Elementos de las matemáticas financieras. Cantidad inicial de dinero (presente, moderno, actual, reducido): la cantidad de capital disponible en el momento inicial (o la cantidad de capital invertido en la transacción en cuestión) Método de cálculo pr
Método antisipativo
La tasa de interés anticipada (tasa de descuento o interés anticipado) es la relación entre el monto de los ingresos acumulados durante un intervalo determinado y el monto acumulado recibido al final de este período. Con el método anticipado, el monto acumulado recibido al final del período se considera el monto del crédito recibido (préstamo), que el prestatario está obligado a reembolsar. Recibe una cantidad menor que los ingresos por intereses del prestamista. Por lo tanto, los ingresos por intereses (descuento) se acumulan inmediatamente, es decir, permanece en manos del prestamista. Esta operación se denomina descuento a tasa de descuento, contabilidad comercial (bancaria).
Descuento- ingresos recibidos a la tasa de descuento, como diferencia entre el monto del préstamo reembolsado y el monto emitido: D = F - r.
Tasas de descuento simples
Si ingresa la notación:
d, % - tasa de descuento anual;
d- valor relativo de la tasa de descuento anual;
D- la cantidad de intereses (descuento) pagados durante el período (año);
D- la cantidad total de intereses (descuento) durante todo el período de acumulación;
R - la cantidad de dinero emitida;
F- monto devuelto (monto del préstamo);
kn - factor de aumento;
PAG - número de períodos de acumulación (años);
d- duración del período de acumulación en días;
A - duración del año en días k = 365 (366), entonces la tasa de interés anticipada se puede expresar como
Entonces en
Entonces (6.20)
Ejemplo. El préstamo se emite a 2 años con una tasa de descuento simple del 10%. El monto recibido por el prestatario. P = 4 5.000 rublos. Determine el monto devuelto y el monto del descuento.
Descuento: frotar.
De ahí el problema inverso.
Ejemplo. El préstamo se emite a 2 años con una tasa de descuento simple del 10%. Calcule el monto recibido por el prestatario y el monto del descuento si necesita devolver 50,000 rublos.
Descuento: frotar.
Si el período de acumulación Menos de un año, Eso
De aquí, 
Ejemplo. El préstamo se emite por 182 días de un año ordinario a una tasa de descuento simple del 10%. El monto recibido por el prestatario. R = 45.000 rublos. Determinar el monto devuelto.
Tasas de descuento complejas
Si el préstamo se reembolsa después de varios períodos de acumulación, los ingresos se pueden calcular utilizando el método de tasas de descuento complejas.
Si ingresa la notación:
dc , % - tasa de descuento anual;
dc - valor relativo de la tasa de interés de descuento anual;
F - la tasa de descuento nominal de interés compuesto utilizada al calcular el descuento a intervalos, luego al calcular el monto acumulado pero al final del primer período, el monto acumulado
Al final del segundo periodo 
A través de PAG años, el monto acumulado será de . (6.23)
Entonces el coeficiente de aumento es . (6.24)
Ejemplo. El préstamo se emite a 3 años a una tasa de descuento compuesta del 10%. El monto recibido por el prestatario. pag = 43.000 rublos. Determine el monto devuelto y el monto del descuento.
PAG no es un número entero, entonces el coeficiente de aumento se puede representar de la siguiente manera:
(6.25)
Dónde p = pc + d/k - el número total de períodos de acumulación (tramos), que consta de períodos de acumulación enteros y no enteros; pc D- número de días del período de acumulación no entero (incompleto); k = 365 (366) - número de días del año; dc - valor relativo de la tasa de interés de descuento anual.
Ejemplo. El préstamo se emite a 3 años y 25 días a una tasa de descuento compleja del 10%. El monto recibido por el prestatario. pag = 45.000 rublos. Determine el monto reembolsable y el monto del descuento.
Importe de descuento D = F - P = 62.151 - 45.000 = 17.151 rublos.
Si la tasa de descuento durante los períodos Nevada ..., norte norte diferente re 1 re 2 , ..., re norte , entonces la fórmula para el monto acumulado toma la forma
Ejemplo. El préstamo se emite a una tasa de descuento compleja del 10,9,5,9%. La cantidad recibida por el prestatario, P = 45.000 rublos. Determinar el monto devuelto.
Cuando el interés se calcula a intervalos durante el período. metro multiplicado por la fórmula del monto acumulado
Ejemplo. La cantidad recibida por el prestatario es de 10.000 rublos. Emitido a 3 años, los intereses se devengan al final de cada trimestre a una tasa nominal del 8% anual. Determinar el monto a reembolsar.
Si el número de períodos compuestos norte no es un número entero, entonces el coeficiente de aumento se puede representar como
(6.28)
Dónde pc - el número de períodos (años) completos de acumulación; T- número de intervalos de acumulación en el período; R - el número de intervalos de acumulación completos (completos), pero menor que el número total de intervalos en el período, es decir R<т; d - el número de días de acumulación, pero menor que el número de días del intervalo de acumulación.
Ejemplo. El préstamo se emite a 3 años 208 días (183 + 25 días) a una tasa de descuento compuesta del 10%. Pago por medio año (t = 2). El monto recibido por el prestatario. R = 45.000 rublos. Determine el monto devuelto y el monto del descuento.
Además, puedes definir otros parámetros:
(6.30)
Problema inverso:
Ejemplo. El préstamo se emite a 3 años a una tasa de descuento compuesta del 10%. El importe a devolver es F= 45.000. Determine el monto recibido por el prestatario.
Hoy en día no basta con calcular los intereses simples o complejos; ningún banco los utiliza en su forma pura. Para los bancos es más rentable utilizar no sólo diferentes tipos de cálculo de intereses, sino también diferentes conceptos de cálculo, que a su vez dependen en gran medida de las condiciones de los contratos. Consideremos el método (concepto) principal para calcular las tasas de interés, este es el método de cálculo decursivo de los intereses.
Hoy en día, este es el método más común para calcular el interés, que se utiliza en la práctica mundial. La base de este concepto es "del presente al futuro", donde al final de un intervalo de tiempo específico se acumulan intereses o se pagan intereses acumulados sobre el depósito base. Para el cálculo de interés decursivo se utiliza tanto un cálculo de interés simple como una tasa de acumulación; en otras palabras, se utiliza un cálculo de interés complejo. A continuación se muestra una representación gráfica de los ingresos del depósito según el método de cálculo de intereses elegido y su plazo.
En el caso de tipos de interés bajos, el método decursivo es más beneficioso para el prestatario que para el prestamista. Y este método se utiliza mejor para transacciones financieras a corto plazo. Además, es recomendable invertir por un período no superior a un año, con pagos de intereses al final de cada intervalo de tiempo. Idealmente, se utiliza el método decursivo cuando coincide con el intervalo de cálculo de intereses. Sin embargo, esto no significa que el interés decursivo no pueda utilizarse en otros casos. Todo depende del acuerdo de las partes involucradas en la transacción financiera.
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Concepto estimaciones del valor del dinero en el tiempo juega un papel fundamental en la práctica de la informática financiera. Predetermina la necesidad de tener en cuenta el factor tiempo en el proceso de realización de cualquier transacción financiera a largo plazo evaluando y comparando el costo del dinero al inicio de la financiación con el costo del dinero cuando se devuelve en forma de futuros. ganancias.
En el proceso de comparar el valor del dinero al invertirlo y devolverlo, se acostumbra utilizar dos conceptos básicos: el valor futuro del dinero y su valor presente.
El valor futuro del dinero (S) es la cantidad de fondos actualmente invertidos a los que se convertirán después de un cierto período de tiempo, teniendo en cuenta una determinada tasa de interés. La determinación del valor futuro del dinero está asociada con el proceso de incrementar este valor.
El valor presente del dinero (P) es la suma de los ingresos futuros en efectivo, teniendo en cuenta una determinada tasa de interés (la llamada "tasa de descuento") para el período actual. La determinación del valor presente del dinero está asociada con el proceso de descontar este valor.
Hay dos formas de determinar y calcular el interés:
1. Método decursivo para calcular el interés.. El interés se calcula al final de cada intervalo de acumulación. Su valor se determina en función de la cantidad de capital aportado. La tasa de interés decursiva (interés del préstamo) es la relación, expresada como porcentaje, entre la cantidad de ingresos acumulados durante un determinado intervalo y la cantidad disponible al comienzo de este intervalo (P). En la práctica mundial, el método decursivo para calcular el interés es el más extendido.
2. Método antisipativo Cálculo de intereses (preliminar). El interés se calcula al comienzo de cada intervalo de acumulación. El monto de los intereses se determina en función del monto acumulado. La tasa anticipada (tasa de descuento) es la relación, expresada como porcentaje, entre el monto de los ingresos pagados durante un determinado intervalo y el monto del monto acumulado recibido después de este intervalo (S). En los países con economías de mercado desarrolladas, el método anticipado para calcular los intereses se utilizó, por regla general, durante períodos de alta inflación.
66. Planificación financiera en una empresa. Gestionar significa prever, es decir predecir, planificar. Por tanto, el elemento más importante de la actividad económica empresarial y de la gestión empresarial es la planificación, incluida la planificación financiera.
La planificación financiera es la planificación de todos los ingresos y áreas de gasto de los fondos de una empresa para asegurar su desarrollo. La planificación financiera se realiza mediante la elaboración de planes financieros de diferentes contenidos y finalidades, en función de los objetivos y objetos de la planificación. La planificación financiera es un elemento importante del proceso de planificación corporativa. Todo directivo, independientemente de sus intereses funcionales, debe estar familiarizado con la mecánica y el significado de la implementación y control de los planes financieros, al menos en lo que respecta a sus actividades. Principales tareas de la planificación financiera:
Dotar al proceso reproductivo normal de las fuentes de financiación necesarias. Al mismo tiempo, son de gran importancia las fuentes de financiación específicas, su formación y uso;
Respeto a los intereses de los accionistas y demás inversores. Un plan de negocios que contenga dicha justificación para un proyecto de inversión es el principal documento para los inversores que estimula la inversión de capital;
Garantía del cumplimiento de las obligaciones de la empresa con el presupuesto y fondos extrapresupuestarios, bancos y otros acreedores. La estructura de capital óptima para una empresa determinada genera el máximo beneficio y maximiza los pagos al presupuesto según unos parámetros determinados;
Identificación de reservas y movilización de recursos para utilizar eficazmente las ganancias y otros ingresos, incluidos los no operativos;
Control en rublos sobre la situación financiera, la solvencia y la solvencia de la empresa.
El propósito de la planificación financiera es vincular los ingresos con los gastos necesarios. Si los ingresos superan los gastos, el exceso se envía al fondo de reserva. Cuando los gastos superan los ingresos, la cantidad de la falta de recursos financieros se repone mediante la emisión de valores, la obtención de préstamos, la recepción de contribuciones caritativas, etc.
Los métodos de planificación son métodos y técnicas específicos para calcular indicadores. Al planificar indicadores financieros, se pueden utilizar los siguientes métodos: normativo, cálculo y análisis, balance, método de optimización de decisiones de planificación, modelado económico y matemático.
La esencia del método normativo de planificación de indicadores financieros es que, sobre la base de normas y estándares técnicos y económicos preestablecidos, se calcula la necesidad de una entidad económica de recursos financieros y sus fuentes. Dichos estándares son tasas impositivas, tasas de contribuciones y tarifas arancelarias, tasas de depreciación, estándares para la necesidad de capital de trabajo, etc.
La esencia del método de cálculo y análisis de planificación de indicadores financieros es que, con base en un análisis del valor alcanzado del indicador financiero tomado como base, y los índices de su cambio en el período de planificación, el valor planificado de este indicador es calculado. Este método de planificación es ampliamente utilizado en los casos en que no existen estándares técnicos y económicos, y la relación entre indicadores se puede establecer de forma indirecta, a partir del análisis de su dinámica y conexiones. Este método se basa en la evaluación de expertos.
La esencia del método del balance para planificar indicadores financieros es que al construir balances, se logra un vínculo entre los recursos financieros disponibles y la necesidad real de ellos. El método del balance se utiliza principalmente al planificar la distribución de ganancias y otros recursos financieros, planificando la necesidad de que los fondos fluyan hacia fondos financieros: un fondo de acumulación, un fondo de consumo, etc.
La esencia del método para optimizar las decisiones de planificación es desarrollar varias opciones para los cálculos de planificación para seleccionar la más óptima.
La esencia del modelado económico y matemático en la planificación de indicadores financieros es que permite encontrar una expresión cuantitativa de las relaciones entre los indicadores financieros y los factores que los determinan. Esta conexión se expresa a través de un modelo económico-matemático. Un modelo económico-matemático es una descripción matemática precisa del proceso económico, es decir. descripción de factores que caracterizan la estructura y patrones de cambio en un fenómeno económico determinado utilizando símbolos y técnicas matemáticas (ecuaciones, desigualdades, tablas, gráficos, etc.). La planificación financiera se puede clasificar en de largo plazo (estratégica), actual (anual) y operativa. El proceso de planificación estratégica es una herramienta que ayuda en la toma de decisiones de gestión. Su tarea es garantizar la innovación y el cambio en la organización en medida suficiente. Hay cuatro tipos principales de actividades de gestión dentro del proceso de planificación estratégica: asignación de recursos; adaptación al entorno externo; coordinación interna; previsión estratégica organizacional. El sistema de planificación actual de las actividades financieras de la empresa se basa en la estrategia financiera y la política financiera desarrolladas para determinados aspectos de la actividad financiera. Cada tipo de inversión está ligada a una fuente de financiación. Para ello, suelen utilizar estimaciones de formación y gasto de fondos. Estos documentos son necesarios para monitorear el progreso del financiamiento de las actividades más importantes, seleccionar fuentes óptimas de reposición de fondos y la estructura de inversión de recursos propios.
Los planes financieros actuales de una empresa emprendedora se desarrollan en base a datos que caracterizan: la estrategia financiera de la empresa; resultados del análisis financiero del período anterior; volúmenes planificados de producción y ventas de productos, así como otros indicadores económicos de las actividades operativas de la empresa; un sistema de normas y estándares para los costos de los recursos individuales desarrollado por la empresa; el sistema tributario actual; el actual sistema de tasas de depreciación; tipos de interés medios de préstamos y depósitos en el mercado financiero, etc. La planificación financiera operativa implica la creación y utilización de un plan y un estado de flujo de efectivo. El calendario de pagos se elabora sobre la base de información real sobre los flujos de efectivo de la empresa. Además, la empresa debe elaborar un plan de caja, un plan de rotación de efectivo que refleje la recepción y el pago de efectivo a través de la caja registradora.
Conceptos básicos y definiciones de matemáticas financieras:
Interés– ingresos procedentes de la aportación de capital endeudado en diversas formas (préstamos, créditos, etc.), o de inversiones de carácter industrial o financiero.
La cantidad de dinero inicial (presente, moderna, actual, reducida) es la cantidad de capital disponible en el momento inicial (o la cantidad de capital invertido en la operación en cuestión).
Tasa de interés– un valor que caracteriza la intensidad del devengo de intereses.
Extensión (compuesto)– un aumento de la cantidad original de dinero añadiendo los intereses acumulados.
Cantidad de dinero acumulada (futura)– la cantidad original de dinero más los intereses devengados.
Descuento– determinación del equivalente financiero actual de un importe monetario futuro (trayendo un importe monetario futuro al momento presente).
factor de incremento– un valor que muestra cuántas veces ha crecido el capital inicial.
Periodo de acumulación– el período de tiempo durante el cual se calculan los intereses. Puede expresarse en días o años y puede ser un número entero o no entero.
Intervalo de acumulación– el plazo mínimo tras el cual se calculan los intereses. Un período de acumulación puede constar de uno o más intervalos de acumulación iguales.
Base de tiempo para calcular el interés T - el número de días en un año utilizados para calcular el interés. Dependiendo del método para determinar la duración de una transacción financiera, se calcula el interés exacto u ordinario.
Son posibles las siguientes opciones:
Hay varias formas de calcular el interés y, en consecuencia, varios tipos de tipos de interés. Dependiendo del método de acumulación utilizado, los resultados financieros pueden variar significativamente. En este caso, la diferencia será mayor cuanto mayor sea el capital invertido, el tipo de interés aplicado y la duración del periodo de devengo.
El siguiente diagrama da una idea general de los diferentes métodos de cálculo de intereses:
Métodos de cálculo de intereses |
||||||||||||||||||||||
decursivo |
antisipativo |
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|
p/s simples |
Complejo p/s |
p/s simples |
Complejo p/s |
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|
Devengon veces al año |
Interés continuo |
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El más común es decursivo método de cálculo de intereses. Con este método el interés I devengado al final de cada intervalo de devengo. Su valor se determina en función de la cantidad de capital aportado. PAG. Tasa de interés decursiva (interés del préstamo) i representa la relación, expresada como porcentaje, entre los ingresos acumulados durante un intervalo determinado (porcentaje) y la cantidad disponible al comienzo de este intervalo. La tasa de interés caracteriza la intensidad del devengo de intereses.
Esta operación incremental corresponde a la siguiente expresión matemática:
S = PAG + I = PAG + iPAG = PAG (1 + i)
La inversa de esta operación es la operación descuento, es decir. determinando el valor actual P equivalente al monto futuro S:
PAG = S / (1 + i)
Desde el punto de vista del concepto de valor del dinero en el tiempo, para una tasa de interés determinada, la cantidad PAG Y S son equivalentes, también podemos decir que la suma PAG es equivalente financiero actual monto futuro S.
En antiséptico Método (preliminar), el interés se calcula al comienzo de cada intervalo de acumulación. La cantidad de dinero de intereses se determina en función de la cantidad de dinero futuro. Tasa de interés anticipada (tasa de descuento) d Habrá una relación porcentual entre la cantidad de ingresos acumulados y la cantidad de dinero futura.
En este caso, la fórmula para determinar el monto del monto devengado es la siguiente:
S = PAG + I = PAG / (1 - d)
Así, para la operación de descuento, denominada en este caso contabilidad bancaria:
PAG = S (1 - d)
En la práctica, se suelen utilizar tipos de interés anticipados al descontar letras de cambio. Los ingresos por intereses recibidos en este caso se denominan descuento, un descuento sobre el monto futuro.
Con ambos métodos de cálculo, las tasas de interés pueden ser simple, si se aplican al mismo importe dinerario inicial durante todo el período de devengo, y complejo, si después de cada intervalo se aplican al importe del capital inicial y a los intereses devengados en los intervalos anteriores.
Fórmulas para determinar la cantidad futura de dinero según varias opciones para calcular el interés por un período. norte años:
S = PAG (1 + nortei) - para la ocasión interés decursivo simple
S = PAG (1 + i) norte - para la ocasión interés compuesto decursivo
S = PAG / (1 - norted) - para la ocasión interés anticipatorio simple
S = PAG / (1 - d) norte - para la ocasión interés anticipado compuesto
Si el periodo de devengo se expresa en días, las fórmulas de interés simple tomarán la forma:
S = P (1 + t/T i)
S = P / (1 – t/T d),
donde t es la duración del período de acumulación.
Los multiplicadores que muestran cuántas veces la cantidad futura de dinero es mayor que la cantidad de capital inicial se denominan factores de acumulación. El inverso de los factores de acumulación son los factores de descuento, que permiten determinar el equivalente financiero actual de una cantidad monetaria futura.
En algunos casos, al analizar el desempeño de diversas transacciones financieras, puede resultar útil determinar tasas de interés equivalentes. Tasas de interés equivalentes– se trata de tipos de interés de diferentes tipos, cuya aplicación en las mismas condiciones iniciales da los mismos resultados financieros. En este caso, las mismas condiciones iniciales significan la misma cantidad de capital inicial y períodos iguales de acumulación de ingresos. En base a esto se puede elaborar ecuación de equivalencia y derivar la relación de las tasas en cuestión.
Por ejemplo, para tasas de préstamo y de descuento simples, dichos índices se verán así:
d = i / (1 + nortei); i = d / (1 - norted).
La tasa de préstamo equivalente a la tasa de descuento refleja la rentabilidad de la transacción contable correspondiente y es útil al comparar la rentabilidad y eficiencia de varios instrumentos financieros.
Contabilización de la inflación en cálculos financieros.
La inflación se caracteriza por una disminución del poder adquisitivo de la moneda nacional y un aumento generalizado de los precios. El proceso de inflación afecta de manera diferente a los diferentes participantes en una transacción financiera. Por lo tanto, si un prestamista o inversor puede perder parte de los ingresos previstos debido a la depreciación de los fondos, entonces el prestatario tiene la oportunidad de pagar la deuda con dinero de poder adquisitivo reducido.
Para evitar errores y pérdidas, se deben tener en cuenta los efectos inflacionarios al planificar las transacciones financieras.
Denotaremos por S a la cantidad cuyo poder adquisitivo, teniendo en cuenta la inflación, es igual al poder adquisitivo de la cantidad S en ausencia de inflación. Tasa de inflación a es la relación entre el cambio inflacionario de un determinado valor durante un determinado período y su valor inicial, expresado como porcentaje (en los cálculos se utiliza un indicador relativo):
a= (Sa-S)/S 100%
De aquí: Sun = S (1 +a)
Esto significa que a una tasa de inflación de a, los precios aumentan durante el período (1 + a) veces. El multiplicador (1 + a) se llama índice de inflación I a.
Si el período considerado consta de varios intervalos, en cada uno de los cuales la tasa de inflación es un valor, los precios en su conjunto aumentarán en un factor de (1 + a) n. El resultado global se expresa mediante la siguiente relación:
Sa=S (1 + a) norte
Esto lleva a la primera conclusión importante sobre el proceso inflacionario:
El crecimiento inflacionario es similar al aumento del capital inicial según la regla del interés compuesto. Solo en este caso no recibimos ingresos, sino que los perdemos.
Otra consideración útil es calcular la tasa de rendimiento que podría compensar las pérdidas inflacionarias y proporcionar ganancias de capital.
Sea a la tasa de inflación anual,
i – rentabilidad deseada de una transacción financiera (libre de la influencia de la inflación)
i a - tasa de rendimiento que compensa la inflación.
Luego, para la cantidad aumentada S, que en condiciones de inflación se convertirá en la cantidad S a, podemos escribir la siguiente expresión:
S a = P (1 + i) (1 + a)
El mismo resultado se puede obtener de otra forma:
S un = P (1 + yo un)
Al igualar los lados derechos de las igualdades escritas, obtenemos una expresión para calcular i a:
ia = i + a + ia
Ésta es la conocida fórmula de I. Fisher, en la que la cantidad (a + i a) es "prima de inflación" - un complemento necesario para compensar el impacto de la inflación.
Ahora podemos formular la segunda conclusión importante:
Para calcular la tasa de interés que compensa la inflación, para a la tasa de rendimiento requerida es necesario agregar no solo el valor del nivel inflación, sino también el productoia.
En la práctica real, una modificación de esta fórmula suele resultar útil, permitiendo encontrar la rentabilidad real de una operación en condiciones de aumentos inflacionarios de los precios:
i = (ia - a) / (1 + a)
La mayoría de las operaciones relacionadas con la inversión de capital implican en el futuro no la recepción de una suma global de una cantidad mayor, sino un flujo de caja completo de ingresos durante un período determinado. Los principales parámetros de interés para el inversor o prestamista en este caso son el valor actual (presente) del flujo de caja, su valor futuro (aumentado), así como la rentabilidad de la transacción financiera.
Vamos a utilizar la siguiente notación:
P – la cantidad de capital invertido,
CF k – valor del késimo elemento del flujo de caja,
i – tasa de descuento (normalmente una tasa de interés compuesta),
A – valor presente (costo) del flujo de caja,
S – valor futuro del flujo de caja,
n – número de elementos del flujo de caja.
Valor presente El flujo de caja es la suma de todos sus elementos reducidos (descontados) al momento actual:
¿A = CF 1 / (1 + i) + CF 2 / (1 + i)? + … + CF n / (1 + i) n
Asimismo, valor futuro El flujo de caja es la suma de sus elementos acumulados en el momento del último pago:
S = CF 1 (1 + i) n-1 + CF 2 (1 + i) n-? + … + CF n
Rentabilidad de una transacción financiera Esto se llama tasa de interés decursiva, cuando se descuenta a la cual el valor presente del flujo de efectivo de los ingresos coincide con la cantidad de capital invertido: P = A. Para encontrar dicha tasa, en el caso general, hay que resolver una ecuación del enésimo grado.
Los valores de los factores de acumulación y descuento en el caso de utilizar tasas decursivas complejas se pueden encontrar en las tablas especiales que figuran en el apéndice.
Para determinar la rentabilidad de una transacción financiera a corto plazo (menos de un año), se suele utilizar una tasa de interés simple, para una transacción a largo plazo, una compleja;
El cálculo de tipos simples se suele utilizar para préstamos a corto plazo.
INVENTEMOS LA NOTACIÓN:
S - cantidad acumulada, frotar;
P - monto inicial de la deuda, rublos;
i - tasa de interés anual (en fracciones de unidad);
n es el plazo del préstamo en años.
Al final del primer año, el monto acumulado de la deuda será
S1 = P + P yo = P (1+ yo);
al final del segundo año:
S2 = S1 + P i = P (1+ i) + P i = P (1+ 2 i); al final del tercer año:
S3 = S2 + Pi = P (1+ 2 i) + P i = P (1+3 i) y así sucesivamente. Al final del término n: S1 = P (1+ n i).
Esta es la fórmula para la capitalización a una tasa de interés simple. Hay que tener en cuenta que el tipo de interés y el plazo deben corresponderse entre sí, es decir si se toma una tasa anual, entonces el plazo debe expresarse en años (si es trimestral, entonces el plazo debe expresarse en trimestres, etc.).
La expresión entre paréntesis representa el factor compuesto a la tasa de interés simple:
KN = (1+ norte yo).
Por eso,
Si = PKn.
Problema 5.1
El banco concedió un préstamo por valor de 5 millones de rublos. durante seis meses a una tasa de interés simple del 12% anual. Determinar el monto reembolsable.
SOLUCIÓN:
S = 5 millones (1 + 0,5 ¦ 0,12) = 5.300.000 rublos.
Si el período para el cual se pide prestado el dinero se especifica en días, la cantidad acumulada será igual a S = P (1 + d/K i),
donde d es la duración del período en días;
K es el número de días que tiene un año.
El valor K se llama base de tiempo.
La base de tiempo puede tomarse igual a la duración real del año: 365 o 366 (entonces el interés se llama exacto) o aproximado, igual a 360 días (entonces es interés ordinario).
El valor del número de días para los que se pide dinero prestado también se puede determinar de forma exacta o aproximada. En este último caso, la duración de cualquier mes completo se considera de 30 días. En ambos casos, la fecha de emisión del dinero en préstamo y la fecha de su devolución se cuentan como un día.
Problema 5.2
El banco emitió un préstamo por valor de 200 mil rublos. del 12.03 al 25.12 (año bisiesto) a una tasa del 7% anual. Determine el monto del monto reembolsable con varias opciones para la base de tiempo con el número exacto y aproximado de días del préstamo y saque una conclusión sobre las opciones preferibles desde el punto de vista del banco y del prestatario.
SOLUCIÓN:
Número exacto de días de préstamo desde el 12.03. hasta el 25.12:
20+30+31+30+31+31+30+31+30+25=289.
Número aproximado de días de préstamo:
20+8-30+25=285;
a) Interés exacto y número exacto de días de préstamo:
S = 200.000 (1+289/366 ¦ 0,07) = 211.016 rublos;
b) interés ordinario y número exacto de días del préstamo:
S = 200.000 (1+289/360 ¦ 0,07) = 211.200;
c) interés ordinario y número aproximado de días del préstamo:
S= 200.000 (1+285/360 ¦ 0,07) =211.044;
d) interés exacto y número aproximado de días de préstamo:
S= 200.000 (1+285/366 ¦ 0,07) =210.863.
Así, el mayor monto acumulado estará en la opción b) - interés ordinario con el número exacto de días del préstamo, y el menor - en la opción d) - interés exacto con un número aproximado de días del préstamo.
Por tanto, desde el punto de vista del banco como prestamista, la opción b) es preferible, y desde el punto de vista del prestatario, la opción d).
Hay que tener en cuenta que, en cualquier caso, el interés ordinario es más rentable para el prestamista y el interés exacto es más rentable para el prestatario (en cualquier caso, simple o complejo). En el primer caso, el importe acumulado siempre es mayor, y en el segundo, menor.
Si las tasas de interés en diferentes intervalos de acumulación durante el plazo de la deuda son diferentes, el monto acumulado se determina mediante la fórmula
norte
S = P (1 + Intit),
t=1
donde N es el número de intervalos de cálculo de intereses;
nt - duración del t-ésimo intervalo de acumulación;
es el tipo de interés en el t-ésimo intervalo de acumulación.
Problema 5.3
El banco acepta depósitos a una tasa de interés simple, que en el primer año es del 10% y luego aumenta 2 puntos porcentuales cada seis meses. Determine el monto del depósito de 50 mil rublos. con intereses después de 3 años.
Solución:
S = 50.000 (1 + 0,1 + 0,5 0,12 + 0,5 0,14 + 0,5 0,16 + 0,5 0,18) = 70.000 rublos.
Utilizando la fórmula para el monto acumulado, puede determinar el plazo del préstamo en otras condiciones específicas.
Plazo del préstamo en años:
S - P N = .
Pi
Determine el plazo del préstamo en años para los cuales la deuda es de 200 mil rublos. aumentará a 250 mil rublos. cuando se utiliza una tasa de interés simple: 16% anual.
SOLUCIÓN:
(250.000 - 200.000) / (200.000 0,16) = 1,56 (años).
A partir de la fórmula para el monto acumulado, se puede determinar la tasa de interés simple, así como el monto original de la deuda.
Decide por ti mismo
Problema 5.5
Al emitir un préstamo de 600 mil rublos. Se acuerda que el prestatario devolverá 800 mil rublos en dos años. Determine la tasa de interés utilizada por el banco.
RESPUESTA: 17%.
Problema 5.6
El préstamo, concedido a un tipo simple del 15% anual, deberá reembolsarse al cabo de 100 días. Determine la cantidad recibida por el prestatario y la cantidad de intereses recibidos por el banco si la cantidad a devolver es de 500 mil rublos. con una base temporal de 360 días.
RESPUESTA: 480.000 RUR.
La operación de encontrar el monto original de la deuda frente a un monto reembolsable conocido se llama descuento. En un sentido amplio, el término "descuento" significa determinar el valor P de un valor de costo en un momento determinado, siempre que en el futuro sea igual a un valor dado S. Estos cálculos también se denominan traer un indicador de costo a un momento dado, y el valor P determinado mediante el descuento es
llamado valor moderno o reducido del valor. El descuento le permite tener en cuenta el factor tiempo en los cálculos de costos. El factor de descuento es siempre menor que uno.
Fórmula de descuento a tipo de interés simple:
P = S/(1+ni), donde 1/(1+ni) es el factor de descuento.
Más sobre el tema Método decursivo para calcular el interés simple:
- 1. Concepto y herramientas metodológicas para evaluar el valor del dinero en el tiempo.
- 2.3. Determinación de flujos de efectivo actuales y futuros.
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