Diapositivo 2

A matemática é a ciência dos jovens. Caso contrário, não pode ser. A matemática é uma forma de ginástica mental que exige toda a flexibilidade e resistência dos jovens.

Norbert Wiener (1894-1964), cientista americano

Diapositivo 3

a relação entre os números a e b (expressões matemáticas), ligados pelos sinais Desigualdade -

Diapositivo 4

Antecedentes históricos Os problemas de comprovação de igualdades e desigualdades surgiram na antiguidade. Palavras especiais ou suas abreviaturas foram usadas para denotar sinais de igualdade e desigualdade. Século IV a.C., Euclides, Livro V dos Elementos: se a, b, c, d são números positivos e a é o maior número na proporção a/b=c/d, então a desigualdade a+d=b é válida + c. Século III, a principal obra de Pappus de Alexandria “Coleção matemática”: se a, b, c, d são números positivos e a/b>c/d, então a desigualdade ad>bc é satisfeita.

Mais de 2.000 a.C. a desigualdade era conhecida torna-se uma verdadeira igualdade quando a=b.

Diapositivo 5

Sinais especiais modernos 1557. O sinal de igual = foi introduzido pelo matemático inglês R. Ricord. Seu motivo: “Não existem dois objetos mais iguais do que dois segmentos paralelos”.

1631 Sinais > e

Diapositivo 6

Tipos de desigualdades Com uma variável (uma ou mais) Estrita Não estrita Com um módulo Com um parâmetro Coleções de sistemas não padronizados Numérico Simples Duplo Múltiplos Inteiros algébricos: -linear -quadrático -potências superiores Fracionário-racional Irracional Trigonométrico Exponencial Logarítmico Tipo misto

é o valor de uma variável que, quando substituída, a transforma em uma verdadeira desigualdade numérica. Resolva uma inequação - encontre todas as suas soluções ou prove que não existe nenhuma. Duas desigualdades são consideradas equivalentes se todas as soluções de cada uma forem soluções da outra desigualdade ou se ambas as desigualdades não tiverem solução. Desigualdades Resolvendo desigualdades em uma variável

Diapositivo 9

Descreva as desigualdades. Resolva oralmente 3)(x – 2)(x + 3)  0

Diapositivo 10

Método gráfico

Resolva graficamente a desigualdade 1) Construa um gráfico 2) Construa um gráfico no mesmo sistema de coordenadas. 3) Encontre as abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos (os valores são tomados aproximadamente, verificamos a precisão por substituição). 4) Determinamos a partir do gráfico a solução para esta desigualdade. 5) Escreva a resposta.

Diapositivo 11

Método gráfico-funcional para resolver a desigualdade f(x)

Diapositivo 12

Método gráfico-funcional Resolva a inequação: 3) A equação f(x)=g(x) tem no máximo uma raiz. Solução. 4) Por seleção descobrimos que x = 2. II. Vamos representar esquematicamente no eixo numérico Ox os gráficos das funções f (x) e g (x) passando pelo ponto x = 2. III. Vamos determinar as soluções e anotar a resposta. Responder. x -7 indefinido 2

Diapositivo 13

Resolva as desigualdades:

Diapositivo 14

Construir gráficos da função Exame de Estado Unificado-9, 2008

Diapositivo 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

Diapositivo 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Determine o número de intervalos de soluções da inequação para cada valor do parâmetro a

Diapositivo 17

Construa um gráfico da função Exame de Estado Unificado-9, 2008

Diapositivo 18

Diapositivo 19

Um dos métodos mais convenientes para resolver desigualdades quadráticas é o método gráfico. Neste artigo veremos como as desigualdades quadráticas são resolvidas graficamente. Primeiro, vamos discutir qual é a essência desse método. A seguir, apresentaremos o algoritmo e consideraremos exemplos de resolução gráfica de desigualdades quadráticas.

Navegação na página.

A essência do método gráfico

De forma alguma método gráfico para resolver desigualdades com uma variável é usado não apenas para resolver desigualdades quadráticas, mas também outros tipos de desigualdades. A essência método gráfico soluções para desigualdades a seguir: considere as funções y=f(x) e y=g(x), que correspondem aos lados esquerdo e direito da desigualdade, construa seus gráficos em um sistema de coordenadas retangulares e descubra em quais intervalos o gráfico de um dos deles é menor ou maior que o outro. Aqueles intervalos onde

• o gráfico da função f acima do gráfico da função g são soluções para a desigualdade f(x)>g(x) ;
• o gráfico da função f não inferior ao gráfico da função g são soluções para a desigualdade f(x)≥g(x) ;
• o gráfico de f abaixo do gráfico de g são soluções para a desigualdade f(x)
• o gráfico de uma função f não superior ao gráfico de uma função g são soluções para a desigualdade f(x)≤g(x) .

Diremos também que as abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos das funções f e g são soluções da equação f(x)=g(x) .

Vamos transferir esses resultados para o nosso caso - para resolver a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Introduzimos duas funções: a primeira y=a x 2 +b x+c (com f(x)=a x 2 +b x+c) correspondendo ao lado esquerdo da desigualdade quadrática, a segunda y=0 (com g ( x)=0 ) corresponde ao lado direito da desigualdade. Agendar função quadrática f é uma parábola e o gráfico função constante g – reta coincidente com o eixo das abcissas Boi.

A seguir, de acordo com o método gráfico de resolução de desigualdades, é necessário analisar em que intervalos o gráfico de uma função está localizado acima ou abaixo de outra, o que nos permitirá escrever a solução desejada para a desigualdade quadrática. No nosso caso, precisamos analisar a posição da parábola em relação ao eixo do Boi.

Dependendo dos valores dos coeficientes a, b e c, as seguintes seis opções são possíveis (para as nossas necessidades, uma representação esquemática é suficiente, e não precisamos representar o eixo Oy, pois sua posição não afeta o soluções para a desigualdade):

Neste desenho vemos uma parábola cujos ramos estão direcionados para cima e que cruza o eixo do Boi em dois pontos, cujas abcissas são x 1 e x 2. Este desenho corresponde à opção quando o coeficiente a é positivo (é responsável pelo sentido ascendente dos ramos da parábola), e quando o valor é positivo discriminante de um trinômio quadrático a x 2 +b x+c (neste caso, o trinômio tem duas raízes, que denotamos como x 1 e x 2, e assumimos que x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Para maior clareza, vamos representar em vermelho as partes da parábola localizadas acima do eixo x, e em azul – aquelas localizadas abaixo do eixo x.


Agora vamos descobrir quais intervalos correspondem a essas partes. O desenho a seguir irá ajudá-lo a identificá-los (no futuro faremos seleções semelhantes na forma de retângulos mentalmente):


Assim, no eixo das abcissas dois intervalos (−∞, x 1) e (x 2 , +∞) foram destacados em vermelho, neles a parábola está acima do eixo do Boi, eles constituem uma solução para a desigualdade quadrática a x 2 +b x +c>0 , e o intervalo (x 1 , x 2) está destacado em azul, há uma parábola abaixo do eixo do Boi, representa a solução para a desigualdade a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

E agora brevemente: para a>0 e D=b 2 −4 a c>0 (ou D"=D/4>0 para um coeficiente par b)

• a solução para a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c>0 é (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) ou em outra notação x x2;
• a solução para a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c≥0 é (−∞, x 1 ]∪ ou em outra notação x 1 ≤x≤x 2 ,

onde x 1 ex 2 são as raízes do trinômio quadrático a x 2 +b x+c e x 1


Aqui vemos uma parábola cujos ramos estão direcionados para cima e que toca o eixo das abcissas, ou seja, tem um ponto comum com ele, denotamos a abcissa deste ponto como x 0; O caso apresentado corresponde a a>0 (os ramos são direcionados para cima) e D=0 (o trinômio quadrado tem uma raiz x 0). Por exemplo, você pode pegar a função quadrática y=x 2 −4·x+4, aqui a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 e x 0 =2.

O desenho mostra claramente que a parábola está localizada acima do eixo do Boi em todos os lugares, exceto no ponto de contato, ou seja, nos intervalos (−∞, x 0), (x 0, ∞). Para maior clareza, vamos destacar áreas no desenho por analogia com o parágrafo anterior.


Tiramos conclusões: para a>0 e D=0

• a solução para a desigualdade quadrática a·x 2 +b·x+c>0 é (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) ou em outra notação x≠x 0;
• a solução para a desigualdade quadrática a·x 2 +b·x+c≥0 é (−∞, +∞) ou em outra notação x∈R ;
• desigualdade quadrática a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• a desigualdade quadrática a x 2 +b x+c≤0 tem uma solução única x=x 0 (é dada pelo ponto de tangência),

onde x 0 é a raiz do trinômio quadrado a x 2 + b x + c.


Nesse caso, os ramos da parábola estão direcionados para cima e não possuem pontos em comum com o eixo das abcissas. Aqui temos as condições a>0 (ramos direcionados para cima) e D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Obviamente, a parábola está localizada acima do eixo do Boi em toda a sua extensão (não há intervalos em que ela esteja abaixo do eixo do Boi, não há ponto de tangência).


Assim, para a>0 e D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 e a x 2 +b x+c≥0 é o conjunto de todos os números reais e as desigualdades a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

E restam três opções para a localização da parábola com ramos direcionados para baixo, e não para cima, em relação ao eixo do Boi. Em princípio, não precisam de ser considerados, uma vez que multiplicar ambos os lados da desigualdade por −1 permite-nos chegar a uma desigualdade equivalente com um coeficiente positivo para x 2. Mas ainda não custa nada ter uma ideia sobre esses casos. O raciocínio aqui é semelhante, por isso anotaremos apenas os principais resultados.

Algoritmo de solução

O resultado de todos os cálculos anteriores é algoritmo para resolver graficamente desigualdades quadráticas:

No plano coordenado é feito um desenho esquemático que representa o eixo Ox (não é necessário representar o eixo Oy) e um esboço de uma parábola correspondente à função quadrática y=a·x 2 +b·x+c. Para traçar o esboço de uma parábola, basta esclarecer dois pontos:

• Primeiramente, pelo valor do coeficiente a é determinado para onde seus ramos estão direcionados (para a>0 - para cima, para a<0 – вниз).
• E em segundo lugar, com base no valor do discriminante do trinômio quadrado a x 2 + b x + c, é determinado se a parábola intercepta o eixo das abcissas em dois pontos (para D>0), o toca em um ponto (para D= 0), ou não tem pontos comuns com o eixo do Boi (em D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Quando o desenho estiver pronto, use-o na segunda etapa do algoritmo

  • ao resolver a desigualdade quadrática a·x 2 +b·x+c>0, são determinados os intervalos em que a parábola está localizada acima da abcissa;
  • ao resolver a desigualdade a·x 2 +b·x+c≥0, os intervalos em que a parábola está localizada acima do eixo das abcissas são determinados e as abcissas dos pontos de intersecção (ou a abcissa do ponto tangente) são adicionadas a eles;
  • ao resolver a desigualdade a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • finalmente, ao resolver uma desigualdade quadrática da forma a·x 2 +b·x+c≤0, encontram-se intervalos em que a parábola está abaixo do eixo do Boi e a abcissa dos pontos de intersecção (ou a abcissa do ponto tangente ) é adicionado a eles;

  eles constituem a solução desejada para a desigualdade quadrática, e se não existem tais intervalos e nem pontos de tangência, então a desigualdade quadrática original não tem soluções.

Resta resolver algumas desigualdades quadráticas usando este algoritmo.

Exemplos com soluções

Exemplo.

Resolva a desigualdade .

Solução.

Precisamos resolver uma desigualdade quadrática, vamos usar o algoritmo do parágrafo anterior. Na primeira etapa precisamos esboçar o gráfico da função quadrática . O coeficiente de x 2 é igual a 2, é positivo, portanto, os ramos da parábola estão direcionados para cima. Vamos descobrir também se a parábola tem pontos comuns com o eixo x, para isso calcularemos o discriminante do trinômio quadrático; . Nós temos . O discriminante acabou sendo maior que zero, portanto o trinômio tem duas raízes reais: E , isto é, x 1 =−3 e x 2 =1/3.

Disto fica claro que a parábola intercepta o eixo do Boi em dois pontos com abcissas −3 e 1/3. Representaremos esses pontos no desenho como pontos comuns, pois estamos resolvendo uma desigualdade não estrita. Com base nos dados esclarecidos, obtemos o seguinte desenho (encaixa-se no primeiro modelo do primeiro parágrafo do artigo):

Vamos passar para a segunda etapa do algoritmo. Como estamos resolvendo uma desigualdade quadrática não estrita com sinal ≤, precisamos determinar os intervalos em que a parábola está localizada abaixo do eixo das abcissas e adicionar a eles as abcissas dos pontos de interseção.

Pelo desenho fica claro que a parábola está abaixo do eixo x no intervalo (−3, 1/3) e a ela somamos as abcissas dos pontos de interseção, ou seja, os números −3 e 1/3. Como resultado, chegamos ao intervalo numérico [−3, 1/3] . Esta é a solução que procuramos. Pode ser escrita como uma dupla desigualdade −3≤x≤1/3.

Responder:

[−3, 1/3] ou −3≤x≤1/3 .

Exemplo.

Encontre a solução para a desigualdade quadrática −x 2 +16 x−63<0 .

Solução.

Como sempre, começamos com um desenho. O coeficiente numérico do quadrado da variável é negativo, −1, portanto, os ramos da parábola estão direcionados para baixo. Vamos calcular o discriminante, ou melhor ainda, sua quarta parte: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Seu valor é positivo, vamos calcular as raízes do trinômio quadrado: E , x 1 =7 e x 2 =9. Portanto, a parábola cruza o eixo do Boi em dois pontos com as abcissas 7 e 9 (a desigualdade original é estrita, então representaremos esses pontos com um centro vazio). Agora podemos fazer um desenho esquemático:

Como estamos resolvendo uma desigualdade quadrática estrita com sinal<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

O desenho mostra que as soluções para a desigualdade quadrática original são dois intervalos (−∞, 7) , (9, +∞) .

Responder:

(−∞, 7)∪(9, +∞) ou em outra notação x<7 , x>9 .

Ao resolver desigualdades quadráticas, quando o discriminante de um trinômio quadrático em seu lado esquerdo é zero, você precisa ter cuidado ao incluir ou excluir a abcissa do ponto tangente da resposta. Isto depende do sinal da desigualdade: se a desigualdade for estrita, então não é uma solução para a desigualdade, mas se não for estrita, então é.

Exemplo.

A desigualdade quadrática 10 x 2 −14 x+4,9≤0 tem pelo menos uma solução?

Solução.

Vamos representar graficamente a função y=10 x 2 −14 x+4,9. Seus ramos são direcionados para cima, pois o coeficiente de x 2 é positivo, e toca o eixo das abcissas no ponto com a abcissa 0,7, pois D"=(−7) 2 −10 4,9=0, de onde ou 0,7 na forma de uma fração decimal. Esquematicamente fica assim:

Como estamos resolvendo uma desigualdade quadrática com sinal ≤, sua solução serão os intervalos em que a parábola está abaixo do eixo do Boi, bem como a abcissa do ponto tangente. Pelo desenho fica claro que não existe uma única lacuna onde a parábola ficaria abaixo do eixo do Boi, portanto sua solução será apenas a abcissa do ponto tangente, ou seja, 0,7.

Responder:

esta desigualdade tem uma solução única 0,7.

Exemplo.

Resolva a desigualdade quadrática –x 2 +8 x−16<0 .

Solução.

Seguimos o algoritmo para resolver desigualdades quadráticas e começamos construindo um gráfico. Os ramos da parábola estão direcionados para baixo, pois o coeficiente de x 2 é negativo, −1. Vamos encontrar o discriminante do trinômio quadrado –x 2 +8 x−16, temos D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 e então x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Portanto, a parábola toca o eixo do Boi no ponto de abcissa 4. Vamos fazer o desenho:

Olhamos para o sinal da desigualdade original, está aí<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

No nosso caso, estes são raios abertos (−∞, 4) , (4, +∞) . Separadamente, notamos que 4 - a abcissa do ponto de contato - não é uma solução, pois no ponto de contato a parábola não é inferior ao eixo do Boi.

Responder:

(−∞, 4)∪(4, +∞) ou em outra notação x≠4 .

Preste atenção especial aos casos em que o discriminante do trinômio quadrático no lado esquerdo da desigualdade quadrática é menor que zero. Não há necessidade de pressa aqui e dizer que a desigualdade não tem solução (estamos acostumados a tirar essa conclusão para equações quadráticas com discriminante negativo). A questão é que a desigualdade quadrática para D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Exemplo.

Encontre a solução para a desigualdade quadrática 3 x 2 +1>0.

Solução.

Como sempre, começamos com um desenho. O coeficiente a é 3, é positivo, portanto, os ramos da parábola estão direcionados para cima. Calculamos o discriminante: D=0 2 −4·3·1=−12 . Como o discriminante é negativo, a parábola não tem pontos comuns com o eixo do Boi. As informações obtidas são suficientes para um gráfico esquemático:

Resolvemos uma desigualdade quadrática estrita com um sinal >. Sua solução serão todos os intervalos em que a parábola estiver acima do eixo do Boi. No nosso caso, a parábola está acima do eixo x em todo o seu comprimento, então a solução desejada será o conjunto de todos os números reais.

Boi , e também a eles é necessário somar a abcissa dos pontos de intersecção ou a abcissa do ponto de tangência. Mas pelo desenho é claramente visível que não existem tais intervalos (já que a parábola está em todos os lugares abaixo do eixo das abcissas), assim como não existem pontos de intersecção, assim como não existem pontos de tangência. Portanto, a desigualdade quadrática original não tem solução.

Responder:

sem soluções ou em outra entrada ∅.

Bibliografia.

• Álgebra: livro didático para a 8ª série. Educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2008. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Álgebra: 9º ano: educacional. para educação geral instituições / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; editado por S. A. Telyakovsky. - 16ª edição. - M.: Educação, 2009. - 271 p. : doente. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G.Álgebra. 8 ª série. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich. - 11ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 p.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G.Álgebra. 9 º ano. Em 2 horas. Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 p.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G.Álgebra e início da análise matemática. Grau 11. Em 2 horas Parte 1. Livro didático para alunos de instituições de ensino geral (nível de perfil) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2ª ed., apagada. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 p.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.

Solução gráfica de equações

Olá, 2009

Introdução

A necessidade de resolver equações quadráticas na antiguidade foi causada pela necessidade de resolver problemas relacionados com a localização de áreas de terrenos e escavações militares, bem como com o desenvolvimento da astronomia e da própria matemática. Os babilônios foram capazes de resolver equações quadráticas por volta de 2.000 aC. A regra para resolver estas equações, estabelecida nos textos babilônicos, coincide essencialmente com os modernos, mas não se sabe como os babilônios chegaram a esta regra.

As fórmulas para resolver equações quadráticas na Europa foram apresentadas pela primeira vez no Livro do Ábaco, escrito em 1202 pelo matemático italiano Leonardo Fibonacci. O seu livro contribuiu para a difusão do conhecimento algébrico não só na Itália, mas também na Alemanha, França e outros países europeus.

Mas a regra geral para resolver equações quadráticas, com todas as combinações possíveis de coeficientes b e c, foi formulada na Europa apenas em 1544 por M. Stiefel.

Em 1591 François Viet introduziu fórmulas para resolver equações quadráticas.

Na antiga Babilônia eles podiam resolver alguns tipos de equações quadráticas.

Diofanto de Alexandria E Euclides, Al-Khwarizmi E Omar Khayyam equações resolvidas usando métodos geométricos e gráficos.

Na 7ª série estudamos funções y = C, você =kx, você =kx+ eu, você =x 2,y = –x 2, na 8ª série - y = √x, você =|x|, você =machado2 + bx+ c, você =k/ x. No livro de álgebra do 9º ano, vi funções que ainda não conhecia: você =x 3, você =x 4,você =x 2n, você =x- 2n, você = 3√x, (x– a) 2 + (você –b) 2 = R 2 e outros. Existem regras para construir gráficos dessas funções. Eu me perguntei se havia outras funções que obedecessem a essas regras.

Meu trabalho é estudar gráficos de funções e resolver equações graficamente.

1. Quais são as funções?

O gráfico de uma função é o conjunto de todos os pontos do plano coordenado, cujas abcissas são iguais aos valores dos argumentos e as ordenadas são iguais aos valores correspondentes da função.

A função linear é dada pela equação você =kx+ b, Onde k E b- alguns números. O gráfico desta função é uma linha reta.

Função proporcional inversa você =k/ x, onde k ¹ 0. O gráfico desta função é chamado de hipérbole.

Função (x– a) 2 + (s-b) 2 = R2 , Onde A, b E R- alguns números. O gráfico desta função é um círculo de raio r com centro no ponto A ( A, b).

Função quadrática sim= machado2 + bx+ c Onde A,b, Com– alguns números e A¹ 0. O gráfico desta função é uma parábola.

A equação no2 (a– x) = x2 (a+ x) . O gráfico desta equação será uma curva chamada estrofóide.

/>Equação (x2 + sim2 ) 2 = a(x2 – sim2 ) . O gráfico desta equação é denominado lemniscata de Bernoulli.

A equação. O gráfico desta equação é chamado de astroide.

Curva (x2 sim2 – 2 machados)2 =4 uma2 (x2 + você2 ) . Essa curva é chamada de cardióide.

Funções: você =x 3 – parábola cúbica, você =x 4, y = 1/x 2.

2. O conceito de equação e sua solução gráfica

A equação– uma expressão contendo uma variável.

Resolva a equação- isto significa encontrar todas as suas raízes, ou provar que elas não existem.

Raiz da equaçãoé um número que, quando substituído em uma equação, produz uma igualdade numérica correta.

Resolvendo equações graficamente permite encontrar o valor exato ou aproximado das raízes, permite encontrar o número de raízes da equação.

Na construção de gráficos e na resolução de equações, são utilizadas as propriedades de uma função, razão pela qual o método é frequentemente denominado gráfico-funcional.

Para resolver a equação, “dividimos-a” em duas partes, introduzimos duas funções, construímos seus gráficos e encontramos as coordenadas dos pontos de intersecção dos gráficos. As abcissas desses pontos são as raízes da equação.

3. Algoritmo para traçar um gráfico de função

Conhecendo o gráfico de uma função você =f(x) , você pode construir gráficos de funções você =f(x+ eu) ,você =f(x)+ eu E você =f(x+ eu)+ eu. Todos esses gráficos são obtidos a partir do gráfico da função você =f(x) usando transformação de transporte paralelo: para │ eu│ unidades de escala para a direita ou esquerda ao longo do eixo x e em │ eu│ unidades de escala para cima ou para baixo ao longo de um eixo sim.

4. Solução gráfica da equação quadrática

Usando uma função quadrática como exemplo, consideraremos a solução gráfica de uma equação quadrática. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.

O que os antigos gregos sabiam sobre a parábola?

O simbolismo matemático moderno originou-se no século XVI.

Os antigos matemáticos gregos não tinham o método das coordenadas nem o conceito de função. No entanto, eles estudaram detalhadamente as propriedades da parábola. A engenhosidade dos matemáticos antigos é simplesmente incrível - afinal, eles só podiam usar desenhos e descrições verbais de dependências.

Explorou mais completamente a parábola, a hipérbole e a elipse Apolônio de Perga, que viveu no século III aC. Ele deu nomes a essas curvas e indicou quais condições os pontos situados nesta ou naquela curva satisfaziam (afinal, não havia fórmulas!).

Existe um algoritmo para construir uma parábola:

Encontre as coordenadas do vértice da parábola A (x0; y0): X=- b/2 a;

y0=axo2+in0+s;

Encontre o eixo de simetria da parábola (reta x=x0);

QUEBRA DE PÁGINA--

Compilamos uma tabela de valores para construção de pontos de controle;

Construímos os pontos resultantes e construímos pontos que são simétricos a eles em relação ao eixo de simetria.

1. Usando o algoritmo, construiremos uma parábola sim= x2 – 2 x– 3 . Abcissas dos pontos de intersecção com o eixo x e existem raízes da equação quadrática x2 – 2 x– 3 = 0.

Existem cinco maneiras de resolver esta equação graficamente.

2. Vamos dividir a equação em duas funções: sim= x2 E sim= 2 x+ 3

3. Vamos dividir a equação em duas funções: sim= x2 –3 E sim=2 x. As raízes da equação são as abcissas dos pontos de intersecção da parábola e da reta.

4. Transforme a equação x2 – 2 x– 3 = 0 isolando um quadrado completo em funções: sim= (x–1) 2 E sim=4. As raízes da equação são as abcissas dos pontos de intersecção da parábola e da reta.

5. Divida ambos os lados da equação termo por termo x2 – 2 x– 3 = 0 sobre x, Nós temos x– 2 – 3/ x= 0 , vamos dividir esta equação em duas funções: sim= x– 2, sim= 3/ x. As raízes da equação são as abcissas dos pontos de intersecção da reta e da hipérbole.

5. Solução gráfica de equações de graun

Exemplo 1. Resolva a equação x5 = 3 – 2 x.

sim= x5 , sim= 3 – 2 x.

Responder: x = 1.

Exemplo 2. Resolva a equação 3 √ x= 10 – x.

As raízes desta equação são as abcissas do ponto de intersecção dos gráficos de duas funções: sim= 3 √ x, sim= 10 – x.

Responder: x = 8.

Conclusão

Olhando os gráficos das funções: você =machado2 + bx+ c, você =k/ x, você = √x, você =|x|, você =x 3, você =x 4,você = 3√x, Percebi que todos esses gráficos são construídos de acordo com a regra da translação paralela em relação aos eixos x E sim.

Usando o exemplo de resolução de uma equação quadrática, podemos concluir que o método gráfico também é aplicável para equações de grau n.

Os métodos gráficos para resolver equações são bonitos e compreensíveis, mas não oferecem 100% de garantia de resolução de qualquer equação. As abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos podem ser aproximadas.

No 9º ano e no ensino médio continuarei conhecendo outras funções. Estou interessado em saber se essas funções obedecem às regras de transferência paralela na construção de seus gráficos.

No próximo ano, também gostaria de considerar as questões de resolução gráfica de sistemas de equações e desigualdades.

Literatura

1. Álgebra. 7 ª série. Parte 1. Livro didático para instituições de ensino / A.G. Mordkovich. M.: Mnemósine, 2007.

2. Álgebra. 8 ª série. Parte 1. Livro didático para instituições de ensino / A.G. Mordkovich. M.: Mnemósine, 2007.

3. Álgebra. 9 º ano. Parte 1. Livro didático para instituições de ensino / A.G. Mordkovich. M.: Mnemósine, 2007.

4. Glazer G.I. História da matemática na escola. Séries VII-VIII. – M.: Educação, 1982.

5. Revista Matemática nº 5 2009; Nº 8 2007; Nº 23 2008.

6. Sites de soluções gráficas de equações na Internet: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; página 3–6.htm.

Ministério da Educação e Política Juvenil do Território de Stavropol

Instituição de ensino profissional orçamentária do Estado

Colégio Regional de Georgievsk "Integral"

PROJETO INDIVIDUAL

Na disciplina “Matemática: álgebra, princípios de análise matemática, geometria”

Sobre o tema: “Solução gráfica de equações e inequações”

Concluído por aluno do grupo PK-61, cursando a especialidade

"Programação em sistemas de computador"

Zeller Timur Vitalievich

Diretor: professora Serkova N.A.

Data de entrega:" " 2017

Data da defesa:" " 2017

Geórgia 2017

NOTA EXPLICATIVA

OBJETIVO DO PROJETO:

Alvo: Descubra as vantagens do método gráfico de resolução de equações e inequações.

Tarefas:

Compare os métodos analíticos e gráficos de resolução de equações e desigualdades.

Descubra em quais casos o método gráfico apresenta vantagens.

Considere resolver equações com módulo e parâmetro.

A relevância da pesquisa: Análise do material dedicado à solução gráfica de equações e desigualdades nos livros didáticos “Álgebra e os primórdios da análise matemática” de diversos autores, tendo em conta os objetivos do estudo deste tema. Bem como resultados de aprendizagem obrigatórios relacionados ao tema em consideração.

Contente

Introdução

1. Equações com parâmetros

1.1. Definições

1.2. Algoritmo de solução

1.3. Exemplos

2. Desigualdades com parâmetros

2.1. Definições

2.2. Algoritmo de solução

2.3. Exemplos

3. Usando gráficos na resolução de equações

3.1. Solução gráfica de uma equação quadrática

3.2. Sistemas de equações

3.3. Equações trigonométricas

4. Aplicação de gráficos na resolução de desigualdades

5. Conclusão

6. Referências

Introdução

O estudo de muitos processos físicos e padrões geométricos muitas vezes leva à resolução de problemas com parâmetros. Algumas universidades também incluem equações, desigualdades e seus sistemas nas provas, que muitas vezes são muito complexas e exigem uma abordagem não padronizada para solução. Na escola, esta uma das seções mais difíceis do curso escolar de matemática é considerada apenas em algumas aulas optativas.

Na preparação deste trabalho, estabeleci como objetivo um estudo mais aprofundado deste tema, identificando a solução mais racional que conduza rapidamente a uma resposta. Na minha opinião, o método gráfico é uma forma conveniente e rápida de resolver equações e desigualdades com parâmetros.

Meu projeto examina tipos de equações, desigualdades e seus sistemas frequentemente encontrados.

1. Equações com parâmetros

1. Definições básicas

Considere a equação

(a, b, c,…, k, x)=(a, b, c,…, k, x), (1)

onde a, b, c,…, k, x são quantidades variáveis.

Qualquer sistema de valores variáveis

uma = uma 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

em que os lados esquerdo e direito desta equação assumem valores reais é chamado de sistema de valores permitidos das variáveis ​​​​a, b, c, ..., k, x. Seja A o conjunto de todos os valores admissíveis de a, B o conjunto de todos os valores admissíveis de b, etc., X o conjunto de todos os valores admissíveis de x, ou seja, aA, bB, …, xX. Se para cada um dos conjuntos A, B, C, …, K selecionamos e fixamos, respectivamente, um valor a, b, c, …, k e os substituímos na equação (1), então obtemos uma equação para x, ou seja equação com uma incógnita.

As variáveis ​​​​a, b, c, ..., k, que são consideradas constantes na resolução de uma equação, são chamadas de parâmetros, e a própria equação é chamada de equação contendo parâmetros.

Os parâmetros são denotados pelas primeiras letras do alfabeto latino: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, e as incógnitas são denotadas pelas letras x, y, z.

Resolver uma equação com parâmetros significa indicar em quais valores dos parâmetros existem soluções e quais são.

Duas equações contendo os mesmos parâmetros são chamadas equivalentes se:

a) fazem sentido para os mesmos valores de parâmetros;

b) toda solução da primeira equação é uma solução da segunda e vice-versa.

1. Algoritmo de solução

Encontre o domínio de definição da equação.

Expressamos a como uma função de x.

No sistema de coordenadas xOa, construímos um gráfico da função a=(x) para os valores de x que estão incluídos no domínio de definição desta equação.

Encontramos os pontos de interseção da reta a=c, onde c(-;+) com o gráfico da função a=(x). x), então determinamos as abcissas dos pontos de intersecção. Para fazer isso, basta resolver a equação a=(x) para x.

Anotamos a resposta.

1. Exemplos

I. Resolva a equação

(1)

Solução.

Como x=0 não é uma raiz da equação, a equação pode ser resolvida para a:

ou

O gráfico de uma função consiste em duas hipérboles “coladas”. O número de soluções da equação original é determinado pelo número de pontos de intersecção da reta construída e da reta y=uma.

Se a  (-;-1](1;+) , então a reta y=a intercepta o gráfico da equação (1) em um ponto. Encontramos a abcissa deste ponto ao resolver a equação para x.

Assim, neste intervalo, a equação (1) tem solução.

Se a , então a reta y=a intercepta o gráfico da equação (1) em dois pontos. As abcissas desses pontos podem ser encontradas nas equações e, obtemos

E.

Se a , então a reta y=a não intercepta o gráfico da equação (1), portanto não há soluções.

Responder:

Se a  (-;-1](1;+), então;

Se  , então ;

Se a  , então não há soluções.

II. Encontre todos os valores do parâmetro a para os quais a equação tem três raízes diferentes.

Solução.

Tendo reescrito a equação na forma e considerado um par de funções, pode-se notar que os valores desejados do parâmetro a e somente eles corresponderão àquelas posições do gráfico da função em que possui exatamente três pontos de intersecção com o gráfico de função.

No sistema de coordenadas xOy, construiremos um gráfico da função). Para fazer isso, podemos representá-la na forma e, tendo considerado quatro casos resultantes, escrevemos esta função na forma

Como o gráfico de uma função é uma reta que possui um ângulo de inclinação em relação ao eixo Ox igual e intercepta o eixo Oy em um ponto com coordenadas (0, a), concluímos que os três pontos de interseção indicados só podem ser obtidos no caso em que esta linha toca o gráfico da função. Portanto encontramos a derivada

Responder: .

III. Encontre todos os valores do parâmetro a, para cada um dos quais o sistema de equações

tem soluções.

Solução.

Da primeira equação do sistema que obtemos em Portanto, esta equação define uma família de “semiparábolas” - os ramos direitos da parábola “deslizam” com seus vértices ao longo do eixo das abcissas.

Vamos selecionar quadrados completos no lado esquerdo da segunda equação e fatorá-la

O conjunto de pontos do plano que satisfazem a segunda equação são duas retas

Vamos descobrir em quais valores do parâmetro uma uma curva da família das “semiparábolas” tem pelo menos um ponto em comum com uma das retas resultantes.

Se os vértices das semiparábolas estão à direita do ponto A, mas à esquerda do ponto B (o ponto B corresponde ao vértice da “semiparábola” que toca

linha reta), então os gráficos em consideração não possuem pontos comuns. Se o vértice da “semiparábola” coincidir com o ponto A, então.

Determinamos o caso de uma “semiparábola” tocando uma reta a partir da condição de existência de uma solução única para o sistema

Neste caso, a equação

tem uma raiz, de onde encontramos:

Consequentemente, o sistema original não tem soluções em, mas em ou tem pelo menos uma solução.

Resposta: a  (-;-3] (;+).

4. Resolva a equação

Solução.

Usando a igualdade, reescrevemos a equação dada na forma

Esta equação é equivalente ao sistema

Reescrevemos a equação na forma

. (*)

A última equação é mais fácil de resolver usando considerações geométricas. Vamos construir gráficos das funções e Do gráfico segue-se que os gráficos não se cruzam e, portanto, a equação não tem soluções.

Se, então quando os gráficos das funções coincidem e, portanto, todos os valores são soluções da equação (*).

Quando os gráficos se cruzam em um ponto, cuja abcissa é. Assim, quando a equação (*) tem uma solução única -.

Vamos agora investigar em quais valores de a as soluções encontradas para a equação (*) irão satisfazer as condições

Deixe estar então. O sistema assumirá a forma

Sua solução será o intervalo x (1;5). Considerando isso, podemos concluir que se a equação original for satisfeita por todos os valores de x do intervalo, a desigualdade original é equivalente à desigualdade numérica correta 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

Na integral (1;+∞) obtemos novamente a desigualdade linear 2x<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

No entanto, o mesmo resultado pode ser obtido a partir de considerações visuais e ao mesmo tempo geométricas estritas. A Figura 7 mostra os gráficos das funções:sim= f( x)=| x-1|+| x+1| Esim=4.

Figura 7.

No gráfico integral (-2;2) da funçãosim= f(x) está localizado sob o gráfico da função y=4, o que significa que a desigualdadef(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Desigualdades com parâmetros.

Resolver inequações com um ou mais parâmetros é, via de regra, uma tarefa mais complexa se comparada a um problema em que não existem parâmetros.

Por exemplo, a desigualdade √a+x+√a-x>4, que contém o parâmetro a, naturalmente requer muito mais esforço para ser resolvida do que a desigualdade √1+x + √1-x>1.

O que significa resolver a primeira dessas desigualdades? Isso, em essência, significa resolver não apenas uma desigualdade, mas toda uma classe, todo um conjunto de desigualdades que são obtidas se atribuirmos valores numéricos específicos ao parâmetro a. A segunda das desigualdades escritas é um caso especial da primeira, pois dela se obtém o valor a = 1.

Assim, resolver uma desigualdade contendo parâmetros significa determinar em quais valores dos parâmetros a desigualdade tem soluções e para todos esses valores de parâmetros encontrar todas as soluções.

Exemplo 1:

Resolva a desigualdade |x-a|+|x+a|< b, a<>0.

Para resolver esta desigualdade com dois parâmetrosa você bVamos usar considerações geométricas. As Figuras 8 e 9 mostram os gráficos das funções.

S= f(x)=| x- a|+| x+ a| você sim= b.

É óbvio que quandob<=2| a| diretosim= bnão passa acima do segmento horizontal da curvasim=| x- a|+| x+ a| e, portanto, a desigualdade neste caso não tem solução (Figura 8). Seb>2| a|, então a linhasim= bcruza o gráfico de uma funçãosim= f(x) em dois pontos (-b/2; b) você (b/2; b)(Figura 6) e a desigualdade neste caso é válida para –b/2< x< b/2, pois para esses valores da variável a curvasim=| x+ a|+| x- a| localizado abaixo da linha retasim= b.

Resposta: Seb<=2| a| , então não há soluções,

Seb>2| a|, entãox €(- b/2; b/2).

III) Desigualdades trigonométricas:

Na resolução de desigualdades com funções trigonométricas, utiliza-se essencialmente a periodicidade dessas funções e sua monotonicidade nos intervalos correspondentes. As desigualdades trigonométricas mais simples. Funçãopecado xtem um período positivo de 2π. Portanto, desigualdades da forma:sen x>a, sen x>=a,

pecado x

Basta resolver primeiro algum segmento de comprimento 2π . Obtemos o conjunto de todas as soluções adicionando a cada uma das soluções encontradas neste segmento números da forma 2π p, pЄZ.

Exemplo 1: Resolva a desigualdadepecado x>-1/2.(Figura 10)

Primeiro, vamos resolver essa desigualdade no intervalo [-π/2;3π/2]. Vamos considerar seu lado esquerdo - o segmento [-π/2;3π/2].pecado x=-1/2 tem uma solução x=-π/6; e a funçãopecado xaumenta monotonicamente. Isso significa que se –π/2<= x<= -π/6, то pecado x<= pecado(- π /6)=-1/2, ou seja, esses valores de x não são soluções para a desigualdade. Se –π/6<х<=π/2 то pecado x> pecado(-π/6) = –1/2. Todos esses valores de x não são soluções para a desigualdade.

No segmento restante [π/2;3π/2] a funçãopecado xa equação também diminui monotonicamentepecado x= -1/2 tem uma solução x=7π/6. Portanto, se π/2<= x<7π/, то pecado x> pecado(7π/6)=-1/2, ou seja, todos esses valores de x são soluções para a desigualdade. ParaxNós temospecado x<= pecado(7π/6)=-1/2, esses valores de x não são soluções. Assim, o conjunto de todas as soluções para esta desigualdade no intervalo [-π/2;3π/2] é a integral (-π/6;7π/6).

Devido à periodicidade da funçãopecado xcom um período de 2π valores de x de qualquer integral da forma: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, também são soluções para a desigualdade. Nenhum outro valor de x é solução para esta desigualdade.

Resposta: -π/6+2πn< x<7π/6+2π n, OndenЄ Z.

Conclusão

Examinamos o método gráfico para resolver equações e inequações; Consideramos exemplos específicos cuja solução utilizou propriedades de funções como monotonicidade e paridade.A análise da literatura científica e dos livros didáticos de matemática permitiu estruturar o material selecionado de acordo com os objetivos do estudo, selecionar e desenvolver métodos eficazes de resolução de equações e desigualdades. O artigo apresenta um método gráfico para resolução de equações e inequações e exemplos em que esses métodos são utilizados. O resultado do projeto pode ser considerado tarefas criativas, como material auxiliar para desenvolver a habilidade de resolução de equações e inequações pelo método gráfico.

Lista de literatura usada

Dalinger V. A. “A geometria ajuda a álgebra.” Editora “Escola - Imprensa”. Moscou 1996

Dalinger V. A. “Tudo para garantir o sucesso nos exames finais e vestibulares de matemática.” Editora da Universidade Pedagógica de Omsk. Omsk 1995

Okunev A. A. “Solução gráfica de equações com parâmetros.” Editora “Escola - Imprensa”. Moscou 1986

Pismensky D. T. “Matemática para alunos do ensino médio.” Editora “Íris”. Moscou 1996

Yastribinetsky G. A. “Equações e desigualdades contendo parâmetros.” Editora “Prosveshcheniye”. Moscou 1972

G. Korn e T. Korn “Manual de Matemática”. Editora “Ciência” de literatura física e matemática. Moscou 1977

Amelkin V.V. e Rabtsevich V.L. “Problemas com parâmetros”. Editora “Asar”. Minsk 1996

Recursos da Internet

O método gráfico é um dos principais métodos para resolver desigualdades quadráticas. No artigo apresentaremos um algoritmo para utilização do método gráfico e, a seguir, consideraremos casos especiais usando exemplos.

A essência do método gráfico

O método é aplicável para resolver quaisquer desigualdades, não apenas quadráticas. Sua essência é esta: os lados direito e esquerdo da desigualdade são considerados como duas funções separadas y = f (x) e y = g (x), seus gráficos são construídos em um sistema de coordenadas retangulares e observe qual dos gráficos é localizado acima do outro e em quais intervalos. Os intervalos são avaliados da seguinte forma:

Definição 1

• soluções para a desigualdade f (x) > g (x) são intervalos onde o gráfico da função f é maior que o gráfico da função g;
• soluções para a desigualdade f (x) ≥ g (x) são intervalos onde o gráfico da função f não é inferior ao gráfico da função g;
• soluções para a desigualdade f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• soluções para a desigualdade f (x) ≤ g (x) são intervalos onde o gráfico da função f não é superior ao gráfico da função g;
• As abcissas dos pontos de intersecção dos gráficos das funções f e g são soluções da equação f (x) = g (x).

Vejamos o algoritmo acima usando um exemplo. Para fazer isso, pegue a desigualdade quadrática a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) e derivar duas funções dele. O lado esquerdo da desigualdade corresponderá a y = a · x 2 + b · x + c (neste caso f (x) = a · x 2 + b · x + c), e o lado direito y = 0 ( neste caso g(x) = 0).

O gráfico da primeira função é uma parábola, o segundo é uma linha reta, que coincide com o eixo x O x. Vamos analisar a posição da parábola em relação ao eixo O x. Para fazer isso, vamos fazer um desenho esquemático.

Os ramos da parábola são direcionados para cima. Ele cruza o eixo O x em pontos x 1 E x 2. O coeficiente a neste caso é positivo, pois é ele o responsável pela direção dos ramos da parábola. O discriminante é positivo, indicando que o trinômio quadrático tem duas raízes a x 2 + b x + c. Denotamos as raízes do trinômio como x 1 E x 2, e foi aceito que x 1< x 2 , uma vez que um ponto com uma abcissa é representado no eixo O x x 1à esquerda do ponto da abcissa x 2.

As partes da parábola localizadas acima do eixo O x serão indicadas em vermelho, abaixo - em azul. Isso nos permitirá tornar o desenho mais visual.

Vamos selecionar os espaços que correspondem a essas partes e marcá-los na imagem com campos de uma determinada cor.

Marcamos em vermelho os intervalos (− ∞, x 1) e (x 2, + ∞), neles a parábola está acima do eixo O x. Eles são a · x 2 + b · x + c > 0. Marcamos em azul o intervalo (x 1 , x 2), que é a solução da inequação a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Vamos fazer um breve resumo da solução. Para a > 0 e D = b 2 − 4 a c > 0 (ou D " = D 4 > 0 para um coeficiente par b) obtemos:

• a solução para a desigualdade quadrática a x 2 + b x + c > 0 é (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) ou em outra notação x< x 1 , x >x2;
• a solução para a desigualdade quadrática a · x 2 + b · x + c ≥ 0 é (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) ou em outra notação x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• resolvendo a desigualdade quadrática a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• a solução para a desigualdade quadrática a x 2 + b x + c ≤ 0 é [ x 1 , x 2 ] ou em outra notação x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

onde x 1 ex 2 são as raízes do trinômio quadrático a x 2 + b x + c e x 1< x 2 .

Nesta figura, a parábola toca o eixo O x apenas em um ponto, que é designado como x0 uma > 0. D=0, portanto, o trinômio quadrado tem uma raiz x0.

A parábola está localizada completamente acima do eixo O x, com exceção do ponto de tangência do eixo de coordenadas. Vamos colorir os intervalos (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Vamos anotar os resultados. No uma > 0 E D=0:

• resolvendo a desigualdade quadrática a x 2 + b x + c > 0é (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) ou em outra notação x ≠ x 0;
• resolvendo a desigualdade quadrática a x 2 + b x + c ≥ 0é (− ∞ , + ∞) ou em outra notação x ∈ R;
• desigualdade quadrática a x 2 + b x + c< 0 não tem soluções (não há intervalos em que a parábola esteja localizada abaixo do eixo Boi);
• desigualdade quadrática a x 2 + b x + c ≤ 0 tem uma solução única x=x0(é dado pelo ponto de contato),

Onde x0- raiz do trinômio quadrado a x 2 + b x + c.

Consideremos o terceiro caso, quando os ramos da parábola estão direcionados para cima e não tocam o eixo Boi. Os ramos da parábola são direcionados para cima, o que significa que uma > 0. O trinômio quadrado não tem raízes reais porque D< 0 .

Não há intervalos no gráfico em que a parábola estaria abaixo do eixo x. Levaremos isso em consideração na hora de escolher a cor do nosso desenho.

Acontece que quando uma > 0 E D< 0 resolvendo desigualdades quadráticas a x 2 + b x + c > 0 E a x 2 + b x + c ≥ 0é o conjunto de todos os números reais e as desigualdades a x 2 + b x + c< 0 E a x 2 + b x + c ≤ 0 não tenho soluções.

Restam-nos três opções a considerar quando os ramos da parábola estão direcionados para baixo. Não há necessidade de nos determos detalhadamente nessas três opções, pois quando multiplicamos ambos os lados da desigualdade por − 1, obtemos uma desigualdade equivalente com um coeficiente positivo para x 2.

A consideração da seção anterior do artigo nos preparou para a percepção de um algoritmo para resolução de desigualdades por meio de um método gráfico. Para realizar os cálculos, precisaremos utilizar cada vez um desenho, que representará a reta coordenada O x e uma parábola que corresponde à função quadrática y = a x 2 + b x + c. Na maioria dos casos, não representaremos o eixo O y, pois ele não é necessário para cálculos e apenas sobrecarregará o desenho.

Para construir uma parábola, precisaremos saber duas coisas:

Definição 2

• a direção dos ramos, que é determinada pelo valor do coeficiente a;
• a presença de pontos de intersecção da parábola e do eixo das abcissas, que são determinados pelo valor do discriminante do trinômio quadrático a · x 2 + b · x + c .

Denotaremos os pontos de intersecção e tangência da maneira usual ao resolver desigualdades não estritas e vazios ao resolver desigualdades estritas.

Ter um desenho concluído permite passar para a próxima etapa da solução. Envolve determinar os intervalos em que a parábola está localizada acima ou abaixo do eixo O x. Os intervalos e pontos de intersecção são a solução para a desigualdade quadrática. Se não houver pontos de intersecção ou tangência e não houver intervalos, considera-se que a desigualdade especificada nas condições do problema não tem solução.

Agora vamos resolver várias desigualdades quadráticas usando o algoritmo acima.

Exemplo 1

É necessário resolver graficamente a desigualdade 2 x 2 + 5 1 3 x - 2.

Solução

Vamos desenhar um gráfico da função quadrática y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Coeficiente em x 2 positivo porque é igual 2 . Isso significa que os ramos da parábola serão direcionados para cima.

Calculemos o discriminante do trinômio quadrático 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 para saber se a parábola tem pontos comuns com o eixo das abcissas. Nós temos:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Como vemos, D é maior que zero, portanto, temos dois pontos de intersecção: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 e x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, ou seja, x 1 = − 3 E x 2 = 1 3.

Resolvemos uma desigualdade não estrita, portanto colocamos pontos ordinários no gráfico. Vamos desenhar uma parábola. Como você pode ver, o desenho tem a mesma aparência do primeiro modelo que consideramos.

Nossa desigualdade tem o sinal ≤. Portanto, precisamos destacar os intervalos no gráfico onde a parábola está localizada abaixo do eixo O x e adicionar pontos de interseção a eles.

O intervalo que precisamos é 3, 1 3. Adicionamos pontos de interseção a ele e obtemos um segmento numérico − 3, 1 3. Esta é a solução para o nosso problema. A resposta pode ser escrita como uma dupla desigualdade: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Responder:− 3 , 1 3 ou − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Exemplo 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 método gráfico.

Solução

O quadrado da variável tem coeficiente numérico negativo, então os ramos da parábola serão direcionados para baixo. Vamos calcular a quarta parte do discriminante D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Este resultado nos diz que haverá dois pontos de intersecção.

Vamos calcular as raízes do trinômio quadrado: x 1 = - 8 + 1 - 1 e x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 e x 2 = 9.

Acontece que a parábola intercepta o eixo x nos pontos 7 E 9 . Vamos marcar esses pontos do gráfico como vazios, pois estamos trabalhando com desigualdade estrita. Depois disso, desenhe uma parábola que cruze o eixo O x nos pontos marcados.

Estaremos interessados ​​nos intervalos em que a parábola está localizada abaixo do eixo O x. Vamos marcar esses intervalos em azul.

Obtemos a resposta: a solução para a desigualdade são os intervalos (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Responder:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) ou em outra notação x< 7 , x > 9 .

Nos casos em que o discriminante de um trinômio quadrático é zero, é necessário considerar cuidadosamente se deve incluir a abcissa dos pontos tangentes na resposta. Para tomar a decisão certa, é necessário levar em consideração o sinal de desigualdade. Nas desigualdades estritas, o ponto de tangência do eixo x não é uma solução para a desigualdade, mas nas não estritas é.

Exemplo 3

Resolva a desigualdade quadrática 10 x 2 − 14 x + 4, 9 ≤ 0 método gráfico.

Solução

Os ramos da parábola, neste caso, serão direcionados para cima. Tocará o eixo O x no ponto 0, 7, pois

Vamos traçar a função y = 10 x 2 − 14 x + 4, 9. Seus ramos são direcionados para cima, pois o coeficiente em x 2 positivo e toca o eixo x no ponto do eixo x 0 , 7 , porque D " = (− 7) 2 − 10 4, 9 = 0, de onde x 0 = 7 10 ou 0 , 7 .

Vamos colocar um ponto final e desenhar uma parábola.

Resolvemos uma desigualdade não estrita com sinal ≤. Por isso. Estaremos interessados ​​nos intervalos em que a parábola está localizada abaixo do eixo x e do ponto de tangência. Não há intervalos na figura que satisfaçam nossas condições. Existe apenas um ponto de contato 0, 7. Esta é a solução que procuramos.

Responder: A desigualdade tem apenas uma solução 0, 7.

Exemplo 4

Resolva a desigualdade quadrática – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Solução

Os ramos da parábola são direcionados para baixo. O discriminante é zero. Ponto de interseção x 0 = 4.

Marcamos o ponto de tangência no eixo x e desenhamos uma parábola.

Estamos lidando com uma desigualdade grave. Conseqüentemente, estamos interessados ​​nos intervalos em que a parábola está localizada abaixo do eixo O x. Vamos marcá-los em azul.

O ponto com abscissa 4 não é uma solução, pois a parábola nele não está localizada abaixo do eixo O x. Consequentemente, obtemos dois intervalos (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Responder: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) ou em outra notação x ≠ 4 .

Nem sempre com valor negativo a desigualdade discriminante não terá soluções. Há casos em que a solução é o conjunto de todos os números reais.

Exemplo 5

Resolva a desigualdade quadrática 3 x 2 + 1 > 0 graficamente.

Solução

O coeficiente a é positivo. O discriminante é negativo. Os ramos da parábola serão direcionados para cima. Não há pontos de intersecção da parábola com o eixo O x. Vejamos o desenho.

Trabalhamos com desigualdade estrita, que possui sinal >. Isto significa que estamos interessados ​​nos intervalos em que a parábola está localizada acima do eixo x. Este é exatamente o caso quando a resposta é o conjunto de todos os números reais.

Responder:(− ∞, + ∞) ou então x ∈ R.

Exemplo 6

É necessário encontrar uma solução para a desigualdade − 2 x 2 − 7 x − 12 ≥ 0 graficamente.

Solução

Os ramos da parábola são direcionados para baixo. O discriminante é negativo, portanto, não há pontos comuns entre a parábola e o eixo x. Vejamos o desenho.

Estamos trabalhando com uma desigualdade não estrita com sinal ≥, portanto, os intervalos em que a parábola está localizada acima do eixo x nos interessam. A julgar pelo gráfico, não existem tais lacunas. Isso significa que a desigualdade dada nas condições do problema não tem solução.

Responder: Sem soluções.

Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter