T E M A: Transformacije grafova trigonometrijskih funkcija s modulom.

CILJ: Razmatranje dobivanja grafova trigonometrijskih funkcija oblika

g= f(|x|) ;g = | f(x)| .

Razvijati matematičku logiku i pažnju.

H O D U R O K A:

Org. trenutak: Najava teme, ciljeva i zadataka lekcije.

Učitelj: Danas moramo naučiti crtati grafove funkcija y = sin |x|; y = cos|x|

Y = |A sin x +b| ; Y = |A cos x +b| koristeći naše znanje o transformacijama transcendentnih funkcija oblika y = f(|x|) i y = |f(x)| . Možete pitati: "Za što je ovo?" Činjenica je da se u ovom slučaju mijenjaju svojstva funkcija, ali to se najbolje vidi, kao što znate, na grafu.

Prisjetimo se kako su ove funkcije napisane pomoću definicije

djeca: f(|x|) =

|f(x)| =

Učitelj: Dakle, za iscrtavanje funkcije y =f(|x|), ako je poznat graf funkcije

y =f{ x), trebate taj dio grafa funkcije y = ostaviti na mjestuf(x), koji

odgovara nenegativnom dijelu domene definicije funkcije y =f(x). Odražavajući ovo

dio je simetričan oko y-osi, dobivamo drugi dio grafa koji odgovara

negativni dio domene definicije.

Odnosno, na grafikonu to izgleda ovako: y = f (x)

(Ovi grafikoni su nacrtani na ploči. Djeca u bilježnicama)

Sada ćemo na temelju toga konstruirati graf funkcija y = sin |x|; Y = |sin x | ; Y = |2 sin x + 2|

Slika 1. Y = sin x

Slika 2. Y = sin |x|

Nacrtajmo sada funkcije Y = |sin x | i Y = |2 sin x + 2|

Za crtanje funkcije y = \f(x)\, ako je poznat graf funkcije y =f(x), trebate ostaviti na mjestu onaj dio gdjef(x) > OKO, i simetrično prikazati njegov drugi dio u odnosu na x-os, gdjef(x) < 0.

Sažetak sata algebre i početak analize u 10. razredu

na temu: “Transformacija grafova trigonometrijskih funkcija”

Svrha lekcije: sistematizirati znanje o temi "Svojstva i grafovi trigonometrijskih funkcija y=sin (x), y=cos (x)".

Ciljevi lekcije:

• ponoviti svojstva trigonometrijskih funkcija y=sin (x), y=cos (x);
• ponavljanje formula redukcije;
• pretvaranje grafova trigonometrijskih funkcija;
• razvijati pažnju, pamćenje, logično razmišljanje; intenzivirati mentalnu aktivnost, sposobnost analize, generaliziranja i zaključivanja;
• poticanje marljivosti, marljivosti u postizanju ciljeva, interesa za predmet.

Oprema za nastavu: ICT

Vrsta lekcije: učenje novih stvari

Napredak lekcije

Prije sata 2 učenika na ploči crtaju grafikone iz svoje zadaće.

Organizacijska točka:

Pozdrav momci!

Danas ćemo u lekciji transformirati grafove trigonometrijskih funkcija y=sin (x), y=cos (x).

Usmeni rad:

Provjera domaće zadaće.

rješavanje zagonetki.

Učenje novog gradiva

Sve transformacije grafova funkcija su univerzalne - prikladne su za sve funkcije, uključujući trigonometrijske. Ovdje ćemo se ograničiti na kratki podsjetnik na glavne transformacije grafova.

Transformacija grafova funkcija.

Zadana je funkcija y = f (x). Počinjemo graditi sve grafove iz grafa ove funkcije, a zatim izvodimo akcije s njim.

Funkcija

Što učiniti s rasporedom

y = f(x) + a

Sve točke prvog grafa dižemo za jedinicu prema gore.

y = f(x) – a

Sve točke prvog grafa spustimo za jedinicu niže.

y = f(x + a)

Sve točke prvog grafa pomaknemo za jedinicu ulijevo.

y = f (x – a)

Sve točke prvog grafa pomaknemo za jedinicu udesno.

y = a*f (x),a>1

Popravljamo nule na mjesto, gornje točke pomičemo više puta, a donje spuštamo niže za puta.

Graf će se "razvući" gore-dolje, nule ostaju na mjestu.

y = a*f(x), a<1

Popravljamo nule, gornje točke će se puta spustiti, donje će se podići. Grafikon će se "smanjiti" prema x-osi.

y = -f(x)

Zrcalite prvi graf oko x-osi.

y = f (x), a<1

Fiksirajte točku na ordinatnu os. Svaki segment na apscisnoj osi uvećan je puta. Graf će se protezati od ordinatne osi u različitim smjerovima.

y = f (ax), a >1

Fiksirajte točku na osi ordinata, smanjite svaki segment na osi apscise za faktor. Graf će se "smanjiti" prema y-osi s obje strane.

y = | f(x)|

Dijelovi grafa koji se nalaze ispod x-osi su zrcalni. Cijeli graf će se nalaziti u gornjoj poluravnini.

Sheme rješenja.

1)y = sin x + 2.

Gradimo graf y = sin x. Svaku točku grafa podižemo prema gore za 2 jedinice (također nule).

2)y = cos x – 3.

Gradimo graf y = cos x. Svaku točku grafa spuštamo za 3 jedinice.

3)y = cos (x - /2)

Gradimo graf y = cos x. Sve točke pomičemo za p/2 udesno.

4)y = 2 sinx.

Gradimo graf y = sin x. Ostavljamo nule na mjestu, podižemo gornje točke 2 puta, a donje spuštamo za isti iznos.

PRAKTIČNI RAD Izrada grafova trigonometrijskih funkcija pomoću programa Advanced Grapher.

Nacrtajmo funkciju y = -cos 3x + 2.

1. Nacrtajmo funkciju y = cos x.
2. Odrazimo ga relativno na apscisnu os.
3. Ovaj graf mora biti komprimiran tri puta duž x-osi.
4. Konačno, takav grafikon mora biti podignut za tri jedinice duž y-osi.

y = 0,5 sin x.

y = 0,2 cos x-2

y = 5cos 0 .5 x

y= -3sin(x+π).

2) Pronađite grešku i ispravite je.

V. Povijesna građa. Poruka o Euleru.

Leonhard Euler je najveći matematičar 18. stoljeća. Rođen u Švicarskoj. Dugi niz godina živio je i radio u Rusiji, član Peterburške akademije.

Zašto bismo trebali znati i zapamtiti ime ovog znanstvenika?

Do početka 18. stoljeća trigonometrija još nije bila dovoljno razvijena: nije bilo simbola, formule su se zapisivale riječima, bilo ih je teško naučiti, pitanje znakova trigonometrijskih funkcija u različitim četvrtinama kruga bilo je nejasno, a argument trigonometrijske funkcije značio je samo kutove ili lukove. Tek u Eulerovim djelima trigonometrija je dobila svoj moderni oblik. On je bio taj koji je počeo razmatrati trigonometrijsku funkciju broja, tj. Argument se počeo shvaćati ne samo kao luk ili stupanj, već i kao broj. Euler je izveo sve trigonometrijske formule iz nekoliko osnovnih i racionalizirao pitanje predznaka trigonometrijske funkcije u različitim četvrtinama kruga. Za označavanje trigonometrijskih funkcija uveo je simboliku: sin x, cos x, tan x, ctg x.

Na pragu 18. stoljeća javlja se novi smjer u razvoju trigonometrije - analitički. Ako se prije toga glavnim ciljem trigonometrije smatralo rješavanje trokuta, onda je Euler smatrao trigonometriju znanošću o trigonometrijskim funkcijama. Prvi dio: nauk o funkcijama je dio općeg nauka o funkcijama, koji se proučava u matematičkoj analizi. Drugi dio: rješavanje trokuta - geometrijsko poglavlje. Takve je inovacije napravio Euler.

VI. Ponavljanje

Samostalni rad "Dodajte formulu."

VII. Sažetak lekcije:

1) Što ste novo danas naučili na satu?

2) Što još želite znati?

3) Ocjenjivanje.

Algoritam za izradu grafova Graf funkcije y = sin (x-a) može se dobiti paralelnim pomicanjem grafa funkcije y = sinx duž Ox osi za jedinicu udesno. Graf funkcije y = sin (x+a) može se dobiti paralelnim pomicanjem grafa funkcije y = sinx duž Ox osi za jedinicu ulijevo.

0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (na 00) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (na 0 7 Algoritam za izradu grafova Graf funkcije y = sin (Kx) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x razvlačenjem (pri 01 kompresiji za K puta) duž osi Ox. 0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (na 0 0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (na 01 sažimanjem za faktor K ) duž osi Ox."> 0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (na 00) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (na 0 naslov ="Graphing algorithm Graf funkcije y = sin (Kx) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x njegovim rastezanjem (na 0

8 Kompresija i istezanje na y-os Nacrtajte graf funkcije y = sin2 x Nacrtajte graf funkcije y = sin K > 1 kompresija 0 1 kompresija 0 1 kompresija 0 1 kompresija 0 1 kompresija 0 title="8 Сжатие и растяжение к оси ординат Построить график функции у = sin2 х Построить график функции у = sin K > 1 сжатие 0 !}

0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (za K>1 rastezanjem za faktor K) duž osi Oy. Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sinx its s" title="Graphing algorithm: Graf funkcije y = Ksin ( x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x istezanjem (za K>1 rastezanjem za K puta) duž osi Oy. Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sinx it with" class="link_thumb"> 9 !} Algoritam za konstruiranje grafova: Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (za K>1 rastezanjem za faktor K ) duž osi Oy. Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sinx sažimanjem (kod 01 rastezanja za K puta) duž Ou osi. Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sinx njen c "> 0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (za K>1 istezanjem K puta) duž osi Oy Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sinx njegovim sažimanjem (s 01 rastezanjem. po K puta) duž osi Oy Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sinx it pomoću" title=" Algoritam za konstruiranje grafova). : Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x istezanjem (za K> 1 rastezanjem za K puta) duž osi Oy funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sinx s njim"> title="Algoritam za konstruiranje grafova: Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sin x rastezanjem (za K>1 rastezanjem za faktor K ) duž osi Oy. Graf funkcije y = Ksin (x) (K>0) može se dobiti iz grafa funkcije y = sinx it s">!}

1 dionica 0 1 dionica 0 10 10 Kompresija i istezanje na os x K > 1 rastezanje 0 1 istezanje 0 1 istezanje 0 1 istezanje 0 1 istezanje 0 title="10 Kompresija i rastezanje na os x K > 1 istezanje 0

13 Pomak po ordinatnoj osi Izgradite graf funkcije y=sins+3 Izgradite graf funkcije y=sins-3 + gore - dolje y = sinx y = sinx + 3 y = sinx y = sinx Transformacija grafa

X y 1 -2 Provjera: y 1 = sinx; y 2 = sinx + 2; y 3 = sinx

Bilješke za lekcije iz algebre u 10. razredu

Vasiljeva Ekaterina Sergejevna,

profesorica matematike

OGBOU "Smolensk specijalni (popravni)

opća škola I. i II.

Smolensk

Tema lekcije: "Transformacija grafova trigonometrijskih funkcija."

Imemodul: pretvaranje grafova trigonometrijskih funkcija. Integriranjedidaktičkimcilj: uvježbati vještine konstruiranja grafova trigonometrijskih funkcija. Ciljani akcijski plan za učenike:

ponoviti osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija; uvježbati vještinu pretvorbe grafova trigonometrijskih funkcija; promicati razvoj logičkog mišljenja; njegovati interes za proučavanje predmeta.

Banka informacija.

Riža. 1

Svojstva:

D(y)=R E(y)=[-1;1], funkcija je ograničena sin(-x)=-sinx, funkcija je neparna Minimalni pozitivni period: 2π
sin (x+2πn)= sin x, n Ê Z, x Ê R. sin x=0 pri x=πk, kÊ Z sin x>0, x Ê (2πk;2π+2πk), k Ê Z sin x Najveći vrijednost jednaka 1, y=sin x poprima u točkama x=π/2+ 2πk, k Ê Z. Najmanju vrijednost jednaku -1, y=sin x poprima u točkama x=3π/2+ 2πk, k Ê Z.

Riža. 2

Svojstva:

D (y)=RE (y)=[-1;1], funkcija je ograničena cos(-x)= cos x, funkcija je parna Minimalni pozitivni period: 2π
cos (x+2πn)=cos x, n Ê Z, x Ê R cos x=0 pri x=π/2+πk, kÊZ cos x>0, x Ê (-π/2+2πk; π/2+ 2πk), k Ê Z cos x Najveću vrijednost jednaku 1, y=cos x poprima u točkama x= 2πk, k Ê Z. Najmanju vrijednost jednaku -1, y=cos x poprima u točkama x=π+ 2πk , k Ê Z.

Riža . 3

Svojstva:

D(y)-skup svih realnih brojeva, osim brojeva oblika x=π/2 +πk, k Ê Z E(y)=(-∞;+ ∞), neograničena funkcija tg(-x)=-tg x , neparna funkcija najmanji pozitivni period: π
tg(x+π)= tan x tgx= 0 pri x=πk, k Ê Z tg x> 0, x Ê (πk; π/2+πk), k Ê Z tg x

Riža. 4

Svojstva:

D(y)-skup svih realnih brojeva, osim brojeva oblika x=πk, k Ê Z E(y)= (-∞;+ ∞), neograničena funkcija ctg(-x)=-ctg x, neparna funkcija Minimum pozitivno razdoblje: π
ctg(x+π)=tg x ctg x = 0 pri x=π/2+πk, k Ê Z ctg x>0, x Ê(πk; π/2+πk), k Ê Z ctg x

Objašnjenje gradiva.

g= f(x)+ a, gdje je a konstantan broj, morate pomaknuti graf g= f(x) po ordinatnoj osi. Ako je a>0, tada pomičemo graf paralelan sa samim sobom prema gore, ako je a Da bismo konstruirali graf funkcije g= kf(x) trebamo rastegnuti graf funkcije g= f(x) V k puta duž ordinatne osi. Ako | k|>1 , tada se graf proteže duž osi OY, Ako 0k| , zatim – kompresija. Graf funkcije g= f(x+ b) dobiven iz grafikona g= f(x) paralelnom translacijom po apscisnoj osi. Ako je b>0, tada se graf pomiče ulijevo, ako je b

Nacrtati graf funkcije g= f(kx) treba rastegnuti raspored g= f(x) po apscisnoj osi. Ako | k|>1 , tada je graf sabijen duž osi OH, ako je 0

Učvršćivanje materijala.

Razina A

Privatnodidaktičkimcilj: uvježbati vještinu konstruiranja trigonometrijskih funkcija pomoću transformacija.

MetodičkikomentarZaučenicima:

Vol 3 puta.





Graf funkcije dobiva se iz grafa istezanjem duž osi Joj 2 puta.





Graf funkcije dobiva se iz grafa paralelnim prevođenjem 2 jedinice prema gore po osi Joj.







Graf funkcije dobiva se iz grafa paralelnim prevođenjem po apscisnoj osi za jedinice ulijevo.





G

Graf funkcije dobiva se iz grafa sažimanjem po osi Joj 4 puta.

Razina B.

Privatnodidaktičkimcilj: trigonometrijski funkcionira po dosljedan primjenom transformacija.

MetodičkikomentarZaučenicima: konstruirati grafove funkcija provođenjem transformacija.



Graf funkcije dobiva se iz grafa paralelnim prevođenjem po apscisnoj osi za jedinice udesno.



Graf funkcije dobiva se iz grafa funkcije uzastopnim izvođenjem sljedećih transformacija:

1) paralelna translacija po jedinicama ulijevo duž apscisne osi

2) kompresija duž osi Oy za 4 puta .





Graf funkcije dobiva se iz grafa funkcije čija se svaka ordinata mijenja za faktor -2. Da bismo to učinili, izvodimo sljedeće transformacije:

1) prikazati simetrično oko osi Vol,

2) rastegnuti 2 puta duž osi Joj.




dosljedan izvršiti sljedeće transformacije:

1) kompresija duž osi apscise 2 puta;

2) rastezanje V 3 puta uz sjekire Joj;

3) paralelno prijenos na 1 jedinica gore uz sjekire ordinata.





Razina S .

Privatnodidaktičkimcilj: vježbati vještine crtanja grafikona trigonometrijski funkcionira po dosljedan primjenom transformacija.

Metodički komentar Za učenicima : molimo navedite , koji transformacija trebati izvršiti Za konstrukcija grafovi . Izgraditi grafika .

1.

Graf funkcije dobiva se iz grafa funkcije uzastopnim izvođenjem sljedećih transformacija:

1) prikaz je simetričan u odnosu na os Vol,

2) kompresija 2 puta duž osi Oy;

3) paralelna translacija 2 jedinice prema dolje duž osi Oy.





2.

Grafik funkcije dobiva se iz grafa funkcije dosljedan izvodeći sljedeće transformacije: ispada www. aerodromski portal. ru/ usluge/ graf. html