Kako pronaći izvedenicu?

Pravila razlikovanja.

Da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, trebate svladati samo tri pojma:

2. Pravila razlikovanja.

3. Derivacija složene funkcije.

Upravo tim redom. To je nagovještaj.)

Naravno, bilo bi lijepo imati ideju o derivatima općenito). Što je derivacija i kako raditi s tablicom derivacija jasno je objašnjeno u prethodnoj lekciji. Ovdje ćemo se pozabaviti pravilima razlikovanja.

Diferenciranje je operacija nalaženja derivacije. Ništa se više ne krije iza ovog pojma. Oni. izrazi "nađi izvod funkcije" I "razlikovati funkciju"- To je isto.

Izraz "pravila razlikovanja" odnosi se na pronalaženje izvedenice iz aritmetičkih operacija. Ovo razumijevanje puno pomaže u izbjegavanju zbrke u vašoj glavi.

Koncentrirajmo se i zapamtimo sve, sve, sve aritmetičke operacije. Ima ih četiri). Zbrajanje (zbroj), oduzimanje (razlika), množenje (proizvod) i dijeljenje (kvocijent). Evo ih, pravila razlikovanja:

Ploča pokazuje pet pravila o četiri aritmetičke operacije. Nisam bio potkraden.) Pravilo 4 je samo elementarna posljedica pravila 3. Ali toliko je popularno da ga ima smisla napisati (i zapamtiti!) kao neovisnu formulu.

Pod oznakama U I V neke (apsolutno bilo koje!) funkcije se podrazumijevaju U(x) I V(x).

Pogledajmo nekoliko primjera. Prvo - one najjednostavnije.

Nađite derivaciju funkcije y=sinx - x 2

Evo imamo razlika dvije elementarne funkcije. Primijenimo pravilo 2. Pretpostavit ćemo da je sinx funkcija U, a x 2 je funkcija V. Imamo puno pravo napisati:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

To je bolje, zar ne?) Sve što preostaje je pronaći derivacije sinusa i kvadrata od x. U tu svrhu postoji tablica izvedenica. Samo tražimo funkcije koje su nam potrebne u tablici ( sinx I x 2), pogledaj koje izvedenice imaju i zapiši odgovor:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

To je to. Pravilo 1 diferencijacije zbroja radi potpuno isto.

Što ako imamo nekoliko mandata? Nema problema.) Funkciju rastavljamo na članove i tražimo izvod svakog člana neovisno o ostalima. Na primjer:

Nađite derivaciju funkcije y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Hrabro pišemo:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Na kraju lekcije dat ću savjete koji će vam olakšati život prilikom razlikovanja.)

Praktičan savjet:

1. Prije diferencijacije, pogledajte je li moguće pojednostaviti izvornu funkciju.

2. U kompliciranim primjerima rješenje opisujemo detaljno, sa svim zagradama i crticama.

3. Kod razlikovanja razlomaka sa stalnim brojem u nazivniku, dijeljenje pretvaramo u množenje i koristimo se pravilom 4.

Problem nalaženja derivacije zadane funkcije jedan je od glavnih problema u matematičkim tečajevima u srednjoj školi i na visokoškolskim ustanovama. Nemoguće je u potpunosti istražiti funkciju i konstruirati njezin graf bez uzimanja njezine derivacije. Derivaciju funkcije lako ćete pronaći ako poznajete osnovna pravila diferenciranja, kao i tablicu derivacija osnovnih funkcija. Smislimo kako pronaći izvod funkcije.

Derivacija funkcije je granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta kada priraštaj argumenta teži nuli.

Razumijevanje ove definicije je prilično teško, budući da se koncept granice u školi ne proučava u potpunosti. Ali da bismo pronašli derivacije raznih funkcija, nije potrebno razumjeti definiciju; prepustimo to matematičarima i prijeđimo ravno na pronalaženje derivacije.

Proces pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija. Diferenciranjem funkcije dobit ćemo novu funkciju.

Za njihovo označavanje koristit ćemo latinična slova f, g itd.

Postoji mnogo različitih oznaka za derivate. Koristit ćemo moždani udar. Na primjer, pisanje g" znači da ćemo pronaći izvod funkcije g.

Tablica izvedenica

Da bismo odgovorili na pitanje kako pronaći derivaciju, potrebno je dati tablicu derivacija glavnih funkcija. Za izračun derivacija elementarnih funkcija nije potrebno izvoditi složene izračune. Dovoljno je samo pogledati njegovu vrijednost u tablici izvedenica.

1. (sin x)"=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (ln x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (luk x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Primjer 1. Naći derivaciju funkcije y=500.

Vidimo da je to konstanta. Iz tablice derivacija poznato je da je derivacija konstante jednaka nuli (formula 1).

Primjer 2. Naći derivaciju funkcije y=x 100.

Ovo je potencijska funkcija čiji je eksponent 100, a da biste pronašli njenu derivaciju potrebno je pomnožiti funkciju s eksponentom i smanjiti ga za 1 (formula 3).

(x 100)"=100 x 99

Primjer 3. Naći derivaciju funkcije y=5 x

Ovaj eksponencijalna funkcija, izračunajmo njegovu derivaciju pomoću formule 4.

Primjer 4. Naći derivaciju funkcije y= log 4 x

Derivaciju logaritma nalazimo pomoću formule 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Pravila razlikovanja

Idemo sada shvatiti kako pronaći derivaciju funkcije ako je nema u tablici. Većina proučavanih funkcija nisu elementarne, već su kombinacije elementarnih funkcija pomoću jednostavnih operacija (zbrajanje, oduzimanje, množenje, dijeljenje i množenje brojem). Da biste pronašli njihove derivate, morate znati pravila diferencijacije. U nastavku slova f i g označavaju funkcije, a C je konstanta.

1. Konstantni koeficijent se može uzeti iz predznaka derivacije

Primjer 5. Naći derivaciju funkcije y= 6*x 8

Izuzimamo konstantni faktor 6 i diferenciramo samo x 4. Ovo je funkcija snage čija se derivacija nalazi pomoću formule 3 tablice derivacija.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Izvodnica zbroja jednaka je zbroju izvodnica

(f + g)"=f" + g"

Primjer 6. Naći derivaciju funkcije y= x 100 +sin x

Funkcija je zbroj dviju funkcija čije izvodnice nalazimo iz tablice. Budući da je (x 100)"=100 x 99 i (sin x)"=cos x. Izvod zbroja bit će jednak zbroju ovih izvoda:

(x 100 +sin x)"= 100 x 99 +cos x

3. Izvodnica razlike jednaka je razlici izvodnica

(f – g)"=f" – g"

Primjer 7. Naći derivaciju funkcije y= x 100 – cos x

Ova funkcija je razlika dviju funkcija čije izvodnice također nalazimo u tablici. Tada je derivacija razlike jednaka razlici derivacija i ne zaboravite promijeniti predznak, jer (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sin x

Primjer 8. Naći derivaciju funkcije y=e x +tg x– x 2.

Ova funkcija ima i zbroj i razliku, hajdemo pronaći izvedenice svakog člana:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Tada je derivacija izvorne funkcije jednaka:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivat proizvoda

(f * g)"=f" * g + f * g"

Primjer 9. Odredite derivaciju funkcije y= cos x *e x

Da bismo to učinili, prvo pronalazimo derivaciju svakog faktora (cos x)"=–sin x i (e x)"=e x. Zamijenimo sada sve u formulu proizvoda. Derivaciju prve funkcije pomnožimo s drugom i zbrojimo umnožak prve funkcije s derivacijom druge.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivacija kvocijenta

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Primjer 10. Naći derivaciju funkcije y= x 50 /sin x

Da bismo pronašli derivaciju kvocijenta, prvo ćemo zasebno pronaći derivaciju brojnika i nazivnika: (x 50)"=50 x 49 i (sin x)"= cos x. Zamjenom izvoda kvocijenta u formulu dobivamo:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Derivacija složene funkcije

Složena funkcija je funkcija predstavljena sastavom nekoliko funkcija. Također postoji pravilo za pronalaženje izvoda složene funkcije:

(u (v))"=u"(v)*v"

Smislimo kako pronaći izvod takve funkcije. Neka je y= u(v(x)) složena funkcija. Nazovimo funkciju u vanjskom, a v - unutarnjom.

Na primjer:

y=sin (x 3) je složena funkcija.

Tada je y=sin(t) vanjska funkcija

t=x 3 - unutarnji.

Pokušajmo izračunati derivaciju ove funkcije. Prema formuli, trebate pomnožiti derivacije unutarnje i vanjske funkcije.

(sin t)"=cos (t) - izvod vanjske funkcije (gdje je t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivacija unutarnje funkcije

Tada je (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 derivacija složene funkcije.

Rješavanje fizikalnih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njezino izračunavanje. Derivacija je jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Što je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati derivaciju funkcije? Sva se ova pitanja mogu spojiti u jedno: kako razumjeti izvedenicu?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , naveden u određenom intervalu (a, b) . Točke x i x0 pripadaju tom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika se piše kao delta x i naziva se prirast argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivacija funkcije u točki je granica omjera prirasta funkcije u danoj točki i prirasta argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? A evo što je:

derivacija funkcije u točki jednaka je tangensu kuta između osi OX i tangente na graf funkcije u danoj točki.

Fizičko značenje derivata: derivacija puta po vremenu jednaka je brzini pravocrtnog gibanja.

Dapače, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom razdoblju:

Da biste saznali brzinu kretanja u određenom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može uzeti iz predznaka izvoda. Štoviše, to se mora učiniti. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete pojednostaviti izraz, svakako ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbroja funkcija

Derivacija zbroja dviju funkcija jednaka je zbroju derivacija tih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo davati dokaz ovog teorema, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite izvod funkcije:

Treće pravilo: derivacija umnoška funkcija

Derivacija umnoška dviju diferencijabilnih funkcija izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite izvod funkcije:

Riješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju derivacija složenih funkcija. Derivacija složene funkcije jednaka je umnošku derivacije te funkcije s obzirom na međuargument i derivacije međuargumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na petu potenciju. Kako bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju vanjske funkcije s obzirom na međuargument, a zatim pomnožimo s derivacijom samog posrednog argumenta s obzirom na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija kvocijenta dviju funkcija

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dviju funkcija:

Pokušali smo ispočetka razgovarati o izvedenicama za lutke. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam riješiti najteži test i razumjeti zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvodne izračune.

Kalkulator izračunava derivacije svih elementarnih funkcija, dajući detaljno rješenje. Varijabla diferencijacije se određuje automatski.

Derivacija funkcije- jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Pojava derivacije dovela je do takvih problema kao što je, na primjer, izračunavanje trenutne brzine točke u trenutku vremena, ako je poznata putanja koja ovisi o vremenu, problem pronalaženja tangente na funkciju u točki.

Najčešće se derivacija funkcije definira kao granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, ako postoji.

Definicija. Neka je funkcija definirana u nekoj okolini točke. Tada se izvod funkcije u točki naziva limesom, ako postoji

Kako izračunati derivaciju funkcije?

Kako biste naučili razlikovati funkcije, morate naučiti i razumjeti pravila razlikovanja i naučiti koristiti tablica izvedenica.

Pravila razlikovanja

Neka su i proizvoljne diferencijabilne funkcije realne varijable i neka realna konstanta. Zatim

— pravilo za razlikovanje umnoška funkcija

— pravilo za diferenciranje kvocijent funkcija

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — diferenciranje funkcije s promjenljivim eksponentom

— pravilo za razlikovanje složene funkcije

— pravilo za diferenciranje funkcije snage

Derivacija funkcije online

Naš će kalkulator brzo i točno izračunati derivaciju bilo koje funkcije na mreži. Program neće pogriješiti pri izračunu derivata i pomoći će vam da izbjegnete duge i zamorne izračune. Online kalkulator Također će biti od koristi u slučaju kada je potrebno provjeriti ispravnost vašeg rješenja, a ako je netočno, brzo pronaći grešku.

Navigacija po stranici.

Derivacija je konstantna.

Prilikom izvođenja prve formule tablice poći ćemo od definicije derivacije funkcije u točki. Uzmimo , gdje je x bilo koji realni broj, odnosno x je bilo koji broj iz domene definiranosti funkcije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na :

Treba napomenuti da se pod znakom granice dobiva izraz koji nije , budući da brojnik ne sadrži infinitezimalnu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije uvijek je nula.

Tako, derivacija konstantne funkcije jednaka je nuli u cijeloj domeni definicije.

Primjer.

Nađite derivacije sljedećih konstantnih funkcija

Riješenje.

U prvom slučaju imamo derivaciju prirodnog broja 3, u drugom slučaju moramo uzeti derivaciju parametra a, što može biti bilo koji realni broj, u trećem - derivaciju iracionalnog broja, u četvrtom slučaju imamo izvod nule (nula je cijeli broj), u petom – izvod racionalnog razlomka.

Odgovor:

Derivacije svih ovih funkcija jednake su nuli za bilo koji realni x (u cijeloj domeni definicije)

Derivacija funkcije potencije.

Formula za derivaciju potencne funkcije ima oblik , gdje je eksponent p bilo koji realni broj.

Dokažimo prvo formulu za prirodni eksponent, odnosno za p = 1, 2, 3, ...

Koristit ćemo se definicijom derivacije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

Da bismo pojednostavili izraz u brojniku, okrećemo se formuli:

Stoga,

Ovo dokazuje formulu za derivaciju potencije za prirodni eksponent.

Treba razmotriti dva slučaja: za pozitivni x i negativni x.

Pretpostavimo prvo. U ovom slučaju . Uzmimo logaritam jednakosti na bazi e i primijenimo svojstvo logaritma:

Došli smo do implicitno specificirane funkcije. Nalazimo njegov derivat:

Ostaje provesti dokaz za negativni x.

Kada je eksponent p paran broj, tada je funkcija potencije također definirana za i je paran (vidi odjeljak). To je, . U ovom slučaju također možete koristiti dokaz preko logaritamske derivacije.

Kada je eksponent p neparan broj, tada je funkcija potencije također definirana za i neparna. To je, . U tom slučaju ne može se koristiti logaritamska derivacija. Da bismo dokazali formulu u ovom slučaju možete koristiti pravila diferenciranja i pravilo za pronalaženje izvoda složene funkcije:

Posljednji prijelaz moguć je zbog činjenice da ako je p neparan broj, onda je p-1 ili paran broj ili nula (za p=1), dakle, za negativan x jednakost vrijedi .

Dakle, formula za derivaciju funkcije potencije je dokazana za svaki realni p.

Primjer.

Naći derivacije funkcija.

Riješenje.

Prvu i treću funkciju dovodimo u tablični oblik koristeći svojstva potencije i primjenjujemo formulu za derivaciju potencije:

Derivacija eksponencijalne funkcije.

Predstavljamo izvođenje formule derivata na temelju definicije:

Došli smo do neizvjesnosti. Kako bismo ga proširili, uvodimo novu varijablu, a na . Zatim . U prošlom prijelazu koristili smo formulu za prijelaz na novu logaritamsku bazu.

Zamijenimo u izvornu granicu:

Po definiciji derivacije za sinusnu funkciju imamo .

Upotrijebimo formulu razlike sinusa:

Ostaje da se okrenemo prvoj značajnoj granici:

Dakle, derivacija funkcije sin x je cos x.

Formula za derivaciju kosinusa dokazuje se na potpuno isti način.

Kod rješavanja problema diferenciranja stalno ćemo se pozivati ​​na tablicu derivacija osnovnih funkcija, inače zašto smo je sastavljali i dokazivali svaku formulu. Preporučamo da zapamtite sve ove formule; to će vam uštedjeti puno vremena.

Autorska prava cleverstudents

Sva prava pridržana.
Zaštićeno zakonom o autorskim pravima. Nijedan dio stranice, uključujući interne materijale i izgled, ne smije se reproducirati u bilo kojem obliku ili koristiti bez prethodnog pismenog dopuštenja nositelja autorskih prava.