Слајд 2

Математиката е наука за младите. Во спротивно не може да биде. Математиката е форма на ментална гимнастика која бара сета флексибилност и издржливост на младоста. Норберт Винер (1894-1964), американски научник

Слајд 3

односот помеѓу броевите a и b (математички изрази), поврзани со знаците Неравенство -

Слајд 4

Историска позадина Проблемите на докажување на еднаквостите и нееднаквостите се појавија во античко време. За означување на знаците за еднаквост и нееднаквост се користеле посебни зборови или нивните кратенки. IV век п.н.е., Евклид, Книга V на елементите: ако a, b, c, d се позитивни броеви и a е најголемиот број во пропорцијата a/b=c/d, тогаш важи неравенката a+d=b + в. III век, главното дело на Папус Александриски „Математичка збирка“: ако a, b, c, d се позитивни броеви и a/b>c/d, тогаш неравенката ad>bc е исполнета. Повеќе од 2000 п.н.е неравенството беше познато се претвора во вистинска еднаквост кога a=b.

Слајд 5

Модерни специјални знаци 1557 година. Знакот за еднаквост = го вовел англискиот математичар Р. Рикорд. Неговиот мотив: „Ниту еден објект не може да биде поеднаков од два паралелни сегменти“. 1631 година Знаци > и

Слајд 6

Видови неравенки Со променлива (една или повеќе) Строга нестрога со модул Со параметар Нестандардни системи Збирки Нумерички едноставни двојни множества Алгебарски цели броеви: -линеарни -квадратни -поголеми сили Дробно-рационално Ирационален тригонометриски експоненцијален логаритамски тип

Слајд 7

Методи за решавање на неравенки Графички Основни Специјални Функционално-графички Користење на својствата на неравенки Транзиција кон еквивалентни системи Транзиција кон еквивалентни збирки Замена на метод на променлива интервал (вклучувајќи генерализиран) Метод на алгебарско разделување за нестроги неравенки

Слајд 8

е вредноста на променливата која, кога ќе се замени, ја претвора во вистинска нумеричка неравенка. Решете нееднаквост - најдете ги сите нејзини решенија или докажете дека нема. За две неравенки се вели дека се еквивалентни ако сите решенија за секоја се решенија за другата неравенка или двете неравенки немаат решенија. Неравенки Решавање на неравенки во една променлива

Слајд 9

Опишете ги нееднаквостите. Решете усно 3)(x – 2)(x + 3)  0

Слајд 10

Графички метод

Графички да се реши неравенката 1) Конструирај график 2) Конструирај график во истиот координатен систем. 3) Најдете ја апсцисата на пресечните точки на графиконите (вредностите се земаат приближно, ја проверуваме точноста со замена). 4) Од графикот го одредуваме решението на оваа неравенка. 5) Запишете го одговорот.

Слајд 11

Функционално-графичка метода за решавање на неравенството f(x)

Слајд 12

Функционално-графички метод Решете ја неравенката: 3) Равенката f(x)=g(x) има најмногу еден корен. Решение. 4) Со избор наоѓаме дека x = 2. II Шематски да ги прикажеме на бројната оска Ox графиконите на функциите f (x) и g (x) кои минуваат низ точката x = 2. III Да ги одредиме решенијата и да го запишеме одговорот. Одговори. x -7 недефинирано 2

Слајд 13

Решете ги неравенките:

Слајд 14

Изградба на графикони на функцијата Унифициран државен испит-9, 2008 година

Слајд 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

Слајд 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Одреди го бројот на интервали на решенија на неравенката за секоја вредност на параметарот a

Слајд 17

Изградете графикон на функцијата Unified State Examination-9, 2008 година

Слајд 18

Слајд 19

Еден од најпогодните методи за решавање на квадратни неравенки е графичкиот метод. Во оваа статија ќе погледнеме како графички се решаваат квадратните неравенки. Прво, да разговараме што е суштината на овој метод. Следно, ќе го претставиме алгоритмот и ќе разгледаме примери за графички решавање на квадратни неравенки.

Навигација на страница.

Суштината на графичкиот метод

Воопшто графички метод за решавање на неравенкисо една променлива се користи не само за решавање на квадратни неравенки, туку и други видови неравенки. Суштината графички методрешенија за нееднаквостиследно: разгледајте ги функциите y=f(x) и y=g(x), кои одговараат на левата и десната страна на неравенката, изградете ги нивните графици во еден правоаголен координатен систем и дознајте во кои интервали е графикот на еден од тие се пониски или повисоки од другите. Тие интервали каде

• графикот на функцијата f над графикот на функцијата g се решенија на неравенката f(x)>g(x) ;
• графикот на функцијата f не понизок од графикот на функцијата g се решенија на неравенката f(x)≥g(x) ;
• графикот на f под графикот на g се решенија на неравенката f(x)
• графикот на функција f не повисок од графикот на функцијата g се решенија на неравенката f(x)≤g(x) .

Ќе кажеме и дека апсцисите на пресечните точки на графиците на функциите f и g се решенија на равенката f(x)=g(x) .

Да ги пренесеме овие резултати во нашиот случај - да ја решиме квадратната неравенка a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Воведуваме две функции: првата y=a x 2 +b x+c (со f(x)=a x 2 +b x+c) што одговара на левата страна на квадратната неравенка, втората y=0 (со g ( x)=0 ) одговара на десната страна на неравенката. Распоред квадратна функција f е парабола и графикот постојана функција g – права линија што се совпаѓа со оската на апсцисата Ox.

Следно, според графичкиот метод за решавање на неравенки, потребно е да се анализира во кои интервали се наоѓа графикот на една функција над или под друга, што ќе ни овозможи да го запишеме саканото решение на квадратната неравенка. Во нашиот случај, треба да ја анализираме положбата на параболата во однос на оската на Ox.

Во зависност од вредностите на коефициентите a, b и c, можни се следните шест опции (за наши потреби доволно е шематски приказ и не треба да ја отсликаме оската Oy, бидејќи нејзината позиција не влијае на решенија на нееднаквоста):

На овој цртеж гледаме парабола, чии гранки се насочени нагоре и која ја пресекува оската Ox на две точки, чија апсциса се x 1 и x 2. Овој цртеж одговара на опцијата кога коефициентот a е позитивен (тој е одговорен за нагорната насока на гранките на параболата), и кога вредноста е позитивна дискриминант на квадратен трином a x 2 +b x+c (во овој случај, триномот има два корени, кои ги означивме како x 1 и x 2, и претпоставивме дека x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2, x 2 =3.

За јасност, да ги прикажеме со црвено деловите на параболата лоцирани над оската x, а со сина боја - оние што се наоѓаат под оската x.


Сега да дознаеме кои интервали одговараат на овие делови. Следниот цртеж ќе ви помогне да ги идентификувате (во иднина ќе правиме слични селекции во форма на правоаголници ментално):


Така, на оската на апсцисата, два интервали (−∞, x 1) и (x 2, +∞) беа означени со црвено, на нив параболата е над оската Ox, тие сочинуваат решение за квадратната неравенка a x 2 +b x +c>0 , а интервалот (x 1 , x 2) е означен со сино, има парабола под оската Ox, таа го претставува решението на неравенката a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

И сега накратко: за a>0 и D=b 2 −4 a c>0 (или D"=D/4>0 за парен коефициент b)

• решението на квадратната неравенка a x 2 +b x+c>0 е (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) или во друга нотација x x2;
• решението на квадратната неравенка a x 2 +b x+c≥0 е (−∞, x 1 ]∪ или во друга нотација x 1 ≤x≤x 2 ,

каде што x 1 и x 2 се корените на квадратниот трином a x 2 +b x+c и x 1


Овде гледаме парабола, чии гранки се насочени нагоре, и која ја допира оската на апсцисата, односно има една заедничка точка со неа, ја означуваме апсцисата на оваа точка како x 0. Презентираниот случај одговара на a>0 (гранките се насочени нагоре) и D=0 (квадратниот трином има еден корен x 0). На пример, можете да ја земете квадратната функција y=x 2 −4·x+4, тука a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 и x 0 =2.

Цртежот јасно покажува дека параболата се наоѓа над оската Ox насекаде, освен до точката на допир, односно во интервалите (−∞, x 0), (x 0, ∞). За јасност, да ги истакнеме областите во цртежот по аналогија со претходниот став.


Изведуваме заклучоци: за a>0 и D=0

• решението на квадратната неравенка a·x 2 +b·x+c>0 е (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) или во друга нотација x≠x 0;
• решението на квадратната неравенка a·x 2 +b·x+c≥0 е (−∞, +∞) или во друга нотација x∈R ;
• квадратна неравенка a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратната неравенка a x 2 +b x+c≤0 има единствено решение x=x 0 (тоа е дадено со точката на тангенција),

каде што x 0 е коренот на квадратниот трином a x 2 + b x + c.


Во овој случај, гранките на параболата се насочени нагоре, а таа нема заеднички точки со оската на апсцисата. Овде ги имаме условите a>0 (гранките се насочени нагоре) и D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очигледно, параболата се наоѓа над оската Ox низ целата нејзина должина (нема интервали во кои е под оската Ox, нема точка на тангенција).


Така, за a>0 и D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 и a x 2 +b x+c≥0 е множество од сите реални броеви, а неравенките a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

И остануваат три опции за локацијата на параболата со гранки насочени надолу, а не нагоре, во однос на оската Ox. Во принцип, тие не треба да се разгледуваат, бидејќи множењето на двете страни на неравенството со -1 ни овозможува да одиме до еквивалентна неравенка со позитивен коефициент за x 2. Но, сè уште не е повредено да се добие идеја за овие случаи. Расудувањето овде е слично, па ќе ги запишеме само главните резултати.

Алгоритам за решение

Резултатот од сите претходни пресметки е алгоритам за графички решавање на квадратни неравенки:

На координатната рамнина е направен шематски цртеж на кој е прикажана оската Ox (не е неопходно да се прикаже оската Oy) и скица на парабола што одговара на квадратната функција y=a·x 2 +b·x+c. За да нацртате скица на парабола, доволно е да се разјаснат две точки:

• Прво, со вредноста на коефициентот a се одредува каде се насочени неговите гранки (за a>0 - нагоре, за a<0 – вниз).
• И второ, со вредноста на дискриминантата на квадратниот трином a x 2 + b x + c се одредува дали параболата ја пресекува оската на апсцисата во две точки (за D>0), ја допира во една точка (за D=0) , или нема заеднички точки со оската Ox (на Д<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Кога цртежот е подготвен, користете го во вториот чекор од алгоритмот

  • при решавање на квадратната неравенка a·x 2 +b·x+c>0, се определуваат интервалите во кои параболата се наоѓа над апсцисата;
  • при решавање на неравенката a·x 2 +b·x+c≥0, се одредуваат интервалите во кои параболата се наоѓа над оската на апсцисата и се додаваат апсцисите на пресечните точки (или апсцисата на тангентата точка). нив;
  • при решавање на неравенството a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • конечно, при решавање на квадратна неравенка од формата a·x 2 +b·x+c≤0, се наоѓаат интервали во кои параболата е под оската Ox и апсцисата на пресечните точки (или апсцисата на тангентната точка ) се додава на нив;

  тие го сочинуваат посакуваното решение за квадратната неравенка, а ако нема такви интервали и точки на тангенција, тогаш првобитната квадратна неравенка нема решенија.

Останува само да се решат неколку квадратни неравенки со помош на овој алгоритам.

Примери со решенија

Пример.

Решете ја нееднаквоста .

Решение.

Треба да решиме квадратна неравенка, ајде да го искористиме алгоритмот од претходниот пасус. Во првиот чекор треба да нацртаме скица на графикот на квадратната функција . Коефициентот x 2 е еднаков на 2, тој е позитивен, затоа, гранките на параболата се насочени нагоре. Ајде, исто така, да откриеме дали параболата има заеднички точки со оската x за да го направиме ова, ќе ја пресметаме дискриминаторната на квадратниот трином . Ние имаме . Дискриминаторот се покажа како поголем од нула, затоа, триномот има два реални корени: И , односно x 1 =−3 и x 2 =1/3.

Од ова е јасно дека параболата ја пресекува оската Ox во две точки со апсциси −3 и 1/3. Овие точки на цртежот ќе ги прикажеме како обични точки, бидејќи решаваме нестрога неравенка. Врз основа на разјаснетите податоци, го добиваме следниот цртеж (се вклопува во првиот образец од првиот став на статијата):

Ајде да преминеме на вториот чекор од алгоритмот. Бидејќи решаваме нестрога квадратна неравенка со знакот ≤, треба да ги одредиме интервалите на кои параболата се наоѓа под оската на апсцисата и да ги додадеме апсцисите на пресечните точки.

Од цртежот е јасно дека параболата е под х-оската на интервалот (−3, 1/3) и на неа ги додаваме апсцисите на пресечните точки, односно броевите −3 и 1/3. Како резултат на тоа, доаѓаме до нумеричкиот интервал [−3, 1/3]. Ова е решението што го бараме. Може да се запише како двојна неравенка −3≤x≤1/3.

Одговор:

[-3, 1/3] или −3≤x≤1/3.

Пример.

Најдете го решението на квадратната неравенка −x 2 +16 x−63<0 .

Решение.

Како и обично, започнуваме со цртеж. Нумеричкиот коефициент за квадратот на променливата е негативен, −1, затоа, гранките на параболата се насочени надолу. Да ја пресметаме дискриминантната, или уште подобро, нејзиниот четврти дел: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Неговата вредност е позитивна, ајде да ги пресметаме корените на квадратниот трином: И , x 1 =7 и x 2 =9. Значи, параболата ја пресекува оската на Ox во две точки со апсцисите 7 и 9 (оригиналната нееднаквост е строга, така што ќе ги прикажеме овие точки со празен центар. Сега можеме да направиме шематски цртеж).

Бидејќи строга квадратна неравенка решаваме со знак<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Цртежот покажува дека решенијата на првобитната квадратна неравенка се два интервали (−∞, 7) , (9, +∞) .

Одговор:

(−∞, 7)∪(9, +∞) или во друга нотација x<7 , x>9 .

Кога решавате квадратни неравенки, кога дискриминантата на квадратен трином од неговата лева страна е нула, треба да внимавате да ја вклучите или исклучите апсцисата на тангентната точка од одговорот. Ова зависи од знакот на нееднаквоста: ако нееднаквоста е строга, тогаш тоа не е решение за нееднаквоста, но ако не е строга, тогаш е.

Пример.

Дали квадратната неравенка 10 x 2 −14 x+4,9≤0 има барем едно решение?

Решение.

Да ја нацртаме функцијата y=10 x 2 −14 x+4.9. Неговите гранки се насочени нагоре, бидејќи коефициентот x 2 е позитивен, и ја допира оската на апсцисата во точката со апсцисата 0,7, бидејќи D"=(−7) 2 −10 4,9=0, од ​​каде или 0,7 во форма на децимална дропка Шематски изгледа вака:

Бидејќи ние решаваме квадратна неравенка со знакот ≤, неговото решение ќе бидат интервалите на кои параболата е под оската Ox, како и апсцисата на тангентната точка. Од цртежот е јасно дека нема ниту една празнина каде параболата би била под оската на Ox, па нејзиното решение ќе биде само апсцисата на тангентната точка, односно 0,7.

Одговор:

оваа неравенка има единствено решение 0.7.

Пример.

Решете ја квадратната неравенка –x 2 +8 x−16<0 .

Решение.

Го следиме алгоритмот за решавање на квадратни неравенки и започнуваме со конструирање график. Гранките на параболата се насочени надолу, бидејќи коефициентот x 2 е негативен, −1. Да ја најдеме дискриминантата на квадратниот трином –x 2 +8 x−16, имаме D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0а потоа x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Значи, параболата ја допира оската Ox во точката на апсцисата 4. Ајде да го направиме цртежот:

Го гледаме знакот на првобитната нееднаквост, тој е таму<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Во нашиот случај, ова се отворени зраци (−∞, 4) , (4, +∞) . Одделно, забележуваме дека 4 - апсцисата на допирната точка - не е решение, бидејќи на точката на допир параболата не е пониска од оската Ox.

Одговор:

(−∞, 4)∪(4, +∞) или во друга нотација x≠4 .

Обрнете посебно внимание на случаите каде што дискриминантата на квадратниот трином од левата страна на квадратната неравенка е помала од нула. Нема потреба овде да се брза и да се каже дека нееднаквоста нема решенија (навикнати сме да донесуваме таков заклучок за квадратни равенки со негативна дискриминаторна). Поентата е дека квадратната неравенка за Д<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Пример.

Најдете го решението за квадратната неравенка 3 x 2 +1>0.

Решение.

Како и обично, започнуваме со цртеж. Коефициентот a е 3, тој е позитивен, затоа, гранките на параболата се насочени нагоре. Ја пресметуваме дискриминантата: D=0 2 −4·3·1=−12 . Бидејќи дискриминаторот е негативен, параболата нема заеднички точки со оската Ox. Добиените информации се доволни за шематски график:

Строга квадратна неравенка решаваме со знак >. Нејзиното решение ќе бидат сите интервали во кои параболата е над оската Окс. Во нашиот случај, параболата е над х-оската по целата нејзина должина, така што посакуваното решение ќе биде множеството од сите реални броеви.

Вол, а на нив треба да ја додадете и апсцисата на точките на пресек или апсцисата на тангенцијата. Но, од цртежот е јасно видливо дека нема такви интервали (бидејќи параболата е насекаде под оската на апсцисата), исто како што нема точки на пресек, исто како што нема точки на тангенција. Според тоа, првобитната квадратна неравенка нема решенија.

Одговор:

без решенија или во друг запис ∅.

Библиографија.

• Алгебра:тетратка за 8 одделение. општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2008. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9-то одделение: воспитно. за општо образование институции / [Ју. Н. Макаричев, Н. Г. Миндјук, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; Изменето од С.А. Телјаковски. - 16-ти изд. - М.: Образование, 2009. - 271 стр. : болен. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 8-мо одделение. За 2 часа, дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордкович А.Г.Алгебра. 9-то одделение. За 2 часа, дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13. издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 стр.: илустрација. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордкович А.Г.Алгебра и почеток на математичка анализа. 11 одделение. За 2 часа, дел 1. Учебник за студенти од општообразовни институции (ниво на профил) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - второ издание, избришано. - М.: Мнемозина, 2008. - 287 стр.: илуст. ISBN 978-5-346-01027-2.

Графичко решение на равенки

Најдобриот ден, 2009 година

Вовед

Потребата за решавање на квадратните равенки во античко време била предизвикана од потребата да се решат проблемите поврзани со пронаоѓањето на површините на земјата и со воено ископување, како и со развојот на самата астрономија и математика. Вавилонците можеле да решат квадратни равенки околу 2000 година п.н.е. Правилото за решавање на овие равенки, утврдено во вавилонските текстови, во суштина се совпаѓа со современите, но не е познато како Вавилонците дошле до ова правило.

Формулите за решавање на квадратни равенки во Европа за прв пат биле изнесени во Книгата на Абакус, напишана во 1202 година од италијанскиот математичар Леонардо Фибоначи. Неговата книга придонесе за ширење на алгебарското знаење не само во Италија, туку и во Германија, Франција и други европски земји.

Но, општото правило за решавање на квадратни равенки, со сите можни комбинации на коефициентите b и c, беше формулирано во Европа дури во 1544 година од М. Штифел.

Во 1591 г Франсоа Вие воведе формули за решавање на квадратни равенки.

Во древниот Вавилон можеле да решат некои типови квадратни равенки.

Диофант Александриски И Евклид, Ал-ХваризмиИ Омар Кајамрешени равенки со помош на геометриски и графички методи.

Во 7 одделение учевме функции y = C, y =kx, y =kx+ м, y =x 2,y = -x 2, во 8 одделение - y = √x, y =|x|, y =секира2 + bx+ в, y =к/ x. Во учебникот за алгебра за 9-то одделение видов функции кои сè уште не ми беа познати: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– а) 2 + (y -б) 2 = р 2 и други. Постојат правила за конструирање графикони на овие функции. Се прашував дали има други функции кои ги почитуваат овие правила.

Мојата работа е да проучувам графикони на функции и графички да решавам равенки.

1. Кои се функциите?

Графикот на функцијата е збир на сите точки на координатната рамнина, чии апсциси се еднакви на вредностите на аргументите, а ординатите се еднакви на соодветните вредности на функцијата.

Линеарната функција е дадена со равенката y =kx+ б, Каде кИ б- некои бројки. Графикот на оваа функција е права линија.

Обратно пропорционална функција y =к/ x, каде k ¹ 0. Графикот на оваа функција се нарекува хипербола.

Функција (x– а) 2 + (y -б) 2 = р2 , Каде А, бИ р- некои бројки. Графикот на оваа функција е круг со радиус r со центар во точката А ( А, б).

Квадратна функција y= секира2 + bx+ вКаде А,б, Со– некои бројки и А¹ 0. Графикот на оваа функција е парабола.

Равенката на2 (а– x) = x2 (а+ x) . Графикот на оваа равенка ќе биде крива наречена строфоид.

/>Равенка (x2 + y2 ) 2 = а(x2 – y2 ) . Графикот на оваа равенка се нарекува Бернулиов лемнискат.

Равенката. Графикот на оваа равенка се нарекува астроид.

Кривина (х2 y2 – 2 секири)2 = 4а2 (х2 + y2 ) . Оваа крива се нарекува кардиоид.

Функции: y =x 3 – кубна парабола, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Концепт на равенка и нејзино графичко решение

Равенката– израз кој содржи променлива.

Решете ја равенката- тоа значи да се најдат сите негови корени, или да се докаже дека тие не постојат.

Корен на равенкатае број кој, кога ќе се замени во равенка, произведува правилна нумеричка еднаквост.

Решавање на равенки графичкиви овозможува да ја пронајдете точната или приближната вредност на корените, ви овозможува да го пронајдете бројот на корените на равенката.

При конструирање графикони и решавање равенки се користат својствата на функцијата, поради што методот често се нарекува функционално-графски.

За да ја решиме равенката, ја „поделуваме“ на два дела, воведуваме две функции, ги градиме нивните графикони и ги наоѓаме координатите на точките на пресек на графиконите. Абсцисите на овие точки се корените на равенката.

3. Алгоритам за исцртување график на функција

Познавање на графикот на функција y =ѓ(x) , можете да изградите графикони на функции y =ѓ(x+ м) ,y =ѓ(x)+ лИ y =ѓ(x+ м)+ л. Сите овие графикони се добиени од графикот на функцијата y =ѓ(x) користејќи трансформација на паралелно носење: до │ м│ единици на размер надесно или лево по должината на оската x и натаму │ л│ единици на размер нагоре или надолу по оската y.

4. Графичко решение на квадратната равенка

Користејќи квадратна функција како пример, ќе го разгледаме графичкото решение на квадратна равенка. Графикот на квадратна функција е парабола.

Што знаеле старите Грци за параболата?

Современата математичка симболика потекнува од 16 век.

Старите грчки математичари немале ниту координатен метод ниту концепт на функција. Сепак, својствата на параболата беа детално проучени од нив. Генијалноста на античките математичари е едноставно неверојатна - на крајот на краиштата, тие можеа да користат само цртежи и вербални описи на зависности.

Најцелосно ги истражи параболата, хиперболата и елипсата Аполониј од Перга, кој живеел во 3 век п.н.е. Тој им даде имиња на овие криви и посочи кои услови ги задоволуваат точките што лежат на оваа или онаа крива (на крајот на краиштата, немаше формули!).

Постои алгоритам за конструирање на парабола:

Најдете ги координатите на темето на параболата A (x0; y0): X=- б/2 а;

y0=axo2+in0+s;

Најдете ја оската на симетрија на параболата (права x=x0);

СТРАНИЦА_BREAK--

Ние составуваме табела со вредности за изградба на контролни точки;

Ги конструираме добиените точки и конструираме точки кои се симетрични кон нив во однос на оската на симетрија.

1. Користејќи го алгоритмот, ќе конструираме парабола y= x2 – 2 x– 3 . Апсциси на точки на пресек со оската xа има корени на квадратната равенка x2 – 2 x– 3 = 0.

Постојат пет начини за графички да се реши оваа равенка.

2. Да ја поделиме равенката на две функции: y= x2 И y= 2 x+ 3

3. Да ја поделиме равенката на две функции: y= x2 –3 И y=2 x. Корените на равенката се апсцисите на точките на пресек на параболата и правата.

4. Трансформирајте ја равенката x2 – 2 x– 3 = 0 со изолирање на целосен квадрат во функции: y= (x–1) 2 И y=4. Корените на равенката се апсцисите на точките на пресек на параболата и правата.

5. Поделете ги двете страни на равенката член по член x2 – 2 x– 3 = 0 на x, добиваме x– 2 – 3/ x= 0 , ајде да ја поделиме оваа равенка на две функции: y= x– 2, y= 3/ x. Корените на равенката се апсцисите на точките на пресек на правата и хиперболата.

5. Графичко решение на равенки на степениn

Пример 1.Решете ја равенката x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Одговор: x = 1.

Пример 2.Решете ја равенката 3 √ x= 10 – x.

Корените на оваа равенка се апсцисата на точката на пресек на графиконите на две функции: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Одговор: x = 8.

Заклучок

Откако ги погледнавме графиконите на функциите: y =секира2 + bx+ в, y =к/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Забележав дека сите овие графикони се изградени според правилото за паралелно преведување во однос на оските xИ y.

Користејќи го примерот за решавање на квадратна равенка, можеме да заклучиме дека графичкиот метод е применлив и за равенки од степен n.

Графичките методи за решавање равенки се убави и разбирливи, но не даваат 100% гаранција за решавање на која било равенка. Абсцисите на пресечните точки на графиконите можат да бидат приближни.

Во 9-то одделение и во средно ќе продолжам да се запознавам со други функции. Ме интересира дали тие функции ги почитуваат правилата за паралелно пренесување при конструирањето на нивните графикони.

Следната година би сакал да ги разгледам и прашањата за графичко решавање системи на равенки и неравенки.

Литература

1. Алгебра. 7-мо одделение. Дел 1. Учебник за образовни институции / А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007 година.

2. Алгебра. 8-мо одделение. Дел 1. Учебник за образовни институции / А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007 година.

3. Алгебра. 9-то одделение. Дел 1. Учебник за образовни институции / А.Г. Мордкович. М.: Мнемозина, 2007 година.

4. Глејзер Г.И. Историја на математиката на училиште. VII–VIII одд. - М.: Образование, 1982 година.

5. Списание Математика бр.5 2009 година; бр.8 2007 година; бр.23 2008 г.

6. Графичко решение на равенки веб-страници на Интернет: Тол ВИКИ; стимул.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; страна 3–6.htm.

Министерство за образование и младинска политика на територијата Ставропол

Државна буџетска стручна образовна институција

Георгиевски регионален колеџ „Интеграл“

ИНДИВИДУАЛЕН ПРОЕКТ

Во дисциплината „Математика: алгебра, принципи на математичка анализа, геометрија“

На тема: „Графичко решение на равенки и неравенки“

Завршено од студент од групата ПК-61, кој студира во специјалитетот

„Програмирање во компјутерски системи“

Зелер Тимур Виталиевич

Раководител: наставник Серкова Н.А.

Датум на испорака:"" 2017 година

Датум на одбрана:"" 2017 година

Георгиевск 2017 година

ЗАБЕЛЕШКА ОБЈАСНУВАЊЕ

ЦЕЛ НА ПРОЕКТОТ:

Цел: Откријте ги предностите на графичкиот метод за решавање равенки и неравенки.

Задачи:

Споредете ги аналитичките и графичките методи за решавање равенки и неравенки.

Дознајте во кои случаи графичкиот метод има предности.

Размислете за решавање на равенките со модул и параметар.

Релевантноста на истражувањето: Анализа на материјалот посветен на графичкото решение на равенките и неравенките во учебниците „Алгебра и почетоците на математичката анализа“ од различни автори, земајќи ги предвид целите на проучување на оваа тема. Како и задолжителни резултати од учењето поврзани со темата што се разгледува.

содржина

Вовед

1. Равенки со параметри

1.1. Дефиниции

1.2. Алгоритам за решение

1.3. Примери

2. Неравенки со параметри

2.1. Дефиниции

2.2. Алгоритам за решение

2.3. Примери

3. Користење на графикони при решавање равенки

3.1. Графичко решение на квадратна равенка

3.2. Системи на равенки

3.3. Тригонометриски равенки

4. Примена на графикони при решавање на неравенки

5.Заклучок

6. Референци

Вовед

Проучувањето на многу физички процеси и геометриски обрасци често води до решавање на проблеми со параметрите. Некои универзитети, исто така, вклучуваат равенки, нееднаквости и нивни системи во испитните трудови, кои често се многу сложени и бараат нестандарден пристап кон решението. На училиште, овој еден од најтешките делови од училишниот курс по математика се разгледува само во неколку изборни часови.

При подготовката на ова дело, ја поставив целта за подлабоко проучување на оваа тема, идентификувајќи го најрационалното решение кое брзо води до одговор. Според мене, графичкиот метод е удобен и брз начин за решавање на равенки и неравенки со параметри.

Мојот проект ги испитува често сретнуваните типови на равенки, неравенки и нивните системи.

1. Равенки со параметри

1. Основни дефиниции

Размислете за равенката

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

каде што a, b, c, …, k, x се променливи величини.

Секој систем на променливи вредности

a = a 0 , б = б 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

во кој и левата и десната страна на оваа равенка земаат реални вредности се нарекува систем на дозволени вредности на променливите a, b, c, ..., k, x. Нека A е множеството од сите дозволени вредности на a, B е множеството од сите дозволени вредности на b итн., X е множеството од сите дозволени вредности на x, т.е. aA, bB, …, xX. Ако за секое од множествата A, B, C, …, K избереме и поправаме, соодветно, една вредност a, b, c, …, k и ги замениме во равенката (1), тогаш добиваме равенка за x, т.е. равенка со една непозната.

Променливите a, b, c, ..., k, кои се сметаат за константни при решавање на равенката, се нарекуваат параметри, а самата равенка се нарекува равенка која содржи параметри.

Параметрите се означуваат со првите букви од латинската азбука: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, а непознатите се означуваат со буквите x, y, z.

Да се ​​реши равенка со параметри значи да се означи на кои вредности на параметрите постојат решенијата и кои се тие.

Две равенки кои содржат исти параметри се нарекуваат еквивалентни ако:

а) имаат смисла за истите вредности на параметрите;

б) секое решение на првата равенка е решение на втората и обратно.

1. Алгоритам за решение

Најдете го доменот на дефиниција на равенката.

А изразуваме како функција од x.

Во координатниот систем xOa, конструираме график на функцијата a=(x) за оние вредности на x кои се вклучени во доменот на дефиниција на оваа равенка.

Ги наоѓаме пресечните точки на правата a=c, каде што c(-;+) со графикот на функцијата a=(x) Ако правата a=c го сече графикот a=(). x), потоа ги одредуваме апсцисите на пресечните точки. За да го направите ова, доволно е да се реши равенката a=(x) за x.

Го запишуваме одговорот.

1. Примери

I. Решете ја равенката

(1)

Решение.

Бидејќи x=0 не е корен од равенката, равенката може да се реши за:

или

Графикот на функцијата е две „залепени“ хиперболи. Бројот на решенија на првобитната равенка се определува со бројот на пресечни точки на конструираната права и правата y=a.

Ако a  (-;-1](1;+) , тогаш правата y=a го сече графикот на равенката (1) во една точка.Апсцисата на оваа точка ја наоѓаме кога ја решаваме равенката за x.

Така, на овој интервал, равенката (1) има решение.

Ако a , тогаш правата y=a го сече графикот на равенката (1) во две точки. Абсцисите на овие точки може да се најдат од равенките и добиваме

И.

Ако a , тогаш правата y=a не го пресекува графикот на равенката (1), затоа нема решенија.

Одговор:

Ако a  (-;-1](1;+), тогаш;

Ако a  , тогаш ;

Ако a  , тогаш нема решенија.

II. Најдете ги сите вредности на параметарот a за кои равенката има три различни корени.

Решение.

Откако ќе ја препишете равенката во форма и ќе земете во предвид пар функции, можете да забележите дека саканите вредности на параметарот a и само тие ќе одговараат на оние позиции на графикот на функции на кои има точно три точки на пресек со функционален график.

Во координатен систем xOy ќе конструираме график на функцијата). За да го направите ова, можеме да го претставиме во форма и, откако разгледавме четири случаи, ја запишуваме оваа функција во форма

Бидејќи графикот на функцијата е права линија која има агол на наклон кон оската Ox еднаков на и ја пресекува оската Oy во точка со координати (0, a), заклучуваме дека трите посочени пресечни точки може да се добијат само во случај кога оваа линија го допира графикот на функцијата. Затоа го наоѓаме изводот

Одговор:.

III. Најдете ги сите вредности на параметарот a, од кои за секоја е системот на равенки

има решенија.

Решение.

Од првата равенка на системот што ја добиваме кај Затоа, оваа равенка дефинира семејство на „полупараболи“ - десните гранки на параболата „лизгаат“ со нивните темиња долж оската на апсцисата.

Дозволете ни да ги избереме совршените квадрати на левата страна на втората равенка и да ја размножиме

Множеството точки на рамнината што ја задоволува втората равенка се две прави

Дозволете ни да дознаеме во кои вредности на параметарот кривата од семејството на „полупараболи“ има барем една заедничка точка со една од добиените прави линии.

Ако темињата на полупараболите се десно од точката А, но лево од точката Б (точката Б одговара на темето на „полупараболата“ што допира

права линија), тогаш графиконите што се разгледуваат немаат заеднички точки. Ако темето на „полупараболата“ се совпаѓа со точката А, тогаш.

Го одредуваме случајот на „полупарабола“ што допира линија од условот за постоење на единствено решение на системот

Во овој случај, равенката

има еден корен, од каде што наоѓаме:

Следствено, оригиналниот систем нема решенија во, туку на или има барем едно решение.

Одговор: a  (-;-3] (;+).

IV. Решете ја равенката

Решение.

Користејќи еднаквост, дадената равенка ја препишуваме во форма

Оваа равенка е еквивалентна на системот

Равенката ја препишуваме во форма

. (*)

Последната равенка е најлесно да се реши со помош на геометриски размислувања. Ајде да конструираме графикони на функциите и од графикот произлегува дека графиконите не се сечат и, според тоа, равенката нема решенија.

Ако, тогаш кога графиконите на функциите се совпаѓаат и, според тоа, сите вредности се решенија на равенката (*).

Кога графиконите се сечат во една точка, чија апсциса е. Така, кога равенката (*) има единствено решение - .

Сега да истражиме со кои вредности на пронајдените решенија на равенката (*) ќе ги задоволат условите

Нека биде тогаш. Системот ќе има форма

Неговото решение ќе биде интервалот x (1;5). Со оглед на тоа, можеме да заклучиме дека ако првобитната равенка е задоволена со сите вредности на x од интервалот, првобитната неравенка е еквивалентна на точната нумеричка неравенка 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

На интегралот (1;+∞) повторно ја добиваме линеарната неравенка 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Сепак, истиот резултат може да се добие од визуелни и во исто време строги геометриски размислувања. Слика 7 ги прикажува графиконите на функциите:y= ѓ( x)=| x-1|+| x+1| Иy=4.

Слика 7.

На интегралниот (-2;2) график на функцијатаy= ѓ(x) се наоѓа под графикот на функцијата y=4 што значи дека неравенствотоѓ(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Неравенки со параметри.

Решавањето на неравенки со еден или повеќе параметри е, по правило, посложена задача во споредба со проблем во кој нема параметри.

На пример, неравенката √a+x+√a-x>4, која го содржи параметарот a, природно бара многу повеќе напор за решавање отколку неравенката √1+x + √1-x>1.

Што значи да се реши првата од овие нееднаквости? Ова, во суштина, значи да се реши не само една неравенка, туку цела класа, цел сет на неравенки кои се добиваат ако на параметарот му дадеме специфични нумерички вредности. Втората од напишаните неравенки е посебен случај на првата, бидејќи од неа се добива со вредност a = 1.

Така, да се реши нееднаквост што содржи параметри значи да се одреди на кои вредности на параметрите има решенија неравенството и за сите такви вредности на параметри да се најдат сите решенија.

Пример 1:

Решете ја неравенката |x-a|+|x+a|< б, а<>0.

Да се ​​реши оваа неравенка со два параметриа u бАјде да користиме геометриски размислувања. На сликите 8 и 9 се прикажани графиконите на функциите.

Y= ѓ(x)=| x- а|+| x+ а| u y= б.

Очигледно е дека когаб<=2| а| директноy= бне поминува над хоризонталниот сегмент на криватаy=| x- а|+| x+ а| и затоа нееднаквоста во овој случај нема решенија (Слика 8). Акоб>2| а|, потоа линијатаy= бго пресекува графикот на функцијатаy= ѓ(x) во две точки (-б/2; б) u (б/2; б) (Слика 6) и неравенството во овој случај важи за -б/2< x< б/2, бидејќи за овие вредности на променливата криватаy=| x+ а|+| x- а| се наоѓа под права линијаy= б.

Одговор: Акоб<=2| а| , тогаш нема решенија,

Акоб>2| а|, тогашx €(- б/2; б/2).

III) Тригонометриски неравенки:

При решавање на неравенки со тригонометриски функции, суштински се користи периодичноста на овие функции и нивната монотоност на соодветните интервали. Наједноставните тригонометриски неравенки. Функцијагрев xима позитивен период од 2π. Според тоа, неравенки на формата:грев х>а, грев х>=а,

грев х

Доволно е прво да се реши некој сегмент со должина 2π . Го добиваме множеството од сите решенија со додавање на секое од решенијата пронајдени на овој сегмент броеви од формата 2π стр, pЄЗ.

Пример 1: Решавање на неравенствогрев x>-1/2. (Слика 10)

Прво, да ја решиме оваа неравенка на интервалот [-π/2;3π/2]. Да ја разгледаме неговата лева страна - отсечката [-π/2;3π/2] Еве ја равенкатагрев x=-1/2 има едно решение x=-π/6; и функцијатагрев xсе зголемува монотоно. Тоа значи дека ако –π/2<= x<= -π/6, то грев x<= грев(- π /6)=-1/2, т.е. овие вредности на x не се решенија за неравенството. Ако –π/6<х<=π/2 то грев x> грев(-π/6) = –1/2. Сите овие вредности на x не се решенија за нееднаквоста.

На преостанатиот сегмент [π/2;3π/2] функцијатагрев xравенката исто така монотоно се намалувагрев x= -1/2 има едно решение x=7π/6. Затоа, ако π/2<= x<7π/, то грев x> грев(7π/6)=-1/2, т.е. сите овие вредности на x се решенија за неравенството. ЗаxНие имамегрев x<= грев(7π/6)=-1/2, овие x вредности не се решенија. Така, множеството на сите решенија на оваа неравенка на интервалот [-π/2;3π/2] е интегралот (-π/6;7π/6).

Поради периодичноста на функцијатагрев xсо период од 2π вредности од x од кој било интеграл од формата: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄЗ, се и решенија за нееднаквоста. Ниту една друга вредност на x не е решение за оваа нееднаквост.

Одговор: -π/6+2πn< x<7π/6+2π n, КадеnЄ З.

Заклучок

Го разгледавме графичкиот метод за решавање равенки и неравенки; Разгледавме конкретни примери, чие решение користеше такви својства на функции како монотоност и паритет.Анализата на научната литература и учебниците по математика овозможи да се структурира избраниот материјал во согласност со целите на студијата, да се изберат и да се развијат ефективни методи за решавање равенки и неравенки. Во трудот е претставен графички метод за решавање равенки и неравенки и примери во кои се користат овие методи. Резултатот од проектот може да се смета за креативни задачи, како помошен материјал за развивање на вештината за решавање равенки и неравенки со помош на графичкиот метод.

Список на користена литература

Dalinger V. A. „Геометријата и помага на алгебрата“. Издавачка куќа „Училиште - печат“. Москва 1996 година

Dalinger V. A. „Сè за да се обезбеди успех на завршните и приемните испити по математика“. Издавачка куќа на Педагошкиот универзитет Омск. Омск 1995 година

Окунев А.А. „Графичко решение на равенки со параметри“. Издавачка куќа „Училиште - печат“. Москва 1986 година

Pismensky D. T. „Математика за средношколци“. Издавачка куќа „Ирис“. Москва 1996 година

Yastribinetsky G. A. „Равенки и неравенки што содржат параметри“. Издавачка куќа „Просвешчение“. Москва 1972 година

Г. Корн и Т. Корн „Прирачник по математика“. Издавачка куќа „Наука“ физичко-математичка литература. Москва 1977 година

Амелкин В.В. и Рабцевич В.Л. Издавачка куќа „Асар“. Минск 1996 година

Интернет ресурси

Графичкиот метод е еден од главните методи за решавање на квадратни неравенки. Во написот ќе претставиме алгоритам за користење на графичкиот метод, а потоа ќе разгледаме посебни случаи користејќи примери.

Суштината на графичкиот метод

Методот е применлив за решавање на какви било неравенки, не само за квадратни. Нејзината суштина е следна: десната и левата страна на неравенката се сметаат како две посебни функции y = f (x) и y = g (x), нивните графикони се нацртани во правоаголен координатен систем и се гледа кој од графиконите е се наоѓа над другиот, и на кои интервали. Интервалите се проценуваат на следниов начин:

Дефиниција 1

• решенија на неравенката f (x) > g (x) се интервали каде што графикот на функцијата f е повисок од графикот на функцијата g;
• решенија на неравенката f (x) ≥ g (x) се интервали каде што графикот на функцијата f не е понизок од графикот на функцијата g;
• решенија на неравенката f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• решенија на неравенката f (x) ≤ g (x) се интервали каде што графикот на функцијата f не е повисок од графикот на функцијата g;
• Апсцисите на пресечните точки на графиците на функциите f и g се решенија на равенката f (x) = g (x).

Ајде да го погледнеме горенаведениот алгоритам користејќи пример. За да го направите ова, земете ја квадратната неравенка a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) и од него изведете две функции. Левата страна на неравенката ќе одговара на y = a · x 2 + b · x + c (во овој случај f (x) = a · x 2 + b · x + c), а десната страна y = 0 ( во овој случај g (x) = 0).

Графикот на првата функција е парабола, втората е права линија, која се совпаѓа со оската x Ox. Да ја анализираме положбата на параболата во однос на оската O x. За да го направите ова, ајде да направиме шематски цртеж.

Гранките на параболата се насочени нагоре. Ја пресекува оската O x во точките x 1И x 2. Коефициентот a во овој случај е позитивен, бидејќи токму тој е одговорен за насоката на гранките на параболата. Дискриминаторот е позитивен, што покажува дека квадратниот трином има два корени a x 2 + b x + c. Корените на триномот ги означуваме како x 1И x 2, и тоа беше прифатено x 1< x 2 , бидејќи точка со апсциса е прикажана на оската O x x 1лево од точката на апсцисата x 2.

Деловите на параболата лоцирани над оската O x ќе бидат означени со црвено, подолу - со сина боја. Ова ќе ни овозможи да го направиме цртежот повизуелен.

Да ги избереме празнините што одговараат на овие делови и да ги означиме на сликата со полиња со одредена боја.

Со црвено ги означивме интервалите (− ∞, x 1) и (x 2, + ∞), на нив параболата е над оската O x. Тие се a · x 2 + b · x + c > 0. Со сино го означивме интервалот (x 1 , x 2), кој е решение на неравенството a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Ајде да направиме кратко резиме на решението. За a > 0 и D = b 2 − 4 a c > 0 (или D " = D 4 > 0 за парен коефициент b) добиваме:

• решението на квадратната неравенка a x 2 + b x + c > 0 е (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) или во друга нотација x< x 1 , x >x2;
• решението на квадратната неравенка a · x 2 + b · x + c ≥ 0 е (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) или во друга нотација x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• решавање на квадратната неравенка a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• решението на квадратната неравенка a x 2 + b x + c ≤ 0 е [ x 1 , x 2 ] или во друга нотација x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

каде што x 1 и x 2 се корените на квадратниот трином a x 2 + b x + c и x 1< x 2 .

На оваа слика, параболата ја допира оската O x само во една точка, која е означена како x 0 a > 0. D=0, значи, квадратниот трином има еден корен x 0.

Параболата се наоѓа над оската O x целосно, со исклучок на точката на тангенција на координатната оска. Ајде да ги обоиме интервалите (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Ајде да ги запишеме резултатите. На a > 0И D=0:

• решавање на квадратната неравенка a x 2 + b x + c > 0е (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) или во друга нотација x ≠ x 0;
• решавање на квадратната неравенка a x 2 + b x + c ≥ 0е (− ∞ , + ∞) или во друга ознака x ∈ R;
• квадратна нееднаквост a x 2 + b x + c< 0 нема решенија (нема интервали во кои параболата се наоѓа под оската О x);
• квадратна нееднаквост a x 2 + b x + c ≤ 0има уникатно решение x = x 0(тоа е дадено од точката на контакт),

Каде x 0- корен на квадратниот трином a x 2 + b x + c.

Да го разгледаме третиот случај, кога гранките на параболата се насочени нагоре и не ја допираат оската О x. Гранките на параболата се насочени нагоре, што значи дека a > 0. Квадратниот трином нема вистински корени затоа што Д< 0 .

На графикот нема интервали на кои параболата би била под оската x. Ова ќе го земеме предвид при изборот на боја за нашиот цртеж.

Излегува дека кога a > 0И Д< 0 решавање на квадратни неравенки a x 2 + b x + c > 0И a x 2 + b x + c ≥ 0е множеството од сите реални броеви и неравенките a x 2 + b x + c< 0 И a x 2 + b x + c ≤ 0немаат решенија.

Имаме уште три опции кои треба да ги разгледаме кога гранките на параболата се насочени надолу. Нема потреба детално да се задржуваме на овие три опции, бидејќи кога ќе ги помножиме двете страни на неравенката со − 1, добиваме еквивалентна неравенка со позитивен коефициент за x 2.

Разгледувањето на претходниот дел од статијата нè подготви за перцепција на алгоритам за решавање на неравенки со помош на графички метод. За да извршиме пресметки, секој пат ќе треба да користиме цртеж, кој ќе ја отслика координатната линија O x и параболата што одговара на квадратната функција y = a x 2 + b x + c. Во повеќето случаи, нема да ја отсликаме оската O y, бидејќи не е потребна за пресметки и само ќе го преоптоварува цртежот.

За да изградиме парабола, ќе треба да знаеме две работи:

Дефиниција 2

• насоката на гранките, која се определува со вредноста на коефициентот a;
• присуство на точки на пресек на параболата и оската на апсцисата, кои се определени со вредноста на дискриминантот на квадратниот трином a · x 2 + b · x + c.

Пресечните и тангентните точки ќе ги означуваме на вообичаен начин при решавање на нестроги неравенки и празни кога решаваме строги.

Имањето завршен цртеж ви овозможува да преминете на следниот чекор од решението. Тоа вклучува одредување на интервалите во кои параболата се наоѓа над или под оската O x. Интервалите и точките на пресек се решение за квадратната неравенка. Ако нема точки на вкрстување или тангенција и нема интервали, тогаш се смета дека неравенството наведена во условите на проблемот нема решенија.

Сега да решиме неколку квадратни неравенки користејќи го горенаведениот алгоритам.

Пример 1

Потребно е графички да се реши неравенството 2 x 2 + 5 1 3 x - 2.

Решение

Да нацртаме график на квадратната функција y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Коефициент во x 2позитивно затоа што е еднакво 2 . Ова значи дека гранките на параболата ќе бидат насочени нагоре.

Да ја пресметаме дискриминантата на квадратниот трином 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 за да откриеме дали параболата има заеднички точки со оската на апсцисата. Добиваме:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Како што гледаме, D е поголем од нула, затоа, имаме две пресечни точки: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 и x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, т.е. x 1 = − 3И x 2 = 1 3.

Решаваме нестрога неравенка, затоа ставаме обични точки на графикот. Ајде да нацртаме парабола. Како што можете да видите, цртежот го има истиот изглед како во првиот шаблон што го разгледавме.

Нашата нееднаквост има знак ≤. Затоа, треба да ги истакнеме интервалите на графиконот во кои параболата се наоѓа под оската O x и да ги додадеме пресечните точки на нив.

Интервалот што ни треба е 3, 1 3. Кон него додаваме пресечни точки и добиваме нумеричка отсечка − 3, 1 3. Ова е решение за нашиот проблем. Одговорот може да се запише како двојна неравенка: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Одговор:− 3 , 1 3 или − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Пример 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 графички метод.

Решение

Квадратот на променливата има негативен нумерички коефициент, така што гранките на параболата ќе бидат насочени надолу. Да го пресметаме четвртиот дел од дискриминаторот D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Овој резултат ни кажува дека ќе има две точки на пресек.

Да ги пресметаме корените на квадратниот трином: x 1 = - 8 + 1 - 1 и x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 и x 2 = 9.

Излегува дека параболата ја пресекува оската x во точките 7 И 9 . Да ги означиме овие точки на графиконот како празни, бидејќи работиме со строга нееднаквост. По ова, нацртајте парабола што ја пресекува оската O x на означените точки.

Ќе нè интересираат интервалите во кои параболата се наоѓа под оската O x. Ајде да ги означиме овие интервали со сино.

Го добиваме одговорот: решението на неравенството се интервалите (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Одговор:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) или во друга нотација x< 7 , x > 9 .

Во случаи кога дискриминантот на квадратен трином е нула, потребно е внимателно да се разгледа дали да се вклучи апсцисата на тангентните точки во одговорот. За да се донесе правилна одлука, неопходно е да се земе предвид знакот на нееднаквост. Кај строгите неравенки, точката на тангенција на х-оската не е решение за неравенството, но во нестрогите тоа е.

Пример 3

Решавање на квадратна неравенка 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0графички метод.

Решение

Гранките на параболата во овој случај ќе бидат насочени нагоре. Ќе ја допре оската O x во точката 0, 7, бидејќи

Ајде да ја нацртаме функцијата y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Неговите гранки се насочени нагоре, бидејќи коефициентот на x 2позитивен, и ја допира оската x во точката на оската x 0 , 7 , бидејќи D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, од каде x 0 = 7 10 или 0 , 7 .

Да ставиме точка и да нацртаме парабола.

Нестрога неравенство решаваме со знак ≤. Оттука. Ќе нè интересираат интервалите во кои параболата се наоѓа под оската x и точката на тангенција. На сликата нема интервали кои би ги задоволиле нашите услови. Има само допирна точка 0, 7. Ова е решението што го бараме.

Одговор:Неравенката има само едно решение 0, 7.

Пример 4

Решавање на квадратна неравенка – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Решение

Гранките на параболата се насочени надолу. Дискриминаторот е нула. Пресечна точка x 0 = 4.

Ја означуваме точката на тангенција на оската x и цртаме парабола.

Имаме работа со сериозна нееднаквост. Следствено, ние сме заинтересирани за интервалите во кои параболата се наоѓа под оската O x. Да ги означиме со сино.

Точката со апсциса 4 не е решение, бидејќи параболата кај неа не се наоѓа под оската O x. Следствено, добиваме два интервали (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Одговор: (− ∞, 4) ∪ (4, + ∞) или во друга нотација x ≠ 4.

Не секогаш со негативна вредностдискриминаторната нееднаквост нема да има решенија. Има случаи кога решението е множество од сите реални броеви.

Пример 5

Графички решете ја квадратната неравенка 3 x 2 + 1 > 0.

Решение

Коефициентот а е позитивен. Дискриминаторот е негативен. Гранките на параболата ќе бидат насочени нагоре. Нема точки на пресек на параболата со оската O x. Ајде да го погледнеме цртежот.

Работиме со строга нееднаквост, која има знак >. Тоа значи дека ние сме заинтересирани за интервалите во кои параболата се наоѓа над х-оската. Токму тоа е случај кога одговорот е множество од сите реални броеви.

Одговор:(− ∞, + ∞) или така x ∈ R.

Пример 6

Неопходно е да се најде решение за нееднаквоста − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0графички.

Решение

Гранките на параболата се насочени надолу. Дискриминаторот е негативен, затоа, нема заеднички точки помеѓу параболата и оската x. Ајде да го погледнеме цртежот.

Работиме со нестрога неравенка со знакот ≥, затоа, интервалите во кои се наоѓа параболата над оската x се од интерес за нас. Судејќи според графиконот, нема такви празнини. Тоа значи дека нееднаквоста дадена во проблемските услови нема решенија.

Одговор:Нема решенија.

Доколку забележите грешка во текстот, означете ја и притиснете Ctrl+Enter