TEMAT: Transformacje wykresów funkcji trygonometrycznych z modułem.

CEL: Rozważenie otrzymania wykresów funkcji trygonometrycznych postaci

y= f(|x|) ;y = | F(X)| .

Rozwijaj logikę matematyczną i uwagę.

PODCZAS ZAJĘĆ:

Org. moment: Ogłoszenie tematu, celów i założeń lekcji.

Nauczyciel: Dzisiaj musimy się nauczyć rysować funkcje y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |Grzech x +b| ; Y = |A cos x +b| wykorzystując naszą wiedzę o transformacjach funkcji przestępnych postaci y = f(|x|) i y = |f(x)| . Zapytacie: „Po co to wszystko?” Faktem jest, że w tym przypadku zmieniają się właściwości funkcji, ale najlepiej widać to, jak wiadomo, na wykresie.

Przypomnijmy, jak te funkcje są zapisywane korzystając z definicji

Dzieci: f(|x|) =

|f(x)| =

Nauczyciel: Więc, wykreślić funkcję y =F(|x|), jeśli znany jest wykres funkcji

y =F{ X), musisz pozostawić tę część wykresu funkcji y = na miejscuF(X), Który

odpowiada nieujemnej części dziedziny definicji funkcji y =F(X). Odbicie tego

część jest symetryczna względem osi Y, otrzymamy odpowiadającą inną część wykresu

ujemna część dziedziny definicji.

Oznacza to, że na wykresie wygląda to tak: y = f (x)

(Te wykresy są narysowane na tablicy. Dzieci w zeszytach)

Teraz na tej podstawie skonstruujemy wykres funkcji y = sin |x|; Y = |grzech x | ; Y = |2 grzech x + 2|

Ryc. 1. Y = grzech x

Rysunek 2. Y = grzech |x|

Teraz narysujmy funkcje Y = |sin x | i Y = |2 grzech x + 2|

Aby wykreślić funkcję y = \F(X)\, jeśli znany jest wykres funkcji y =F(X), musisz pozostawić tę część, w którejF(X) > O, i symetrycznie wyświetlać swoją drugą część względem osi x, gdzieF(X) < 0.

Podsumowanie lekcji algebry i początek analizy w 10 klasie

na temat: „Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych”

Cel lekcji: usystematyzowanie wiedzy na temat „Własności i wykresy funkcji trygonometrycznych y=sin (x), y=cos (x)”.

Cele Lekcji:

• powtórz własności funkcji trygonometrycznych y=sin (x), y=cos (x);
• powtórz formuły redukcyjne;
• konwertowanie wykresów funkcji trygonometrycznych;
• rozwijać uwagę, pamięć, logiczne myślenie; zintensyfikować aktywność umysłową, umiejętność analizowania, uogólniania i rozumowania;
• sprzyjające ciężkiej pracy, pracowitości w osiąganiu celów, zainteresowaniu tematem.

Wyposażenie lekcji: ICT

Typ lekcji: uczenie się nowych rzeczy

Podczas zajęć

Przed lekcją 2 uczniów rysuje na tablicy wykresy ze swojej pracy domowej.

Czas organizacji:

Cześć chłopaki!

Dzisiaj na lekcji przekształcimy wykresy funkcji trygonometrycznych y=sin (x), y=cos (x).

Praca ustna:

Sprawdzanie pracy domowej.

rozwiazywac zagadki.

Nauka nowego materiału

Wszystkie przekształcenia wykresów funkcji są uniwersalne - nadają się do wszystkich funkcji, w tym także trygonometrycznych. Tutaj ograniczymy się do krótkiego przypomnienia głównych przekształceń grafów.

Transformacja wykresów funkcji.

Podana jest funkcja y = f (x). Od wykresu tej funkcji zaczynamy budować wszystkie wykresy, następnie wykonujemy z nią działania.

Funkcjonować

Co zrobić z harmonogramem

y = f(x) + a

Podnosimy wszystkie punkty pierwszego wykresu o jednostkę w górę.

y = f(x) – a

Obniżamy wszystkie punkty pierwszego wykresu o jednostkę w dół.

y = f(x + a)

Przesuwamy wszystkie punkty pierwszego wykresu o jednostkę w lewo.

y = fa (x – a)

Przesuwamy wszystkie punkty pierwszego wykresu o jednostkę w prawo.

y = a*f(x),a>1

Ustawiamy zera na miejscu, górne punkty przesuwamy krotnie wyżej, a dolne krotnie niżej.

Wykres będzie się „rozciągał” w górę i w dół, zera pozostaną na swoich miejscach.

y = a*f(x), a<1

Ustalamy zera, górne punkty spadną razy, dolne wzrosną razy. Wykres „zmniejszy się” w kierunku osi x.

y = -f(x)

Odbij pierwszy wykres wokół osi x.

y = f (topór), a<1

Zablokuj punkt na osi rzędnych. Każdy segment na osi odciętych jest zwiększany o razy. Wykres będzie rozciągał się od osi współrzędnych w różnych kierunkach.

y = f (ax), a >1

Ustal punkt na osi rzędnych, zmniejsz każdy segment na osi odciętych o współczynnik. Wykres „zmniejszy się” w kierunku osi Y po obu stronach.

y = | f(x)|

Części wykresu znajdujące się pod osią odciętych są odzwierciedlone. Cały wykres będzie się znajdował w górnej półpłaszczyźnie.

Schematy rozwiązań.

1)y = grzech x + 2.

Budujemy wykres y = sin x. Podnosimy każdy punkt wykresu w górę o 2 jednostki (zera również).

2)y = cos x – 3.

Budujemy wykres y = cos x. Obniżamy każdy punkt wykresu w dół o 3 jednostki.

3)y = cos (x - /2)

Budujemy wykres y = cos x. Przesuwamy wszystkie punkty o p/2 w prawo.

4)y = 2 grzech.

Budujemy wykres y = sin x. Zostawiamy zera na miejscu, podnosimy górne punkty 2 razy i obniżamy dolne o tę samą kwotę.

PRAKTYKA Rysowanie wykresów funkcji trygonometrycznych z wykorzystaniem programu Advanced Grapher.

Narysujmy funkcję y = -cos 3x + 2.

1. Narysujmy funkcję y = cos x.
2. Odzwierciedlmy to względem osi odciętej.
3. Wykres ten należy skompresować trzykrotnie wzdłuż osi x.
4. Na koniec taki wykres należy podnieść o trzy jednostki wzdłuż osi y.

y = 0,5 grzech x.

y = 0,2 cox-2

y = 5cos 0 .5x

y= -3sin(x+π).

2) Znajdź błąd i napraw go.

V. Materiał historyczny. Wiadomość o Eulerze.

Leonhard Euler to największy matematyk XVIII wieku. Urodzony w Szwajcarii. Przez wiele lat mieszkał i pracował w Rosji, był członkiem Akademii Petersburskiej.

Dlaczego powinniśmy znać i pamiętać nazwisko tego naukowca?

Na początku XVIII wieku trygonometria wciąż nie była wystarczająco rozwinięta: nie było symboli, wzory pisano słownie, trudno było się ich nauczyć, kwestia znaków funkcji trygonometrycznych w różnych ćwiartkach koła była niejasna, a argument funkcji trygonometrycznej oznaczał tylko kąty lub łuki. Dopiero w pracach Eulera trygonometria otrzymała nowoczesną formę. To on zaczął rozważać funkcję trygonometryczną liczby, tj. Argument zaczęto rozumieć nie tylko jako łuki czy stopnie, ale także jako liczby. Euler wyprowadził wszystkie wzory trygonometryczne z kilku podstawowych i usprawnił kwestię znaków funkcji trygonometrycznej w różnych ćwiartkach koła. Do oznaczenia funkcji trygonometrycznych wprowadził symbolikę: sin x, cos x, tan x, ctg x.

U progu XVIII wieku pojawił się nowy kierunek w rozwoju trygonometrii - analityczny. Jeśli wcześniej głównym celem trygonometrii było rozwiązanie trójkątów, Euler uważał trygonometrię za naukę o funkcjach trygonometrycznych. Część pierwsza: doktryna funkcji jest częścią ogólnej doktryny funkcji, która jest badana w analizie matematycznej. Część druga: Rozwiązywanie trójkątów - rozdział o geometrii. Takie innowacje wprowadził Euler.

VI. Powtórzenie

Praca niezależna „Dodaj formułę”.

VII. Podsumowanie lekcji:

1) Czego nowego nauczyłeś się dzisiaj na zajęciach?

2) Co jeszcze chcesz wiedzieć?

3) Klasyfikacja.

Algorytm konstruowania wykresów Wykres funkcji y = sin (x-a) można otrzymać przesuwając równolegle wykres funkcji y = sinx wzdłuż osi Ox o jednostki w prawo. Wykres funkcji y = sin (x+a) można otrzymać przesuwając równolegle wykres funkcji y = sinx wzdłuż osi Ox o jednostki w lewo.

