Како да се најде дериватот?

Правила на диференцијација.

За да го пронајдете изводот на која било функција, треба да совладате само три концепти:

2. Правила на диференцијација.

3. Извод на сложена функција.

Токму по тој редослед. Тоа е навестување.)

Се разбира, би било убаво да се има идеја за дериватите воопшто). Што е извод и како да се работи со табела на деривати е јасно објаснето во претходната лекција. Овде ќе се занимаваме со правилата на диференцијација.

Диференцијацијата е операција на пронаоѓање на изводот. Зад овој термин нема ништо повеќе скриено. Оние. изрази „најдете го изводот на функцијата“И "диференцирајте функција"- Исто е.

Изразување „правила на диференцијација“се однесува на наоѓање на дериватот од аритметички операции.Ова разбирање многу помага да се избегне забуна во вашата глава.

Ајде да се концентрираме и да ги запомниме сите, сите, сите аритметички операции. Има четири од нив). Собирање (збир), одземање (разлика), множење (производ) и делење (количник). Еве ги правилата за диференцијација:

Плочата покажува петправила на четириаритметички операции. Не сум скршнала.) Само правилото 4 е елементарна последица на правилото 3. Но, толку е популарно што има смисла да се напише (и запомни!) како независна формула.

Под ознаките УИ Внекои (апсолутно какви било!) функции се имплицирани U(x)И V(x).

Ајде да погледнеме неколку примери. Прво - наједноставните.

Најдете го изводот на функцијата y=sinx - x 2

Еве ние имаме разликадве елементарни функции. Го применуваме правилото 2. Ќе претпоставиме дека sinx е функција У, а x 2 е функцијата В.Имаме целосно право да напишеме:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)" - (x 2)"

Тоа е подобро, нели?) Останува само да се најдат изводите на синус и квадрат на x. За таа цел постои табела на деривати. Ние само ги бараме функциите што ни се потребни во табелата ( синксИ x 2), погледнете какви деривати имаат и запишете го одговорот:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Тоа е тоа. Правилото 1 за диференцијација на сумата функционира сосема исто.

Што ако имаме неколку термини? Нема проблем.) Ја разделуваме функцијата на поими и го бараме изводот на секој член независно од другите. На пример:

Најдете го изводот на функцијата y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Смело пишуваме:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

На крајот од лекцијата ќе дадам совети за да го олеснам животот при разликувањето.)

Практичен совет:

1. Пред диференцијација, проверете дали е можно да се поедностави оригиналната функција.

2. Во комплицирани примери, детално го опишуваме решението, со сите загради и цртички.

3. При диференцирање на дропки со константен број во именителот, делењето го претвораме во множење и го користиме правилото 4.

Проблемот со наоѓање на изводот на дадена функција е еден од главните на курсевите по математика во гимназијата и во високообразовните институции. Невозможно е целосно да се истражи функцијата и да се конструира нејзиниот график без да се земе нејзиниот дериват. Изводот на функција може лесно да се најде ако ги знаете основните правила на диференцијација, како и табелата со изводи на основните функции. Ајде да откриеме како да го најдеме изводот на функцијата.

Изводот на функцијата е граница на односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на аргументот кога зголемувањето на аргументот се стреми кон нула.

Разбирањето на оваа дефиниција е доста тешко, бидејќи концептот на граница не е целосно изучуван во училиште. Но, за да се најдат деривати на различни функции, не е неопходно да се разбере дефиницијата, ајде да ја оставиме на математичарите и да преминеме директно на наоѓање на изводот.

Процесот на пронаоѓање на дериватот се нарекува диференцијација. Кога диференцираме функција, ќе добиеме нова функција.

За да ги означиме ќе ги користиме латинските букви f, g итн.

Постојат многу различни ознаки за деривати. Ќе користиме мозочен удар. На пример, пишувањето g“ значи дека ќе го најдеме изводот на функцијата g.

Табела со деривати

За да се одговори на прашањето како да се најде изводот, неопходно е да се обезбеди табела на деривати на главните функции. За да се пресметаат дериватите на елементарните функции, не е неопходно да се вршат сложени пресметки. Доволно е само да се погледне неговата вредност во табелата на деривати.

1. (грев x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (n x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/грев 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Пример 1. Најдете го изводот на функцијата y=500.

Гледаме дека ова е константа. Од табелата со деривати се знае дека изводот на константата е еднаков на нула (формула 1).

Пример 2. Најдете го изводот на функцијата y=x 100.

Ова е моќна функција чиј експонент е 100, а за да го пронајдете нејзиниот извод треба да ја помножите функцијата со експонентот и да ја намалите за 1 (формула 3).

(x 100)" = 100 x 99

Пример 3. Најдете го изводот на функцијата y=5 x

Ова експоненцијална функција, да го пресметаме неговиот дериват користејќи ја формулата 4.

Пример 4. Најдете го изводот на функцијата y= log 4 x

Го наоѓаме изводот на логаритмот користејќи ја формулата 7.

(лог 4 x)"=1/x ln 4

Правила за диференцијација

Ајде сега да откриеме како да го најдеме изводот на функцијата ако не е во табелата. Повеќето од проучуваните функции не се елементарни, туку се комбинации на елементарни функции кои користат едноставни операции (собирање, одземање, множење, делење и множење со број). За да ги пронајдете нивните деривати, треба да ги знаете правилата за диференцијација. Подолу, буквите f и g означуваат функции, а C е константа.

1. Константниот коефициент може да се извади од знакот на изводот

Пример 5. Најдете го изводот на функцијата y= 6*x 8

Извадуваме константен фактор 6 и разликуваме само x 4. Ова е функција на моќност, чиј дериват се наоѓа со помош на формулата 3 од табелата со деривати.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Изводот на збир е еднаков на збирот на изводите

(f + g)"=f" + g"

Пример 6. Најдете го изводот на функцијата y= x 100 +sin x

Функција е збир на две функции, чии изводи можеме да ги најдеме од табелата. Бидејќи (x 100)" = 100 x 99 и (sin x)" = cos x. Изводот на збирот ќе биде еднаков на збирот на овие деривати:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Изводот на разликата е еднаков на разликата на изводите

(f – g)"=f" - g"

Пример 7. Најдете го изводот на функцијата y= x 100 – cos x

Оваа функција е разлика од две функции, чии изводи можеме да ги најдеме и во табелата. Тогаш дериватот на разликата е еднаков на разликата на дериватите и не заборавајте да го промените знакот, бидејќи (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + грев x

Пример 8. Најдете го изводот на функцијата y=e x +tg x– x 2.

Оваа функција има и збир и разлика, ајде да ги најдеме изводите на секој член:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Тогаш изводот на оригиналната функција е еднаков на:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Дериват на производот

(f * g)"=f" * g + f * g"

Пример 9. Најдете го изводот на функцијата y= cos x *e x

За да го направите ова, прво го наоѓаме изводот на секој фактор (cos x)"=–sin x и (e x)"=e x. Сега ајде да замениме сè во формулата на производот. Изводот на првата функција го множиме со втората и го додаваме производот од првата функција со изводот на втората.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Извод на количник

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Пример 10. Најдете го изводот на функцијата y= x 50 /sin x

За да го најдеме изводот на количник, прво го наоѓаме изводот на броителот и именителот одделно: (x 50)"=50 x 49 и (sin x)"= cos x. Заменувајќи го дериватот на количникот во формулата, добиваме:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Извод на сложена функција

Комплексна функција е функција претставена со состав од неколку функции. Исто така, постои правило за пронаоѓање на изводот на сложена функција:

(u (v))"=u"(v)*v"

Ајде да откриеме како да го најдеме изводот на таква функција. Нека y= u(v(x)) е сложена функција. Да ја наречеме функцијата u надворешна, а v - внатрешна.

На пример:

y=sin (x 3) е сложена функција.

Тогаш y=sin(t) е надворешната функција

t=x 3 - внатрешен.

Ајде да се обидеме да го пресметаме изводот на оваа функција. Според формулата, треба да ги помножите дериватите на внатрешните и надворешните функции.

(sin t)"=cos (t) - извод на надворешната функција (каде t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - извод на внатрешната функција

Тогаш (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 е извод на сложена функција.

Решавањето физички проблеми или примери во математиката е сосема невозможно без познавање на изводот и методите за негово пресметување. Дериватот е еден од најважните концепти во математичката анализа. Решивме да ја посветиме денешната статија на оваа основна тема. Што е извод, кое е неговото физичко и геометриско значење, како да се пресмета изводот на функцијата? Сите овие прашања може да се комбинираат во едно: како да се разбере дериватот?

Геометриско и физичко значење на дериватот

Нека има функција f(x) , назначен во одреден интервал (а, б) . Точките x и x0 припаѓаат на овој интервал. Кога x се менува, самата функција се менува. Промена на аргументот - разликата во неговите вредности x-x0 . Оваа разлика е напишана како делта x и се нарекува зголемување на аргументот. Промена или зголемување на функцијата е разликата помеѓу вредностите на функцијата во две точки. Дефиниција на дериват:

Изводот на функцијата во точка е граница на односот на зголемувањето на функцијата во дадена точка до зголемувањето на аргументот кога вториот се стреми кон нула.

Во спротивно може да се напише вака:

Која е поентата да се најде таква граница? А еве што е тоа:

изводот на функцијата во точка е еднаков на тангентата на аголот помеѓу оската OX и тангентата на графикот на функцијата во дадена точка.

Физичко значење на дериватот: дериватот на патеката во однос на времето е еднаков на брзината на праволиниското движење.

Навистина, уште од училишните денови секој знае дека брзината е одредена патека x=f(t) и времето т . Просечна брзина во одреден временски период:

За да ја дознаете брзината на движење во одреден момент во времето t0 треба да ја пресметате границата:

Правило еден: поставете константа

Константата може да се извади од дериватниот знак. Покрај тоа, ова мора да се направи. Кога решавате примери по математика, земете го по правило - Ако можете да поедноставите израз, не заборавајте да го поедноставите .

Пример. Да го пресметаме изводот:

Правило второ: извод од збир на функции

Изводот на збирот на две функции е еднаков на збирот на изводите на овие функции. Истото важи и за изводот на разликата на функциите.

Ние нема да дадеме доказ за оваа теорема, туку ќе разгледаме практичен пример.

Најдете го изводот на функцијата:

Правило трето: извод на производ на функции

Дериватот на производот на две диференцијабилни функции се пресметува со формулата:

Пример: најдете го изводот на функцијата:

Решение:

Овде е важно да се зборува за пресметување на деривати на сложени функции. Изводот на сложена функција е еднаков на производот од изводот на оваа функција во однос на средниот аргумент и изводот на средното аргумент во однос на независната променлива.

Во горниот пример се среќаваме со изразот:

Во овој случај, средниот аргумент е 8x до петтата сила. За да го пресметаме изводот на таков израз, прво го пресметуваме изводот на надворешната функција во однос на средниот аргумент, а потоа се множиме со изводот на самиот среден аргумент во однос на независната променлива.

Правило четири: извод на количник на две функции

Формула за одредување на изводот на количникот на две функции:

Се обидовме да зборуваме за деривати за кукли од нула. Оваа тема не е толку едноставна како што изгледа, затоа бидете предупредени: често има замки во примерите, па бидете внимателни кога пресметувате деривати.

Со какви било прашања на оваа и на други теми, можете да контактирате со студентската служба. За кратко време, ќе ви помогнеме да го решите најтешкиот тест и да ги разберете задачите, дури и ако никогаш претходно не сте правеле пресметки со изводи.

Калкулаторот ги пресметува изводите на сите елементарни функции, давајќи детално решение. Променливата за диференцијација се одредува автоматски.

Извод на функција- еден од најважните концепти во математичката анализа. Појавата на изводот беше доведена до такви проблеми како, на пример, пресметување на моменталната брзина на точка во момент во времето, ако е позната патеката во зависност од времето, проблемот со наоѓање на тангента на функција во точка.

Најчесто, изводот на функцијата се дефинира како граница на односот на зголемувањето на функцијата со зголемувањето на аргументот, доколку постои.

Дефиниција.Нека функцијата е дефинирана во некое соседство на точката. Тогаш изводот на функцијата во точка се нарекува граница, доколку постои

Како да се пресмета изводот на функцијата?

За да научите да разликувате функции, треба да научите и разберете правила за диференцијацијаи научи да користиш табела на деривати.

Правила за диференцијација

Нека се произволни диференцијабилни функции на реална променлива и нека биде некоја реална константа. Потоа

— правило за диференцирање на производ на функции

— правило за диференцирање на колични функции

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — диференцијација на функција со променлив експонент

— правило за диференцирање сложена функција

— правило за диференцирање на функција на моќност

Извод на функција онлајн

Нашиот калкулатор брзо и прецизно ќе го пресмета дериватот на која било функција онлајн. Програмата нема да прави грешки при пресметувањето на изводот и ќе ви помогне да избегнете долги и мачни пресметки. Онлајн калкулаторИсто така, ќе биде корисно во случај кога има потреба да се провери точноста на вашето решение, а ако е неточно, брзо пронајдете ја грешката.

Навигација на страница.

Дериватот е константен.

При изведување на првата формула од табелата, ќе продолжиме од дефиницијата на изводот на функцијата во точка. Да земеме , каде x е кој било реален број, односно x е кој било број од доменот на дефиниција на функцијата. Дозволете ни да ја запишеме границата на односот на зголемувањето на функцијата до зголемувањето на аргументот на:

Треба да се забележи дека под знакот за граница се добива изразот, кој не е , бидејќи броителот не содржи бесконечно мала вредност, туку точно нула. Со други зборови, зголемувањето на константна функција е секогаш нула.

Така, изводот на константна функција е еднаков на нула низ целиот домен на дефиниција.

Пример.

Најдете изводи на следните константни функции

Решение.

Во првиот случај го имаме изводот на природниот број 3, во вториот случај треба да го земеме изводот на параметарот a, кој може да биде кој било реален број, во третиот - изводот на ирационалниот број, во четвртиот во случај имаме извод од нула (нулата е цел број), во петтиот - извод на рационална дропка.

Одговор:

Дериватите на сите овие функции се еднакви на нула за кој било реален x (во целиот домен на дефиниција)

Извод на функција на моќност.

Формулата за изводот на функцијата моќност има форма , каде што експонентот p е кој било реален број.

Прво да ја докажеме формулата за природниот експонент, односно за p = 1, 2, 3, ...

Ќе ја користиме дефиницијата за извод. Дозволете ни да ја запишеме границата на односот на зголемување на функцијата на моќност до зголемувањето на аргументот:

За да го поедноставиме изразот во броителот, се свртиме кон формулата:

Оттука,

Ова ја докажува формулата за извод на функција на моќност за природен експонент.

Треба да се земат предвид два случаи: за позитивен x и негативен x.

Прво да претпоставиме. Во овој случај . Да го земеме логаритмот на еднаквоста на основата e и да го примениме својството на логаритмот:

Дојдовме до имплицитно одредена функција. Го наоѓаме неговиот дериват:

Останува да се спроведе доказот за негативен x.

Кога експонентот p е парен број, тогаш функцијата за моќност е исто така дефинирана и е парна (види дел). Тоа е, . Во овој случај, доказот можете да го користите и преку логаритамскиот дериват.

Кога експонентот p е непарен број, тогаш и функцијата моќност е дефинирана и е непарна. Тоа е, . Во овој случај, логаритамскиот дериват не може да се користи. За да се докаже формулата во овој случај, можете да ги користите правилата за диференцијација и правилото за наоѓање на дериват на сложена функција:

Последната транзиција е можна поради фактот што ако p е непарен број, тогаш p-1 е или парен број или нула (за p=1), затоа, за негативен x еднаквоста е точно .

Така, формулата за изводот на функцијата моќност се докажува за секој реален стр.

Пример.

Најдете изводи на функции.

Решение.

Првата и третата функција ги носиме во табеларна форма користејќи ги својствата на моќноста и ја применуваме формулата за изводот на функцијата моќност:

Извод на експоненцијална функција.

Ви ја претставуваме изведбата на формулата за извод врз основа на дефиницијата:

Дојдовме до неизвесност. За да го прошириме, воведуваме нова променлива, и на . Потоа. Во последната транзиција ја користевме формулата за премин кон нова логаритамска основа.

Ајде да замениме во оригиналната граница:

По дефиниција на изводот за синусната функција имаме .

Да ја искористиме формулата за разлика во синусите:

Останува да се свртиме кон првата извонредна граница:

Така, изводот на функцијата sin x е cos x.

Точно на ист начин се докажува формулата за дериватот на косинус.

При решавање на диференцијациски проблеми постојано ќе се повикуваме на табелата со изводи на основните функции, инаку зошто ја составивме и ја докажувавме секоја формула. Ви препорачуваме да ги запомните сите овие формули во иднина ќе ви заштеди многу време.

Авторско право од паметни студенти

Сите права се задржани.
Заштитено со закон за авторски права. Ниту еден дел од страницата, вклучувајќи ги внатрешните материјали и изгледот, не смее да се репродуцира во каква било форма или да се користи без претходна писмена дозвола од носителот на авторските права.