Слайд 2

Математика – наука молодих. Інакше й не може бути. Заняття математикою - це така гімнастика розуму, для якої потрібна вся гнучкість і витривалість молодості.

Норберт Вінер (1894-1964), американський вчений

Слайд 3

відношення між числами a та b (математичними виразами), з'єднане знаками Нерівність -

Слайд 4

Історична довідка Завдання на доказ рівності і нерівності виникли в давнину. Для позначення знаків рівності та нерівності використовували спеціальні слова чи скорочення. IV століття до н.е., Евклід, V книга «Почав»: якщо a, b, c, d – позитивні числа та a – найбільше в пропорції a/b=c/d, то виконується нерівність a+d=b +c. III століття, основна праця Паппа Олександрійського «Математичні збори»: якщо a, b, c, d – позитивні числа і a/b>c/d, то виконується нерівність ad>bc.

Понад 2000 років до н. була відома нерівність Звертається у правильну рівність при a=b.

Слайд 5

Сучасні знаки 1557 рік. Введено знак рівності = англійським математиком Р. Рікордом. Його мотив: «Жодні два предмети не можуть бути більш рівними, ніж два паралельні відрізки».

1631 рік. Введені знаки > і

Слайд 6

Види нерівностей Зі змінною (одною або декількома) Суворі Нестрогі З модулем З параметром Нестандартні Системи Сукупності Числові Прості Подвійні Кратні Цілі алгебраїчні: -лінійні -квадратні -вищих ступенів Дробно-раціональні Ірраціональні Тригонометричні

називається значення змінної, яке при підстановці звертає їх у правильну числову нерівність. Вирішити нерівність – знайти всі її рішення чи довести, що їх немає. Дві нерівності називаються рівносильними, якщо всі рішення кожного є рішеннями іншої нерівності або обидві нерівності рішень не мають. Нерівності Розв'язанням нерівності з однією змінною

Слайд 9

Охарактеризуйте нерівності. Розв'яжіть усно 3)(x – 2)(x + 3)  0

Слайд 10

Графічний метод

Розв'яжіть графічно нерівність 1) Будуємо графік 2) Будуємо графік у тій самій системі координат. 3) Знаходимо абсциси точок перетину графіків (значення беруться приблизно, точність перевіряємо підстановкою). 4) Визначаємо за графіком розв'язання даної нерівності. 5) Записуємо відповідь.

Слайд 11

Функціонально-графічний метод розв'язання нерівності f(x)

Слайд 12

Функціонально-графічний метод Розв'яжіть нерівність: 3) Рівняння f (x) = g (x) має не більше одного кореня. Рішення. 4) Підбором знаходимо, що х = 2. II.Схематично зобразимо на числовій осі Ох графіки функцій f(x) і g(x), що проходять через точку х = 2. III.Визначимо рішення та запишемо відповідь. Відповідь. х -7 не визначено 2

Слайд 13

Розв'яжіть нерівності:

Слайд 14

Побудувати графіки функції ЄДІ-9, 2008 рік

Слайд 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

Слайд 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Визначте кількість проміжків розв'язків нерівності для кожного значення параметра a

Слайд 17

Побудувати графік функції ЄДІ-9, 2008 рік

Слайд 18

Слайд 19

Один із найзручніших методів розв'язання квадратних нерівностей – це графічний метод. У цій статті ми розберемо, як вирішуються квадратні нерівності у графічний спосіб. Спочатку обговоримо, у чому суть цього способу. А далі наведемо алгоритм та розглянемо приклади розв'язання квадратних нерівностей графічним способом.

Навігація на сторінці.

Суть графічного методу

Взагалі графічний спосіб розв'язання нерівностейз однією змінною застосовується як вирішення квадратних нерівностей, а й нерівностей інших видів. Суть графічного способурозв'язання нерівностейнаступна: розглядають функції y=f(x) і y=g(x) , які відповідають лівої та правої частин нерівності, будують їх графіки в одній прямокутній системі координат і з'ясовують, на яких проміжках графік однієї з них розташовується нижче або вище за інше. Ті проміжки, на яких

• графік функції f вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)>g(x);
• графік функції f не нижче графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)≥g(x);
• графік функції f нижче графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)
• графік функції f не вище графіка функції g є розв'язками нерівності f(x)≤g(x) .

Також скажемо, що абсциси точок перетину графіків функцій f і g є рішеннями рівняння f(x) = g(x).

Перенесемо ці результати на наш випадок – для розв'язання квадратної нерівності a x 2 + b x + c<0 (≤, >, ≥).

Вводимо дві функції: перша y = a x 2 + b x x c (при цьому f (x) = a x 2 + b x + c) відповідає лівій частині квадратної нерівності, друга y = 0 (при цьому g (x) = 0) відповідає правій частині нерівності. Графіком квадратичної функції f є парабола, а графіком постійної функції g - пряма, що збігається з віссю абсцис Ox.

Далі згідно з графічним способом розв'язання нерівностей треба проаналізувати, на яких проміжках графік однієї функції розташований вище або нижче за інший, що дозволить записати шукане розв'язання квадратної нерівності. У нашому випадку потрібно проаналізувати положення параболи щодо осі Ox.

Залежно від значень коефіцієнтів a, b і c можливі наступні шість варіантів (для наших потреб досить схематичного зображення, і можна не зображати вісь Oy, оскільки її положення не впливає на розв'язання нерівності):

На цьому кресленні ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані нагору, і яка перетинає вісь Ox у двох точках, абсциси яких є x1 і x2. Цей креслення відповідає варіанту, коли коефіцієнт a - позитивний (він відповідає за спрямованість вгору гілок параболи), і коли позитивно значення дискримінанта квадратного тричлена a x 2 + b x x c (при цьому тричлен має два корені, які ми позначили як x 1 і x 2 , причому прийняли, що x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0 x 1 = -2 x 2 = 3 .

Давайте для наочності зобразимо червоним кольором частини параболи, розташовані вище за осі абсцис, а синім кольором – розташовані нижче за осі абсцис.


Наразі з'ясуємо, які проміжки цим частинам відповідають. Визначити їх допоможе наступне креслення (надалі подібні виділення у формі прямокутників будемо проводити подумки):


Так на осі абсцис виявилися підсвічені червоним кольором два проміжки (−∞, x 1) і (x 2 , +∞) , на них парабола вище за осі Ox , вони становлять розв'язання квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 , а синім кольором підсвічений проміжок (x 1 , x 2) , на ньому парабола нижче осі Ox , він є рішенням нерівності a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

А тепер коротко: при a>0 і D=b 2 −4·a·c>0 (або D"=D/4>0 при парному коефіцієнті b)

• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) або в іншому записі x x 2;
• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, x 1 ]∪ або в іншому записі x 1 ≤x≤x 2 ,

де x 1 і x 2 – коріння квадратного тричлена a x 2 + b x + c , причому x 1


Тут ми бачимо параболу, гілки якої спрямовані вгору, і яка стосується осі абсцис, тобто має з нею одну загальну точку, позначимо абсцис цієї точки як x0. Представленому випадку відповідає a>0 (гілки спрямовані вгору) і D=0 (квадратний тричлен має один корінь x 0). Наприклад можна взяти квадратичну функцію y=x 2 −4·x+4 , тут a=1>0 , D=(−4) 2 −4·1·4=0 і x 0 =2 .

По кресленню чітко видно, що парабола розташована вище за осі Ox всюди, крім точки дотику, тобто, на проміжках (−∞, x 0) , (x 0 , ∞) . Для наочності виділимо на кресленні області за аналогією з попереднім пунктом.


Робимо висновки: при a>0 та D=0

• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c>0 є (−∞, x 0)∪(x 0 , +∞) або в іншому записі x≠x 0 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a·x 2 +b·x+c≥0 є (−∞, +∞) або в іншому записі x∈R ;
• квадратна нерівність a x 2 + b x + c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• квадратна нерівність a·x 2 +b·x+c≤0 має єдине рішення x=x 0 (його дає точка дотику),

де x 0 - корінь квадратного тричлена a x 2 + b x + c .


У цьому випадку гілки параболи спрямовані вгору, і вона не має спільних точок з віссю абсцис. Тут ми маємо умови a>0 (гілки спрямовані вгору) та D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Очевидно, парабола розташована вище осі Ox на всьому її протязі (немає інтервалів, на яких вона нижче осі Ox немає точки дотику).


Таким чином, при a>0 та D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 і a·x 2 +b·x+c≥0 є безліч усіх дійсних чисел, а нерівності a·x 2 +b·x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

І залишаються три варіанти розташування параболи з спрямованими вниз, а не вгору, гілками щодо осі Ox. У принципі їх можна і не розглядати, оскільки множення обох частин нерівності на −1 дозволяє перейти до рівносильної нерівності з позитивним коефіцієнтом при х 2 . Але все ж таки не завадить отримати уявлення і про ці випадки. Міркування тут аналогічні, тому запишемо лише головні результати.

Алгоритм рішення

Підсумком усіх попередніх викладок виступає алгоритм розв'язання квадратних нерівностей графічним способом:

На координатній площині виконується схематичний креслення, на якому зображується вісь Ox (вісь Oy зображати не обов'язково) і ескіз параболи, що відповідає квадратичній функції y = a x 2 + b x + c . Для побудови ескізу параболи достатньо з'ясувати два моменти:

• По-перше, за значенням коефіцієнта a з'ясовується, куди спрямовані її гілки (при a>0 – вгору, при a<0 – вниз).
• А по-друге, за значенням дискримінанта квадратного тричлена a x 2 + b x + c з'ясовується, чи перетинає парабола вісь абсцис у двох точках (при D>0 ), стосується її в одній точці (при D=0 ), або не має спільних точок з віссю Ox (при D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Коли креслення готове, по ньому на другому кроці алгоритму

  • при розв'язанні квадратної нерівності a x 2 + b x x c> 0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис;
  • при розв'язанні нерівності a x 2 + b x + c≥0 визначаються проміжки, на яких парабола розташовується вище осі абсцис і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцису точки дотику);
  • при розв'язанні нерівності a x 2 + b x + c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • нарешті, при розв'язанні квадратної нерівності виду a x 2 + b x + c≤0 знаходяться проміжки, на яких парабола нижче осі Ox і до них додаються абсциси точок перетину (або абсцису точки дотику);

  вони і становлять шукане розв'язання квадратної нерівності, а якщо таких проміжків немає і немає точок торкання, то вихідна квадратна нерівність не має розв'язків.

Залишається лише вирішити кілька квадратних нерівностей із застосуванням цього алгоритму.

Приклади із рішеннями

приклад.

Розв'яжіть нерівність .

Рішення.

Нам потрібно вирішити квадратну нерівність, скористаємося алгоритмом із попереднього пункту. На першому кроці нам потрібно зобразити ескіз графіка квадратичної функції . Коефіцієнт при x 2 дорівнює 2 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. З'ясуємо ще, чи парабола з віссю абсцис загальні точки, для цього обчислимо дискримінант квадратного тричлена . Маємо . Дискримінант виявився більшим за нуль, отже, тричлен має два дійсні корені: і тобто x 1 =−3 і x 2 =1/3 .

Звідси зрозуміло, що парабола перетинає вісь Ox двох точках з абсцисами −3 і 1/3 . Ці точки зобразимо на кресленні звичайними точками, оскільки розв'язуємо сувору нерівність. За з'ясованими даними отримуємо наступне креслення (він підходить під перший шаблон з першого пункту статті):

Переходимо до другого кроку алгоритму. Оскільки ми вирішуємо нестрогу квадратну нерівність зі знаком ≤, то нам потрібно визначити проміжки, на яких парабола розташована нижче за осі абсцис і додати до них абсциси точок перетину.

З креслення видно, що парабола нижче осі абсцис на інтервалі (-3, 1/3) і до нього додаємо абсциси точок перетину, тобто числа -3 і 1/3. В результаті приходимо до числового відрізка [-3, 1/3]. Це і є потрібне рішення. Його можна записати у вигляді подвійної нерівності −3≤x≤1/3.

Відповідь:

[−3, 1/3] або −3≤x≤1/3 .

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності −x 2 +16·x−63<0 .

Рішення.

Зазвичай починаємо з креслення. Числовий коефіцієнт при змінній квадраті негативний, −1 , тому, гілки параболи спрямовані вниз. Обчислимо дискримінант, а краще його четверту частину: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Його значення позитивно, обчислимо коріння квадратного тричлена: і , x 1 = 7 та x 2 = 9 . Так парабола перетинає вісь Ox у двох точках з абсцисами 7 і 9 (вихідна нерівність суворе, тому ці точки зображатимемо з порожнім центром). Тепер можна зробити схематичний малюнок:

Тому що ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

За кресленням видно, що рішеннями вихідної квадратної нерівності є два проміжки (−∞, 7) , (9, +∞) .

Відповідь:

(−∞, 7)∪(9, +∞) або в іншому записі x<7 , x>9 .

При розв'язанні квадратних нерівностей, коли дискримінант квадратного тричлена в його лівій частині дорівнює нулю, потрібно бути уважним із включенням або винятком з відповіді абсцис точки дотику. Це залежить від знаку нерівності: якщо нерівність сувора, то вона не є розв'язком нерівності, а якщо несувора – то є.

приклад.

Чи має квадратну нерівність 10·x 2 −14·x+4,9≤0 хоча б одне рішення?

Рішення.

Побудуємо графік функції y = 10 x 2 -14 x +4,9. Її гілки спрямовані вгору, так як коефіцієнт при x 2 позитивний, і вона стосується осі абсцис у точці з абсцисою 0,7 так як D"=(-7) 2 −10·4,9=0 , звідки або 0,7 у вигляді десяткового дробу. Схематично це виглядає так:

Оскільки ми розв'язуємо квадратну нерівність зі знаком ≤, то її вирішенням будуть проміжки, на яких парабола нижче за осі Ox , а також абсцис точки торкання. З креслення видно, що немає жодного проміжку, де парабола була нижче осі Ox , тому його рішенням буде лише абсцис точки дотику, тобто, 0,7 .

Відповідь:

дана нерівність має єдине рішення 0,7.

приклад.

Розв'яжіть квадратну нерівність –x 2 +8·x−16<0 .

Рішення.

Діємо за алгоритмом розв'язання квадратних нерівностей та починаємо з побудови графіка. Гілки параболи спрямовані вниз, оскільки коефіцієнт при x 2 негативний -1. Знайдемо дискримінант квадратного тричлена –x 2 +8·x−16 , маємо D'=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0і далі x 0 = -4 / (-1), x 0 = 4 . Отже, парабола стосується осі Ox у точці з абсцисою 4 . Виконаємо креслення:

Дивимося на знак вихідної нерівності, він є<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

У нашому випадку це відкриті промені (−∞, 4), (4, +∞). Окремо зауважимо, що 4 - абсцис точки дотику - не є рішенням, так як у точці дотику парабола не нижче осі Ox.

Відповідь:

(−∞, 4)∪(4, +∞) або в іншому записі x≠4 .

Зверніть особливу увагу на випадки, коли дискримінант квадратного тричлена, що знаходиться в лівій частині квадратної нерівності, менший за нуль. Тут не треба поспішати і говорити, що нерівність рішень не має (ми ж звикли робити такий висновок для квадратних рівнянь із негативним дискримінантом). Справа в тому, що квадратна нерівність при D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

приклад.

Знайдіть розв'язок квадратної нерівності 3·x 2 +1>0 .

Рішення.

Як завжди починаємо з креслення. Коефіцієнт a дорівнює 3 він позитивний, отже, гілки параболи спрямовані вгору. Обчислюємо дискримінант: D=0 2 −4·3·1=−12 . Оскільки дискримінант негативний, парабола немає з віссю Ox загальних точок. Отриманих відомостей достатньо схематичного графіка:

Ми вирішуємо строгу квадратну нерівність зі знаком >. Його рішенням будуть всі проміжки, на яких парабола знаходиться вище за осі Ox . У нашому випадку парабола вище за осю абсцис на всьому її протязі, тому шуканим рішенням буде безліч усіх дійсних чисел.

Ox , а також до них потрібно додати абсцис точок перетину або абсцис точки торкання. Але за кресленням добре видно, що таких проміжків немає (оскільки парабола всюди нижче осі абсцис), як немає і точок перетину, як немає і точки дотику. Отже, вихідна квадратна нерівність немає рішень.

Відповідь:

немає рішень або в іншому записі ∅.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Алгебра: 9 клас: навч. для загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2009. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., Стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 9 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 13-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2011. – 222 с.: іл. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Мордковіч А. Г.Алгебра та початку математичного аналізу. 11 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ (профільний рівень) / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. - 2-ге вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2008. – 287 с.: іл. ISBN 978-5-346-01027-2.

Графічне вирішення рівнянь

Розквіт, 2009

Вступ

Необхідність вирішувати квадратні рівняння ще в давнину була викликана потребою вирішувати завдання, пов'язані зі знаходженням площ земельних ділянок та із земляними роботами військового характеру, а також з розвитком астрономії та самої математики. Квадратні рівняння вавілоняни вміли вирішувати ще близько 2000 років до н. Правило розв'язання цих рівнянь, викладене у Вавилонських текстах, збігається сутнісно із сучасними, проте невідомо, як дійшли вавилоняни до цього правила.

Формули розв'язання квадратних рівнянь у Європі були вперше викладені у «Книзі абака», написаної 1202 року італійським математиком Леонардо Фібоначчі. Його книга сприяла поширенню знань алгебри не тільки в Італії, а й Німеччині, Франції та інших країнах Європи.

Але загальне правило розв'язання квадратних рівнянь, при всіляких комбінаціях коефіцієнтів b і c було сформульовано у Європі лише 1544 року М. Штифелем.

У 1591 році Франсуа Вієт ввів формули для розв'язання квадратних рівнянь.

У стародавньому Вавилоні могли вирішити деякі види квадратних рівнянь.

Діофант Олександрійський і Евклід, Аль-Хорезміі Омар Хайямвирішували рівняння геометричними та графічними способами.

У 7 класі ми вивчали функції у = С, у =kx, у =kx+ m, у =x 2,у = -x 2, в 8 класі - у = √x, у =|x|, у =ax2 + bx+ c, у =k/ x. У підручнику алгебри 9 класу я побачила ще не відомі мені функції: у =x 3, у =x 4,у =x 2n, у =x- 2n, у = 3√x, (x– a) 2 + (у –b) 2 = r 2 та інші. Існують правила побудови графіків цих функцій. Мені стало цікаво, чи є ще функції, що підкоряються цим правилам.

Моя робота полягає у дослідженні графіків функцій та графічному вирішенні рівнянь.

1. Які бувають функції

Графік функції – це безліч усіх точок координатної площини, абсциси яких дорівнюють значенням аргументів, а ординати – відповідним значенням функції.

Лінійна функція задається рівнянням у =kx+ b, де kі b- Деякі числа. Графік цієї функції є пряма.

Функція зворотної пропорційності у =k/ xде k ¹ 0. Графік цієї функції називається гіперболою.

Функція (x– a) 2 + (у –b) 2 = r2 , де а, bі r- Деякі числа. Графіком цієї функції є коло радіуса r із центром у т. а ( а, b).

Квадратична функція y= ax2 + bx+ cде а,b, з– деякі числа та а¹ 0. Графіком цієї функції є парабола.

Рівняння у2 (a– x) = x2 (a+ x) . Графіком цього рівняння буде крива, яка називається строфоїдою.

/>Рівняння (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Графік цього рівняння називається лемніскатою Бернуллі.

Рівняння. Графік цього рівняння називається астроідою.

Крива (x2 y2 - 2 a x)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Ця крива називається кардіоїдою.

Функції: у =x 3 – кубічна парабола, у =x 4, у = 1/x 2.

2. Поняття рівняння, його графічного розв'язання

Рівняння- Вираз, що містить змінну.

Вирішити рівняння- Це означає знайти все його коріння, або довести, що їх немає.

Корінь рівняння- Це число, при підстановці якого в рівняння виходить вірна числова рівність.

Розв'язання рівнянь графічним способомдозволяє знайти точне чи наближене значення коренів, дозволяє знайти кількість коренів рівняння.

При побудові графіків та розв'язанні рівнянь використовуються властивості функції, тому метод частіше називають функціонально-графічним.

Для вирішення рівняння «ділимо» на дві частини, вводимо дві функції, будуємо їх графіки, знаходимо координати точок перетину графіків. Абсциси цих точок і є корінням рівняння.

3. Алгоритм побудови графіка функції

Знаючи графік функції у =f(x) , можна побудувати графіки функцій у =f(x+ m) ,у =f(x)+ lі у =f(x+ m)+ l. Всі ці графіки виходять із графіка функції у =f(x) за допомогою перетворення паралельного перенесення: на │ m│ одиниць масштабу вправо або вліво вздовж осі x і на │ l│ одиниць масштабу вгору або вниз вздовж осі y.

4. Графічне розв'язання квадратного рівняння

Приклад квадратичної функції ми розглянемо графічне рішення квадратного рівняння. Графіком квадратичної функції парабола.

Що знали про параболі стародавні греки?

Сучасна математична символіка виникла у 16 ​​столітті.

У давньогрецьких математиків ні координатного методу, ні поняття функції не було. Проте властивості параболи були вивчені ними докладно. Винахідливість античних математиків просто вражає уяву, адже вони могли використовувати лише креслення та словесні описи залежностей.

Найбільш повно досліджував параболу, гіперболу та еліпс Аполоній Пергський, який жив у 3 столітті до н. Він же дав цим кривим назви і вказав, яким умовам задовольняють точки, що лежать на тій чи іншій кривій (адже формул не було!).

Існує алгоритм побудови параболи:

Знаходимо координати вершини параболи А (х0; у0): х=- b/2 a;

y0=ахо2+вх0+с;

Знаходимо вісь симетрії параболи (пряма х = х0);

PAGE_BREAK--

Складаємо таблицю значень для побудови контрольних точок;

Будуємо отримані точки і побудуємо точки їм симетричні щодо осі симетрії.

1. За алгоритмом збудуємо параболу y= x2 – 2 x– 3 . Абсциси точок перетину з віссю xі є коріння квадратного рівняння x2 – 2 x– 3 = 0.

Існує п'ять способів графічного розв'язання цього рівняння.

2. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 і y= 2 x+ 3

3. Розіб'ємо рівняння на дві функції: y= x2 –3 і y=2 x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

4. Перетворимо рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 за допомогою виділення повного квадрата на функції: y= (x–1) 2 і y=4. Коріння рівняння – абсциси точок перетину параболи із прямою.

5. Розділимо почленно обидві частини рівняння x2 – 2 x– 3 = 0 на x, отримаємо x– 2 – 3/ x= 0 , Розіб'ємо дане рівняння на дві функції: y= x– 2, y= 3/ x. Коріння рівняння – абсциси точок перетину прямої та гіперболи.

5. Графічне вирішення рівнянь ступеняn

приклад 1.Вирішити рівняння x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Відповідь: x = 1.

приклад 2.Вирішити рівняння 3 √ x= 10 – x.

Корінням цього рівняння є абсциса точки перетину графіків двох функцій: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Відповідь: x = 8.

Висновок

Розглянувши графіки функцій: у =ax2 + bx+ c, у =k/ x, у = √x, у =|x|, у =x 3, у =x 4,у = 3√x, я помітила, що всі ці графіки будуються за правилом паралельного перенесення щодо осей xі y.

Приклад рішення квадратного рівняння можна зробити висновки, що графічний спосіб застосовний і для рівнянь ступеня n.

Графічні способи розв'язання рівнянь красиві та зрозумілі, але не дають стовідсоткової гарантії розв'язання будь-якого рівняння. Абсциси точок перетину графіків можуть бути наближеними.

У 9 класі і в старших класах я ще знайомитимуся з іншими функціями. Мені цікаво знати: чи підпорядковуються ті функції правилам паралельного перенесення при побудові їх графіків.

Наступного року мені також хочеться розглянути питання графічного вирішення систем рівнянь і нерівностей.

Література

1. Алгебра. 7 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх закладів/А.Г. Мордкович. М: Мнемозіна, 2007.

2. Алгебра. 8 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх закладів/А.Г. Мордкович. М: Мнемозіна, 2007.

3. Алгебра. 9 клас. Ч. 1. Підручник для загальноосвітніх закладів/А.Г. Мордкович. М.: Мнемозіна, 2007.

4. Глейзер Г.І. Історія математики у школі. VII-VIII класи. - М.: Просвітництво, 1982.

5. Журнал Математика №5 2009; №8 2007; №23 2008.

6. Графічне розв'язання рівнянь сайти в Інтернеті: Тол ВІКІ; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; pege 3-6.htm.

Міністерство освіти та молодіжної політики Ставропольського краю

Державна бюджетна професійна освітня установа

Георгіївський регіональний коледж "Інтеграл"

ІНДИВІДУАЛЬНИЙ ПРОЕКТ

З дисципліни « Математика: алгебра, початки математичного аналізу, геометрія»

На тему: "Графічне вирішення рівнянь та нерівностей"

Виконав студент групи ПК-61, який навчається за фахом

"Програмування в комп'ютерних системах"

Целлер Тимур Віталійович

Керівник: викладач Сєркова Н.А.

Дата здачі:« » 2017р.

Дата захисту:« » 2017р.

Георгіївськ 2017р.

ПОЯСНЮВАЛЬНА ЗАПИСКА

МЕТА ПРОЕКТУ:

Ціль: З'ясувати переваги графічного способу розв'язання рівнянь та нерівностей.

Завдання:

Порівняти аналітичний та графічний спосіб розв'язання рівнянь та нерівностей.

Ознайомитись у яких випадках графічний спосіб має переваги.

Розглянути рішення рівнянь із модулем та параметром.

Актуальність дослідження: Аналіз матеріалу, присвяченого графічному рішенню рівнянь і нерівностей у навчальних посібниках «Алгебра та початку математичного аналізу» різних авторів, облік цілей вивчення цієї теми. Також обов'язкових результатів навчання, пов'язаних з аналізованою темою.

Зміст

Вступ

1. Рівняння з параметрами

1.1. Визначення

1.2. Алгоритм рішення

1.3. Приклади

2. Нерівності з параметрами

2.1. Визначення

2.2. Алгоритм рішення

2.3. Приклади

3. Застосування графіків у вирішенні рівнянь

3.1. Графічне розв'язання квадратного рівняння

3.2. Системи рівнянь

3.3. Тригонометричні рівняння

4. Застосування графіків у розв'язанні нерівностей

5.Висновок

6. Список літератури

Вступ

Вивчення багатьох фізичних процесів та геометричних закономірностей часто призводить до вирішення задач з параметрами. Деякі ВНЗ також включають до екзаменаційних квитків рівняння, нерівності та їх системи, які часто бувають дуже складними та потребують нестандартного підходу до вирішення. У школі цей один із найважчих розділів шкільного курсу математики розглядається лише на нечисленних факультативних заняттях.

Готуючи цю роботу, я ставив за мету більш глибокого вивчення цієї теми, виявлення найбільш раціонального рішення, що швидко приводить до відповіді. На мій погляд графічний метод є зручним та швидким способом розв'язання рівнянь та нерівностей з параметрами.

У моєму проекті розглянуті типи рівнянь, нерівностей та їх систем, що часто зустрічаються.

1. Рівняння з параметрами

1. Основні визначення

Розглянемо рівняння

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

де a, b, c, …, k, x-змінні величини.

Будь-яка система значень змінних

а = а 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

при якій і ліва і права частини цього рівняння набувають дійсних значень, називається системою допустимих значень змінних a, b, c, …, k, x. Нехай А - множина всіх допустимих значень а, B - множина всіх допустимих значень b, і т.д., Х - множина всіх допустимих значень х, тобто. аА, bB, …, xX. Якщо кожного з множин A, B, C, …, K вибрати і зафіксувати відповідно за одним значенням a, b, c, …, k і підставити в рівняння (1), то отримаємо рівняння щодо x, тобто. рівняння з одним невідомим.

Змінні a, b, c, …, k, які при вирішенні рівняння вважаються постійними, називаються параметрами, а саме рівняння називається рівнянням, що містить параметри.

Параметри позначаються першими літерами латинського алфавіту: a, b, c, d, …, k, l, m, n, а невідомі – літерами x, y, z.

Вирішити рівняння з параметрами означає вказати, при яких значеннях параметрів існують рішення і які вони.

Два рівняння, що містять одні й самі параметри, називаються рівносильними, якщо:

а) вони мають сенс при тих самих значеннях параметрів;

б) кожне рішення першого рівняння є рішенням другого та навпаки.

1. Алгоритм рішення

Знаходимо область визначення рівняння.

Висловлюємо як функцію від х.

У системі координат хОа будуємо графік функції а=(х) тим значень х, які входять у область визначення даного рівняння.

Знаходимо точки перетину прямий а=с, де с(-;+) з графіком функції а=(х).Якщо пряма а=с перетинає графік а=(х), то визначаємо абсциси точок перетину. Для цього достатньо розв'язати рівняння а=(х) щодо х.

Записуємо відповідь.

1. Приклади

I. Вирішити рівняння

(1)

Рішення.

Оскільки х=0 не є коренем рівняння, можна дозволити рівняння щодо а:

або

Графік функції - дві "склеєних" гіперболи. Кількість рішень вихідного рівняння визначається кількістю точок перетину побудованої лінії та прямої у=а.

Якщо а  (-;-1](1;+) , то пряма у=а перетинає графік рівняння (1) в одній точці.

Таким чином, у цьому проміжку рівняння (1) має рішення.

Якщо а  , то пряма у=а перетинає графік рівняння (1) у двох точках. Абсциси цих точок можна знайти з рівнянь і, отримуємо

в.

Якщо а  , то пряма у=а не перетинає графік рівняння (1), отже, рішень немає.

Відповідь:

Якщо а  (-;-1](1;+), то;

Якщо а  , то ;

Якщо а , то рішень немає.

ІІ. Знайти всі значення параметра а, при яких рівняння має три різні корені.

Рішення.

Переписавши рівняння у вигляді і розглянувши пару функцій, можна помітити, що значення параметра шукані а і тільки вони будуть відповідати тим положенням графіка функції, при яких він має точно три точки перетину з графіком функції.

У системі координат хОу збудуємо графік функції). Для цього можна уявити її у вигляді і, розглянувши чотири випадки, що виникають, запишемо цю функцію у вигляді

Оскільки графік функції – це пряма, що має кут нахилу до осі Ох, рівний, і вісь Оу, що перетинає, в точці з координатами (0 , а), укладаємо, що три зазначені точки перетину можна отримати лише у випадку, коли ця пряма стосується графіка функції. Тому знаходимо похідну

Відповідь: .

ІІІ. Знайти всі значення параметра а, при кожному з яких система рівнянь

має рішення.

Рішення.

Отже, це рівняння задає сімейство “напівпарабол” - праві гілки параболи “ковзають” вершинами по осі абсцис.

Виділимо в лівій частині другого рівняння повні квадрати і розкладемо її на множники

Безліч точок площини, що задовольняють друге рівняння, є дві прямі

З'ясуємо, при яких значеннях параметра крива з сімейства “напівпарабол” має хоча б одну загальну точку з однією з отриманих прямих.

Якщо вершини напівпарабол знаходяться правіше точки А, але лівіше точки В (точка відповідає вершині тієї “напівпараболи”, яка стосується

прямий), то розглянуті графіки немає загальних точок. Якщо вершина "напівпараболи" збігається з точкою А, то.

Випадок торкання "напівпараболи" з прямою визначимо з умови існування єдиного рішення системи

У цьому випадку рівняння

має один корінь, звідки знаходимо:

Отже, вихідна система не має рішень при, а при або має хоча б одне рішення.

Відповідь: а  (-;-3] (;+).

IV. Вирішити рівняння

Рішення.

Використавши рівність, задане рівняння перепишемо у вигляді

Це рівняння рівносильне системі

Рівняння перепишемо у вигляді

. (*)

Останнє рівняння найпростіше вирішити, використовуючи геометричні міркування. Побудуємо графіки функцій і З графіка слід, що з графіки не перетинаються і, отже, рівняння немає рішень.

Якщо, то при графіку функцій збігаються і, отже, значення є рішеннями рівняння (*).

При графіки перетинаються в одній точці, абсцис якої. Таким чином, при рівнянні (*) має єдине рішення - .

Досліджуємо тепер, за яких значень а знайдені рішення рівняння (*) задовольнятимуть умовам

Нехай тоді. Система набуде вигляду

Її рішенням буде проміжок х (1; 5). Враховуючи, що, можна зробити висновок, що при вихідному рівнянні задовольняють усі значення х з проміжку вихідна нерівність рівносильна вірній числовій нерівності 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

На інтегралі (1;+∞) знову отримуємо лінійну нерівність 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Однак той же результат можна отримати з наочних і в той же час строгих геометричних міркувань. На малюнку 7 побудовано графіки функцій:y= f( x)=| x-1|+| x+1 | іy=4.

Малюнок 7.

На інтегралі (-2; 2) графік функціїy= f(x) розташований під графіком функції у = 4, а це означає, що нерівністьf(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II ) Нерівності з параметрами.

Розв'язання нерівностей з одним або декількома параметрами являє собою, як правило, більш складну задачу в порівнянні з завданням, в якій параметри відсутні.

Наприклад, нерівність √а+х+√а-х>4, що містить параметр а, природно, вимагає для свого вирішення набагато більше зусиль, ніж нерівність √1+х + √1-х>1.

Що означає вирішити першу з цих нерівностей? Це, по суті, означає вирішити не одну нерівність, а цілий клас, безліч нерівностей, які виходять, якщо надавати параметру а конкретні числові значення. Друге з виписаних нерівностей є окремим випадком першого, оскільки виходить із нього при значенні а=1.

Таким чином, вирішити нерівність, що містить параметри, це означає визначити, при яких значеннях параметрів нерівність має рішення і для всіх значень параметрів знайти всі рішення.

Приклад1:

Розв'язати нерівність |х-а|+|х+а|< b, a<>0.

Для вирішення цієї нерівності з двома параметрамиa u bскористаємося геометричними міркуваннями. На малюнку 8 та 9 побудовано графіки функцій.

Y= f(x)=| x- a|+| x+ a| u y= b.

Очевидно, що приb<=2| a| прямаy= bпроходить не вище горизонтального відрізка кривоїy=| x- a|+| x+ a| і, отже, нерівність у разі немає рішень (рисунок 8). Якщо жb>2| a|, то прямаy= bперетинає графік функціїy= f(x) у двох точках (-b/2; b) u (b/2; b)(рисунок 6) і нерівність у цьому випадку справедливо при –b/2< x< b/2,оскільки за цих значеннях змінної криваy=| x+ a|+| x- a| розташована під прямоюy= b.

Відповідь: Якщоb<=2| a| , то рішень немає,

Якщоb>2| a|, тоx €(- b/2; b/2).

III) Тригонометричні нерівності:

При розв'язанні нерівностей із тригонометричними функціями суттєво використовується періодичність цих функцій та їх монотонність на відповідних проміжках. Найпростіші тригонометричні нерівності. Функціяsin xмає позитивний період 2? Тому нерівності виду:sin x>a, sin x>=a,

sin x

Достатньо вирішити спочатку на якомусь відрізку довжини 2π . Безліч всіх рішень отримаємо, додавши до кожного зі знайдених на цьому відрізку рішень числа 2π п, пЄZ.

Приклад 1: Розв'язати нерівністьsin x>-1/2.(рисунок 10)

Спочатку вирішимо це нерівність на отрезке[-π/2;3π/2]. Розглянемо його ліву частину - відрізок [-π/2;3π/2].Тут рівнянняsin x=-1/2 має одне рішення х=-π/6; а функціяsin xмонотонно зростає. Значить, якщо -π/2<= x<= -π/6, то sin x<= sin(- π /6)=-1/2, тобто. ці значення х розв'язками нерівності не є. Якщо ж –π/6<х<=π/2 то sin x> sin(-π/6) = -1/2. Всі ці значення не є рішеннями нерівності.

На відрізку, що залишився [π/2;3π/2] функціяsin xмонотонно зменшується і рівнянняsin x= -1/2 має одне рішення х = 7 / 6. Отже, якщо π/2<= x<7π/, то sin x> sin(7π/6)=-1/2, тобто. всі ці значення є рішеннями нерівності. ДляxЄ маємоsin x<= sin(7π/6)=-1/2, ці значення х рішеннями не є. Таким чином, безліч усіх розв'язків цієї нерівності на відрізку [-π/2;3π/2] є інтеграл (-π/6;7π/6).

Через періодичність функціїsin xз періодом 2π значення х із будь-якого інтеграла виду: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, також є рішеннями нерівності. Жодні інші значення х рішеннями цієї нерівності не є.

Відповідь: -π/6+2πn< x<7π/6+2π n, деnЄ Z.

Висновок

Ми розглянули графічний метод розв'язання рівнянь та нерівностей; розглянули конкретні приклади, під час вирішення яких використовували такі властивості функцій, як монотонність і парність.Аналіз наукової літератури, підручників математики дозволив структурувати відібраний матеріал відповідно до цілей дослідження, підібрати та розробити ефективні методи вирішення рівнянь та нерівностей. У роботі представлений графічний метод розв'язання рівнянь та нерівностей та приклади, в яких використовуються дані методи. Результатом проекту вважатимуться творчі завдання, як допоміжний матеріал у розвиток навички розв'язання рівнянь і нерівностей графічним методом.

Список використаної літератури

Далінгер В. А. "Геометрія допомагає алгебри". Видавництво "Школа - Прес". Москва 1996 р.

Далінгер В. А. "Все для забезпечення успіху на випускних та вступних іспитах з математики". Видавництво Омського педуніверситету. Київ 1995 р.

Окунєв А. А. "Графічне рішення рівнянь з параметрами". Видавництво "Школа - Прес". Москва 1986 р.

Письменський Д. Т. "Математика для старшокласників". Видавництво "Айріс". Москва 1996 р.

Ястрибінецький Г. А. "Рівнянь і нерівності, що містять параметри". Видавництво "Освіта". Москва 1972 р.

Г. Корн і Т.Корн "Довідник з математики". Видавництво "Наука" фізико-математична література. Москва 1977 р.

Амелькін В. В. та Рабцевич В. Л. "Завдання з параметрами" . Видавництво "Асар". Мінськ 1996 р.

Інтернет ресурси

Графічний метод одна із основних методів розв'язання квадратних нерівностей. У статті наведемо алгоритм застосування графічного методу, а потім розглянемо окремі випадки на прикладах.

Суть графічного методу

Метод застосовується для вирішення будь-яких нерівностей, не тільки квадратних. Суть його ось у чому: праву і ліву частини нерівності розглядають як дві окремі функції y = f (x) і y = g (x) , їх графіки будують у прямокутній системі координат і дивляться, який з графіків розташовується вище за інше, і на яких проміжках. Оцінюються проміжки в такий спосіб:

Визначення 1

• рішеннями нерівності f (x) > g (x) є інтервали, де графік функції f вище графіка функції g;
• рішеннями нерівності f (x) ≥ g (x) є інтервали, де графік функції f не нижче графіка функції g ;
• рішеннями нерівності f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• рішеннями нерівності f (x) ≤ g (x) є інтервали, де графік функції f не вище графіка функції g ;
• абсциси точок перетину графіків функцій f і g є рішеннями рівняння f(x) = g(x).

Розглянемо наведений вище алгоритм з прикладу. Для цього візьмемо квадратну нерівність a · x 2 + b · x + c< 0 (≤ , >, ≥) та виведемо з нього дві функції. Ліва частина нерівності відповідатиме y = a · x 2 + b · x + c (при цьому f (x) = a · x 2 + b · x + c), а права y = 0 (при цьому g (x) = 0).

Графіком першої функції є парабола, друга пряма лінія, яка збігається з віссю абсцис Ох. Проаналізуємо положення параболи щодо осі Ох. Для цього виконаємо схематичний рисунок.

Гілки параболи спрямовані нагору. Вона перетинає вісь Ох у точках x 1і x 2. Коефіцієнт а в даному випадку позитивний, оскільки саме він відповідає за напрямок гілок параболи. Дискримінант позитивний, що вказує на наявність двох коренів у квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c. Коріння тричлена ми позначили як x 1і x 2, причому прийняли, що x 1< x 2 , так як на осі Ох зобразили крапку з абсцисою x 1лівіше точки з абсцисою x 2.

Частини параболи, розташовані вище за осі Ох позначимо червоним, нижче – синім. Це дозволить нам зробити малюнок наочнішим.

Виділимо проміжки, які відповідають цим частинам та відзначимо їх на малюнку полями певного кольору.

Червоним ми відзначили проміжки (− ∞ , x 1) та (x 2 , + ∞) , на них парабола вище за осю О х. Вони є a x 2 + b x x c > 0 . Синім ми відзначили проміжок (x 1 , x 2) , який є рішенням нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Зробимо короткий запис рішення. При a > 0 та D = b 2 − 4 · a · c > 0 (або D " = D 4 > 0 при парному коефіцієнті b) ми отримуємо:

• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c > 0 є (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) або в іншому записі x< x 1 , x >x 2;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≥ 0 є (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) або в іншому записі x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• розв'язанням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≤ 0 є [ x 1 , x 2 ] або в іншому записі x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

де x 1 і x 2 – коріння квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c, причому x 1< x 2 .

На цьому малюнку парабола стосується осі O х тільки в одній точці, яка позначена як x 0 a > 0. D = 0, отже, квадратний тричлен має один корінь x 0.

Парабола розташована вище за осі O х повністю, за винятком точки торкання координатної осі. Позначимо кольором проміжки (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Запишемо результати. При a > 0і D = 0:

• вирішенням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c > 0є (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) або в іншому записі x ≠ x 0;
• вирішенням квадратної нерівності a · x 2 + b · x + c ≥ 0є (− ∞ , + ∞) або в іншому записі x ∈ R ;
• квадратна нерівність a · x 2 + b · x + c< 0 немає рішень (немає інтервалів, у яких парабола розташована нижче осі O x);
• квадратна нерівність a · x 2 + b · x + c ≤ 0має єдине рішення x = x 0(його дає точка торкання),

де x 0- корінь квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c.

Розглянемо третій випадок, коли гілки параболи спрямовані вгору і не торкаються осі O x. Гілки параболи спрямовані вгору, що означає, що a > 0. Квадратний тричлен не має дійсних коренів, оскільки D< 0 .

На графіку немає інтервалів, на яких парабола була б нижчою від осі абсцис. Це ми враховуватимемо при виборі кольору для нашого малюнка.

Виходить, що за a > 0і D< 0 розв'язанням квадратних нерівностей a · x 2 + b · x + c > 0і a · x 2 + b · x + c ≥ 0є безліч усіх дійсних чисел, а нерівності a · x 2 + b · x + c< 0 і a · x 2 + b · x + c ≤ 0немає рішень.

Нам залишилося розглянути три варіанти, коли гілки параболи спрямовані вниз. На цих трьох варіантах можна не зупинятися докладно, тому що при множенні обох частин нерівності на -1 ми отримуємо рівносильну нерівність з позитивним коефіцієнтом при х2.

Розгляд попереднього розділу статті підготував нас до сприйняття алгоритму розв'язання нерівностей із використанням графічного способу. Для проведення обчислень нам необхідно буде щоразу використовувати креслення, на якому буде зображено координатну пряму O х і параболу, яка відповідає квадратичній функції y = a · x 2 + b · x + c. Ось O у ми в більшості випадків зображати не будемо, тому що для обчислень вона не потрібна і лише перевантажуватиме креслення.

Для побудови параболи нам необхідно знати дві речі:

Визначення 2

• напрям гілок, що визначається значенням коефіцієнта a;
• наявність точок перетину параболи та осі абсцис, які визначаються значенням дискримінанта квадратного тричлена a · x 2 + b · x + c.

Точки перетину та торкання ми будемо позначати звичайним способом при розв'язанні нестрогих нерівностей та порожніми при розв'язанні суворих.

Наявність готового креслення дозволяє перейти до наступного кроку рішення. Він передбачає визначення проміжків, на яких парабола розташовується вище або нижче за осі O х. Проміжки та точки перетину є рішенням квадратної нерівності. Якщо точок перетину чи торкання немає і немає інтервалів, то вважається, що задана в умовах завдання нерівність не має розв'язків.

Тепер розв'яжемо кілька квадратних нерівностей, використовуючи наведений вище алгоритм.

Приклад 1

Необхідно вирішити нерівність 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 графічним способом.

Рішення

Намалюємо графік квадратичної функції y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2. Коефіцієнт при x 2позитивний, оскільки дорівнює 2 . Це означає, що гілки параболи будуть спрямовані нагору.

Обчислимо дискримінант квадратного тричлена 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 для того, щоб з'ясувати, чи парабола з віссю абсцис має загальні точки. Отримуємо:

D = 5 1 3 2 - 4 · 2 · (- 2) = 400 9

Як бачимо, D більше за нуль, отже, у нас є дві точки перетину: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 · 2 і x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 · 2 , тобто, x 1 = − 3і x 2 = 13.

Ми вирішуємо несувору нерівність, отже проставляємо на графіку звичайні точки. Малюємо параболу. Як бачите, малюнок має такий самий вигляд як і в першому розглянутому нами шаблоні.

Наша нерівність має знак ≤. Отже, нам потрібно виділити проміжки на графіку, на яких парабола розташована нижче за осі O x і додати до них точки перетину.

Потрібний інтервал − 3 , 1 3 . Додаємо до нього точки перетину та отримуємо числовий відрізок − 3 , 1 3 . Це і є вирішення нашого завдання. Записати відповідь можна у вигляді подвійної нерівності: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Відповідь:− 3 , 1 3 або − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Приклад 2

− x 2 + 16 · x − 63< 0 графічним методом.

Рішення

Квадрат змінної має негативний числовий коефіцієнт, тому гілки параболи будуть спрямовані вниз. Обчислимо четверту частину дискримінанта D " = 8 2 − (− 1) · (− 63) = 64 − 63 = 1. Такий результат підказує нам, що точок перетину буде дві.

Обчислимо коріння квадратного тричлена: x 1 = - 8 + 1 - 1 і x 2 = - 8 - 1 - 1 , x 1 = 7 x 2 = 9.

Виходить, що парабола перетинає вісь абсцис у точках. 7 і 9 . Зазначимо ці точки на графіку порожніми, оскільки ми працюємо із суворою нерівністю. Після цього намалюємо параболу, яка перетинає вісь O х у зазначених точках.

Нас цікавитимуть проміжки, на яких парабола розташовується нижче за осю O х. Зазначимо ці інтервали синім кольором.

Отримуємо відповідь: розв'язанням нерівності є проміжки (− ∞ , 7) , (9 , + ∞) .

Відповідь:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) або в іншому записі x< 7 , x > 9 .

У тих випадках, коли дискримінант квадратного тричлена дорівнює нулю, необхідно уважно підходити до питання про те, чи варто включати у відповідь абсцис точки торкання. Щоб прийняти правильне рішення, необхідно враховувати знак нерівності. У строгих нерівностях точка торкання осі абсцис не є розв'язком нерівності, у нестрогих є.

Приклад 3

Розв'яжіть квадратну нерівність 10 · x 2 − 14 · x + 4, 9 ≤ 0графічним методом.

Рішення

Гілки параболи в даному випадку будуть спрямовані нагору. Вона стосуватиметься осі O х у точці 0 , 7 , оскільки

Побудуємо графік функції y = 10 · x 2 − 14 · x + 4 , 9. Її гілки спрямовані вгору, оскільки коефіцієнт при x 2позитивний, і вона стосується осі абсцис у точці з абсцисою 0 , 7 , так як D " = (-7) 2 - 10 · 4, 9 = 0, звідки x 0 = 7 10 або 0 , 7 .

Поставимо крапку та намалюємо параболу.

Ми вирішуємо сувору нерівність зі знаком ≤. Отже. Нас цікавитимуть проміжки, на яких парабола розташовується нижче за осі абсцис і точку торкання. На малюнку немає інтервалів, які б задовольняли нашим умовам. Є лише точка торкання 0,7. Це і є потрібне рішення.

Відповідь:Нерівність має лише одне рішення 0,7.

Приклад 4

Розв'яжіть квадратну нерівність – x 2 + 8 · x − 16< 0 .

Рішення

Гілки параболи спрямовані вниз. Дискримінант дорівнює нулю. Точка перетину x 0 = 4.

Відзначаємо точку торкання осі абсцис і малюємо параболу.

Ми маємо справу зі суворою нерівністю. Отже, нас цікавлять інтервали, на яких парабола розташована нижче за осю O х. Зазначимо їх синім.

Точка з абсцисою 4 не є рішенням, так як в ній парабола не розташована нижче за осі O x . Отже, ми отримуємо два інтервали (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Відповідь: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) або в іншому записі x ≠ 4 .

Не завжди при негативне значеннядискримінанта нерівність не матиме рішень. Є випадки, коли рішенням буде безліч всіх дійсних чисел.

Приклад 5

Розв'яжіть квадратну нерівність 3 · x 2 + 1 > 0 графічним способом.

Рішення

Коефіцієнт а позитивний. Дискримінант негативний. Гілки параболи будуть спрямовані нагору. Точка перетину параболи з віссю O х немає. Звернемося до малюнка.

Ми працюємо із суворою нерівністю, яка має знак > . Це означає, що нас цікавлять проміжки, на яких парабола розташовується вище за осі абсцис. Це саме той випадок, коли відповіддю є безліч усіх дійсних чисел.

Відповідь:(− ∞ , + ∞) або так x ∈ R .

Приклад 6

Необхідно знайти розв'язання нерівності − 2 · x 2 − 7 · x − 12 ≥ 0графічним способом.

Рішення

Гілки параболи спрямовані вниз. Дискримінант негативний, отже, загальних точок параболи та осі абсцис немає. Звернемося до малюнка.

Ми працюємо з несуворою нерівністю зі знаком ≥ , отже, інтерес для нас представляють проміжки, на яких парабола розташовується вище за осі абсцис. Зважаючи на графік, таких проміжків немає. Це означає, що ця умова завдання нерівність немає рішень.

Відповідь:Нема рішень.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter