Lysbilde 2

Matematikk er de unges vitenskap. Ellers kan det ikke være. Matematikk er en form for mental gymnastikk som krever all ungdommens fleksibilitet og utholdenhet. Norbert Wiener (1894-1964), amerikansk vitenskapsmann

Lysbilde 3

forholdet mellom tallene a og b (matematiske uttrykk), forbundet med tegnene Ulikhet -

Lysbilde 4

Historisk bakgrunn Problemer med å bevise likheter og ulikheter oppsto i antikken. Spesielle ord eller deres forkortelser ble brukt for å betegne likhets- og ulikhetstegn. IV århundre f.Kr., Euklid, Elementenes bok V: hvis a, b, c, d er positive tall og a er det største tallet i forholdet a/b=c/d, så gjelder ulikheten a+d=b + c. III århundre, hovedverket til Pappus fra Alexandria "Matematisk samling": hvis a, b, c, d er positive tall og a/b>c/d, er ulikheten ad>bc tilfredsstilt. Mer enn 2000 f.Kr ulikheten var kjent blir til en sann likhet når a=b.

Lysbilde 5

Moderne spesialskilt 1557. Likhetstegnet = ble introdusert av den engelske matematikeren R. Ricord. Hans motiv: "Ingen to objekter kan være mer like enn to parallelle segmenter." 1631 Tegn > og

Lysbilde 6

Typer ulikheter Med en variabel (en eller flere) Strenge Ikke-streng Med en modul Med en parameter Ikke-standard Systemer Samlinger Numerisk enkle doble multipler Algebraiske heltall: -lineær -kvadrat -høyere potenser Brøk-rasjonell Irrasjonell Trigonometrisk Eksponentiell Logaritmisk Blandet type

Lysbilde 7

Metoder for å løse ulikheter Grafisk Grunnleggende Spesial Funksjonell-grafisk Bruke egenskapene til ulikheter Overgang til ekvivalente systemer Overgang til ekvivalente samlinger Erstatte en variabel Intervallmetode (inkludert generalisert) Algebraisk Splittingsmetode for ikke-strenge ulikheter

Lysbilde 8

er verdien av en variabel som, når den erstattes, gjør den til en sann numerisk ulikhet. Løs en ulikhet - finn alle dens løsninger eller bevis at det ikke finnes noen. To ulikheter sies å være likeverdige hvis alle løsninger til hver er løsninger på den andre ulikheten eller begge ulikhetene ikke har noen løsninger. Ulikheter Løse ulikheter i én variabel

Lysbilde 9

Beskriv ulikhetene. Løs muntlig 3)(x – 2)(x + 3)  0

Lysbilde 10

Grafisk metode

Løs grafisk ulikheten 1) Konstruer en graf 2) Konstruer en graf i samme koordinatsystem. 3) Finn abscissen til skjæringspunktene til grafene (verdiene er tatt omtrentlig, vi sjekker nøyaktigheten ved substitusjon). 4) Vi bestemmer fra grafen løsningen på denne ulikheten. 5) Skriv ned svaret.

Lysbilde 11

Funksjonell-grafisk metode for å løse ulikheten f(x)

Lysbilde 12

Funksjonell-grafisk metode Løs ulikheten: 3) Ligningen f(x)=g(x) har maksimalt én rot. Løsning. 4) Ved valg finner vi at x = 2. II. La oss skjematisk avbilde på den numeriske aksen Ox grafene til funksjonene f (x) og g (x) som går gjennom punktet x = 2. III. La oss finne løsningene og skrive ned svaret. Svar. x -7 udefinert 2

Lysbilde 13

Løs ulikhetene:

Lysbilde 14

Bygg grafer for Unified State Examination-9-funksjonen, 2008

Lysbilde 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

Lysbilde 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Bestem antall intervaller av løsninger til ulikheten for hver verdi av parameter a

Lysbilde 17

Lag en graf over funksjonen Unified State Examination-9, 2008

Lysbilde 18

Lysbilde 19

En av de mest praktiske metodene for å løse kvadratiske ulikheter er den grafiske metoden. I denne artikkelen skal vi se på hvordan kvadratiske ulikheter løses grafisk. Først, la oss diskutere hva essensen av denne metoden er. Deretter vil vi presentere algoritmen og vurdere eksempler på å løse kvadratiske ulikheter grafisk.

Sidenavigering.

Essensen av den grafiske metoden

I det hele tatt grafisk metode for å løse ulikheter med én variabel brukes ikke bare til å løse kvadratiske ulikheter, men også andre typer ulikheter. Essensen grafisk metode løsninger på ulikheter neste: vurdere funksjonene y=f(x) og y=g(x), som tilsvarer venstre og høyre side av ulikheten, bygg grafene deres i ett rektangulært koordinatsystem og finn ut med hvilke intervaller grafen til en av de er lavere eller høyere enn den andre. De intervallene hvor

• grafen til funksjonen f over grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)>g(x) ;
• grafen til funksjonen f ikke lavere enn grafen til funksjonen g er løsninger på ulikheten f(x)≥g(x) ;
• grafen til f under grafen til g er løsninger på ulikheten f(x)
• grafen til en funksjon f ikke høyere enn grafen til en funksjon g er løsninger på ulikheten f(x)≤g(x) .

Vi vil også si at abscissen til skjæringspunktene til grafene til funksjonene f og g er løsninger på ligningen f(x)=g(x) .

La oss overføre disse resultatene til vårt tilfelle - for å løse den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Vi introduserer to funksjoner: den første y=a x 2 +b x+c (med f(x)=a x 2 +b x+c) som tilsvarer venstre side av den kvadratiske ulikheten, den andre y=0 (med g ( x)=0 ) tilsvarer høyre side av ulikheten. Rute kvadratisk funksjon f er en parabel og grafen konstant funksjon g – rett linje som faller sammen med abscisseaksen Ox.

Deretter, i henhold til den grafiske metoden for å løse ulikheter, er det nødvendig å analysere med hvilke intervaller grafen til en funksjon er plassert over eller under en annen, noe som vil tillate oss å skrive ned den ønskede løsningen på den kvadratiske ulikheten. I vårt tilfelle må vi analysere posisjonen til parablen i forhold til okseaksen.

Avhengig av verdiene til koeffisientene a, b og c, er følgende seks alternativer mulige (for våre behov er en skjematisk representasjon tilstrekkelig, og vi trenger ikke å skildre Oy-aksen, siden dens posisjon ikke påvirker løsninger på ulikheten):

På denne tegningen ser vi en parabel, hvis grener er rettet oppover, og som skjærer okseaksen i to punkter, hvis abscisse er x 1 og x 2. Denne tegningen tilsvarer alternativet når koeffisienten a er positiv (den er ansvarlig for den oppadgående retningen til parabelgrenene), og når verdien er positiv diskriminant av et kvadratisk trinomial a x 2 +b x+c (i dette tilfellet har trinomialet to røtter, som vi betegnet som x 1 og x 2, og vi antok at x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

For klarhetens skyld, la oss skildre delene av parabelen som ligger over x-aksen i rødt, og i blått - de som ligger under x-aksen.


La oss nå finne ut hvilke intervaller som tilsvarer disse delene. Følgende tegning vil hjelpe deg med å identifisere dem (i fremtiden vil vi gjøre lignende valg i form av rektangler mentalt):


Så på abscisseaksen ble to intervaller (−∞, x 1) og (x 2 , +∞) uthevet i rødt, på dem er parablen over okseaksen, de utgjør en løsning på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x +c>0 , og intervallet (x 1 , x 2) er uthevet i blått, det er en parabel under Ox-aksen, den representerer løsningen på ulikheten a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Og nå kort: for a>0 og D=b 2 −4 a c>0 (eller D"=D/4>0 for en jevn koeffisient b)

• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c>0 er (−∞, x 1)∪(x 2, +∞) eller i en annen notasjon x x2;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c≥0 er (−∞, x 1 ]∪ eller i en annen notasjon x 1 ≤x≤x 2,

hvor x 1 og x 2 er røttene til kvadrattrinomet a x 2 +b x+c, og x 1


Her ser vi en parabel, hvis grener er rettet oppover, og som berører abscisseaksen, det vil si at den har ett felles punkt med seg, vi betegner abscissen til dette punktet som x 0. Det presenterte tilfellet tilsvarer a>0 (grenene er rettet oppover) og D=0 (kvadrattrinomialet har én rot x 0). For eksempel kan du ta den kvadratiske funksjonen y=x 2 −4·x+4, her a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 og x 0 =2.

Tegningen viser tydelig at parablen er plassert over Ox-aksen overalt bortsett fra kontaktpunktet, det vil si på intervallene (−∞, x 0), (x 0, ∞). For klarhets skyld, la oss fremheve områder i tegningen analogt med forrige avsnitt.


Vi trekker konklusjoner: for a>0 og D=0

• løsningen på den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c>0 er (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) eller i en annen notasjon x≠x 0;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c≥0 er (−∞, +∞) eller i en annen notasjon x∈R ;
• kvadratisk ulikhet a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• den kvadratiske ulikheten a x 2 +b x+c≤0 har en unik løsning x=x 0 (den er gitt av tangenspunktet),

hvor x 0 er roten til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c.


I dette tilfellet er grenene til parabelen rettet oppover, og den har ikke fellespunkter med abscisseaksen. Her har vi betingelsene a>0 (grener er rettet oppover) og D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0, D=02 −4·2·1=−8<0 .

Det er klart at parablen er plassert over okseaksen langs hele lengden (det er ingen intervaller der den er under okseaksen, det er ikke noe tangenspunkt).


For a>0 og D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 og a x 2 +b x+c≥0 er mengden av alle reelle tall, og ulikhetene a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Og det gjenstår tre alternativer for plasseringen av parabelen med grener rettet nedover, ikke oppover, i forhold til okseaksen. I prinsippet trenger de ikke vurderes, siden multiplisering av begge sider av ulikheten med −1 lar oss gå til en ekvivalent ulikhet med en positiv koeffisient for x 2. Men det skader fortsatt ikke å få en idé om disse sakene. Begrunnelsen her er lik, så vi vil bare skrive ned hovedresultatene.

Løsningsalgoritme

Resultatet av alle tidligere beregninger er algoritme for å løse kvadratiske ulikheter grafisk:

Det lages en skjematisk tegning på koordinatplanet, som viser Ox-aksen (det er ikke nødvendig å avbilde Oy-aksen) og en skisse av en parabel tilsvarende den kvadratiske funksjonen y=a·x 2 +b·x+c. For å tegne en skisse av en parabel, er det nok å avklare to punkter:

• For det første, ved verdien av koeffisienten a bestemmes det hvor dens grener er rettet (for a>0 - oppover, for en<0 – вниз).
• Og for det andre, ved verdien av diskriminanten til kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c bestemmes det om parablen skjærer abscisseaksen i to punkter (for D>0), berører den i ett punkt (for D=0) , eller har ingen felles punkter med okseaksen (ved D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Når tegningen er klar, bruk den i det andre trinnet i algoritmen

  • ved løsning av den kvadratiske ulikheten a·x 2 +b·x+c>0, bestemmes intervallene hvor parabelen er plassert over abscissen;
  • ved løsning av ulikheten a·x 2 +b·x+c≥0, bestemmes intervallene som parablen befinner seg over abscisseaksen med, og abscissen til skjæringspunktene (eller abscissen til tangentpunktet) legges til dem;
  • ved løsning av ulikheten a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • til slutt, når man løser en kvadratisk ulikhet av formen a·x 2 +b·x+c≤0, finner man intervaller der parabelen er under okseaksen og abscissen til skjæringspunktene (eller abscissen til tangentpunktet ) legges til dem;

  de utgjør den ønskede løsningen på den kvadratiske ulikheten, og hvis det ikke er slike intervaller og ingen tangenspunkter, så har den opprinnelige kvadratiske ulikheten ingen løsninger.

Alt som gjenstår er å løse noen få kvadratiske ulikheter ved å bruke denne algoritmen.

Eksempler med løsninger

Eksempel.

Løs ulikheten .

Løsning.

Vi må løse en kvadratisk ulikhet, la oss bruke algoritmen fra forrige avsnitt. I det første trinnet må vi skissere grafen til den kvadratiske funksjonen . Koeffisienten til x 2 er lik 2, den er positiv, derfor er grenene til parabelen rettet oppover. La oss også finne ut om parablen har felles punkter med x-aksen for å gjøre dette, vi vil beregne diskriminanten til kvadrattrinomialet . Vi har . Diskriminanten viste seg å være større enn null, derfor har trinomialet to reelle røtter: Og , det vil si x 1 =−3 og x 2 =1/3.

Fra dette er det tydelig at parablen skjærer okseaksen i to punkter med abscisse −3 og 1/3. Vi vil fremstille disse punktene på tegningen som vanlige punkter, siden vi løser en ikke-streng ulikhet. Basert på de avklarte dataene får vi følgende tegning (den passer til den første malen fra første avsnitt av artikkelen):

La oss gå videre til det andre trinnet i algoritmen. Siden vi løser en ikke-streng kvadratisk ulikhet med tegnet ≤, må vi bestemme intervallene som parablen er plassert under abscissen og legge til abscissen til skjæringspunktene.

Fra tegningen er det tydelig at parablen er under x-aksen på intervallet (−3, 1/3) og til den legger vi abscissen til skjæringspunktene, det vil si tallene −3 og 1/3. Som et resultat kommer vi til det numeriske intervallet [−3, 1/3] . Dette er løsningen vi ser etter. Det kan skrives som en dobbel ulikhet −3≤x≤1/3.

Svar:

[−3, 1/3] eller −3≤x≤1/3 .

Eksempel.

Finn løsningen på den kvadratiske ulikheten −x 2 +16 x−63<0 .

Løsning.

Som vanlig starter vi med en tegning. Den numeriske koeffisienten for kvadratet til variabelen er negativ, −1, derfor er grenene til parablen rettet nedover. La oss beregne diskriminanten, eller enda bedre, dens fjerde del: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Verdien er positiv, la oss beregne røttene til kvadrattrinomialet: Og x 1 = 7 og x 2 = 9. Så parablen skjærer okseaksen i to punkter med abscisse 7 og 9 (den opprinnelige ulikheten er streng, så vi vil skildre disse punktene med et tomt senter nå kan vi lage en skjematisk tegning).

Siden vi løser en streng kvadratisk ulikhet med et tegn<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Tegningen viser at løsningene til den opprinnelige kvadratiske ulikheten er to intervaller (−∞, 7), (9, +∞) .

Svar:

(−∞, 7)∪(9, +∞) eller i en annen notasjon x<7 , x>9 .

Når du løser kvadratiske ulikheter, når diskriminanten til et kvadratisk trinomium på venstre side er null, må du være forsiktig med å inkludere eller ekskludere abscissen til tangentpunktet fra svaret. Dette avhenger av tegnet på ulikheten: hvis ulikheten er streng, så er det ikke en løsning på ulikheten, men hvis den ikke er streng, så er den det.

Eksempel.

Har den kvadratiske ulikheten 10 x 2 −14 x+4,9≤0 minst én løsning?

Løsning.

La oss plotte funksjonen y=10 x 2 −14 x+4,9. Dens grener er rettet oppover, siden koeffisienten til x 2 er positiv, og den berører abscisseaksen i punktet med abscissen 0,7, siden D"=(−7) 2 −10 4,9=0, hvorav eller 0,7 i formen av en desimalbrøk Skjematisk ser det slik ut:

Siden vi løser en kvadratisk ulikhet med ≤-tegnet, vil løsningen være intervallene som parablen er under okseaksen, samt abscissen til tangentpunktet. Fra tegningen er det klart at det ikke er et eneste gap der parabelen vil være under Ox-aksen, så løsningen vil bare være abscissen til tangentpunktet, det vil si 0,7.

Svar:

denne ulikheten har en unik løsning 0,7.

Eksempel.

Løs den kvadratiske ulikheten –x 2 +8 x−16<0 .

Løsning.

Vi følger algoritmen for å løse kvadratiske ulikheter og starter med å konstruere en graf. Forgreningene til parablen er rettet nedover, siden koeffisienten til x 2 er negativ, −1. La oss finne diskriminanten til kvadrattrinomialet –x 2 +8 x−16, vi har D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 og deretter x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Så, parabelen berører okseaksen ved abscissepunktet 4. La oss lage tegningen:

Vi ser på tegnet på den opprinnelige ulikheten, det er der<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

I vårt tilfelle er dette åpne stråler (−∞, 4), (4, +∞) . Separat bemerker vi at 4 - abscissen til kontaktpunktet - ikke er en løsning, siden parabelen ved kontaktpunktet ikke er lavere enn okseaksen.

Svar:

(−∞, 4)∪(4, +∞) eller i en annen notasjon x≠4 .

Vær spesielt oppmerksom på tilfeller der diskriminanten til kvadrattrinomialet på venstre side av kvadratisk ulikhet er mindre enn null. Det er ingen grunn til å forhaste seg her og si at ulikheten ikke har noen løsninger (vi er vant til å lage en slik konklusjon for andregradsligninger med negativ diskriminant). Poenget er at den kvadratiske ulikheten for D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Eksempel.

Finn løsningen på den kvadratiske ulikheten 3 x 2 +1>0.

Løsning.

Som vanlig starter vi med en tegning. Koeffisienten a er 3, den er positiv, derfor er grenene til parablen rettet oppover. Vi beregner diskriminanten: D=0 2 −4·3·1=−12 . Siden diskriminanten er negativ, har parablen ingen fellespunkter med okseaksen. Informasjonen som er oppnådd er tilstrekkelig for en skjematisk graf:

Vi løser en streng kvadratisk ulikhet med et >-tegn. Dens løsning vil være alle intervaller der parabelen er over okseaksen. I vårt tilfelle er parablen over x-aksen langs hele lengden, så den ønskede løsningen vil være settet av alle reelle tall.

Ox , og også til dem må du legge til abscissen til skjæringspunktene eller abscissen til tangenspunktet. Men fra tegningen er det tydelig at det ikke er slike intervaller (siden parablen er overalt under abscisseaksen), akkurat som det ikke er noen skjæringspunkter, akkurat som det ikke er noen tangenspunkter. Derfor har den opprinnelige kvadratiske ulikheten ingen løsninger.

Svar:

ingen løsninger eller i en annen oppføring ∅.

Bibliografi.

• Algebra: lærebok for 8. klasse. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. klasse: lærerikt. for allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigert av S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M.: Utdanning, 2009. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich. - 11. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebra. 9. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra og begynnelsen av matematisk analyse. 11. klasse. Om 2 timer Del 1. Lærebok for studenter ved generelle utdanningsinstitusjoner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Grafisk løsning av ligninger

Heyday, 2009

Introduksjon

Behovet for å løse andregradsligninger i antikken var forårsaket av behovet for å løse problemer knyttet til å finne områder med land og militært gravearbeid, samt utviklingen av astronomi og matematikk i seg selv. Babylonerne var i stand til å løse andregradsligninger rundt 2000 f.Kr. Regelen for å løse disse ligningene, som er angitt i de babylonske tekstene, er i hovedsak sammenfallende med moderne, men det er ikke kjent hvordan babylonerne kom frem til denne regelen.

Formler for å løse kvadratiske ligninger i Europa ble først satt frem i Abacus-boken, skrevet i 1202 av den italienske matematikeren Leonardo Fibonacci. Boken hans bidro til spredningen av algebraisk kunnskap ikke bare i Italia, men også i Tyskland, Frankrike og andre europeiske land.

Men den generelle regelen for løsning av kvadratiske ligninger, med alle mulige kombinasjoner av koeffisientene b og c, ble formulert i Europa først i 1544 av M. Stiefel.

I 1591 Francois Viet introduserte formler for å løse andregradsligninger.

I det gamle Babylon kunne de løse noen typer kvadratiske ligninger.

Diophantus av Alexandria Og Euklid, Al-Khwarizmi Og Omar Khayyam løst likninger ved hjelp av geometriske og grafiske metoder.

I 7. klasse studerte vi funksjoner y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, i 8. klasse - y = √x, y =|x|, y =øks2 + bx+ c, y =k/ x. I algebra-læreboken i 9. klasse så jeg funksjoner som ennå ikke var kjent for meg: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– en) 2 + (y –b) 2 = r 2 og andre. Det er regler for å konstruere grafer for disse funksjonene. Jeg lurte på om det var andre funksjoner som følger disse reglene.

Min jobb er å studere funksjonsgrafer og løse ligninger grafisk.

1. Hva er funksjonene?

Grafen til en funksjon er settet av alle punkter i koordinatplanet, hvis abscisse er lik verdiene til argumentene, og ordinatene er lik de tilsvarende verdiene til funksjonen.

Den lineære funksjonen er gitt av ligningen y =kx+ b, Hvor k Og b- noen tall. Grafen til denne funksjonen er en rett linje.

Invers proporsjonal funksjon y =k/ x, hvor k ¹ 0. Grafen til denne funksjonen kalles en hyperbel.

Funksjon (x– en) 2 + (y –b) 2 = r2 , Hvor EN, b Og r- noen tall. Grafen til denne funksjonen er en sirkel med radius r med sentrum i punktet A ( EN, b).

Kvadratisk funksjon y= øks2 + bx+ c Hvor EN,b, Med– noen tall og EN¹ 0. Grafen til denne funksjonen er en parabel.

Ligningen på2 (en– x) = x2 (en+ x) . Grafen til denne ligningen vil være en kurve som kalles en strofoid.

/>Ligning (x2 + y2 ) 2 = en(x2 – y2 ) . Grafen til denne ligningen kalles Bernoullis lemniscat.

Ligningen. Grafen til denne ligningen kalles en astroid.

Kurve (x2 y2 – 2 øks)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Denne kurven kalles en kardioide.

Funksjoner: y =x 3 - kubisk parabel, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Konseptet med en ligning og dens grafiske løsning

Ligningen– et uttrykk som inneholder en variabel.

Løs ligningen– dette betyr å finne alle røttene, eller bevise at de ikke eksisterer.

Roten til ligningen er et tall som, når det erstattes i en ligning, gir en korrekt numerisk likhet.

Løse ligninger grafisk lar deg finne den nøyaktige eller omtrentlige verdien av røttene, lar deg finne antall røtter til ligningen.

Ved konstruksjon av grafer og løsning av ligninger brukes egenskapene til en funksjon, derfor kalles metoden ofte funksjonell-grafisk.

For å løse ligningen «deler» vi den i to deler, introduserer to funksjoner, bygger grafene deres og finner koordinatene til grafenes skjæringspunkter. Abscissen til disse punktene er røttene til ligningen.

3. Algoritme for å plotte en funksjonsgraf

Å kjenne grafen til en funksjon y =f(x) , kan du bygge grafer over funksjoner y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Og y =f(x+ m)+ l. Alle disse grafene er hentet fra grafen til funksjonen y =f(x) ved hjelp av parallell bæretransformasjon: til │ m│ skalaenheter til høyre eller venstre langs x-aksen og videre │ l│ skalaenheter opp eller ned langs en akse y.

4. Grafisk løsning av andregradsligningen

Ved å bruke en kvadratisk funksjon som eksempel, vil vi vurdere den grafiske løsningen av en kvadratisk ligning. Grafen til en kvadratisk funksjon er en parabel.

Hva visste de gamle grekerne om parabelen?

Moderne matematisk symbolikk oppsto på 1500-tallet.

De gamle greske matematikerne hadde verken koordinatmetoden eller funksjonsbegrepet. Likevel studerte de egenskapene til parablen i detalj. Oppfinnsomheten til gamle matematikere er rett og slett fantastisk - de kunne tross alt bare bruke tegninger og verbale beskrivelser av avhengigheter.

Mest fullstendig utforsket parabelen, hyperbelen og ellipsen Apollonius av Perga, som levde i det 3. århundre f.Kr. Han ga disse kurvene navn og indikerte hvilke betingelser punktene som ligger på denne eller den kurven tilfredsstiller (det var tross alt ingen formler!).

Det er en algoritme for å konstruere en parabel:

Finn koordinatene til toppunktet til parabelen A (x0; y0): X=- b/2 en;

y0=axo2+in0+s;

Finn symmetriaksen til parabelen (rett linje x=x0);

PAGE_BREAK--

Vi setter sammen en tabell med verdier for å konstruere kontrollpunkter;

Vi konstruerer de resulterende punktene og konstruerer punkter som er symmetriske til dem i forhold til symmetriaksen.

1. Ved hjelp av algoritmen skal vi konstruere en parabel y= x2 – 2 x– 3 . Abscisse av skjæringspunkter med aksen x og det er røtter til kvadratisk ligning x2 – 2 x– 3 = 0.

Det er fem måter å løse denne ligningen grafisk på.

2. La oss dele ligningen i to funksjoner: y= x2 Og y= 2 x+ 3

3. La oss dele ligningen i to funksjoner: y= x2 –3 Og y=2 x. Røttene til ligningen er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og linjen.

4. Transformer ligningen x2 – 2 x– 3 = 0 ved å isolere en komplett firkant i funksjoner: y= (x–1) 2 Og y=4. Røttene til ligningen er abscissen til skjæringspunktene mellom parabelen og linjen.

5. Del begge sider av ligningsleddet etter ledd x2 – 2 x– 3 = 0 på x, vi får x– 2 – 3/ x= 0 , la oss dele denne ligningen i to funksjoner: y= x– 2, y= 3/ x. Røttene til ligningen er abscissen til skjæringspunktene mellom linjen og hyperbelen.

5. Grafisk løsning av gradligningern

Eksempel 1. Løs ligningen x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Svar: x = 1.

Eksempel 2. Løs ligningen 3 √ x= 10 – x.

Røttene til denne ligningen er abscissen til skjæringspunktet mellom grafene til to funksjoner: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Svar: x = 8.

Konklusjon

Etter å ha sett på grafene til funksjonene: y =øks2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Jeg la merke til at alle disse grafene er bygget i henhold til regelen for parallell translasjon i forhold til aksene x Og y.

Ved å bruke eksempelet på å løse en andregradsligning kan vi konkludere med at den grafiske metoden også er anvendelig for ligninger av grad n.

Grafiske metoder for å løse ligninger er vakre og forståelige, men gir ingen 100 % garanti for å løse noen ligning. Abscissen til skjæringspunktene til grafene kan være omtrentlige.

I 9. klasse og på videregående skal jeg fortsette å sette meg inn i andre funksjoner. Jeg er interessert i å vite om disse funksjonene følger reglene for parallell overføring når de konstruerer grafene deres.

Neste år vil jeg også vurdere spørsmålene om grafisk løsning av likningssystemer og ulikheter.

Litteratur

1. Algebra. 7. klasse. Del 1. Lærebok for utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. klasse. Del 1. Lærebok for utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. klasse. Del 1. Lærebok for utdanningsinstitusjoner / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Matematikkens historie på skolen. VII–VIII karakterer. – M.: Utdanning, 1982.

5. Tidsskriftsmatematikk nr. 5 2009; nr. 8 2007; nr. 23 2008.

6. Grafisk løsning av ligninger nettsteder på Internett: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; side 3–6.htm.

Kunnskaps- og ungdomspolitikken i Stavropol-territoriet

Statlig budsjettfaglig utdanningsinstitusjon

Georgievsk Regional College "Integral"

INDIVIDUELT PROSJEKT

I disiplinen "Matematikk: algebra, prinsipper for matematisk analyse, geometri"

Om emnet: "Grafisk løsning av likninger og ulikheter"

Fullført av en student fra gruppe PK-61, som studerer i spesialiteten

"Programmering i datasystemer"

Zeller Timur Vitalievich

Leder: lærer Serkova N.A.

Leveringsdato:" " 2017

Forsvarsdato:" " 2017

Georgievsk 2017

FORKLARENDE MERKNAD

MÅL MED PROSJEKTET:

Mål: Finn ut fordelene med den grafiske metoden for å løse likninger og ulikheter.

Oppgaver:

Sammenlign de analytiske og grafiske metodene for å løse likninger og ulikheter.

Finn ut i hvilke tilfeller den grafiske metoden har fordeler.

Vurder å løse likninger med modul og parameter.

Relevansen av forskning: Analyse av materialet viet til grafisk løsning av ligninger og ulikheter i lærebøkene "Algebra og begynnelsen av matematisk analyse" av forskjellige forfattere, under hensyntagen til målene med å studere dette emnet. Samt obligatoriske læringsutbytte knyttet til temaet som vurderes.

Innhold

Introduksjon

1. Ligninger med parametere

1.1. Definisjoner

1.2. Løsningsalgoritme

1.3. Eksempler

2. Ulikheter med parametere

2.1. Definisjoner

2.2. Løsningsalgoritme

2.3. Eksempler

3. Bruke grafer til å løse ligninger

3.1. Grafisk løsning av en andregradsligning

3.2. Ligningssystemer

3.3. Trigonometriske ligninger

4. Anvendelse av grafer for å løse ulikheter

5. Konklusjon

6. Referanser

Introduksjon

Studiet av mange fysiske prosesser og geometriske mønstre fører ofte til å løse problemer med parametere. Noen universiteter inkluderer også ligninger, ulikheter og deres systemer i eksamensoppgaver, som ofte er svært komplekse og krever en ikke-standard tilnærming til løsning. På skolen vurderes denne en av de vanskeligste delene av skolematematikkkurset bare i noen få valgfag.

I forberedelsene av dette arbeidet satte jeg et mål om en dypere studie av dette emnet, og identifiserte den mest rasjonelle løsningen som raskt fører til et svar. Etter min mening er den grafiske metoden en praktisk og rask måte å løse likninger og ulikheter med parametere.

Prosjektet mitt undersøker ofte forekommende ligningstyper, ulikheter og deres systemer.

1. Ligninger med parametere

1. Grunnleggende definisjoner

Tenk på ligningen

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

hvor a, b, c, …, k, x er variable størrelser.

Ethvert system av variable verdier

a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

der både venstre og høyre side av denne ligningen tar reelle verdier kalles et system med tillatte verdier av variablene a, b, c, ..., k, x. La A være settet av alle tillatte verdier av a, B være settet av alle tillatte verdier av b osv., X være settet av alle tillatte verdier av x, dvs. aA, bB, …, xX. Hvis vi for hvert av settene A, B, C, …, K velger og fikser henholdsvis én verdi a, b, c, …, k og erstatter dem med ligning (1), får vi en ligning for x, dvs. ligning med en ukjent.

Variablene a, b, c, ..., k, som anses som konstante når man løser en ligning, kalles parametere, og selve ligningen kalles en ligning som inneholder parametere.

Parametrene er merket med de første bokstavene i det latinske alfabetet: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, og de ukjente er merket med bokstavene x, y, z.

Å løse en ligning med parametere betyr å indikere ved hvilke verdier av parameterne løsninger eksisterer og hva de er.

To ligninger som inneholder de samme parameterne kalles ekvivalente hvis:

a) de gir mening for de samme parameterverdiene;

b) hver løsning til den første ligningen er en løsning på den andre og omvendt.

1. Løsningsalgoritme

Finn definisjonsdomenet til ligningen.

Vi uttrykker a som en funksjon av x.

I xOa-koordinatsystemet konstruerer vi en graf av funksjonen a=(x) for de verdiene av x som er inkludert i definisjonsdomenet til denne ligningen.

Vi finner skjæringspunktene til den rette linjen a=c, hvor c(-;+) med grafen til funksjonen a=(x) Hvis den rette linjen a=c skjærer grafen a=(). x), så bestemmer vi abscissen til skjæringspunktene. For å gjøre dette er det nok å løse likningen a=(x) for x.

Vi skriver ned svaret.

1. Eksempler

I. Løs ligningen

(1)

Løsning.

Siden x=0 ikke er en rot av ligningen, kan ligningen løses for en:

eller

Grafen til en funksjon er to "limte" hyperbler. Antall løsninger til den opprinnelige ligningen bestemmes av antall skjæringspunkter for den konstruerte linjen og den rette linjen y=a.

Hvis a  (-;-1](1;+) , så skjærer den rette linjen y=a grafen til ligning (1) på ett punkt. Vi finner abscissen til dette punktet når vi løser likningen for x.

På dette intervallet har altså ligning (1) en løsning.

Hvis a , så skjærer den rette linjen y=a grafen til ligning (1) i to punkter. Abscissen til disse punktene kan bli funnet fra ligningene, og vi får

Og.

Hvis a , så skjærer ikke den rette linjen y=a grafen til ligning (1), derfor er det ingen løsninger.

Svar:

Hvis en  (-;-1](1;+), så;

Hvis en , så ;

Hvis en  , så er det ingen løsninger.

II. Finn alle verdiene til parameteren a som ligningen har tre forskjellige røtter for.

Løsning.

Etter å ha skrevet om ligningen i skjemaet og vurdert et par funksjoner, kan du legge merke til at de ønskede verdiene for parameteren a og bare de vil tilsvare de posisjonene til funksjonsgrafen der den har nøyaktig tre skjæringspunkter med funksjonsgraf.

I xOy-koordinatsystemet skal vi konstruere en graf av funksjonen). For å gjøre dette kan vi representere det i skjemaet, og etter å ha vurdert fire oppståtte tilfeller, skriver vi denne funksjonen i skjemaet

Siden grafen til en funksjon er en rett linje som har en helningsvinkel til Ox-aksen lik og skjærer Oy-aksen i et punkt med koordinater (0, a), konkluderer vi med at de tre indikerte skjæringspunktene kun kan oppnås i tilfellet når denne linjen berører grafen til funksjonen. Derfor finner vi den deriverte

Svar: .

III. Finn alle verdiene av parameteren a, for hver av disse ligningssystemet

har løsninger.

Løsning.

Fra den første ligningen av systemet vi får på. Derfor definerer denne ligningen en familie av "semi-paraboler" - de høyre grenene av parablen "glir" med sine toppunkter langs abscisseaksen.

