สำนักพิมพ์ “โรงเรียน - สื่อมวลชน”. มอสโก 1996

Dalinger V. A. “ทุกสิ่งเพื่อความสำเร็จในการสอบปลายภาคและการสอบเข้าในวิชาคณิตศาสตร์” สำนักพิมพ์ของ Omsk Pedagogical University ออมสค์ 1995

Okunev A. A. “ การแก้สมการกราฟิกของสมการพร้อมพารามิเตอร์” สำนักพิมพ์ “โรงเรียน - สื่อมวลชน”. มอสโก 1986

Pismensky D.T. “คณิตศาสตร์สำหรับนักเรียนมัธยมปลาย” สำนักพิมพ์ “ไอริส”. มอสโก 1996

Yastribinetsky G. A. “ สมการและอสมการที่มีพารามิเตอร์” สำนักพิมพ์ "Prosveshcheniye" มอสโก 1972

ก.กร และ ต.กร “คู่มือคณิตศาสตร์” สำนักพิมพ์ “วิทยาศาสตร์” วรรณกรรมกายภาพและคณิตศาสตร์ มอสโก 2520

Amelkin V.V. และ Rabtsevich V.L. “ ปัญหาเกี่ยวกับพารามิเตอร์” สำนักพิมพ์ “อาซาร์”. มินสค์ 1996

แหล่งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต

วิธีกราฟิกเป็นหนึ่งในวิธีหลักในการแก้อสมการกำลังสอง ในบทความเราจะนำเสนออัลกอริทึมสำหรับการใช้วิธีการแบบกราฟิก จากนั้นพิจารณากรณีพิเศษโดยใช้ตัวอย่าง

สาระสำคัญของวิธีการแบบกราฟิก

วิธีนี้ใช้ได้กับการแก้ไขอสมการใดๆ ไม่ใช่แค่สมการกำลังสองเท่านั้น สาระสำคัญของมันคือ: ด้านขวาและด้านซ้ายของความไม่เท่าเทียมกันถือเป็นสองฟังก์ชันที่แยกจากกัน y = f (x) และ y = g (x) กราฟของพวกมันถูกพล็อตในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและดูว่ากราฟใดเป็น อยู่เหนือสิ่งอื่นใดและในช่วงเวลาใด ช่วงเวลาประมาณดังนี้:

คำจำกัดความ 1

• การแก้อสมการ f (x) > g (x) คือช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน f สูงกว่ากราฟของฟังก์ชัน g
• คำตอบของความไม่เท่าเทียมกัน f (x) ≥ g (x) คือช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน f ไม่ต่ำกว่ากราฟของฟังก์ชัน g
• วิธีแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• การแก้อสมการ f (x) ≤ g (x) คือช่วงเวลาที่กราฟของฟังก์ชัน f ไม่สูงกว่ากราฟของฟังก์ชัน g
• พิกัดของจุดตัดของกราฟของฟังก์ชัน f และ g คือคำตอบของสมการ f (x) = g (x)

ลองดูอัลกอริทึมข้างต้นโดยใช้ตัวอย่าง เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) และรับฟังก์ชันสองฟังก์ชันจากฟังก์ชันนั้น ทางด้านซ้ายของอสมการจะตรงกับ y = a · x 2 + b · x + c (ในกรณีนี้ f (x) = a · x 2 + b · x + c) และด้านขวา y = 0 ( ในกรณีนี้ g (x) = 0)

กราฟของฟังก์ชันแรกคือพาราโบลา ส่วนกราฟที่สองเป็นเส้นตรงซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับแกน x Ox มาวิเคราะห์ตำแหน่งของพาราโบลาที่สัมพันธ์กับแกน O x กัน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เรามาเขียนแบบแผนกัน

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้น ตัดแกน O x ที่จุดต่างๆ x1และ x2- สัมประสิทธิ์ a ในกรณีนี้คือค่าบวก เนื่องจากมันมีหน้าที่รับผิดชอบในทิศทางของกิ่งก้านของพาราโบลา ค่าจำแนกประเภทเป็นค่าบวก ซึ่งบ่งชี้ว่าค่าตรีโนเมียลกำลังสองนั้นมีรากอยู่ 2 ราก ก x 2 + ข x + ค- เราแสดงว่ารากของตรีโกณมิติเป็น x1และ x2และก็เป็นที่ยอมรับกันว่า x1< x 2 เนื่องจากจุดที่มีจุดหักเหปรากฏอยู่บนแกน O x x1ทางด้านซ้ายของจุดแอบซิสซา x2.

ส่วนของพาราโบลาที่อยู่เหนือแกน O x จะแสดงด้วยสีแดง ด้านล่าง - เป็นสีน้ำเงิน สิ่งนี้จะทำให้เราวาดภาพได้ชัดเจนยิ่งขึ้น

เรามาเลือกช่องว่างที่ตรงกับส่วนต่างๆ เหล่านี้และทำเครื่องหมายในช่องสีที่ต้องการในรูปภาพ

เราทำเครื่องหมายช่วงเวลา (− ∞, x 1) และ (x 2, + ∞) ด้วยสีแดง โดยมีพาราโบลาอยู่เหนือแกน O x พวกมันคือ a · x 2 + b · x + c > 0 เราทำเครื่องหมายช่วงเวลาด้วยสีน้ำเงิน (x 1 , x 2) ซึ่งเป็นคำตอบของอสมการ a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

เรามาสรุปวิธีแก้ปัญหาโดยย่อกัน สำหรับ a > 0 และ D = b 2 − 4 a c > 0 (หรือ D " = D 4 > 0 สำหรับสัมประสิทธิ์คู่ b) เราจะได้:

• วิธีแก้ของอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c > 0 คือ (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x< x 1 , x >x2;
• วิธีแก้อสมการกำลังสอง a · x 2 + b · x + c ≥ 0 คือ (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• การแก้อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• คำตอบของอสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c ≤ 0 คือ [ x 1 , x 2 ] หรือในรูปแบบอื่น x 1 ≤ x ≤ x 2

โดยที่ x 1 และ x 2 คือรากของตรีโกณมิติกำลังสอง a x 2 + b x + c และ x 1< x 2 .

ในรูปนี้ พาราโบลาสัมผัสแกน O x เพียงจุดเดียว ซึ่งกำหนดให้เป็น x 0 ก > 0. ด=0ดังนั้น ตรีโกณมิติกำลังสองจึงมีรากเดียว x 0.

พาราโบลาจะอยู่เหนือแกน O x โดยสมบูรณ์ ยกเว้นจุดสัมผัสของแกนพิกัด มาระบายสีช่วงเวลากัน (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞)

มาเขียนผลลัพธ์กัน ที่ ก > 0และ ด=0:

• การแก้อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c > 0คือ (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≠ x 0;
• การแก้อสมการกำลังสอง ก x 2 + ข x + ค ≥ 0เป็น (− ∞ , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ∈ R;
• อสมการกำลังสอง ก x 2 + ข x + ค< 0 ไม่มีวิธีแก้ปัญหา (ไม่มีช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน โอ้ x);
• อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c ≤ 0มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เหมือนใคร x = x 0(ได้รับจากจุดติดต่อ)

ที่ไหน x 0- รากของกำลังสองตรีโกณมิติ ก x 2 + ข x + ค.

ลองพิจารณากรณีที่สาม เมื่อกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ขึ้นและไม่สัมผัสแกน โอ้ x- กิ่งก้านของพาราโบลาหงายขึ้น ซึ่งหมายความว่า ก > 0- ตรีโกณมิติกำลังสองไม่มีรากที่แท้จริงเพราะว่า ดี< 0 .

ไม่มีช่วงใดบนกราฟที่พาราโบลาจะอยู่ต่ำกว่าแกน x เราจะคำนึงถึงสิ่งนี้เมื่อเลือกสีสำหรับรูปวาดของเรา

ปรากฎว่าเมื่อไร. ก > 0และ ดี< 0 การแก้อสมการกำลังสอง a x 2 + b x + c > 0และ ก x 2 + ข x + ค ≥ 0คือเซตของจำนวนจริงทั้งหมดและอสมการ ก x 2 + ข x + ค< 0 และ a x 2 + b x + c ≤ 0ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

เรามีทางเลือกอีก 3 ทางให้พิจารณาเมื่อกิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง ไม่จำเป็นต้องดูรายละเอียดทั้งสามตัวเลือกนี้ เนื่องจากเมื่อเราคูณทั้งสองด้านของอสมการด้วย −1 เราจะได้อสมการที่เทียบเท่ากับสัมประสิทธิ์บวกสำหรับ x 2

การพิจารณาส่วนก่อนหน้าของบทความได้เตรียมเราให้พร้อมสำหรับการรับรู้อัลกอริธึมในการแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันโดยใช้วิธีการแบบกราฟิก ในการคำนวณ เราจำเป็นต้องใช้ภาพวาดในแต่ละครั้ง ซึ่งจะแสดงถึงเส้นพิกัด O x และพาราโบลาที่สอดคล้องกับฟังก์ชันกำลังสอง y = ก x 2 + ข x + ค- ในกรณีส่วนใหญ่ เราจะไม่แสดงภาพแกน O y เนื่องจากไม่จำเป็นสำหรับการคำนวณ และจะเป็นเพียงการโอเวอร์โหลดภาพวาดเท่านั้น

ในการสร้างพาราโบลา เราจะต้องรู้สองสิ่ง:

คำจำกัดความ 2

• ทิศทางของกิ่งก้านซึ่งกำหนดโดยค่าสัมประสิทธิ์ a;
• การปรากฏตัวของจุดตัดของพาราโบลาและแกน abscissa ซึ่งถูกกำหนดโดยค่าของการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสอง ก · x 2 + ข · x + ค .

เราจะแสดงจุดตัดกันและสัมผัสกันด้วยวิธีปกติเมื่อแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันที่ไม่เข้มงวดและว่างเปล่าเมื่อแก้ไขค่าที่เข้มงวด

การมีภาพวาดที่เสร็จสมบูรณ์ทำให้คุณสามารถไปยังขั้นตอนถัดไปของการแก้ปัญหาได้ โดยเกี่ยวข้องกับการกำหนดช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือหรือใต้แกน O x ช่วงเวลาและจุดตัดกันคือคำตอบของอสมการกำลังสอง หากไม่มีจุดตัดกันหรือสัมผัสกันและไม่มีช่วงเวลาใดจะถือว่าความไม่เท่าเทียมกันที่ระบุในเงื่อนไขของปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

ทีนี้มาแก้อสมการกำลังสองหลาย ๆ ตัวโดยใช้อัลกอริธึมด้านบน

ตัวอย่างที่ 1

จำเป็นต้องแก้อสมการ 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 แบบกราฟิก

สารละลาย

ลองวาดกราฟของฟังก์ชันกำลังสอง y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 กัน ค่าสัมประสิทธิ์ที่ x2บวกเพราะมันเท่ากัน 2 - ซึ่งหมายความว่ากิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น

ขอให้เราคำนวณการแบ่งแยกของกำลังสองตรีโนเมียล 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 เพื่อดูว่าพาราโบลามีจุดร่วมกับแกนแอบซิสซาหรือไม่ เราได้รับ:

ง = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

ดังที่เราเห็น D มากกว่าศูนย์ ดังนั้นเราจึงมีจุดตัดกันสองจุด: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 และ x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2 นั่นคือ x 1 = - 3และ x 2 = 1 3.

เราแก้อสมการแบบไม่เข้มงวด ดังนั้นเราจึงใส่จุดธรรมดาบนกราฟ ลองวาดพาราโบลากัน อย่างที่คุณเห็นภาพวาดนั้นมีลักษณะเหมือนกับในเทมเพลตแรกที่เราพิจารณา

อสมการของเรามีเครื่องหมาย ≤ ดังนั้นเราจึงจำเป็นต้องเน้นช่วงเวลาบนกราฟที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน O x และเพิ่มจุดตัดเข้าไป

ช่วงเวลาที่เราต้องการคือ 3, 1 3 เราเพิ่มจุดตัดเข้าไปและรับส่วนตัวเลข − 3, 1 3 นี่คือวิธีแก้ไขปัญหาของเรา คำตอบสามารถเขียนเป็นอสมการสองเท่าได้: − 3 ≤ x ≤ 1 3

คำตอบ:− 3 , 1 3 หรือ − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

ตัวอย่างที่ 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 วิธีการแบบกราฟิก

สารละลาย

กำลังสองของตัวแปรมีค่าสัมประสิทธิ์ตัวเลขเป็นลบ ดังนั้นกิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ลง ลองคำนวณส่วนที่สี่ของการเลือกปฏิบัติกัน D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1- ผลลัพธ์นี้บอกเราว่าจะมีจุดตัดกันสองจุด

ลองคำนวณรากของตรีโกณมิติกำลังสอง: x 1 = - 8 + 1 - 1 และ x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 และ x 2 = 9.

ปรากฎว่าพาราโบลาตัดแกน x ที่จุดนั้น 7 และ 9 - เรามาทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนกราฟว่าว่างเปล่า เนื่องจากเรากำลังดำเนินการกับอสมการที่เข้มงวด หลังจากนั้น ให้วาดพาราโบลาที่ตัดแกน O x ที่จุดที่ทำเครื่องหมายไว้

เราจะสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน O x ลองทำเครื่องหมายช่วงเวลาเหล่านี้เป็นสีน้ำเงิน

เราได้รับคำตอบ: วิธีแก้อสมการคือช่วงเวลา (− ∞, 7) , (9, + ∞)

คำตอบ:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x< 7 , x > 9 .

ในกรณีที่ค่าการแบ่งแยกของตรีโกณมิติกำลังสองเป็นศูนย์ จำเป็นต้องพิจารณาอย่างรอบคอบว่าจะรวมค่า abscissa ของจุดสัมผัสกันในคำตอบหรือไม่ เพื่อการตัดสินใจที่ถูกต้องจำเป็นต้องคำนึงถึงสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันด้วย ในอสมการเข้มงวด จุดสัมผัสของแกน x ไม่ใช่วิธีแก้อสมการ แต่ในอสมการที่ไม่เข้มงวดคือคำตอบ

ตัวอย่างที่ 3

แก้อสมการกำลังสอง 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0วิธีการแบบกราฟิก

สารละลาย

กิ่งก้านของพาราโบลาในกรณีนี้จะชี้ขึ้น มันจะสัมผัสแกน Ox ที่จุด 0, 7 ตั้งแต่นั้นเป็นต้นมา

ลองพลอตฟังก์ชันกัน y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9- กิ่งก้านของมันพุ่งขึ้นเนื่องจากค่าสัมประสิทธิ์ที่ x2เป็นบวก และสัมผัสกับแกน x ที่จุดแกน x 0 , 7 , เพราะ D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0จากที่ x 0 = 7 10 หรือ 0 , 7 .

ลองวางจุดแล้ววาดพาราโบลากัน

เราแก้อสมการแบบไม่เข้มงวดด้วยเครื่องหมาย ≤ เพราะฉะนั้น. เราจะสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน x และจุดสัมผัสกัน ไม่มีช่วงเวลาในรูปที่จะเป็นไปตามเงื่อนไขของเรา มีเพียงจุดติดต่อ 0, 7 นี่คือวิธีแก้ปัญหาที่เรากำลังมองหา

คำตอบ:อสมการมีคำตอบเดียวคือ 0, 7

ตัวอย่างที่ 4

แก้อสมการกำลังสอง – x 2 + 8 x − 16< 0 .

สารละลาย

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง การเลือกปฏิบัติเป็นศูนย์ จุดตัด x 0 = 4.

เราทำเครื่องหมายจุดสัมผัสบนแกน x แล้ววาดพาราโบลา

เรากำลังเผชิญกับความไม่เท่าเทียมกันอย่างรุนแรง ดังนั้นเราจึงสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่ใต้แกน O x มาทำเครื่องหมายด้วยสีน้ำเงินกัน

จุดที่มีแอบซิสซา 4 ไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา เนื่องจากพาราโบลาที่อยู่จุดนั้นไม่ได้อยู่ใต้แกน O x ดังนั้นเราจึงได้สองช่วงเวลา (− ∞ , 4) , (4 , + ∞)

คำตอบ: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) หรือในรูปแบบอื่น x ≠ 4

ไม่ใช่เสมอไปด้วย ค่าลบความไม่เท่าเทียมกันโดยเลือกปฏิบัติจะไม่มีวิธีแก้ปัญหา มีหลายกรณีที่ผลเฉลยคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการกำลังสอง 3 x 2 + 1 > 0 แบบกราฟิก

สารละลาย

สัมประสิทธิ์ a เป็นบวก การเลือกปฏิบัติเป็นลบ กิ่งก้านของพาราโบลาจะชี้ขึ้น ไม่มีจุดตัดกันของพาราโบลากับแกน O x มาดูภาพวาดกัน

เราทำงานด้วยความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดซึ่งมีเครื่องหมาย > ซึ่งหมายความว่าเราสนใจช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกน x จะเป็นเช่นนี้ทุกประการเมื่อคำตอบคือเซตของจำนวนจริงทั้งหมด

คำตอบ:(− ∞, + ∞) หรือประมาณนั้น x ∈ R

ตัวอย่างที่ 6

จำเป็นต้องหาทางแก้ไขความไม่เท่าเทียมกัน − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0แบบกราฟิก

สารละลาย

กิ่งก้านของพาราโบลาชี้ลง การแบ่งประเภทเป็นลบ ดังนั้นจึงไม่มีจุดร่วมระหว่างพาราโบลากับแกน x มาดูภาพวาดกัน

เรากำลังดำเนินการกับอสมการแบบไม่เข้มงวดด้วยเครื่องหมาย ≥ ดังนั้นช่วงเวลาที่พาราโบลาอยู่เหนือแกน x จึงเป็นที่สนใจของเรา ดูจากกราฟแล้วไม่มีช่องว่างดังกล่าว ซึ่งหมายความว่าความไม่เท่าเทียมกันที่กำหนดในเงื่อนไขของปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข

คำตอบ:ไม่มีวิธีแก้ปัญหา

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter