Kuidas tuletist leida?

Eristamise reeglid.

Mis tahes funktsiooni tuletise leidmiseks peate valdama ainult kolme mõistet:

2. Eristamise reeglid.

3. Kompleksfunktsiooni tuletis.

Täpselt selles järjekorras. See on vihje.)

Muidugi oleks tore saada ülevaade tuletisinstrumentidest üldiselt). Mis on tuletis ja kuidas tuletiste tabeliga töötada, on selgelt selgitatud eelmises õppetükis. Siin käsitleme eristamise reegleid.

Diferentseerimine on tuletise leidmise operatsioon. Selle termini taga pole enam midagi peidus. Need. väljendid "Leia funktsiooni tuletis" Ja "funktsiooni eristamine"- See on sama.

Väljendus "eristamise reeglid" viitab tuletise leidmisele aritmeetilistest tehtetest. See arusaam aitab palju segadust teie peas vältida.

Keskendume ja jätame meelde kõik, kõik, kõik aritmeetilised tehted. Neid on neli). Liitmine (summa), lahutamine (vahe), korrutamine (korrutis) ja jagamine (jagatis). Siin on need eristamise reeglid:

Plaat näitab viis reeglid neli aritmeetilised tehted. Mind ei muudetud.) Reegel 4 on lihtsalt 3. reegli elementaarne tagajärg. Kuid see on nii populaarne, et on mõttekas kirjutada (ja meeles pidada!) see iseseisva valemina.

Nimetuste all U Ja V mõned (absoluutselt kõik!) funktsioonid on vihjatud U(x) Ja V(x).

Vaatame mõnda näidet. Esiteks - kõige lihtsamad.

Leia funktsiooni y=sinx - x 2 tuletis

Siin meil on erinevus kaks elementaarset funktsiooni. Rakendame reeglit 2. Eeldame, et sinx on funktsioon U, ja x 2 on funktsioon V. Meil on täielik õigus kirjutada:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

See on parem, eks?) Jääb üle vaid leida siinuse ja x ruudu tuletised. Selleks on tuletisinstrumentide tabel. Otsime lihtsalt tabelist vajalikud funktsioonid ( sinx Ja x 2), vaadake, millised tuletised neil on, ja kirjutage vastus üles:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

See on kõik. Täpselt sama toimib summade diferentseerimise reegel 1.

Mis siis, kui meil on mitu terminit? Pole probleemi.) Jagame funktsiooni terminiteks ja otsime iga liikme tuletist teistest sõltumatult. Näiteks:

Leia funktsiooni y=sinx - x 2 +cosx - x +3 tuletis

Kirjutame julgelt:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Tunni lõpus annan näpunäiteid, kuidas eristamisel elu lihtsamaks teha.)

Praktilised nõuanded:

1. Enne eristamist vaadake, kas algset funktsiooni on võimalik lihtsustada.

2. Keerulistes näidetes kirjeldame lahendust üksikasjalikult koos kõigi sulgude ja sidekriipsudega.

3. Konstantse arvuga murdude eristamisel nimetajas muudame jagamise korrutamiseks ja kasutame 4. reeglit.

Antud funktsiooni tuletise leidmise probleem on gümnaasiumi matemaatikakursustes ja kõrgkoolides üks põhilisi. Funktsiooni on võimatu täielikult uurida ja selle graafikut koostada ilma selle tuletist võtmata. Funktsiooni tuletise on lihtne leida, kui tead põhilisi diferentseerimise reegleid ja ka põhifunktsioonide tuletisi tabelit. Mõelgem välja, kuidas leida funktsiooni tuletist.

Funktsiooni tuletis on funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui argumendi juurdekasv kipub olema null.

Selle määratluse mõistmine on üsna keeruline, kuna piiri mõistet koolis täielikult ei uurita. Kuid erinevate funktsioonide tuletiste leidmiseks pole vaja definitsiooni mõista, jätkem see matemaatikute hooleks ja liigume otse tuletise leidmise juurde.

Tuletise leidmise protsessi nimetatakse diferentseerimiseks. Funktsiooni eristamisel saame uue funktsiooni.

Nende tähistamiseks kasutame ladina tähti f, g jne.

Tuletisinstrumentide jaoks on palju erinevaid tähistusi. Me kasutame lööki. Näiteks g" kirjutamine tähendab, et leiame funktsiooni g tuletise.

Tuletisinstrumentide tabel

Tuletise leidmise küsimusele vastamiseks on vaja esitada põhifunktsioonide tuletiste tabel. Elementaarfunktsioonide tuletiste arvutamiseks ei ole vaja teha keerulisi arvutusi. Piisab, kui vaadata selle väärtust tuletisinstrumentide tabelis.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (kaare x)"= 1/√ (1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√ (1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1 + x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1 + x 2)

Näide 1. Leia funktsiooni y=500 tuletis.

Näeme, et see on konstant. Tuletiste tabelist on teada, et konstandi tuletis on võrdne nulliga (valem 1).

Näide 2. Leia funktsiooni y=x 100 tuletis.

See on astmefunktsioon, mille eksponent on 100 ja selle tuletise leidmiseks peate funktsiooni korrutama astendajaga ja vähendama seda 1-ga (valem 3).

(x 100)" = 100 x 99

Näide 3. Leia funktsiooni y=5 x tuletis

See eksponentsiaalne funktsioon, arvutame selle tuletise valemi 4 abil.

Näide 4. Leia funktsiooni y= log 4 x tuletis

Leiame logaritmi tuletise valemi 7 abil.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Eristamise reeglid

Mõelgem nüüd välja, kuidas leida funktsiooni tuletist, kui seda tabelis pole. Enamik uuritud funktsioone ei ole elementaarfunktsioonid, vaid on elementaarfunktsioonide kombinatsioonid, mis kasutavad lihtsaid tehteid (liitmine, lahutamine, korrutamine, jagamine ja arvuga korrutamine). Nende tuletiste leidmiseks peate teadma eristamise reegleid. Allpool tähistavad tähed f ja g funktsioone ning C on konstant.

1. Tuletise märgist saab välja võtta konstantse koefitsiendi

Näide 5. Leia funktsiooni y= 6*x 8 tuletis

Me võtame välja konstantse teguri 6 ja eristame ainult x 4. See on astmefunktsioon, mille tuletis leitakse tuletiste tabeli valemi 3 abil.

(6*x8)" = 6*(x8)"=6*8*x7 =48* x 7

2. Summa tuletis võrdub tuletiste summaga

(f + g)"=f" + g"

Näide 6. Leia funktsiooni y= x 100 +sin x tuletis

Funktsioon on kahe funktsiooni summa, mille tuletised leiame tabelist. Kuna (x 100)"=100 x 99 ja (sin x)"=cos x. Summa tuletis on võrdne nende tuletiste summaga:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Erinevuse tuletis võrdub tuletiste erinevusega

(f – g)"=f" – g"

Näide 7. Leia funktsiooni y= x 100 – cos x tuletis

See funktsioon on kahe funktsiooni erinevus, mille tuletised leiame ka tabelist. Siis on erinevuse tuletis võrdne tuletiste erinevusega ja ärge unustage märki muuta, kuna (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Näide 8. Leia funktsiooni y=e x +tg x– x 2 tuletis.

Sellel funktsioonil on nii summa kui ka erinevus; leiame iga termini tuletised:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Siis on algfunktsiooni tuletis võrdne:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Toote tuletis

(f * g)"=f" * g + f * g"

Näide 9. Leia funktsiooni y= cos x *e x tuletis

Selleks leiame esmalt iga teguri tuletise (cos x)"=–sin x ja (e x)"=e x. Nüüd asendame kõik toote valemiga. Korrutame esimese funktsiooni tuletise teisega ja liidame esimese funktsiooni korrutise teise tuletisega.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Jagatise tuletis

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Näide 10. Leia funktsiooni y= x 50 /sin x tuletis

Jagatise tuletise leidmiseks leiame esmalt eraldi lugeja ja nimetaja tuletise: (x 50)"=50 x 49 ja (sin x)"= cos x. Asendades jagatise tuletise valemis, saame:

(x 50 /sin x)"= 50x49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Kompleksfunktsiooni tuletis

Kompleksfunktsioon on funktsioon, mida esindab mitme funktsiooni koostis. Samuti on olemas reegel kompleksfunktsiooni tuletise leidmiseks:

(u (v))"=u"(v)*v"

Mõelgem välja, kuidas sellise funktsiooni tuletist leida. Olgu y= u(v(x)) kompleksfunktsioon. Nimetame funktsiooni u väliseks ja v - sisemiseks.

Näiteks:

y=sin (x 3) on kompleksfunktsioon.

Siis y=sin(t) on väline funktsioon

t=x 3 – sisemine.

Proovime arvutada selle funktsiooni tuletise. Vastavalt valemile peate korrutama sisemiste ja väliste funktsioonide tuletised.

(sin t)"=cos (t) - välisfunktsiooni tuletis (kus t = x 3)

(x 3)"=3x 2 - sisefunktsiooni tuletis

Siis (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 on kompleksfunktsiooni tuletis.

Füüsikaliste ülesannete või näidete lahendamine matemaatikas on täiesti võimatu ilma tuletise ja selle arvutamise meetodite tundmiseta. Tuletis on matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Otsustasime tänase artikli pühendada sellele põhiteemale. Mis on tuletis, mis on selle füüsikaline ja geomeetriline tähendus, kuidas arvutada funktsiooni tuletist? Kõik need küsimused saab ühendada üheks: kuidas tuletist aru saada?

Tuletise geomeetriline ja füüsikaline tähendus

Olgu funktsioon f(x) , määratud teatud intervalliga (a, b) . Sellesse intervalli kuuluvad punktid x ja x0. Kui x muutub, muutub funktsioon ise. Argumendi muutmine – selle väärtuste erinevus x-x0 . See erinevus on kirjutatud kui delta x ja seda nimetatakse argumendi juurdekasvuks. Funktsiooni muutus või juurdekasv on funktsiooni väärtuste erinevus kahes punktis. Tuletise määratlus:

Funktsiooni tuletis punktis on antud punktis oleva funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir, kui viimane kipub olema null.

Muidu võib selle kirjutada nii:

Mis mõtet on sellist piiri leida? Ja siin on, mis see on:

funktsiooni tuletis punktis on võrdne OX-telje vahelise nurga puutujaga ja funktsiooni graafiku puutujaga antud punktis.

Tuletise füüsiline tähendus: tee tuletis aja suhtes on võrdne sirgjoonelise liikumise kiirusega.

Tõepoolest, kooliajast saati teavad kõik, et kiirus on eriline tee x=f(t) ja aeg t . Keskmine kiirus teatud aja jooksul:

Et teada saada liikumiskiirust ajahetkel t0 peate arvutama piirangu:

Esimene reegel: määrake konstant

Konstandi saab tuletismärgist välja võtta. Pealegi tuleb seda teha. Matemaatika näidete lahendamisel võtke seda reeglina - Kui saate väljendit lihtsustada, siis kindlasti lihtsustage seda .

Näide. Arvutame tuletise:

Teine reegel: funktsioonide summa tuletis

Kahe funktsiooni summa tuletis on võrdne nende funktsioonide tuletiste summaga. Sama kehtib ka funktsioonide erinevuse tuletise kohta.

Me ei tõesta seda teoreemi, vaid kaalume pigem praktilist näidet.

Leia funktsiooni tuletis:

Kolmas reegel: funktsioonide korrutise tuletis

Kahe diferentseeruva funktsiooni korrutise tuletis arvutatakse järgmise valemiga:

Näide: leidke funktsiooni tuletis:

Lahendus:

Siin on oluline rääkida keerukate funktsioonide tuletiste arvutamisest. Kompleksfunktsiooni tuletis on võrdne selle funktsiooni tuletise korrutisega vaheargumendi ja vahepealse argumendi tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Ülaltoodud näites kohtame väljendit:

Sel juhul on vahepealne argument 8x viienda astmeni. Sellise avaldise tuletise arvutamiseks arvutame esmalt välisfunktsiooni tuletise vaheargumendi suhtes ja seejärel korrutame vaheargumendi enda tuletisega sõltumatu muutuja suhtes.

Neljas reegel: kahe funktsiooni jagatise tuletis

Valem kahe funktsiooni jagatise tuletise määramiseks:

Püüdsime nullist rääkida mannekeenide derivaatidest. See teema pole nii lihtne, kui tundub, seega olge ettevaatlik: näidetes on sageli lõkse, seega olge tuletisinstrumentide arvutamisel ettevaatlik.

Kõigi selle ja muude teemade kohta tekkivate küsimustega võite pöörduda üliõpilasteeninduse poole. Lühikese ajaga aitame teil lahendada kõige keerulisema testi ja mõista ülesandeid, isegi kui te pole kunagi varem tuletisarvutusi teinud.

Kalkulaator arvutab kõigi elementaarfunktsioonide tuletised, andes üksikasjaliku lahenduse. Diferentseerimismuutuja määratakse automaatselt.

Funktsiooni tuletis- matemaatilise analüüsi üks olulisemaid mõisteid. Tuletise tekkimine tõi kaasa sellised probleemid nagu näiteks punkti hetkkiiruse arvutamine ajahetkel, kui ajast sõltuv teekond on teada, funktsiooni puutuja leidmine punktis.

Enamasti määratletakse funktsiooni tuletis funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piirina, kui see on olemas.

Definitsioon. Olgu funktsioon määratletud punkti mõnes naabruses. Siis nimetatakse funktsiooni tuletist punktis piiriks, kui see on olemas

Kuidas arvutada funktsiooni tuletist?

Funktsioonide eristamise õppimiseks peate õppima ja mõistma diferentseerimisreeglid ja õppida kasutama tuletisinstrumentide tabel.

Eristamise reeglid

Olgu reaalmuutuja suvalised diferentseeruvad funktsioonid ja mingi reaalne konstant. Siis

— funktsioonide korrutise eristamise reegel

— jagatisfunktsioonide diferentseerimise reegel

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — muutuva astendajaga funktsiooni eristamine

— keeruka funktsiooni eristamise reegel

— võimsusfunktsiooni eristamise reegel

Funktsiooni tuletis võrgus

Meie kalkulaator arvutab kiiresti ja täpselt võrgus mis tahes funktsiooni tuletise. Programm ei tee tuletise arvutamisel vigu ja aitab vältida pikki ja tüütuid arvutusi. Interneti-kalkulaator See on kasulik ka juhul, kui on vaja kontrollida oma lahenduse õigsust ja kui see on vale, leida viga kiiresti.

Leheküljel navigeerimine.

Tuletis on konstantne.

Tabeli kõige esimese valemi tuletamisel lähtume funktsiooni tuletise definitsioonist punktis. Võtame , kus x on mis tahes reaalarv, st x on suvaline arv funktsiooni määratluspiirkonnast. Kirjutame üles funktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piiri:

Tuleb märkida, et piirmärgi all saadakse avaldis, mis ei ole , kuna lugeja ei sisalda lõpmata väikest väärtust, vaid täpselt nulli. Teisisõnu, konstantse funktsiooni juurdekasv on alati null.

Seega konstantse funktsiooni tuletis on kogu definitsioonipiirkonna ulatuses võrdne nulliga.

Näide.

Leia järgmiste konstantfunktsioonide tuletised

Lahendus.

Esimesel juhul on meil naturaalarvu 3 tuletis, teisel juhul tuleb võtta parameetri a tuletis, mis võib olla mis tahes reaalarv, kolmandal - irratsionaalarvu tuletis, neljandal juhul on meil nulli tuletis (null on täisarv), viiendal – ratsionaalse murru tuletis.

Vastus:

Kõigi nende funktsioonide tuletised on võrdsed nulliga mis tahes reaalse x (kogu määratluspiirkonna ulatuses)

Võimsusfunktsiooni tuletis.

Astmefunktsiooni tuletise valemil on vorm , kus astendaja p on mis tahes reaalarv.

Tõestame esmalt naturaalse astendaja valemit, st kui p = 1, 2, 3, ...

Kasutame tuletise määratlust. Kirjutame üles võimsusfunktsiooni juurdekasvu ja argumendi juurdekasvu suhte piir:

Lugeja avaldise lihtsustamiseks pöördume valemi poole:

Seega

See tõestab loomuliku astendaja astmefunktsiooni tuletise valemit.

Arvesse tuleks võtta kahte juhtumit: positiivse x ja negatiivse x puhul.

Oletame esmalt. Sel juhul . Võtame võrdsuse logaritmi baasiks e ja rakendame logaritmi omadust:

Jõudsime kaudselt määratletud funktsioonini. Leiame selle tuletise:

Jääb üle teostada negatiivse x tõestus.

Kui astendaja p on paarisarv, siis on ka astmefunktsioon defineeritud ja on paaris (vt jaotist). See on, . Sel juhul saab tõestust kasutada ka logaritmilise tuletise kaudu.

Kui eksponent p on paaritu arv, on ka astmefunktsioon defineeritud ja paaritu. See on, . Sel juhul ei saa kasutada logaritmilist tuletist. Valemi tõestamiseks sel juhul saate kasutada diferentseerimisreegleid ja kompleksfunktsiooni tuletise leidmise reeglit:

Viimane üleminek on võimalik tänu sellele, et kui p on paaritu arv, siis p-1 on kas paarisarv või null (p=1 korral), seega on negatiivse x puhul võrdsus tõene .

Seega on astmefunktsiooni tuletise valem tõestatud mis tahes reaalse p korral.

Näide.

Leia funktsioonide tuletised.

Lahendus.

Toome esimese ja kolmanda funktsiooni astme omadusi kasutades tabelikujule ja rakendame astmefunktsiooni tuletise valemit:

Eksponentfunktsiooni tuletis.

Esitame tuletisvalemi tuletamise definitsiooni põhjal:

Oleme jõudnud ebakindluseni. Selle laiendamiseks tutvustame uut muutujat ja aadressil . Siis . Viimases üleminekus kasutasime uuele logaritmilisele alusele ülemineku valemit.

Asendame algse limiidiga:

Siinusfunktsiooni tuletise definitsiooni järgi, mis meil on .

Kasutame siinuste erinevuse valemit:

Jääb üle pöörduda esimese tähelepanuväärse piiri poole:

Seega on funktsiooni sin x tuletis cos x.

Koosinuse tuletise valem on tõestatud täpselt samamoodi.

Diferentseerimisülesannete lahendamisel viitame pidevalt põhifunktsioonide tuletiste tabelile, muidu miks me selle koostasime ja iga valemit tõestasime. Soovitame teil edaspidi kõik need valemid meeles pidada, see säästab palju aega.

Autoriõigus nutikatele õpilastele

Kõik õigused kaitstud.
Autoriõiguse seadusega kaitstud. Ühtegi saidi osa, sealhulgas sisemisi materjale ja välimust, ei tohi mingil kujul reprodutseerida ega kasutada ilma autoriõiguste omaniku eelneva kirjaliku loata.