La oss velge de perfekte firkantene på venstre side av den andre ligningen og faktorisere den

Settet med punkter i planet som tilfredsstiller den andre ligningen er to rette linjer

La oss finne ut ved hvilke verdier av parameteren a en kurve fra familien av "semiparabolas" har minst ett felles punkt med en av de resulterende rette linjene.

Hvis toppunktene til semiparabolene er til høyre for punkt A, men til venstre for punkt B (punkt B tilsvarer toppunktet til "semiparabola" som berører

rett linje), så har ikke grafene som vurderes felles punkter. Hvis toppunktet til "semiparabola" sammenfaller med punkt A, da.

Vi bestemmer tilfellet med en "semiparabola" som berører en linje fra betingelsen om eksistensen av en unik løsning til systemet

I dette tilfellet ligningen

har én rot, hvorfra vi finner:

Følgelig har det opprinnelige systemet ingen løsninger på, men på eller har minst én løsning.

Svar: a  (-;-3] (;+).

IV. Løs ligningen

Løsning.

Ved å bruke likhet skriver vi om den gitte ligningen i skjemaet

Denne ligningen tilsvarer systemet

Vi skriver om likningen i skjemaet

. (*)

Den siste ligningen er lettest å løse ved å bruke geometriske betraktninger. La oss konstruere grafer for funksjonene og Fra grafen følger det at grafene ikke krysser hverandre, og derfor har ligningen ingen løsninger.

Hvis, så når grafene til funksjonene sammenfaller, og derfor er alle verdier løsninger på ligningen (*).

Når grafene skjærer hverandre på ett punkt, er abscissen. Således, når ligning (*) har en unik løsning - .

La oss nå undersøke ved hvilke verdier av de funnet løsningene til ligningen (*) som vil tilfredsstille betingelsene

La det være da. Systemet vil ta formen

Løsningen vil være intervallet x (1;5). Tatt i betraktning kan vi konkludere med at hvis den opprinnelige ligningen er tilfredsstilt av alle verdiene av x fra intervallet, er den opprinnelige ulikheten ekvivalent med den korrekte numeriske ulikheten 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

På integralet (1;+∞) får vi igjen den lineære ulikheten 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Det samme resultatet kan imidlertid oppnås fra visuelle og samtidig strenge geometriske betraktninger. Figur 7 viser funksjonsgrafene:y= f( x)=| x-1|+| x+1| Ogy=4.

Figur 7.

På integralgrafen (-2;2) til funksjoneny= f(x) ligger under grafen til funksjonen y=4, som betyr at ulikhetenf(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Ulikheter med parametere.

Å løse ulikheter med en eller flere parametere er som regel en mer kompleks oppgave sammenlignet med et problem der det ikke er noen parametere.

For eksempel krever ulikheten √a+x+√a-x>4, som inneholder parameteren a, naturlig nok mye mer innsats å løse enn ulikheten √1+x + √1-x>1.

Hva betyr det å løse den første av disse ulikhetene? Dette betyr i hovedsak å løse ikke bare én ulikhet, men en hel klasse, et helt sett med ulikheter som oppnås hvis vi gir parameteren en spesifikk numerisk verdi. Den andre av de skrevne ulikhetene er et spesialtilfelle av den første, siden den er hentet fra den med verdien a = 1.

Å løse en ulikhet som inneholder parametere betyr altså å bestemme ved hvilke verdier av parameterne ulikheten har løsninger og for alle slike parameterverdier å finne alle løsningene.

Eksempel 1:

Løs ulikheten |x-a|+|x+a|< b, en<>0.

For å løse denne ulikheten med to parametereen u bLa oss bruke geometriske betraktninger. Figurene 8 og 9 viser funksjonsgrafene.

Y= f(x)=| x- en|+| x+ en| u y= b.

Det er åpenbart at nårb<=2| en| retty= bgår ikke over det horisontale segmentet av kurveny=| x- en|+| x+ en| og derfor har ulikheten i dette tilfellet ingen løsninger (Figur 8). Hvisb>2| en|, deretter linjeny= bskjærer grafen til en funksjony= f(x) på to punkter (-b/2; b) u (b/2; b)(Figur 6) og ulikheten i dette tilfellet er gyldig for –b/2< x< b/2, siden for disse verdiene av variabelen kurveny=| x+ en|+| x- en| ligger under den rette linjeny= b.

Svar: Hvisb<=2| en| , da er det ingen løsninger,

Hvisb>2| en|, dax €(- b/2; b/2).

III) Trigonometriske ulikheter:

Når du løser ulikheter med trigonometriske funksjoner, brukes i hovedsak periodisiteten til disse funksjonene og deres monotoni på de tilsvarende intervallene. De enkleste trigonometriske ulikhetene. Funksjonsynd xhar en positiv periode på 2π. Derfor ulikheter i formen:sin x>a, sin x>=a,

synd x

Det er nok å løse først på et segment med lengde 2π . Vi oppnår settet med alle løsninger ved å legge til hver av løsningene som finnes på dette segmentet tall på skjemaet 2π p, pЄZ.

Eksempel 1: Løs ulikhetsynd x>-1/2.(Figur 10)

Først, la oss løse denne ulikheten på intervallet [-π/2;3π/2]. La oss vurdere dens venstre side - segmentet [-π/2;3π/2] Her er ligningensynd x=-1/2 har én løsning x=-π/6; og funksjonensynd xøker monotont. Dette betyr at hvis –π/2<= x<= -π/6, то synd x<= synd(- π /6)=-1/2, dvs. disse verdiene av x er ikke løsninger på ulikheten. Hvis –π/6<х<=π/2 то synd x> synd(-π/6) = –1/2. Alle disse verdiene av x er ikke løsninger på ulikheten.

På det gjenværende segmentet [π/2;3π/2] funksjonensynd xligningen avtar også monotontsynd x= -1/2 har én løsning x=7π/6. Derfor, hvis π/2<= x<7π/, то synd x> synd(7π/6)=-1/2, dvs. alle disse verdiene av x er løsninger på ulikheten. TilxVi harsynd x<= synd(7π/6)=-1/2, disse verdiene av x er ikke løsninger. Dermed er settet av alle løsninger på denne ulikheten på intervallet [-π/2;3π/2] integralet (-π/6;7π/6).

På grunn av periodisiteten til funksjonensynd xmed en periode på 2π verdier av x fra et hvilket som helst integral av formen: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, er også løsninger på ulikheten. Ingen andre verdier av x er løsninger på denne ulikheten.

Svar: -π/6+2πn< x<7π/6+2π n, HvornЄ Z.

