Slaid 2

Matemaatika on noorte teadus. Muidu ei saa olla. Matemaatika on vaimse võimlemise vorm, mis nõuab kogu nooruse painduvust ja vastupidavust. Norbert Wiener (1894-1964), Ameerika teadlane

Slaid 3

numbrite a ja b seos (matemaatilised avaldised), mis on ühendatud märkidega Ebavõrdsus -

Slaid 4

Ajalooline taust Võrdsuse ja ebavõrdsuse tõestamise probleemid tekkisid juba ammustel aegadel. Võrdsus- ja ebavõrdsusmärkide tähistamiseks kasutati erisõnu või nende lühendeid. IV sajand eKr, Euclid, Elementide V raamat: kui a, b, c, d on positiivsed arvud ja a on suurim arv proportsioonis a/b=c/d, siis kehtib võrratus a+d=b + c. III sajand, Aleksandria Pappuse põhitöö “Matemaatikakogu”: kui a, b, c, d on positiivsed arvud ja a/b>c/d, siis on ebavõrdsus ad>bc täidetud. Rohkem kui 2000 eKr teadaolev ebavõrdsus muutub tõeliseks võrdsuseks, kui a=b.

Slaid 5

Kaasaegsed erimärgid 1557. Võrdsusmärgi = võttis kasutusele inglise matemaatik R. Ricord. Tema motiiv: "Kaks objekti ei saa olla võrdsemad kui kaks paralleelset segmenti." 1631 Märgid > ja

Slaid 6

Võrratuste tüübid Muutujaga (üks või mitu) Range Mitterange mooduliga Parameetriga Mittestandardsed Süsteemid Kogud Arvlihtsad Topeltkordsed Algebralised täisarvud: -lineaarne -ruutarvuline -kõrgemad astmed Murd-ratsionaalne Irratsionaalne Trigonomeetriline Eksponentlogaritmiline Segatüüp

Slaid 7

Võrratuste lahendamise meetodid Graafika Põhiline Spetsiaalne Funktsionaal-graafiline Võrratuste omaduste kasutamine Üleminek ekvivalentsüsteemidele Üleminek ekvivalentsetele kogumitele Muutuja asendamine Intervallmeetod (kaasa arvatud üldistatud) Algebraline Jagamismeetod mitterangete võrratuste jaoks

Slaid 8

on muutuja väärtus, mis asendamisel muudab selle tõeliseks arvuliseks võrratuseks. Lahendage ebavõrdsus – leidke kõik selle lahendused või tõestage, et neid pole. Kaht ebavõrdsust nimetatakse võrdväärseks, kui kummagi kõik lahendused on teise ebavõrdsuse lahendused või kui mõlemal võrratusel pole lahendusi. Võrratused Võrratuste lahendamine ühes muutujas

Slaid 9

Kirjeldage ebavõrdsust. Lahenda suuliselt 3)(x – 2)(x + 3)  0

Slaid 10

Graafiline meetod

Lahendage graafiliselt võrratus 1) Koostage graaf 2) Koostage graaf samas koordinaatsüsteemis. 3) Leidke graafikute lõikepunktide abstsiss (väärtused on võetud ligikaudu, täpsust kontrollime asendamise teel). 4) Määrame graafikult selle võrratuse lahendi. 5) Kirjutage vastus üles.

Slaid 11

Funktsionaalgraafiline meetod võrratuse f(x) lahendamiseks

Slaid 12

Funktsionaalgraafiline meetod Lahendage võrratus: 3) Võrrandil f(x)=g(x) on kõige rohkem üks juur. Lahendus. 4) Valimisega leiame, et x = 2. II Joonistame skemaatiliselt arvteljel Ox punkti x = 2 läbivate funktsioonide f (x) ja g (x) graafikud. III Määrame lahendused ja kirjutame vastuse. Vastus. x -7 määramata 2

Slaid 13

Lahendage ebavõrdsused:

Slaid 14

Koostage funktsiooni Unified State Examination-9 graafikud, 2008

Slaid 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

Slaid 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Määrake parameetri a iga väärtuse võrratuse lahenduste arv

Slaid 17

Koostage funktsiooni Unified State Examination-9 graafik, 2008

Slaid 18

Slaid 19

Üks mugavamaid ruutvõrratuste lahendamise meetodeid on graafiline meetod. Selles artiklis vaatleme, kuidas ruutvõrratusi graafiliselt lahendatakse. Kõigepealt arutleme selle meetodi olemuse üle. Järgmisena tutvustame algoritmi ja vaatleme ruutvõrratuste graafilise lahendamise näiteid.

Leheküljel navigeerimine.

Graafilise meetodi olemus

Üleüldse graafiline meetod võrratuste lahendamiseksühe muutujaga ei kasutata mitte ainult ruutvõrratuste, vaid ka muud tüüpi võrratuste lahendamiseks. Sisuliselt graafiline meetod lahendusi ebavõrdsusele järgmiseks: vaatleme funktsioone y=f(x) ja y=g(x), mis vastavad võrratuse vasakule ja paremale poolele, koostame nende graafikud ühte ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ja selgitame välja, milliste intervallidega on ühe graafik need on teisest madalamad või kõrgemad. Need intervallid, kus

• funktsiooni f graafik funktsiooni g graafiku kohal on võrratuse f(x)>g(x) lahendid;
• funktsiooni f graafik, mis ei ole madalam funktsiooni g graafikust, on võrratuse f(x)≥g(x) lahendid;
• f graafik allpool g graafikut on võrratuse f(x) lahendid
• funktsiooni f graafik, mis ei ole kõrgem kui funktsiooni g graafik, on võrratuse f(x)≤g(x) lahendid.

Samuti ütleme, et funktsioonide f ja g graafikute lõikepunktide abstsissid on võrrandi f(x)=g(x) lahendid.

Kanname need tulemused üle meie juhtumile - ruutvõrratuse a x 2 +b x+c lahendamiseks<0 (≤, >, ≥).

Tutvustame kahte funktsiooni: esimene y=a x 2 +b x+c (koos f(x)=a x 2 +b x+c) vastab ruutvõrratuse vasakule küljele, teine ​​y=0 (koos g ( x)=0 ) vastab võrratuse paremale poolele. Ajakava ruutfunktsioon f on parabool ja graafik pidev funktsioon g – sirgjoon, mis langeb kokku abstsissteljega Ox.

Järgmiseks tuleb võrratuste lahendamise graafilise meetodi kohaselt analüüsida, milliste intervallidega asub ühe funktsiooni graafik teise kohal või all, mis võimaldab ruutvõrratuse soovitud lahendi üles kirjutada. Meie puhul peame analüüsima parabooli asukohta härja telje suhtes.

Sõltuvalt koefitsientide a, b ja c väärtustest on võimalikud järgmised kuus võimalust (meie vajaduste jaoks piisab skemaatilisest esitusest ja me ei pea Oy telge kujutama, kuna selle asukoht ei mõjuta lahendused ebavõrdsusele):

Sellel joonisel näeme parabooli, mille oksad on suunatud ülespoole ja mis lõikab härja telge kahes punktis, mille abstsissid on x 1 ja x 2. See joonis vastab valikule, kui koefitsient a on positiivne (see vastutab parabooli harude ülespoole suunatud suuna eest) ja kui väärtus on positiivne ruuttrinoomi diskriminant a x 2 +b x+c (sel juhul on trinoomil kaks juurt, mida tähistasime kui x 1 ja x 2 ning eeldasime, et x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 = −2 , x 2 =3 .

Selguse huvides kujutame punasega parabooli osi, mis asuvad x-telje kohal, ja sinisega neid, mis asuvad x-telje all.


Nüüd selgitame välja, millised intervallid vastavad nendele osadele. Järgmine joonis aitab teil neid tuvastada (edaspidi teeme sarnaseid valikuid mõtteliselt ristkülikute kujul):


Nii et abstsissteljel tõsteti punasega esile kaks intervalli (−∞, x 1) ja (x 2 , +∞), neil on parabool Ox-telje kohal, need moodustavad ruutvõrratuse a x 2 +b x lahendi. +c>0 , ja intervall (x 1 , x 2) on esile tõstetud sinisega, Ox-telje all on parabool, mis esindab võrratuse a x 2 +b x+c lahendit<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

Ja nüüd lühidalt: a>0 ja D=b 2 −4 puhul a c>0 (või D"=D/4>0 paariskoefitsiendi b korral)

• ruutvõrratuse a x 2 +b x+c>0 lahend on (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) või muus tähises x x2;
• ruutvõrratuse a x 2 +b x+c≥0 lahend on (−∞, x 1 ]∪ või mõnes muus tähises x 1 ≤x≤x 2 ,

kus x 1 ja x 2 on ruuttrinoomi a x 2 +b x+c ja x 1 juured


Siin näeme parabooli, mille oksad on suunatud ülespoole ja mis puudutab abstsisstellge, see tähendab, et sellel on temaga üks ühine punkt, tähistame selle punkti abstsissina x 0. Esitatud juhtum vastab a>0 (oksad on suunatud ülespoole) ja D=0 (ruuttrinoomil on üks juur x 0). Näiteks võib võtta ruutfunktsiooni y=x 2 −4·x+4, siin a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 ja x 0 =2.

Jooniselt on selgelt näha, et parabool asub Ox-telje kohal kõikjal, välja arvatud kokkupuutepunkt, see tähendab intervallidel (−∞, x 0), (x 0, ∞). Selguse huvides tõstame joonisel esile alad analoogselt eelmise lõiguga.


Teeme järeldused: kui a>0 ja D=0

• ruutvõrratuse a·x 2 +b·x+c>0 lahend on (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) või muus tähises x≠x 0;
• ruutvõrratuse a·x 2 +b·x+c≥0 lahend on (−∞, +∞) või muus tähises x∈R ;
• ruutvõrratus a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• ruutvõrratus a x 2 +b x+c≤0 omab ainulaadset lahendit x=x 0 (selle annab puutumispunkt),

kus x 0 on ruutkolminoomi a x 2 + b x + c juur.


Sel juhul on parabooli harud suunatud ülespoole ja sellel ei ole abstsissteljega ühiseid punkte. Siin on tingimused a>0 (oksad on suunatud ülespoole) ja D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Ilmselgelt asub parabool kogu oma pikkuses Hrja telje kohal (pole mingeid intervalle, mille järel ta on Härg-teljest allpool, puudub puutumispunkt).


Seega a>0 ja D korral<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 ja a x 2 +b x+c≥0 on kõigi reaalarvude ja võrratuste a x 2 +b x+c hulk<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Ja parabooli asukohaks jääb kolm võimalust, mille oksad on suunatud härja telje suhtes alla, mitte ülespoole. Põhimõtteliselt ei pea neid arvesse võtma, kuna ebavõrdsuse mõlema poole korrutamine -1-ga võimaldab meil jõuda samaväärse võrratuseni, millel on x 2 positiivne koefitsient. Kuid ikkagi ei tee paha, kui neist juhtumitest aimu saab. Arutluskäik on siin sarnane, seega paneme kirja ainult peamised tulemused.

Lahenduse algoritm

Kõigi eelnevate arvutuste tulemus on algoritm ruutvõrratuste graafiliseks lahendamiseks:

Koordinaattasandile tehakse skemaatiline joonis, millel on kujutatud Ox-telge (Oy-telge pole vaja kujutada) ja ruutfunktsioonile y=a·x 2 +b·x+c vastava parabooli eskiis. Parabooli visandi joonistamiseks piisab kahe punkti selgitamisest:

• Esiteks määratakse koefitsiendi a väärtusega see, kuhu selle harud on suunatud (a>0 puhul ülespoole, a<0 – вниз).
• Ja teiseks, ruuttrinoomi a x 2 + b x + c diskriminandi väärtusega tehakse kindlaks, kas parabool lõikub abstsisstelljega kahes punktis (D>0 puhul), puudutab seda ühes punktis (D=0 korral) või sellel pole härja teljega ühiseid punkte (punktis D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Kui joonis on valmis, kasutage seda algoritmi teises etapis

  • ruutvõrratuse a·x 2 +b·x+c>0 lahendamisel määratakse intervallid, mille juures parabool asub abstsissi kohal;
  • võrratuse a·x 2 +b·x+c≥0 lahendamisel määratakse intervallid, mille juures parabool asub abstsissteljest kõrgemal ja liidetakse lõikepunktide abstsissid (või puutujapunkti abstsissid). neid;
  • võrratuse a x 2 +b x+c lahendamisel<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • lõpuks leitakse ruutvõrratuse lahendamisel kujul a·x 2 +b·x+c≤0 intervallid, milles parabool on allpool Ox-telge ja lõikepunktide abstsiss (või puutujapunkti abstsiss ) lisatakse neile;

  need moodustavad ruutvõrratuse soovitud lahendi ja kui selliseid intervalle ja puutepunkte pole, siis pole algsel ruutvõrratusel lahendusi.

Jääb vaid selle algoritmi abil lahendada mõned ruutvõrratused.

Näited lahendustega

Näide.

Lahendage ebavõrdsus .

Lahendus.

Peame lahendama ruutvõrratuse, kasutame eelmise lõigu algoritmi. Esimeses etapis peame joonistama ruutfunktsiooni graafiku . Koefitsient x 2 on võrdne 2-ga, see on positiivne, seetõttu on parabooli harud suunatud ülespoole. Uurime ka, kas paraboolil on ühiseid punkte x-teljega, arvutame välja ruuttrinoomi diskriminandi . Meil on . Diskriminant osutus suuremaks kui null, seetõttu on trinoomil kaks tegelikku juurt: Ja st x 1 =−3 ja x 2 =1/3.

Sellest on selge, et parabool lõikab härja telge kahes punktis abstsissidega −3 ja 1/3. Joonisel kujutame neid punkte tavaliste punktidena, kuna lahendame mitterange ebavõrdsuse. Täpsustatud andmete põhjal saame järgmise joonise (see sobib artikli esimese lõigu esimese malliga):

Liigume edasi algoritmi teise sammu juurde. Kuna lahendame mitteranget ruutvõrratust märgiga ≤, tuleb määrata intervallid, mille järel parabool asub abstsissist allpool, ja liita neile lõikepunktide abstsissid.

Jooniselt on selgelt näha, et parabool asub intervallil (−3, 1/3) allpool x-telge ja sellele liidame lõikepunktide abstsissid ehk arvud −3 ja 1/3. Selle tulemusena jõuame arvulise intervallini [−3, 1/3] . See on lahendus, mida me otsime. Selle saab kirjutada topeltvõrratusena −3≤x≤1/3.

Vastus:

[−3, 1/3] või −3≤x≤1/3.

Näide.

Leia ruutvõrratuse −x 2 +16 x −63 lahend<0 .

Lahendus.

Nagu tavaliselt, alustame joonistamisega. Muutuja ruudu arvuline koefitsient on negatiivne, −1, seetõttu on parabooli harud suunatud allapoole. Arvutame diskriminandi või veel parem selle neljanda osa: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Selle väärtus on positiivne, arvutame ruudukujulise trinoomi juured: Ja , x 1 = 7 ja x 2 = 9. Seega lõikub parabool härja teljega kahes punktis abstsissidega 7 ja 9 (esialgne ebavõrdsus on range, seega kujutame neid punkte tühja keskpunktiga) Nüüd saame teha skemaatilise joonise:

Kuna me lahendame märgiga range ruutvõrratuse<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Jooniselt on näha, et algse ruutvõrratuse lahendid on kaks intervalli (−∞, 7) , (9, +∞) .

Vastus:

(−∞, 7)∪(9, +∞) või mõnes muus tähises x<7 , x>9 .

Ruutvõrratuste lahendamisel, kui ruuttrinoomi diskriminant selle vasakul küljel on null, tuleb olla ettevaatlik puutujapunkti abstsissi vastusesse kaasamisel või väljajätmisel. See sõltub ebavõrdsuse märgist: kui ebavõrdsus on range, siis see ei ole ebavõrdsuse lahendus, aga kui see pole range, siis on.

Näide.

Kas ruutvõrratusel 10 x 2 −14 x+4,9≤0 on vähemalt üks lahend?

Lahendus.

Joonistame funktsiooni y=10 x 2 −14 x+4,9. Selle harud on suunatud ülespoole, kuna koefitsient x 2 on positiivne ja see puudutab abstsisstelge punktis, kus abstsiss on 0,7, kuna D"=(−7) 2 −10 4,9=0, kust või 0,7 kujul kümnendmurru skemaatiliselt näeb see välja järgmine:

Kuna lahendame ruutvõrratuse märgiga ≤, on selle lahenduseks intervallid, millel parabool on Hrja telje all, ja puutujapunkti abstsiss. Jooniselt on selgelt näha, et seal pole ühtegi tühimikku, kus parabool oleks allpool Härg-telge, seega on selle lahenduseks ainult puutujapunkti abstsiss, see tähendab 0,7.

Vastus:

sellel ebavõrdsusel on ainulaadne lahendus 0,7.

Näide.

Lahenda ruutvõrratus –x 2 +8 x−16<0 .

Lahendus.

Lähtume ruutvõrratuste lahendamise algoritmist ja alustame graafiku koostamisest. Parabooli harud on suunatud allapoole, kuna x 2 koefitsient on negatiivne, −1. Leiame ruudu trinoomi diskriminandi –x 2 +8 x−16, saame D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 ja edasi x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Seega puudutab parabool Härgi telge abstsisspunktis 4. Teeme joonise:

Vaatame algse ebavõrdsuse märki, see on seal<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

Meie puhul on tegemist avatud kiirtega (−∞, 4) , (4, +∞) . Eraldi märgime, et 4 - puutepunkti abstsiss - ei ole lahendus, kuna kokkupuutepunktis ei ole parabool madalam kui Ox-telg.

Vastus:

(−∞, 4)∪(4, +∞) või mõnes muus tähises x≠4 .

Pöörake erilist tähelepanu juhtudele, kus ruutkõrvatuse vasakul poolel oleva ruuttrinoomi diskriminant on väiksem kui null. Siin pole vaja kiirustada ja väita, et ebavõrdsusel pole lahendeid (oleme harjunud sellist järeldust tegema negatiivse diskriminandiga ruutvõrrandite puhul). Asi on selles, et ruutvõrdsus D jaoks<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Näide.

Leia ruutvõrratuse 3 x 2 +1>0 lahend.

Lahendus.

Nagu tavaliselt, alustame joonistamisega. Koefitsient a on 3, see on positiivne, seetõttu on parabooli harud suunatud ülespoole. Arvutame diskriminandi: D=0 2 −4·3·1=−12 . Kuna diskriminant on negatiivne, pole paraboolil härja teljega ühiseid punkte. Saadud teabest piisab skemaatilise graafiku jaoks:

Lahendame range ruutvõrratuse > märgiga. Selle lahenduseks on kõik intervallid, milles parabool on Hrja telje kohal. Meie puhul on parabool kogu pikkuses x-telje kohal, nii et soovitud lahendus on kõigi reaalarvude hulk.

Ox , ja neile tuleb lisada ka ristumispunktide abstsiss või puutuja abstsiss. Kuid jooniselt on selgelt näha, et selliseid intervalle ei ole (kuna parabool on kõikjal abstsisstelje all), nagu pole ka lõikepunkte, nagu pole ka puutumispunkte. Seetõttu pole algsel ruutvõrrasel lahendusi.

Vastus:

lahendusteta või teises kirjes ∅.

Bibliograafia.

• Algebra:õpik 8. klassi jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: 9. klass: hariv. üldhariduse jaoks institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toimetanud S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M.: Haridus, 2009. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. 2 tunniga 1. osa. Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovitš A.G. Algebra. 9. klass. 2 osas 1. osa. Õpik üldharidusasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovitš A.G. Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 11. klass. 2 tunniga 1. osa. Õpik üldharidusasutuste õpilastele (profiilitase) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 2. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01027-2.

Võrrandite graafiline lahendus

Hiilgeaeg, 2009

Sissejuhatus

Vajaduse ruutvõrrandite lahendamiseks tingis iidsetel aegadel vajadus lahendada maa-alade leidmise ja sõjaliste kaevetöödega seotud probleeme, aga ka astronoomia ja matemaatika enda arenguga. Babüloonlased suutsid ruutvõrrandid lahendada umbes 2000 eKr. Nende võrrandite lahendamise reegel, mis on sätestatud Babüloonia tekstides, kattub sisuliselt tänapäevaste omadega, kuid pole teada, kuidas babüloonlased selle reeglini jõudsid.

Euroopa ruutvõrrandite lahendamise valemid esitati esmakordselt Itaalia matemaatiku Leonardo Fibonacci poolt 1202. aastal kirjutatud Abakuse raamatus. Tema raamat aitas kaasa algebraliste teadmiste levikule mitte ainult Itaalias, vaid ka Saksamaal, Prantsusmaal ja teistes Euroopa riikides.

Kuid ruutvõrrandite lahendamise üldreegli koos koefitsientide b ja c kõigi võimalike kombinatsioonidega sõnastas Euroopas alles 1544. aastal M. Stiefel.

Aastal 1591 Francois Viet tutvustas ruutvõrrandite lahendamise valemeid.

Vana-Babülonis võisid nad lahendada teatud tüüpi ruutvõrrandeid.

Diophantos Aleksandriast Ja Euclid, Al-Khwarizmi Ja Omar Khayyam lahendas võrrandeid geomeetriliste ja graafiliste meetodite abil.

7. klassis õppisime funktsioone y = C, y =kx, y =kx+ m, y =x 2,y = –x 2, 8. klassis - y = √x, y =|x|, y =kirves2 + bx+ c, y =k/ x. 9. klassi algebra õpikus nägin mulle veel tundmatuid funktsioone: y =x 3, y =x 4,y =x 2n, y =x- 2n, y = 3√x, (x– a) 2 + (y –b) 2 = r 2 ja teised. Nende funktsioonide graafikute koostamiseks on olemas reeglid. Mõtlesin, kas on muid funktsioone, mis nendele reeglitele järgivad.

Minu tööks on funktsioonigraafikute uurimine ja võrrandite graafiline lahendamine.

1. Millised on funktsioonid?

Funktsiooni graafik on koordinaattasandi kõigi punktide kogum, mille abstsissid on võrdsed argumentide väärtustega ja ordinaadid on võrdsed funktsiooni vastavate väärtustega.

Lineaarfunktsioon on antud võrrandiga y =kx+ b, Kus k Ja b- mõned numbrid. Selle funktsiooni graafik on sirgjoon.

Pöördvõrdeline funktsioon y =k/ x, kus k ¹ 0. Selle funktsiooni graafikut nimetatakse hüperbooliks.

Funktsioon (x– a) 2 + (y –b) 2 = r2 , Kus A, b Ja r- mõned numbrid. Selle funktsiooni graafik on ring raadiusega r, mille keskpunkt on punktis A ( A, b).

Ruutfunktsioon y= kirves2 + bx+ c Kus A,b, Koos– mõned numbrid ja A¹ 0. Selle funktsiooni graafik on parabool.

Võrrand juures2 (a– x) = x2 (a+ x) . Selle võrrandi graafik on kõver, mida nimetatakse strofiidiks.

/>Võrrand (x2 + y2 ) 2 = a(x2 – y2 ) . Selle võrrandi graafikut nimetatakse Bernoulli lemniskaadiks.

Võrrand. Selle võrrandi graafikut nimetatakse astroidiks.

Kõver (x2 y2 - 2 kirvest)2 =4 a2 (x2 + y2 ) . Seda kõverat nimetatakse kardioidiks.

Funktsioonid: y =x 3 – kuupparabool, y =x 4, y = 1/x 2.

2. Võrrandi mõiste ja selle graafiline lahendus

Võrrand– muutujat sisaldav avaldis.

Lahenda võrrand- see tähendab kõigi selle juurte leidmist või tõestamist, et neid pole olemas.

Võrrandi juur on arv, mis võrrandisse asendamisel annab õige arvulise võrdsuse.

Võrrandite graafiline lahendamine võimaldab leida juurte täpse või ligikaudse väärtuse, võimaldab leida võrrandi juurte arvu.

Graafikute koostamisel ja võrrandite lahendamisel kasutatakse funktsiooni omadusi, mistõttu nimetatakse meetodit sageli funktsionaal-graafiliseks.

Võrrandi lahendamiseks “jagame” selle kaheks osaks, tutvustame kahte funktsiooni, koostame nende graafikud ja leiame graafikute lõikepunktide koordinaadid. Nende punktide abstsissid on võrrandi juured.

3. Funktsioonigraafiku joonistamise algoritm

Funktsiooni graafiku tundmine y =f(x) , saate koostada funktsioonide graafikuid y =f(x+ m) ,y =f(x)+ l Ja y =f(x+ m)+ l. Kõik need graafikud saadakse funktsiooni graafikult y =f(x) kasutades paralleelülekande teisendust: kuni │ m│ skaalaühikud piki x-telge paremale või vasakule ja edasi │ l│ skaalaühikud piki telge üles või alla y.

4. Ruutvõrrandi graafiline lahendus

Kasutades näitena ruutfunktsiooni, vaatleme ruutvõrrandi graafilist lahendust. Ruutfunktsiooni graafik on parabool.

Mida teadsid vanad kreeklased paraboolist?

Kaasaegne matemaatiline sümboolika tekkis 16. sajandil.

Vana-Kreeka matemaatikutel ei olnud koordinaatide meetodit ega funktsiooni mõistet. Sellegipoolest uurisid nad parabooli omadusi üksikasjalikult. Muistsete matemaatikute leidlikkus on lihtsalt hämmastav – nad said ju kasutada vaid jooniseid ja sõltuvuste sõnalisi kirjeldusi.

Enim uuriti parabooli, hüperbooli ja ellipsi Apollonius Pergast, kes elas 3. sajandil eKr. Ta andis neile kõveratele nimed ja näitas, milliseid tingimusi rahuldavad sellel või teisel kõveral asuvad punktid (valemeid ju polnud!).

Parabooli konstrueerimiseks on olemas algoritm:

Leidke parabooli A (x0; y0) tipu koordinaadid: X=- b/2 a;

y0=axo2+in0+s;

Leia parabooli sümmeetriatelg (sirge x=x0);

PAGE_BREAK--

Koostame kontrollpunktide ehitamiseks väärtuste tabeli;

Konstrueerime saadud punktid ja konstrueerime punktid, mis on nende suhtes sümmeetriatelje suhtes sümmeetrilised.

1. Algoritmi abil konstrueerime parabooli y= x2 – 2 x– 3 . Teljega lõikepunktide abstsissid x ja ruutvõrrandil on juured x2 – 2 x– 3 = 0.

Selle võrrandi graafiliseks lahendamiseks on viis võimalust.

2. Jagame võrrandi kaheks funktsiooniks: y= x2 Ja y= 2 x+ 3

3. Jagame võrrandi kaheks funktsiooniks: y= x2 –3 Ja y=2 x. Võrrandi juurteks on parabooli ja sirge lõikepunktide abstsissid.

4. Teisenda võrrand x2 – 2 x– 3 = 0 eraldades terve ruudu funktsioonideks: y= (x–1) 2 Ja y=4. Võrrandi juurteks on parabooli ja sirge lõikepunktide abstsissid.

5. Jaga võrrandi mõlemad pooled liikmega x2 – 2 x– 3 = 0 peal x, saame x– 2 – 3/ x= 0 , jagame selle võrrandi kaheks funktsiooniks: y= x– 2, y= 3/ x. Võrrandi juurteks on sirge ja hüperbooli lõikepunktide abstsissid.

5. Kraadivõrrandite graafiline lahendaminen

Näide 1. Lahenda võrrand x5 = 3 – 2 x.

y= x5 , y= 3 – 2 x.

Vastus: x = 1.

Näide 2. Lahenda võrrand 3 √ x= 10 – x.

Selle võrrandi juurteks on kahe funktsiooni graafikute lõikepunkti abstsiss: y= 3 √ x, y= 10 – x.

Vastus: x = 8.

Järeldus

Olles vaadanud funktsioonide graafikuid: y =kirves2 + bx+ c, y =k/ x, у = √x, y =|x|, y =x 3, y =x 4,y = 3√x, Märkasin, et kõik need graafikud on üles ehitatud telgede suhtes paralleeltõlke reegli järgi x Ja y.

Ruutvõrrandi lahendamise näitel võime järeldada, et graafiline meetod on rakendatav ka n-astme võrrandite puhul.

Graafilised meetodid võrrandite lahendamiseks on ilusad ja arusaadavad, kuid ei anna 100% garantiid ühegi võrrandi lahendamisele. Graafikute lõikepunktide abstsissid võivad olla ligikaudsed.

9. klassis ja gümnaasiumis jätkan teiste funktsioonidega tutvumist. Mind huvitab, kas need funktsioonid järgivad graafikute koostamisel paralleelülekande reegleid.

Järgmisel aastal tahaksin käsitleda ka võrrandi- ja võrratussüsteemide graafilise lahendamise küsimusi.

Kirjandus

1. Algebra. 7. klass. Osa 1. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8. klass. Osa 1. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. klass. Osa 1. Õpik haridusasutustele / A.G. Mordkovitš. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Matemaatika ajalugu koolis. VII–VIII klass. – M.: Haridus, 1982.

5. Ajakiri Matemaatika nr 5 2009; nr 8 2007; nr 23 2008.

6. Võrrandite veebilehtede graafiline lahendamine Internetis: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; lk 3–6.htm.

Stavropoli territooriumi haridus- ja noorsoopoliitika ministeerium

Riigieelarveline erialane õppeasutus

Georgievski piirkondlik kolledž "Integral"

INDIVIDUAALPROJEKT

Distsipliinil “Matemaatika: algebra, matemaatilise analüüsi põhimõtted, geomeetria”

Teemal: “Võrrandite ja võrratuste graafiline lahendamine”

Lõpetanud erialal õppiv PK-61 rühma õpilane

"Programmeerimine arvutisüsteemides"

Zeller Timur Vitalievitš

Juhataja: õpetaja Serkova N.A.

Kohaletoomiskuupäev:"" 2017

Kaitsmise kuupäev:"" 2017

Georgievsk 2017

SELGITAV MÄRKUS

PROJEKTI EESMÄRK:

Sihtmärk: Selgita välja võrrandite ja võrratuste lahendamise graafilise meetodi eelised.

Ülesanded:

Võrrelge võrrandite ja võrratuste lahendamise analüütilisi ja graafilisi meetodeid.

Uurige, millistel juhtudel on graafilisel meetodil eeliseid.

Kaaluge võrrandite lahendamist mooduli ja parameetriga.

Uuringu asjakohasus: Erinevate autorite õpikute “Algebra ja matemaatilise analüüsi algus” võrrandite ja võrratuste graafilisele lahendamisele pühendatud materjali analüüs, võttes arvesse selle teema uurimise eesmärke. Nagu ka käsitletava teemaga seotud kohustuslikud õpiväljundid.

Sisu

Sissejuhatus

1. Võrrandid parameetritega

1.1. Definitsioonid

1.2. Lahenduse algoritm

1.3. Näited

2. Ebavõrdsused parameetritega

2.1. Definitsioonid

2.2. Lahenduse algoritm

2.3. Näited

3. Graafikute kasutamine võrrandite lahendamisel

3.1. Ruutvõrrandi graafiline lahendus

3.2. Võrrandisüsteemid

3.3. Trigonomeetrilised võrrandid

4. Graafikute rakendamine võrratuste lahendamisel

5.Järeldus

6. Viited

Sissejuhatus

Paljude füüsikaliste protsesside ja geomeetriliste mustrite uurimine viib sageli parameetritega seotud probleemide lahendamiseni. Mõned ülikoolid lisavad eksamitöödesse ka võrrandeid, võrratusi ja nende süsteeme, mis on sageli väga keerulised ja nõuavad ebastandardset lahenduskäsitlust. Koolis arvestatakse seda koolimatemaatikakursuse üht raskeimat lõiku vaid mõnes valikainetunnis.

Seda tööd ette valmistades seadsin eesmärgiks selle teema põhjalikuma uurimise, leides välja kõige ratsionaalsema lahenduse, mis viib kiiresti vastuseni. Minu arvates on graafiline meetod mugav ja kiire viis parameetritega võrrandite ja võrratuste lahendamiseks.

Minu projekt uurib sageli esinevaid võrrandite tüüpe, võrratusi ja nende süsteeme.

1. Võrrandid parameetritega

1. Põhimääratlused

Mõelge võrrandile

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

kus a, b, c, …, k, x on muutuvad suurused.

Igasugune muutuvate väärtuste süsteem

a = a 0 , b = b 0 , c = c 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

milles nii selle võrrandi vasak kui ka parem pool võtavad reaalseid väärtusi, nimetatakse muutujate a, b, c, ..., k, x lubatud väärtuste süsteemiks. Olgu A kõigi a lubatud väärtuste hulk, B on kõigi b lubatud väärtuste hulk jne, X on kõigi x lubatud väärtuste hulk, s.o. aA, bB, …, xX. Kui iga hulga A, B, C, …, K jaoks valime ja fikseerime vastavalt ühe väärtuse a, b, c, …, k ja asendame need võrrandiga (1), siis saame võrrandi x, st. võrrand ühe tundmatuga.

Võrrandi lahendamisel konstantseks loetavaid muutujaid a, b, c, ..., k nimetatakse parameetriteks ja võrrandit ennast parameetreid sisaldavaks võrrandiks.

Parameetrid on tähistatud ladina tähestiku esimeste tähtedega: a, b, c, d, ..., k, l, m, n ja tundmatud on tähistatud tähtedega x, y, z.

Võrrandi lahendamine parameetritega tähendab näitamist, millistel parameetrite väärtustel on lahendused olemas ja millised need on.

Kahte samu parameetreid sisaldavat võrrandit nimetatakse ekvivalentseteks, kui:

a) need on mõistlikud samade parameetrite väärtuste puhul;

b) iga esimese võrrandi lahendus on teise võrrandi lahend ja vastupidi.

1. Lahenduse algoritm

Leidke võrrandi definitsioonipiirkond.

Avaldame a funktsioonina x.

Koordinaadisüsteemis xOa koostame funktsiooni a=(x) graafiku nende x väärtuste jaoks, mis sisalduvad selle võrrandi definitsioonipiirkonnas.

Leiame sirge a=c lõikepunktid, kus c(-;+) funktsiooni a=(x) graafikuga Kui sirge a=c lõikub graafikuga a=(). x), siis määrame ristumispunktide abstsissid. Selleks piisab, kui lahendada x jaoks võrrand a=(x).

Kirjutame vastuse üles.

1. Näited

I. Lahenda võrrand

(1)

Lahendus.

Kuna x=0 ei ole võrrandi juur, saab võrrandi lahendada:

või

Funktsiooni graafik on kaks “liimitud” hüperbooli. Algvõrrandi lahendite arvu määrab konstrueeritud sirge ja sirge y=a lõikepunktide arv.

Kui a  (-;-1](1;+) , siis sirge y=a lõikab ühes punktis võrrandi (1) graafikut Selle punkti abstsissi leiame võrrandi lahendamisel x jaoks.

Seega on sellel intervallil võrrandil (1) lahendus.

Kui a , siis sirge y=a lõikub võrrandi (1) graafikuga kahes punktis. Nende punktide abstsissid saab leida võrranditest ja saame

Ja.

Kui a , siis sirge y=a ei ristu võrrandi (1) graafikuga, mistõttu lahendeid pole.

Vastus:

Kui a  (-;-1](1;+), siis;

Kui a  , siis ;

Kui a  , siis lahendusi pole.

II. Leia kõik parameetri a väärtused, mille võrrandil on kolm erinevat juurt.

Lahendus.

Olles võrrandi vormis ümber kirjutanud ja funktsioonide paari vaaginud, võite märgata, et parameetri a soovitud väärtused ja ainult need vastavad funktsioonigraafiku nendele asukohtadele, kus sellel on täpselt kolm lõikepunkti funktsiooni graafik.

Koordinaadisüsteemis xOy koostame funktsiooni graafiku). Selleks saame seda esitada kujul ja võttes arvesse nelja tekkivat juhtumit, kirjutame selle funktsiooni vormi

Kuna funktsiooni graafik on sirgjoon, mille kaldenurk Ox-telje suhtes on võrdne Oy teljega punktis, mille koordinaadid (0, a) lõikab seda, järeldame, et kolm näidatud lõikepunkti on võimalik saada ainult juhul, kui see joon puudutab funktsiooni graafikut. Seetõttu leiame tuletise

Vastus:.

III. Leidke parameetri a kõik väärtused, millest igaühe jaoks on võrrandisüsteem

on lahendused.

Lahendus.

Süsteemi esimesest võrrandist, mille saame punktis Seetõttu määratleb see võrrand "poolparaboolide" perekonna - parabooli parempoolsed harud "libisevad" oma tippudega mööda abstsisstellge.

Valime teise võrrandi vasakult poolt täisruudud ja faktoriseerime selle

Teist võrrandit rahuldava tasandi punktide hulk on kaks sirget

Uurime välja, millistel parameetri a väärtustel on "poolparaboolide" perekonna kõveral vähemalt üks ühine punkt ühe saadud sirgjoonega.

Kui poolparabooli tipud asuvad punktist A paremal, aga punktist B vasakul (punkt B vastab „poolparabooli” tipule, mis puudutab

sirgjoon), siis ei ole vaadeldavatel graafikutel ühiseid punkte. Kui “poolparabooli” tipp langeb kokku punktiga A, siis.

Määrame unikaalse lahenduse olemasolu tingimusest süsteemile joont puudutava “poolparabooli” juhtumi

Sel juhul võrrand

on üks juur, kust leiame:

Järelikult pole algsel süsteemil lahendusi at, vaid juures või on vähemalt üks lahendus.

Vastus: a  (-;-3] (;+).

IV. Lahenda võrrand

Lahendus.

Võrdsust kasutades kirjutame antud võrrandi vormi ümber

See võrrand on samaväärne süsteemiga

Kirjutame võrrandi ümber kujul

. (*)

Viimast võrrandit on kõige lihtsam lahendada geomeetrilisi kaalutlusi kasutades. Koostame funktsioonide graafikud ja Graafikust järeldub, et graafikud ei ristu ja seetõttu pole võrrandil lahendeid.

Kui, siis kui funktsioonide graafikud langevad kokku ja seetõttu on kõik väärtused võrrandi (*) lahendid.

Kui graafikud ristuvad ühes punktis, mille abstsiss on. Seega, kui võrrandil (*) on ainulaadne lahendus - .

Uurime nüüd, millistel võrrandi (*) leitud lahendite väärtustel vastavad tingimused

Las siis olla. Süsteem võtab vormi

Selle lahenduseks on intervall x (1;5). Arvestades seda, võime järeldada, et kui algne võrrand on rahuldatud kõigi intervalli x väärtustega, on algne võrratus võrdne õige arvulise võrratusega 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

Integraalil (1;+∞) saame jällegi lineaarvõrratuse 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Sama tulemuse saab aga visuaalsetel ja samal ajal rangetel geomeetrilistel kaalutlustel. Joonisel 7 on toodud funktsioonide graafikud:y= f( x)=| x-1|+| x+1| Jay=4.

Joonis 7.

Funktsiooni integraali (-2;2) graafikuly= f(x) asub funktsiooni y=4 graafiku all, mis tähendab, et ebavõrdsusf(x)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Ebavõrdsused parameetritega.

Ühe või mitme parameetriga võrratuste lahendamine on reeglina keerulisem ülesanne võrreldes ülesandega, milles parameetreid pole.

Näiteks parameetrit a sisaldava võrratuse √a+x+√a-x>4 lahendamine nõuab loomulikult palju rohkem pingutust kui võrratuse √1+x + √1-x>1.

Mida tähendab nendest ebavõrdsustest esimese lahendamine? See tähendab sisuliselt mitte ainult ühe võrratuse, vaid terve klassi, terve hulga võrratuste lahendamist, mis saadakse, kui anname parameetrile konkreetsed arvväärtused. Teine kirjutatud võrratustest on esimese erijuhtum, kuna see saadakse sellest väärtusega a = 1.

Seega tähendab parameetreid sisaldava ebavõrdsuse lahendamine kindlaks teha, milliste parameetrite väärtuste juures on ebavõrdsusel lahendused ja kõigi selliste parameetrite väärtuste jaoks kõigi lahenduste leidmine.

Näide1:

Lahendage võrratus |x-a|+|x+a|< b, a<>0.

Selle ebavõrdsuse lahendamiseks kahe parameetrigaa u bKasutame geomeetrilisi kaalutlusi. Joonistel 8 ja 9 on toodud funktsioonide graafikud.

Y= f(x)=| x- a|+| x+ a| u y= b.

On ilmne, et millalb<=2| a| sirgey= bei ületa kõvera horisontaalset segmentiy=| x- a|+| x+ a| ja seetõttu ei ole ebavõrdsusel antud juhul lahendusi (joonis 8). Kuib>2| a|, seejärel riday= blõikub funktsiooni graafikugay= f(x) kahes punktis (-b/2; b) u (b/2; b)(Joonis 6) ja ebavõrdsus kehtib sel juhul –b/2< x< b/2, kuna nende muutuja väärtuste korral on kõvery=| x+ a|+| x- a| asub sirgjoone ally= b.

Vastus: Kuib<=2| a| , siis pole lahendusi,

Kuib>2| a|, siisx €(- b/2; b/2).

III) Trigonomeetrilised ebavõrdsused:

Võrratuste lahendamisel trigonomeetriliste funktsioonidega kasutatakse sisuliselt nende funktsioonide perioodilisust ja monotoonsust vastavatel intervallidel. Lihtsamad trigonomeetrilised võrratused. Funktsioonpatt xon positiivne periood 2π. Seega vormi ebavõrdsused:sin x>a, sin x>=a,

sin x

Piisab, kui kõigepealt lahendada mõnel lõigul pikkusega 2π . Saame kõikide lahenduste hulga, lisades igale sellel segmendil leitud lahendusele vormi 2 numbridπ p, pЄZ.

Näide 1: Lahenda ebavõrdsuspatt x>-1/2.(Joonis 10)

Esmalt lahendame selle võrratuse intervallil [-π/2;3π/2]. Vaatleme selle vasakut külge – lõiku [-π/2;3π/2] Siin on võrrandpatt x=-1/2 on üks lahend x=-π/6; ja funktsioonpatt xsuureneb monotoonselt. See tähendab, et kui –π/2<= x<= -π/6, то patt x<= patt(- π /6)=-1/2, s.o. need x väärtused ei ole ebavõrdsuse lahendused. Kui –π/6<х<=π/2 то patt x> patt(-π/6) = –1/2. Kõik need x väärtused ei ole ebavõrdsuse lahendused.

Ülejäänud lõigul [π/2;3π/2] funktsioonpatt xvõrrand kahaneb ka monotoonseltpatt x= -1/2 on üks lahend x=7π/6. Seega, kui π/2<= x<7π/, то patt x> patt(7π/6)=-1/2, s.o. kõik need x väärtused on ebavõrdsuse lahendused. SestxMeil onpatt x<= patt(7π/6)=-1/2, need x väärtused ei ole lahendused. Seega on selle võrratuse kõigi lahendite hulk vahemikus [-π/2;3π/2] integraal (-π/6;7π/6).

Funktsiooni perioodilisuse tõttupatt xperioodiga 2π väärtused x mis tahes integraalist kujul: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, on ka lahendused ebavõrdsusele. Ükski teine ​​x väärtus ei ole selle ebavõrdsuse lahendus.

Vastus: -π/6+2πn< x<7π/6+2π n, KusnЄ Z.

Järeldus

Vaatasime võrrandite ja võrratuste lahendamise graafilist meetodit; Vaatasime konkreetseid näiteid, mille lahenduses kasutati selliseid funktsioonide omadusi nagu monotoonsus ja paarsus.Teaduskirjanduse ja matemaatikaõpikute analüüs võimaldas struktureerida valitud materjali vastavalt õppetöö eesmärkidele, valida ja välja töötada tõhusad meetodid võrrandite ja võrratuste lahendamiseks. Töös esitatakse võrrandite ja võrratuste lahendamise graafiline meetod ning näited, milles neid meetodeid kasutatakse. Projekti tulemuseks võib lugeda loovülesandeid, abimaterjaliks võrrandite ja võrratuste graafilisel meetodil lahendamise oskuse arendamiseks.

Kasutatud kirjanduse loetelu

Dalinger V. A. "Geomeetria aitab algebrat." Kirjastus “Kool - Press”. Moskva 1996

Dalinger V. A. "Kõik, et tagada edu matemaatika lõpu- ja sisseastumiseksamitel." Omski Pedagoogikaülikooli kirjastus. Omsk 1995

Okunev A. A. "Parameetritega võrrandite graafiline lahendus." Kirjastus “Kool - Press”. Moskva 1986

Pismensky D. T. "Matemaatika keskkooliõpilastele". Kirjastus “Iris”. Moskva 1996

Yastribinetsky G. A. "Parameetreid sisaldavad võrrandid ja võrratused." Kirjastus "Prosveštšenje". Moskva 1972

G. Korn ja T. Korn “Matemaatika käsiraamat”. Kirjastus “Teadus” füüsikalise ja matemaatilise kirjanduse. Moskva 1977

Amelkin V.V ja Rabtsevich V.L. "Probleemid parameetritega". Kirjastus “Asar”. Minsk 1996

Interneti-ressursid

Graafiline meetod on üks peamisi ruutvõrratuste lahendamise meetodeid. Artiklis tutvustame graafilise meetodi kasutamise algoritmi ja seejärel käsitleme näidete abil erijuhtumeid.

Graafilise meetodi olemus

Meetod on rakendatav mis tahes, mitte ainult ruutvõrratuste lahendamiseks. Selle olemus on järgmine: ebavõrdsuse paremat ja vasakut poolt vaadeldakse kahe eraldi funktsioonina y = f (x) ja y = g (x), nende graafikud kantakse ristkülikukujulises koordinaatsüsteemis ja vaadake, milline graafikutest on asub üksteise kohal ja millistel intervallidel. Intervallid on hinnatud järgmiselt:

Definitsioon 1

• võrratuse f (x) > g (x) lahendid on intervallid, kus funktsiooni f graafik on kõrgem kui funktsiooni g graafik;
• Võrratuse f (x) ≥ g (x) lahendid on intervallid, kus funktsiooni f graafik ei ole madalam funktsiooni g graafikust;
• võrratuse f(x) lahendid< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• võrratuse f (x) ≤ g (x) lahendid on intervallid, kus funktsiooni f graafik ei ole kõrgem funktsiooni g graafikust;
• Funktsioonide f ja g graafikute lõikepunktide abstsissid on võrrandi f (x) = g (x) lahendid.

Vaatame ülaltoodud algoritmi näite abil. Selleks võta ruutvõrratus a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) ja tuletage sellest kaks funktsiooni. Ebavõrdsuse vasak pool vastab y = a · x 2 + b · x + c (antud juhul f (x) = a · x 2 + b · x + c) ja parem pool y = 0 ( sel juhul g (x) = 0).

Esimese funktsiooni graafik on parabool, teise on sirge, mis langeb kokku x-teljega O x. Analüüsime parabooli asukohta O x telje suhtes. Selleks teeme skemaatilise joonise.

Parabooli oksad on suunatud ülespoole. See lõikub punktides O x teljega x 1 Ja x 2. Koefitsient a on sel juhul positiivne, kuna just see vastutab parabooli harude suuna eest. Diskriminant on positiivne, mis näitab, et ruuttrinoomil on kaks juurt a x 2 + b x + c. Tähistame trinoomi juured kui x 1 Ja x 2, ja sellega nõustuti x 1< x 2 , kuna O x teljel on kujutatud abstsissiga punkt x 1 abstsisspunktist vasakul x 2.

O x telje kohal asuvad parabooli osad on tähistatud punasega, allpool - sinisega. See võimaldab meil muuta joonise visuaalsemaks.

Valime välja nendele osadele vastavad ruumid ja märgime need pildile teatud värvi väljadega.

Märkisime punasega intervallid (− ∞, x 1) ja (x 2, + ∞), neil on parabool O x telje kohal. Need on a · x 2 + b · x + c > 0. Märkisime sinisega intervalli (x 1 , x 2), mis on võrratuse a x 2 + b x + c lahend.< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Teeme lahendusest lühikokkuvõtte. Kui a > 0 ja D = b 2 − 4 a c > 0 (või D " = D 4 > 0 paariskoefitsiendi b korral), saame:

• ruutvõrratuse a x 2 + b x + c > 0 lahend on (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) või muus tähises x< x 1 , x >x2;
• ruutvõrratuse a · x 2 + b · x + c ≥ 0 lahend on (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) või muul kujul x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• ruutvõrratuse a x 2 + b x + c lahendamine< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• ruutvõrratuse a x 2 + b x + c ≤ 0 lahend on [ x 1 , x 2 ] või mõnes muus tähises x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

kus x 1 ja x 2 on ruuttrinoomi a x 2 + b x + c ja x 1 juured< x 2 .

Sellel joonisel puudutab parabool O x telge ainult ühes punktis, mis on tähistatud kui x 0 a > 0. D = 0 Seetõttu on ruuttrinoomil üks juur x 0.

Parabool asub täielikult O x telje kohal, välja arvatud koordinaattelje puutumispunkt. Värvime intervallid (− ∞ , x 0) , (x 0 , ∞) .

Paneme tulemused kirja. Kell a > 0 Ja D = 0:

• ruutvõrratuse lahendamine a x 2 + b x + c > 0 on (− ∞ , x 0) ∪ (x 0 , + ∞) või mõnes muus tähistuses x ≠ x 0;
• ruutvõrratuse lahendamine a x 2 + b x + c ≥ 0 on (− ∞ , + ∞) või mõnes teises tähises x ∈ R;
• ruutvälist ebavõrdsust a x 2 + b x + c< 0 ei ole lahendusi (pole olemas intervalle, mille järel parabool asub telje all O x);
• ruutvälist ebavõrdsust a x 2 + b x + c ≤ 0 on ainulaadne lahendus x = x 0(selle annab kontaktpunkt),

Kus x 0- ruutkolminoomi juur a x 2 + b x + c.

Vaatleme kolmandat juhtumit, kui parabooli oksad on suunatud ülespoole ja ei puuduta telge O x. Parabooli oksad on suunatud ülespoole, mis tähendab, et a > 0. Ruuttrinoomil pole tegelikke juuri, sest D< 0 .

Graafikul puuduvad intervallid, mille korral parabool oleks x-telje all. Me võtame seda oma joonise värvi valimisel arvesse.

Selgub, et millal a > 0 Ja D< 0 ruutvõrratuste lahendamine a x 2 + b x + c > 0 Ja a x 2 + b x + c ≥ 0 on kõigi reaalarvude ja võrratuste hulk a x 2 + b x + c< 0 Ja a x 2 + b x + c ≤ 0 pole lahendusi.

Meil on jäänud kaaluda kolm võimalust, kui parabooli harud on suunatud allapoole. Nendel kolmel variandil pole vaja üksikasjalikult peatuda, sest kui korrutame võrratuse mõlemad pooled -1-ga, saame x 2 positiivse koefitsiendiga ekvivalentse võrratuse.

Artikli eelmise osa käsitlemine valmistas meid ette ebavõrdsuse lahendamise algoritmi tajumiseks graafilise meetodi abil. Arvutuste tegemiseks peame iga kord kasutama joonist, mis kujutab koordinaatjoont O x ja parabooli, mis vastab ruutfunktsioonile y = a x 2 + b x + c. Enamasti me O y-telge ei kujuta, kuna seda pole arvutusteks vaja ja see ainult koormab joonist üle.

Parabooli konstrueerimiseks peame teadma kahte asja:

2. definitsioon

• harude suund, mis määratakse koefitsiendi a väärtusega;
• parabooli ja abstsisstelje lõikepunktide olemasolu, mis määratakse ruuttrinoomi diskriminandi väärtusega a · x 2 + b · x + c .

Lõike- ja puutumispunkte tähistame mitterangete võrratuste lahendamisel tavapärasel viisil ja rangete võrratuste lahendamisel tühjaks.

Lõpetatud joonise olemasolu võimaldab liikuda lahenduse järgmise etapi juurde. See hõlmab intervallide määramist, mille järel parabool asub O x telje kohal või all. Intervallid ja lõikepunktid on ruutvõrratuse lahendus. Kui ristumis- või puutujapunkte pole ja intervalle pole, siis leitakse, et ülesande tingimustes määratud ebavõrdsusel pole lahendusi.

Nüüd lahendame ülaltoodud algoritmi abil mitu ruutvõrratust.

Näide 1

On vaja graafiliselt lahendada võrratus 2 x 2 + 5 1 3 x - 2.

Lahendus

Joonistame ruutfunktsiooni y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 graafiku. Koefitsient juures x 2 positiivne, sest see on võrdne 2 . See tähendab, et parabooli oksad on suunatud ülespoole.

Arvutagem välja ruuttrinoomi 2 x 2 + 5 1 3 x - 2 diskriminant, et teada saada, kas paraboolil on ühiseid punkte abstsissteljega. Saame:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Nagu näeme, on D suurem kui null, seega on meil kaks lõikepunkti: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 ja x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, see tähendab, x 1 = – 3 Ja x 2 = 1 3.

Lahendame mitterange ebavõrdsuse, seetõttu paneme graafikule tavalised punktid. Joonistame parabooli. Nagu näete, on joonisel sama välimus kui esimesel vaadeldaval mallil.

Meie ebavõrdsuse märk on ≤. Seetõttu peame graafikul esile tooma intervallid, kus parabool asub O x telje all, ja lisama neile lõikepunktid.

Vajalik intervall on 3, 1 3. Lisame sellele ristumispunktid ja saame numbrilise lõigu − 3, 1 3. See on meie probleemi lahendus. Vastuse saab kirjutada topeltvõrratusena: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Vastus:− 3 , 1 3 või − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Näide 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 graafiline meetod.

Lahendus

Muutuja ruudul on negatiivne arvkoefitsient, seega on parabooli harud suunatud allapoole. Arvutame diskriminandi neljanda osa D " = 8 2 - (- 1) · (- 63) = 64 - 63 = 1. See tulemus ütleb meile, et ristumispunkte on kaks.

Arvutame ruuttrinoomi juured: x 1 = - 8 + 1 - 1 ja x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 ja x 2 = 9.

Selgub, et parabool lõikub punktides x-teljega 7 Ja 9 . Märgime need punktid graafikul tühjaks, kuna töötame range ebavõrdsusega. Pärast seda joonistage parabool, mis lõikub O x teljega märgitud punktides.

Meid huvitavad intervallid, mille järel parabool asub O x telje all. Märgime need intervallid sinisega.

Saame vastuse: ebavõrdsuse lahenduseks on intervallid (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Vastus:(− ∞ , 7) ∪ (9 , + ∞) või mõnes muus tähises x< 7 , x > 9 .

Juhtudel, kui ruuttrinoomi diskriminant on null, tuleb hoolikalt kaaluda, kas lisada vastusesse puutujapunktide abstsissid. Õige otsuse tegemiseks on vaja arvestada ebavõrdsusmärgiga. Rangete võrratuste puhul ei ole x-telje puutepunkt ebavõrdsuse lahenduseks, kuid mitterangetes on see küll.

Näide 3

Lahenda ruutvõrratus 10 x 2 – 14 x + 4, 9 ≤ 0 graafiline meetod.

Lahendus

Parabooli oksad on sel juhul suunatud ülespoole. See puudutab O x telge punktides 0, 7, kuna

Joonistame funktsiooni y = 10 x 2 − 14 x + 4,9. Selle oksad on suunatud ülespoole, kuna koefitsient on x 2 positiivne ja see puudutab x-telje punktis x-telge 0 , 7 , sest D " = (- 7) 2 - 10 4, 9 = 0, kust x 0 = 7 10 või 0 , 7 .

Paneme punkti ja joonistame parabooli.

Lahendame mitterange ebavõrdsuse märgiga ≤. Seega. Meid huvitavad intervallid, mille järel parabool asub x-telje ja puutepunkti all. Joonisel puuduvad intervallid, mis rahuldaksid meie tingimusi. On ainult kontaktpunkt 0, 7. See on lahendus, mida me otsime.

Vastus: Ebavõrdsusel on ainult üks lahend 0, 7.

Näide 4

Lahenda ruutvõrratus – x 2 + 8 x – 16< 0 .

Lahendus

Parabooli oksad on suunatud allapoole. Diskriminant on null. Ristmispunkt x 0 = 4.

Märgime puutepunkti x-teljel ja joonistame parabooli.

Meil on tõsine ebavõrdsus. Järelikult oleme huvitatud intervallidest, mille järel parabool asub O x telje all. Märgistame need sinisega.

Punkt abstsissiga 4 ei ole lahendus, kuna selle juures olev parabool ei asu O x telje all. Järelikult saame kaks intervalli (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Vastus: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) või mõnes muus tähises x ≠ 4 .

Mitte alati koos negatiivne väärtus diskrimineerivale ebavõrdsusele pole lahendusi. On juhtumeid, kus lahenduseks on kõigi reaalarvude hulk.

Näide 5

Lahenda ruutvõrratus 3 x 2 + 1 > 0 graafiliselt.

Lahendus

Koefitsient a on positiivne. Diskriminant on negatiivne. Parabooli oksad on suunatud ülespoole. Parabooli ja O x telje lõikepunktid puuduvad. Vaatame joonist.

Töötame range ebavõrdsusega, millel on > märk. See tähendab, et meid huvitavad intervallid, mille järel parabool asub x-telje kohal. See on täpselt nii, kui vastuseks on kõigi reaalarvude hulk.

Vastus:(− ∞, + ∞) või nii x ∈ R.

Näide 6

Ebavõrdsusele on vaja lahendus leida – 2 x 2 – 7 x – 12 ≥ 0 graafiliselt.

Lahendus

Parabooli oksad on suunatud allapoole. Diskriminant on negatiivne, seetõttu pole parabooli ja x-telje vahel ühiseid punkte. Vaatame joonist.

Töötame mitterange ebavõrdsusega märgiga ≥, seetõttu pakuvad meile huvi intervallid, milles parabool asub x-telje kohal. Graafiku järgi otsustades selliseid lünki pole. See tähendab, et probleemitingimustes antud ebavõrdsusel pole lahendusi.

Vastus: Lahendusi pole.

Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter