¿Cómo encontrar la derivada?

Reglas de diferenciación.

Para encontrar la derivada de cualquier función, solo necesitas dominar tres conceptos:

2. Reglas de diferenciación.

3. Derivada de una función compleja.

Exactamente en ese orden. Es una pista.)

Por supuesto, sería bueno tener una idea sobre los derivados en general). Qué es una derivada y cómo trabajar con la tabla de derivadas se explica claramente en la lección anterior. Aquí nos ocuparemos de las reglas de diferenciación.

La diferenciación es la operación de encontrar la derivada. No hay nada más escondido detrás de este término. Aquellos. expresiones "hallar la derivada de una función" Y "diferenciar una función"- Es lo mismo.

Expresión "reglas de diferenciación" se refiere a encontrar la derivada de operaciones aritméticas. Esta comprensión ayuda mucho a evitar confusiones en tu cabeza.

Concentrémonos y recordemos todas, todas, todas las operaciones aritméticas. Hay cuatro). Suma (suma), resta (diferencia), multiplicación (producto) y división (cociente). Aquí están las reglas de diferenciación:

La placa muestra cinco reglas sobre cuatro operaciones aritmeticas. No me defraudaron.) Es sólo que la regla 4 es una consecuencia elemental de la regla 3. Pero es tan popular que tiene sentido escribirla (¡y recordarla!) como una fórmula independiente.

Bajo las designaciones Ud. Y V algunas funciones (¡absolutamente cualquiera!) están implícitas U(x) Y V(x).

Veamos algunos ejemplos. Primero, los más simples.

Encuentra la derivada de la función y=senx - x 2

Aquí tenemos diferencia dos funciones elementales. Aplicamos la regla 2. Supondremos que senx es una función Ud., y x 2 es la función v. Tenemos todo el derecho a escribir:

y" = (senx - x 2)" = (senx)"- (x 2)"

Así es mejor, ¿verdad?) Todo lo que queda es encontrar las derivadas del seno y el cuadrado de x. Para ello existe una tabla de derivadas. Simplemente buscamos las funciones que necesitamos en la tabla ( pecado Y x2), mira qué derivadas tienen y escribe la respuesta:

y" = (senx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Eso es todo. La regla 1 de diferenciación de sumas funciona exactamente igual.

¿Y si tenemos varios términos? No hay problema.) Dividimos la función en términos y buscamos la derivada de cada término independientemente de los demás. Por ejemplo:

Encuentra la derivada de la función y=senx - x 2 +cosx - x +3

Escribimos con valentía:

y" = (senx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Al final de la lección daré consejos para hacer la vida más fácil a la hora de diferenciar.)

Consejo practico:

1. Antes de la diferenciación, vea si es posible simplificar la función original.

2. En ejemplos complicados, describimos la solución en detalle, con todos los paréntesis y guiones.

3. Al diferenciar fracciones con un número constante en el denominador, convertimos la división en multiplicación y usamos la regla 4.

El problema de encontrar la derivada de una función determinada es uno de los principales en los cursos de matemáticas de secundaria y en las instituciones de educación superior. Es imposible explorar completamente una función y construir su gráfica sin tomar su derivada. La derivada de una función se puede encontrar fácilmente si conoces las reglas básicas de derivación, así como la tabla de derivadas de funciones básicas. Averigüemos cómo encontrar la derivada de una función.

La derivada de una función es el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento cuando el incremento del argumento tiende a cero.

Comprender esta definición es bastante difícil, ya que el concepto de límite no se estudia completamente en la escuela. Pero para encontrar derivadas de varias funciones, no es necesario entender la definición; dejémosla en manos de los matemáticos y pasemos directamente a encontrar la derivada.

El proceso de encontrar la derivada se llama diferenciación. Cuando derivamos una función, obtendremos una nueva función.

Para designarlos utilizaremos las letras latinas f, g, etc.

Existen muchas notaciones diferentes para las derivadas. Usaremos un trazo. Por ejemplo, escribir g" significa que encontraremos la derivada de la función g.

tabla de derivados

Para responder a la pregunta de cómo encontrar la derivada, es necesario proporcionar una tabla de derivadas de las funciones principales. Para calcular las derivadas de funciones elementales no es necesario realizar cálculos complejos. Basta con mirar su valor en la tabla de derivados.

1. (sen x)"=cos x
2. (cos x)"= –sen x
3. (xn)"=nxn-1
4. (ex)"=ex
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x en a
7. (log a x)"=1/x en a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sen 2 x
10. (arcosen x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arcos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctgx)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Ejemplo 1. Encuentra la derivada de la función y=500.

Vemos que esto es una constante. De la tabla de derivadas se sabe que la derivada de una constante es igual a cero (fórmula 1).

Ejemplo 2. Encuentra la derivada de la función y=x 100.

Esta es una función potencia cuyo exponente es 100, y para encontrar su derivada necesitas multiplicar la función por el exponente y reducirlo por 1 (fórmula 3).

(x100)"=100x99

Ejemplo 3. Encuentra la derivada de la función y=5 x

Este funcion exponencial, calculemos su derivada usando la fórmula 4.

Ejemplo 4. Encuentra la derivada de la función y= log 4 x

Encontramos la derivada del logaritmo usando la fórmula 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Reglas de diferenciación

Ahora descubramos cómo encontrar la derivada de una función si no está en la tabla. La mayoría de las funciones estudiadas no son elementales, sino que son combinaciones de funciones elementales que utilizan operaciones simples (suma, resta, multiplicación, división y multiplicación por un número). Para encontrar sus derivadas, es necesario conocer las reglas de diferenciación. A continuación, las letras f y g indican funciones y C es una constante.

1. El coeficiente constante se puede sacar del signo de la derivada.

Ejemplo 5. Encuentra la derivada de la función y= 6*x 8

Sacamos un factor constante de 6 y derivamos solo x 4. Esta es una función de potencia, cuya derivada se encuentra usando la fórmula 3 de la tabla de derivadas.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. La derivada de una suma es igual a la suma de las derivadas

(f + g)"=f" + g"

Ejemplo 6. Encuentra la derivada de la función y= x 100 +sen x

Una función es la suma de dos funciones, cuyas derivadas podemos encontrar en la tabla. Dado que (x 100)"=100 x 99 y (sin x)"=cos x. La derivada de la suma será igual a la suma de estas derivadas:

(x 100 +sen x)"= 100 x 99 +cos x

3. La derivada de la diferencia es igual a la diferencia de las derivadas.

(f – sol)"=f" – sol"

Ejemplo 7. Encuentra la derivada de la función y= x 100 – cos x

Esta función es la diferencia de dos funciones, cuyas derivadas también podemos encontrar en la tabla. Entonces la derivada de la diferencia es igual a la diferencia de las derivadas y no olvides cambiar el signo, ya que (cos x)"= – sen x.

(x 100 – porque x)"= 100 x 99 + sen x

Ejemplo 8. Encuentra la derivada de la función y=e x +tg x– x 2.

Esta función tiene tanto una suma como una diferencia; encontremos las derivadas de cada término:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Entonces la derivada de la función original es igual a:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivado del producto

(f * g)"=f" * g + f * g"

Ejemplo 9. Encuentra la derivada de la función y= cos x *e x

Para hacer esto, primero encontramos la derivada de cada factor (cos x)"=–sen x y (e x)"=e x. Ahora sustituyamos todo en la fórmula del producto. Multiplicamos la derivada de la primera función por la segunda y sumamos el producto de la primera función por la derivada de la segunda.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sen x

5. Derivada del cociente

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Ejemplo 10. Encuentra la derivada de la función y= x 50 /sen x

Para encontrar la derivada de un cociente, primero encontramos la derivada del numerador y denominador por separado: (x 50)"=50 x 49 y (sin x)"= cos x. Sustituyendo la derivada del cociente en la fórmula, obtenemos:

(x 50 /sen x)"= 50x 49 *sen x – x 50 *cos x/sen 2 x

Derivada de una función compleja

Una función compleja es una función representada por una composición de varias funciones. También existe una regla para encontrar la derivada de una función compleja:

(u(v))"=u"(v)*v"

Averigüemos cómo encontrar la derivada de dicha función. Sea y= u(v(x)) una función compleja. Llamemos a la función u externa y v - interna.

Por ejemplo:

y=sin (x 3) es una función compleja.

Entonces y=sin(t) es la función externa

t=x 3 - interno.

Intentemos calcular la derivada de esta función. Según la fórmula, debes multiplicar las derivadas de las funciones internas y externas.

(sin t)"=cos (t) - derivada de la función externa (donde t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivada de la función interna

Entonces (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 es la derivada de una función compleja.

Resolver problemas físicos o ejemplos en matemáticas es completamente imposible sin el conocimiento de la derivada y los métodos para calcularla. La derivada es uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. Decidimos dedicar el artículo de hoy a este tema fundamental. ¿Qué es una derivada, cuál es su significado físico y geométrico, cómo calcular la derivada de una función? Todas estas preguntas se pueden combinar en una: ¿cómo entender la derivada?

Significado geométrico y físico de derivada.

Que haya una función f(x) , especificado en un intervalo determinado (a,b) . Los puntos x y x0 pertenecen a este intervalo. Cuando x cambia, la función misma cambia. Cambiar el argumento: la diferencia en sus valores. x-x0 . Esta diferencia se escribe como deltax y se llama incremento de argumento. Un cambio o incremento de una función es la diferencia entre los valores de una función en dos puntos. Definición de derivada:

La derivada de una función en un punto es el límite de la relación entre el incremento de la función en un punto dado y el incremento del argumento cuando este último tiende a cero.

De lo contrario se puede escribir así:

¿Cuál es el punto de encontrar tal límite? Y esto es lo que es:

la derivada de una función en un punto es igual a la tangente del ángulo entre el eje OX y la tangente a la gráfica de la función en un punto dado.

Significado físico de la derivada: la derivada de la trayectoria con respecto al tiempo es igual a la velocidad del movimiento rectilíneo.

De hecho, desde la época escolar todo el mundo sabe que la velocidad es un camino particular. x=f(t) y tiempo t . Velocidad media durante un período de tiempo determinado:

Para conocer la velocidad del movimiento en un momento dado. t0 necesitas calcular el límite:

Regla uno: establezca una constante

La constante se puede sacar del signo de la derivada. Es más, esto debe hacerse. Al resolver ejemplos de matemáticas, tómelo como regla: Si puedes simplificar una expresión, asegúrate de simplificarla. .

Ejemplo. Calculemos la derivada:

Regla dos: derivada de la suma de funciones

La derivada de la suma de dos funciones es igual a la suma de las derivadas de estas funciones. Lo mismo ocurre con la derivada de la diferencia de funciones.

No daremos una demostración de este teorema, sino que consideraremos un ejemplo práctico.

Encuentra la derivada de la función:

Regla tres: derivada del producto de funciones

La derivada del producto de dos funciones diferenciables se calcula mediante la fórmula:

Ejemplo: encontrar la derivada de una función:

Solución:

Es importante hablar aquí sobre el cálculo de derivadas de funciones complejas. La derivada de una función compleja es igual al producto de la derivada de esta función con respecto al argumento intermedio y la derivada del argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

En el ejemplo anterior nos encontramos con la expresión:

En este caso, el argumento intermedio es 8x elevado a la quinta potencia. Para calcular la derivada de dicha expresión, primero calculamos la derivada de la función externa con respecto al argumento intermedio y luego multiplicamos por la derivada del propio argumento intermedio con respecto a la variable independiente.

Regla cuatro: derivada del cociente de dos funciones

Fórmula para determinar la derivada del cociente de dos funciones:

Intentamos hablar de derivados para tontos desde cero. Este tema no es tan simple como parece, así que tenga cuidado: a menudo hay errores en los ejemplos, así que tenga cuidado al calcular las derivadas.

Ante cualquier duda sobre este y otros temas, puedes contactar con el servicio de atención al estudiante. En poco tiempo, le ayudaremos a resolver las pruebas más difíciles y a comprender las tareas, incluso si nunca antes ha realizado cálculos de derivadas.

La calculadora calcula las derivadas de todas las funciones elementales y proporciona una solución detallada. La variable de diferenciación se determina automáticamente.

Derivada de una función- uno de los conceptos más importantes del análisis matemático. La aparición de la derivada condujo a problemas como, por ejemplo, calcular la velocidad instantánea de un punto en un momento dado, si se conoce el camino en función del tiempo, o el problema de encontrar la tangente a una función en un punto.

Muy a menudo, la derivada de una función se define como el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento, si existe.

Definición. Dejemos que la función se defina en alguna vecindad del punto. Entonces la derivada de la función en un punto se llama límite, si existe

¿Cómo calcular la derivada de una función?

Para aprender a diferenciar funciones, es necesario aprender y comprender reglas de diferenciación y aprende a usar tabla de derivados.

Reglas de diferenciación

Sean y funciones arbitrarias diferenciables de una variable real y una constante real. Entonces

— regla para derivar el producto de funciones

— regla para derivar funciones cocientes

0" altura="33" ancho="370" estilo="alineación vertical: -12px;"> — derivación de una función con un exponente variable

— regla para derivar una función compleja

— regla para diferenciar una función de potencia

Derivada de una función en línea

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Navegación de páginas.

La derivada es constante.

Al deducir la primera fórmula de la tabla, partiremos de la definición de la derivada de una función en un punto. Tomemos , donde x es cualquier número real, es decir, x es cualquier número del dominio de definición de la función. Anotemos el límite de la relación entre el incremento de la función y el incremento del argumento en:

Cabe señalar que bajo el signo de límite se obtiene la expresión, que no es , ya que el numerador no contiene un valor infinitesimal, sino precisamente cero. En otras palabras, el incremento de una función constante es siempre cero.

De este modo, la derivada de una función constante es igual a cero en todo el dominio de definición.

Ejemplo.

Encuentra derivadas de las siguientes funciones constantes.

Solución.

En el primer caso tenemos la derivada del número natural 3, en el segundo caso tenemos que tomar la derivada del parámetro a, que puede ser cualquier número real, en el tercero, la derivada de un número irracional, en el cuarto En el caso tenemos la derivada de cero (el cero es un número entero), en el quinto, la derivada de una fracción racional.

Respuesta:

Las derivadas de todas estas funciones son iguales a cero para cualquier x real (en todo el dominio de definición)

Derivada de una función de potencia.

La fórmula para la derivada de una función de potencia tiene la forma , donde el exponente p es cualquier número real.

Primero demostremos la fórmula del exponente natural, es decir, para p = 1, 2, 3, ...

Usaremos la definición de derivada. Anotemos el límite de la relación entre el incremento de una función de potencia y el incremento del argumento:

Para simplificar la expresión en el numerador, recurrimos a la fórmula:

Por eso,

Esto prueba la fórmula para la derivada de una función potencia para un exponente natural.

Se deben considerar dos casos: para x positivo y x negativo.

Supongamos primero. En este caso . Tomemos el logaritmo de la igualdad en base e y apliquemos la propiedad del logaritmo:

Llegamos a una función especificada implícitamente. Encontramos su derivada:

Queda por realizar la prueba para x negativo.

Cuando el exponente p es un número par, entonces la función de potencia también está definida para y es par (ver sección). Eso es, . En este caso, también puedes utilizar la demostración mediante la derivada logarítmica.

Cuando el exponente p es un número impar, entonces la función de potencia también está definida para y es impar. Eso es, . En este caso, no se puede utilizar la derivada logarítmica. Para probar la fórmula en este caso, puedes usar las reglas de derivación y la regla para encontrar la derivada de una función compleja:

La última transición es posible debido al hecho de que si p es un número impar, entonces p-1 es un número par o cero (para p=1), por lo tanto, para x negativo la igualdad es verdadera .

Por tanto, la fórmula para la derivada de una función potencia está probada para cualquier p real.

Ejemplo.

Encuentra derivadas de funciones.

Solución.

Llevamos la primera y tercera funciones a forma tabular usando las propiedades de una potencia y aplicamos la fórmula para la derivada de una función de potencia:

Derivada de una función exponencial.

Presentamos la derivación de la fórmula derivada basada en la definición:

Hemos llegado a la incertidumbre. Para expandirlo, introducimos una nueva variable y en . Entonces . En la última transición, utilizamos la fórmula para pasar a una nueva base logarítmica.

Sustituyamos en el límite original:

Por definición de la derivada de la función seno tenemos .

Usemos la fórmula de diferencia de senos:

Queda por abordar el primer límite destacable:

Por tanto, la derivada de la función sen x es cos x.

La fórmula de la derivada del coseno se demuestra exactamente de la misma manera.

Al resolver problemas de diferenciación, nos referiremos constantemente a la tabla de derivadas de funciones básicas; de lo contrario, ¿por qué la compilamos y probamos cada fórmula? Te recomendamos que recuerdes todas estas fórmulas en el futuro te ahorrará mucho tiempo.

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