Bild 2

Matematik är de ungas vetenskap. Det kan inte vara annorlunda. Matematik är en form av mental gymnastik som kräver ungdomens all flexibilitet och uthållighet.

Norbert Wiener (1894-1964), amerikansk vetenskapsman

Bild 3

förhållandet mellan talen a och b (matematiska uttryck), sammankopplade med tecknen Ojämlikhet -

Bild 4

Historisk bakgrund Problem med att bevisa jämlikheter och ojämlikheter uppstod i antiken. Särskilda ord eller deras förkortningar användes för att beteckna likhetstecken och ojämlikhetstecken. IV århundradet f.Kr., Euklid, Elementens bok V: om a, b, c, d är positiva tal och a är det största talet i proportionen a/b=c/d, så gäller olikheten a+d=b + c. III-talet, Pappus av Alexandrias huvudverk "Matematisk samling": om a, b, c, d är positiva tal och a/b>c/d, är ojämlikheten ad>bc uppfylld.

Mer än 2000 f.Kr ojämlikheten var känd förvandlas till en sann jämlikhet när a=b.

Bild 5

Moderna specialtecken 1557. Likhetstecknet = introducerades av den engelske matematikern R. Ricord. Hans motiv: "Inga två objekt kan vara mer lika än två parallella segment."

1631 Tecken > och

Bild 6

Typer av ojämlikheter Med en variabel (en eller flera) Strikt Icke-strikt Med en modul Med en parameter Icke-standardiserade systemsamlingar Numeriska enkla dubbla multiplar Algebraiska heltal: -linjär -kvadratisk -högre potenser Bråkrationell Irrationell Trigonometrisk Exponentiell Logaritmisk Blandad typ

är värdet på en variabel som, när den substitueras, förvandlar den till en sann numerisk olikhet. Lös en ojämlikhet – hitta alla dess lösningar eller bevisa att det inte finns några. Två ojämlikheter sägs vara likvärdiga om alla lösningar till var och en är lösningar på den andra ojämlikheten eller om båda ojämlikheterna inte har några lösningar. Ojämlikheter Att lösa ojämlikheter i en variabel

Bild 9

Beskriv ojämlikheterna. Lös muntligt 3)(x – 2)(x + 3)  0

Bild 10

Grafisk metod

Lös ojämlikheten grafiskt 1) Konstruera en graf 2) Konstruera en graf i samma koordinatsystem. 3) Hitta abskissan för skärningspunkterna för graferna (värdena tas ungefär, vi kontrollerar noggrannheten genom substitution). 4) Vi bestämmer från grafen lösningen på denna ojämlikhet. 5) Skriv ner svaret.

Bild 11

Funktionell-grafisk metod för att lösa olikheten f(x)

Bild 12

Funktionell-grafisk metod Lös olikheten: 3) Ekvationen f(x)=g(x) har högst en rot. Lösning. 4) Genom urval finner vi att x = 2. II. Låt oss schematiskt avbilda på den numeriska axeln Ox graferna för funktionerna f (x) och g (x) som går genom punkten x = 2. III Låt oss bestämma lösningarna och skriva ner svaret. Svar. x -7 odefinierad 2

Bild 13

Lös ojämlikheterna:

Bild 14

Bygg grafer över Unified State Examination-9-funktionen, 2008

Bild 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

Bild 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Bestäm antalet intervall av lösningar till olikheten för varje värde på parameter a

Bild 17

Bygg ett diagram över Unified State Examination-9-funktionen, 2008

Bild 18

Bild 19

En av de mest bekväma metoderna för att lösa kvadratiska ojämlikheter är den grafiska metoden. I den här artikeln kommer vi att titta på hur kvadratiska ojämlikheter löses grafiskt. Låt oss först diskutera vad kärnan i denna metod är. Därefter kommer vi att presentera algoritmen och överväga exempel på att lösa kvadratiska ojämlikheter grafiskt.

Sidnavigering.

Kärnan i den grafiska metoden

Alls grafisk metod för att lösa ojämlikheter med en variabel används inte bara för att lösa kvadratiska olikheter, utan även andra typer av ojämlikheter. Kärnan grafisk metod lösningar på ojämlikheter nästa: betrakta funktionerna y=f(x) och y=g(x), som motsvarar vänster och höger sida av olikheten, bygg deras grafer i ett rektangulärt koordinatsystem och ta reda på med vilka intervall grafen för en av de är lägre eller högre än den andra. De där intervallerna där

• grafen för funktion f ovanför grafen för funktion g är lösningar på olikheten f(x)>g(x) ;
• grafen för funktionen f inte lägre än grafen för funktionen g är lösningar på olikheten f(x)≥g(x) ;
• grafen för f under grafen för g är lösningar på olikheten f(x)
• grafen för en funktion f inte högre än grafen för en funktion g är lösningar på olikheten f(x)≤g(x) .

Vi kommer också att säga att abskissorna för skärningspunkterna för graferna för funktionerna f och g är lösningar till ekvationen f(x)=g(x) .

Låt oss överföra dessa resultat till vårt fall - för att lösa den kvadratiska olikheten a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Vi introducerar två funktioner: den första y=a x 2 +b x+c (med f(x)=a x 2 +b x+c) som motsvarar den vänstra sidan av den kvadratiska olikheten, den andra y=0 (med g ( x)=0 ) motsvarar den högra sidan av olikheten. Schema kvadratisk funktion f är en parabel och grafen konstant funktion g – rät linje som sammanfaller med abskissaxeln Ox.

Därefter, enligt den grafiska metoden för att lösa ojämlikheter, är det nödvändigt att analysera med vilka intervall grafen för en funktion är belägen över eller under en annan, vilket gör att vi kan skriva ner den önskade lösningen till den kvadratiska ojämlikheten. I vårt fall måste vi analysera parabelns position i förhållande till Ox-axeln.

Beroende på värdena för koefficienterna a, b och c är följande sex alternativ möjliga (för våra behov är en schematisk representation tillräcklig, och vi behöver inte avbilda Oy-axeln, eftersom dess position inte påverkar lösningar på ojämlikheten):

På denna ritning ser vi en parabel, vars grenar är riktade uppåt och som skär Ox-axeln i två punkter, vars abskiss är x 1 och x 2. Denna ritning motsvarar alternativet när koefficienten a är positiv (den är ansvarig för den uppåtgående riktningen av parabelgrenarna), och när värdet är positivt diskriminant av ett kvadratiskt trinomial a x 2 +b x+c (i det här fallet har trinomialet två rötter, som vi betecknade som x 1 och x 2, och vi antog att x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

För tydlighetens skull, låt oss avbilda i rött de delar av parabeln som ligger ovanför x-axeln och i blått - de som ligger under x-axeln.


Låt oss nu ta reda på vilka intervaller som motsvarar dessa delar. Följande ritning hjälper dig att identifiera dem (i framtiden kommer vi att göra liknande val i form av rektanglar mentalt):


Så på abskissaxeln markerades två intervall (−∞, x 1) och (x 2 , +∞) i rött, på dem är parabeln ovanför Ox-axeln, de utgör en lösning på den kvadratiska olikheten a x 2 +b x +c>0 , och intervallet (x 1 , x 2) är markerat i blått, det finns en parabel under Ox-axeln, den representerar lösningen till olikheten a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Och nu kort: för a>0 och D=b 2 −4 a c>0 (eller D"=D/4>0 för en jämn koefficient b)

• lösningen på den kvadratiska olikheten a x 2 +b x+c>0 är (−∞, x 1)∪(x 2, +∞) eller i en annan notation x x2;
• lösningen på den kvadratiska olikheten a x 2 +b x+c≥0 är (−∞, x 1 ]∪ eller i en annan notation x 1 ≤x≤x 2,

där x 1 och x 2 är rötterna till kvadrattrinomialet a x 2 +b x+c och x 1


Här ser vi en parabel, vars grenar är riktade uppåt och som berör abskissaxeln, det vill säga att den har en gemensam punkt med sig, vi betecknar denna punkts abskiss som x 0. Det presenterade fallet motsvarar a>0 (grenarna är riktade uppåt) och D=0 (kvadrattrinomialet har en rot x 0). Till exempel kan du ta den kvadratiska funktionen y=x 2 −4·x+4, här a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 och x 0 =2.

Ritningen visar tydligt att parabeln är placerad ovanför Ox-axeln överallt utom kontaktpunkten, det vill säga på intervallen (−∞, x 0), (x 0, ∞). För tydlighetens skull, låt oss markera områden i ritningen i analogi med föregående stycke.


Vi drar slutsatser: för a>0 och D=0

• lösningen till den kvadratiska olikheten a·x 2 +b·x+c>0 är (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) eller i en annan notation x≠x 0;
• lösningen på den kvadratiska olikheten a·x 2 +b·x+c≥0 är (−∞, +∞) eller i en annan notation x∈R ;
• kvadratisk olikhet a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• den kvadratiska olikheten a x 2 +b x+c≤0 har en unik lösning x=x 0 (den ges av tangenspunkten),

där x 0 är roten till kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c.


I det här fallet är parabelns grenar riktade uppåt, och den har inte gemensamma punkter med abskissaxeln. Här har vi villkoren a>0 (grenarna är riktade uppåt) och D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=02−4·2·1=−8<0 .

Uppenbarligen är parabeln placerad ovanför Ox-axeln längs hela dess längd (det finns inga intervall där den är under Ox-axeln, det finns ingen tangenspunkt).


Således, för a>0 och D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 och a x 2 +b x+c≥0 är mängden av alla reella tal, och olikheterna a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Och det återstår tre alternativ för placeringen av parabeln med grenar riktade nedåt, inte uppåt, i förhållande till Ox-axeln. I princip behöver de inte beaktas, eftersom att multiplicera båda sidor av olikheten med −1 gör att vi kan gå till en ekvivalent olikhet med en positiv koefficient för x 2. Men det skadar fortfarande inte att få en uppfattning om dessa fall. Resonemanget här är liknande, så vi kommer bara att skriva ner de viktigaste resultaten.

Lösningsalgoritm

Resultatet av alla tidigare beräkningar är algoritm för att lösa kvadratiska ojämlikheter grafiskt:

En schematisk ritning görs på koordinatplanet, som avbildar Ox-axeln (det är inte nödvändigt att avbilda Oy-axeln) och en skiss av en parabel som motsvarar den kvadratiska funktionen y=a·x 2 +b·x+c. För att rita en skiss av en parabel räcker det att klargöra två punkter:

• För det första, av värdet på koefficienten a bestäms det var dess grenar är riktade (för a>0 - uppåt, för en<0 – вниз).
• Och för det andra, av värdet på diskriminanten för kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c bestäms det om parabeln skär abskissaxeln vid två punkter (för D>0), rör vid den vid en punkt (för D=0) , eller har inga gemensamma punkter med Ox-axeln (vid D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• När ritningen är klar, använd den i det andra steget av algoritmen

  • vid lösning av den kvadratiska olikheten a·x 2 +b·x+c>0, bestäms intervallen vid vilka parabeln är belägen ovanför abskissan;
  • vid lösning av olikheten a·x 2 +b·x+c≥0, bestäms intervallen vid vilka parabeln är placerad ovanför abskissaxeln och abskissan för skärningspunkterna (eller abskissan för tangentpunkten) adderas till dem;
  • vid lösning av ojämlikheten a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • slutligen, när man löser en kvadratisk olikhet av formen a·x 2 +b·x+c≤0, hittas intervall där parabeln ligger under Ox-axeln och abskissan för skärningspunkterna (eller abskissan för tangentpunkten ) läggs till dem;

  de utgör den önskade lösningen på den kvadratiska ojämlikheten, och om det inte finns några sådana intervall och inga tangenspunkter, så har den ursprungliga kvadratiska ojämlikheten inga lösningar.

Allt som återstår är att lösa några kvadratiska ojämlikheter med denna algoritm.

Exempel med lösningar

Exempel.

Lös ojämlikheten .

Lösning.

Vi måste lösa en kvadratisk ojämlikhet, låt oss använda algoritmen från föregående stycke. I det första steget måste vi skissa grafen för den kvadratiska funktionen . Koefficienten för x 2 är lika med 2, den är positiv, därför är parabelns grenar riktade uppåt. Låt oss också ta reda på om parabeln har gemensamma punkter med x-axeln . Det har vi . Diskriminanten visade sig vara större än noll, därför har trinomialet två reella rötter: Och , det vill säga x 1 =−3 och x 2 =1/3.

Av detta framgår att parabeln skär Ox-axeln i två punkter med abskiss −3 och 1/3. Vi kommer att avbilda dessa punkter i ritningen som vanliga punkter, eftersom vi löser en icke strikt ojämlikhet. Baserat på de förtydligade uppgifterna får vi följande ritning (den passar den första mallen från artikelns första stycke):

Låt oss gå vidare till det andra steget i algoritmen. Eftersom vi löser en icke-strikt kvadratisk olikhet med tecknet ≤, måste vi bestämma intervallen vid vilka parabeln är belägen under abskissaxeln och addera till dem abskissorna för skärningspunkterna.

Från ritningen är det tydligt att parabeln ligger under x-axeln på intervallet (−3, 1/3) och till den lägger vi abskissorna för skärningspunkterna, det vill säga talen −3 och 1/3. Som ett resultat kommer vi fram till det numeriska intervallet [−3, 1/3] . Det här är lösningen vi letar efter. Det kan skrivas som en dubbel olikhet −3≤x≤1/3.

Svar:

[−3, 1/3] eller −3≤x≤1/3 .

Exempel.

Hitta lösningen till den kvadratiska olikheten −x 2 +16 x−63<0 .

Lösning.

