Sarcina 18 Catalogul sarcinilor. Declarații logice

1. Sarcina 18 nr 701. Pentru ce nume este falsă afirmația:

(Prima literă a numelui este o vocală→ A patra literă a numelui este o consoană).

1) ELENA

2) VADIM

3) ANTON

4) FEDOR

Explicaţie.

O implicație este falsă dacă și numai dacă premisa este adevărată, iar rezultatul este fals. În cazul nostru - dacă prima literă a numelui este o vocală și a patra literă este o vocală. Numele Anton îndeplinește această condiție.

Notă.

Același rezultat rezultă din următoarele transformări: ¬ (A→ B) = ¬ (¬ A∨ B) = A∧ (¬B).

Răspunsul corect este listat la numărul 3.

2. Sarcina 18 nr 8666. Există două segmente pe dreapta numerică: P = și Q = . Indicați cea mai mare lungime posibilă a intervalului A pentru care formula

(¬(xA)→ (XP))→ ((XA)→ (XQ))

este identic adevărat, adică ia valoarea 1 pentru orice valoare a variabilei x.

Explicaţie.

Să transformăm această expresie:

(¬ ( XA) → ( X P)) → (( X A) → ( XQ))

((XA)∨ (X P))→ ((X Nu A)∨ (X Q))

¬(( Xa aparținutA) ∨ ( Xa aparținutP)) ∨ (( X nu aparțineaA) ∨ ( X a aparținutQ))

( Xnu aparțineaA) ∧ ( Xnu aparțineaP) ∨ ( X a aparținutA) ∨ ( X nu aparțineaQ)

( Xnu aparțineaA) ∨ ( X a aparținutQ)

Astfel, fie x trebuie să aparțină lui Q, fie să nu aparțină lui A. Aceasta înseamnă că pentru a obține adevărul pentru tot x, A trebuie să fie complet conținut în Q. Atunci maximul pe care îl poate deveni este tot Q, adică lungimea 15 .

3. Sarcina 18 nr 9170. Există două segmente pe dreapta numerică: P = și Q = .

Indicați cea mai mare lungime posibilă a segmentului A pentru care formula

((XA)→ ¬(xP))→ ((XA)→ (XQ))

identic adevărat, adică ia valoarea 1 pentru orice valoare a variabileiX .

Explicaţie.

Să transformăm această expresie.

(( X€ A) → ¬( Xa aparținutP)) → (( X a aparținutA) → ( X a aparținutQ))

(( Xnu aparțineaA) ∨ ( Xnu aparțineaP)) → (( X nu aparțineaA) ∨ ( X a aparținutQ))

¬((x nu a aparținut lui A)∨ (Xnu a aparținut lui P))∨ ((Xnu a aparținut lui A)∨ (Xa aparținut lui Q))

Este adevărat că A∧ B∨ ¬A = ¬A∨ B. Aplicând acest lucru aici, obținem:

(x aparține lui P)∨ (Xnu a aparținut lui A)∨ (x aparține lui Q)

Adică, fie un punct trebuie să aparțină lui Q, fie să aparțină lui P, fie să nu aparțină lui A. Aceasta înseamnă că A poate acoperi toate punctele care acoperă P și Q. Adică A = P Q = = . |A| = 48 - 10 = 38.

4. Sarcina 18 nr 9202. Elementele mulțimilor A, P, Q sunt numere naturale, cu P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Se știe că expresia

((XA)→ (XP))∨ (¬(xQ)→ ¬(xA))

adevărat (adică ia valoarea 1) pentru orice valoare a variabilei x.

5. Sarcina 18 nr 9310. Elementele mulțimilor A, P, Q sunt numere naturale, cu P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50).

Se știe că expresia

((XA)→ (XP))∨ (¬(xQ)→ ¬(xA))

adevărat (adică ia valoarea 1) pentru orice valoare a variabilei x.

Determinați cel mai mare număr posibil de elemente din mulțimea A.

6. Sarcina 18 nr 9321. Să notăm prinDEL ( n, m ) enunțul „un număr natural n este divizibil cu un număr natural fără restm " Pentru care este cel mai mare număr naturalA formulă

¬ DEL ( x, A ) → (¬ DEL ( X , 21) ∧ ¬ DEL ( X , 35))

este identic adevărat (adică ia valoarea 1 pentru orice valoare naturală a variabileiX )?

(Misiunea de la M.V. Kuznetsova)

7. Sarcina 18 nr 9768. Să notăm prin m & n m Și n 2 & 0101 2 = 0100 2 A formulă

X & 29 ≠ 0 → (X & 12 = 0 → X & A ≠ 0)

este identic adevărat (adică ia valoarea 1 pentru orice valoare întreagă nenegativă a variabilei X )?

8. Sarcina 18 nr 9804. Să notăm prin m & n conjuncție pe biți a numerelor întregi nenegative m Și n . Deci, de exemplu, 14 și 5 = 1110 2 & 0101 2 = 0100 2 = 4. Pentru care este cel mai mic număr întreg nenegativ A formulă

X & 29 ≠ 0 → (X & 17 = 0 → X & A ≠ 0)

este identic adevărat (adică ia valoarea 1 pentru orice valoare întreagă nenegativă a variabilei X )?

9. Sarcina 18 nr 723. Pentru care nume este adevărată afirmația:

Vocala a treia litera→ ¬ (Prima literă este o consoană \/ Există 4 vocale în cuvânt)?

1) Rimma

2) Anatolie

3) Svetlana

4) Dmitri

Explicaţie.

Să aplicăm transformarea implicației:

Consoana a treia literă∨ (Prima litera vocală∧ Cuvântul NU are 4 vocale)

O disjuncție este adevărată atunci când cel puțin o afirmație este adevărată. Prin urmare, numai opțiunea 1 este potrivită.

10. Sarcina 18 Nr 4581. Care dintre nume date satisface condiția logică:

(prima literă este o consoană→ ultima literă este o consoană) /\ (prima literă este o vocală→ ultima literă este o vocală)?

Dacă există mai multe astfel de cuvinte, indicați-l pe cel mai lung.

1) ANNA

2) BELLA

3) ANTON

4) BORIS

Explicaţie.

logic Și este adevărat numai dacă ambele afirmații sunt adevărate.(1)

O implicație este falsă numai dacă adevărul implică o minciună.(2)

Opțiunea 1 se potrivește tuturor condițiilor.

Opțiunea 2 nu este potrivită din cauza stării (2).

Opțiunea 3 nu este potrivită din cauza stării (2).

Opțiunea 4 se potrivește tuturor condițiilor.

Trebuie specificat cel mai lung cuvânt, deci răspunsul este 4.

Sarcini pentru soluție independentă

1. Sarcina 18 nr 711. Care dintre numele țărilor date îndeplinește următoarea condiție logică: ((consoana ultima literă) \/ (consoana prima literă))→ (numele conține litera „p”)?

1) Brazilia

2) Mexic

3) Argentina

4) Cuba

2. Sarcina 18 nr 709. Care dintre nume date satisface condiția logică:

(Prima literă este vocală)∧ ((Consoana a patra literă)∨ (Cuvântul are patru litere))?

1) Serghei

2) Vadim

3) Anton

4) Ilya

№3

№4

№5. Sarcina 18 nr 736. Care dintre nume date satisface condiția logică

Prima literă este vocală∧ A patra literă este o consoană∨ Există patru litere în cuvânt?

1) Serghei

2) Vadim

3) Anton

4) Ilya

Belova T.V.
cum să predați cum să rezolvați sarcina 18 a examenului de stat unificat în informatică

instituția de învățământ bugetar municipal „Liceul”,

Arzamas, da. bellova. tatyana@ yandex. ru

Înainte de a începe să rezolvați sarcinile 18 „Verificarea adevărului unei expresii logice” din lucrarea de examen în informatică, trebuie să explicați (sau să vă amintiți) studenților care este conceptul de „unire” și „intersecție” a mai multor mulțimi. Și deoarece sarcina 18 este legată de definirea segmentelor, cel mai bine este să explicați aceste concepte pe segmente. Dar este necesar să se conecteze aceste concepte cu conceptele algebrei logicii - „conjuncție” și „disjuncție” și, desigur, „inversie”. Vă dau un exemplu. În primul rând, să ne uităm la inversarea unui segment sau, mai simplu, la negația unui segment.

Având în vedere segmentul P=. Aflați segmentele care vor fi inversul segmentului P=. Luați în considerare linia de coordonate (Fig. 1):

orez. 1

Pe linie dreaptă marchem segmentul P (zona albastră), atunci este clar că intervalele nu P vor fi intervale și (zona verde) - Fig. 1. Atenție la faptul că punctele 6 și 15 nu vor fi incluse în inversarea segmentului.

Să luăm în considerare un alt exemplu: sunt date două segmente P= și Q= (se dau aceleași notații ca în sarcina Unified State Examination, astfel încât elevii să se obișnuiască imediat cu notațiile). Găsiți un segment care va denota conjuncția (uniunea) și disjuncția (intersecția) acestor segmente

Desenăm segmente pe linia de coordonate (Fig. 2):

orez. 2

În primul rând, marchem zonele pe linia de coordonate, care reprezintă segmentele P (albastru) și Q (galben). Apoi determinăm care parte a liniei de coordonate va servi ca conjuncție a acestor două segmente. Aici ne amintim că conjuncția este o operație logică care combină două afirmații simple într-una complexă folosind conjunctivul logic „și”, iar enunțul complex va dobândi sensul „adevărat” dacă și numai dacă ambele afirmații simple originale sunt adevărate. Astfel, constatăm că trebuie să găsim regiuni în care există atât segmentul P, cât și segmentul Q și există o singură astfel de regiune - segmentul (roșu). Vom studia mai detaliat toate segmentele drepte, astfel încât elevii să poată înțelege mai clar și să înțeleagă materialul, deci:

Acum să ne uităm la disjuncția acestor segmente într-un mod similar. Să ne întoarcem din nou la definiția acestei operații logice - „disjuncția este o operație logică care, în conformitate cu două sau mai multe afirmații logice, pune una nouă, ceea ce este adevărat dacă și numai dacă cel puțin una dintre instrucțiunile inițiale de intrare este Adevărat." Adică, cu alte cuvinte, trebuie să găsim intervale pe linia de coordonate unde există cel puțin unul dintre segmentele noastre originale, acest interval dorit va fi verde (Fig. 2). De asemenea, vom analiza fiecare dintre intervale și vom arăta că acesta este într-adevăr cazul:

Combinând intervalele găsite, obținem că segmentul necesar, care denotă disjuncția segmentelor originale, este segmentul - verde (Fig. 2).

După ce ați analizat acest exemplu, puteți lăsa elevii să încerce să găsească diverse combinații de operații logice - disjuncție, conjuncție și negație. De exemplu, având în vedere două segmente P=[-4,10] și Q=. Găsiți un segment care va denota următoarele operații logice: , , (puteți găsi diverse alte combinații ale acestor operații logice).

orez. 3

orez. 4

orez. 5

Când toate exemplele sunt analizate, studenții nu vor întâmpina dificultăți în înțelegerea și rezolvarea sarcinii nr. 18 din foaia de examen a examenului unificat de stat în informatică.

Iată exemple de soluții pentru mai multe sarcini:

Există două segmente pe dreapta numerică: P = și Q =. Alegeți un segment A astfel încât formula

(X  A) → ((X  P) → (X  Q)) este identic adevărat, adică ia valoarea 1 pentru orice valoare a variabilei X. Raspunsuri posibile:

1) 2) 3) 4)

Soluție (Fig. 6): pentru a simplifica înțelegerea expresiei, să notăm enunțurile individuale cu litere - A: X A,P: X P,Q: X Q. Astfel, obținem următoarea expresie ținând cont de înlocuire: → ( P→ )=1. Egalitatea expresiei 1 înseamnă că indiferent de valoarea variabilei X nu am luat-o, expresia noastră logică ia valoarea 1, adică pe întreaga linie numerică. Să ne amintim câteva legi și egalități logice și să ne transformăm expresia: =1. Ca rezultat, constatăm că trebuie să construim o disjuncție a trei segmente, dintre care două ne sunt cunoscute. Le vom construi (Fig. 7). Pentru început, ca în toate exemplele de mai sus, trebuie să construim inversiunile segmentelor P (portocaliu) și Q (roșu). Apoi din întreaga expresie putem determina intervalele de disjuncție =1 (zonele verzi din Fig. 7). Astfel, constatăm că avem o parte „liberă” pe linia de coordonate - . Această parte este dreaptă și ar trebui să se suprapună pe segmentul dorit A.

Se știe că expresia

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ ((x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))

adevărat (adică ia valoarea 1) pentru orice valoare a variabilei x. Determinați cel mai mare număr posibil de elemente din mulțimea A.

Soluţie.

Să introducem următoarea notație:

(x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A; ∧ ≡ · ; ∨ ≡ +.

Apoi, aplicând transformarea de implicație, obținem:

(¬A + P) · (¬Q + ¬A) ⇔ ¬A · ¬Q + ¬Q · P + ¬A + ¬A · P ⇔

⇔ ¬A · (¬Q + P + 1) + ¬Q · P ⇔ ¬A + ¬Q · P.

Se cere ca ¬A + ¬Q · P = 1. Expresia ¬Q · P este adevărată când x ∈ (2, 4, 8, 10, 14, 16, 20). Atunci ¬A trebuie să fie adevărată când x ∈ (1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23,...).

Prin urmare, numărul maxim de elemente din mulțimea A va fi dacă A include toate elementele mulțimii ¬Q · P, există șapte astfel de elemente.

Raspuns: 7.

Raspuns: 7

Elementele mulțimii A sunt numere naturale. Se știe că expresia

(x (2, 4, 6, 8, 10, 12)) → (((x (3, 6, 9, 12, 15)) ∧ ¬(x A)) → ¬(x (2, 4, 6) , 8, 10, 12)))

Soluţie.

Să introducem următoarea notație:

(x ∈ (2, 4, 6, 8, 10, 12)) ≡ P; (x ∈ (3, 6, 9, 12, 15)) ≡ Q; (x ∈ A) ≡ A.

Transformând, obținem:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = P → (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ ¬Q ∨ A.

SAU logic este adevărat dacă cel puțin o afirmație este adevărată. Expresia ¬P ∨ ¬Q este adevărată pentru toate valorile lui x, cu excepția valorilor 6 și 12. Prin urmare, intervalul A trebuie să conțină punctele 6 și 12. Adică setul minim de puncte din intervalul A ≡ ( 6, 12). Suma elementelor mulțimii A este 18.

Raspuns: 18.

Raspuns: 18

Elementele mulțimilor A, P, Q sunt numere naturale, cu P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Se știe că expresia

adevărat (adică ia valoarea 1) pentru orice valoare a variabilei x. Să se determine cea mai mică valoare posibilă a sumei elementelor mulțimii A.

Soluţie.

Să simplificăm:

¬(x P) ∨ ¬(x Q) da 0 numai atunci când numărul se află în ambele mulțimi. Aceasta înseamnă că pentru ca întreaga expresie să fie adevărată, trebuie să punem toate numerele care se află în P și Q în A. Astfel de numere sunt 6, 12, 18. Suma lor este 36.

Raspuns: 36.

Raspuns: 36

Sursa: Lucrare de formare in INFORMATICA, nota 11 18 ianuarie 2017 Optiune IN10304

Elementele mulțimilor A, P, Q sunt numere naturale, cu P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Se știe că expresia ((x A) → (x P)) ∨ (¬(x Q) → ¬(x A))

adevărat (adică ia valoarea 1) pentru orice valoare a variabilei x.

Determinați cel mai mare număr posibil de elemente din mulțimea A.

Soluţie.

Să transformăm această expresie:

((x A) → (x P)) ∨ ((x Q) → (x A))

((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x Q) ∨ (x A))

(x A) ∨ (x P) ∨ (x Q)

Astfel, un element trebuie fie să fie inclus în P sau Q, fie să nu fie inclus în A. Astfel, A poate conține doar elemente din P și Q. Și în total există 17 elemente care nu se repetă în aceste două mulțimi.

Raspuns: 17

Elementele mulțimilor A, P, Q sunt numere naturale, iar P = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30). Se știe că expresia

((x P) → (x A)) ∨ (¬(x A) → ¬(x Q))

adevărat (adică ia valoarea 1) pentru orice valoare a variabilei x. Să se determine cea mai mică valoare posibilă a sumei elementelor mulțimii A.

Soluţie.

Să dezvăluim două implicații. Primim:

(¬(x P) ∨ (x A)) ∨ ((x A) ∨ ¬(x Q))

Să simplificăm:

(¬(x P) ∨ (x A) ∨ ¬(x Q))

¬(x P) ∨ ¬(x Q) da 0 numai atunci când numărul se află în ambele mulțimi. Aceasta înseamnă că pentru ca întreaga expresie să fie adevărată, trebuie să puneți toate numerele din P și Q în A. Aceste numere sunt 3, 9, 15 și 21. Suma lor este 48.

Raspuns: 48.

Raspuns: 48

Sursa: Lucrare de formare in INFORMATICA, nota 11 18 ianuarie 2017 Optiune IN10303

Și expresia

(y + 2x 30) ∨ (y > 20)

X și y?

Soluţie.

Rețineți că pentru ca această expresie să fie identic adevărată, expresia (y + 2x Răspuns: 81.

Raspuns: 81

Sursa: Examenul Unificat de Stat - 2018. Val timpuriu. Opțiunea 1., Examen de stat unificat - 2018. Val timpuriu. Opțiunea 2.

Un segment A este dat pe dreapta numerică. Se știe că formula

((X ∈ A) → (x 2 ≤ 100)) ∧ ((x 2 ≤ 64) → (X ∈ A))

este identic adevărat pentru orice real X. Care este cea mai scurtă lungime a segmentului A?

Soluţie.

Extinderea implicației conform regulii A → B = ¬A + B, înlocuind suma logică cu o mulțime și produsul logic cu un sistem de relații, determinăm valorile parametrului A, la care sistemul de agregate

va avea soluții pentru orice numere reale.

Pentru ca soluțiile sistemului să fie toate numere reale, este necesar și suficient ca soluțiile fiecărei colecții să fie toate numere reale.

Soluțiile inegalității sunt toate numerele din intervalul [−10; 10]. Pentru ca colecția să fie valabilă pentru toate numerele reale, numerele X, care nu se află pe segmentul specificat, trebuie să aparțină segmentului A. În consecință, segmentul A nu trebuie să depășească limitele segmentului [−10; 10].

În mod similar, soluțiile inegalității sunt numerele din raze și pentru ca colecția să fie valabilă pentru toate numerele reale, numerele X, care nu se află pe razele indicate, trebuie să se afle pe segmentul A. În consecință, segmentul A trebuie să conțină segmentul [−8; 8].

Astfel, cea mai scurtă lungime a segmentului A poate fi egală cu 8 + 8 = 16.

Raspuns: 16.

Raspuns: 16

A expresie

(y + 2x ≠ 48) ∨ (A x) ∨ ( X y)

este identic adevărat, adică ia valoarea 1 pentru orice numere întregi nenegative XȘi y?

Soluţie.

A XȘi y, să luăm în considerare în ce cazuri condițiile ( y + 2x≠ 48) și ( X y) sunt false.

y = 48 − 2x) și (x ≥ y). Acest Xîn intervalul de la 16 la 24 şi yîn intervalul de la 0 la 16. Rețineți că pentru ca expresia să fie potrivită pentru oricare XȘi y, obligat să ia X= 16 și y= 16. Apoi A A va este egal cu 15.

Raspuns: 15.

Raspuns: 15

Sursa: Examen Unificat de Stat în Informatică 28.05.2018. Valul principal, versiunea lui A. Imaev - „Kotolis”.

Pentru care este cel mai mare număr întreg nenegativ A expresie

(y + 2x ≠ 48) ∨ (A x) ∨ ( A y)

este identic adevărat, adică ia valoarea 1 pentru orice numere întregi nenegative XȘi y?

Soluţie.

Pentru a găsi cel mai mare număr întreg nenegativ A, la care va fi expresia XȘi y, să luăm în considerare în ce cazuri condiția ( y + 2x≠ 48) este falsă.

Astfel, găsim toate soluțiile atunci când ( y = 48 − 2x). Acest Xîn intervalul de la 0 la 24 şi yîn intervalul de la 48 la 0. Rețineți că pentru ca expresia să fie potrivită pentru oricare XȘi y, obligat să ia X= 16 și y= 16. Apoi A A va este egal cu 15.

Raspuns: 15.

Raspuns: 15

Sursa: versiunea demonstrativă a examenului de stat unificat 2019 în informatică.

Pentru care este cel mai mic număr întreg nenegativ A expresie

(2X + 3y > 30) ∨ (X + y ≤ A)

este identic adevărat pentru orice numere întregi nenegative XȘi y?

Soluţie.

A, în care expresia va fi identic adevărată pentru orice numere întregi nenegative XȘi yy + 2x> 30) este fals.

y + 2X≤ 30). Acest Xîn intervalul de la 0 la 15 și yîn intervalul de la 10 la 0. Rețineți că pentru ca expresia să fie potrivită pentru oricare XȘi y, obligat să ia X= 15 și y= 0. Atunci 15 + 0 ≤ A. Prin urmare, cel mai mic număr întreg nenegativ A va fi egal cu 15.

Raspuns: 15.

Raspuns: 15

Pentru care este cel mai mare număr întreg nenegativ A expresie

(2X + 3y x+ y ≥ A)

este identic adevărat pentru orice numere întregi nenegative XȘi y?

Soluţie.

Pentru a găsi cel mai mare număr întreg nenegativ A, în care expresia va fi identic adevărată pentru orice numere întregi nenegative XȘi y, să luăm în considerare în ce cazuri condiția (3 y + 2x Astfel, găsim toate soluțiile atunci când (3 y + 2X≥ 30). Acest X mai mult de 15 și y mai mare decât 10. Rețineți că pentru ca expresia să fie potrivită pentru oricare XȘi y, obligat să ia X= 0 și y= 10. Atunci 0 + 10 ≤ A. Prin urmare, cel mai mare număr întreg nenegativ A va fi egal cu 10.

Raspuns: 10.

Raspuns: 10

Pentru care este cel mai mic număr întreg nenegativ A expresie

(3X + 4y ≠ 70) ∨ (A > X) ∨ (A > y)

este identic adevărat pentru orice numere întregi nenegative XȘi y?

Soluţie.

Pentru a găsi cel mai mic număr întreg nenegativ A, în care expresia va fi identic adevărată pentru orice numere întregi nenegative XȘi y, să luăm în considerare în ce cazuri condiția (3 X + 4y≠ 70) este falsă.

Astfel, găsim toate soluțiile atunci când (3 X + 4y= 70). Acest Xîn intervalul de la 2 la 22 şi yîn intervalul de la 16 la 1. Rețineți că pentru ca expresia să fie potrivită pentru oricare XȘi y, obligat să ia X= 10 și y= 10. Atunci A> 10. Prin urmare, cel mai mic număr întreg nenegativ A va fi egal cu 11.

1. Exemplu din versiunea demo

(prima literă consoană → a doua literă consoană) / (penultima literă vocală → ultima literă vocală)

1) KRISTINA 2) MAXIM 3) STEPAN 4) MARIA

Schița soluției Implicație a → b este echivalent cu expresia ¬a / b.

Prima implicație este adevărată pentru cuvintele KRISTINA și STEPAN. Dintre aceste cuvinte, a doua implicație este adevărată numai pentru cuvântul CRISTINE.

Raspuns: 1. CHRISTINA

2. Încă două exemple

Exemplul 1 (segment deschis al FIPI Bank)

Care dintre nume date satisface condiția logică:

(prima consoană → prima vocală) / (ultima vocală → ultima consoană)

1. IRINA 2. MAXIM 3. ARTEM 4. MARIA

Schița soluției. Implicație a → b este echivalent cu expresia ¬a / b. Această expresie este adevărată dacă oricare dintre expresiile a este falsă sau ambele expresii a și b sunt adevărate. Deoarece în cazul nostru în niciuna dintre implicații ambele expresii nu pot fi adevărate în același timp, afirmațiile „prima literă este o consoană” și „ultima literă este o vocală” trebuie să fie false, adică avem nevoie de un cuvânt al cărui prima literă este o vocală, iar ultima este o consoană.

Răspuns: 3. ARTEM.

Exemplul 2. Pentru care dintre valorile indicate ale numărului X este adevărată afirmația?

(X< 4)→(X >15)

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Soluţie. Niciun număr nu poate fi atât mai mic decât 4, cât și mai mare decât 15. Prin urmare, implicația este adevărată numai dacă premisa X< 4 fals.

Răspuns 4.

2. Probleme în formatul Examenului Unificat de Stat 2013-2014.

2.1. Versiunea demo 2013

Există două segmente pe dreapta numerică: P = și Q = .

Alegeți un segment A astfel încât formula

1) 2) 3) 4)

2.2. Versiunea demo 2014

Există două segmente pe dreapta numerică: P = și Q = . Din segmentele propuse, alegeți un segment A astfel încât expresia logică

((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q))→ ¬ (x ∈ A)

identic adevărat, adică ia valoarea 1 pentru orice valoare a variabilei

Opțiuni de răspuns: 1) 2) 3) 4)

Soluţie. Să transformăm expresia folosind . Avem:

¬((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - înlocuirea implicației cu o disjuncție;

¬(¬(x ∈ P) ∨ ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - înlocuirea implicației cu o disjuncție;

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - regula lui de Morgan și înlăturarea dublei negații;

(x ∈ A) → ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) - înlocuirea disjuncției cu o implicație

Ultima expresie este identic adevărată dacă și numai dacă A ⊆ P∩ Q = ∩ = (vezi ). Dintre cele patru segmente date, doar segmentul - opțiunea nr. 2 - îndeplinește această condiție.

Răspuns: - varianta nr 2

3. Probleme în formatul Examenului Unificat de Stat 2015-2016.

3.1. Sarcina 1.

Există două segmente pe dreapta numerică: P = și Q = .

Se știe că limitele segmentului A sunt puncte întregi iar pentru segmentul A, formula

((x ∈ A) → (x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

este identic adevărat, adică ia valoarea 1 pentru orice valoare a variabilei x.

Care este cea mai mare lungime posibilă a segmentului A?

Răspuns corect : 10

Soluţie:

Să transformăm expresia - înlocuim implicația cu o disjuncție. Primim:

(¬(x ∈ A)) \/ ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

Expresia ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q) este adevărată numai pentru cei x care se află fie în P, fie în Q, cu alte cuvinte, pentru x ∈ R = P ∪ Q = ∪ . Expresie

(¬(x ∈ A)) \/ (x ∈ R)

este identic adevărat dacă și numai dacă A ∈ R. Deoarece A este un segment, atunci A ∈ R dacă și numai dacă A ∈ P sau A ∈ Q. Deoarece segmentul Q este mai lung decât segmentul P, atunci cea mai mare lungime a se realizează segmentul A, când A = Q = . Lungimea segmentului A în acest caz este 30 – 20 = 10.

3.2. Sarcina 2.

Să notăm prin m&n conjuncție pe biți a numerelor întregi nenegative mȘi n. Deci, de exemplu, 14&5 = 1110 2 &0101 2 = 0100 2 = 4. Pentru care este cel mai mic număr întreg nenegativ A formulă

X&25 ≠ 0 → (X&33 ≠ 0 → X&A ≠ 0)

este identic adevărat, adică ia valoarea 1 pentru orice valoare întreagă nenegativă a variabilei X?

Răspuns corect : 57

Soluţie:

Să transformăm expresia - înlocuiți implicațiile cu disjuncții. Primim:

¬( X&25 ≠ 0) ∨ (¬( X&33 ≠ 0) ∨ X&A ≠ 0)

Să deschidem parantezele și să înlocuim negațiile inegalităților cu egalități:

X&25 = 0 ∨ X&33 = 0 ∨ X&A ≠ 0 (*)

Avem: 25 = 11001 2 și 33 = 100001 2. Prin urmare formula

X&25 = 0 ∨ X&33 = 0

fals dacă și numai dacă reprezentarea binară a numărului X conține un 1 în cel puțin una dintre următoarele cifre binare: 100000 (32), 10000 (16), 1000 (8) și 1.

Pentru ca formula (*) să fie adevărată pentru toate acestea X Este necesar și suficient ca reprezentarea binară a numărului A să conțină 1 în toți acești biți. Cel mai mic astfel de număr este numărul 32+16+8+1 = 57.