Konklusjon

Vi så på den grafiske metoden for å løse likninger og ulikheter; Vi så på spesifikke eksempler, hvis løsning brukte slike egenskaper til funksjoner som monotonisitet og paritet.Analyse av vitenskapelig litteratur og matematikk lærebøker gjorde det mulig å strukturere det valgte materialet i samsvar med målene for studien, velge og utvikle effektive metoder for å løse likninger og ulikheter. Oppgaven presenterer en grafisk metode for å løse likninger og ulikheter og eksempler der disse metodene brukes. Resultatet av prosjektet kan betraktes som kreative oppgaver, som hjelpestoff for å utvikle ferdighetene til å løse likninger og ulikheter ved bruk av grafisk metode.

Liste over brukt litteratur

Dalinger V. A. "Geometri hjelper algebra." Forlaget "Skole - Presse". Moskva 1996

Dalinger V. A. "Alt for å sikre suksess i avsluttende og opptaksprøver i matematikk." Forlag ved Omsk Pedagogical University. Omsk 1995

Okunev A. A. "Grafisk løsning av ligninger med parametere." Forlaget "Skole - Presse". Moskva 1986

Pismensky D. T. "Matematikk for elever på videregående skole." Forlaget «Iris». Moskva 1996

Yastribinetsky G. A. "Ligninger og ulikheter som inneholder parametere." Forlag "Prosveshcheniye". Moskva 1972

G. Korn og T. Korn "Handbook of Mathematics." Forlaget "Science" fysisk og matematisk litteratur. Moskva 1977

Amelkin V.V. og Rabtsevich V.L. Forlaget "Asar". Minsk 1996

Internett-ressurser

Den grafiske metoden er en av hovedmetodene for å løse kvadratiske ulikheter. I artikkelen vil vi presentere en algoritme for bruk av den grafiske metoden, og deretter vurdere spesielle tilfeller ved hjelp av eksempler.

Essensen av den grafiske metoden

Metoden er anvendelig for å løse eventuelle ulikheter, ikke bare kvadratiske. Dens essens er dette: høyre og venstre side av ulikheten betraktes som to separate funksjoner y = f (x) og y = g (x), grafene deres er plottet i et rektangulært koordinatsystem og se på hvilken av grafene som er plassert over den andre, og på hvilke intervaller. Intervallene vurderes som følger:

Definisjon 1

• løsninger på ulikheten f (x) > g (x) er intervaller der grafen til funksjonen f er høyere enn grafen til funksjonen g;
• løsninger på ulikheten f (x) ≥ g (x) er intervaller der grafen til funksjonen f ikke er lavere enn grafen til funksjonen g;
• løsninger på ulikheten f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• løsninger på ulikheten f (x) ≤ g (x) er intervaller der grafen til funksjonen f ikke er høyere enn grafen til funksjonen g;
• Abscissen til skjæringspunktene til grafene til funksjonene f og g er løsninger på ligningen f (x) = g (x).

La oss se på algoritmen ovenfor ved å bruke et eksempel. For å gjøre dette, ta den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) og utlede to funksjoner fra den. Venstre side av ulikheten vil tilsvare y = a · x 2 + b · x + c (i dette tilfellet f (x) = a · x 2 + b · x + c), og høyre side y = 0 ( i dette tilfellet g (x) = 0).

Grafen til den første funksjonen er en parabel, den andre er en rett linje, som sammenfaller med x-aksen O x. La oss analysere posisjonen til parablen i forhold til O x-aksen. For å gjøre dette, la oss lage en skjematisk tegning.

Parabolens grener er rettet oppover. Den skjærer O x-aksen i punkter x 1 Og x 2. Koeffisient a i dette tilfellet er positiv, siden det er den som er ansvarlig for retningen til grenene til parabelen. Diskriminanten er positiv, noe som indikerer at kvadrattrinomialet har to røtter a x 2 + b x + c. Vi betegner røttene til trinomialet som x 1 Og x 2, og det ble akseptert x 1< x 2 , siden et punkt med abscisse er avbildet på O x-aksen x 1 til venstre for abscissepunktet x 2.

Delene av parabelen som ligger over O x-aksen vil være merket med rødt, under - i blått. Dette vil tillate oss å gjøre tegningen mer visuell.

La oss velge mellomrommene som tilsvarer disse delene og markere dem i bildet med felt av en bestemt farge.

Vi markerte med rødt intervallene (− ∞, x 1) og (x 2, + ∞), på dem er parablen over O x-aksen. De er a · x 2 + b · x + c > 0. Vi markerte med blått intervallet (x 1 , x 2), som er løsningen på ulikheten a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

La oss lage en kort oppsummering av løsningen. For a > 0 og D = b 2 − 4 a c > 0 (eller D " = D 4 > 0 for en jevn koeffisient b) får vi:

• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c > 0 er (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) eller i en annen notasjon x< x 1 , x >x2;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a · x 2 + b · x + c ≥ 0 er (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) eller i en annen form x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• løse den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• løsningen på den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c ≤ 0 er [ x 1 , x 2 ] eller i en annen notasjon x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

hvor x 1 og x 2 er røttene til kvadrattrinomet a · x 2 + b · x + c, og x 1< x 2 .

I denne figuren berører parablen O x-aksen bare ved ett punkt, som er betegnet som x 0 a > 0. D=0, derfor har kvadrattrinomialet én rot x 0.

Parablen er plassert over O x-aksen helt, med unntak av tangenspunktet til koordinataksen. La oss fargelegge intervallene (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

La oss skrive ned resultatene. På a > 0 Og D=0:

• løse den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c > 0 er (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) eller i en annen notasjon x ≠ x 0;
• løse den kvadratiske ulikheten a x 2 + b x + c ≥ 0 er (− ∞ , + ∞) eller i en annen notasjon x ∈ R;
• kvadratisk ulikhet a x 2 + b x + c< 0 har ingen løsninger (det er ingen intervaller hvor parablen er plassert under aksen O x);
• kvadratisk ulikhet a x 2 + b x + c ≤ 0 har en unik løsning x = x 0(det er gitt av kontaktpunktet),

Hvor x 0- roten av kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c.

La oss vurdere det tredje tilfellet, når grenene til parabelen er rettet oppover og ikke berører aksen O x. Parabolens grener er rettet oppover, noe som betyr at a > 0. Det kvadratiske trinomium har ingen reelle røtter pga D< 0 .

Det er ingen intervaller på grafen hvor parabelen vil være under x-aksen. Dette vil vi ta hensyn til når vi velger farge til tegningen vår.

Det viser seg at når a > 0 Og D< 0 løse kvadratiske ulikheter a x 2 + b x + c > 0 Og a x 2 + b x + c ≥ 0 er settet av alle reelle tall, og ulikhetene a x 2 + b x + c< 0 Og a x 2 + b x + c ≤ 0 har ingen løsninger.

Vi har tre alternativer igjen å vurdere når grenene til parablen er rettet nedover. Det er ikke nødvendig å dvele ved disse tre alternativene i detalj, siden når vi multipliserer begge sider av ulikheten med − 1, får vi en ekvivalent ulikhet med en positiv koeffisient for x 2.

Betraktningen av forrige del av artikkelen forberedte oss på oppfatningen av en algoritme for å løse ulikheter ved hjelp av en grafisk metode. For å utføre beregninger må vi hver gang bruke en tegning som viser koordinatlinjen O x og en parabel som tilsvarer den kvadratiske funksjonen y = a x 2 + b x + c. I de fleste tilfeller vil vi ikke avbilde O y-aksen, siden den ikke er nødvendig for beregninger og bare vil overbelaste tegningen.

For å konstruere en parabel må vi vite to ting:

Definisjon 2

• retningen til grenene, som bestemmes av verdien av koeffisienten a;
• tilstedeværelsen av skjæringspunkter mellom parabelen og abscisseaksen, som bestemmes av verdien av diskriminanten til kvadratisk trinomial a · x 2 + b · x + c .

Vi vil betegne skjæringspunktene og tangens på vanlig måte når vi løser ikke-strenge ulikheter og tomme når vi løser strenge.

Ved å ha en ferdig tegning kan du gå videre til neste trinn i løsningen. Det innebærer å bestemme intervallene som parabelen er plassert over eller under O x-aksen. Intervallene og skjæringspunktene er løsningen på den kvadratiske ulikheten. Hvis det ikke er noen skjæringspunkter eller tangens og det ikke er noen intervaller, anses det at ulikheten spesifisert i betingelsene for problemet ikke har noen løsninger.

La oss nå løse flere kvadratiske ulikheter ved å bruke algoritmen ovenfor.

Eksempel 1

Det er nødvendig å løse ulikheten 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 grafisk.

Løsning

La oss tegne en graf av den kvadratiske funksjonen y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koeffisient kl x 2 positiv fordi den er lik 2 . Dette betyr at grenene til parablen vil bli rettet oppover.

La oss beregne diskriminanten til det kvadratiske trinomiet 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 for å finne ut om parablen har fellespunkter med abscisseaksen. Vi får:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Som vi ser, er D større enn null, derfor har vi to skjæringspunkter: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 og x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, det vil si, x 1 = − 3 Og x 2 = 1 3.

Vi løser en ikke-streng ulikhet, derfor setter vi vanlige punkter på grafen. La oss tegne en parabel. Som du kan se, har tegningen samme utseende som i den første malen vi vurderte.

Vår ulikhet har tegnet ≤. Derfor må vi markere intervallene på grafen der parabelen er plassert under O x-aksen og legge til skjæringspunkter til dem.

Intervallet vi trenger er 3, 1 3. Vi legger til skjæringspunkter og får et numerisk segment − 3, 1 3. Dette er løsningen på problemet vårt. Svaret kan skrives som en dobbel ulikhet: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Svar:− 3 , 1 3 eller − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Eksempel 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafisk metode.

Løsning

Kvadraten til variabelen har en negativ numerisk koeffisient, så grenene til parablen vil bli rettet nedover. La oss beregne den fjerde delen av diskriminanten D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Dette resultatet forteller oss at det vil være to skjæringspunkter.

La oss beregne røttene til det kvadratiske trinomiet: x 1 = - 8 + 1 - 1 og x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 og x 2 = 9.

Det viser seg at parabelen skjærer x-aksen i punktene 7 Og 9 . La oss merke disse punktene på grafen som tomme, siden vi jobber med streng ulikhet. Etter dette tegner du en parabel som skjærer O x-aksen på de merkede punktene.

Vi vil være interessert i intervallene som parabelen er plassert under O x-aksen. La oss markere disse intervallene med blått.

Vi får svaret: løsningen på ulikheten er intervallene (− ∞, 7), (9, + ∞) .

Svar:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) eller i en annen notasjon x< 7 , x > 9 .

I tilfeller der diskriminanten til et kvadratisk trinomium er null, må det vurderes nøye om abscissen til tangentpunktene skal inkluderes i svaret. For å ta den riktige avgjørelsen er det nødvendig å ta hensyn til ulikhetstegnet. I strenge ulikheter er ikke tangenspunktet til x-aksen en løsning på ulikheten, men i ikke-strenge er det det.

Eksempel 3

Løs kvadratisk ulikhet 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafisk metode.

Løsning

Grenene til parabelen vil i dette tilfellet være rettet oppover. Den vil berøre O x-aksen ved punkt 0, 7, siden

La oss plotte funksjonen y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Dens grener er rettet oppover, siden koeffisienten kl x 2 positiv, og den berører x-aksen ved x-aksepunktet 0 , 7 , fordi D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, hvor x 0 = 7 10 eller 0 , 7 .

La oss sette et poeng og tegne en parabel.

Vi løser en ikke-streng ulikhet med et fortegn ≤. Derfor. Vi vil være interessert i intervallene som parabelen er plassert under x-aksen og tangenspunktet. Det er ingen intervaller i figuren som vil tilfredsstille våre betingelser. Det er bare et kontaktpunkt 0, 7. Dette er løsningen vi ser etter.

Svar: Ulikheten har bare én løsning 0, 7.

Eksempel 4

Løs kvadratisk ulikhet – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Løsning

Parabolens grener er rettet nedover. Diskriminanten er null. Krysspunkt x 0 = 4.

Vi markerer tangenspunktet på x-aksen og tegner en parabel.

Vi har å gjøre med alvorlig ulikhet. Følgelig er vi interessert i intervallene parablen befinner seg under O x-aksen. La oss merke dem med blått.

Punktet med abscisse 4 er ingen løsning, siden parabelen ved den ikke er plassert under O x-aksen. Følgelig får vi to intervaller (− ∞ , 4), (4 , + ∞) .

Svar: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) eller i en annen notasjon x ≠ 4.

Ikke alltid med negativ verdi diskriminerende ulikhet vil ikke ha noen løsninger. Det er tilfeller når løsningen er settet av alle reelle tall.

Eksempel 5

Løs den kvadratiske ulikheten 3 x 2 + 1 > 0 grafisk.

Løsning

Koeffisient a er positiv. Diskriminanten er negativ. Parabolens grener vil bli rettet oppover. Det er ingen skjæringspunkter for parabelen med O x-aksen. La oss se på tegningen.

Vi jobber med streng ulikhet, som har et >-tegn. Det betyr at vi er interessert i intervallene parablen befinner seg over x-aksen. Dette er nøyaktig tilfelle når svaret er settet av alle reelle tall.

Svar:(− ∞, + ∞) eller så x ∈ R.

Eksempel 6

Det er nødvendig å finne en løsning på ulikheten − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafisk.

Løsning

Parabolens grener er rettet nedover. Diskriminanten er negativ, derfor er det ingen fellespunkter mellom parabelen og x-aksen. La oss se på tegningen.

Vi jobber med en ikke-streng ulikhet med tegnet ≥, derfor er intervallene som parablen befinner seg over x-aksen av interesse for oss. Etter grafen å dømme er det ingen slike hull. Dette betyr at ulikheten gitt i problemforholdene ikke har noen løsninger.

Svar: Ingen løsninger.

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter