Елементи фінансової математики. Початкова грошова сума (справжня, сучасна, поточна, наведена) - величина капіталу, що є на початковий момент часу (або величина капіталу, що вкладається в операцію, що розглядається) Спосіб нарахування пр
Антисипативний спосіб
Антисипативна відсоткова ставка (облікова ставка або антисипативний відсоток) – це відношення суми доходу, нарахованого за певний інтервал, до нарощеної суми, отриманої наприкінці цього періоду. При антисипативному методі нарощена сума, отримана кінці періоду, вважається величиною одержуваного кредиту (позички), яку позичальник зобов'язаний повернути. Отримує він суму, меншу за величину відсоткового доходу кредитора. Отже, відсотковий прибуток (дисконт) нараховується одночасно, тобто. залишається у кредитора. Ця операція називається дисконтуванням за обліковою ставкою, комерційним (банківським) обліком.
Дисконт- Дохід, отриманий за обліковою ставкою, як різниця між величиною кредиту, що повертається, і виданою сумою: D = F - Р.
Прості облікові ставки
Якщо ввести позначення:
d, % - річна облікова ставка відсотків;
d - відносна величина річної облікової ставки;
D - сума процентних грошей (дисконт), що виплачуються за період (рік);
D - загальна сума процентних грошей (дисконт) за період нарахування;
Р - Величина виданої грошової суми;
F - повернена сума (величина позички);
k n - коефіцієнт нарощення;
п - кількість періодів нарахування (років);
d - тривалість періоду нарахування у днях;
К - тривалість року у днях К = 365 (366), то антисипативна відсоткова ставка може бути виражена у вигляді
Тоді при
Тоді (6.20)
приклад.Позика видається на 2 роки за простою обліковою ставкою 10%. Сума, яку отримує позичальник, Р = 4 5000 руб. Визначити повернену суму та величину дисконту.
Дисконт: руб.
Звідси обернена задача.
приклад.Позика видається на 2 роки за простою обліковою ставкою 10%. Розрахуйте суму, яку отримує позичальник, і величину дисконту, якщо потрібно повернути 50 000 руб.
Дисконт: руб.
Якщо період нарахування менше року, то
Звідси, 
приклад.Позика видається на 182 дні звичайного року за простою обліковою ставкою 10%. Сума, яку отримує позичальник, Р = 45 000 руб. Визначте повернену суму.
Складні облікові ставки
Якщо повернення позички відбувається за кілька періодів нарахування, то обчислення доходу може здійснюватися методом складних облікових ставок.
Якщо ввести позначення:
d c , % - річна облікова ставка;
d c - відносна величина річної облікової ставки відсотків;
f - номінальна облікова ставка складних відсотків, яка використовується при поінтервальному нарахуванні дисконту, то при обчисленні нарощеної суми та закінчення першого періоду нарощена сума
Після закінчення другого періоду 
Через п років нарощена сума становитиме. (6.23)
Тоді коефіцієнт нарощення. (6.24)
приклад.Позика видається на 3 роки за складною обліковою ставкою 10%. Сума, яку отримує позичальник, Р = 43 000 руб. Визначте повернену суму та величину дисконту.
п не є цілим числом, то коефіцієнт нарощення можна так:
(6.25)
де п = п ц + d/K - загальна кількість періодів (ліг) нарахування, що складається з цілих та нецілих періодів нарахування; п ц D - кількість днів нецілих (неповного) періоду нарахування; К = 365 (366) – кількість днів на рік; d c - відносна величина річної облікової процентної ставки.
приклад.Позика видається на 3 роки 25 днів за складною обліковою ставкою 10%. Сума, яку отримує позичальник, Р = 45 000 руб. Визначте суму, що повертається, і величину дисконту.
Величина дисконту D = F - Р = 62151 - 45000 = 17151 руб.
Якщо облікова ставка протягом періодів n v ..., n N різна d 1 d 2 , ..., d N , то формула нарощеної суми набуває вигляду
приклад.Позика видається за складною обліковою ставкою 10,9,5,9%. Сума, яку отримує позичальник, Р = 45 000 руб. Визначте повернену суму.
При нарахуванні процентів протягом періоду поінтервально m раз формула нарощеної суми
приклад.Сума, яку отримує позичальник, 10 000 руб. видається на 3 роки, відсотки нараховуються наприкінці кожного кварталу за номінальною ставкою 8% річних. Визначте суму, що повертається.
Якщо кількість періодів нарахування складних відсотків N не є цілим числом, то коефіцієнт нарощення можна подати у вигляді
(6.28)
де п ц - кількість цілих (повних) періодів (років) нарахування; т - кількість інтервалів нарахування у періоді; Р - кількість цілих (повних) інтервалів нарахування, але менше від загальної кількості інтервалів у періоді, тобто. Р<т; d - кількість днів нарахування, але менша за кількість днів в інтервалі нарахування.
приклад.Позика видається на 3 роки 208 днів (183+25 днів) за складною обліковою ставкою 10%. Виплата за півріччя (Т = 2). Сума, яку отримує позичальник, Р = 45 000 руб. Визначте повернену суму та величину дисконту.
Крім того, можна визначити інші параметри:
(6.30)
Зворотне завдання:
приклад.Позика видається на 3 роки за складною обліковою ставкою 10%. Сума, яку необхідно повернути, F= 45 000. Визначте суму, яку отримує позичальник.
Сьогодні недостатньо зробити розрахунок простого відсотка чи складного, жоден банк не використовує в чистому вигляді. Банки вигідніше використовувати як різні види відсоткового розрахунку, а й різні концепції розрахунку, які у своє чергу сильно залежить умов контрактів. Розглянемо основний метод (концепцію) нарахування процентних ставок, це метод декурсивного нарахування відсотків.
На сьогоднішній день це найпоширеніший спосіб нарахування відсотків, який використовується у світовій практиці. Основа даної концепції - "від сьогодення до майбутнього", де після закінчення зазначеного інтервалу часу нараховується відсоток або виплачується нарахований відсоток на базовий депозит. До декурсивного нарахування відсотків застосовують як простий розрахунок відсотка, і ставку нарощення, тобто використовують складний відсотковий розрахунок. Нижче графічне відображення доходу на депозит залежно від обраного методу відсоткового нарахування та його терміну.
Що стосується невеликими відсотковими ставками, декурсивний метод вигідніший позичальнику, ніж кредитору. І цей метод краще застосовувати при короткострокових фінансових операціях. Причому вкладати бажано терміном трохи більше року, з виплатою відсоткових нарахувань наприкінці кожного інтервалу часу. В ідеалі декурсивний метод використовується коли збігається з інтервалом нарахування відсотків. Однак це не означає, що декурсивне нарахування відсотків не можна використовувати у будь-яких інших випадках. Все залежить від домовленості сторін, які беруть участь у фінансовій операції.
Будьте в курсі всіх важливих подій United Traders - передплатіть наш
Концепція оцінки вартості грошей у часіграє основну роль практиці фінансових обчислень. Вона визначає необхідність урахування фактора часу в процесі здійснення будь-яких довгострокових фінансових операцій шляхом оцінки та порівняння вартості грошей на початку фінансування з вартістю грошей при їх поверненні у вигляді майбутнього прибутку.
У процесі порівняння вартості грошових коштів при їх інвестуванні та поверненні прийнято використовувати два основні поняття - майбутня вартість грошей та їхня справжня вартість.
Майбутня вартість грошей (S) - сума інвестованих зараз коштів, на яку вони перетворяться через певний період з урахуванням певної ставки відсотка. Визначення майбутньої вартості грошей пов'язане із процесом нарощення цієї вартості.
Реальна вартість грошей (Р) - сума майбутніх грошових надходжень, наведених з урахуванням певної ставки відсотка (так званої "дисконтної ставки") до цього періоду. Визначення реальної вартості грошей пов'язані з процесом дисконтування цієї вартості.
Існують два способи визначення та нарахування відсотків:
1. Декурсивний спосіб нарахування відсотків. Відсотки нараховуються наприкінці кожного інтервалу нарахування. Їх величина визначається виходячи з величини капіталу, що надається. Декурсивна відсоткова ставка (позиковий відсоток) є виражене у відсотках відношення суми нарахованого за певний інтервал доходу до суми, що є на початок цього інтервалу (Р). У світовій практиці декурсивний спосіб нарахування відсотків набув найбільшого поширення.
2. Антисипативний спосіб(Попередній) нарахування відсотків. Відсотки нараховуються на початку кожного інтервалу нарахування. Сума відсоткових грошей визначається з нарощеної суми. Антисипативна ставка (облікова ставка) є виражене у відсотках відношення суми доходу, що виплачується за певний інтервал, до величини нарощеної суми, отриманої після цього інтервалу (S). У країнах розвиненої ринкової економіки антисипативний метод нарахування відсотків застосовувався зазвичай у періоди високої інфляції.
66. Фінансове планування для підприємства.Управляти – отже передбачити, тобто. прогнозувати, планувати. Тому найважливішим елементом підприємницької господарської діяльності та управління підприємством є планування, у тому числі й фінансове.
Фінансове планування - це планування всіх доходів та напрямів витрачання коштів підприємства для забезпечення його розвитку. Фінансове планування здійснюється за допомогою складання фінансових планів різного змісту та призначення залежно від завдань та об'єктів планування. Фінансове планування є важливим елементом для корпоративного планового процесу. Кожен менеджер, незалежно від своїх функціональних інтересів, повинен бути знайомий з механікою та змістом виконання та контролю фінансових планів, принаймні настільки, наскільки це стосується його діяльності. Основні завдання фінансового планування:
Забезпечення нормального відтворювального процесу є необхідними джерелами фінансування. При цьому велике значення мають цільові джерела фінансування, формування та використання;
Дотримання інтересів акціонерів та інших інвесторів. Бізнес-план, що містить подібне обґрунтування інвестиційного проекту, є для інвесторів основним документом, який стимулює вкладення капіталу;
Гарантія виконання зобов'язань підприємства перед бюджетом та позабюджетними фондами, банками та іншими кредиторами. Оптимальна для цього підприємства структура капіталу приносить максимальний прибуток і максимізує при заданих параметрах платежі до бюджету;
Виявлення резервів та мобілізація ресурсів з метою ефективного використання прибутку та інших доходів, включаючи і позареалізаційні;
Контролює карбованцем за фінансовим станом, платоспроможністю та кредитоспроможністю підприємства.
Мета фінансового планування полягає у ув'язці доходів із необхідними витратами. При перевищенні доходів над витратами сума перевищення надсилається до резервного фонду. При перевищенні витрат над доходами сума нестачі фінансових коштів поповнюється рахунок випуску цінних паперів, отримання кредитів, отримання благодійних внесків тощо.
Методи планування – це конкретні методи та прийоми розрахунків показників. p align="justify"> При плануванні фінансових показників можуть застосовуватися такі методи: нормативний, розрахунково-аналітичний, балансовий, метод оптимізації планових рішень, економіко-математичне моделювання.
Сутність нормативного методу планування фінансових показників полягає в тому, що на основі заздалегідь встановлених норм та техніко-економічних нормативів розраховується потреба господарюючого суб'єкта у фінансових ресурсах та їх джерелах. Такими нормативами є ставки податків, ставки тарифних внесків та зборів, норми амортизаційних відрахувань, нормативи потреби у оборотних коштах та ін.
Сутність розрахунково-аналітичного методу планування фінансових показників полягає в тому, що на основі аналізу досягнутої величини фінансового показника, що приймається за базу, та індексів його зміни у плановому періоді розраховується планова величина цього показника. Даний метод планування широко застосовується у випадках, коли відсутні техніко-економічні нормативи, а взаємозв'язок між показниками може бути побічно, з урахуванням аналізу їх динаміки і зв'язків. В основі цього методу лежить експертна оцінка
Сутність балансового методу планування фінансових показників полягає в тому, що шляхом побудови балансів досягається ув'язування наявних фінансових ресурсів і фактичної потреби в них. Балансовий метод застосовується передусім під час планування розподілу прибутків та інших фінансових ресурсів, планування потреби надходжень коштів у фінансові фонди – фонд накопичення, фонд споживання та інших.
Сутність методу оптимізації планових рішень полягає у розробці кількох варіантів планових розрахунків, для того, щоб вибрати з них найбільш оптимальний.
Сутність економіко-математичного моделювання у плануванні фінансових показників полягає в тому, що воно дозволяє знайти кількісне вираження взаємозв'язків між фінансовими показниками та факторами, що їх визначають. Цей зв'язок виражається через економіко-математичну модель. Економіко-математична модель є точним математичним описом економічного процесу, тобто. опис факторів, що характеризують структуру та закономірності зміни даного економічного явища за допомогою математичних символів та прийомів (рівнянь, нерівностей, таблиць, графіків тощо). Фінансове планування можна класифікувати на перспективне (стратегічне), поточне (річне) та оперативне. Процес стратегічного планування є інструментом, що допомагає у прийнятті управлінських рішень. Його завдання забезпечити нововведення та зміни в організації достатньою мірою. Можна виділити чотири основні види управлінської діяльності у рамках процесу стратегічного планування: розподіл ресурсів; адаптація до зовнішнього середовища; внутрішня координація; організаційне стратегічне передбачення. Система поточного планування фінансової діяльності фірми ґрунтується на розробленій фінансовій стратегії та фінансовій політиці з окремих аспектів фінансової діяльності. Проводиться ув'язування кожного виду вкладень із джерелом фінансування. Для цього зазвичай користуються кошторисами освіти та витрачання фондів коштів. Ці документи необхідні контролю над ходом фінансування найважливіших заходів, вибору оптимальних джерел поповнення фондів і структури вкладення власних ресурсів.
Поточні фінансові плани підприємницької фірми розробляються з урахуванням даних, які характеризують: фінансову стратегію фірми; результати фінансового аналізу за попередній період; плановані обсяги виробництва та реалізації продукції, а також інші економічні показники операційної діяльності фірми; систему розроблених на фірмі норм та нормативів витрат окремих ресурсів; чинну систему оподаткування; чинну систему норм амортизаційних відрахувань; середні ставки кредитного та депозитного відсотків на фінансовому ринку тощо. Оперативне фінансове планування полягає у складанні та використанні плану та звіту про рух грошових коштів. Календар платежів складається на основі реальної інформаційної бази про грошові потоки підприємства. Крім того, на підприємстві повинен складатися касовий план – план обороту готівкових коштів, що відображає надходження та виплати готівки через касу.
Основні поняття та визначення фінансової математики:
Відсотки- Дохід від надання капіталу в борг у різній формі (позички, кредити і т.д.), або від інвестицій виробничого або фінансового характеру.
Початкова грошова сума (справжня, сучасна, поточна, наведена) - величина капіталу, що є на початковий момент часу (або величина капіталу, що вкладається в операцію, що розглядається).
Процентна ставка- Величина, що характеризує інтенсивність нарахування відсотків.
Нарощення (компаудинг)- Збільшення початкової грошової суми за рахунок приєднання нарахованих відсотків.
Нарощена (майбутня) грошова сума– первісна грошова сума разом із нарахованими відсотками.
Дисконтування- Визначення поточного фінансового еквівалента майбутньої грошової суми (приведення майбутньої грошової суми до теперішнього моменту часу).
Коефіцієнт нарощення- Величина, що показує, у скільки разів зріс початковий капітал.
Період нарахування- Період часу, протягом якого нараховуються відсотки. Він може виражатися днями чи роках, бути як цілим, і нецілим числом.
Інтервал нарахування- Мінімальний проміжок часу, після якого нараховуються відсотки. Період нарахування може складатися з одного чи кількох рівних інтервалів нарахування.
Тимчасова база для розрахунку відсотків Т -кількість днів на рік, що береться до розрахунку відсотків. Залежно від способу визначення тривалості фінансової операції розраховується або точний, або звичайний відсоток.
Можливі такі варіанти:
Існує кілька способів нарахування відсотків та, відповідно, кілька видів відсоткових ставок. Залежно від способу нарахування, що застосовується, фінансові результати можуть досить сильно відрізнятися. При цьому різниця буде тим більшою, чим більше капітал, що вкладається, застосована процентна ставка і тривалість періоду нарахування.
Загальне уявлення про різні способи нарахування відсотків дає така схема:
Способи нарахування відсотків |
||||||||||||||||||||||
Декурсивний |
Антисипативний |
|||||||||||||||||||||
|
Прості п/с |
Складні п/с |
Прості п/с |
Складні п/с |
|||||||||||||||||||
|
Нарахуванняn раз на рік |
Безперервні відсотки |
|||||||||||||||||||||
Найбільш поширеним є декурсивнийспосіб нарахування відсотків. За такого способу відсотки Iнараховуються наприкінці кожного інтервалу нарахування. Їх величина визначається виходячи з величини капіталу, що надається P. Декурсивна процентна ставка (позиковий відсоток) iє виражене у відсотках відношення нарахованого за даний інтервал доходу (відсотків) до суми, що є на початок цього інтервалу. Розмір процентної ставки характеризує інтенсивність нарахування відсотків.
Даної операції нарощення відповідає такий математичний вираз:
S = P + I = P + iP = P (1 + i)
Зворотною операцією є операція дисконтування, тобто. визначення поточної величини P, еквівалентної майбутній сумі S:
P = S / (1 + i)
З погляду концепції тимчасової вартості грошей при даній процентній ставці суми Pі Sеквівалентні, можна також сказати, що сума Pє поточним фінансовим еквівалентом майбутньої суми S.
При антисипативному(Попередньому) способі відсотки нараховуються на початку кожного інтервалу нарахування. Сума відсоткових грошей визначається з величини майбутньої грошової суми. Антисипативною процентною ставкою (обліковою ставкою) dбуде виражене у відсотках відношення суми нарахованого доходу до майбутньої грошової суми.
У цьому випадку формула для визначення величини нарощеної суми має такий вигляд:
S = P + I = P / (1 - d)
Відповідно, для операції дисконтування, яка називається в цьому випадку банківський облік:
P = S (1 - d)
Насправді антисипативні відсоткові ставки застосовуються зазвичай в обліку векселів. Отриманий у разі процентний дохід називають дисконтом – знижкою з майбутньої суми.
За обох способів нарахування процентні ставки можуть бути простими, якщо вони застосовуються до однієї і тієї ж первісної грошової суми протягом усього періоду нарахування, та складними, якщо після кожного інтервалу вони застосовуються до суми первісного капіталу та нарахованих за попередні інтервали відсотків.
Формули визначення майбутньої грошової суми за різних варіантів нарахування відсотків за період nроків:
S = P (1 + ni) - для випадку простих декурсивних відсотків
S = P (1 + i) n - для випадку складних декурсивних відсотків
S = P / (1 - nd) - для випадку простих антисипативних відсотків
S = P / (1 - d) n - для випадку складних антисипативних відсотків
Якщо період нарахування виражений у днях, формули простих відсотків набудуть вигляду:
S = P (1 + t/T i)
S = P / (1 – t/T d),
де t - Тривалість періоду нарахування.
Множники, що показують, у скільки разів майбутня грошова сума більша за величину первісного капіталу, називаються коефіцієнтами нарощення. Зворотними до коефіцієнтів нарощення є коефіцієнти дисконтування, що дозволяють визначити поточний фінансовий еквівалент майбутньої грошової суми.
У деяких випадках при аналізі ефективності різних фінансових операцій корисно визначати еквівалентні відсоткові ставки. Еквівалентні процентні ставки- Це такі відсоткові ставки різного виду, застосування яких за однакових початкових умов дає однакові фінансові результати. Під однаковими початковими умовами у разі маються на увазі та сама величина початкового капіталу й рівні періоди нарахування доходу. Виходячи з цього, можна скласти рівняння еквівалентностіі вивести співвідношення для ставок, що розглядаються.
Наприклад, для простих позичкової та облікової ставок такі співвідношення виглядатимуть так:
d = i / (1 + ni); i = d / (1 - nd).
Позична ставка, еквівалентна обліковій, відображає прибутковість відповідної операції обліку та корисна при порівнянні прибутковості та ефективності різних фінансових інструментів.
Облік інфляції у фінансових розрахунках
Інфляція характеризується зниженням купівельної спроможності національної валюти та загальним підвищенням цін. На різних учасників фінансової операції інфляційний процес діє неоднаково. Так, якщо кредитор або інвестор можуть втратити частину запланованого доходу за рахунок знецінення коштів, то позичальник отримує можливість погасити заборгованість грошима зниженої купівельної спроможності.
Щоб уникнути помилок та втрат, інфляційний вплив має враховуватися при плануванні фінансових операцій.
Позначимо через S a суму, купівельна спроможність якої з урахуванням інфляції дорівнює купівельної спроможності суми S відсутність інфляції. Рівнем інфляції a називається відношення між інфляційною зміною деякої величини за певний період та її первісним значенням, виражене у відсотках (у розрахунках використовується відносний показник):
a= (Sa- S) / S 100%
Звідси: Sa = S (1 +a)
Це означає, що з рівні інфляції a, ціни виростають у період (1 + a) раз. Множник (1 + a) називається індексом інфляції I a .
Якщо аналізований період складається з кількох інтервалів, кожному з яких рівень інфляції становить величину a, ціни загалом зростуть у (1 + a) n раз. Загальний результат виражається таким співвідношенням:
Sa= S (1 + a) n
Звідси випливає перший важливий висновок щодо інфляційного процесу:
Інфляційне зростання аналогічне до нарощення початкового капіталу за правилом складних відсотків.Тільки в цьому випадку ми не отримуємо доходу, а втрачаємо його.
Ще одна корисна міркування стосується розрахунку ставки прибутковості, яка могла б компенсувати інфляційні втрати та забезпечити приріст капіталу.
Нехай a – річний рівень інфляції,
i – бажана прибутковість фінансової операції (очищена від впливу інфляції)
i a - ставка прибутковості, що компенсує інфляцію.
Тоді для нарощеної суми S, яка в умовах інфляції перетвориться на суму S a можна записати наступне вираз:
Sa = P (1 + i) (1 + a)
Той самий результат може бути отриманий і іншим способом:
Sa = P (1 + i a)
Прирівнюючи праві частини записаних рівностей отримаємо вираз до розрахунку i a:
ia = i + a + ia
Це відома формула І. Фішера, в якій величина (a + i a) є «інфляційною премією» - необхідною добавкою, яка компенсує вплив інфляції.
Тепер можна сформулювати другий важливий висновок:
Для розрахунку процентної ставки, що компенсує інфляцію, до необхідної норми прибутковості необхідно додати як величину рівня інфляції, а й твірia.
У реальній практиці часто виявляється корисною модифікація даної формули, що дозволяє знайти реальну прибутковість операції в умовах інфляційного підвищення цін:
i = (ia - a) / (1 + a)
Більшість операцій, пов'язаних із вкладенням капіталу, має на увазі в майбутньому не одноразове отримання нарощеної суми, а цілий грошовий потік доходів протягом певного періоду. Основними параметрами, які цікавлять у разі інвестора чи кредитора, є сучасна (наведена) вартість грошового потоку, його майбутня (нарощена) величина, і навіть дохідність фінансової операції.
Будемо використовувати такі позначення:
P – величина вкладеного капіталу,
CF k – величина k-го елемента грошового потоку,
i – ставка дисконтування (зазвичай - складна ставка позикового відсотка),
А - наведена вартість (вартість) грошового потоку,
S – майбутня вартість грошового потоку,
n – кількість елементів грошового потоку.
Наведеною вартістю грошового потоку називається сума всіх його елементів наведених (дисконтованих) до теперішнього часу:
А = CF1/(1+i) + CF2/(1+i)? + … + CF n / (1 + i) n
Аналогічно, майбутня вартість грошового потоку, це сума його нарощених елементів на момент останньої виплати:
S = CF 1 (1 + i) n-1 + CF 2 (1 + i) n-? + … + CF n
Прибутком фінансової операції називається така декурсивна відсоткова ставка, при дисконтуванні за якою наведена вартість грошового потоку доходів збігається з величиною вкладеного капіталу: P = A. Для знаходження такої ставки в загальному випадку доводиться вирішувати рівняння n-го ступеня.
Значення коефіцієнтів нарощення та дисконтування у разі використання складних декурсивних ставок можна знайти у спеціальних таблицях, наведених у додатку.
Для визначення прибутковості короткострокової фінансової операції (менше одного року) зазвичай використовується проста ставка позичкового відсотка, для довгострокової операції – складна.
Нарахування простих ставок застосовується, зазвичай, при короткостроковому кредитуванні.
ВВЕДЕМО ПОЗНАЧЕННЯ:
S – нарощена сума, р.;
P – первісна сума боргу, р.;
i – річна відсоткова ставка (у частках одиниці);
n - термін позички у роках.
Наприкінці першого року нарощена сума боргу становитиме
S1 = P + P i = Р (1 + i);
наприкінці другого року:
S2 = S1 + P i = Р (1 + i) + P i = Р (1 + 2 i); наприкінці третього року:
S3 = S2 + Pi = Р (1+2 i) + Pi = Р (1+3 i) і так далі. Наприкінці терміну n: S1 = Р (1+ ni).
Це формула нарощення за простою ставкою відсотків. Треба пам'ятати, що відсоткову ставку і термін мають відповідати одне одному, тобто. якщо береться річна ставка, то термін має бути виражений у роках (якщо квартальна, то й термін – у кварталах тощо).
Вираз у дужках є коефіцієнтом нарощення за простою ставкою відсотків:
КН = (1+ ni).
Отже,
Si = Р Кн.
Завдання 5.1
Банк видав позику у розмірі 5 млн нар. на півроку за простою ставкою відсотків 12% річних. Визначити суму, що погашається.
РІШЕННЯ:
S = 5 млн. (1 + 0.5 | 0.12) = 5300000 р.
Якщо термін, на який гроші беруться в борг, заданий у днях, нарощена сума дорівнюватиме S = Р (1 + д/К i),
де д – тривалість терміну в днях;
К – число днів на рік.
Величину К називають тимчасовою базою.
Тимчасова база може братися до рівної фактичної тривалості року - 365 або 366 (тоді відсотки називаються точними) або наближеною, що дорівнює 360 дням (тоді це звичайні відсотки).
Значення числа днів, куди гроші взяті у борг, може також визначатися точно чи приблизно. В останньому випадку тривалість будь-якого місяця приймається рівною 30 дням. В обох випадках дата видачі грошей у борг та дата їх повернення вважається за один день.
Завдання 5.2
Банк видав позику у розмірі 200 тис. н. з 12.03 до 25.12 (рік високосний) за ставкою 7% річних. Визначити розмір погашається суми з різними варіантами тимчасової бази при точному і наближеному числі днів позички і дійти невтішного висновку про кращі варіанти з погляду банку та позичальника.
РІШЕННЯ:
Точна кількість днів позики з 12.03. по 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Наближена кількість днів позички:
20+8-30+25=285;
а) Точні відсотки та точну кількість днів позички:
S = 200 000 (1 +289/366 | 0.07) = 211 016 р.;
б) прості відсотки та точну кількість днів позички:
S = 200 000 (1 +289/360 | 0.07) = 211 200;
в) прості відсотки та наближена кількість днів позички:
S = 200 000 (1 +285/360 | 0.07) = 211 044;
г) точні відсотки та наближена кількість днів позички:
S = 200 000 (1 +285/366 | 0.07) = 210 863.
Таким чином, найбільша нарощена сума буде у варіанті б) - прості відсотки з точним числом днів позички, а найменша - у варіанті г) - точні відсотки з наближеним числом днів позички.
Отже, з погляду банку як кредитора кращим є варіант б), і з погляду позичальника - варіант г).
Треба пам'ятати, що кредитору у разі вигідніші звичайні відсотки, а позичальнику - точні (за будь-яких ставках - простих чи складних). У першому випадку нарощена сума завжди більша, а в другому - менше.
Якщо ставки відсотків на різних інтервалах нарахування протягом строку боргу будуть різними, нарощена сума визначається за формулою
N
S = Р (1 + I nt it),
t=1
де N – кількість інтервалів нарахування відсотків;
nt - тривалість t-го інтервалу нарахування;
it - ставка відсотків на t-му інтервалі нарахування.
Завдання 5.3
Банк приймає вклади за простою ставкою відсотків, яка в перший рік становить 10%, а потім кожні півроку збільшується на 2 відсоткові пункти. Визначити розмір вкладу 50 тис. р. н. із відсотками через 3 роки.
Рішення:
S = 50 000 (1 + 0.1 + 0.5 0.12 + 0.5 0.14 + 0.5 0.16 + 0.5 0.18) = 70 000 р.
Використовуючи формулу для нарощеної суми, можна визначити термін позички за інших заданих умов.
Термін позички у роках:
S - P N = .
P i
Визначити термін позички у роках, протягом якого борг 200 тис. р. н. зросте до 250 тис. н. при використанні простої ставки відсотків – 16% річних.
РІШЕННЯ:
(250 000 – 200 000) / (200 000 0.16) = 1.56 (років).
З формули для нарощеної суми можна визначити ставку простих відсотків, і навіть початкову суму боргу.
Вирішити самостійно
Завдання 5.5
При видачі кредиту 600 тис. н. обумовлено, що позичальник поверне через два роки 800 тис. нар. Визначити використану банком величину ставки процентів.
ВІДПОВІДЬ: 17%.
Завдання 5.6
Позика, видана за простою ставкою 15% річних, має бути повернена через 100 днів. Визначити суму, отриману позичальником, і суму відсоткових грошей, отриманих банком, якщо сума, що повертається, повинна становити 500 тис. н. при часовій базі 360 днів.
ВІДПОВІДЬ: 480 000Р.
Операцію перебування початкової суми боргу за відомою погашеною називають дисконтуванням. У широкому значенні термін "дисконтування" означає визначення значення Р вартісної величини на певний момент часу за умови, що в майбутньому вона дорівнюватиме заданому значенню S. Подібні розрахунки називають також приведенням вартісного показника до заданого моменту часу, а значення Р, визначене дисконтуванням,
називають сучасним, чи наведеним, значенням вартісної величини. Дисконтування дозволяє враховувати у вартісних розрахунках фактор часу. Коефіцієнт дисконтування завжди менше одиниці.
Формула дисконтування за простою ставкою відсотків:
P = S/(1+ni), де 1/(1+ni) - коефіцієнт дисконтування.
Ще за темою Декурсивний метод нарахування простих відсотків:
- 1. Концепція та методичний інструментарій оцінки вартості грошей у часі.
- 2.3. Визначення сучасної та майбутньої величини грошових потоків
- Авторське право - Адвокатура - Адміністративне право - Адміністративний процес - Антимонопольно-конкурентне право - Арбітражний (господарський) процес - Аудит - Банківська система - Банківське право - Бізнес - Бухгалтерський облік - Речове право - Державне право та управління - Громадянське право та процес - Грошове звернення, фінанси та кредит - Гроші - Дипломатичне та консульське право - Договірне право - Житлове право - Земельне право - Виборче право - Інвестиційне право - Інформаційне право - Виконавче провадження - Історія держави та права - Історія політичних та правових навчань - Конкурсне право - Конституційне право - Корпоративне право - Криміналістика - Кримінологія -