0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (w punkcie 00) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (w punkcie 0 7 Algorytm konstruowania wykresów Wykres funkcji y = sin (Kx) (K>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (przy kompresji 01 K razy) wzdłuż osi Ox. 0) można uzyskać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (przy 0 0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (przy ściskaniu 01 o współczynnik K) wzdłuż osi Wół."> 0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (w punkcie 00) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (w punkcie 0 title=" Algorytm graficzny Wykres funkcji y = sin (Kx) (K>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (w 0

8 Ściskanie i rozciąganie do osi y Narysuj wykres funkcji y = sin2 x Narysuj wykres funkcji y = sin K > 1 kompresja 0 1 kompresja 0 1 kompresja 0 1 kompresja 0 1 kompresja 0 tytuł="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 !}

0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (dla K>1 poprzez rozciąganie o współczynnik K) wzdłuż osi Oy. Wykres funkcji y = Кsin (x) (К>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sinx jej с" title="Algorytm graficzny: Wykres funkcji y = Кsin ( x) (К>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (dla K>1 poprzez rozciąganie K razy) wzdłuż osi Oy. (K>0) można wyznaczyć z wykresu funkcji y = sinx" class="link_thumb"> 9 !} Algorytm konstruowania wykresów: Wykres funkcji y = Ksin (x) (K>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (dla K>1 rozciągając go o współczynnik K ) wzdłuż osi Oy. Wykres funkcji y = Кsin (x) (К>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sinx ściskając go (przy rozciąganiu 01 K razy) wzdłuż osi Оу. Wykres funkcji y = Ksin (x) (K>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sinx jej c "> 0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (dla K>1 rozciągając K razy) wzdłuż osi Oy. Wykres funkcji y = Ksin (x) (K>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sinx poprzez jego kompresję (przy rozciąganiu 01). K razy) wzdłuż osi Oy. Wykres funkcji y = Ksin (x) (K>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sinx it za pomocą" title=" Algorytm konstruowania wykresów : Wykres funkcji y = Ksin (x) (K>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (dla K> 1 rozciągania o K razy) wzdłuż osi Oy funkcji y = Ksin (x) (K>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sinx wraz z nią"> title="Algorytm konstruowania wykresów: Wykres funkcji y = Ksin (x) (K>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sin x rozciągając go (dla K>1 rozciągając go o współczynnik K ) wzdłuż osi Oy. Wykres funkcji y = Кsin (x) (К>0) można otrzymać z wykresu funkcji y = sinx to za pomocą">!}

1 rozciągnięcie 0 1 rozciągnięcie 0 10 10 Uciskanie i rozciąganie do osi x K > 1 rozciąganie 0 1 rozciąganie 0 1 rozciąganie 0 1 rozciąganie 0 1 rozciąganie 0 title="10 Uciskanie i rozciąganie do osi x K > 1 rozciąganie 0

13 Przesunięcie wzdłuż osi rzędnych Zbuduj wykres funkcji y=sins+3 Zbuduj wykres funkcji y=sins-3 + góra - dół y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Transformacja wykresu

X y 1 -2 Sprawdź: y 1 = sinx; y2 = sinx + 2; y 3 = sinx

Notatki z lekcji algebry w 10 klasie

Wasilijewa Ekaterina Siergiejewna,

nauczyciel matematyki

OGBOU „Smoleńsk specjalny (poprawkowy)

szkoła ogólnokształcąca typu I i II”

Smoleńsk

Temat lekcji: „Transformacja wykresów funkcji trygonometrycznych.”

Nazwamoduł: konwertowanie wykresów funkcji trygonometrycznych. Integracjadydaktycznycel: ćwicz umiejętności konstruowania wykresów funkcji trygonometrycznych. Docelowy plan działania dla uczniów:

przejrzeć podstawowe własności funkcji trygonometrycznych; ćwiczyć umiejętność przeliczania wykresów funkcji trygonometrycznych; promować rozwój logicznego myślenia; rozwijać zainteresowanie studiowaniem przedmiotu.

Bank informacji.

Ryż. 1

Nieruchomości:

D(y)=R E(y)=[-1;1], funkcja jest ograniczona sin(-x)=-sinx, funkcja jest nieparzysta Minimalny okres dodatni: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Є Z, x Є R. sin x=0 przy x=πk, kЄ Z sin x>0, x Є (2πk;2π+2πk), k Є Z sin x Największy wartość równa 1, y=sin x przyjmuje w punktach x=π/2+ 2πk, k Є Z. Najmniejsza wartość równa -1, y=sin x przyjmuje w punktach x=3π/2+ 2πk, k Є Z.

Ryż. 2

Nieruchomości:

D (y)=R E (y)=[-1;1], funkcja jest ograniczona cos(-x)= cos x, funkcja jest parzysta Minimalny okres dodatni: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Є Z, x Є R cos x=0 przy x=π/2+πk, kЄZ cos x>0, x Є (-π/2+2πk; π/2+ 2πk), k Є Z cos x Największa wartość równa 1, y=cos x przyjmuje w punktach x= 2πk, k Є Z. Najmniejsza wartość równa -1, y=cos x przyjmuje w punktach x=π+ 2πk , k Є Z.

Ryż . 3

Nieruchomości:

D(y)-zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczb w postaci x=π/2 +πk, k Є Z E(y)=(-∞;+ ∞), funkcja nieograniczona tg(-x)=-tg x , funkcja nieparzysta najmniejszy okres dodatni: π
tg(x+π)= tan x tgx= 0 przy x=πk, k Є Z tg x> 0, x Є (πk; π/2+πk), k Є Z tg x

Ryż. 4

Nieruchomości:

D(y)-zbiór wszystkich liczb rzeczywistych z wyjątkiem liczb w postaci x=πk, k Є Z E(y)= (-∞;+ ∞), funkcja nieograniczona ctg(-x)=-ctg x, funkcja nieparzysta Minimum okres dodatni: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 przy x=π/2+πk, k Є Z ctg x>0, x Є(πk; π/2+πk), k Є Z ctg x

Wyjaśnienie materiału.

y= F(X)+ A, gdzie a jest liczbą stałą, należy przesunąć wykres y= F(X) wzdłuż osi rzędnych. Jeżeli a>0 to przesuwamy wykres równolegle do siebie w górę, jeżeli a Aby skonstruować wykres funkcji y= kf(X) musimy rozciągnąć wykres funkcji y= F(X) V k razy wzdłuż osi rzędnych. Jeśli | k|>1 , wówczas wykres rozciąga się wzdłuż osi OJ, Jeśli 0k| , następnie – kompresja. Wykres funkcji y= F(X+ B) otrzymane z wykresu y= F(X) poprzez tłumaczenie równoległe wzdłuż osi odciętych. Jeśli b>0, to wykres przesuwa się w lewo, jeśli b

Aby wykreślić funkcję y= F(kx) trzeba naciągnąć harmonogram y= F(X) wzdłuż osi odciętej. Jeśli | k|>1 , następnie wykres jest kompresowany wzdłuż osi OH, jeśli 0

Mocowanie materiału.

Poziom A

Prywatnydydaktycznycel: ćwicz umiejętność konstruowania funkcji trygonometrycznych poprzez przekształcenia.

MetodycznykomentarzDlastudenci:

Wół 3 razy.





Wykres funkcji uzyskuje się z wykresu poprzez rozciągnięcie wzdłuż osi Oj 2 razy.





Wykres funkcji uzyskuje się z wykresu poprzez równoległe przesunięcie o 2 jednostki w górę wzdłuż osi Oj.







Wykres funkcji uzyskuje się z wykresu poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi odciętej o jednostki w lewo.





G

Wykres funkcji uzyskuje się z wykresu poprzez kompresję wzdłuż osi Oj 4 razy.

Poziom B.

Prywatnydydaktycznycel: trygonometryczny funkcjonuje wg spójny zastosowanie przekształceń.

MetodycznykomentarzDlastudenci: konstruować wykresy funkcji dokonując przekształceń.



Wykres funkcji uzyskuje się z wykresu poprzez równoległe przesunięcie wzdłuż osi odciętej o jednostki w prawo.



Wykres funkcji uzyskuje się z wykresu funkcji wykonując kolejno następujące przekształcenia:

1) tłumaczenie równoległe o jednostki w lewo wzdłuż osi odciętej

2) ściskanie wzdłuż osi Oy 4 razy .





Wykres funkcji uzyskuje się z wykresu funkcji, której każda rzędna zmienia się o współczynnik -2. W tym celu wykonujemy następujące przekształcenia:

1) wyświetlanie symetrycznie względem osi Wół,

2) rozciągnij 2 razy wzdłuż osi Oj.




spójny wykonaj następujące przekształcenia:

1) ściskanie wzdłuż osi odciętej 2 razy;

2) rozciąganie V 3 czasy przed siebie osie Oj;

3) równoległy przenosić NA 1 jednostka w górę przed siebie osie rzędna.





Poziom Z .

Prywatnydydaktycznycel: ćwiczyć umiejętności tworzenia wykresów trygonometryczny funkcjonuje wg spójny zastosowanie przekształceń.

Metodyczny komentarz Dla studenci : proszę wskazać , Który transformacja potrzebować wykonać Dla budowa wykresy . Zbudować grafika .

1.

Wykres funkcji uzyskuje się z wykresu funkcji wykonując kolejno następujące przekształcenia:

1) wyświetlacz jest symetryczny względem osi Wół,

2) ściskanie 2 razy wzdłuż osi Oy;

3) tłumaczenie równoległe 2 jednostki w dół wzdłuż osi Oy.





2.

Wykres funkcji uzyskuje się z wykresu funkcji spójny wykonując następujące przekształcenia: okazuje się www. lotnisko. ru/ usługi/ wykres. HTML