Jak znaleźć pochodną?

Zasady różnicowania.

Aby znaleźć pochodną dowolnej funkcji, musisz opanować tylko trzy pojęcia:

2. Reguły różniczkowania.

3. Pochodna funkcji zespolonej.

Dokładnie w tej kolejności. To podpowiedź.)

Oczywiście byłoby miło mieć ogólne pojęcie o instrumentach pochodnych). Czym jest instrument pochodny i jak pracować z tabelą instrumentów pochodnych, zostało jasno wyjaśnione w poprzedniej lekcji. Tutaj zajmiemy się regułami różniczkowania.

Różniczkowanie to operacja znajdowania pochodnej. Za tym terminem nie kryje się nic więcej. Te. wyrażenia „znajdź pochodną funkcji” I „różniczkować funkcję”- To jest to samo.

Wyrażenie „zasady różnicowania” odnosi się do znalezienia pochodnej z operacji arytmetycznych. To zrozumienie bardzo pomaga uniknąć zamieszania w głowie.

Skoncentrujmy się i zapamiętajmy wszystkie, wszystkie, wszystkie operacje arytmetyczne. Jest ich czterech). Dodawanie (suma), odejmowanie (różnica), mnożenie (iloczyn) i dzielenie (iloraz). Oto zasady różniczkowania:

Płyta pokazuje pięć rządzi cztery działania arytmetyczne. Nie pomyliłem się.) Tyle, że zasada 4 jest elementarną konsekwencją zasady 3. Jest jednak na tyle popularna, że ​​warto ją zapisać (i zapamiętać!) jako samodzielną formułę.

Pod oznaczeniami U I V niektóre (absolutnie dowolne!) funkcje są sugerowane U(x) I V(x).

Spójrzmy na kilka przykładów. Po pierwsze – te najprostsze.

Znajdź pochodną funkcji y=sinx - x 2

Mamy tutaj różnica dwie podstawowe funkcje. Stosujemy zasadę 2. Zakładamy, że sinx jest funkcją U, a x 2 jest funkcją V. Mamy pełne prawo napisać:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Tak jest lepiej, prawda?) Pozostaje tylko znaleźć pochodne sinusa i kwadratu x. Służy do tego tabela instrumentów pochodnych. Po prostu szukamy potrzebnych funkcji w tabeli ( grzech I x 2), spójrz, jakie mają pochodne i zapisz odpowiedź:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Otóż ​​to. Zasada 1 różniczkowania sum działa dokładnie tak samo.

A co jeśli mamy kilka terminów? Nic wielkiego.) Dzielimy funkcję na wyrazy i szukamy pochodnej każdego wyrazu niezależnie od pozostałych. Na przykład:

Znajdź pochodną funkcji y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Odważnie piszemy:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Na koniec lekcji podam wskazówki, które ułatwią życie przy różnicowaniu.)

Praktyczne porady:

1. Przed różniczkowaniem sprawdź, czy możliwe jest uproszczenie pierwotnej funkcji.

2. W skomplikowanych przykładach szczegółowo opisujemy rozwiązanie, ze wszystkimi nawiasami i myślnikami.

3. Różniąc ułamki zwykłe o stałej liczbie w mianowniku, zamieniamy dzielenie na mnożenie i stosujemy zasadę 4.

Problem znalezienia pochodnej danej funkcji jest jednym z głównych na lekcjach matematyki w szkołach średnich i na uczelniach wyższych. Niemożliwe jest pełne zbadanie funkcji i skonstruowanie jej wykresu bez obliczenia jej pochodnej. Pochodną funkcji można łatwo znaleźć, znając podstawowe zasady różniczkowania i tabelę pochodnych podstawowych funkcji. Zastanówmy się, jak znaleźć pochodną funkcji.

Pochodna funkcji to granica stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, gdy przyrost argumentu dąży do zera.

Zrozumienie tej definicji jest dość trudne, ponieważ pojęcie granicy nie jest w pełni studiowane w szkole. Aby jednak znaleźć pochodne różnych funkcji, nie trzeba znać definicji, zostawmy to matematykom i przejdźmy od razu do szukania pochodnej.

Proces znajdowania pochodnej nazywa się różniczkowaniem. Różniczkując funkcję otrzymamy nową funkcję.

Do ich oznaczenia użyjemy łacińskich liter f, g itd.

Istnieje wiele różnych oznaczeń instrumentów pochodnych. Użyjemy udaru. Przykładowo, napisanie g” oznacza, że ​​znajdziemy pochodną funkcji g.

Tabela instrumentów pochodnych

Aby odpowiedzieć na pytanie jak znaleźć pochodną należy podać tabelę pochodnych funkcji głównych. Aby obliczyć pochodne funkcji elementarnych, nie trzeba wykonywać skomplikowanych obliczeń. Wystarczy spojrzeć na jego wartość w tabeli instrumentów pochodnych.

1. (sin x)”=cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (np. x)"=np. x
5. (lnx)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)”=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sin 2 x
10. (arcsin x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arccos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Przykład 1. Znajdź pochodną funkcji y=500.

Widzimy, że jest to stała. Z tabeli pochodnych wiadomo, że pochodna stałej jest równa zero (wzór 1).

Przykład 2. Znajdź pochodną funkcji y=x 100.

Jest to funkcja potęgowa, której wykładnik wynosi 100 i aby znaleźć jej pochodną, ​​należy pomnożyć funkcję przez wykładnik i zmniejszyć ją o 1 (wzór 3).

(x 100)" = 100 x 99

Przykład 3. Znajdź pochodną funkcji y=5 x

Ten funkcja wykładnicza, obliczmy jego pochodną korzystając ze wzoru 4.

Przykład 4. Znajdź pochodną funkcji y= log 4 x

Pochodną logarytmu znajdujemy za pomocą wzoru 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Zasady różnicowania

Zastanówmy się teraz, jak znaleźć pochodną funkcji, jeśli nie ma jej w tabeli. Większość badanych funkcji nie jest funkcjami elementarnymi, lecz stanowią kombinacje funkcji elementarnych za pomocą prostych operacji (dodawanie, odejmowanie, mnożenie, dzielenie i mnożenie przez liczbę). Aby znaleźć ich pochodne, trzeba znać zasady różniczkowania. Poniżej litery f i g oznaczają funkcje, a C jest stałą.

1. Ze znaku pochodnej można odjąć stały współczynnik

Przykład 5. Znajdź pochodną funkcji y= 6*x 8

Wyjmujemy stały współczynnik 6 i różniczkujemy tylko x 4. Jest to funkcja potęgowa, której pochodną wyznacza się za pomocą wzoru 3 z tabeli pochodnych.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. Pochodna sumy jest równa sumie pochodnych

(f + g)"=f" + g"

Przykład 6. Znajdź pochodną funkcji y= x 100 +sin x

Funkcja to suma dwóch funkcji, których pochodne możemy znaleźć w tabeli. Ponieważ (x 100)"=100 x 99 i (sin x)"=cos x. Pochodna sumy będzie równa sumie tych pochodnych:

(x 100 + sin x)"= 100 x 99 + cos x

3. Pochodna różnicy jest równa różnicy pochodnych

(f – g)"=f" – g"

Przykład 7. Znajdź pochodną funkcji y= x 100 – cos x

Funkcja ta jest różnicą dwóch funkcji, których pochodne również możemy znaleźć w tabeli. Wtedy pochodna różnicy jest równa różnicy pochodnych i nie zapomnij zmienić znaku, ponieważ (cos x)"= – sin x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + grzech x

Przykład 8. Znajdź pochodną funkcji y=e x +tg x– x 2.

Ta funkcja ma zarówno sumę, jak i różnicę; znajdźmy pochodne każdego wyrazu:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Wtedy pochodna funkcji pierwotnej jest równa:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Pochodna produktu

(f * g)"=f" * g + f * g"

Przykład 9. Znajdź pochodną funkcji y= cos x *e x

Aby to zrobić, najpierw znajdujemy pochodną każdego czynnika (cos x)"=–sin x i (e x)"=e x. Teraz podstawmy wszystko do formuły produktu. Mnożymy pochodną pierwszej funkcji przez drugą i dodajemy iloczyn pierwszej funkcji przez pochodną drugiej.

(cos x* mi x)"= e x cos x – mi x *sin x

5. Pochodna ilorazu

(f/g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Przykład 10. Znajdź pochodną funkcji y= x 50 /sin x

Aby znaleźć pochodną ilorazu, najpierw znajdujemy oddzielnie pochodną licznika i mianownika: (x 50)"=50 x 49 i (sin x)"= cos x. Podstawiając pochodną ilorazu do wzoru, otrzymujemy:

(x 50 /sin x)"= 50x 49 *sin x – x 50 *cos x/sin 2 x

Pochodna funkcji zespolonej

Funkcja złożona to funkcja reprezentowana przez złożenie kilku funkcji. Istnieje również zasada znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

(u (v))"=u"(v)*v"

Zastanówmy się, jak znaleźć pochodną takiej funkcji. Niech y= u(v(x)) będzie funkcją zespoloną. Nazwijmy funkcję u zewnętrzną, a v - wewnętrzną.

Na przykład:

y=sin (x 3) jest funkcją złożoną.

Wtedy y=sin(t) jest funkcją zewnętrzną

t=x 3 - wewnętrzne.

Spróbujmy obliczyć pochodną tej funkcji. Zgodnie ze wzorem należy pomnożyć pochodne funkcji wewnętrznej i zewnętrznej.

(sin t)"=cos (t) - pochodna funkcji zewnętrznej (gdzie t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - pochodna funkcji wewnętrznej

Wtedy (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 jest pochodną funkcji zespolonej.

Rozwiązywanie problemów fizycznych lub przykładów z matematyki jest całkowicie niemożliwe bez znajomości pochodnej i metod jej obliczania. Pochodna jest jednym z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Postanowiliśmy poświęcić dzisiejszy artykuł temu fundamentalnemu tematowi. Co to jest pochodna, jakie jest jej znaczenie fizyczne i geometryczne, jak obliczyć pochodną funkcji? Wszystkie te pytania można połączyć w jedno: jak rozumieć pochodną?

Geometryczne i fizyczne znaczenie pochodnej

Niech będzie funkcja k(x) , określone w określonym przedziale (a, b) . Punkty x i x0 należą do tego przedziału. Kiedy zmienia się x, zmienia się sama funkcja. Zmiana argumentu - różnica w jego wartościach x-x0 . Różnicę tę zapisuje się jako delta x i nazywa się to przyrostem argumentu. Zmiana lub przyrost funkcji to różnica między wartościami funkcji w dwóch punktach. Definicja pochodnej:

Pochodną funkcji w punkcie jest granica stosunku przyrostu funkcji w danym punkcie do przyrostu argumentu, gdy ten ostatni dąży do zera.

W przeciwnym razie można to zapisać w następujący sposób:

Jaki jest sens znajdowania takiej granicy? A oto co to jest:

pochodna funkcji w punkcie jest równa tangensowi kąta pomiędzy osią OX a styczną do wykresu funkcji w danym punkcie.

Znaczenie fizyczne pochodnej: pochodna drogi po czasie jest równa prędkości ruchu prostoliniowego.

Rzeczywiście, od czasów szkolnych wszyscy wiedzą, że prędkość to szczególna ścieżka x=f(t) i czas T . Średnia prędkość w określonym przedziale czasu:

Aby poznać prędkość ruchu w danym momencie t0 musisz obliczyć limit:

Zasada pierwsza: ustaw stałą

Stałą można wyjąć ze znaku pochodnej. Co więcej, należy to zrobić. Rozwiązując przykłady z matematyki, przyjmuj to z reguły - Jeśli możesz uprościć wyrażenie, pamiętaj o uproszczeniu go .

Przykład. Obliczmy pochodną:

Zasada druga: pochodna sumy funkcji

Pochodna sumy dwóch funkcji jest równa sumie pochodnych tych funkcji. To samo dotyczy pochodnej różnicy funkcji.

Nie będziemy podawać dowodu tego twierdzenia, ale raczej rozważymy praktyczny przykład.

Znajdź pochodną funkcji:

Zasada trzecia: pochodna iloczynu funkcji

Pochodną iloczynu dwóch funkcji różniczkowalnych oblicza się ze wzoru:

Przykład: znajdź pochodną funkcji:

Rozwiązanie:

Ważne jest, aby porozmawiać tutaj o obliczaniu pochodnych funkcji złożonych. Pochodna funkcji zespolonej jest równa iloczynowi pochodnej tej funkcji po argumencie pośrednim i pochodnej argumentu pośredniego po zmiennej niezależnej.

W powyższym przykładzie spotykamy się z wyrażeniem:

W tym przypadku argumentem pośrednim jest 8x do potęgi piątej. Aby obliczyć pochodną takiego wyrażenia, najpierw obliczamy pochodną funkcji zewnętrznej względem argumentu pośredniego, a następnie mnożymy przez pochodną samego argumentu pośredniego względem zmiennej niezależnej.

Zasada czwarta: pochodna ilorazu dwóch funkcji

Wzór na wyznaczenie pochodnej ilorazu dwóch funkcji:

O instrumentach pochodnych próbowaliśmy od zera porozmawiać dla manekinów. Temat nie jest tak prosty, jak się wydaje, więc uważaj: przykłady często zawierają pułapki, dlatego należy zachować ostrożność przy obliczaniu pochodnych.

W przypadku jakichkolwiek pytań na ten i inne tematy, możesz skontaktować się z obsługą studencką. W krótkim czasie pomożemy Ci rozwiązać najtrudniejszy test i zrozumieć zadania, nawet jeśli nigdy wcześniej nie wykonywałeś obliczeń pochodnych.

Kalkulator oblicza pochodne wszystkich funkcji elementarnych, dając szczegółowe rozwiązanie. Zmienna różniczkowa jest wyznaczana automatycznie.

Pochodna funkcji- jedno z najważniejszych pojęć w analizie matematycznej. Pojawienie się pochodnej doprowadziło do takich problemów, jak na przykład obliczenie prędkości chwilowej punktu w danej chwili, jeśli znana jest droga zależna od czasu, problem znalezienia stycznej do funkcji w punkcie.

Najczęściej pochodną funkcji definiuje się jako granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu, jeśli taki istnieje.

Definicja. Niech funkcja będzie zdefiniowana w pewnym sąsiedztwie punktu. Wtedy pochodną funkcji w punkcie nazywamy granicą, jeśli istnieje

Jak obliczyć pochodną funkcji?

Aby nauczyć się różnicować funkcje, trzeba się uczyć i rozumieć zasady różnicowania i naucz się korzystać tabela instrumentów pochodnych.

Zasady różnicowania

Niech i będą dowolnymi różniczkowalnymi funkcjami zmiennej rzeczywistej i będą jakąś rzeczywistą stałą. Następnie

— zasada różniczkowania iloczynu funkcji

— reguła różniczkowania funkcji ilorazowych

0" wysokość="33" szerokość="370" style="vertical-align: -12px;"> — różniczkowanie funkcji ze zmiennym wykładnikiem

— reguła różniczkowania funkcji zespolonej

— zasada różniczkowania funkcji potęgowej

Pochodna funkcji online

Nasz kalkulator szybko i dokładnie obliczy pochodną dowolnej funkcji online. Program nie popełni błędów przy obliczaniu pochodnej i pomoże Ci uniknąć długich i żmudnych obliczeń. Kalkulator internetowy Przyda się także w przypadku, gdy zaistnieje potrzeba sprawdzenia poprawności swojego rozwiązania, a jeśli jest ono błędne, szybkiego znalezienia błędu.

Nawigacja strony.

Pochodna jest stała.

Wyprowadzając pierwszy wzór tabeli, zaczniemy od definicji pochodnej funkcji w punkcie. Weźmy , gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą, czyli x jest dowolną liczbą z dziedziny definicji funkcji. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu w punkcie:

Należy zauważyć, że pod znakiem granicznym uzyskuje się wyrażenie, które nie jest , ponieważ licznik nie zawiera wartości nieskończenie małej, ale dokładnie zero. Innymi słowy, przyrost funkcji stałej wynosi zawsze zero.

Zatem, pochodna funkcji stałej jest równa zero w całym obszarze definicji.

Przykład.

Znajdź pochodne następujących funkcji stałych

Rozwiązanie.

W pierwszym przypadku mamy pochodną liczby naturalnej 3, w drugim przypadku musimy przyjąć pochodną parametru a, który może być dowolną liczbą rzeczywistą, w trzecim - pochodną liczby niewymiernej, w czwartym w przypadku mamy pochodną zera (zero jest liczbą całkowitą), w piątym – pochodną ułamka wymiernego.

Odpowiedź:

Pochodne wszystkich tych funkcji są równe zeru dla dowolnego rzeczywistego x (w całym obszarze definicji)

Pochodna funkcji potęgowej.

Wzór na pochodną funkcji potęgowej ma postać , gdzie wykładnik p jest dowolną liczbą rzeczywistą.

Udowodnimy najpierw wzór na wykładnik naturalny, czyli dla p = 1, 2, 3, ...

Będziemy korzystać z definicji pochodnej. Zapiszmy granicę stosunku przyrostu funkcji potęgowej do przyrostu argumentu:

Aby uprościć wyrażenie w liczniku, przechodzimy do wzoru:

Stąd,

Dowodzi to wzoru na pochodną funkcji potęgowej dla wykładnika naturalnego.

Należy rozważyć dwa przypadki: dla dodatniego x i ujemnego x.

Załóżmy najpierw. W tym przypadku . Weźmy logarytm równości o podstawie e i zastosujmy właściwość logarytmu:

Dotarliśmy do niejawnie określonej funkcji. Znajdujemy jego pochodną:

Pozostaje przeprowadzić dowód dla ujemnego x.

Gdy wykładnik p jest liczbą parzystą, wówczas funkcja potęgi jest również zdefiniowana dla i jest parzysta (patrz sekcja). To jest, . W tym przypadku można także skorzystać z dowodu poprzez pochodną logarytmiczną.

Gdy wykładnik p jest liczbą nieparzystą, wówczas funkcja potęgi jest również zdefiniowana dla i jest nieparzysta. To jest, . W takim przypadku nie można zastosować pochodnej logarytmicznej. Aby udowodnić formułę w tym przypadku możesz skorzystać z reguł różniczkowania i reguły znajdowania pochodnej funkcji zespolonej:

To ostatnie przejście jest możliwe dzięki temu, że jeśli p jest liczbą nieparzystą, to p-1 jest albo liczbą parzystą, albo zerem (dla p=1), zatem dla ujemnego x równość jest prawdziwa .

Zatem wzór na pochodną funkcji potęgowej można udowodnić dla dowolnego rzeczywistego p.

Przykład.

Znajdź pochodne funkcji.

Rozwiązanie.

Sprowadzamy pierwszą i trzecią funkcję do postaci tabelarycznej, korzystając z własności potęgi i stosujemy wzór na pochodną funkcji potęgowej:

Pochodna funkcji wykładniczej.

Przedstawiamy wyprowadzenie wzoru na pochodną w oparciu o definicję:

Dotarliśmy do niepewności. Aby ją rozwinąć, wprowadzamy nową zmienną, a na . Następnie . W ostatnim przejściu wykorzystaliśmy wzór na przejście do nowej podstawy logarytmicznej.

Podstawmy do pierwotnej granicy:

Z definicji pochodnej funkcji sinus mamy .

Skorzystajmy ze wzoru na różnicę sinusów:

Pozostaje przejść do pierwszego niezwykłego ograniczenia:

Zatem pochodna funkcji sin x wynosi cos x.

Wzór na pochodną cosinusa dowodzi się dokładnie w ten sam sposób.

Rozwiązując problemy różniczkowe, będziemy stale odwoływać się do tabeli pochodnych funkcji podstawowych, w przeciwnym razie po co ją kompilowaliśmy i udowadnialiśmy każdy wzór. Zalecamy zapamiętanie wszystkich tych formuł; w przyszłości zaoszczędzi to dużo czasu.

Prawa autorskie należą do mądrych studentów

Wszelkie prawa zastrzeżone.
Chronione prawem autorskim. Żadna część witryny, w tym materiały wewnętrzne i wygląd, nie może być powielana w jakiejkolwiek formie ani wykorzystywana bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw autorskich.