Regionalna naučno-praktična konferencija Sekcija Matematika Aleksandrova Kristina, Alekseeva Valerija Opštinska budžetska obrazovna ustanova "Kovalinskaya srednja škola" 8. razred Rukovodilac: Nikolaeva I.M., nastavnik matematike u opštinskoj obrazovnoj ustanovi "Kovalinskaya srednja škola" Urmary, 2012. Sadržaj istraživački rad : 1. Uvod. 2. Relevantnost odabrane teme. 3. Cilj i zadaci 4. Poligoni 5. Pravilni poligoni 1). Magični kvadrati 2). Tangram 3). Zvjezdasti poligoni 6. Poligoni u prirodi 1). Saće 2). Pahulja 7. Poligoni oko nas 1). Parket 2). Teselacija 3). Patchwork 4). Ornament, vez, pletenje 5). Geometrijsko rezbarenje 8. Primjeri iz stvarnog života 1). Prilikom izvođenja obuka 2). Značenja proricanja sudbine kafe 3). Hiromantija - gatanje rukom 4). Zadivljujući poligon 5) Pi i pravilni poligoni 9. Pravilni poligoni u arhitekturi 1). Arhitektura Moskve i drugih gradova svijeta. 2). Arhitektura grada Čeboksarija 3). Arhitektura sela Kovali 10. Zaključak. 11. Zaključak. Uvod Početkom prošlog veka veliki francuski arhitekta Korbizje jednom je uzviknuo: „Sve okolo je geometrija!“ Danas, na početku 21. veka, ovaj usklik možemo ponoviti sa još većim čuđenjem. U stvari, pogledajte okolo - geometrija je svuda! Geometrijska znanja i vještine, geometrijska kultura i razvoj danas su stručno značajni za mnoge moderne specijalnosti, za dizajnere i konstruktore, za radnike i naučnike. Važno je da je geometrija fenomen univerzalne ljudske kulture. Osoba se ne može istinski kulturno i duhovno razvijati ako nije učila geometriju u školi; geometrija je nastala ne samo iz praktičnih, već i iz duhovnih potreba čovjeka. Geometrija je cijeli svijet koji nas okružuje od rođenja. Uostalom, sve što vidimo oko sebe na ovaj ili onaj način se odnosi na geometriju, ništa ne promiče njegovom pažljivom pogledu. Geometrija pomaže čovjeku da hoda svijetom širom otvorenih očiju, uči ga da pažljivo gleda oko sebe i vidi ljepotu običnih stvari, da gleda i razmišlja, razmišlja i donosi zaključke. „Matematičar, baš kao i umjetnik ili pjesnik, stvara obrasce. A ako su njegovi obrasci stabilniji, to je samo zato što su sastavljeni od ideja... Obrasci matematičara, baš kao i obrasci umetnika ili pesnika, moraju biti lepi; ideja, baš kao i boje ili riječi, moraju biti harmonične jedna s drugom. Ljepota je prvi uslov: na svijetu nema mjesta za ružnu matematiku.” Relevantnost odabrane teme Na časovima geometrije ove godine smo naučili definicije, karakteristike i svojstva različitih poligona. Mnogi predmeti oko nas imaju oblik sličan već poznatim geometrijskim oblicima. Površine cigle ili komada sapuna sastoje se od šest strana. Sobe, ormari, ladice, stolovi, armirano-betonski blokovi svojim oblikom podsjećaju na pravokutni paralelepiped, čiji su rubovi poznati četverouglovi. Poligoni nesumnjivo imaju ljepotu i vrlo se široko koriste u našim životima. Poligoni su nam važni, bez njih ne bismo mogli graditi tako lijepe građevine, skulpture, freske, grafike i još mnogo toga. Matematika posjeduje ne samo istinu, već i najvišu ljepotu – izoštrenu i strogu, uzvišeno čistu i težnju za istinskim savršenstvom, što je svojstveno samo najvećim primjerima umjetnosti. Za temu „Poligoni” sam se zainteresovao nakon časa - igre, gdje nam je učiteljica postavila zadatak - bajku o izboru kralja. Svi poligoni su se okupili na šumskoj čistini i počeli raspravljati o izboru svog kralja. Dugo su se svađali i nisu mogli doći do zajedničkog mišljenja. A onda je jedan stari paralelogram rekao: „Idemo svi u kraljevstvo poligona. Ko god dođe prvi, biće kralj.” Rano ujutro svi su krenuli na dalek put. Putnici su na putu sreli rijeku na kojoj je pisalo: „Samo oni čije se dijagonale sijeku i tačkom ukrštanja dijele na pola, preplivat će me neke figure, a ostale su sigurno plivale i kretale on. Na putu su sreli visoku planinu, na kojoj je pisalo da će proći samo oni sa jednakim dijagonalama. Nekoliko putnika je ostalo na planini, ostali su nastavili put. Stigli smo do velike litice gdje je bio uski most. Most je rekao da će omogućiti prolaz onima čije se dijagonale seku pod pravim uglom. Preko mosta je prešao samo jedan poligon, koji je prvi stigao do kraljevstva i proglašen kraljem. Tako su izabrali kralja. Odabrao sam i temu za svoj istraživački rad. Svrha istraživačkog rada: Praktična primjena poligona u svijetu oko nas. Ciljevi: 1. Izvršiti pregled literature na tu temu. 2. Pokažite praktičnu primjenu pravilnih poligona u svijetu oko nas. Problematično pitanje: Koje mjesto poligoni zauzimaju u našim životima? Metode istraživanja: Prikupljanje i strukturiranje prikupljenog materijala u različitim fazama istraživanja. Izrada crteža i crteža; fotografije. Predviđena praktična primena: Sposobnost primene stečenih znanja u svakodnevnom životu, prilikom izučavanja tema iz drugih predmeta. Upoznavanje i obrada literarnog materijala, podataka sa interneta, susret sa meštanima sela. Faze istraživačkog rada: · izbor teme istraživanja od interesa, · diskusija o planu istraživanja i međurezultata, · rad sa različitim izvorima informacija; · međukonsultacije sa nastavnikom, · javni nastup sa prezentacijom materijala za prezentaciju. Korišćena oprema: Digitalni fotoaparat, multimedijalna oprema. Hipoteza: Poligoni stvaraju ljepotu u ljudskom okruženju. Tema rada: Svojstva poligona u svakodnevnom životu, životu, prirodi. Napomena: Sav završeni rad sadrži ne samo informativni, već i naučni materijal. Svaki dio ima kompjutersku prezentaciju koja ilustruje svako područje istraživanja. Eksperimentalna baza. Uspješan završetak istraživačkog rada olakšan je časom u krugu „Geometrija oko nas“ i časovima geometrije, geografije i fizike. Kratak literarni prikaz: O poligonima smo učili na časovima geometrije. Uz to, saznali smo iz knjige Y.I. Perelmana „Zabavna geometrija“, časopisa „Matematika u školi“, novina „Matematika“, enciklopedijskog rečnika mladog matematičara koji je uređivao B.V. Gnedenko. Neki podaci preuzeti su iz časopisa “Čitaj, uči, igraj”. Mnogo informacija se dobija sa interneta. Lični doprinos: Kako bi svojstva poligona povezali sa životom, počeli smo da razgovaramo sa učenicima i nastavnicima čiji su se bake i dede ili drugi rođaci bavili rezbarenjem, vezom, pletenjem, patchworkom itd. Od njih smo dobili vrijedne informacije. Sadržaj istraživačkog rada: Poligoni Odlučili smo da proučavamo geometrijske oblike koji se nalaze oko nas. Zainteresovavši se za problem, napravili smo plan rada. Odlučili smo da proučimo: upotrebu poligona u praktičnim ljudskim aktivnostima. Da bismo odgovorili na postavljena pitanja, morali smo: razmišljati sami, pitati drugu osobu, konsultovati knjige, vršiti zapažanja. Odgovore na pitanja tražili smo u knjigama. - Koje smo poligone proučavali? Da bismo odgovorili na pitanje, izvršili smo opservaciju. - Gde mogu ovo da vidim? Nastava je održana vannastavna aktivnost iz matematike „Parada četvorougla“, gde su učili o svojstvima četvorouglova. Geometrija u arhitekturi. Moderna arhitektura hrabro koristi razne geometrijske oblike. Mnoge stambene zgrade ukrašene su stupovima. U konstrukcijama katedrala i mostova mogu se vidjeti geometrijske figure različitih oblika. Geometrija u prirodi. U samoj prirodi postoji mnogo divnih geometrijskih oblika. Poligoni koje je stvorila priroda su nevjerovatno lijepi i raznoliki. I. Pravilni poligoni Geometrija je drevna nauka i prvi proračuni su napravljeni prije više od hiljadu godina. Drevni ljudi su na zidovima pećina pravili ukrase od trouglova, rombova i krugova. Od davnina su pravilni poligoni smatrani simbolom ljepote i savršenstva. S vremenom je čovjek naučio da koristi svojstva figura u praktičnom životu. Geometrija u svakodnevnom životu. Zidovi, pod i plafon su pravougaoni. Mnoge stvari liče na kvadrat, romb, trapez. Od svih poligona sa zadatim brojem stranica, oku je najprijatniji pravilni poligon, u kojem su sve stranice jednake i svi uglovi jednaki. Jedan od ovih poligona je kvadrat, ili drugim riječima, kvadrat je pravilan četverougao. Kvadrat se može definirati na nekoliko načina: kvadrat je pravougaonik u kojem su sve strane jednake, a kvadrat je romb u kojem su svi uglovi pravi. Iz školskog predmeta geometrije znamo: kvadrat ima sve stranice jednake, svi uglovi su pravi, dijagonale su jednake, međusobno okomite, tačka preseka je podeljena na pola, a uglovi kvadrata su podeljeni na pola. Kvadrat ima red zanimljiva svojstva . Tako, na primjer, ako je potrebno ograditi četverokutnu površinu najveće površine ogradom određene dužine, tada biste trebali odabrati ovo područje u obliku kvadrata. Kvadrat ima simetriju, što mu daje jednostavnost i određeno savršenstvo oblika: kvadrat služi kao standard za mjerenje površina svih figura. U knjizi “The Amazing Square” B.A. Kordemsky i N.V. Rusalyov detaljno prikazuje dokaze nekih svojstava kvadrata, daje primjer „savršenog kvadrata“ i rješenje jednog problema rezanja kvadrata arapskog matematičara Abul Vefe iz 10. stoljeća. Knjiga I. Lehmana “Fascinantna matematika” sadrži nekoliko desetina problema, uključujući neke stare hiljadama godina. Za potpuno razumijevanje konstrukcije savijanjem kvadratnog lista papira koristio sam knjigu I.N. Sergejev “Primijeni matematiku”. Ovdje možete navesti brojne kvadratne zagonetke: magični kvadrati, tangrami, pentomino, tetromino, poliomino, želudac, origami. Želim da pričam o nekima od njih. 1. Magični kvadrati Sveti, magični, tajanstveni, misteriozni, savršeni... Čim su pozvani. "Ne znam ništa ljepše u aritmetici od ovih brojeva, koje jedni nazivaju planetarnim, a drugi magijom", napisao je o njima poznati francuski matematičar, jedan od tvoraca teorije brojeva, Pjer de Ferma. Privlačne prirodne ljepote, ispunjene unutrašnjim skladom, pristupačne, ali ipak neshvatljive, skrivaju mnoge tajne iza svoje prividne jednostavnosti... Upoznajte magične kvadrate - nevjerovatne predstavnike imaginarnog svijeta brojeva. Magični kvadrati su nastali u davna vremena u Kini. Vjerovatno "najstariji" od magičnih kvadrata koji su nam dospjeli je Lo Shu tablica (oko 2200. godine prije nove ere). Veličine je 3x3 i ispunjen je prirodnim brojevima od 1 do 9. 2. Tangram Tangram je svjetski poznata igra bazirana na drevnim kineskim zagonetkama. Prema legendi, prije 4 hiljade godina, jednom čovjeku je ispala keramička pločica iz ruku i raspala se na 7 komada. Uzbuđen, pokušao je da ga prikupi svojim štapom. Ali od novokomponovanih delova svaki put sam dobijao nove zanimljive slike. Ova aktivnost se ubrzo pokazala toliko uzbudljivom i zagonetnom da je kvadrat sastavljen od sedam geometrijskih oblika nazvan Daska mudrosti. Ako isečete kvadrat, dobijate popularnu kinesku slagalicu TANGRAM, koja se u Kini zove “chi tao tu”, tj. mentalna slagalica od sedam delova. Naziv "tangram" nastao je u Evropi najvjerovatnije od riječi "tan", što znači "kineski" i korijena "gram". Kod nas je danas uobičajen pod imenom “Pitagora” 3. Zvjezdasti poligoni Pored uobičajenih pravilnih poligona, postoje i zvjezdani poligoni. Izraz "zvezda" ima zajednički korijen sa riječju "zvijezda", a to ne ukazuje na njegovo porijeklo. Zvjezdani pentagon se naziva pentagram. Pitagorejci su izabrali petokraku zvijezdu kao talisman; ona je smatrana simbolom zdravlja i služila je kao identifikacijski znak. Postoji legenda da je jedan od Pitagorejaca bio bolestan u kući stranaca. Pokušali su da ga izvuku, ali bolest nije popuštala. Bez sredstava da plati liječenje i njegu, pacijent je prije smrti tražio od vlasnika kuće da nacrta petokraku na ulazu, uz obrazloženje da će ovim znakom biti ljudi koji će ga nagraditi. I zapravo, nakon nekog vremena, jedan od putujućih Pitagorejaca primijetio je zvijezdu i počeo pitati vlasnika kuće kako se pojavila na ulazu. Nakon priče vlasnika, gost ga je velikodušno nagradio. Pentagram je bio dobro poznat u starom Egiptu. Ali usvojen je direktno kao amblem zdravlja samo u staroj Grčkoj. Upravo nam je morska petokraka "sugerirala" zlatni rez. Taj omjer je kasnije nazvan „zlatni omjer“. Tamo gde je prisutna oseća se lepota i harmonija. Dobro građen čovek, statua, veličanstveni Partenon stvoren u Atini takođe podležu zakonima zlatnog preseka. Da, sav ljudski život treba ritam i harmoniju. 4. Zvjezdasti poliedri Zvjezdasti poliedar je divno lijepo geometrijsko tijelo, čija kontemplacija pruža estetski užitak. Mnoge oblike zvjezdastih poliedara sugerira sama priroda. Snježne pahulje su poliedri u obliku zvijezde. Poznato je nekoliko hiljada razne vrste pahulje. Ali Louis Poinsot je uspio otkriti dva druga zvjezdasta poliedra 200 godina kasnije. Stoga se zvjezdasti poliedri sada nazivaju Kepler-Poinsotova tijela. Uz pomoć poliedara u obliku zvijezde, neviđeni kosmički oblici upadaju u dosadnu arhitekturu naših gradova. Neobični poliedar „Zvezda” doktora umetnosti V. N. Gamajunova inspirisao je arhitektu V. A. Somova da napravi projekat za Nacionalnu biblioteku u Damasku. Poznata je knjiga velikog Johanesa Keplera “Harmonija svijeta”, a u svom djelu “O heksagonalnim snježnim pahuljama” on je napisao: “Konstrukcija pentagona je nemoguća bez proporcije koju moderni matematičari nazivaju “božanskim”. Otkrio je prva dva pravilna zvjezdasta poliedra. Poliedri u obliku zvijezde su vrlo dekorativni, što im omogućava široku primjenu u industriji nakita u proizvodnji svih vrsta nakita. Koriste se i u arhitekturi. Zaključak: Pravilnih poliedara je alarmantno malo, ali ova vrlo skromna četa uspjela je ući u same dubine raznih nauka. Zvjezdani poliedar je zadivljujuće lijepo geometrijsko tijelo, čija kontemplacija pruža estetski užitak. Drevni ljudi su vidjeli ljepotu na zidovima pećina u šarama trouglova, rombova i krugova. Od davnina su pravilni poligoni smatrani simbolom ljepote i savršenstva. Pentagon u obliku zvijezde - pentagram se smatrao simbolom zdravlja i služio je kao identifikacijska oznaka Pitagorejaca. II. Poligoni u prirodi 1. Saće Pravilni poligoni se nalaze u prirodi. Jedan primjer je saće, koje je poligon prekriven pravilnim šesterokutima. Naravno, nisu učili geometriju, ali priroda ih je obdarila talentom da grade kuće u obliku geometrijskih oblika. Na ovim šesterokutima pčele uzgajaju ćelije iz voska. Pčele u njih talože med, a zatim ih ponovo prekrivaju čvrstim pravougaonikom od voska. Zašto su pčele odabrale šestougao? Da biste odgovorili na ovo pitanje, morate uporediti perimetre različitih poligona koji imaju istu površinu. Neka su dati pravilan trougao, kvadrat i pravilan šestougao. Koji od ovih poligona ima najmanji obim? Neka je S površina svake od navedenih figura, a stranica a n odgovarajući pravilni trokut. Da bismo uporedili perimetre, zapisujemo njihov odnos: P3: P4: P6 = 1: 0,877: 0,816 Vidimo da od tri pravilna poligona sa istom površinom, pravilni šestougao ima najmanji obim. Stoga mudre pčele štede vosak i vrijeme za izgradnju saća. Matematičke tajne pčela tu se ne završavaju. Zanimljivo je dalje istraživati ​​strukturu saća. Pametne pčele ispunjavaju prostor tako da ne ostane praznina, štedeći 2% voska. Kako se ne složiti sa mišljenjem Pčele iz bajke „Hiljadu i jedna noć“: „Moja kuća je sagrađena po zakonima najstrože arhitekture. I sam Euklid je mogao naučiti iz geometrije mog saća.” Tako smo, uz pomoć geometrije, dotakli tajnu matematičkih remek-djela od voska, još jednom se uvjerili u sveobuhvatnu djelotvornost matematike. Dakle, pčele su, ne znajući matematiku, ispravno „odredile“ da pravilni šestougao ima najmanji obim među figurama jednake površine. U našem selu živi pčelar Nikolaj Mihajlovič Kuznjecov. Pčelama se bavi od ranog djetinjstva. Objasnio je da pri gradnji saća pčele instinktivno nastoje da budu što veće, a da pritom koriste što manje voska. Heksagonalni oblik je najekonomičniji i najefikasniji oblik za konstrukciju saća. Zapremina ćelije je oko 0,28 cm3. Prilikom izgradnje saća, pčele koriste Zemljino magnetsko polje kao vodič. Ćelije saća su trut, med i leglo. Razlikuju se po veličini i dubini. Med - dublje, trut - šire. 2. Pahuljica. Pahulja je jedno od najljepših stvorenja prirode. Prirodna heksagonalna simetrija proizlazi iz svojstava molekule vode, koja ima heksagonalnu kristalnu rešetku koja se drži zajedno vodoničnim vezama, što joj omogućava da ima strukturni oblik sa minimalnom potencijalnom energijom u hladnoj atmosferi. Ljepota i raznolikost geometrijskih oblika pahuljica još uvijek se smatra jedinstvenim prirodnim fenomenom. Matematičare je posebno zapanjila „mala bela tačka“ koja se nalazi u sredini pahulje, kao da je to trag noge kompasa kojim se ocrtava njen obim. Veliki astronom Johanes Kepler u svojoj raspravi “Novogodišnji dar o heksagonalnim snježnim pahuljama” objasnio je oblik kristala voljom Boga. Japanski naučnik Nakaya Ukichiro nazvao je snijeg "pismom s neba, napisanim tajnim hijeroglifima". On je bio prvi koji je stvorio klasifikaciju pahulja. Jedini svetski muzej pahuljica, koji se nalazi na ostrvu Hokaido, nazvan je po Nakaiju. Zašto su pahulje heksagonalne? Hemija: U kristalnoj strukturi leda, svaka molekula vode učestvuje u 4 vodonične veze usmerene na vrhove tetraedra pod strogo definisanim uglovima jednakim 109°28" (dok je u strukturama leda I, Ic, VII i VIII ovaj tetraedar pravilan ). U središtu ovog tetraedra nalazi se atom kisika, na dva vrha nalazi se atom vodika, čiji elektroni sudjeluju u formiranju kovalentne veze s kisikom. Dva preostala vrha zauzimaju parovi valentnih elektrona kiseonika, koji ne učestvuju u formiranju intramolekularnih veza. Sada postaje jasno zašto je kristal leda heksagonalni. Glavna karakteristika koja određuje oblik kristala je veza između molekula vode, slična povezanosti karika u lancu. Osim toga, zbog različitih omjera topline i vlage, kristali, koji bi u principu trebali biti isti, poprimaju različite oblike. Sudarajući se sa superohlađenim malim kapljicama na svom putu, pahulja pojednostavljuje svoj oblik uz zadržavanje simetrije. Geometrija: Formativno načelo nije odabralo pravilan šestougao ne iz nužde određene osobinama materije i prostora, već samo zbog njegove inherentne osobine da potpuno pokrije ravan, bez ijedne praznine, i da bude najbliži krugu od svih figure koje imaju isto svojstvo. Nastavnica fizike – L.N. Sofronova Na temperaturama ispod 0°C, vodena para se odmah pretvara u čvrsto stanje i umjesto kapljica nastaju kristali leda. Glavni kristal vode ima oblik pravilnog šestougla u ravnini. Potom se na vrhove takvog šestougla talože novi kristali, na njih se talože novi kristali i tako dobijamo one različite oblike zvijezda – pahulje, koji su nam poznati. Nastavnik matematike – Nikolaeva I.M. Od svih pravilnih geometrijskih figura, samo trokuti, kvadrati i šesterokuti mogu ispuniti ravan bez ostavljanja praznina, pri čemu pravilni šestougao pokriva najveću površinu. Zimi imamo dosta snijega. Zato je priroda izabrala heksagonalne pahulje kako bi zauzimale manje prostora. Nastavnica hemije – Maslova N.G. Heksagonalni oblik pahuljica objašnjava se molekularnom strukturom vode, ali na pitanje zašto su pahulje ravne još nije odgovoreno. E. Jevtušenko u svojoj pesmi izražava lepotu pahulja. Od snježnih pahulja do leda, Legao je na zemlju i na krovove, obasjavajući sve bjelinom. I bio je zaista veličanstven, I bio je zaista prelep... III. Poligoni oko nas “Umjetnost ornamenta sadrži u implicitnom obliku najstariji dio više matematike koji nam je poznat” Herman Weyl. 1. Parketni gušteri, koje je prikazao holandski umjetnik M. Escher, formiraju, kako matematičari kažu, „parket“. Svaki gušter dobro pristaje uz svoje susjede bez i najmanjeg zazora, poput pločica na parketu. Pravilna podjela ravni, nazvana "mozaik", je skup zatvorenih figura koji se mogu koristiti za popločavanje ravnine bez sjecišta figura i praznina između njih. Obično matematičari koriste jednostavne poligone, poput kvadrata, trokuta, šesterokuta, osmerokuta ili kombinacije ovih figura, kao oblike za izradu mozaika. Prekrasni parketi su napravljeni od pravilnih poligona: trokuta, kvadrata, peterokuta, šesterokuta, osmougla. Na primjer, krugovi ne mogu formirati parket. Parket je oduvijek smatran simbolom prestiža i dobrog ukusa. Upotreba vrijednih vrsta drveta za proizvodnju luksuznog parketa i korištenje različitih geometrijskih uzoraka daju prostoriji sofisticiranost i respektabilnost. Istorija samog umjetničkog parketa je vrlo stara - datira otprilike iz 12. stoljeća. Tada su se počeli pojavljivati ​​novi trendovi tog vremena u plemićkim i plemićkim dvorcima, palatama, dvorcima i porodičnim imanjima – monogrami i heraldičke oznake na podu dvorana, dvorana i predvorja, kao znak posebne pripadnosti moćnicima. . Prvi umjetnički parket postavljen je prilično primitivno, sa moderne tačke gledišta - od običnih drvenih komada koji su odgovarali boji. Danas je dostupno formiranje složenih ornamenata i kombinacija mozaika. To se postiže zahvaljujući visokoj preciznosti laserskog i mehaničkog rezanja. Početkom 19. stoljeća, umjesto dotjeranih linija dizajna parketa, pojavljuju se jednostavne linije, čiste konture i pravilni geometrijski oblici, a u kompozicionoj strukturi se pojavljuje stroga simetrija. Sve težnje u dekorativnoj umjetnosti usmjerene su na prikazivanje heroizma i jedinstvenog smisla klasične antike. Parket je dobio strogi geometrijski karakter: sad čvrste dame, čas krugovi, sad kvadrati ili poligoni s podjelom na uske pruge u različitim smjerovima. U novinama tog vremena mogli su se naći oglasi u kojima se predlaže odabir parketa upravo ovog dizajna. Karakterističan parket ruskih klasika 19. veka je parket koji je dizajnirao arhitekta Voronihin u kući Stroganov na Nevskom prospektu. Cijeli parket se sastoji od velikih štitova s ​​precizno ponovljenim koso postavljenim kvadratima, na čijim su nišama skromno date rozete sa četiri latice, lagano iscrtane grafemima. Najtipičniji parketi početkom XIX stoljeća su parketi arhitekte C. Rossija. Gotovo svi crteži u njima odlikuju se velikim lakonizmom, ponavljanjem, geometrijom i jasnom podjelom s ravnim ili kosim letvicama koje su ujedinile cijeli parket stana. Arhitekta Stasov odabrao je parket koji se sastoji od jednostavnih oblika kvadrata i poligona. U svim Stasovljevim projektima osjeća se ista strogost kao i Rosijeva, ali potreba za izvođenjem restauratorskih radova, koji su mu pali na sud nakon požara palate, čini ga svestranijim i širim. Baš kao i Rosijev, Stasovljev parket u Plavom salonu Katarininske palate izgrađen je od jednostavnih kvadrata spojenih horizontalnim, vertikalnim ili dijagonalnim letvicama, formirajući velike ćelije koje svaki kvadrat dijele na dva trougla. Geometričnost se primećuje i na parketima biblioteke Marije Fjodorovne, gde samo raznolikost boja parketa - ružino drvo, amarant, mahagonij, ružino drvo, itd. - donosi neku animaciju. Preovlađujuća boja parketa je mahagonij, na kojem stranice pravokutnika i kvadrata daje drvo kruške, uokvireno tankim slojem ebanovine, što daje još veću jasnoću i linearnost cijeloj šari. Javor na cijelom parketu obilno je dat u obliku traka, hrastovog lišća, rozeta i jonita. Svi ovi parketi nemaju glavni središnji uzorak, svi se sastoje od ponavljajućih geometrijskih motiva. Sličan parket je sačuvan u bivša kuća Jusupov u Sankt Peterburgu. Arhitekte Stasov i Brjulov obnovili su stanove Winter Palace Nakon požara 1837. Stasov je kreirao parkete Zimskog dvorca u svečanom, monumentalnom i zvaničnom stilu ruskih klasika 30-ih godina 19. veka. Boje parketa također su odabrane isključivo klasične. U odabiru parketa, kada nije bilo potrebno kombinirati parket sa šarom stropa, Stasov je ostao vjeran svojim principima kompozicije. Na primjer, parket galerije iz 1812. odlikuje se svojom suhom i svečanom veličanstvenošću, što je postignuto ponavljanjem jednostavnih geometrijskih oblika uokvirenih frizom. 2. Teselacije Teselacije, poznate i kao popločavanje, su kolekcije oblika koje pokrivaju čitavu matematičku ravan, uklapajući se bez preklapanja ili praznina. Redovne teselacije se sastoje od figura u obliku pravilnih poligona, kada su kombinovani, svi uglovi imaju isti oblik. Postoje samo tri poligona pogodna za upotrebu u regularnim teselacijama. To su pravilan trokut, kvadrat i pravilan šesterokut. Poluregularne teselacije su one u kojima se koriste pravilni poligoni dva ili tri tipa i svi vrhovi su isti. Postoji samo 8 polupravilnih teselacija. Zajedno, tri pravilne teselacije i osam polupravilnih nazivaju se arhimedovskim. Teselacija, u kojoj su pojedinačne pločice prepoznatljive figure, jedna je od glavnih tema Escherovog rada. Njegove bilježnice sadrže više od 130 varijacija teselacija. Koristio ih je u velikom broju svojih slika, uključujući “Dan i noć” (1938), seriju slika “Granica kruga” I-IV i čuvene “Metamorfoze” I-III (1937-1968) . Primjeri u nastavku su slike savremenih autora Holistera Davida i Roberta Fathauera. 3. Patchwork od poligona Ako se pruge, kvadrati i trouglovi mogu napraviti bez posebne pripreme i bez vještina korištenjem šivaće mašine, tada će poligoni zahtijevati puno strpljenja i vještine od nas. Mnogi jorgandžije radije sklapaju poligone ručno. Život svake osobe je svojevrsno patchwork platno, gdje se svijetli i magični trenuci izmjenjuju sa sivim i mračnim danima. Postoji parabola o patchworku. „Jedna žena je došla mudracu i rekla: „Učitelju, imam sve: i muža, i djecu, i kuću – punu čašu, ali sam počela razmišljati: zašto se sve ovo raspao, sve nije radost!” Mudrac ju je saslušao, razmislio o tome i savjetovao joj da pokuša da sašije svoj život. Žena je ostavila mudraca u nedoumici, ali je pokušala. Uzela je iglu i konac i zašila komadić svojih sumnji na komadić plavog neba koje je vidjela na prozoru svoje sobe. Njen mali unuk se nasmijao, a ona je prišila komadić smijeha na svoje platno. I tako je krenulo. Ptica zapjeva - i još jedan komad će te uvrijediti do suza - još jedan. Patchwork tkanina je korištena za izradu ćebadi, jastuka, salveta i torbica. I svi do kojih su došli osjetili su kako im se u duši nasele komadići topline, i nikad više nisu bili usamljeni, i život im se nikad nije činio prazan i beskorisan.” To se može vidjeti u radovima Larise Nikolaevne Gorshkove. Ona strastveno radi kreirajući patchwork jorgane, prekrivače, ćilime, crpeći inspiraciju iz svakog svog rada. 4. Ornament, vez i pletenje. 1). Ornament Ornament je jedan od najstarijih vidova ljudske vizuelne delatnosti, koji je u dalekoj prošlosti nosio simboličko magijsko značenje, određenu simboliku. Dizajn je bio gotovo isključivo geometrijski, sastojao se od strogih oblika kruga, polukruga, spirale, kvadrata, romba, trokuta i njihovih različitih kombinacija. Drevni čovjek je svoje ideje o strukturi svijeta obdario određenim znakovima. Uz sve to, ornamentist ima širok opseg pri odabiru motiva za svoju kompoziciju. Njih u izobilju dostavljaju mu dva izvora - geometrija i priroda. Na primjer, krug je sunce, kvadrat je zemlja. 2). Vez Vez je jedna od glavnih vrsta čuvaške narodne ukrasne umjetnosti. Moderni Čuvaški vez, njegova ornamentika, tehnika i shema boja genetski su povezani s umjetničkom kulturom naroda Čuvaša u prošlosti. Umjetnost vezenja ima dugu istoriju. Iz generacije u generaciju, uzorci i sheme boja su se usavršavali i poboljšavali, a nastajali su uzorci veza s karakterističnim nacionalnim obilježjima. Vez naroda naše zemlje odlikuje se velikom originalnošću, bogatstvom tehničkih tehnika i shemama boja. Svaki narod je, ovisno o lokalnim prilikama, posebnostima života, običajima i prirodi, stvarao vlastite tehnike veza, motive šara i njihovu kompozicionu strukturu. U ruskom vezenju, na primjer, veliku ulogu igraju geometrijski uzorci i geometrijski oblici biljaka i životinja: rombovi, motivi ženska figura , ptice, kao i leopard sa podignutom šapom. Sunce je prikazano u obliku dijamanta, ptica je simbolizirala dolazak proljeća, itd. Od velikog su interesa vezovi naroda regije Volga: Mari, Mordovci i Chuvash. Vezovi ovih naroda imaju mnoge zajedničke karakteristike. Razlike su u motivima šara i njihovoj tehničkoj izvedbi. Uzorci veza sastavljeni od geometrijskih oblika i visoko geometrijskih motiva. Stari Čuvaški vez je izuzetno raznolik. Različite vrste su korištene u proizvodnji odjeće, posebno platnenih košulja. Košulja je bila bogato ukrašena vezom na grudima, porubu, rukavima i leđima. I stoga, vjerujem da bi čuvaški nacionalni vez trebao početi opisom ženske košulje kao najšarenije i bogato ukrašene ornamentima. Na ramenima i rukavima ove vrste košulje nalazi se vez geometrijskih, stiliziranih biljnih, a ponekad i životinjskih uzoraka. Vez na ramenu se po prirodi razlikuje od vezenja na rukavima i kao nastavak je veza na ramenu. Na jednoj od starih košulja, vez zajedno sa prugama od pletenice, koji se spušta od ramena, spušta se i završava na grudima pod oštrim uglom. Trake su raspoređene u obliku rombova, trokuta i kvadrata. Unutar ovih geometrijskih figura nalazi se sitni mrežasti vez, a uz vanjski rub su izvezene velike figure u obliku kuke i zvijezde. Takvi vezovi su sačuvani u kući Nikolajevih. Izvezla ih je Denisova Praskovya Petrovna, moja rođaka. Druga vrsta ženskog rukotvorina je heklanje. Žene su od davnina plele mnogo i neumorno. Ova vrsta rukotvorina nije ništa manje uzbudljiva od vezenja. Evo jednog od radova Tamare Fedorovne. Podijelila je sa nama svoja sjećanja na to kako su svaku djevojku u selu učili da šije krst na platnu i satenu, te plete. Po broju pletenih šavova, po stvarima ukrašenim vezom i čipkom, djevojka je ocijenjena kao nevjesta i buduća domaćica. Obrasci šivanja su bili različiti, prenosili su se s generacije na generaciju, izmislile su ih same majstorice. Cvjetni motiv, geometrijski oblici, gusti stupovi, pokrivene i nepokrivene rešetke ponavljaju se u ušivom ornamentu. Sa 89 godina, Tamara Fedorovna se bavi heklanjem. Evo njenih rukotvorina. Plete za djecu, rodbinu i komšije. Čak i prima naređenja. Zaključak: Znajući o poligonima i njihovim vrstama, možete stvoriti vrlo lijepe ukrase. I sva ta ljepota nas okružuje. Ljudi već dugo imaju potrebu da ukrašavaju kućne predmete. 5. Geometrijsko rezbarenje Desilo se da je Rusija zemlja šuma. A takav plodan materijal kao što je drvo uvijek je bio pri ruci. Uz pomoć sjekire, noža i još nekih pomoćnih alata čovjek je sebi obezbjeđivao sve što je potrebno za: život: podizao stambene i gospodarske zgrade, mostove i vjetrenjače, zidine i kule tvrđave, crkve, pravio mašine i alate, brodove i čamci, sanke i kolica, namještaj, posuđe, dječje igračke i još mnogo toga. U praznicima i slobodnim satima zabavljao je dušu svojim razigranim melodijama na drvenim muzičkim instrumentima: balalajkama, lulama, violinama i zviždaljkama. A glasni drveni rog bio je neizostavan pratilac seoskog pastira Uz pjesmu roga počeo je radni vijek ruskog sela. Čak su i genijalne i pouzdane brave za vrata napravljene od drveta. Jedan od ovih dvoraca čuva se u Državnom istorijskom muzeju u Moskvi. Izradio ga je majstor drvoprerađivač još u 18. vijeku, s ljubavlju ukrašenim trouglastim rezbarijama! (Ovo je jedno od naziva geometrijskih rezbarija.) Geometrijske rezbarije su jedna od najstarijih vrsta rezbarenja u drvetu, u kojoj prikazane figure imaju geometrijske oblike u raznim kombinacijama. Geometrijska rezbarija se sastoji od niza elemenata koji formiraju različite ornamentalne kompozicije. Kvadrati, trokuti, trapezi, rombovi i pravokutnici su arsenal geometrijskih elemenata koji omogućavaju stvaranje originalnih kompozicija s bogatom igrom svjetla i sjene. Ovu lepotu sam video od detinjstva. Moj deda, Mihail Jakovlevič Jakovljev, radio je kao nastavnik tehnologije u školi Kovalinskaya. Prema rečima moje majke, on je predavao časove rezbarenja. Ja sam ovo uradio sam. Kćerke Mihaila Jakovljeviča sačuvale su njegova djela. Kutija je poklon za najstariju unuku za njen 16. rođendan. Kutija za backgammon za najstarijeg unuka. Postoje stolovi, ogledala, ramovi za fotografije. Majstor se potrudio da svakom proizvodu doda komadić ljepote. Prije svega, velika pažnja je posvećena obliku i proporcijama. Za svaki proizvod odabrano je drvo uzimajući u obzir njegova fizička i mehanička svojstva. Ako je sama prekrasna tekstura drveta mogla ukrasiti proizvode, onda su je pokušali identificirati i naglasiti. IV. Primjeri iz života Želio bih navesti još nekoliko primjera primjene znanja o poligonima u našim životima. 1/Prilikom izvođenja treninga: Poligone crtaju ljudi koji su prilično zahtjevni prema sebi i drugima, koji postižu uspjeh u životu ne samo zahvaljujući pokroviteljstvu, već i vlastitom snagom. Kada poligoni imaju pet, šest ili više uglova, a povezani su ukrasima, onda možemo reći da ih je nacrtala emotivna osoba koja ponekad donosi intuitivne odluke. 2/Značenje proricanja sudbine kafe: Ako nema četvorougla, ovo je loš znak, upozorenje na buduće nevolje. Pravilan četvorougao je najbolji znak. Vaš život će biti srećan, a vi ćete biti finansijski sigurni i imati profit. Sumirajte svoj rad na kontrolnom listu i dajte sebi konačnu ocjenu. Četvorokut je prostor na dlanu između linije glave i linije srca. Naziva se i ručnim stolom. Ako je sredina četverokuta široka sa strane palca, a još šira sa strane dlana, to ukazuje na vrlo dobru organizaciju i kompoziciju, istinitost, vjernost i općenito sretan život. 3/ Hiromantija - proricanje sudbine rukom Lik četvorougla (ima i drugi naziv - „ručni sto“) nalazi se između linija srca, uma, sudbine i Merkura (jetre). U slučaju slabe ekspresije ili potpunog odsustva potonjeg, njegovu funkciju obavlja Apollo linija. Četvorokut velike veličine, pravilnog oblika, jasnih granica i pruža se prema brdu Jupiter ukazuje na dobro zdravlje i dobar karakter. Takvi ljudi su spremni da se žrtvuju zarad drugih, otvoreni su, nelicemerni, zbog čega ih drugi poštuju. Ako je četverokut širok, život osobe će biti ispunjen raznim radosnim događajima, imat će mnogo prijatelja. Previše skromna veličina četvorougla ili zakrivljenost stranica jasno govori da je osoba koja ga ima infantilna, neodlučna, sebična, a njena senzualnost je nerazvijena. Obilje malih linija unutar četvorougla dokaz je ograničenja uma. Ako je unutar figure vidljiv križ u obliku "x", to ukazuje na ekscentričnost osobe koja se ispituje i loš je znak. Križ koji ima ispravan oblik ukazuje na to da je sklon zanimanju za misticizam. 1. Zadivljujući poligon Pored teorije čija, principa jina i janga i Taoa, postoji još jedan fundamentalni koncept u učenju feng šuija: „sveti osmougao“, nazvan ba gua. Prevedeno s kineskog, ova riječ znači "tijelo zmaja". Vođeni principima Ba Gua, možete planirati namještaj sobe tako da stvara atmosferu koja promiče maksimalnu duhovnu udobnost i materijalno blagostanje. U staroj Kini se vjerovalo da je oktogon simbol prosperiteta i sreće. Karakteristike ba-gua sektora. Karijera - Sjever Boja sektora je crna. Element koji potiče harmonizaciju je voda. Sektor je direktno povezan sa našom vrstom djelatnosti, mjestom rada, realizacijom radnog potencijala, profesionalnošću i zaradom. Uspeh ili neuspeh u ovom pogledu direktno zavisi od prosperiteta u oblasti ovog sektora. Znanje – sjeveroistok Boja sektora – plava. Element je Zemlja, ali ima prilično slab efekat. Sektor je povezan sa umom, sposobnošću razmišljanja, duhovnošću, željom za samousavršavanjem, sposobnošću asimilacije primljenih informacija, pamćenjem i životnim iskustvom. Boja porodice – Istočni sektor – zelena. Element koji potiče harmonizaciju je drvo. Pravac je povezan sa porodicom u najširem smislu te riječi. To ne znači samo vaše domaćinstvo, već i sve rođake, uključujući i daleke. Bogatstvo - jugoistok Boja sektora - ljubičasta. Element – ​​drvo – ima slab efekat. Smjer je povezan s našim finansijskim stanjem, simbolizira blagostanje i prosperitet, materijalno bogatstvo i obilje u apsolutno svim područjima. Slava - jug Boja - crvena. Element koji ovu sferu čini aktivnom je Vatra. Ovaj sektor simbolizira vašu slavu i ugled, mišljenje vaših najmilijih i poznanika. Brak - jugozapad Boja sektora je ružičasta. Element – ​​Zemlja. Sektor je povezan sa vašom voljenom osobom i simbolizira vaš odnos s njim. Ako u vašem životu trenutno ne postoji takva osoba, ovaj sektor predstavlja prazninu koja čeka da bude popunjena. Stanje pravca će vam reći kolike su vam šanse da brzo ostvarite svoj potencijal na polju ličnih odnosa. Djeca - Zapad Boja sektora je bijela. Element – ​​Metal, ali ima slab učinak. Simbolizira vašu sposobnost reprodukcije u bilo kojem području, kako fizičkom tako i duhovnom. Možemo razgovarati o djeci, kreativnom samoizražavanju, provedbi raznih planova, čiji će rezultat zadovoljiti vas i druge i poslužiti vašim poslovna kartica dalje. Između ostalog, sektor je povezan s vašom sposobnošću komunikacije i odražava vašu sposobnost da privučete ljude k sebi. Uslužni ljudi – sjeverozapad Boja sektora – siva. Element – ​​Metal. Smjer simbolizira ljude na koje se možete osloniti u teškim situacijama; pokazuje prisutnost u vašem životu onih koji mogu priskočiti u pomoć, pružiti vam podršku i postati vam korisni na jednom ili drugom području. Osim toga, sektor je povezan s putovanjima i muškom polovinom vaše porodice. Dom zdravlja Boja sektora je žuta. Ona nema određeni element, povezana je sa svim elementima u cjelinu i iz svakog uzima potreban dio energije. Područje simbolizira vaše mentalno i duhovno zdravlje, povezanost i harmoniju u svim aspektima života. 2. Pi i pravilni poligoni. 14. marta ove godine po dvadeseti put obilježiće se Dan broja Pi - neformalni praznik matematičara posvećen ovom čudnom i misterioznom broju. “Otac” praznika bio je Larry Shaw, koji je skrenuo pažnju da ovaj dan (3.14 u američkom sistemu datuma) pada, između ostalog, na Ajnštajnov rođendan. I, možda, ovo je najprikladniji trenutak da podsjetimo one koji su daleko od matematike na divna i čudna svojstva ove matematičke konstante. Interes za vrijednost broja π, koji izražava omjer obima i prečnika, pojavio se u antičko doba. Dobro poznata formula za obim L = 2 π R je takođe definicija broja π. U stara vremena se vjerovalo da je π = 3. Na primjer, to se spominje u Bibliji. U helenističko doba se vjerovalo da je tako, a ovo značenje su koristili i Leonardo da Vinci i Galileo Galilei. Međutim, obje aproksimacije su vrlo grube. Geometrijski crtež koji prikazuje krug opisan oko pravilnog šesterokuta i upisan u kvadrat odmah daje najjednostavnije procjene za π: 3< π < 4. Использование буквы π для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια Вывод: Мы ответили на вопрос: «Зачем изучать математику?» Затем, что в глубине души у каждого из нас живет тайная надежда познать себя, свой внутренний мир, совершенствовать себя. Математика дает такую возможность - через творчество, через целостное представление о мире. Восьмиугольник – символ достатка и счастья. V. Правильные многоугольники в архитектуре Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. На уроках геометрии мы узнали определения, признаки, свойства различных многоугольников. Прочитав литературу по истории архитектуры, мы пришли к такому выводу, что мир вокруг нас - это мир форм, он очень разнообразен и удивителен. Мы увидели, что здания имеют самую разнообразную форму. Нас окружают предметы быта различного вида. Изучив эту тему, мы действительно увидели, что многоугольники окружают нас повсюду. В России здания очень красивой архитектуры как исторические, так и современные, в каждом из которых можно найти различные виды многоугольников. 1. Архитектура города Москвы и других городов мира. Как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а ещё выше воздвигнута четырехугольная усечённая пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими. собор Василия Блаженного) Выразительный контраст треугольника и прямоугольника на фасаде привлекает внимание посетителей музея Гронингена (Голландия) (рис.9) Круглая, прямоугольная, квадратная – все эти формы прекрасно уживаются в здании Музея современного искусства в Сан-Франциско (США). Здание Центра современного искусства имени Жоржа Помпиду в Париже – сочетание гигантского прозрачного параллелепипеда с ажурной металлической арматурой. 2. Архитектура города Чебоксары Столица Чувашской Республики - город Чебоксары (чув. Шупашкар), расположенный на правом берегу Волги, имеет многовековую историю. В письменных источниках Чебоксары как поселение упоминаются с 1469 года – тогда русские воины остановились здесь на своем пути в Казанское ханство. Этот год принято считать временем основания города, но уже сейчас историки настаивают на пересмотре этой даты - найденные во время последних археологических раскопок материалы указывают, что Чебоксары основаны еще в 13 веке переселенцами из болгарского города Сувар. Город повсеместно славился и своим колокололитным производством – чебоксарские колокола были известны и в России, и в Европе. Развитие торговли, распространение православия и массовое крещение чувашского народа привели и к архитектурному расцвету города – город изобиловал церквями и храмами, в каждом из которых видны различные многоугольники Чебоксары – очень красивый город. В столице Чувашии удивительно переплелась новизна современного мегаполиса и старина, где выражен геометризм.. Выражено это прежде всего в архитектуре города. Причем очень гармоничное переплетение воспринимается как единый ансамбль и лишь дополняет друг друга. 3. Архитектура села Ковали Красоту и геометризм вы можете увидеть и в нашей деревне. Вот школа, которую построили 1924 году, памятник воинам – солдатам. Вывод: Без геометрии не было бы ничего, ведь все здания, которые окружают нас – это геометрические фигуры. Заключение Проведя исследования, мы пришли к выводу, что действительно, зная о многоугольниках и их видах, можно создать очень красивые предметы украшения, построить разнообразные и уникальные здания. И все это красота окружающая нас. Человеческие представления о красивом формируются под влиянием того, что человек видит в живой природе. В различных своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И мы можем сказать, что многоугольники создают красоту в искусстве, архитектуре, природе, в окружении человека. Красота - всюду. Есть она и в науке, и в особенности в её жемчужине – математике. Помните, что наука во главе с математикой откроет перед нами сказочные сокровища красоты. Список использованной литературы. 1.Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. В.В.Фирсова. М., «Мир», 1974 2. Гарднер М. Математические новеллы. Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М., «Мир», 1974. 3. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., Наука, 1966. 4. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. Пер. с польского. М., Наука, 1981. 5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для 5-6 кл. – Смоленск: Русич, 1995. 6. Яковлев И.И., Орлова Ю.Д. Резьба по дереву. М.: Искусство Интернет.

Osoba pokazuje interesovanje za poliedre kroz čitavu svoju svjesnu aktivnost - od dvogodišnjeg djeteta koje se igra drvenim kockama do zrelog matematičara. Neka od pravilnih i polupravilnih tijela javljaju se u prirodi u obliku kristala, druga - u obliku virusa koji se mogu vidjeti samo uz pomoć elektronskog mikroskopa. Šta je poliedar? Da bismo odgovorili na ovo pitanje, podsjetimo se da se sama geometrija ponekad definira kao nauka o prostoru i prostornim figurama - dvodimenzionalnim i trodimenzionalnim. Dvodimenzionalna figura se može definirati kao skup ravnih segmenata koji ograničavaju dio ravnine. Takva ravna figura naziva se poligon. Iz toga slijedi da se poliedar može definirati kao skup poligona koji ograničavaju dio trodimenzionalnog prostora. Mnogouglovi koji formiraju poliedar nazivaju se njegove strane.

Naučnike već dugo zanimaju "idealni" ili pravilni poligoni, odnosno poligoni sa jednakim stranicama i jednakim uglovima. Najjednostavniji pravilni mnogokut može se smatrati jednakostraničnim trouglom, jer ima najmanji broj stranica koje mogu ograničiti dio ravnine. Opća slika pravilnih poligona koji nas zanimaju, uz jednakostranični trokut, su: kvadrat (četiri stranice), petougao (pet stranica), šesterokut (šest stranica), osmougao (osam stranica), desetokut (deset strana) itd. Očigledno, teoretski ne postoje ograničenja za broj stranica pravilnog poligona, odnosno broj pravilnih mnogouglova je beskonačan.

Šta je pravilni poliedar? Pravilan poliedar je takav poliedar, čija su sva lica jednaka (ili podudarna, kako je uobičajeno u matematici) jedno drugom i istovremeno su pravilni mnogouglovi. Koliko pravilnih poliedara ima? Na prvi pogled, odgovor na ovo pitanje je vrlo jednostavan - onoliko koliko je pravilnih poligona, odnosno na prvi pogled se čini da je moguće napraviti pravilan poliedar čije stranice mogu biti bilo koji pravilan mnogokut. Međutim, nije. Već u Euklidovim elementima je striktno dokazano da je broj pravilnih poliedara vrlo ograničen i da postoji samo pet pravilnih poliedara čija lica mogu biti samo tri vrste pravilnih mnogouglova: trouglovi, kvadrati i petouglovi. Ovi pravilni poliedri se nazivaju Platonova tijela. Prvi od njih je tetraedar. Njegova lica su četiri jednakostranična trougla. Tetraedar ima najmanji broj strana među Platonovim telima i trodimenzionalni je analog ravnog pravilnog trougla, koji ima najmanji broj stranica među pravilnim mnogokutnicima. Reč "tetraedar" dolazi od grčkog "tetra" - četiri i "edra" - osnova. To je trouglasta piramida. Sljedeće tijelo je heksaedar, koji se naziva i kocka. Heksaedar ima šest lica, koja su kvadrati. Površine oktaedra su pravilni trouglovi i njihov broj u oktaedru je osam. Sljedeći najveći broj lica je dodekaedar. Njegova lica su petouglovi i njihov broj u dodekaedru je dvanaest. Ikosaedar zatvara pet Platonovih tijela. Njegova lica su pravilni trouglovi i njihov broj je dvadeset.

Moj rad ispituje osnovne definicije i svojstva konveksnih poliedara. Dokazano je postojanje samo pet pravilnih poliedara. Detaljno su razmotreni odnosi za pravilnu n-gonalnu piramidu i pravilni tetraedar, koji se najčešće susreću u stereometrijskim problemima. Rad sadrži veliku količinu analitičkog i ilustrativnog materijala koji se može koristiti u proučavanju pojedinih dijelova stereometrije.

Platonove studije

Platon je stvorio vrlo zanimljivu teoriju. Predložio je da atomi četiri "osnovna elementa" (zemlje, vode, vazduha i vatre), od kojih su sve stvari izgrađene, imaju oblik pravilnog poliedra: tetraedar - vatra, heksaedar (kocka) - zemlja, oktaedar - vazduh , ikosaedar - voda. Peti poliedar - dodekaedar - simbolizirao je "Veliki um" ili "Harmoniju Univerzuma". Ispostavilo se da su čestice tri elementa koji se lako pretvaraju jedan u drugi, a to su vatra, zrak i voda, sastavljene od identičnih figura - pravilnih trokuta. A zemlja, koja se značajno razlikuje od njih, sastoji se od čestica drugačijeg tipa - kocke, odnosno kvadrata. Platon je vrlo jasno objasnio sve transformacije koristeći trouglove. U nemirnom haosu, dvije čestice zraka susreću česticu vatre, odnosno dva oktaedra se susreću sa tetraedrom. Dva oktaedra imaju ukupno šesnaest lica trougla, dok tetraedar ima četiri. Ukupno dvadeset. Od dvadeset, jedan ikosaedar se lako formira, a ovo je čestica vode.

Platonova kosmologija postala je osnova takozvane ikosaedarsko-dodekaedarske doktrine, koja se od tada kao crvena nit provlači kroz svu ljudsku nauku. Suština ove doktrine je da su dodekaedar i ikosaedar tipične forme priroda u svim njenim manifestacijama, od svemira do mikrokosmosa.

Pravilni poliedri

Od davnina su pravilni poliedri privlačili pažnju naučnika, graditelja, arhitekata i mnogih drugih. Bili su zadivljeni ljepotom, savršenstvom i harmonijom ovih poliedara. Pitagorejci su te poliedre smatrali božanskim i koristili su ih u svojim filozofskim spisima o suštini svijeta. Poslednja, 13. knjiga Euklidovih čuvenih "Elemenata" posvećena je pravilnim poliedrima.

Ponovimo da se konveksni poliedar naziva regularnim ako su mu strane jednaki pravilni mnogouglovi i isti broj lica se sastaje u svakom vrhu.

Najjednostavniji takav pravilan poliedar je trouglasta piramida, čije su površine pravilni trouglovi. Tri lica se susreću na svakom tjemenu, a ovaj poliedar se naziva i tetraedar, što u prijevodu s grčkog znači "tetraedar".

Ponekad se tetraedar naziva i proizvoljna piramida. Dakle, u slučaju kada je riječ o pravilnom poliedru, reći ćemo - pravilan tetraedar.

Poliedar čija su lica pravilni trouglovi, a četiri lica se sastaju na svakom vrhu, a čija se površina sastoji od osam pravilnih trouglova naziva se oktaedar.

Poliedar u kojem se pet pravilnih trouglova sastaje na svakom vrhu, čija se površina sastoji od dvadeset pravilnih trouglova, naziva se ikosaedar.

Imajte na umu da pošto više od pet pravilnih trouglova ne može konvergirati u vrhovima konveksnog poliedra, nema drugih pravilnih poliedara čija su lica pravilni trouglovi.

Slično, budući da samo tri kvadrata mogu konvergirati na vrhovima konveksnog poliedra, onda osim kocke ne postoje drugi pravilni poliedari čija su lica kvadrati. Kocka ima šest lica i stoga se naziva heksaedar.

Poliedar čija su lica pravilni petouglovi i tri lica se sastaju na svakom vrhu. Njegova površina se sastoji od dvanaest pravilnih pentagona, naziva se dodekaedar.

Pošto se pravilni mnogouglovi sa više od pet strana ne mogu konvergirati u vrhovima konveksnog poliedra, nema drugih pravilnih poliedara, pa stoga postoji samo pet pravilnih poliedara: tetraedar, heksaedar (kocka), oktaedar, dodekaedar, ikosaedar.

Nazivi pravilnih poliedara potiču iz Grčke. U doslovnom prijevodu sa grčkog, “tetraedar”, “oktaedar”, “heksaedar”, “dodekaedar”, “ikosaedar” znači: “tetraedar”, “oktaedar”, “heksaedar”. "dodekaedar", "dvadesetedar". 13. knjiga Euklidovih elemenata posvećena je ovim prekrasnim telima. Nazivaju se i Platonovim telima, jer su zauzimala važno mjesto u Platonovom filozofskom konceptu strukture svemira.

Pogledajmo sada neka svojstva, leme i teoreme povezane s ovim figurama.

Razmotrimo poliedarski ugao sa vrhom S, u kojem su svi ravni i svi diedarski uglovi jednaki. Odaberimo tačke A1, A2, An na njegovim rubovima tako da je SA1 = SA2 = SAn. Tada tačke A1, A2, An leže u istoj ravni i vrhovi su pravilnog n-ugla.

Dokaz.

Dokažimo da sve uzastopne tačke leže u istoj ravni. Razmotrimo četiri uzastopne tačke A1, A2, A3 i A4. Piramide SA1 A2 A3 i SA2 A3 A4 su jednake, jer se mogu kombinovati kombinovanjem ivica SA2 i SA3 (naravno, uzimaju se ivice različitih piramida) i diedralnih uglova na ovim ivicama. Slično, može se pokazati da su piramide SA1 A3A4 i SA1 A2 A4 jednake, jer su im sve ivice jednake. To implicira jednakost

Iz posljednje jednakosti slijedi da je zapremina piramide A1A2A3A4 jednaka nuli, odnosno navedene četiri tačke leže u istoj ravni. To znači da svih n tačaka leže u istoj ravni, a u n-ugaoniku A1 A2 An sve stranice i uglovi su jednaki. To znači da je tačno i da je lema dokazana.

Dokažimo da postoji najviše pet različitih tipova pravilnih poliedara.

Dokaz.

Iz definicije pravilnog poliedra proizilazi da njegove strane mogu biti samo trouglovi, četverouglovi i petouglovi. Zaista, dokažimo, na primjer, da lica ne mogu biti pravilni šesterokuti. Po definiciji pravilnog poliedra, najmanje tri lica moraju se sastati na svakom vrhu. Međutim, u pravilnom šesterokutu uglovi su 120°. Ispada da je zbir tri ravna ugla konveksnog poliedarskog ugla jednak 360°, ali to je nemoguće, jer je taj zbir uvijek manji od 360°. Štaviše, lica pravilnog poliedra ne mogu se pokazati kao mnogouglovi s velikim brojem strana.

Hajde da saznamo koliko se lica može konvergirati na vrhu pravilnog poliedra. Ako su sve njegove strane pravilni trouglovi, onda ne može više od pet trouglova biti susjedno svakom vrhu, jer će u suprotnom zbir ravnih uglova u ovom vrhu biti najmanje 360°, što je, kao što smo vidjeli, nemoguće. Dakle, ako su sva lica pravilnog poliedra pravilni trouglovi, tada su tri, četiri ili pet trouglova susedni svakom vrhu. Koristeći slična razmišljanja, uvjereni smo da se na svakom vrhu pravilnog poliedra, čije su strane pravilni četverouglovi i peterokuti, konvergiraju tačno tri ivice.

Dokažimo sada da postoji samo jedan poliedar datog tipa sa fiksnom dužinom ivice. Razmotrimo, na primjer, slučaj kada su sva lica pravilni pentagoni. Pretpostavimo suprotno: neka postoje dva poliedra, čija su sva lica pravilni peterokuti sa stranicom a, a svi diedarski uglovi u svakom poliedru su međusobno jednaki. Imajte na umu da nije neophodno da su svi diedarski uglovi jednog poliedra jednaki diedralnim uglovima drugog poliedra: to je upravo ono što ćemo sada dokazati.

Kao što smo pokazali, tri ivice izlaze iz svakog vrha svakog poliedra. Neka ivice AB, AC i AD izlaze iz vrha A jednog poliedra, a ivice A1B1, A1C1 i A1D1 iz vrha A1 drugog. ABCD i A1B1C1D1 su pravilne trouglaste piramide, jer imaju jednake ivice koje dolaze iz vrhova A i A1, i ravni uglove u tim vrhovima.

Iz toga slijedi da su diedarski uglovi jednog poliedra jednaki diedralnim uglovima drugog. To znači da ako kombiniramo piramide ABCD i A1B1C1D1, tada će se i sami poliedri kombinirati. To znači da ako postoji pravilan poliedar, čija su sva lica pravilni peterokuti sa stranicom a, onda je takav poliedar jedinstven.

Preostali poliedri se tretiraju na sličan način. U slučaju kada su sva lica trokuti i četiri ili pet trokuta su susjedni svakom vrhu, treba koristiti lemu 2. 1. Iz nje slijedi da krajevi bridova koji izlaze iz jednog vrha leže u istoj ravni i služe kao vrhovi pravilnog četvorougla i petougla. Teorema je dokazana.

Imajte na umu da ova teorema ne implicira da postoji tačno pet tipova pravilnih poliedara. Teorema samo kaže da nema više od pet takvih tipova, a sada samo treba da dokažemo da ovih tipova zaista postoji pet predstavljajući svih pet tipova poliedara.

Pravilna n-gonalna piramida

Zamislite pravilnu n-ugaonu piramidu. Ovaj poliedar se često susreće u stereometrijskim problemima i stoga je od velikog interesa detaljnije i detaljnije proučavanje njegovih svojstava. Štaviše, jedan od naših pravilnih poliedara - tetraedar - je jedan od njih.

Neka je SA1A2 An pravilna n-gonalna piramida. Hajde da uvedemo sljedeću notaciju:

α je ugao nagiba bočne ivice prema ravni osnove;

β – diedarski ugao u osnovi;

γ – ravan ugao na vrhu;

δ – diedarski ugao na bočnoj ivici.

Neka je O centar osnove piramide, B sredina ivice A1A2, D tačka preseka segmenata A1A3 i OA2, C tačka bočne ivice SA2 tako da je A1CSA2, E presečna tačka segmenata SB i A1C , K presečna tačka segmenata A1A3 i OV. Neka je A1OA2=. Lako je to pokazati

Označimo i visinu piramide sa H, apotemu sa m, bočnu ivicu sa l, stranu osnove sa a, a sa r i R poluprečnike krugova upisanih u osnovu i opisanih oko nje.

Ispod su odnosi između uglova α, β, γ, δ pravilne n-gonalne piramide, formulisani u obliku teorema.

Regularni tetraedar

Njegova svojstva

Primjena relacija dobijenih u prethodnom dijelu na pravilan tetraedar omogućava nam da dobijemo niz zanimljivih relacija za potonji. U ovom odeljku ćemo predstaviti formule dobijene za ovaj konkretan slučaj, a osim toga naći ćemo i izraze za neke karakteristike pravilnog tetraedra, kao što su, na primer, zapremina, ukupna površina i slično.

Slijedeći notaciju iz prethodnog odjeljka, razmotrite pravilan tetraedar SA1A2A3 sa dužinom ruba a. Ostavimo oznake za njegove uglove iste i izračunajmo ih.

U pravilnom trouglu, dužina nadmorske visine je jednaka. Pošto je ovaj trougao pravilan, njegova visina je i simetrala i medijana. Medijane su, kao što je poznato, podijeljene sa svojom presječnom tačkom u omjeru 2:1, računajući od vrha. Nije teško pronaći presek medijana. Pošto je tetraedar pravilan, ova tačka će biti tačka O - centar pravilnog trougla A1A2A3. Osnova visine pravilnog tetraedra ispuštenog iz tačke S takođe se projektuje u tačku O. To znači. U pravilnom trouglu SA1A2, dužina apotema tetraedra je jednaka. Primijenimo Pitagorinu teoremu za Δ SBO:. Odavde.

Dakle, visina pravilnog tetraedra je jednaka.

Površina osnove tetraedra - pravilnog trokuta:

To znači da je zapremina pravilnog tetraedra:

Ukupna površina tetraedra je četiri puta veća od površine njegove osnove:

Diedarski ugao na bočnoj strani pravilnog tetraedra je očigledno jednak kutu nagiba bočne površine prema ravni baze:

Ravan ugao na vrhu pravilnog tetraedra je jednak.

Ugao nagiba bočnog rebra u odnosu na osnovnu ravninu može se naći iz:

Polumjer upisane sfere za pravilan tetraedar može se pronaći pomoću dobro poznate formule koja ga povezuje sa zapreminom i površinom ukupne površine tetraedra (imajte na umu da posljednja formula vrijedi za svaki poliedar u koji je sfera može biti upisana). U našem slučaju imamo.

Nađimo radijus opisane sfere. Središte sfere opisane oko pravilnog tetraedra leži u njegovoj visini, jer je to prava SO koja je okomita na ravan osnove i prolazi kroz njeno središte, a na ovoj pravoj mora ležati tačka jednako udaljena od svih vrhova osnove tetraedra. Neka je ovo tačka O1, onda O1S=O1A2=R. Imamo. Primijenimo Pitagorinu teoremu na trouglove BA2O1 i BO1O:

Imajte na umu da je R = 3r, r + R = H.

Zanimljivo je izračunati, odnosno ugao pod kojim je ivica pravilnog tetraedra vidljiva iz centra opisane sfere. Hajde da ga pronađemo:

Ovo je veličina koja nam je poznata iz kursa hemije: ovo je ugao između C–H veza u molekuli metana, koji se može veoma precizno izmeriti u eksperimentu, a pošto nijedan atom vodika u molekuli CH4 očigledno nije izolovan po bilo čemu, razumno je pretpostaviti da ovaj molekul ima oblik pravilnog tetraedra. Ovu činjenicu potvrđuju fotografije molekule metana dobijene pomoću elektronskog mikroskopa.

Pravilni heksaedar (kocka)

Tip lica Kvadrat

Broj lica 6

Broj rebara 12

Broj vrhova 8

Ravan ugao 90°

Zbir ravnih uglova 270 o

Postoji li centar simetrije Da (tačka presjeka dijagonala)?

Broj osi simetrije 9

Broj ravni simetrije 9

Regularni oktaedar

Broj lica 8

Broj rebara 12

Broj vrhova 6

Ravan ugao 60°

Broj ravnih uglova u vrhu 4

Zbir ravnih uglova 240°

Postoji li osa simetrije Da

Postojanje pravilnog oktaedra

Razmotrimo kvadrat ABCD i izgradimo na njemu, kao na bazi, sa obe strane njegove ravni, četvorougaone piramide, čiji su bočni rubovi jednaki stranicama kvadrata. Rezultirajući poliedar će biti oktaedar.

Da bismo ovo dokazali, moramo samo provjeriti da li su svi njegovi diedralni uglovi jednaki. Zaista, neka je O centar kvadrata ABCD. Povezivanjem tačke O sa svim vrhovima našeg poliedra, dobijamo osam trouglastih piramida sa zajedničkim vrhom O. Razmotrimo jednu od njih, na primer ABEO. AO = BO = EO i, pored toga, ove ivice su okomite u parovima. ABEO piramida je pravilna jer joj je osnova pravilan trougao ABE. To znači da su svi diedarski uglovi u osnovi jednaki. Slično, svih osam piramida sa vrhom u tački O i bazama - lica oktaedra ABCDEG - pravilne su i, štaviše, jedna drugoj. To znači da su svi diedarski uglovi ovog oktaedra jednaki, jer je svaki od njih dvostruko veći od diedarskog ugla u osnovi svake od piramida.

*Bilješka zanimljiva činjenica, vezano za heksaedar (kocka) i oktaedar. Kocka ima 6 strana, 12 ivica i 8 vrhova, a oktaedar ima 8 strana, 12 ivica i 6 vrhova. To jest, broj lica jednog poliedra jednak je broju vrhova drugog i obrnuto. Kako kažu, kocka i heksaedar su dualni jedno drugom. To se također manifestira u činjenici da ako uzmete kocku i izgradite poliedar s vrhovima u središtima njegovih lica, onda, kao što možete lako vidjeti, dobijete oktaedar. Vrijedi i obrnuto - središta površina oktaedra služe kao vrhovi kocke. Ovo je dualnost oktaedra i kocke.

Lako je zaključiti da ako uzmemo središta površina pravilnog tetraedra, opet ćemo dobiti pravilan tetraedar. Dakle, tetraedar je dualan samom sebi. *

Regularni ikosaedar

Tip lica: Pravilan trokut

Broj lica 20

Broj rebara 30

Broj vrhova 12

Ravan ugao 60°

Broj ravnih uglova u tjemenu 5

Zbir ravnih uglova 300 o

Da li postoji centar simetrije?

Broj osi simetrije Nekoliko

Broj ravni simetrije Nekoliko

Postojanje pravilnog ikosaedra

Postoji pravilan poliedar u kojem su sva lica pravilni trouglovi, a svaki vrh ima 5 ivica. Ovaj poliedar ima 20 lica, 30 ivica, 12 vrhova i naziva se ikosaedar (icosi - dvadeset).

Dokaz

Posmatrajmo oktaedar ABCDEG sa rubom 1. Odaberite tačke M, K, N, Q, L i P na njegovim ivicama AE, BE, CE, DE, AB i BC, redom, tako da je AM = EK = CN = EQ = BL = BP = x. Odaberimo x tako da su svi segmenti koji povezuju ove tačke međusobno jednaki.

Očigledno, za ovo je dovoljno zadovoljiti jednakost KM = KQ. Međutim, pošto je KEQ jednakokraki pravougaoni trokut sa kracima KE i EQ, onda. Napišimo kosinus teoremu za trougao MEK, u kojem je:

Odavde. Drugi korijen, koji je veći od 1, nije prikladan. Odabravši x na ovaj način, konstruišemo traženi poliedar. Odaberimo još šest tačaka simetričnih tačkama K, L, P, N, Q i M u odnosu na centar tetraedra i označimo ih K1, L1, P1, N1, Q1 i M1, redom. Dobijeni poliedar sa vrhovima K, L, P, N, Q, M, K1, L1, P1, N1, Q1 i M1 je traženi. Sve njegove strane su pravilni trouglovi, sa pet ivica koje izlaze iz svakog vrha. Dokažimo sada da su svi njegovi diedralni uglovi međusobno jednaki.

Da biste to učinili, imajte na umu da su svi vrhovi konstruiranog dvadesetedra jednako udaljeni od tačke O - centra oktaedra, odnosno da se nalaze na površini kugle sa središtem O. Zatim ćemo nastaviti u na isti način kao kod dokazivanja postojanja pravilnog oktaedra. Povežimo sve vrhove dvadesetedra sa tačkom O. Na potpuno isti način dokazaćemo jednakost trokutastih piramida čije su osnove lica konstruisanog poliedra i pobrinućemo se da sve Diedarski uglovi dvadesetedra duplo su veći od uglova u osnovi ovih jednakih trouglastih piramida. Prema tome, svi diedarski uglovi su jednaki, što znači da je rezultujući poliedar pravilan. Zove se ikosaedar.

Regularni dodekaedar

Pogled na lice Pentagona (pravilni pentagon)

Broj lica 12

Broj rebara 30

Broj vrhova 20

Ravan ugao 108°

Broj ravnih uglova u vrhu 3

Zbir ravnih uglova 324 o

Postoji li centar simetrije da

Broj osi simetrije Nekoliko

Broj ravni simetrije Nekoliko

Postojanje pravilnog dodekaedra

Postoji pravilan poliedar u kojem su sva lica pravilni petouglovi i 3 ivice izlaze iz svakog vrha. Ovaj poliedar ima 12 lica, 30 ivica i 20 vrhova i naziva se dodekaedar (dodeka - dvanaest).

Dokaz.

Kao što vidite, broj lica i vrhova poliedra, čije postojanje sada pokušavamo dokazati, jednak je broju vrhova i vrhova ikosaedra. Dakle, ako dokažemo postojanje poliedra o kojem se raspravlja u ovoj teoremi, onda će se sigurno pokazati da je dualan ikosaedru. Koristeći primjer kocke i oktaedra, vidjeli smo da dualne figure imaju svojstvo da vrhovi jedne od njih leže u središtima lica druge. Ovo sugerira ideju dokazivanja ove teoreme.

Uzmimo ikosaedar i razmotrimo poliedar sa vrhovima u središtima njegovih strana. Očigledno je da centri pet lica ikosaedra, koji imaju zajednički vrh, leže u istoj ravni i služe kao vrhovi pravilnog petougla (ovo se može provjeriti na način sličan onome što smo koristili u dokazu leme). Dakle, svaki vrh ikosaedra odgovara licu novog poliedra, čije su strane pravilni peterokuti, a svi uglovi diedra su jednaki. Ovo proizilazi iz činjenice da se bilo koja tri brida koja izlaze iz jednog vrha novog poliedra mogu smatrati bočnim ivicama pravilne trokutaste piramide, a sve rezultirajuće piramide su jednake (imaju jednake bočne ivice i ravne uglove između sebe, što su uglovi pravilnog petougla). Iz svega navedenog proizilazi da je rezultujući poliedar pravilan i da ima 12 lica, 30 ivica i 20 vrhova. Takav poliedar se naziva dodekaedar.

Dakle, u trodimenzionalnom prostoru postoji samo pet tipova pravilnih poliedara. Odredili smo njihov tip i ustanovili da svi poliedri imaju duale. Kocka je dual oktaedra i obrnuto. Ikosaedar u dodekaedar i obrnuto. Tetraedar je dualan samom sebi.

Ojlerova formula za pravilne poliedre

Dakle, utvrđeno je da postoji tačno pet pravilnih poliedara. Kako možemo odrediti broj ivica, lica i vrhova u njima? Ovo nije teško učiniti za poliedre s malim brojem ivica, ali kako se, na primjer, može dobiti takva informacija za ikosaedar? Čuveni matematičar L. Euler dobio je formulu B+G-P=2, koja povezuje broj vrhova /B/, lica /G/ i ivica /P/ bilo kojeg poliedra. Jednostavnost ove formule leži u činjenici da nije vezana ni za udaljenost ni za uglove. Da bismo odredili broj ivica, vrhova i lica pravilnog poliedra, prvo nalazimo broj k = 2y - xy + 2x, gdje je x broj ivica koje pripadaju jednom licu, y broj lica koja se sastaju na jedan vrh. Da bismo pronašli broj lica, vrhova i ivica pravilnog poliedra, koristimo formule. Nakon toga, lako je popuniti tabelu koja pruža informacije o elementima pravilnih poliedara:

Naziv Vrhovi (V) Ivice (P) Lica (D) Formula

Tetraedar 4 6 4 4-6+4=2

Heksaedar (kocka) 8 12 6 8-12+6=2

Oktaedar 6 12 8 6-12+8=2

Ikosaedar 12 30 20 12-30+20=2

Dodekaedar 20 30 12 20-30+12=2

Poglavlje II: Pravilni poliedri u životu

Svemir i Zemlja

Postoje mnoge hipoteze i teorije vezane za poliedre o strukturi Univerzuma, uključujući i našu planetu. Ispod su neke od njih.

Pravilni poliedri su zauzimali važno mjesto u I. Keplerovom sistemu harmonične strukture svijeta. Isto vjerovanje u harmoniju, ljepotu i matematički pravilnu strukturu svemira navelo je I. Keplera na ideju da, pošto postoji pet pravilnih poliedara, njima odgovara samo šest planeta. Po njegovom mišljenju, sfere planeta su međusobno povezane platonskim telima upisanim u njih. Pošto se za svaki pravilan poliedar poklapaju centri upisane i opisane sfere, ceo model će imati jedno središte u kojem će se nalaziti Sunce.

Nakon što je obavio ogromnu količinu računarskog posla, I. Kepler je 1596. objavio rezultate svog otkrića u svojoj knjizi “Misterija univerzuma”. On upisuje kocku u sferu Saturnove orbite, u kocku - sferu Jupitera, u sferu Jupitera - tetraedar, i tako dalje, sferu Marsa - dodekaedar, sferu Zemlje - ikosaedar, sfera Venere - oktaedar, sfera Merkura. Čini se da je misterija univerzuma otvorena.

Danas možemo sa sigurnošću reći da udaljenosti između planeta nisu povezane ni sa jednim poliedrom. Međutim, moguće je da bez “Misterije svemira”, “Harmonije svijeta” I. Keplera, pravilnih poliedara ne bi postojala tri poznata zakona I. Keplera, koja igraju važnu ulogu u opisivanju kretanja planeta.

Gdje još možete vidjeti ova nevjerovatna tijela? U veoma lepoj knjizi nemačkog biologa s početka ovog veka, E. Hekela, „Lepota oblika u prirodi“, možete pročitati sledeće redove: „Priroda neguje u svojim nedrima nepresušan broj neverovatnih stvorenja, koja u ljepoti i raznolikosti daleko nadmašuje sve oblike stvorene ljudskom umjetnošću.” Stvorenja prirode prikazana u ovoj knjizi su lijepa i simetrična. Ovo je neodvojivo svojstvo prirodnog sklada. Ali ovdje možete vidjeti i jednoćelijske organizme - feodariju, čiji oblik tačno odražava ikosaedar. Šta uzrokuje ovu prirodnu geometrizaciju? Možda zbog svih poliedara sa istim brojem lica, ikosaedar ima najveći volumen i najmanju površinu. Ovo geometrijsko svojstvo pomaže morskom mikroorganizmu da savlada pritisak vodenog stupca.

Zanimljivo je i da je upravo ikosaedar bio u fokusu pažnje biologa u njihovim sporovima oko oblika virusa. Virus ne može biti savršeno okrugao, kao što se ranije mislilo. Da bi utvrdili njegov oblik, uzeli su različite poliedre i usmjerili svjetlost na njih pod istim uglovima kao i protok atoma na virus. Ispostavilo se da samo jedan poliedar daje potpuno istu sjenu - ikosaedar. Njegova geometrijska svojstva, spomenuta gore, omogućavaju čuvanje genetskih informacija. Pravilni poliedri su najpovoljnije figure. A priroda to uveliko koristi. Kristali nekih nama poznatih tvari imaju oblik pravilnih poliedara. Tako kocka prenosi oblik kristala kuhinjske soli NaCl, monokristal aluminijum-kalijum stipse (KAlSO4)2 12H2O ima oblik oktaedra, kristal sumpornog pirita FeS ima oblik dodekaedra, natrijum antimon sulfat ima oblik tetraedra, bor ima oblik ikosaedra. Pravilni poliedri određuju oblik kristalne rešetke nekih hemijskih supstanci. Ilustrujmo ovu ideju sledećim problemom.

Zadatak. Model molekule metana CH4 ima oblik pravilnog tetraedra, sa atomima vodika na četiri vrha i atomom ugljika u centru. Odredite ugao veze između dve CH veze.

Rješenje. Pošto pravilan tetraedar ima šest jednakih ivica, moguće je odabrati kocku tako da su dijagonale njegovih strana ivice pravilnog tetraedra. Centar kocke je ujedno i centar tetraedra, jer su četiri vrha tetraedra ujedno i vrhovi kocke, a sfera opisana oko njih jedinstveno je određena sa četiri tačke koje ne leže u istoj ravni. Željeni ugao j između dve CH veze jednak je uglu AOS. Trougao AOC je jednakokračan. Dakle, gdje je a stranica kocke, d je dužina dijagonale bočne strane ili ivice tetraedra. Dakle, odakle dolazi =54,73561O i j=109,47O?

Pitanje oblika Zemlje neprestano je zaokupljalo umove naučnika drevnih vremena. A kada je potvrđena hipoteza o sfernom obliku Zemlje, pojavila se ideja da je Zemlja oblika dodekaedra. Tako je već Platon napisao: “Zemlja, ako je pogledate odozgo, izgleda kao lopta sašivena od 12 komada kože.” Ova Platonova hipoteza pronašla je dalji naučni razvoj u radovima fizičara, matematičara i geologa. Tako su francuski geolog de Bimon i poznati matematičar Poincaré vjerovali da je oblik Zemlje deformisani dodekaedar.

Postoji još jedna hipoteza. Njegovo značenje je da Zemlja ima oblik ikosaedra. Na globusu su snimljene dvije paralele - 30° sjeverne i južne geografske širine. Udaljenost od svakog od njih do pola njegove hemisfere je 60°, a između njih je također 60°. Na sjevernoj od ovih paralela, tačke su označene kroz 1/5 punog kruga, odnosno 72°: na raskrsnici sa meridijanima 32°, 104° i 176°. D. i 40o i 112o W. e Na južnoj paraleli označene su tačke na raskrsnicama sa meridijanima koji prolaze tačno u sredini između navedenih: 68o i 140o. d i 4o, 76o i 148o W. d. Pet tačaka na paraleli 30o. w. , pet - na paraleli 30o J. w. i dva pola Zemlje i činiće 12 vrhova poliedra.

Ruski geolog S. Kislitsin također je podijelio mišljenje o dodekaedarskom obliku Zemlje. On je pretpostavio da se prije 400-500 miliona godina dodekaedarska geosfera pretvorila u geo-ikosaedar. Međutim, takav prijelaz se pokazao nepotpunim i nepotpunim, zbog čega se geododekaedar našao upisan u strukturu ikosaedra. IN poslednjih godina Testirana je hipoteza o ikosaedarsko-dodekaedarskom obliku Zemlje. Da bi to učinili, znanstvenici su poravnali os dodekaedra s osom globusa i, rotirajući ovaj poliedar oko njega, primijetili su da se njegovi rubovi poklapaju s ogromnim poremećajima u zemljinoj kori (na primjer, sa srednjoatlantskim podvodnim grebenom). Uzimajući zatim ikosaedar kao poliedar, ustanovili su da se njegovi rubovi poklapaju sa manjim podjelama zemljine kore (grebeni, rasjedi, itd.). Ova zapažanja potvrđuju hipotezu da je tektonska struktura zemljine kore slična oblicima dodekaedra i ikosaedra.

Čvorovi hipotetičkog geo-kristala su, takoreći, centri određenih anomalija na planeti: u njima se nalaze svi svjetski centri ekstremnog atmosferskog tlaka, područja iz kojih nastaju uragani; u jednom od čvorova ikosaedra (u Gabonu), otkriven je "prirodni atomski reaktor" koji je još radio prije 1,7 milijardi godina. Ogromna ležišta minerala (na primjer, Tjumensko naftno polje), anomalije životinjskog svijeta (Bajkalsko jezero), centri za razvoj ljudskih kultura ( Drevni Egipat, protoindijska civilizacija Mohendžo-Daro, severnomongolska itd.).

Postoji još jedna pretpostavka. Ideje Pitagore, Platona, I. Keplera o povezanosti pravilnih poliedara sa skladnom strukturom svijeta već su našle svoj nastavak u naše vrijeme u zanimljivoj naučnoj hipotezi, čiji su autori (ranih 80-ih) bili moskovski inženjeri. V. Makarov i V. Morozov. Smatraju da Zemljino jezgro ima oblik i svojstva rastućeg kristala, koji utiče na razvoj svih prirodnih procesa koji se dešavaju na planeti. Zrake ovog kristala, odnosno njegovo polje sile, određuju ikosaedarsko-dodekaedarsku strukturu Zemlje, što se očituje u činjenici da se u zemljinoj kori pojavljuju projekcije pravilnih poliedara upisanih u globus: ikosaedar i dodekaedar. Njihova 62 vrha i sredine ivica, koje autori nazivaju čvorovima, imaju niz specifičnih svojstava koja omogućavaju objašnjenje nekih neshvatljivih fenomena.

Dalja proučavanja Zemlje mogu odrediti odnos prema ovoj prekrasnoj naučnoj hipotezi, u kojoj, kao što se može vidjeti, pravilno mjesto zauzimaju pravilni poliedri.

I još jedno pitanje postavlja se u vezi s pravilnim poliedrima: da li je moguće ispuniti prostor njima tako da između njih nema praznina? Nastaje po analogiji sa pravilnim poligonima, od kojih neki mogu ispuniti ravan. Ispostavilo se da se prostor može popuniti samo uz pomoć jedne pravilne poliedarske kocke. Prostor se može ispuniti i rombičnim dodekaedrima. Da biste ovo razumjeli, morate riješiti problem.

Zadatak. Koristeći sedam kocki koje formiraju prostorni "križ", izgradite rombični dodekaedar i pokažite da mogu ispuniti prostor.

Rješenje. Kocke mogu ispuniti prostor. Razmotrimo dio kubične rešetke. Ostavićemo srednju kocku netaknutu, a u svakoj od „ivičnih“ kocki ćemo povući ravni kroz svih šest parova suprotnih ivica. U ovom slučaju, „ivičnjake“ kocke će biti podijeljene na šest jednakih piramida s kvadratnim bazama i bočnim rubovima jednakim polovini dijagonale kocke. Piramide uz netaknutu kocku čine, zajedno sa potonjom, rombični dodekaedar. Iz ovoga je jasno da rombični dodekaedri mogu ispuniti cijeli prostor. Kao posljedica toga, nalazimo da je volumen rombičnog dodekaedra jednak dvostrukom volumenu kocke, čiji se rub poklapa s manjom dijagonalom lica dodekaedra.

Rješavajući ovaj problem, došli smo do rombičnih dodekaedara. Zanimljivo je da su pčelinje ćelije, koje također ispunjavaju prostor bez praznina, također idealno geometrijske figure. Vrh pčelinje ćelije dio je rombičnog dodekaedra.

Godine 1525. Dürer je napisao raspravu u kojoj je predstavio pet pravilnih poliedara čije površine služe kao dobri modeli perspektive.

Dakle, pravilni poliedri otkrili su nam pokušaje naučnika da se približe tajni svjetske harmonije i pokazali neodoljivu privlačnost geometrije.

Pravilni poliedri i zlatni rez

Tokom renesanse, vajari, arhitekte i umjetnici pokazali su veliko interesovanje za forme pravilnih poliedara. Leonardo da Vinci, na primjer, bio je oduševljen teorijom poliedara i često ih je prikazivao na svojim platnima. Ilustrovao je knjigu svog prijatelja monaha Luce Paciolija (1445 - 1514) “O božanskoj proporciji” slikama pravilnih i polupravilnih poliedara.

Godine 1509., u Veneciji, Luca Pacioli je objavio knjigu O božanskoj proporciji. Pacioli je pronašao trinaest manifestacija "božanske proporcije" u pet Platonovih tijela - pravilnih poligona (tetraedar, kocka, oktaedar, ikosaedar i dodekaedar). U poglavlju “O dvanaestom, gotovo natprirodnom svojstvu” on ispituje pravilni ikosaedar. Pet trouglova se susreće na svakom vrhu ikosaedra i formiraju pravilan pentagon. Ako spojite bilo koje dvije suprotne ivice ikosaedra, dobit ćete pravougaonik u kojem je veća stranica povezana s manjom kao što je zbir stranica s većom.

Dakle, zlatna proporcija se manifestuje u geometriji pet pravilnih poliedara, koji, prema drevnim naučnicima, leže u osnovi univerzuma.

Geometrija platonskih tijela na slikama velikih umjetnika

Poznati umjetnik renesanse, također zaljubljenik u geometriju, bio je A. Durer. U njegovoj čuvenoj gravuri "Melanholija" u prvom planu je prikazan dodekaedar.

Razmotrite sliku slike umjetnika Salvadora Dalija "Posljednja večera". U prvom planu slike je Hristos sa svojim učenicima na pozadini ogromnog prozirnog dodekaedra.

Kristali - prirodni poliedri

Mnoge oblike poliedra nije izmislio sam čovjek, već ih je stvorila priroda u obliku kristala.

Često ljudi, gledajući divne, prelijepe poliedre kristala, ne mogu vjerovati da ih je stvorila priroda, a ne čovjek. Zbog toga je rođeno toliko nevjerovatnih narodnih priča o kristalima.

Sačuvani su zanimljivi pisani materijali, na primjer, takozvani “Ebersov papirus”, koji sadrži opis metoda liječenja kamenom posebnim ritualima i čarolijama, gdje se dragom kamenju pripisuju misteriozne moći.

Vjerovalo se da kristal granata donosi sreću. Ima oblik rombičnog dodekaedra (ponekad se naziva romboidni ili rombični dodekaedar) - dodekaedar, čija su lica dvanaest jednakih rombova.

Dodekaedarski kristali su toliko tipični za granat da se oblik takvog poliedra čak naziva i garnetoedar.

Granat je jedan od glavnih minerala za stvaranje stijena. Postoje ogromne stijene koje se sastoje od granatnih stijena koje se nazivaju skarnovi. Međutim, drago, lijepo obojeno i prozirno kamenje je daleko od uobičajenog. Unatoč tome, upravo granat - krvavocrveni pirop - arheolozi smatraju najstarijim nakitom, budući da je otkriven u Europi u starom neolitu na području moderne Češke i Slovačke, gdje je trenutno posebno popularan.

O činjenici da je granat, odnosno rombični dodekaedar poliedar, poznat od davnina, može se suditi po istoriji nastanka njegovog imena, što je u prevodu sa starogrčkog značilo „crvena boja“. Štoviše, ime je bilo povezano s crvenom bojom - najčešćom bojom granata.

Granat je veoma cijenjen od strane poznavalaca dragulja. Koristi se za izradu prvoklasnog nakita, granat ima svojstvo da ženama koje ga nose daje dar predviđanja i tjera teške misli od njih, dok muškarce štiti od nasilne smrti.

Granati naglašavaju neobičnost situacije, originalnost postupaka ljudi i naglašavaju čistoću i uzvišenost njihovih osjećaja.

Ovo je kamen talisman za osobe rođene u JANUARU.

Razmotrimo kamenje čiji je oblik dobro proučen i predstavlja pravilne, polupravilne i zvjezdaste poliedre.

Pirit je dobio ime od grčke riječi pyros, što znači vatra. Udarac u njega stvara iskru u davna vremena, komadi pirita su služili kao ogrjev. Zrcalni sjaj na licima razlikuje pirit od ostalih sulfida. Polirani pirit sija još jače. Arheolozi su u grobovima Inka pronašli ogledala napravljena od poliranog pirita. Zato pirit ima ovo rijetko ime- Inka kamen. Tokom epidemija zlatne groznice, pirit iskri u kvarcnoj žili, u mokrom pijesku na poslužavniku za pranje, okrenuo je više od jedne vruće glave. Čak i sada, početnici kamenoljupci pogrešno smatraju pirit zlatom.

Ali pogledajmo to izbliza, poslušaj poslovicu: "Nije zlato sve što blista!" Boja pirita je mesingastožuta. Rubovi kristala pirita imaju jak metalni sjaj. ? Ovdje u frakturi sjaj je tupi.

Pirit ima tvrdoću 6-6,5 i lako grebe staklo. To je najtvrđi mineral u klasi sulfida.

Pa ipak, najkarakterističnija stvar u izgledu pirita je oblik kristala. Najčešće je to kocka. Od najmanjih "kockica ugniježđenih duž pukotina, do kocaka s ivicama visine 5 cm, 15 cm, pa čak i 30 cm! Ali kristali pirita se ne režu samo na kocke; u arsenalu ovog minerala postoje oktaedri koji su nam već poznati iz Za pirit, oni su prilično rijetki, ali pirit vam omogućava da se lično divite obliku s ovim imenom - pentagondodekaedar je pet, sva lica ovog oblika su petostrana, a "dodeka" je. Tuce - ima ih ukupno dvanaest. Ovaj oblik je toliko tipičan za pirit da je u starim danima mogao nastati i slučajevi koji kombinuju lica različitih oblika.

CASSETIRE

Kasiterit je sjajni, krhki smeđi mineral koji je primarna ruda kalaja. Oblik je vrlo nezaboravan - visok tetraedar, oštre piramide na vrhu i dnu, au sredini je kratak stupac, također fasetiran. U kvarcnim žilama rastu kristali kasiterita potpuno drugačijeg izgleda. On Poluostrvo Čukotka Tu je ležište Iultin, gdje su vene sa odličnim kristalima kasiterita odavno poznate.

Galena izgleda kao metal i jednostavno je nemoguće ne primijetiti je u rudi. Odmah se odaje jakim metalnim sjajem i težinom. Galena je skoro uvek srebrnaste kocke (ili paralelepipedi). I to nisu nužno cijeli kristali. Galena ima savršen dekolte na kocku. To znači da se ne lomi na bezoblične fragmente, već na uredne srebrnasto sjajne kocke. Njegovi prirodni kristali imaju oblik oktaedra ili kuboktaedra. Galenu odlikuje i sljedeće svojstvo: ovaj mineral je mekan i nije jako kemijski otporan.

ZIRCONIUM

"Cirkon" - od perzijskih riječi "kralj" i "puška" - zlatna boja.

Cirkonijum je otkriven 1789/0. godine u dragocjenom cejlonskom cirkonu. Otkrivač ovog elementa je M. Claporte. Veličanstveni prozirni i blistavo blistavi cirkoni bili su poznati u antičko doba. Ovaj kamen je bio veoma cijenjen u Aziji.

Kemičari i metalurzi morali su puno raditi prije nego što su se cirkonijske školjke šipki i drugih strukturnih dijelova pojavile u nuklearnim reaktorima.

Dakle, cirkon je efektan dragi kamen - narandžasta, slamnato žuta, plavo-plava, zelena - blista i igra se kao dijamant.

Cirkoni su često predstavljeni malim pravilnim kristalima karakterističnog gracioznog oblika. Motiv njihove kristalne rešetke, a samim tim i oblik kristala, podređen je četvrtoj osi simetrije. Kristali cirkona pripadaju tetragonalnom sistemu. Njihov poprečni presjek je kvadratni. A sam kristal se sastoji od tetragonalne prizme (ponekad je uz rubove zatupljena drugom sličnom prizmom) i tetragonalne bipiramide koja završava prizmu na oba kraja.

Još su impresivniji kristali sa dvije dipiramide na krajevima: jedna na vrhu, a druga samo zatamnjuje rubove između prizme i gornje piramide.

Kristali kuhinjske soli imaju oblik kocke, kristali leda i gorskog kristala (kvarc) podsjećaju na obostrano naoštrenu olovku, odnosno imaju oblik šesterokutne prizme, na čijim su osnovama postavljene šesterokutne piramide.

Dijamant se najčešće nalazi u obliku oktaedra, ponekad kocke, pa čak i kubooktaedra.

Islandska šparta, koja račva sliku, ima oblik kosog paralelepipeda.

Zanimljivo

Svi ostali pravilni poliedri mogu se dobiti iz kocke transformacijom.

U procesu diobe jaja prvo se formira tetraedar od četiri ćelije, zatim oktaedar, kocka i na kraju dodekaedarsko-ikosaedarska struktura gastrule.

I konačno, što je možda najvažnije, DNK struktura genetskog koda života je četverodimenzionalni razvoj (duž vremenske ose) rotirajućeg dodekaedra!

Vjerovalo se da pravilni poliedri donose sreću. Dakle, nije bilo kostiju samo u obliku kocke, već i svih drugih oblika. Na primjer, matrica u obliku dodekaedra zvala se d12.

Njemački matematičar August Ferdinand Möbius je u svom djelu “O volumenu poliedra” opisao geometrijsku površinu koja ima nevjerovatno svojstvo: ima samo jednu stranu! Ako zalijepite krajeve trake papira nakon što ste prvo rotirali jednu od njih za 180 stupnjeva, dobit ćete list ili Moebius traku. Pokušajte obojiti upletenu traku u 2 boje - jednu spolja, drugu iznutra. Nećeš uspjeti! Ali mrav koji puzi duž Mobiusove trake ne mora da puzi preko njene ivice da bi došao na suprotnu stranu.

„Postoji alarmantno malo pravilnih konveksnih poliedara“, jednom je primetio Lewis Carroll, „ali čak i ovaj vrlo skromni tim, veličanstvena petorka, uspeo je da prodre duboko u samu dubinu nauke. »

Svi ovi primjeri potvrđuju zadivljujući uvid Platonove intuicije.

Zaključak

Predstavljeni rad razmatra:

Definicija konveksnih poliedara;

Osnovna svojstva konveksnih poliedara, uključujući Eulerov teorem, koji povezuje broj vrhova, ivica i strana datog poliedra;

Definicija pravilnog poliedra, dokazano je postojanje samo pet pravilnih poliedra;

Detaljno se razmatraju odnosi između karakterističnih uglova pravilne n-ugaone piramide, koja je sastavni deo pravilnog poliedra;

Detaljno su razmotrene neke karakteristike pravilnog tetraedra, kao što su zapremina, površina itd.

Prilozi sadrže dokaze osnovnih svojstava konveksnih poliedara i druge teoreme sadržane u ovom radu. Predstavljene teoreme i relacije mogu biti korisne u rješavanju mnogih problema u stereometriji. Rad se može koristiti pri proučavanju pojedinih tema stereometrije kao referentni i ilustrativni materijal.

Poliedri nas okružuju posvuda: dječje kocke, namještaj, arhitektonske strukture itd. U svakodnevnom životu smo ih gotovo prestali primjećivati, ali je vrlo zanimljivo znati povijest predmeta poznatih svima, pogotovo ako je tako fascinantna.

Ispravni parketi. Projekat je pripremila učenica opštinske obrazovne ustanove-srednja škola br. 6, Marx Zhilnikova Nastja Rukovodilac: Martyshova Lyudmila Iosifovna Ciljevi i zadaci Saznajte koji pravilni konveksni poligoni se mogu koristiti za izradu pravilnog parketa. Razmotrite sve vrste ispravnih parketa i odgovorite na pitanje o njihovoj količini. Razmotrimo primjere upotrebe pravilnih poligona u prirodi. . Parket se često susrećemo u svakodnevnom životu: oni oblažu podove u kućama, oblažu zidove prostorija raznim pločicama, a često ukrašavaju zgrade ornamentima. . . . . . . . . . . Prvo pitanje koje nas zanima i koje se lako rješava je sljedeće: od kojih pravilnih konveksnih poligona se može napraviti parket? Zbir uglova poligona. Neka je parketna ploča pravilan n-ugao. Zbir svih uglova n-ugla je 180(n-2), a pošto su svi uglovi jednaki, svaki od njih je 180(n-2)/n. Budući da se u svakom tjemenu parketa susreće cijeli broj uglova, broj 360 mora biti cjelobrojni višekratnik 180(n-2)/n. Transformisanjem odnosa ovih brojeva dobijamo 360n/ 180(n-2)= 2n/n-2. 180(n-2), n je broj strana poligona. Prilično je jednostavno osigurati da nijedan drugi pravilan poligon ne formira parket. I ovdje nam je potrebna formula za zbir uglova poligona. Ako je parket sastavljen od n-ugla, tada će se k 360: a n poligona konvergirati na svakom vrhu parketa, gdje je a n ugao pravilnog n-ugla. Lako je pronaći da je a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120°. 360° je deljivo sa n samo kada je n = 3; 4; 6. Iz ovoga je jasno da n-2 može uzeti samo vrijednosti 1, 2 ili 4; stoga su jedine moguće vrijednosti za n 3, 4, 6. Dakle, parketi se sastoje od pravilnih trokuta, kvadrata ili pravilnih šesterokuta. Ostali parketi napravljeni od pravilnih poligona su nemogući. PARKETI - ZAVRŠETAK RAVNINE POLIGONIMA Već su pitagorejci znali da postoje samo tri vrste pravilnih poligona kojima se ravan može u potpunosti popločiti bez zazora ili preklapanja - trougao, kvadrat i šestougao. PARKETI - PLOČICE SA POLIGONSIMA Možete zahtijevati da parket bude pravilan samo “na vrhovima”, ali dozvoliti korištenje različitih tipova pravilnih poligona. Tada će na originalna tri biti dodato još osam parketa. . Parketi iz različitih pravilnih poligona. Prvo, hajde da saznamo koliko različitih pravilnih poligona (sa istim dužinama stranica) može biti oko svake tačke. Ugao pravilnog poligona mora biti u rasponu od 60° do 180° (ne uključujući); stoga, broj poligona koji se nalaze u blizini tačke mora biti veći od 2 (360°/180°) i ne može preći 6 (360°/60°). Parketi iz različitih pravilnih poligona. Može se pokazati da postoje sljedeći načini polaganja parketa pomoću kombinacija pravilnih poligona: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - dvije opcije parketa; (3,4,4,6) - četiri opcije; (3,3,3,4,4) - četiri opcije; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (brojevi u zagradama su oznake poligona koji konvergiraju u svakom vrhu: 3 - pravilan trougao, 4 kvadrat, 6 - pravilan šestougao, 12 pravilan dvanaestougao). Pokrivanja ravni sa pravilnim poligonima ispunjavaju sljedeće zahtjeve: 1. Ravan je u cijelosti prekrivena pravilnim poligonima, bez praznina ili dvostrukih obloga, tj. dva prekrivajuća poligona ili imaju zajedničku stranu, ili imaju zajednički vrh, ili uopšte nemaju zajedničkih tačaka. Ova obloga se zove parket. 2 Oko svih vrhova pravilni poligoni su raspoređeni na isti način, tj. Oko svih vrhova slijede poligoni istog imena istim redoslijedom. Na primjer, ako su oko jednog vrha poligoni raspoređeni u nizu: trokut - kvadrat - šestougao - kvadrat, tada su oko bilo kojeg drugog vrha istog pokrivača poligoni raspoređeni u potpuno istom nizu. Regularni parket Dakle, parket se može superponirati na sebe na način da se bilo koji njegov vrh naloži na bilo koji drugi prethodno dati vrh. Ovakav parket se naziva ispravnim. Koliko ima običnih parketa i kako su raspoređeni? Podijelimo sve pravilne parkete u grupe prema broju različitih pravilnih poligona uključenih u parket 1.a). Heksagoni b). Kvadrati c). Trouglovi 2.a). Kvadrati i trouglovi b). Kvadrati i oktogoni c). Trouglovi i šestouglovi d). Kvadrati, šesterokuti i dodekagoni b). Kvadrati, šestouglovi i trouglovi Pravilni parketi od jednog pravilnog poligona Grupa1 a). Heksagoni b). Kvadrati c). Trouglovi 1a. Premaz koji se sastoji od pravilnih šesterokuta. 1b. Parket koji se sastoji samo od kvadrata. 1. vek Parket koji se sastoji samo od trokuta. Pravilni parketi sastavljeni od dva pravilna poligona Grupa 2 a). Kvadrati i trouglovi b). Kvadrati i oktogoni c). Trouglovi i šestouglovi d). Parketi koji se sastoje od kvadrata i trokuta. Pogled I. Raspored poligona oko temena: trougao - trougao - trougao - kvadrat - kvadrat 2a. Tip II. Parketi koji se sastoje od kvadrata i trouglova Raspored poligona oko vrha: trougao – trougao – kvadrat – trougao – kvadrat 2 b. Parket koji se sastoji od kvadrata i osmougaonika 2c. Parket koji se sastoji od trokuta i šesterokuta. Tip I i ​​tip II. Pravilni parketi sastavljeni od tri pravilna poligona Grupa 3 a). Kvadrati, šesterokuti i dodekagoni b). Kvadrati, šesterokuti i trouglovi 2d. Parket koji se sastoji od dvanaesterokuta i trokuta 3a.Parket koji se sastoji od kvadrata, šesterokuta i dvanaestougla. 3b. Parket koji se sastoji od kvadrata, šestougla i trokuta Pokrivanje u obliku niza: trokut - kvadrat - šestougao - kvadrat Ovo je nemoguće: Parket koji se sastoji od pravilnih peterokuta ne postoji. Pokrivanja u obliku niza nisu moguća: 1) trougao – kvadrat – šestougao – kvadrat; 2) trougao – trougao – kvadrat – dvanaestougao; 3) trougao – kvadrat – trougao – dvanaestougao. Zaključci Obratite pažnju na parkete koji se sastoje samo od pravilnih istoimenih poligona - jednakostraničnih trokuta, kvadrata i pravilnih šesterokuta. Među ovim oblicima (ako su sve strane jednake), pravilni šestougao pokriva najveću površinu. Stoga, ako želimo, na primjer, beskrajno polje podijeliti na dijelove veličine 1 hektar tako da se što manje materijala troši na ograđivanje, onda je potrebno dijelove oblikovati u pravilne šesterokute. . Još jedna zanimljiva činjenica: ispostavilo se da rez saća također izgleda kao ravnina prekrivena pravilnim šesterokutima. Pčele instinktivno teže da naprave što veće saće kako bi pohranile više meda. . Zaključak Dakle, razmotrene su sve moguće kombinacije. Ovako je ispalo 11 ispravnih parketa. Veoma su lepe, zar ne? Koji vam se parket najviše dopao? . . Katalog proizvoda.

Živa priroda.

Pravilni poliedri su najprofitabilnije figure. A priroda to uveliko koristi. Kristali nekih nama poznatih tvari imaju oblik pravilnih poliedara. dakle, kocka prenosi formu kristali kuhinjske soli NaCl, monokristal aluminijum-kalijum stipse imaju oblik oktaedra, kristal sumpornog pirita FeS - dodekaedar, antimon natrijum sulfat - tetraedar, bor - ikosaedar. Pravilni poliedri određuju oblik kristalne rešetke mnogih hemijskih supstanci.

Sada je dokazano da se proces formiranja ljudskog embrija iz jajeta odvija podjelom po "binarnom" zakonu, odnosno prvo se jaje pretvara u dvije ćelije. Zatim, u fazi sa četiri ćelije, embrion poprima oblik tetraedra, a u fazi sa osam ćelija, dobija oblik dva povezana tetraedra (zvjezdani tetraedar ili kocka), (Dodatak br. 1, sl. 3 ). Od dvije kocke na stupnju šesnaest ćelija formira se sfera, a od sfere u određenom stupnju diobe formira se torus od 512 ćelija. Planta Zemlja i njeno magnetno polje su takođe torus.

Kvazikristali Dana Shekhtmana.

12. novembra 1984. u kratkom članku objavljenom u autoritativnom časopisu " Physical Review Letters» Izraelski fizičar Dan Shechtman, predstavio je eksperimentalne dokaze o postojanju metalne legure sa izuzetnim svojstvima. Kada se proučava metodom difrakcije elektrona, ova legura je pokazala sve znakove kristala. Njegov difrakcijski uzorak se sastoji od svijetlih i pravilno raspoređenih tačaka, baš kao kristal. Međutim, ovu sliku karakteriše prisustvo "ikosaedarske" ili "pentangonalne" simetrije, koja je strogo zabranjena u kristalu iz geometrijskih razloga. Takve neobične legure nazvane su kvazikristali. Za manje od godinu dana otkrivene su mnoge druge legure ovog tipa. Bilo ih je toliko da se pokazalo da je kvazikristalno stanje mnogo češće nego što se može zamisliti.

Šta je kvazikristal? Koja su njegova svojstva i kako se može opisati? Kao što je gore navedeno, prema osnovni zakon kristalografije Na kristalnu strukturu su nametnuta stroga ograničenja. Prema klasičnim konceptima, kristal se sastoji od jedne ćelije, koja treba čvrsto (licem u lice) „pokriti“ cijelu ravan bez ikakvih ograničenja.

Kao što je poznato, gusto punjenje aviona može se izvesti pomoću trouglovi, kvadrata I hexagons. Korišćenjem pentagons (Pentagoni) takvo punjenje je nemoguće.

To su bili kanoni tradicionalne kristalografije, koji su postojali prije otkrića neobične legure aluminija i mangana, nazvane kvazikristal. Takva legura nastaje ultrabrzim hlađenjem taline brzinom od 10 6 K u sekundi. Štaviše, tokom proučavanja difrakcije takve legure, na ekranu se pojavljuje uređeni uzorak, karakterističan za simetriju ikosaedra, koji ima poznate zabranjene ose simetrije 5. reda.

U narednih nekoliko godina, nekoliko naučnih grupa širom svijeta proučavalo je ovu neobičnu leguru pomoću elektronske mikroskopije visoke rezolucije. Svi oni su potvrdili idealnu homogenost supstance, u kojoj je očuvana simetrija 5. reda u makroskopskim područjima s veličinama bliskim veličini atoma (nekoliko desetina nanometara).

Prema savremenim pogledima, razvijen je sledeći model dobijanje kristalne strukture kvazikristala. Ovaj model se zasniva na konceptu „osnovnog elementa“. Prema ovom modelu, unutrašnji ikosaedar atoma aluminija okružen je vanjskim ikosaedrom atoma mangana. Ikosaedri su povezani oktaedrima atoma mangana. "Bazni element" sadrži 42 atoma aluminija i 12 atoma mangana. Tokom procesa očvršćavanja dolazi do brzog formiranja „osnovnih elemenata“ koji se međusobno brzo povezuju krutim oktaedarskim „mostovima“. Podsjetimo da su lica ikosaedra jednakostranični trouglovi. Da bi nastao oktaedarski manganski most, potrebno je da se dva takva trokuta (po jedan u svakoj ćeliji) dovoljno približe jedan drugom i poredaju se paralelno. Kao rezultat takvog fizičkog procesa formira se kvazikristalna struktura sa „ikosaedarskom” simetrijom.

Poslednjih decenija otkrivene su mnoge vrste kvazikristalnih legura. Osim onih koje imaju „ikosaedarsku” simetriju (5. red), postoje i legure sa dekagonalnom simetrijom (10. red) i dodekagonalnom simetrijom (12. red). Fizička svojstva Kvazikristali su tek nedavno počeli da se proučavaju.

Kao što je navedeno u Gratiinom članku koji je gore spomenut, „mehanička čvrstoća kvazikristalnih legura naglo raste; odsustvo periodičnosti dovodi do usporavanja širenja dislokacija u poređenju sa konvencionalnim metalima... Ovo svojstvo je od velike praktične važnosti: upotreba ikosaedarske faze omogućiće dobijanje lakih i veoma jakih legura unošenjem malih čestica kvazikristala u aluminijsku matricu.”

Tetraedar u prirodi.

1. Fosfor

Prije više od tri stotine godina, kada je hamburški alhemičar Genning Brand otkrio novi element - fosfor. Kao i drugi alhemičari, Brand je pokušao pronaći eliksir života ili kamen filozofa, uz pomoć kojeg stari ljudi izgledaju mlađe, bolesni se oporavljaju, a bazni metali pretvaraju u zlato. Tokom jednog od eksperimenata, ispario je urin, pomiješao ostatak sa ugljem i pijeskom i nastavio isparavanje. Ubrzo se u retorti stvorila supstanca koja je blistala u mraku. Bijele kristale fosfora formiraju molekuli P4. Takav molekul ima oblik tetraedra.

2. Hipofosforna kiselina H 3 RO 2 .

Njegova molekula ima oblik tetraedra sa atomom fosfora u centru, na vrhovima tetraedra nalaze se dva atoma vodika, atom kisika i hidrokso grupa.

3. Metan.

Kristalna ćelija metan ima oblik tetraedra. Metan gori bezbojnim plamenom. Sa vazduhom stvara eksplozivne mešavine. Koristi se kao gorivo.

4. Voda.

Molekul vode je mali dipol koji na svojim polovima sadrži pozitivne i negativne naboje. Pošto je masa i naboj jezgra kiseonika veća od mase jezgra vodonika, elektronski oblak se povlači prema jezgru kiseonika. U ovom slučaju, jezgra vodonika su "izložena". Dakle, elektronski oblak ima neujednačenu gustinu. U blizini jezgara vodika postoji nedostatak elektronske gustine, a na suprotnoj strani molekula, blizu jezgra kiseonika, postoji višak elektronske gustine. Upravo ta struktura određuje polaritet molekula vode. Ako epicentre pozitivnih i negativnih naboja povežete ravnim linijama, dobit ćete trodimenzionalni geometrijski lik - pravilni tetraedar.

5. Amonijak.

Svaka molekula amonijaka ima nepodijeljeni par elektrona na atomu dušika. Orbitale atoma dušika koje sadrže nepodijeljene parove elektrona se preklapaju sa sp 3-hibridne orbitale cinka(II), koje formiraju tetraedarski kompleksni katjon tetraaminskog cink(II) 2+.

6. dijamant

Jedinična ćelija dijamantskog kristala je tetraedar sa atomima ugljenika koji se nalaze u centru i četiri vrha. Atomi koji se nalaze na vrhovima tetraedra formiraju centar novog tetraedra i stoga su svaki okruženi sa još četiri atoma, itd. Svi atomi ugljika u kristalnoj rešetki nalaze se na istoj udaljenosti (154 pm) jedan od drugog.

Kocka (heksaedar) u prirodi.

Iz kursa fizike znamo da supstance mogu postojati u tri agregatna stanja: čvrsto, tečno, gasovito. Oni formiraju kristalne rešetke.

Kristalne rešetke supstanci su uređeni raspored čestica (atoma, molekula, jona) na strogo određenim tačkama u prostoru. Tačke postavljanja čestica nazivaju se čvorovi kristalne rešetke.

Ovisno o vrsti čestica koje se nalaze na čvorovima kristalne rešetke i prirodi veze između njih, razlikuju se 4 vrste kristalnih rešetki: ionske, atomske, molekularne, metalne.

IONIC

Jonske kristalne rešetke su one čiji čvorovi sadrže ione. Nastaju od tvari s ionskim vezama. Jonske kristalne rešetke sadrže soli i neke metalne okside i hidrokside. Razmotrimo strukturu kristala kuhinjske soli, u čijim se čvorovima nalaze ioni klora i natrija. Veze između jona u kristalu su vrlo jake i stabilne. Stoga tvari s ionskom rešetkom imaju visoku tvrdoću i čvrstoću, vatrostalne su i neisparljive.

Kristalne rešetke mnogih metala (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au i drugi) imaju oblik kocke.

MOLEKULARNO

Molekularne su kristalne rešetke u kojima se molekuli nalaze na čvorovima. Hemijske veze u njima su kovalentne, i polarne i nepolarne. Veze u molekulima su jake, ali veze između molekula nisu jake. Ispod je kristalna rešetka I 2. Supstance sa MCR imaju nisku tvrdoću, tope se na niskim temperaturama, isparljive su i u normalnim uslovima su u gasovitom ili tečnom stanju. poliedar simetrija tetraedar

Ikosaedar u prirodi.

Fulereni su nevjerovatne policiklične strukture sfernog oblika, koje se sastoje od atoma ugljika povezanih u šesto- i petočlane prstenove. Riječ je o novoj modifikaciji ugljika, koju, za razliku od tri dosad poznate modifikacije (dijamant, grafit i karbin), karakterizira molekularna struktura, a ne polimer, tj. molekuli fulerena su diskretni.

Ove supstance su dobile ime po američkom inženjeru i arhitekti Richardu Buckminsteru Fulleru, koji je dizajnirao hemisferične arhitektonske strukture koje se sastoje od šesterokuta i peterokuta.

Fullerene C 60 i C 70 prvi su sintetizirali 1985. H. Kroto i R. Smalley iz grafita pod utjecajem snažnog laserskog zraka. D. Huffman i W. Kretschmer uspjeli su 1990. godine dobiti C 60 -fuleren u količinama dovoljnim za istraživanje, koji su isparili grafit pomoću električnog luka u atmosferi helijuma. Godine 1992. otkriveni su prirodni fulerini u mineralu ugljenika - pogriješiti(ovaj mineral je dobio ime po imenu sela Shunga u Kareliji) i druge pretkambrijske stijene.

Molekule fulerena mogu sadržavati od 20 do 540 atoma ugljika smještenih na sfernoj površini. Najstabilniji i najbolje proučavani od ovih spojeva, C60-fuleren (60 atoma ugljika), sastoji se od 20 šestočlanih i 12 petočlanih prstenova. Ugljični skelet molekula C 60-fulerena je skraćeni ikosaedar.

U prirodi postoje objekti sa simetrijom 5. reda. Na primjer, poznati su virusi koji sadrže klastere u obliku ikosaedra.

Struktura adenovirusa također ima oblik ikosaedra. Adenovirusi (od grčkog aden - gvožđe i virusi), porodica DNK virusa koji izazivaju adenovirusne bolesti kod ljudi i životinja.

Virus hepatitisa B je uzročnik hepatitisa B, glavnog predstavnika porodice hepadnovirusa. U ovu porodicu spadaju i virusi hepatotropnog hepatitisa mrmota, vjeverica, pataka i vjeverica. Virus hepatitisa B sadrži DNK. To je čestica prečnika 42-47 nm, sastoji se od jezgra - nukleoida, oblikovanog ikosaedar prečnika 28 nm, unutar kojeg se nalazi DNK, terminalni protein i enzim DNK polimeraza.

"Poligoni" - Materijal za samostalno učenje na temu “Poligoni” Zadaci za igru. Trougao (jednakostraničan). Slomljena. Nekonveksan. Sastavio Soloninkina T.V. Konačni dio ravni omeđen poligonom. Nacrtajte konveksni pentagon. Pentagon. Pravilni poligoni. Stručnjak 2.

"Mjerenje površine poligona" - Naučite nešto novo. 1. Kako izmjeriti površinu figure? -Svi znaju pojam područja iz životnog iskustva. Abu r-Rayhan al-Buruni. 3. Ciljevi časa: Od danas ćemo učiti da računamo površine različitih geometrijskih oblika. Često čujemo: "površina našeg stana je 63 m2." Cherevina Oksana Nikolaevna.

“Površine geometrije figura” - figure koje imaju jednake površine nazivaju se jednakim površinama. H. S=(a?b):2. Pravougaonik, trougao, paralelogram. C. S=a?b. D. Nastavnik: Ivniaminova L.A. Područja figura. A. B. b. Autori: Zyryanova N. Jafarova A, razred 8b.

“Pravilan poligon” - zaključak 1. Pravilni poligoni. Osnovne formule. R. Pravilan trokut. Zaključak 2. Krug opisan oko pravilnog mnogougla. r. Posljedice. Krug upisan u pravilan poligon. Regular hexagon. O. Primjena formula. U bilo koji pravilan poligon možete upisati krug, i to samo jedan.

"Paralelogram" - Paralelogram. Ako četverokut ima suprotne stranice jednake u paru, onda je četverougao paralelogram. Ako su dvije stranice četverougla jednake i paralelne. Šta je paralelogram? Znakovi paralelograma. U paralelogramu su suprotne strane i suprotni uglovi jednaki. Dijagonale paralelograma podijeljene su na pola točkom presjeka.

“Pravougaonik romb kvadrat” - Rješavanje zadataka na temu “Pravougaonik. A. Odgovori na skrining test. Pronađite: MD + DN. Rhombus. Svrha časa: Objediniti teorijski materijal na temu „Pravougaonik. Teorijski samostalni rad Popunite tabelu, označavajući znakove + (da), - (ne). Tačni odgovori na teorijski samostalni rad.

Ukupno ima 19 prezentacija