Т Е М А: Перетворення графіків тригонометричних функцій із модулем.

ЦІЛЬ: Розгляд одержання графіків тригонометричних функцій виду

y= f(|x|);y = | f(x)| .

Розвивати математичну логіку та увагу.

ХІД УРОКУ:

Орг. момент: Оголошення теми, цілей та завдань уроку.

Вчитель: Сьогодні ми маємо навчитися будувати графіки функцій y = sin |x|; y = cos | x |

Y = | A sin x + b | ; Y = | A cos x + b | використовуючи наші знання про перетворення трансцендентних функцій виду y = f(|x|) та y = |f(x)| . Ви запитаєте: «Для чого це потрібно?» Справа в тому, що властивості функцій в цьому випадку змінюються, а ось як, це найкраще простежується, як ви знаєте, на графіку.

Давайте пригадаємо, як запишуться дані функції з використанням визначення

Діти: f(|x|) =

|f(x)| =

Вчитель: Отже, щоб побудувати графік функції у =f(|x|), якщо відомий графік функції

у =f{ x), потрібно залишити на місці ту частину графіка функції у =f(x), яка

відповідає невід'ємній частині області визначення функції у =f(x). Відобразивши цю

частина симетрично щодо осі у, отримаємо іншу частину графіка, відповідну

негативної частини області визначення

Т. е. на графіку це виглядає наступним чином: y = f (x)

(Дані графіки будуються на дошці. Діти у зошитах)

Тепер з цього побудуємо графік функцій y = sin | x |; Y = | sin x | ; Y = | 2 sin x + 2 |

Рис 1. Y = sin x

Рис 2. Y = sin | x |

Тепер збудуємо графіки функцій Y = | sin x | та Y = |2 sin x + 2|

Щоб побудувати графік функції у = \f(x)\, якщо відомий графік функції у =f(x), потрібно залишити на місці ту його частину, деf(x) > О, і симетрично відобразити щодо осі х іншу його частину, деf(x) < 0.

Конспект уроку алгебри та початки аналізував 10 класі

на тему: «Перетворення графіків тригонометричних функцій»

Мета уроку: систематизувати знання на тему «Властивості та графіки тригонометричних функцій у = sin (x), у = cos (x)».

Завдання уроку:

• повторити властивості тригонометричних функцій у = sin (x), у = cos (x);
• повторити формули наведення;
• перетворення графіків тригонометричних функцій;
• розвивати увагу, пам'ять, логічне мислення; активізувати розумову діяльність, уміння аналізувати, узагальнювати та міркувати;
• виховання працьовитості, старанності у досягненні мети, інтерес до предмета.

Обладнання уроку: ікт

Тип уроку: вивчення нового

Хід уроку

Перед уроком 2 учні на дошці будують графіки із домашнього завдання.

Організаційний момент:

Здрастуйте, хлопці!

Сьогодні на уроці ми будемо перетворювати графіки тригонометричних функцій у = sin (x), у = cos (x).

Усна робота:

Перевірка домашнього завдання.

розгадування ребусів.

Вивчення нового матеріалу

Усі перетворення графіків функцій є універсальними - вони придатні всім функцій, зокрема і тригонометрических. Тут же обмежимося коротким нагадуванням основних перетворень графіків.

Перетворення графіків функцій.

Дана функція у = f(x). Усі графіки починаємо будувати з графіка цієї функції, потім робимо з ним дії.

Функція

Що робити з графіком

y = f(x) + a

Усі точки першого графіка піднімаємо на одиниць вгору.

y = f(x) - a

Усі точки першого графіка опускаємо на одиниць вниз.

y = f(x + a)

Усі точки першого графіка зрушуємо на одиниць вліво.

y = f (x – a)

Усі точки першого графіка зрушуємо на одиниць вправо.

y = a * f (x), a> 1

Закріплюємо нулі на місці, верхні точки зрушуємо вище в раз, нижні - опускаємо нижче в раз.

Графік «витягнеться» вгору й униз, нулі залишаються дома.

y = a * f (x), a<1

Закріплюємо нулі, верхні точки опустяться вниз в раз, нижні - піднімуться в раз. Графік «стиснеться» до осі абсцис.

y = -f (x)

Дзеркально відобразити перший графік щодо осі абсцис.

y = f (ax), a<1

Закріпити крапку на осі ординат. Кожен відрізок на осі абсцис збільшити в раз. Графік розтягнеться від осі ординат у різні боки.

y = f (ax ), a >1

Закріпити точку на осі ординат, кожен відрізок на осі абсцис зменшити в раз. Графік «стиснеться» до осі ординат з обох боків.

у = | f(x)|

Частини графіка розташовані під віссю абсцис дзеркально відобразити. Весь графік буде розташований у верхній півплощині.

Схеми розв'язання.

1)y = sin x +2.

Будуємо графік у = sin x. Кожну точку графіка піднімаємо нагору на 2 одиниці (нулі теж).

2)y = cos x - 3.

Будуємо графік y = cos x. Кожну точку графіки опускаємо вниз на 3 одиниці.

3)y = cos (x - /2)

Будуємо графік y = cos x. Усі точки зрушуємо на п/2 праворуч.

4) у = 2 sin x.

Будуємо графік у = sin x. Нулі залишаємо на місці, верхні точки піднімаємо у 2 рази, нижні опускаємо на стільки ж.

ПРАКТИЧНА РОБОТА Побудова графіків тригонометричних функцій за допомогою програми Advanced Grapher.

Побудуємо графік функції у = -cos 3x + 2.

1. Побудуємо графік функції у = cos x.
2. Відобразимо його щодо осі абсцис.
3. Цей графік треба стиснути втричі вздовж осі абсцис.
4. Нарешті, такий графік треба підняти нагору на три одиниці вздовж осі ординат.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2 cos x-2

у = 5cos 0 ,5 x

y=-3sin(x+π).

2) Знайди помилку та виправ її.

V. Історичний матеріал. Повідомлення про Ейлера.

Леонард Ейлер – найбільший математик 18 століття. Народився у Швейцарії. Довгі роки жив і працював у Росії, член Петербурзької академії.

Чому ж ми повинні знати та пам'ятати ім'я цього вченого?

На початку 18 століття тригонометрія була недостатньо розроблена: був умовних позначень, формули записувалися словами, засвоювати їх було важко, незрозумілим було й питання знаках тригонометричних функцій у різних чвертях кола, під аргументом тригонометричної функції розуміли лише кути чи дуги. Лише у працях Ейлера тригонометрія набула сучасного вигляду. Саме став розглядати тригонометричну функцію числа, тобто. під аргументом стали розуміти як дуги чи градуси, а й числа. Ейлер вивів усі тригонометричні формули з кількох основних, упорядкував питання про знаки тригонометричної функції у різних чвертях кола. Для позначення тригонометричних функцій він запровадив символіку: sin x, cos x, tg x, ctg x.

На порозі 18-го століття у розвитку тригонометрії виник новий напрямок – аналітичний. Якщо раніше головною метою тригонометрії вважалося рішення трикутників, то Ейлер розглядав тригонометрію як науку про тригонометричні функції. Перша частина: вчення про функцію - частина загального вчення про функції, що вивчається в математичному аналізі. Друга частина: розв'язання трикутників – глава геометрії. Такі нововведення були зроблені Ейлером.

VI. Повторення

Самостійна робота "Допиши формулу".

VII. Підсумки уроку:

1) Що нового ви дізналися сьогодні на уроці?

2) Що ще ви хочете дізнатися?

3) Виставлення оцінок.

Алгоритм побудови графіків Графік функції y = sin (x-a) можна отримати паралельним перенесенням графіка функції y = sinx вздовж осі Ох на одиниць вправо. Графік функції y = sin (x+a) можна отримати паралельним перенесенням графіка функції y = sinx вздовж осі Ох на одиниць вліво.

0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 00) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 07Алгоритм побудови графіків Графік функції y = sin (Кx) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 01 стисненням До разів) вздовж осі Ох. 0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 0 0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 01 стисненням до К разів) вздовж осі Ох."> 0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 00) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 0 title="Алгоритм побудови графіків Графік функції y = sin (Кx) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при 0

8 Стиснення та розтяг до осі ординат Побудувати графік функції у = sin2 х Побудувати графік функції у = sin K > 1 стиск 0 1 стиск 0 1 стиск 0 1 стиск 0 1 стиск 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 !}

0) можна одержати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням у раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його з "title="Алгоритм побудови графіків: Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням в раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його" class="link_thumb"> 9 !}Алгоритм побудови графіків: Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна одержати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням в раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його стисненням (при 01 розтягуванням в раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його з"> 0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням в разів) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x>0) можна одержати з графіка функції y = sinx його стисненням (при 01 розтягуванням в раз) вздовж осі Оу. можна отримати з графіка функції y = sinx його з "title="Алгоритм побудови графіків: Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К> 1 розтягуванням в До разів) вздовж осі Оу."> title="Алгоритм побудови графіків: Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна одержати з графіка функції y = sin x його розтягуванням (при К>1 розтягуванням в раз) уздовж осі Оу. Графік функції y = Кsin (x) (К>0) можна отримати з графіка функції y = sinx його з">!}

1 розтягування 0 1 розтягування 0 10 10 Стиснення та розтяг до осі абсцис K > 1 розтяг 0 1 розтяг 0 1 розтяг 0 1 розтяг 0 1 розтяг 0 title="10 Стиснення та розтяг до осі абсцис K > 1 розтяг 0

13 Зрушення вздовж осі ординат Побудувати графік функції у = sins +3 Побудувати графік функції у = sins-3 + вгору - вниз y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Перетворення графіка

X y 1 -2 Перевірка: y 1 = sinx; у 2 = sinx + 2; у 3 = sinx

Конспект уроку з алгебри у 10 класі

Васильєва Катерина Сергіївна,

вчитель математики

ОДБОУ «Смоленська спеціальна (корекційна)

загальноосвітня школа І та ІІ видів»

Смоленськ

Тема уроку: "Перетворення графіків тригонометричних функцій".

Назвамодуля: перетворення графіків тригонометричних функцій. Інтегруючадидактичнамета: відпрацювати навички побудови графіків тригонометричних функцій. Цільовий план дій для учнів:

повторити основні властивості тригонометричних функцій; відпрацювати навичку перетворення графіків тригонометричних функцій; сприяти розвитку логічного мислення; виховувати інтерес до вивчення предмета.

Банк інформації.

Мал. 1

Властивості:

D(y)=R E(y)=[-1;1], функція обмежена sin(-x)=-sinx, функція непарна Найменший позитивний період: 2π
sin (x+2πn) = sin x, n Z, x R. sin x = 0 при x = πk, k Z sin x> 0, x Є (2 πk; 2π + 2 πk), k Є Z sin x Найбільше значення, що дорівнює 1, y=sin x приймає в точках x=π/2+ 2πk, k Є Z. Найменше значення, що дорівнює -1, y=sin x приймає в точках x=3π/2+ 2πk, k Є Z.

Мал. 2

Властивості:

D(y)=R E(y)=[-1;1], функція обмежена cos(-x)= cos x, функція парна Найменший позитивний період: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 при x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+ 2πk), k Є Z cos x Найбільше значення, що дорівнює 1, y=cos x набуває в точках x= 2πk, k Є Z. Найменше значення, що дорівнює -1, y=cos x набуває в точках x=π+ 2πk, k Є Z.

Рис . 3

Властивості:

D(y)-множина всіх дійсних чисел, крім чисел виду x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), функція необмежена tg(-x)=-tg x, функція непарна найменший позитивний період: π
tg(x+π)= tg x tgx= 0 при x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x

Мал. 4

Властивості:

D(y)-множина всіх дійсних чисел, крім чисел виду x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), функція необмежена ctg(-x)=-ctg x, функція непарна Найменший позитивний період: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 при x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x

Пояснення матеріалу.

y= f(x)+ a, де a - постійне число, треба перенести графік y= f(x) вздовж осі ординат. Якщо a>0, то графік переносимо паралельно самому собі нагору, якщо a Для побудови графіка функції y= kf(x) треба розтягнути графік функції y= f(x) в k разів уздовж осі ординат. Якщо | k|>1 , то відбувається розтягнення графіка вздовж осі OY, якщо 0k| , то – стиск. Графік функції y= f(x+ b) виходить із графіка y= f(x) шляхом паралельного перенесення вздовж осі абсцис. Якщо b>0, то графік переміщається вліво, якщо b

Для побудови графіка функції y= f(kx) треба розтягнути графік y= f(x) вздовж осі абсцис. Якщо | k|>1 , то відбувається стиснення графіка вздовж осі OХякщо 0

Закріплення матеріалу.

Рівень А

Приватнадидактичнамета: відпрацювати навичку побудови тригонометричних функцій шляхом перетворень.

Методичнийкоментардляучнів:

Oxу 3 рази.





Графік функції виходить із графіка шляхом розтягування вздовж осі Ой в 2 рази.





Графік функції виходить із графіка шляхом паралельного перенесення на 2 одиниці вгору вздовж осі Ой.







Графік функції виходить із графіка шляхом паралельного перенесення вздовж осі абсцис на одиниць вліво.





Г

рафік функції виходить із графіка шляхом стиснення вздовж осі Ойу 4 рази.

Рівень Ст.

Приватнадидактичнамета: тригонометричнихфункцій шляхом послідовногозастосування перетворень.

Методичнийкоментардляучнів: побудуйте графіки функцій, виконавши перетворення.



Графік функції виходить із графіка шляхом паралельного перенесення вздовж осі абсцис на одиниць вправо.



Графік функції виходить із графіка функції шляхом послідовного виконання наступних перетворень:

1) паралельне перенесення на одиниці вліво вздовж осі абсцис

2) стиск уздовж осі Оy у 4 рази .





Графік функції виходить із графіка функції , кожна ордината якого змінюється -2 рази. Для цього виконуємо такі перетворення:

1) відображаємо симетрично щодо осі Ox,

2) розтягуємо вдвічі вздовж осі Ой.




послідовноговиконання наступних перетворень:

1) стиснення вздовж осі абсцис в 2 рази;

2) розтягування в 3 рази вздовж осі Ой;

3) паралельний перенесення на 1 одиницю вгору вздовж осі ординат.





Рівень З .

Приватнадидактичнамета: відпрацювати навичку побудови графіків тригонометричнихфункцій шляхом послідовногозастосування перетворень.

Методичний коментар для учнів : вкажіть , які перетворення потрібно виконати для побудови графіків . Побудуйте графіки .

1.

Графік функції виходить з графіка функції шляхом послідовного виконання наступних перетворень:

1) відображення симетрично щодо осі Ox,

2) стиск у 2 рази вздовж осі Oy;

3) паралельне перенесення на 2 одиниці вниз уздовж осі Оy.





2.

Графік функції виходить із графіка функції послідовноговиконання наступних перетворень: виходить www. aiportal. ru/ services/ graph. html