Cum să găsesc derivatul?

Reguli de diferențiere.

Pentru a găsi derivata oricărei funcții, trebuie să stăpânești doar trei concepte:

2. Reguli de diferențiere.

3. Derivata unei functii complexe.

Exact în acea ordine. Este un indiciu.)

Desigur, ar fi bine să aveți o idee despre derivate în general). Ce este un derivat și cum se lucrează cu tabelul derivatelor este explicat clar în lecția anterioară. Aici ne vom ocupa de regulile de diferențiere.

Diferențierea este operația de găsire a derivatei. Nu se ascunde nimic mai mult în spatele acestui termen. Acestea. expresii „găsește derivata unei funcții”Și „diferențierea unei funcții”- Este la fel.

Expresie „reguli de diferențiere” se referă la găsirea derivatei din operatii aritmetice. Această înțelegere ajută foarte mult la evitarea confuziei în capul tău.

Să ne concentrăm și să ne amintim toate, toate, toate operațiile aritmetice. Sunt patru). Adunare (suma), scădere (diferență), înmulțire (produs) și împărțire (cot). Iată-le, regulile de diferențiere:

Placa arată cinci reguli asupra patru operatii aritmetice. Nu am fost preschimbat.) Doar că regula 4 este o consecință elementară a regulii 3. Dar este atât de populară încât are sens să o scrii (și să reții!) ca o formulă independentă.

Sub denumirile UȘi V unele (absolut orice!) funcții sunt implicate U(x)Și V(x).

Să ne uităm la câteva exemple. În primul rând - cele mai simple.

Aflați derivata funcției y=sinx - x 2

Aici avem diferență două funcţii elementare. Aplicam regula 2. Vom presupune ca sinx este o functie U, iar x 2 este funcția V. Avem tot dreptul să scriem:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Este mai bine, nu?) Tot ce rămâne este să găsiți derivatele sinusului și pătratului lui x. Există un tabel de derivate în acest scop. Căutăm doar funcțiile de care avem nevoie în tabel ( sinxȘi x 2), uită-te la ce derivate au și notează răspunsul:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Asta este. Regula 1 a diferențierii sumelor funcționează exact la fel.

Dacă avem mai mulți termeni? Nicio problemă.) Împărțim funcția în termeni și căutăm derivata fiecărui termen independent de ceilalți. De exemplu:

Aflați derivata funcției y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Scriem cu curaj:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

La sfârșitul lecției voi oferi sfaturi pentru a face viața mai ușoară atunci când diferențiez.)

Sfaturi practice:

1. Înainte de diferențiere, vedeți dacă este posibil să simplificați funcția inițială.

2. În exemple complicate, descriem soluția în detaliu, cu toate parantezele și liniuțele.

3. La diferențierea fracțiilor cu un număr constant la numitor, transformăm împărțirea în înmulțire și folosim regula 4.

Problema găsirii derivatei unei funcții date este una dintre principalele la cursurile de matematică din liceu și în instituțiile de învățământ superior. Este imposibil să explorezi pe deplin o funcție și să-i construiești graficul fără a-i lua derivata. Derivata unei funcții poate fi găsită cu ușurință dacă cunoașteți regulile de bază de diferențiere, precum și tabelul de derivate ale funcțiilor de bază. Să ne dăm seama cum să găsim derivata unei funcții.

Derivata unei funcții este limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului atunci când incrementul argumentului tinde spre zero.

Înțelegerea acestei definiții este destul de dificilă, deoarece conceptul de limită nu este studiat pe deplin în școală. Dar pentru a găsi derivate ale diferitelor funcții, nu este necesar să înțelegem definiția, să lăsăm matematicienilor și să trecem direct la găsirea derivatei.

Procesul de găsire a derivatei se numește diferențiere. La diferențierea unei funcții, vom obține o nouă funcție.

Pentru a le desemna vom folosi literele latine f, g etc.

Există multe notații diferite pentru derivate. Vom folosi un accident vascular cerebral. De exemplu, scrierea g” înseamnă că vom găsi derivata funcției g.

Tabelul derivatelor

Pentru a răspunde la întrebarea cum să găsiți derivata, este necesar să furnizați un tabel cu derivatele principalelor funcții. Pentru a calcula derivatele funcțiilor elementare, nu este necesar să se efectueze calcule complexe. Este suficient doar să ne uităm la valoarea sa în tabelul cu derivate.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Exemplul 1. Aflați derivata funcției y=500.

Vedem că aceasta este o constantă. Din tabelul derivatelor se știe că derivata unei constante este egală cu zero (formula 1).

Exemplul 2. Aflați derivata funcției y=x 100.

Aceasta este o funcție de putere al cărei exponent este 100, iar pentru a-și găsi derivata trebuie să înmulțiți funcția cu exponent și să o reduceți cu 1 (formula 3).

(x 100)"=100 x 99

Exemplul 3. Aflați derivata funcției y=5 x

Acest functie exponentiala, să-i calculăm derivata folosind formula 4.

Exemplul 4. Aflați derivata funcției y= log 4 x

Găsim derivata logaritmului folosind formula 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Reguli de diferențiere

Să ne dăm seama acum cum să găsim derivata unei funcții dacă aceasta nu este în tabel. Majoritatea funcțiilor studiate nu sunt elementare, ci sunt combinații de funcții elementare folosind operații simple (adunare, scădere, înmulțire, împărțire și înmulțire cu un număr). Pentru a le găsi derivatele, trebuie să cunoașteți regulile de diferențiere. Mai jos, literele f și g indică funcții, iar C este o constantă.

1. Coeficientul constant poate fi scos din semnul derivatei

Exemplul 5. Aflați derivata funcției y= 6*x 8

Scoatem un factor constant de 6 și diferențiam doar x 4. Aceasta este o funcție de putere, a cărei derivată se găsește folosind formula 3 din tabelul derivatelor.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Derivata unei sume este egala cu suma derivatelor

(f + g)"=f" + g"

Exemplul 6. Aflați derivata funcției y= x 100 +sin x

O funcție este suma a două funcții ale căror derivate le putem găsi din tabel. Deoarece (x 100)"=100 x 99 și (sin x)"=cos x. Derivata sumei va fi egala cu suma acestor derivate:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Derivata diferentei este egala cu diferenta derivatelor

(f – g)"=f" – g"

Exemplul 7. Aflați derivata funcției y= x 100 – cos x

Această funcție este diferența dintre două funcții, ale căror derivate le putem găsi și în tabel. Atunci derivata diferenței este egală cu diferența derivatelor și nu uitați să schimbați semnul, deoarece (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Exemplul 8. Aflați derivata funcției y=e x +tg x– x 2.

Această funcție are atât o sumă, cât și o diferență, să găsim derivatele fiecărui termen:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Atunci derivata funcției inițiale este egală cu:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivat al produsului

(f * g)"=f" * g + f * g"

Exemplul 9. Aflați derivata funcției y= cos x *e x

Pentru a face acest lucru, găsim mai întâi derivata fiecărui factor (cos x)"=–sin x și (e x)"=e x. Acum să înlocuim totul în formula produsului. Înmulțim derivata primei funcție cu a doua și adunăm produsul primei funcție cu derivata celei de-a doua.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivată a coeficientului

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Exemplul 10. Aflați derivata funcției y= x 50 /sin x

Pentru a găsi derivata unui cot, găsim mai întâi derivata numărătorului și numitorului separat: (x 50)"=50 x 49 și (sin x)"= cos x. Înlocuind derivata coeficientului în formulă, obținem:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Derivată a unei funcții complexe

O funcție complexă este o funcție reprezentată de o compoziție de mai multe funcții. Există, de asemenea, o regulă pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

(u (v))"=u"(v)*v"

Să ne dăm seama cum să găsim derivata unei astfel de funcții. Fie y= u(v(x)) o funcție complexă. Să numim funcția u extern și v - intern.

De exemplu:

y=sin (x 3) este o funcție complexă.

Atunci y=sin(t) este funcția exterioară

t=x 3 - intern.

Să încercăm să calculăm derivata acestei funcții. Conform formulei, trebuie să înmulțiți derivatele funcțiilor interne și externe.

(sin t)"=cos (t) - derivată a funcției externe (unde t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivată a funcției interne

Atunci (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 este derivata unei funcții complexe.

Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, din vremea școlii toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivată a produsului funcțiilor

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să înțelegeți sarcinile, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.

Calculatorul calculează derivatele tuturor funcțiilor elementare, oferind o soluție detaliată. Variabila de diferențiere este determinată automat.

Derivată a unei funcții- unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Apariția derivatei a dus la probleme precum, de exemplu, calcularea vitezei instantanee a unui punct la un moment dat, dacă se cunoaște calea în funcție de timp, problema găsirii tangentei la o funcție într-un punct.

Cel mai adesea, derivata unei funcții este definită ca limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, dacă acesta există.

Definiție. Fie definită funcția într-o anumită vecinătate a punctului. Atunci derivata funcției într-un punct se numește limită, dacă există

Cum se calculează derivata unei funcții?

Pentru a învăța să diferențiezi funcții, trebuie să înveți și să înțelegi reguli de diferențiere si invata sa folosesti tabelul derivatelor.

Reguli de diferențiere

Fie și să fie funcții diferențiabile arbitrare ale unei variabile reale și să fie o constantă reală. Apoi

— regula de diferențiere a produsului de funcții

— regula de diferențiere a funcțiilor coeficiente

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — diferențierea unei funcții cu exponent variabil

— regula de diferențiere a unei funcții complexe

— regula de diferențiere a unei funcții de putere

Derivată a unei funcții online

Calculatorul nostru va calcula rapid și precis derivata oricărei funcții online. Programul nu va face greșeli la calcularea derivatei și vă va ajuta să evitați calculele lungi și plictisitoare. Calculator online De asemenea, va fi util în cazul în care este nevoie să verificați corectitudinea soluției dvs. și, dacă este incorectă, găsiți rapid eroarea.

Navigare în pagină.

Derivata este constanta.

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția derivatei unei funcții într-un punct. Să luăm , unde x este orice număr real, adică x este orice număr din domeniul de definiție al funcției. Să notăm limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limită se obține expresia care nu este , întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Prin urmare, derivata unei funcții constante este egală cu zero în întregul domeniu de definiție.

Exemplu.

Găsiți derivate ale următoarelor funcții constante

Soluţie.

În primul caz avem derivata numărului natural 3, în al doilea caz trebuie să luăm derivata parametrului a, care poate fi orice număr real, în al treilea - derivata numărului irațional, în al patrulea în cazul în care avem derivata lui zero (zero este un întreg), în a cincea – derivată a unei fracții raționale.

Răspuns:

Derivatele tuturor acestor funcții sunt egale cu zero pentru orice x real (pe întregul domeniu de definiție)

Derivată a unei funcții de putere.

Formula pentru derivata unei funcții putere are forma , unde exponentul p este orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, ...

Vom folosi definiția derivatei. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia din numărător, trecem la formula:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Trebuie luate în considerare două cazuri: pentru x pozitiv și x negativ.

Să presupunem mai întâi. În acest caz . Să luăm logaritmul egalității la baza e și să aplicăm proprietatea logaritmului:

Am ajuns la o funcție implicit specificată. Găsim derivata sa:

Rămâne de efectuat demonstrația pentru x negativ.

Când exponentul p este un număr par, atunci funcția de putere este definită și pentru și este par (vezi secțiunea). Acesta este, . În acest caz, puteți utiliza și demonstrația prin derivata logaritmică.

Când exponentul p este un număr impar, atunci funcția de putere este definită și pentru și este impar. Acesta este, . În acest caz, derivata logaritmică nu poate fi utilizată. Pentru a demonstra formula în acest caz, puteți folosi regulile de diferențiere și regula pentru găsirea derivatei unei funcții complexe:

Ultima tranziție este posibilă datorită faptului că, dacă p este un număr impar, atunci p-1 este fie un număr par, fie zero (pentru p=1), prin urmare, pentru x negativ, egalitatea este adevărată .

Astfel, formula pentru derivata unei funcții de putere este dovedită pentru orice p real.

Exemplu.

Găsiți derivate ale funcțiilor.

Soluţie.

Aducem prima și a treia funcție într-o formă tabelară folosind proprietățile unei puteri și aplicăm formula pentru derivata unei funcții de putere:

Derivata unei functii exponentiale.

Prezentăm derivarea formulei derivate pe baza definiției:

Am ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă, iar la . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus avem .

Să folosim formula diferenței sinusurilor:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Astfel, derivata funcției sin x este cos x.

Formula pentru derivata cosinusului este dovedită exact în același mod.

La rezolvarea problemelor de diferențiere, ne vom referi în mod constant la tabelul derivatelor funcțiilor de bază, altfel de ce l-am compilat și am demonstrat fiecare formulă. Vă recomandăm să vă amintiți toate aceste formule în viitor vă va economisi mult timp.

Drepturi de autor de către cleverstudents

Toate drepturile rezervate.
Protejat de legea dreptului de autor. Nicio parte a site-ului, inclusiv materialele interne și aspectul, nu poate fi reprodusă sub nicio formă sau utilizată fără permisiunea prealabilă scrisă a deținătorului drepturilor de autor.