Som vanligt börjar vi med en ritning. Den numeriska koefficienten för kvadraten på variabeln är negativ, −1, därför är parabelns grenar riktade nedåt. Låt oss beräkna diskriminanten, eller ännu bättre, dess fjärde del: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Dess värde är positivt, låt oss beräkna rötterna till kvadrattrinomialet: Och xl=7 och x2=9. Så parabeln skär Ox-axeln i två punkter med abskissorna 7 och 9 (den ursprungliga ojämlikheten är strikt, så vi kommer att avbilda dessa punkter med ett tomt centrum. Nu kan vi göra en schematisk ritning).

Eftersom vi löser en strikt kvadratisk ojämlikhet med ett tecken<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Ritningen visar att lösningarna till den ursprungliga kvadratiska olikheten är två intervall (−∞, 7), (9, +∞) .

Svar:

(−∞, 7)∪(9, +∞) eller i en annan notation x<7 , x>9 .

När du löser kvadratiska olikheter, när diskriminanten för ett kvadratiskt trinomium på dess vänstra sida är noll, måste du vara försiktig med att inkludera eller exkludera abskissan för tangentpunkten från svaret. Detta beror på ojämlikhetens tecken: om ojämlikheten är strikt så är det inte en lösning på ojämlikheten, men om den inte är strikt så är den det.

Exempel.

Har den kvadratiska olikheten 10 x 2 −14 x+4,9≤0 minst en lösning?

Lösning.

Låt oss plotta funktionen y=10 x 2 −14 x+4,9. Dess grenar är riktade uppåt, eftersom koefficienten för x 2 är positiv, och den berör abskissaxeln vid punkten med abskissan 0,7, eftersom D"=(−7) 2 −10 4,9=0, varav eller 0,7 i formen av en decimalbråkdel Schematiskt ser det ut så här:

Eftersom vi löser en kvadratisk olikhet med ≤-tecknet, kommer dess lösning att vara de intervall på vilka parabeln är under Ox-axeln, samt abskissan för tangentpunkten. Från ritningen är det tydligt att det inte finns ett enda gap där parabeln skulle vara under Ox-axeln, så dess lösning blir endast abskissan för tangentpunkten, det vill säga 0,7.

Svar:

denna ojämlikhet har en unik lösning 0,7.

Exempel.

Lös den kvadratiska olikheten –x 2 +8 x−16<0 .

Lösning.

Vi följer algoritmen för att lösa kvadratiska ojämlikheter och börjar med att konstruera en graf. Parabolens grenar är riktade nedåt, eftersom koefficienten för x 2 är negativ, −1. Låt oss hitta diskriminanten för kvadrattrinomialet –x 2 +8 x−16, vi har D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 och vidare x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Så, parabeln rör vid Ox-axeln vid abskisspunkt 4. Låt oss göra ritningen:

Vi tittar på tecknet på den ursprungliga ojämlikheten, det finns där<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

I vårt fall är dessa öppna strålar (−∞, 4), (4, +∞) . Separat noterar vi att 4 - kontaktpunktens abskiss - inte är en lösning, eftersom parabeln vid kontaktpunkten inte är lägre än Ox-axeln.

Svar:

(−∞, 4)∪(4, +∞) eller i en annan notation x≠4 .

Var särskilt uppmärksam på fall där diskriminanten för det kvadratiska trinomialet på vänstra sidan av den kvadratiska olikheten är mindre än noll. Det finns ingen anledning att rusa här och säga att ojämlikheten inte har några lösningar (vi är vana vid att göra en sådan slutsats för andragradsekvationer med en negativ diskriminant). Poängen är att den kvadratiska ojämlikheten för D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Exempel.

Hitta lösningen på den kvadratiska olikheten 3 x 2 +1>0.

Lösning.

Som vanligt börjar vi med en ritning. Koefficienten a är 3, den är positiv, därför är parabelns grenar riktade uppåt. Vi beräknar diskriminanten: D=0 2 −4·3·1=−12 . Eftersom diskriminanten är negativ har parabeln inga gemensamma punkter med Ox-axeln. Den erhållna informationen är tillräcklig för en schematisk graf:

Vi löser en strikt kvadratisk ojämlikhet med ett >-tecken. Dess lösning kommer att vara alla intervall där parabeln är ovanför Ox-axeln. I vårt fall är parabeln ovanför x-axeln längs hela dess längd, så den önskade lösningen kommer att vara mängden av alla reella tal.

Ox , och även till dem måste du lägga till abskissan för skärningspunkterna eller abskissan för tangenspunkten. Men ritningen visar tydligt att det inte finns några sådana luckor (eftersom parabeln är överallt under abskissaxeln), precis som det inte finns några skärningspunkter, och det finns inga tangenspunkter. Därför har den ursprungliga kvadratiska ojämlikheten inga lösningar.

Svar:

inga lösningar eller i en annan post ∅.

Referenser.

• Algebra: lärobok för 8:e klass. allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9:e klass: pedagogiskt. för allmänbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; redigerad av S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M.: Utbildning, 2009. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A.G. Algebra. 8:e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A.G. Algebra. 9:e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13:e uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A.G. Algebra och början av matematisk analys. 11:e klass. Om 2 timmar Del 1. Lärobok för studenter vid allmänna utbildningsinstitutioner (profilnivå) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2:a uppl., raderad. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Grafisk lösning av ekvationer

Hejsdag, 2009

Introduktion

Behovet av att lösa andragradsekvationer i antiken orsakades av behovet av att lösa problem relaterade till att hitta markområdena och med militärt utgrävningsarbete, samt med utvecklingen av astronomi och matematik i sig. Babylonierna kunde lösa andragradsekvationer omkring 2000 f.Kr. Regeln för att lösa dessa ekvationer, som anges i de babyloniska texterna, sammanfaller i huvudsak med moderna, men det är inte känt hur babylonierna kom fram till denna regel.

Formler för att lösa andragradsekvationer i Europa presenterades först i Abacus bok, skriven 1202 av den italienske matematikern Leonardo Fibonacci. Hans bok bidrog till spridningen av algebraisk kunskap inte bara i Italien, utan även i Tyskland, Frankrike och andra europeiska länder.

Men den allmänna regeln för att lösa andragradsekvationer, med alla möjliga kombinationer av koefficienterna b och c, formulerades i Europa först 1544 av M. Stiefel.

År 1591 Francois Viet introducerade formler för att lösa andragradsekvationer.

I det antika Babylon kunde de lösa vissa typer av andragradsekvationer.

Diophantus av Alexandria Och Euklid, Al-Khwarizmi Och Omar Khayyam löst ekvationer med geometriska och grafiska metoder.

I 7:an studerade vi funktioner y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, i 8:e klass - y = √x, y =|x|, y =yxa2 + bx+ c, y =k/ x. I 9:e årskurs algebra-lärobok såg jag funktioner som ännu inte var kända för mig: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– a) 2 + (y –b) 2 = r 2 och andra. Det finns regler för att konstruera grafer för dessa funktioner. Jag undrade om det fanns andra funktioner som följer dessa regler.

Mitt jobb är att studera funktionsgrafer och lösa ekvationer grafiskt.

1. Vilka är funktionerna?

Grafen för en funktion är uppsättningen av alla punkter i koordinatplanet, vars abskiss är lika med värdena för argumenten, och ordinaterna är lika med motsvarande värden för funktionen.

Den linjära funktionen ges av ekvationen y =kx+ b, Var k Och b- några siffror. Grafen för denna funktion är en rät linje.

Omvänd proportionell funktion y =k/ x, där k ¹ 0. Grafen för denna funktion kallas en hyperbel.

Fungera (x– a) 2 + (y –b) 2 = r2 , Var A, b Och r- några siffror. Grafen för denna funktion är en cirkel med radien r med centrum i punkten A ( A, b).

Kvadratisk funktion y= yxa2 + bx+ c Där A,b, Med– några siffror och A¹ 0. Grafen för denna funktion är en parabel.

Ekvation på2 (a– x) = x2 (a+ x) . Grafen för denna ekvation kommer att vara en kurva som kallas en strofoid.

/>Ekvation (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Grafen för denna ekvation kallas Bernoullis lemniscat.

Ekvation. Grafen för denna ekvation kallas en astroid.

Kurva (x2 y2 – 2 yxa)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Denna kurva kallas en kardioid.

Funktioner: y =x 3 - kubisk parabel, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Begreppet en ekvation och dess grafiska lösning

Ekvation– ett uttryck som innehåller en variabel.

Lös ekvationen– det innebär att hitta alla dess rötter, eller bevisa att de inte finns.

Roten till ekvationenär ett tal som, när det sätts in i en ekvation, ger en korrekt numerisk likhet.

Lösa ekvationer grafiskt låter dig hitta det exakta eller ungefärliga värdet på rötterna, låter dig hitta antalet rötter i ekvationen.

När man konstruerar grafer och löser ekvationer används egenskaperna hos en funktion, varför metoden ofta kallas för funktionell-grafisk.

För att lösa ekvationen "delar" vi den i två delar, introducerar två funktioner, bygger deras grafer och hittar koordinaterna för grafernas skärningspunkter. Abskissorna för dessa punkter är rötterna till ekvationen.

3. Algoritm för att rita en funktionsgraf

Att känna till grafen för en funktion y =f(x) , kan du bygga grafer över funktioner y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Och y =f(x+ m)+ l. Alla dessa grafer erhålls från grafen för funktionen y =f(x) använder parallell bärtransformation: till │ m│ skalenheter till höger eller vänster längs x-axeln och vidare │ l│ skalenheter upp eller ner längs en axel y.

4. Grafisk lösning av andragradsekvationen

Med hjälp av en andragradsfunktion som exempel kommer vi att överväga den grafiska lösningen av en andragradsekvation. Grafen för en kvadratisk funktion är en parabel.

Vad visste de gamla grekerna om parabeln?

Modern matematisk symbolik har sitt ursprung på 1500-talet.

De antika grekiska matematikerna hade varken koordinatmetoden eller funktionsbegreppet. Ändå studerade de parabelns egenskaper i detalj. Forntida matematikers uppfinningsrikedom är helt enkelt fantastisk - trots allt kunde de bara använda ritningar och verbala beskrivningar av beroenden.

Mest fullständigt utforskade parabeln, hyperbeln och ellipsen Apollonius av Perga, som levde på 300-talet f.Kr. Han gav dessa kurvor namn och angav vilka villkor punkterna som ligger på den eller den kurvan uppfyller (det fanns trots allt inga formler!).

Det finns en algoritm för att konstruera en parabel:

Hitta koordinaterna för spetsen på parabeln A (x0; y0): X=- b/2 a;

y0=axo2+in0+s;

Hitta symmetriaxeln för parabeln (rät linje x=x0);

PAGE_BREAK--

Vi sammanställer en värdetabell för att konstruera kontrollpunkter;

Vi konstruerar de resulterande punkterna och konstruerar punkter som är symmetriska till dem i förhållande till symmetriaxeln.

1. Med hjälp av algoritmen kommer vi att konstruera en parabel y= x2 – 2 x– 3 . Abskiss av skärningspunkter med axeln x och det finns rötter till andragradsekvationen x2 – 2 x– 3 = 0.

Det finns fem sätt att lösa denna ekvation grafiskt.

2. Låt oss dela upp ekvationen i två funktioner: y= x2 Och y= 2 x+ 3

3. Låt oss dela upp ekvationen i två funktioner: y= x2 –3 Och y=2 x. Rötterna till ekvationen är abskissorna för skärningspunkterna mellan parabeln och linjen.

4. Transformera ekvationen x2 – 2 x– 3 = 0 genom att isolera en komplett kvadrat i funktioner: y= (x–1) 2 Och y=4. Rötterna till ekvationen är abskissorna för skärningspunkterna mellan parabeln och linjen.

5. Dela ekvationens båda sidor efter term x2 – 2 x– 3 = 0 på x, vi får x– 2 – 3/ x= 0 , låt oss dela upp denna ekvation i två funktioner: y= x– 2, y= 3/ x. Rötterna till ekvationen är abskissorna för skärningspunkterna mellan linjen och hyperbeln.

5. Grafisk lösning av gradekvationern

Exempel 1. Lös ekvationen x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Svar: x = 1.

Exempel 2. Lös ekvationen 3 √ x= 10 – x.

Rötterna till denna ekvation är abskissan för skärningspunkten för graferna för två funktioner: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Svar: x = 8.

Slutsats

Efter att ha tittat på graferna för funktionerna: y =yxa2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Jag märkte att alla dessa grafer är byggda enligt regeln för parallell translation i förhållande till axlarna x Och y.

Med hjälp av exemplet att lösa en andragradsekvation kan vi dra slutsatsen att den grafiska metoden även är tillämplig för ekvationer av grad n.

Grafiska metoder för att lösa ekvationer är vackra och begripliga, men ger ingen 100% garanti för att lösa någon ekvation. Abskissorna för grafernas skärningspunkter kan vara ungefärliga.

I 9:an och på gymnasiet kommer jag att fortsätta bekanta mig med andra funktioner. Jag är intresserad av att veta om dessa funktioner följer reglerna för parallell överföring när de konstruerar sina grafer.

Nästa år skulle jag också vilja överväga frågorna om att grafiskt lösa system av ekvationer och ojämlikheter.

Litteratur

1. Algebra. 7:e klass. Del 1. Lärobok för läroanstalter / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8:e klass. Del 1. Lärobok för läroanstalter / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9:e klass. Del 1. Lärobok för läroanstalter / A.G. Mordkovich. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Matematikens historia i skolan. VII–VIII betyg. – M.: Utbildning, 1982.

5. Tidskriftsmatematik nr 5 2009; nr 8 2007; nr 23 2008.

6. Grafisk lösning av ekvationswebbplatser på Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; sida 3–6.htm.

Ministeriet för utbildning och ungdomspolitik i Stavropol-territoriet

Statens budgetmässiga professionella utbildningsinstitution

Georgievsk Regional College "Integral"

INDIVIDUELLT PROJEKT

I disciplinen "Matematik: algebra, principer för matematisk analys, geometri"

På ämnet: "Grafisk lösning av ekvationer och ojämlikheter"

Slutförd av en student i grupp PK-61, studerar i specialitet

"Programmering i datorsystem"

Zeller Timur Vitalievich

Chef: lärare Serkova N.A.

Leveransdatum:" " 2017

Försvarsdatum:" " 2017

Georgievsk 2017

FÖRKLARANDE ANMÄRKNING

PROJEKTMÅL:

Mål: Ta reda på fördelarna med den grafiska metoden för att lösa ekvationer och ojämlikheter.

Uppgifter:

Jämför de analytiska och grafiska metoderna för att lösa ekvationer och ojämlikheter.

Ta reda på i vilka fall den grafiska metoden har fördelar.

Överväg att lösa ekvationer med modul och parameter.

Studiens relevans: Analys av materialet som ägnas åt den grafiska lösningen av ekvationer och ojämlikheter i läroböckerna "Algebra och början av matematisk analys" av olika författare, med hänsyn till målen med att studera detta ämne. Samt obligatoriska lärandemål relaterade till ämnet som behandlas.

Innehåll

Introduktion

1. Ekvationer med parametrar

1.1. Definitioner

1.2. Lösningsalgoritm

1.3. Exempel

2. Ojämlikheter med parametrar

2.1. Definitioner

2.2. Lösningsalgoritm

2.3. Exempel

3. Använda grafer för att lösa ekvationer

3.1. Grafisk lösning av en andragradsekvation

3.2. Ekvationssystem

3.3. Trigonometriska ekvationer

4. Tillämpning av grafer för att lösa ojämlikheter

5. Slutsats

6. Referenser

Introduktion

Studiet av många fysiska processer och geometriska mönster leder ofta till att lösa problem med parametrar. Vissa universitet inkluderar även ekvationer, ojämlikheter och deras system i tentamen, som ofta är mycket komplexa och kräver en icke-standardiserad lösning. I skolan beaktas denna en av de svåraste delarna av matematikkursen i skolan endast i ett fåtal valfria klasser.

När jag förberedde detta arbete satte jag upp målet för en djupare studie av detta ämne, och identifierade den mest rationella lösningen som snabbt leder till ett svar. Enligt min mening är den grafiska metoden ett bekvämt och snabbt sätt att lösa ekvationer och olikheter med parametrar.

Mitt projekt undersöker ofta förekommande typer av ekvationer, ojämlikheter och deras system.

1. Ekvationer med parametrar

1. Grundläggande definitioner

Tänk på ekvationen

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

där a, b, c, …, k, x är variabla storheter.

Alla system av variabelvärden

a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

där både vänster och höger sida av denna ekvation tar reella värden kallas ett system av tillåtna värden för variablerna a, b, c, ..., k, x. Låt A vara mängden av alla tillåtna värden av a, B vara mängden av alla tillåtna värden av b, etc., X vara mängden av alla tillåtna värden av x, dvs. aA, bB, …, xX. Om vi ​​för var och en av mängderna A, B, C, …, K väljer och fixerar ett värde a, b, c, …, k och ersätter dem med ekvation (1), då får vi en ekvation för x, dvs. ekvation med en okänd.

Variablerna a, b, c, ..., k, som anses vara konstanta när man löser en ekvation, kallas parametrar, och själva ekvationen kallas en ekvation som innehåller parametrar.

Parametrarna betecknas med de första bokstäverna i det latinska alfabetet: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, och de okända betecknas med bokstäverna x, y, z.

Att lösa en ekvation med parametrar innebär att ange vid vilka värden av parametrarna lösningar finns och vad de är.

Två ekvationer som innehåller samma parametrar kallas ekvivalenta om:

a) de är meningsfulla för samma parametervärden;

b) varje lösning av den första ekvationen är en lösning till den andra och vice versa.

1. Lösningsalgoritm

Hitta ekvationens definitionsdomän.

Vi uttrycker a som en funktion av x.

I xOa-koordinatsystemet konstruerar vi en graf av funktionen a=(x) för de värden på x som ingår i definitionsdomänen för denna ekvation.

Vi hittar skärningspunkterna för den räta linjen a=c, där c(-;+) med grafen för funktionen a=(x) Om den räta linjen a=c skär grafen a=(). x), då bestämmer vi skärningspunkternas abskiss. För att göra detta räcker det att lösa ekvationen a=(x) för x.

Vi skriver ner svaret.

1. Exempel

I. Lös ekvationen

(1)

Lösning.

Eftersom x=0 inte är en rot av ekvationen, kan ekvationen lösas för en:

eller

Grafen för en funktion är två "limmade" hyperboler. Antalet lösningar till den ursprungliga ekvationen bestäms av antalet skärningspunkter för den konstruerade linjen och den räta linjen y=a.

Om a  (-;-1](1;+) , så skär den räta linjen y=a grafen för ekvation (1) vid en punkt. Vi hittar abskissan för denna punkt när vi löser ekvationen för x.

På detta intervall har således ekvation (1) en lösning.

Om a , så skär den räta linjen y=a grafen för ekvation (1) vid två punkter. Abskissorna för dessa punkter kan hittas från ekvationerna och vi får

Och.

Om a  så skär den räta linjen y=a inte grafen för ekvation (1), därför finns det inga lösningar.

Svar:

Om en  (-;-1](1;+), då;

Om en , då;

Om ett  finns det inga lösningar.

II. Hitta alla värden för parametern a som ekvationen har tre olika rötter för.

Lösning.

Efter att ha skrivit om ekvationen i formen och övervägt ett par funktioner kan du märka att de önskade värdena för parametern a och endast de kommer att motsvara de positioner i funktionsgrafen där den har exakt tre skärningspunkter med funktionsdiagram.

I xOy-koordinatsystemet kommer vi att konstruera en graf över funktionen). För att göra detta kan vi representera det i formuläret och efter att ha övervägt fyra uppkomna fall skriver vi denna funktion i formuläret

Eftersom grafen för en funktion är en rät linje som har en lutningsvinkel mot Ox-axeln lika med och skär Oy-axeln i en punkt med koordinater (0, a), drar vi slutsatsen att de tre angivna skärningspunkterna endast kan erhållas i fallet när denna linje rör vid grafen för funktionen. Därför hittar vi derivatan

Svar: .

III. Hitta alla värden för parametern a, för var och en av dessa ekvationssystemet

har lösningar.

Lösning.

Från den första ekvationen i systemet som vi får vid. Därför definierar denna ekvation en familj av "semi-paraboler" - parabelns högra grenar "glider" med sina hörn längs abskissaxeln.

Låt oss välja kompletta rutor på vänster sida av den andra ekvationen och faktorisera den

Uppsättningen av punkter i planet som uppfyller den andra ekvationen är två räta linjer

Låt oss ta reda på vilka värden av parametern a en kurva från familjen "semiparabolas" har minst en gemensam punkt med en av de resulterande raka linjerna.

Om semiparabolernas hörn är till höger om punkt A, men till vänster om punkt B (punkt B motsvarar vertexen på "semiparabolen" som berör

rät linje), så har graferna i fråga inte gemensamma punkter. Om spetsen på "semiparabola" sammanfaller med punkt A, då.

Vi bestämmer fallet med en "semiparabola" som rör en linje från villkoret för existensen av en unik lösning till systemet

I det här fallet, ekvationen

har en rot, varifrån vi finner:

Följaktligen har det ursprungliga systemet inga lösningar vid, men vid eller har åtminstone en lösning.

Svar: a  (-;-3] (;+).

IV. Lös ekvationen

Lösning.

Med hjälp av likhet skriver vi om den givna ekvationen i formuläret

Denna ekvation är ekvivalent med systemet

Vi skriver om ekvationen i formen

. (*)

Den sista ekvationen är lättast att lösa med hjälp av geometriska överväganden. Låt oss konstruera grafer för funktionerna och Av grafen följer att graferna inte skär varandra och därför har ekvationen inga lösningar.

Om, då när graferna för funktionerna sammanfaller och därför alla värden är lösningar till ekvationen (*).

När graferna skär varandra vid en punkt, vars abskiss är. Således, när ekvation (*) har en unik lösning - .

Låt oss nu undersöka vid vilka värden av de hittade lösningarna till ekvationen (*) kommer att uppfylla villkoren

Låt det vara då. Systemet kommer att ta formen

Dess lösning blir intervallet x (1;5). Med tanke på det kan vi dra slutsatsen att om den ursprungliga ekvationen är uppfylld av alla värden på x från intervallet, är den ursprungliga olikheten ekvivalent med den korrekta numeriska olikheten 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

På integralen (1;+∞) får vi återigen den linjära olikheten 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Samma resultat kan dock erhållas från visuella och samtidigt strikta geometriska överväganden. Figur 7 visar funktionsdiagrammen:y= f( x)=| x-1|+| x+1| Ochy=4.

Bild 7.

På integralgrafen (-2;2) för funktioneny= f(x) ligger under grafen för funktionen y=4, vilket betyder att olikhetenf(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Ojämlikheter med parametrar.

Att lösa ojämlikheter med en eller flera parametrar är som regel en mer komplex uppgift jämfört med ett problem där det inte finns några parametrar.

Till exempel kräver olikheten √a+x+√a-x>4, som innehåller parametern a, naturligtvis mycket mer ansträngning att lösa än olikheten √1+x + √1-x>1.

Vad innebär det att lösa den första av dessa ojämlikheter? Detta innebär i huvudsak att lösa inte bara en olikhet, utan en hel klass, en hel uppsättning ojämlikheter som erhålls om vi ger parametern ett specifikt numeriskt värde. Den andra av de skrivna olikheterna är ett specialfall av den första, eftersom den erhålls från den med värdet a = 1.

Att lösa en ojämlikhet innehållande parametrar innebär alltså att bestämma vid vilka värden av parametrarna ojämlikheten har lösningar och för alla sådana parametervärden att hitta alla lösningar.

Exempel 1:

Lös ojämlikheten |x-a|+|x+a|< b, a<>0.

För att lösa denna ojämlikhet med två parametrara u bLåt oss använda geometriska överväganden. Figurerna 8 och 9 visar funktionsdiagrammen.

Y= f(x)=| x- a|+| x+ a| u y= b.

Det är uppenbart att närb<=2| a| rakty= bpasserar inte över kurvans horisontella segmenty=| x- a|+| x+ a| och därför har ojämlikheten i detta fall inga lösningar (Figur 8). Omb>2| a|, sedan radeny= bskär grafen för en funktiony= f(x) vid två punkter (-b/2; b) u (b/2; b)(Figur 6) och ojämlikheten i detta fall gäller för –b/2< x< b/2, eftersom för dessa värden av variabeln kurvany=| x+ a|+| x- a| ligger under den raka linjeny= b.

Svar: Omb<=2| a| , då finns det inga lösningar,

Omb>2| a|, dåx €(- b/2; b/2).

III) Trigonometriska ojämlikheter:

Vid lösning av ojämlikheter med trigonometriska funktioner används i huvudsak periodiciteten för dessa funktioner och deras monotoni på motsvarande intervall. De enklaste trigonometriska ojämlikheterna. Fungerasynd xhar en positiv period på 2π. Därför ojämlikheter i formen:sin x>a, sin x>=a,

synd x

Det räcker med att först lösa något segment av längd 2π . Vi erhåller mängden av alla lösningar genom att lägga till var och en av lösningarna som finns på detta segment nummer i formen 2π p, pЄZ.

Exempel 1: Lös ojämlikhetsynd x>-1/2.(Figur 10)

Låt oss först lösa denna olikhet på intervallet [-π/2;3π/2]. Låt oss betrakta dess vänstra sida - segmentet [-π/2;3π/2]. Här är ekvationensynd x=-1/2 har en lösning x=-π/6; och funktionensynd xökar monotont. Detta betyder att om –π/2<= x<= -π/6, то synd x<= synd(- π /6)=-1/2, dvs. dessa värden på x är inte lösningar på ojämlikheten. Om –π/6<х<=π/2 то synd x> synd(-π/6) = –1/2. Alla dessa värden på x är inte lösningar på ojämlikheten.

På det återstående segmentet [π/2;3π/2] funktionensynd xekvationen minskar också monotontsynd x= -1/2 har en lösning x=7π/6. Därför, om π/2<= x<7π/, то synd x> synd(7π/6)=-1/2, dvs. alla dessa värden på x är lösningar på ojämlikheten. FörxDet har visynd x<= synd(7π/6)=-1/2, dessa värden på x är inte lösningar. Således är mängden av alla lösningar på denna olikhet på intervallet [-π/2;3π/2] integralen (-π/6;7π/6).

På grund av funktionens periodicitetsynd xmed en period av 2π värden på x från valfri integral av formen: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, är också lösningar på ojämlikheten. Inga andra värden på x är lösningar på denna ojämlikhet.

Svar: -π/6+2πn< x<7π/6+2π n, VarnЄ Z.

Slutsats

Vi tittade på den grafiska metoden för att lösa ekvationer och ojämlikheter; Vi tittade på specifika exempel, vars lösning använde sådana egenskaper hos funktioner som monotoni och paritet.Analys av vetenskaplig litteratur och matematikläroböcker gjorde det möjligt att strukturera det valda materialet i enlighet med studiens mål, välja ut och utveckla effektiva metoder för att lösa ekvationer och ojämlikheter. Uppsatsen presenterar en grafisk metod för att lösa ekvationer och ojämlikheter samt exempel där dessa metoder används. Resultatet av projektet kan betraktas som kreativa uppgifter, som hjälpmaterial för att utveckla färdigheten att lösa ekvationer och ojämlikheter med den grafiska metoden.

Lista över begagnad litteratur

Dalinger V. A. "Geometri hjälper algebra." Förlaget "Skola - Press". Moskva 1996

Dalinger V. A. "Allt för att säkerställa framgång i slut- och inträdesprov i matematik." Förlag för Omsk Pedagogical University. Omsk 1995

Okunev A. A. "Grafisk lösning av ekvationer med parametrar." Förlaget "Skola - Press". Moskva 1986

Pismensky D. T. "Matematik för gymnasieelever." Förlaget "Iris". Moskva 1996

Yastribinetsky G. A. "Ekvationer och olikheter som innehåller parametrar." Förlaget "Prosveshcheniye". Moskva 1972

G. Korn och T. Korn "Handbok i matematik." Förlaget "Science" fysisk och matematisk litteratur. Moskva 1977

Amelkin V.V. och Rabtsevich V.L. Förlaget "Asar". Minsk 1996

Internetresurser

Den grafiska metoden är en av huvudmetoderna för att lösa kvadratiska ojämlikheter. I artikeln kommer vi att presentera en algoritm för att använda den grafiska metoden och sedan överväga specialfall med hjälp av exempel.

Kärnan i den grafiska metoden

Metoden är tillämpbar för att lösa alla ojämlikheter, inte bara kvadratiska. Dess kärna är detta: höger och vänster sida av olikheten betraktas som två separata funktioner y = f (x) och y = g (x), deras grafer plottas i ett rektangulärt koordinatsystem och titta på vilken av graferna som är ligger ovanför den andra, och på vilka intervaller. Intervallerna bedöms enligt följande:

Definition 1

• lösningar till olikheten f (x) > g (x) är intervall där grafen för funktionen f är högre än grafen för funktionen g;
• lösningar på olikheten f (x) ≥ g (x) är intervall där grafen för funktionen f inte är lägre än grafen för funktionen g;
• lösningar på ojämlikheten f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• lösningar till olikheten f (x) ≤ g (x) är intervall där grafen för funktionen f inte är högre än grafen för funktionen g;
• Abskissorna för skärningspunkterna för graferna för funktionerna f och g är lösningar till ekvationen f (x) = g (x).

Låt oss titta på ovanstående algoritm med ett exempel. För att göra detta, ta den kvadratiska olikheten a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) och härleda två funktioner från den. Den vänstra sidan av olikheten kommer att motsvara y = a · x 2 + b · x + c (i detta fall f (x) = a · x 2 + b · x + c), och den högra sidan y = 0 ( i detta fall g (x) = 0).

Grafen för den första funktionen är en parabel, den andra är en rät linje, som sammanfaller med x-axeln O x. Låt oss analysera parabelns position i förhållande till O x-axeln. För att göra detta, låt oss göra en schematisk ritning.

Parabolens grenar är riktade uppåt. Den skär O x-axeln i punkter x 1 Och x 2. Koefficient a i detta fall är positiv, eftersom det är den som är ansvarig för riktningen av parabelns grenar. Diskriminanten är positiv, vilket indikerar att det kvadratiska trinomialet har två rötter a x 2 + b x + c. Vi betecknar trinomialets rötter som x 1 Och x 2, och det accepterades det x 1< x 2 , eftersom en punkt med en abskissa är avbildad på O x-axeln x 1 till vänster om abskisspunkten x 2.

Delarna av parabeln som ligger ovanför O x-axeln kommer att betecknas i rött, under - i blått. Detta gör att vi kan göra ritningen mer visuell.

Låt oss välja mellanrummen som motsvarar dessa delar och markera dem i bilden med fält av en viss färg.

Vi markerade med rött intervallen (− ∞, x 1) och (x 2, + ∞), på dem är parabeln ovanför O x-axeln. De är a · x 2 + b · x + c > 0. Vi markerade i blått intervallet (x 1 , x 2), som är lösningen på olikheten a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Låt oss göra en kort sammanfattning av lösningen. För a > 0 och D = b 2 − 4 a c > 0 (eller D " = D 4 > 0 för en jämn koefficient b) får vi:

• lösningen på den kvadratiska olikheten a x 2 + b x + c > 0 är (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) eller i en annan notation x< x 1 , x >x2;
• lösningen på den kvadratiska olikheten a · x 2 + b · x + c ≥ 0 är (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) eller i en annan notation x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• lösa den kvadratiska olikheten a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• lösningen på den kvadratiska olikheten a x 2 + b x + c ≤ 0 är [ x 1 , x 2 ] eller i en annan notation x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

där x 1 och x 2 är rötterna till kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c, och x 1< x 2 .

I denna figur berör parabeln O x-axeln endast vid en punkt, som betecknas som x 0 a > 0. D=0, därför har kvadrattrinomialet en rot x 0.

Parabeln är placerad ovanför O x-axeln helt, med undantag för koordinataxelns tangenspunkt. Låt oss färglägga intervallen (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Låt oss skriva ner resultaten. På a > 0 Och D=0:

• lösa den kvadratiska ojämlikheten a x 2 + b x + c > 0är (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) eller i en annan notation x ≠ x 0;
• lösa den kvadratiska ojämlikheten a x 2 + b x + c ≥ 0är (− ∞ , + ∞) eller i en annan notation x ∈ R;
• kvadratisk ojämlikhet a x 2 + b x + c< 0 har inga lösningar (det finns inga intervall där parabeln är belägen under axeln O x);
• kvadratisk ojämlikhet a x 2 + b x + c ≤ 0 har en unik lösning x = x 0(det ges av kontaktpunkten),

Där x 0- roten av kvadrattrinomialet a x 2 + b x + c.

Låt oss överväga det tredje fallet, när parabelns grenar är riktade uppåt och inte vidrör axeln O x. Parabolens grenar är riktade uppåt, vilket betyder att a > 0. Det kvadratiska trinomiumet har inga egentliga rötter eftersom D< 0 .

Det finns inga intervall på grafen där parabeln skulle vara under x-axeln. Vi kommer att ta hänsyn till detta när vi väljer en färg för vår ritning.

Det visar sig att när a > 0 Och D< 0 lösa kvadratiska ojämlikheter a x 2 + b x + c > 0 Och a x 2 + b x + c ≥ 0är mängden av alla reella tal och ojämlikheterna a x 2 + b x + c< 0 Och a x 2 + b x + c ≤ 0 har inga lösningar.

Vi har tre alternativ kvar att överväga när parabelns grenar är riktade nedåt. Det finns ingen anledning att uppehålla sig vid dessa tre alternativ i detalj, eftersom när vi multiplicerar båda sidor av ojämlikheten med − 1 får vi en ekvivalent olikhet med en positiv koefficient för x 2.

Övervägande av föregående avsnitt av artikeln förberedde oss för uppfattningen av en algoritm för att lösa ojämlikheter med en grafisk metod. För att utföra beräkningar kommer vi att behöva använda en ritning varje gång, som visar koordinatlinjen O x och en parabel som motsvarar den kvadratiska funktionen y = a x 2 + b x + c. I de flesta fall kommer vi inte att avbilda O y-axeln, eftersom den inte behövs för beräkningar och bara kommer att överbelasta ritningen.

För att konstruera en parabel behöver vi veta två saker:

Definition 2

• grenarnas riktning, som bestäms av värdet av koefficienten a;
• förekomsten av skärningspunkter för parabeln och abskissaxeln, vilka bestäms av värdet på diskriminanten för det kvadratiska trinomialet a · x 2 + b · x + c .

Vi kommer att beteckna skärningspunkter och tangens på vanligt sätt när vi löser icke-strikta ojämlikheter och tomma när vi löser strikta.

Genom att ha en färdig ritning kan du gå vidare till nästa steg i lösningen. Det handlar om att bestämma de intervall med vilka parabeln är placerad ovanför eller under O x-axeln. Intervallet och skärningspunkterna är lösningen på den kvadratiska ojämlikheten. Om det inte finns några skärningspunkter eller tangens och det inte finns några intervall, anses det att den ojämlikhet som anges i villkoren för problemet inte har några lösningar.

Låt oss nu lösa flera kvadratiska olikheter med ovanstående algoritm.

Exempel 1

Det är nödvändigt att lösa ojämlikheten 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 grafiskt.

Lösning

Låt oss rita en graf över den kvadratiska funktionen y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Koefficient kl x 2 positivt eftersom det är lika 2 . Detta innebär att parabelns grenar kommer att riktas uppåt.

Låt oss beräkna diskriminanten för det kvadratiska trinomiet 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 för att ta reda på om parabeln har gemensamma punkter med abskissaxeln. Vi får:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Som vi ser är D större än noll, därför har vi två skärningspunkter: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 och x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, det vill säga, x 1 = − 3 Och x 2 = 1 3.

Vi löser en icke strikt ojämlikhet, därför sätter vi vanliga punkter på grafen. Låt oss rita en parabel. Som du kan se har ritningen samma utseende som i den första mallen vi övervägde.

Vår ojämlikhet har tecknet ≤. Därför måste vi markera intervallen på grafen där parabeln ligger under O x-axeln och lägga till skärningspunkter till dem.

Intervallet vi behöver är 3, 1 3. Vi lägger till skärningspunkter till den och får ett numeriskt segment − 3, 1 3. Detta är lösningen på vårt problem. Svaret kan skrivas som dubbel olikhet: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Svar:− 3 , 1 3 eller − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Exempel 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 grafisk metod.

Lösning

Variabelns kvadrat har en negativ numerisk koefficient, så parabelns grenar kommer att riktas nedåt. Låt oss beräkna den fjärde delen av diskriminanten D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Detta resultat säger oss att det kommer att finnas två skärningspunkter.

Låt oss beräkna rötterna till kvadrattrinomialet: x 1 = - 8 + 1 - 1 och x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 och x 2 = 9.

Det visar sig att parabeln skär x-axeln i punkterna 7 Och 9 . Låt oss markera dessa punkter på grafen som tomma, eftersom vi arbetar med strikt ojämlikhet. Efter detta ritar du en parabel som skär O x-axeln vid de markerade punkterna.

Vi kommer att vara intresserade av intervallen vid vilka parabeln är belägen under O x-axeln. Låt oss markera dessa intervall med blått.

Vi får svaret: lösningen på ojämlikheten är intervallen (− ∞, 7), (9, + ∞) .

Svar:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) eller i annan notation x< 7 , x > 9 .

I de fall där diskriminanten för en kvadratisk trinomial är noll, är det nödvändigt att noggrant överväga om abskissan för tangentpunkterna ska inkluderas i svaret. För att fatta rätt beslut är det nödvändigt att ta hänsyn till ojämlikhetstecknet. I strikta ojämlikheter är tangenspunkten för x-axeln inte en lösning på ojämlikheten, men i icke-stränga sådana är den det.

Exempel 3

Lös kvadratisk ojämlikhet 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 grafisk metod.

Lösning

Parabolens grenar kommer i detta fall att riktas uppåt. Det kommer att röra O x-axeln vid punkt 0, 7, sedan

Låt oss plotta funktionen y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Dess grenar är riktade uppåt, eftersom koefficienten vid x 2 positiv, och den berör x-axeln vid x-axelns punkt 0 , 7 , eftersom D " = (− 7) 2 - 10 4, 9 = 0, där x 0 = 7 10 eller 0 , 7 .

Låt oss sätta en punkt och rita en parabel.

Vi löser en icke strikt ojämlikhet med ett tecken ≤. Därför. Vi kommer att vara intresserade av intervallen vid vilka parabeln är belägen under x-axeln och tangenspunkten. Det finns inga intervall i figuren som skulle tillfredsställa våra förutsättningar. Det finns bara en kontaktpunkt 0, 7. Det här är lösningen vi letar efter.

Svar: Ojämlikheten har bara en lösning 0, 7.

Exempel 4

Lös kvadratisk ojämlikhet – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Lösning

Parabolens grenar är riktade nedåt. Diskriminanten är noll. Skärningspunkt x 0 = 4.

Vi markerar tangenspunkten på x-axeln och ritar en parabel.

Vi har att göra med svår ojämlikhet. Följaktligen är vi intresserade av de intervall med vilka parabeln är belägen under O x-axeln. Låt oss markera dem i blått.

Punkten med abskissan 4 är ingen lösning, eftersom parabeln vid den inte är belägen under O x-axeln. Följaktligen får vi två intervall (− ∞ , 4), (4 , + ∞) .

Svar: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) eller i annan notation x ≠ 4 .

Inte alltid med negativt värde diskriminerande ojämlikhet kommer inte att ha några lösningar. Det finns fall då lösningen är mängden av alla reella tal.

Exempel 5

Lös den kvadratiska olikheten 3 x 2 + 1 > 0 grafiskt.

Lösning

Koefficient a är positiv. Diskriminanten är negativ. Parabolens grenar kommer att riktas uppåt. Det finns inga skärningspunkter för parabeln med O x-axeln. Låt oss titta på ritningen.

Vi arbetar med strikt ojämlikhet, som har ett >-tecken. Det betyder att vi är intresserade av de intervall med vilka parabeln befinner sig ovanför x-axeln. Detta är exakt fallet när svaret är mängden av alla reella tal.

Svar:(− ∞, + ∞) eller så x ∈ R.

Exempel 6

Det är nödvändigt att hitta en lösning på ojämlikheten − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 grafiskt.

Lösning

Parabolens grenar är riktade nedåt. Diskriminanten är negativ, därför finns det inga gemensamma punkter mellan parabeln och x-axeln. Låt oss titta på ritningen.

Vi arbetar med en icke strikt olikhet med tecknet ≥, därför är intervallen i vilka parabeln ligger ovanför x-axeln av intresse för oss. Av grafen att döma finns det inga sådana luckor. Det betyder att den ojämlikhet som ges i problemförhållandena inte har några lösningar.

Svar: Inga lösningar.

Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter