Slajd 2

Matematyka jest nauką młodych. Nie może być inaczej. Matematyka jest formą gimnastyki umysłu, która wymaga całej elastyczności i wytrzymałości młodości.

Norbert Wiener (1894-1964), amerykański naukowiec

Slajd 3

związek między liczbami a i b (wyrażenia matematyczne), połączone znakami Nierówność -

Slajd 4

Tło historyczne Problemy udowadniania równości i nierówności pojawiły się już w starożytności. Do oznaczenia znaków równości i nierówności używano specjalnych słów lub ich skrótów. IV wiek p.n.e., Euklides, V Księga Żywiołów: jeśli a, b, c, d są liczbami dodatnimi i a jest największą liczbą w proporcji a/b=c/d, to zachodzi nierówność a+d=b + C. III wiek, główne dzieło Pappusa z Aleksandrii „Zbiór matematyczny”: jeśli a, b, c, d są liczbami dodatnimi i a/b>c/d, to nierówność ad>bc jest spełniona.

Ponad 2000 lat p.n.e nierówność była znana. Zamienia się ona w prawdziwą równość, gdy a=b.

Slajd 5

Nowoczesne znaki specjalne 1557. Znak równości = wprowadził angielski matematyk R. Ricord. Jego motyw: „Żadne dwa przedmioty nie mogą być bardziej równe niż dwa równoległe odcinki”.

1631 Znaki > i

Slajd 6

Rodzaje nierówności Ze zmienną (jedną lub więcej) Ścisłe Nieścisłe Z modułem Z parametrem Systemy niestandardowe Zbiory Numeryczne Proste Podwójne wielokrotności Liczby całkowite algebraiczne: -liniowe -kwadratowe -wyższe potęgi Ułamkowo-wymierne Nieracjonalne Trygonometryczne Wykładnicze Logarytmiczne Typ mieszany

jest wartością zmiennej, która po podstawieniu zamienia ją w prawdziwą nierówność numeryczną. Rozwiąż nierówność - znajdź wszystkie jej rozwiązania lub udowodnij, że ich nie ma. Dwie nierówności nazywamy równoważnymi, jeśli wszystkie rozwiązania każdej z nich są rozwiązaniami drugiej nierówności lub obie nierówności nie mają rozwiązań. Nierówności Rozwiązywanie nierówności w jednej zmiennej

Slajd 9

Opisz nierówności. Rozwiąż ustnie 3)(x – 2)(x + 3)  0

Slajd 10

Metoda graficzna

Rozwiąż graficznie nierówność 1) Skonstruuj wykres 2) Skonstruuj wykres w tym samym układzie współrzędnych. 3) Znajdź odciętą punktów przecięcia wykresów (wartości są przyjmowane w przybliżeniu, dokładność sprawdzamy przez podstawienie). 4) Z wykresu wyznaczamy rozwiązanie tej nierówności. 5) Zapisz odpowiedź.

Slajd 11

Funkcjonalno-graficzna metoda rozwiązywania nierówności f(x)

Slajd 12

Metoda funkcjonalno-graficzna Rozwiąż nierówność: 3) Równanie f(x)=g(x) ma co najwyżej jeden pierwiastek. Rozwiązanie. 4) Poprzez selekcję stwierdzamy, że x = 2. II. Przedstawmy schematycznie na osi liczbowej Ox wykresy funkcji f (x) i g (x) przechodzących przez punkt x = 2. III. Ustalmy rozwiązania i zapiszmy odpowiedź. Odpowiedź. x -7 niezdefiniowany 2

Slajd 13

Rozwiąż nierówności:

Slajd 14

Tworzenie wykresów funkcji Unified State Examination-9, 2008

Slajd 15

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 1) y=|x| 2) y=|x|-1 3) y=||x|-1| 4) y=||x|-1|-1 5) y=|||x|-1|-1| 6) y=|||x|-1|-1|-1 y=||||x|-1|-1|-1|

Slajd 16

y x O 1 1 -1 -1 -2 -3 -4 2 3 4 -2 -3 -4 2 3 4 Wyznacz liczbę przedziałów rozwiązań nierówności dla każdej wartości parametru a

Slajd 17

Zbuduj wykres funkcji Unified State Examination-9, 2008

Slajd 18

Slajd 19

Jedną z najwygodniejszych metod rozwiązywania nierówności kwadratowych jest metoda graficzna. W tym artykule przyjrzymy się, jak nierówności kwadratowe są rozwiązywane graficznie. Najpierw omówmy, jaka jest istota tej metody. Następnie przedstawimy algorytm i rozważymy przykłady graficznego rozwiązywania nierówności kwadratowych.

Nawigacja strony.

Istota metody graficznej

W ogóle graficzna metoda rozwiązywania nierówności z jedną zmienną służy nie tylko do rozwiązywania nierówności kwadratowych, ale także innych typów nierówności. Esencja metoda graficzna rozwiązania nierówności następnie: rozważ funkcje y=f(x) i y=g(x), które odpowiadają lewej i prawej stronie nierówności, zbuduj ich wykresy w jednym prostokątnym układzie współrzędnych i dowiedz się, w jakich odstępach przebiega wykres jednej z są niższe lub wyższe od pozostałych. Te interwały gdzie

• wykres funkcji f nad wykresem funkcji g to rozwiązania nierówności f(x)>g(x) ;
• wykres funkcji f nie mniejszy niż wykres funkcji g są rozwiązaniami nierówności f(x)≥g(x) ;
• wykres f poniżej wykresu g to rozwiązania nierówności f(x)
• wykres funkcji f nie większy niż wykres funkcji g są rozwiązaniami nierówności f(x)≤g(x) .

Powiemy też, że odcięte punktów przecięcia wykresów funkcji f i g są rozwiązaniami równania f(x)=g(x) .

Przenieśmy te wyniki na nasz przypadek - aby rozwiązać nierówność kwadratową a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

Wprowadzamy dwie funkcje: pierwszą y=a x 2 +b x+c (przy f(x)=a x 2 +b x+c) odpowiadającą lewej stronie nierówności kwadratowej, drugą y=0 (przy g ( x)=0 ) odpowiada prawej stronie nierówności. Harmonogram funkcja kwadratowa f jest parabolą i wykresem stała funkcja g – prosta zbiegająca się z osią odciętej Ox.

Następnie zgodnie z graficzną metodą rozwiązywania nierówności należy przeanalizować, w jakich odstępach wykres jednej funkcji znajduje się nad lub pod inną, co pozwoli nam zapisać pożądane rozwiązanie nierówności kwadratowej. W naszym przypadku musimy przeanalizować położenie paraboli względem osi Wołu.

W zależności od wartości współczynników a, b i c możliwych jest sześć następujących opcji (na nasze potrzeby wystarczające jest schematyczne przedstawienie i nie musimy przedstawiać osi Oy, ponieważ jej położenie nie ma wpływu na rozwiązania nierówności):

Na tym rysunku widzimy parabolę, której ramiona są skierowane w górę i która przecina oś Wołu w dwóch punktach, których odcięte wynoszą x 1 i x 2. Ten rysunek odpowiada opcji, gdy współczynnik a jest dodatni (odpowiada za kierunek gałęzi paraboli w górę) i gdy wartość jest dodatnia dyskryminator trójmianu kwadratowego a x 2 +b x+c (w tym przypadku trójmian ma dwa pierwiastki, które oznaczyliśmy jako x 1 i x 2 i założyliśmy, że x 1 0 , D=b 2 −4·a·c=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

Dla przejrzystości przedstawmy na czerwono części paraboli znajdujące się powyżej osi x, a na niebiesko – te znajdujące się poniżej osi x.


Teraz dowiedzmy się, które przedziały odpowiadają tym częściom. Poniższy rysunek pomoże Ci je zidentyfikować (w przyszłości będziemy dokonywać w myślach podobnych selekcji w postaci prostokątów):


Zatem na osi odciętych na czerwono zaznaczono dwa przedziały (−∞, x 1) i (x 2 , +∞), na nich parabola znajduje się nad osią Ox, stanowią one rozwiązanie nierówności kwadratowej a x 2 +b x +c>0 , a przedział (x 1 , x 2) jest podświetlony na niebiesko, pod osią Ox znajduje się parabola, która reprezentuje rozwiązanie nierówności a x 2 + b x + c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

A teraz krótko: dla a>0 i D=b 2 −4 a c>0 (lub D"=D/4>0 dla parzystego współczynnika b)

• rozwiązaniem nierówności kwadratowej a x 2 +b x+c>0 jest (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) lub w innym zapisie x x2;
• rozwiązaniem nierówności kwadratowej a x 2 +b x+c≥0 jest (−∞, x 1 ]∪ lub w innym zapisie x 1 ≤x≤x 2 ,

gdzie x 1 i x 2 są pierwiastkami trójmianu kwadratowego a x 2 +b x+c i x 1


Widzimy tutaj parabolę, której gałęzie są skierowane w górę i która dotyka osi odciętej, to znaczy ma z nią jeden wspólny punkt, oznaczamy odciętą tego punktu jako x 0. Przedstawiony przypadek odpowiada a>0 (gałęzie skierowane są w górę) i D=0 (trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek x 0). Na przykład możesz przyjąć funkcję kwadratową y=x 2 −4·x+4, tutaj a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 i x 0 =2.

Z rysunku wyraźnie wynika, że ​​parabola znajduje się powyżej osi Wółu wszędzie z wyjątkiem punktu styku, czyli na przedziałach (−∞, x 0), (x 0, ∞). Dla przejrzystości zaznaczmy obszary na rysunku analogicznie do poprzedniego akapitu.


Wyciągamy wnioski: dla a>0 i D=0

• rozwiązaniem nierówności kwadratowej a·x 2 +b·x+c>0 jest (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) lub w innym zapisie x≠x 0;
• rozwiązaniem nierówności kwadratowej a·x 2 +b·x+c≥0 jest (−∞, +∞) lub w innym zapisie x∈R ;
• nierówność kwadratowa a x 2 +b x+c<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• nierówność kwadratowa a x 2 +b x+c≤0 ma jednoznaczne rozwiązanie x=x 0 (jest dane przez punkt styczności),

gdzie x 0 jest pierwiastkiem trójmianu kwadratowego a x 2 + b x + c.


W tym przypadku gałęzie paraboli są skierowane w górę i nie ma ona punktów wspólnych z osią odciętych. Tutaj mamy warunki a>0 (gałęzie skierowane są w górę) i D<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , D=0 2 −4·2·1=−8<0 .

Oczywiście parabola na całej swojej długości znajduje się powyżej osi Wółu (nie ma odstępów, w których znajduje się poniżej osi Wółu, nie ma punktu styczności).


Zatem dla a>0 i D<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 i a x 2 +b x+c≥0 to zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, a nierówności a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

Pozostają trzy opcje lokalizacji paraboli z gałęziami skierowanymi w dół, a nie w górę, względem osi Wołu. W zasadzie nie trzeba ich brać pod uwagę, ponieważ pomnożenie obu stron nierówności przez -1 pozwala nam przejść do równoważnej nierówności z dodatnim współczynnikiem x 2. Ale nadal nie zaszkodzi zapoznać się z takimi przypadkami. Rozumowanie tutaj jest podobne, dlatego zapiszemy tylko główne wyniki.

Algorytm rozwiązania

Wynikiem wszystkich poprzednich obliczeń jest Algorytm rozwiązywania nierówności kwadratowych w formie graficznej:

Na płaszczyźnie współrzędnych wykonywany jest schematyczny rysunek przedstawiający oś Wół (nie jest konieczne przedstawianie osi Oy) oraz szkic paraboli odpowiadającej funkcji kwadratowej y=a·x 2 +b·x+c. Aby narysować szkic paraboli, wystarczy wyjaśnić dwa punkty:

• Po pierwsze, poprzez wartość współczynnika a określa się, w którą stronę skierowane są jego gałęzie (dla a>0 – w górę, dla a<0 – вниз).
• Po drugie, na podstawie wartości dyskryminatora trójmianu kwadratowego a x 2 + b x + c, określa się, czy parabola przecina oś odciętych w dwóch punktach (dla D>0), dotyka jej w jednym punkcie (dla D= 0) lub nie ma punktów wspólnych z osią Wółu (w D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• Gdy rysunek będzie gotowy, użyj go w drugim kroku algorytmu

  • przy rozwiązywaniu nierówności kwadratowej a·x 2 +b·x+c>0 wyznacza się odstępy, w których parabola znajduje się nad odciętą;
  • przy rozwiązywaniu nierówności a·x 2 +b·x+c≥0 wyznacza się odstępy, w jakich parabola znajduje się nad osią odciętych, i dodawane są odcięte punktów przecięcia (lub odcięte punktu stycznego) ich;
  • przy rozwiązywaniu nierówności a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • wreszcie rozwiązując nierówność kwadratową postaci a·x 2 +b·x+c≤0, znajdują się przedziały, w których parabola znajduje się poniżej osi Wółu, a odcięta punktów przecięcia (lub odcięta punktu stycznego ) jest do nich dodawany;

  stanowią one pożądane rozwiązanie nierówności kwadratowej, a jeśli nie ma takich przedziałów i punktów styczności, to pierwotna nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań.

Pozostaje tylko rozwiązać kilka nierówności kwadratowych za pomocą tego algorytmu.

Przykłady z rozwiązaniami

Przykład.

Rozwiąż nierówność .

Rozwiązanie.

Musimy rozwiązać nierówność kwadratową, skorzystajmy z algorytmu z poprzedniego akapitu. W pierwszym kroku musimy naszkicować wykres funkcji kwadratowej . Współczynnik x 2 jest równy 2, jest dodatni, dlatego gałęzie paraboli są skierowane w górę. Sprawdźmy także, czy parabola ma punkty wspólne z osią x; w tym celu obliczymy dyskryminator trójmianu kwadratowego . Mamy . Dyskryminator okazał się większy od zera, dlatego trójmian ma dwa rzeczywiste pierwiastki: I , to znaczy x 1 = −3 i x 2 = 1/3.

Z tego jasno wynika, że ​​parabola przecina oś Wołu w dwóch punktach z odciętymi -3 i 1/3. Przedstawimy te punkty na rysunku jako zwykłe punkty, ponieważ rozwiązujemy nieścisłą nierówność. Na podstawie wyjaśnionych danych otrzymujemy następujący rysunek (pasuje do pierwszego szablonu z pierwszego akapitu artykułu):

Przejdźmy do drugiego kroku algorytmu. Ponieważ rozwiązujemy nieścisłą nierówność kwadratową ze znakiem ≤, musimy wyznaczyć odstępy, w jakich parabola znajduje się poniżej osi odciętych i dodać do nich odcięte punktów przecięcia.

Z rysunku jasno wynika, że ​​parabola znajduje się poniżej osi x na przedziale (-3, 1/3) i dodajemy do niej odcięte punktów przecięcia, czyli liczby -3 i 1/3. W rezultacie dochodzimy do przedziału liczbowego [−3, 1/3] . To jest rozwiązanie, którego szukamy. Można to zapisać jako podwójną nierówność −3≤x≤1/3.

Odpowiedź:

[−3, 1/3] lub −3≤x≤1/3 .

Przykład.

Znajdź rozwiązanie nierówności kwadratowej −x 2 +16 x−63<0 .

Rozwiązanie.

Jak zwykle zaczynamy od rysunku. Współczynnik liczbowy kwadratu zmiennej jest ujemny, -1, dlatego ramiona paraboli są skierowane w dół. Obliczmy dyskryminator, a jeszcze lepiej jego czwartą część: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. Jego wartość jest dodatnia, obliczmy pierwiastki trójmianu kwadratowego: I , x 1 = 7 i x 2 = 9. Zatem parabola przecina oś Wołu w dwóch punktach z odciętymi 7 i 9 (pierwotna nierówność jest ścisła, dlatego przedstawimy te punkty z pustym środkiem. Teraz możemy wykonać schematyczny rysunek:

Ponieważ rozwiązujemy ścisłą nierówność kwadratową ze znakiem<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

Rysunek pokazuje, że rozwiązaniami pierwotnej nierówności kwadratowej są dwa przedziały (−∞, 7) , (9, +∞) .

Odpowiedź:

(−∞, 7)∪(9, +∞) lub w innym zapisie x<7 , x>9 .

Rozwiązując nierówności kwadratowe, gdy dyskryminator trójmianu kwadratowego po jego lewej stronie wynosi zero, należy zachować ostrożność, włączając lub wykluczając z odpowiedzi odciętą punktu stycznego. Zależy to od znaku nierówności: jeśli nierówność jest ścisła, to nie jest rozwiązaniem nierówności, ale jeśli nie jest ścisła, to tak.

Przykład.

Czy nierówność kwadratowa 10 x 2 −14 x+4,9≤0 ma przynajmniej jedno rozwiązanie?

Rozwiązanie.

Narysujmy funkcję y=10 x 2 −14 x+4,9. Jego gałęzie są skierowane w górę, ponieważ współczynnik x 2 jest dodatni i dotyka osi odciętych w punkcie z odciętą 0,7, ponieważ D"=(−7) 2 −10 4,9=0, skąd lub 0,7 w postaci ułamka dziesiętnego Schematycznie wygląda to tak:

Ponieważ rozwiązujemy nierówność kwadratową ze znakiem ≤, jej rozwiązaniem będą odcinki, na których parabola znajduje się poniżej osi Wółu, a także odcięta punktu stycznego. Z rysunku jasno wynika, że ​​nie ma ani jednej przerwy, w której parabola znajdowałaby się poniżej osi Wołu, więc jej rozwiązaniem będzie tylko odcięta punktu stycznego, czyli 0,7.

Odpowiedź:

ta nierówność ma unikalne rozwiązanie 0,7.

Przykład.

Rozwiąż nierówność kwadratową –x 2 +8 x−16<0 .

Rozwiązanie.

Postępujemy zgodnie z algorytmem rozwiązywania nierówności kwadratowych i zaczynamy od skonstruowania wykresu. Gałęzie paraboli są skierowane w dół, ponieważ współczynnik x 2 jest ujemny, -1. Znajdźmy dyskryminator kwadratowego trójmianu –x 2 +8 x−16, mamy D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0 a następnie x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . Zatem parabola dotyka osi Wołu w punkcie odciętej 4. Zróbmy rysunek:

Patrzymy na znak pierwotnej nierówności, on tam jest<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

W naszym przypadku są to promienie otwarte (−∞, 4) , (4, +∞) . Osobno zauważamy, że 4 - odcięta punktu styku - nie jest rozwiązaniem, ponieważ w punkcie styku parabola nie jest niższa niż oś Wołu.

Odpowiedź:

(−∞, 4)∪(4, +∞) lub w innym zapisie x≠4 .

Zwróć szczególną uwagę na przypadki, gdy dyskryminator trójmianu kwadratowego po lewej stronie nierówności kwadratowej jest mniejszy od zera. Nie ma co się tu spieszyć i mówić, że nierówność nie ma rozwiązań (jesteśmy przyzwyczajeni do wyciągania takiego wniosku dla równań kwadratowych z ujemnym dyskryminatorem). Chodzi o to, że nierówność kwadratowa dla D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

Przykład.

Znajdź rozwiązanie nierówności kwadratowej 3 x 2 +1>0.

Rozwiązanie.

Jak zwykle zaczynamy od rysunku. Współczynnik a wynosi 3, jest dodatni, dlatego gałęzie paraboli są skierowane w górę. Obliczamy dyskryminator: D=0 2 −4·3·1=−12 . Ponieważ dyskryminator jest ujemny, parabola nie ma punktów wspólnych z osią Wołu. Uzyskane informacje są wystarczające do stworzenia schematycznego wykresu:

Rozwiązujemy ścisłą nierówność kwadratową ze znakiem >. Jego rozwiązaniem będą wszystkie przedziały, w których parabola znajduje się powyżej osi Wołu. W naszym przypadku parabola na całej swojej długości znajduje się nad osią x, więc pożądanym rozwiązaniem będzie zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Wół , a także do nich należy dodać odciętą punktów przecięcia lub odciętą punktu styczności. Ale z rysunku wyraźnie widać, że takich odstępów nie ma (ponieważ parabola znajduje się wszędzie poniżej osi odciętej), tak jak nie ma punktów przecięcia, tak jak nie ma punktów styczności. Zatem pierwotna nierówność kwadratowa nie ma rozwiązań.

Odpowiedź:

brak rozwiązań lub w innym wpisie ∅.

Referencje.

• Algebra: podręcznik dla 8 klasy. wykształcenie ogólne instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2008. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Algebra: Klasa 9: edukacyjna. dla edukacji ogólnej instytucje / [Yu. N. Makaryczew, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; edytowany przez SA Telyakovsky. - wyd. 16. - M.: Edukacja, 2009. - 271 s. : chory. - ISBN 978-5-09-021134-5.
• Mordkovich A. G. Algebra. 8 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich. - wyd. 11, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: il. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Mordkovich A. G. Algebra. 9. klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 13, usunięte. - M.: Mnemosyne, 2011. - 222 s.: il. ISBN 978-5-346-01752-3.
• Mordkovich A. G. Algebra i początki analizy matematycznej. 11 klasa. Za 2 godziny Część 1. Podręcznik dla uczniów szkół ogólnokształcących (poziom profilu) / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - wyd. 2, skreślone. - M.: Mnemosyne, 2008. - 287 s.: il. ISBN 978-5-346-01027-2.

Graficzne rozwiązanie równań

Dzień świetności, 2009

Wstęp

Konieczność rozwiązywania równań kwadratowych w czasach starożytnych spowodowana była koniecznością rozwiązywania problemów związanych z ustalaniem obszarów prac lądowych i wykopalisk wojskowych, a także rozwojem astronomii i samej matematyki. Babilończycy potrafili rozwiązywać równania kwadratowe około 2000 roku p.n.e. Zasada rozwiązywania tych równań, podana w tekstach babilońskich, zasadniczo pokrywa się z regułami współczesnymi, ale nie wiadomo, w jaki sposób Babilończycy doszli do tej reguły.

Wzory rozwiązywania równań kwadratowych w Europie zostały po raz pierwszy przedstawione w Księdze liczydła, napisanej w 1202 roku przez włoskiego matematyka Leonarda Fibonacciego. Jego książka przyczyniła się do szerzenia wiedzy algebraicznej nie tylko we Włoszech, ale także w Niemczech, Francji i innych krajach europejskich.

Jednak ogólną zasadę rozwiązywania równań kwadratowych, ze wszystkimi możliwymi kombinacjami współczynników b i c, sformułował w Europie dopiero w 1544 r. M. Stiefel.

W 1591 r Francois Viet wprowadzono wzory na rozwiązywanie równań kwadratowych.

W starożytnym Babilonie potrafili rozwiązywać niektóre rodzaje równań kwadratowych.

Diofant z Aleksandrii I Euklides, Al-Khwarizmi I Omar Khayyam rozwiązywać równania metodami geometrycznymi i graficznymi.

W siódmej klasie uczyliśmy się funkcji y = C, y =kx, y =kx+ M, y =X 2,y = –X 2, w 8 klasie - y = √X, y =|X|, y =topór2 + bx+ C, y =k/ X. W podręczniku algebry dla 9. klasy zobaczyłem funkcje, które nie były mi jeszcze znane: y =X 3, y =X 4,y =X 2n, y =X- 2n, y = 3√X, (X– A) 2 + (y –B) 2 = R 2 i inne. Istnieją zasady konstruowania wykresów tych funkcji. Zastanawiałem się, czy istnieją inne funkcje przestrzegające tych zasad.

Moja praca polega na badaniu wykresów funkcji i graficznym rozwiązywaniu równań.

1. Jakie są funkcje?

Wykres funkcji to zbiór wszystkich punktów płaszczyzny współrzędnych, których odcięte są równe wartościom argumentów, a rzędne są równe odpowiednim wartościom funkcji.

Funkcję liniową podaje równanie y =kx+ B, Gdzie k I B- kilka liczb. Wykres tej funkcji jest linią prostą.

Funkcja odwrotna proporcjonalna y =k/ X, gdzie k ¹ 0. Wykres tej funkcji nazywa się hiperbolą.

Funkcjonować (X– A) 2 + (y –B) 2 = R2 , Gdzie A, B I R- kilka liczb. Wykresem tej funkcji jest okrąg o promieniu r ze środkiem w punkcie A ( A, B).

Funkcja kwadratowa y= topór2 + bx+ C Gdzie A,B, Z– kilka liczb i A¹ 0. Wykres tej funkcji jest parabolą.

Równanie Na2 (A– X) = X2 (A+ X) . Wykresem tego równania będzie krzywa zwana strofoidą.

/>Równanie (X2 + y2 ) 2 = A(X2 – y2 ) . Wykres tego równania nazywa się lemniskatą Bernoulliego.

Równanie. Wykres tego równania nazywa się astroidą.

Krzywa (X2 y2 – 2 siekiery)2 =4 a2 (X2 + y2 ) . Krzywa ta nazywana jest kardioidą.

Funkcje: y =X 3 – parabola sześcienna, y =X 4, y = 1/X 2.

2. Pojęcie równania i jego rozwiązanie graficzne

Równanie– wyrażenie zawierające zmienną.

Rozwiąż równanie- oznacza to odnalezienie wszystkich jego korzeni, czyli udowodnienie, że ich nie ma.

Pierwiastek równania to liczba, która po podstawieniu do równania daje poprawną równość liczbową.

Graficzne rozwiązywanie równań pozwala znaleźć dokładną lub przybliżoną wartość pierwiastków, pozwala znaleźć liczbę pierwiastków równania.

Przy konstruowaniu wykresów i rozwiązywaniu równań wykorzystuje się właściwości funkcji, dlatego często nazywa się tę metodę funkcjonalno-graficzną.

Aby rozwiązać równanie, „dzielimy” je na dwie części, wprowadzamy dwie funkcje, budujemy ich wykresy i znajdujemy współrzędne punktów przecięcia wykresów. Odcięte tych punktów są pierwiastkami równania.

3. Algorytm wykreślania wykresu funkcji

Znajomość wykresu funkcji y =F(X) , możesz budować wykresy funkcji y =F(X+ M) ,y =F(X)+ l I y =F(X+ M)+ l. Wszystkie te wykresy uzyskuje się z wykresu funkcji y =F(X) przy użyciu transformacji przenoszenia równoległego: do │ M│ jednostki skali w prawo lub w lewo wzdłuż osi x i dalej │ l│ jednostki skali w górę lub w dół wzdłuż osi y.

4. Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego

Na przykładzie funkcji kwadratowej rozważymy graficzne rozwiązanie równania kwadratowego. Wykres funkcji kwadratowej jest parabolą.

Co starożytni Grecy wiedzieli o paraboli?

Nowoczesna symbolika matematyczna powstała w XVI wieku.

Starożytni greccy matematycy nie znali ani metody współrzędnych, ani pojęcia funkcji. Niemniej jednak szczegółowo zbadali właściwości paraboli. Pomysłowość starożytnych matematyków jest po prostu niesamowita - wszak potrafili posługiwać się jedynie rysunkami i słownymi opisami zależności.

Najpełniej zbadano parabolę, hiperbolę i elipsę Apoloniusz z Perge, który żył w III wieku p.n.e. Nadawał tym krzywym nazwy i wskazywał, jakie warunki spełniają punkty leżące na tej czy innej krzywej (w końcu nie było żadnych wzorów!).

Istnieje algorytm konstruowania paraboli:

Znajdź współrzędne wierzchołka paraboli A (x0; y0): X=- B/2 A;

y0=akso2+in0+s;

Znajdź oś symetrii paraboli (prosta x=x0);

STRONA_BREAK--

Kompilujemy tabelę wartości do konstruowania punktów kontrolnych;

Powstałe punkty konstruujemy i konstruujemy punkty, które są względem nich symetryczne względem osi symetrii.

1. Korzystając z algorytmu skonstruujemy parabolę y= X2 – 2 X– 3 . Odcięte punktów przecięcia z osią X i istnieją pierwiastki równania kwadratowego X2 – 2 X– 3 = 0.

Istnieje pięć sposobów graficznego rozwiązania tego równania.

2. Podzielmy równanie na dwie funkcje: y= X2 I y= 2 X+ 3

3. Rozłóżmy równanie na dwie funkcje: y= X2 –3 I y=2 X. Pierwiastkami równania są odcięte punktów przecięcia paraboli i prostej.

4. Przekształć równanie X2 – 2 X– 3 = 0 poprzez izolację całego kwadratu na funkcje: y= (X–1) 2 I y=4. Pierwiastkami równania są odcięte punktów przecięcia paraboli i prostej.

5. Podziel obie strony równania wyraz po wyrazie X2 – 2 X– 3 = 0 NA X, otrzymujemy X– 2 – 3/ X= 0 , podzielmy to równanie na dwie funkcje: y= X– 2, y= 3/ X. Pierwiastkami równania są odcięte punktów przecięcia prostej i hiperboli.

5. Graficzne rozwiązanie równań stopniaN

Przykład 1. Rozwiąż równanie X5 = 3 – 2 X.

y= X5 , y= 3 – 2 X.

Odpowiedź: x = 1.

Przykład 2. Rozwiąż równanie 3 √ X= 10 – X.

Pierwiastkami tego równania są odcięte punktu przecięcia wykresów dwóch funkcji: y= 3 √ X, y= 10 – X.

Odpowiedź: x = 8.

Wniosek

Po obejrzeniu wykresów funkcji: y =topór2 + bx+ C, y =k/ X, y = √X, y =|X|, y =X 3, y =X 4,y = 3√X, Zauważyłem, że wszystkie te wykresy zbudowane są według zasady przesunięcia równoległego względem osi X I y.

Na przykładzie rozwiązania równania kwadratowego możemy stwierdzić, że metodę graficzną można zastosować także do równań stopnia n.

Graficzne metody rozwiązywania równań są piękne i zrozumiałe, ale nie dają 100% gwarancji rozwiązania żadnego równania. Odcięte punktów przecięcia wykresów mogą być przybliżone.

W dziewiątej klasie i przez całe liceum będę nadal zgłębiać inne funkcje. Interesuje mnie, czy funkcje te przestrzegają zasad przenoszenia równoległego podczas konstruowania swoich wykresów.

W przyszłym roku chciałbym także poruszyć zagadnienia graficznego rozwiązywania układów równań i nierówności.

Literatura

1. Algebra. 7. klasa. Część 1. Podręcznik dla instytucji edukacyjnych / A.G. Mordkowicz. M.: Mnemosyne, 2007.

2. Algebra. 8 klasa. Część 1. Podręcznik dla instytucji edukacyjnych / A.G. Mordkowicz. M.: Mnemosyne, 2007.

3. Algebra. 9. klasa. Część 1. Podręcznik dla instytucji edukacyjnych / A.G. Mordkowicz. M.: Mnemosyne, 2007.

4. Glazer G.I. Historia matematyki w szkole. Klasy VII–VIII. – M.: Edukacja, 1982.

5. Dziennik Matematyka nr 5 2009; nr 8 2007; Nr 23 2008.

6. Graficzne rozwiązywanie równań stron internetowych w Internecie: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; strony 3–6.htm.

Ministerstwo Edukacji i Polityki Młodzieżowej Terytorium Stawropola

Państwowa budżetowa profesjonalna instytucja edukacyjna

Gruzijewskie Kolegium Regionalne „Integralne”

PROJEKT INDYWIDUALNY

W dyscyplinie „Matematyka: algebra, zasady analizy matematycznej, geometria”

Na temat: „Graficzne rozwiązanie równań i nierówności”

Ukończone przez studenta grupy PK-61 studiującego na specjalności

„Programowanie w systemach komputerowych”

Zeller Timur Witalijewicz

Kierownik: nauczyciel Serkova N.A.

Data dostawy:" " 2017

Data obrony:" " 2017

Georgiewsk 2017

NOTA WYJAŚNIAJĄCA

CEL PROJEKTU:

Cel: Poznaj zalety graficznej metody rozwiązywania równań i nierówności.

Zadania:

Porównaj analityczne i graficzne metody rozwiązywania równań i nierówności.

Dowiedz się, w jakich przypadkach metoda graficzna ma zalety.

Rozważ rozwiązanie równań z modułem i parametrem.

Znaczenie badania: Analiza materiału poświęconego graficznemu rozwiązywaniu równań i nierówności w podręcznikach „Algebra i początki analizy matematycznej” różnych autorów, z uwzględnieniem celów studiowania tego tematu. Jak również obowiązkowe efekty kształcenia związane z rozważanym tematem.

Treść

Wstęp

1. Równania z parametrami

1.1. Definicje

1.2. Algorytm rozwiązania

1.3. Przykłady

2. Nierówności z parametrami

2.1. Definicje

2.2. Algorytm rozwiązania

2.3. Przykłady

3. Wykorzystanie wykresów w rozwiązywaniu równań

3.1. Graficzne rozwiązanie równania kwadratowego

3.2. Układy równań

3.3. Równania trygonometryczne

4. Zastosowanie grafów w rozwiązywaniu nierówności

5.Wniosek

6. Referencje

Wstęp

Badanie wielu procesów fizycznych i wzorów geometrycznych często prowadzi do rozwiązywania problemów z parametrami. Niektóre uczelnie w arkuszach egzaminacyjnych uwzględniają także równania, nierówności i ich układy, które często są bardzo złożone i wymagają niestandardowego podejścia do rozwiązania. W szkole ta jedna z najtrudniejszych części szkolnego kursu matematyki jest uwzględniana tylko w kilku zajęciach fakultatywnych.

Przygotowując tę ​​pracę postawiłem sobie za cel głębsze przestudiowanie tego tematu, wskazanie najbardziej racjonalnego rozwiązania, które szybko doprowadzi do odpowiedzi. Moim zdaniem metoda graficzna jest wygodnym i szybkim sposobem rozwiązywania równań i nierówności z parametrami.

W moim projekcie badam często spotykane typy równań, nierówności i ich układy.

1. Równania z parametrami

1. Podstawowe definicje

Rozważ równanie

(a, b, c, …, k, x)=(a, b, c, …, k, x), (1)

gdzie a, b, c,…, k, x są wielkościami zmiennymi.

Dowolny system wartości zmiennych

a = a 0 , b = b 0 , do = do 0 , …, k = k 0 , x = x 0 ,

w którym zarówno lewa, jak i prawa strona tego równania przyjmują wartości rzeczywiste, nazywa się układem dopuszczalnych wartości zmiennych a, b, c, ..., k, x. Niech A będzie zbiorem wszystkich dopuszczalnych wartości a, B będzie zbiorem wszystkich dopuszczalnych wartości b itd., X będzie zbiorem wszystkich dopuszczalnych wartości x, tj. aA, bB, …, xX. Jeżeli dla każdego ze zbiorów A, B, C, …, K wybierzemy i ustalimy odpowiednio jedną wartość a, b, c, …, k i podstawimy je do równania (1), to otrzymamy równanie na x, tj. równanie z jedną niewiadomą.

Zmienne a, b, c, ..., k, które przy rozwiązywaniu równania są uważane za stałe, nazywane są parametrami, a samo równanie nazywa się równaniem zawierającym parametry.

Parametry są oznaczone pierwszymi literami alfabetu łacińskiego: a, b, c, d, ..., k, l, m, n, a niewiadome są oznaczone literami x, y, z.

Rozwiązać równanie z parametrami oznacza wskazać, przy jakich wartościach parametrów istnieją rozwiązania i czym one są.

Dwa równania zawierające te same parametry nazywamy równoważnymi, jeśli:

a) mają sens dla tych samych wartości parametrów;

b) każde rozwiązanie pierwszego równania jest rozwiązaniem drugiego i odwrotnie.

1. Algorytm rozwiązania

Znajdź dziedzinę definicji równania.

Wyrażamy a jako funkcję x.

W układzie współrzędnych xOa konstruujemy wykres funkcji a=(x) dla tych wartości x, które wchodzą w dziedzinę definicji tego równania.

Znajdujemy punkty przecięcia prostej a=c, gdzie c(-;+) z wykresem funkcji a=(x). Jeżeli prosta a=c przecina wykres a=( x), następnie wyznaczamy odcięte punktów przecięcia. Aby to zrobić, wystarczy rozwiązać równanie a=(x) dla x.

Zapisujemy odpowiedź.

1. Przykłady

I. Rozwiąż równanie

(1)

Rozwiązanie.

Ponieważ x=0 nie jest pierwiastkiem równania, równanie można rozwiązać dla:

Lub

Wykres funkcji to dwie „sklejone” hiperbole. O liczbie rozwiązań pierwotnego równania decyduje liczba punktów przecięcia skonstruowanej prostej i prostej y=a.

Jeżeli a  (-;-1](1;+) , to prosta y=a przecina wykres równania (1) w jednym punkcie.Odciętą tego punktu wyznaczamy rozwiązując równanie X.

Zatem w tym przedziale równanie (1) ma rozwiązanie.

Jeżeli a , to prosta y=a przecina wykres równania (1) w dwóch punktach. Odcięte tych punktów można znaleźć z równań i otrzymujemy

I.

Jeżeli a , to prosta y=a nie przecina wykresu równania (1), zatem nie ma rozwiązań.

Odpowiedź:

Jeśli a  (-;-1](1;+), to;

Jeśli  , to;

Jeśli , to nie ma rozwiązań.

II. Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla których równanie ma trzy różne pierwiastki.

Rozwiązanie.

Po przepisaniu równania w formie i rozważeniu pary funkcji można zauważyć, że pożądane wartości parametru a i tylko one będą odpowiadać tym pozycjom wykresu funkcji, w którym ma on dokładnie trzy punkty przecięcia z wykres funkcji.

W układzie współrzędnych xOy skonstruujemy wykres funkcji). Aby to zrobić, możemy przedstawić to w formie i po rozważeniu czterech powstałych przypadków zapisujemy tę funkcję w formie

Ponieważ wykres funkcji jest linią prostą, która ma kąt nachylenia do osi Ox równy i przecina oś Oy w punkcie o współrzędnych (0, a), wnioskujemy, że trzy wskazane punkty przecięcia można uzyskać tylko w przypadku, gdy linia ta styka się z wykresem funkcji. Dlatego znajdujemy pochodną

Odpowiedź: .

III. Znajdź wszystkie wartości parametru a, dla każdego z nich układ równań

ma rozwiązania.

Rozwiązanie.

Z pierwszego równania układu, które otrzymujemy, równanie to definiuje rodzinę „półparaboli” - prawe gałęzie paraboli „przesuwają się” swoimi wierzchołkami wzdłuż osi odciętych.

Wybierzmy idealne kwadraty po lewej stronie drugiego równania i rozłóżmy je na czynniki

Zbiór punktów płaszczyzny spełniających drugie równanie to dwie linie proste

Przekonajmy się, przy jakich wartościach parametru krzywa z rodziny „półparaboli” ma przynajmniej jeden punkt wspólny z jedną z powstałych prostych.

Jeżeli wierzchołki półparaboli znajdują się na prawo od punktu A, ale na lewo od punktu B (punkt B odpowiada wierzchołkowi „półparaboli” stykającej się

prosta), wówczas rozpatrywane wykresy nie mają punktów wspólnych. Jeśli wierzchołek „półparaboli” pokrywa się z punktem A, to.

Przypadek styku „półparaboli” z prostą wyznaczamy z warunku istnienia jednoznacznego rozwiązania układu

W tym przypadku równanie

ma jeden pierwiastek, skąd znajdujemy:

W rezultacie oryginalny system nie ma rozwiązań w, ale w lub ma co najmniej jedno rozwiązanie.

Odpowiedź: a  (-;-3] (;+).

IV. Rozwiąż równanie

Rozwiązanie.

Korzystając z równości, przepisujemy podane równanie w postaci

To równanie jest równoważne systemowi

Zapisujemy równanie w postaci

. (*)

Ostatnie równanie najłatwiej rozwiązać, korzystając z rozważań geometrycznych. Skonstruujmy wykresy funkcji i Z wykresu wynika, że ​​wykresy się nie przecinają i dlatego równanie nie ma rozwiązań.

Jeśli to kiedy wykresy funkcji pokrywają się i dlatego wszystkie wartości są rozwiązaniami równania (*).

Kiedy wykresy przecinają się w jednym punkcie, którego odcięta wynosi. Zatem, gdy równanie (*) ma unikalne rozwiązanie - .

Zbadajmy teraz, przy jakich wartościach znalezionych rozwiązań równania (*) będą spełniać warunki

Niech tak będzie. System przyjmie formę

Jego rozwiązaniem będzie przedział x (1;5). Biorąc to pod uwagę, możemy stwierdzić, że jeśli pierwotne równanie spełniają wszystkie wartości x z przedziału, to pierwotna nierówność jest równoważna poprawnej nierówności liczbowej 2<4.Поэтому все значения переменной, принадлежащие этому отрезку, входят в множество решений.

Na całce (1;+∞) ponownie otrzymujemy nierówność liniową 2х<4, справедливое при х<2. Поэтому интеграл (1;2) также входит в множество решений. Объединяя полученные результаты, делаем вывод: неравенству удовлетворяют все значения переменной из интеграла (-2;2) и только они.

Jednak ten sam wynik można uzyskać na podstawie wizualnych, a jednocześnie ścisłych rozważań geometrycznych. Rysunek 7 przedstawia wykresy funkcji:y= F( X)=| X-1|+| X+1| Iy=4.

Rysunek 7.

Na wykresie całkowym (-2;2) funkcjiy= F(X) znajduje się pod wykresem funkcji y=4, co oznacza nierównośćF(X)<4 справедливо. Ответ:(-2;2)

II )Nierówności z parametrami.

Rozwiązanie nierówności z jednym lub większą liczbą parametrów jest z reguły zadaniem bardziej złożonym w porównaniu z problemem, w którym nie ma parametrów.

Przykładowo nierówność √a+x+√a-x>4, która zawiera parametr a, wymaga oczywiście znacznie więcej wysiłku do rozwiązania niż nierówność √1+x + √1-x>1.

Co to znaczy rozwiązać pierwszą z tych nierówności? W istocie oznacza to rozwiązanie nie tylko jednej nierówności, ale całej klasy, całego zestawu nierówności, które uzyskujemy, jeśli przypiszemy określone wartości liczbowe parametrowi a. Druga z zapisanych nierówności jest szczególnym przypadkiem pierwszej, ponieważ jest z niej uzyskiwana o wartości a = 1.

Zatem rozwiązanie nierówności zawierającej parametry oznacza określenie, przy jakich wartościach parametrów nierówność ma rozwiązania i dla wszystkich takich wartości parametrów znalezienie wszystkich rozwiązań.

Przykład 1:

Rozwiąż nierówność |x-a|+|x+a|< B, A<>0.

Aby rozwiązać tę nierówność za pomocą dwóch parametrówA ty BSkorzystajmy z rozważań geometrycznych. Rysunki 8 i 9 przedstawiają wykresy funkcji.

Y= F(X)=| X- A|+| X+ A| ty y= B.

Wiadomo, kiedyB<=2| A| prostyy= Bnie przechodzi powyżej poziomego odcinka krzywejy=| X- A|+| X+ A| dlatego nierówność w tym przypadku nie ma rozwiązań (rysunek 8). JeśliB>2| A|, następnie liniay= Bprzecina wykres funkcjiy= F(X) w dwóch punktach (-B/2; B) ty (B/2; B)(Rysunek 6) i nierówność w tym przypadku obowiązuje dla –B/2< X< B/2, ponieważ dla tych wartości zmiennej krzyway=| X+ A|+| X- A| znajduje się pod linią prostąy= B.

Odpowiedź: JeśliB<=2| A| , to nie ma rozwiązań,

JeśliB>2| A|, zatemX €(- B/2; B/2).

III) Nierówności trygonometryczne:

Przy rozwiązywaniu nierówności za pomocą funkcji trygonometrycznych zasadniczo wykorzystuje się okresowość tych funkcji i ich monotoniczność w odpowiednich przedziałach. Najprostsze nierówności trygonometryczne. Funkcjonowaćgrzech Xma dodatni okres 2π. Zatem nierówności postaci:grzech x>a, grzech x>=a,

grzech x

Wystarczy najpierw rozwiązać pewien odcinek o długości 2π . Zbiór wszystkich rozwiązań otrzymujemy dodając do każdego z rozwiązań znajdujących się w tym segmencie liczby postaci 2π p, pЄZ.

Przykład 1: Rozwiąż nierównośćgrzech X>-1/2. (Rysunek 10)

Najpierw rozwiążmy tę nierówność na przedziale [-π/2;3π/2]. Rozważmy jego lewą stronę - odcinek [-π/2;3π/2]. Oto równaniegrzech X=-1/2 ma jedno rozwiązanie x=-π/6; i funkcjagrzech Xwzrasta monotonicznie. Oznacza to, że jeśli –π/2<= X<= -π/6, то grzech X<= grzech(- π /6)=-1/2, tj. te wartości x nie są rozwiązaniami nierówności. Jeśli –π/6<х<=π/2 то grzech X> grzech(-π/6) = –1/2. Wszystkie te wartości x nie są rozwiązaniami nierówności.

Na pozostałym odcinku [π/2;3π/2] funkcjagrzech Xrównanie również maleje monotoniczniegrzech X= -1/2 ma jedno rozwiązanie x=7π/6. Dlatego jeśli π/2<= X<7π/, то grzech X> grzech(7π/6)=-1/2, tj. wszystkie te wartości x są rozwiązaniami nierówności. DlaXMamygrzech X<= grzech(7π/6)=-1/2, te wartości x nie są rozwiązaniami. Zatem zbiór wszystkich rozwiązań tej nierówności na przedziale [-π/2;3π/2] jest całką (-π/6;7π/6).

Ze względu na okresowość funkcjigrzech Xz okresem 2π wartości x z dowolnej całki postaci: (-π/6+2πn;7π/6 +2πn),nЄZ, są również rozwiązaniami nierówności. Żadne inne wartości x nie są rozwiązaniami tej nierówności.

Odpowiedź: -π/6+2πN< X<7π/6+2π N, GdzieNЄ Z.

Wniosek

Przyjrzeliśmy się graficznej metodzie rozwiązywania równań i nierówności; Przyjrzeliśmy się konkretnym przykładom, których rozwiązanie wykorzystywało takie właściwości funkcji, jak monotoniczność i parzystość.Analiza literatury naukowej i podręczników matematyki pozwoliła ustrukturyzować wybrany materiał zgodnie z celami pracy, wybrać i opracować skuteczne metody rozwiązywania równań i nierówności. W artykule przedstawiono graficzną metodę rozwiązywania równań i nierówności oraz przykłady zastosowania tych metod. Wynik projektu można uznać za zadania twórcze, jako materiał pomocniczy do rozwijania umiejętności rozwiązywania równań i nierówności metodą graficzną.

Wykaz używanej literatury

Dalinger V. A. „Geometria pomaga algebrze”. Wydawnictwo „Szkoła – Prasa”. Moskwa 1996

Dalinger V. A. „Wszystko, aby zapewnić sukces na egzaminach końcowych i wstępnych z matematyki”. Wydawnictwo Omskiego Uniwersytetu Pedagogicznego. Omsk 1995

Okunev A. A. „Graficzne rozwiązanie równań z parametrami”. Wydawnictwo „Szkoła – Prasa”. Moskwa 1986

Pismensky D. T. „Matematyka dla uczniów szkół średnich”. Wydawnictwo „Iris”. Moskwa 1996

Yastribinetsky G. A. „Równania i nierówności zawierające parametry”. Wydawnictwo „Prosveshcheniye”. Moskwa 1972

G. Korn i T. Korn „Podręcznik matematyki”. Wydawnictwo „Science” literatura fizyczna i matematyczna. Moskwa 1977

Amelkin V.V. i Rabtsevich V.L. „Problemy z parametrami”. Wydawnictwo „Asar”. Mińsk 1996

Zasoby internetowe

Metoda graficzna jest jedną z głównych metod rozwiązywania nierówności kwadratowych. W artykule przedstawimy algorytm wykorzystania metody graficznej, a następnie rozważymy przypadki szczególne na przykładach.

Istota metody graficznej

Metodę można zastosować do rozwiązywania wszelkich nierówności, nie tylko kwadratowych. Jej istota jest następująca: prawą i lewą stronę nierówności traktuje się jako dwie odrębne funkcje y = f (x) i y = g (x), ich wykresy nanosi się w prostokątnym układzie współrzędnych i sprawdza, który z wykresów jest znajdują się nad sobą i w jakich odstępach. Odstępy są szacowane w następujący sposób:

Definicja 1

• rozwiązania nierówności f (x) > g (x) to przedziały, w których wykres funkcji f jest większy od wykresu funkcji g;
• rozwiązania nierówności f (x) ≥ g (x) to przedziały, w których wykres funkcji f jest nie mniejszy niż wykres funkcji g;
• rozwiązania nierówności f(x)< g (x) являются интервалы, где график функции f ниже графика функции g ;
• rozwiązania nierówności f (x) ≤ g (x) to przedziały, w których wykres funkcji f nie jest większy od wykresu funkcji g;
• Odcięte punktów przecięcia wykresów funkcji f i g są rozwiązaniami równania f (x) = g (x).

Przyjrzyjmy się powyższemu algorytmowi na przykładzie. Aby to zrobić, weź nierówność kwadratową a x 2 + b x + c< 0 (≤ , >, ≥) i wyprowadź z niego dwie funkcje. Lewa strona nierówności będzie odpowiadać y = a · x 2 + b · x + c (w tym przypadku f (x) = a · x 2 + b · x + c), a prawa strona y = 0 ( w tym przypadku g (x) = 0).

Wykres pierwszej funkcji jest parabolą, drugiej linią prostą, która pokrywa się z osią x Ox. Przeanalizujmy położenie paraboli względem osi Ox. Aby to zrobić, wykonajmy schematyczny rysunek.

Gałęzie paraboli są skierowane w górę. Przecina w punktach oś Ox x 1 I x 2. Współczynnik a w tym przypadku jest dodatni, ponieważ odpowiada za kierunek gałęzi paraboli. Dyskryminator jest dodatni, co wskazuje, że trójmian kwadratowy ma dwa pierwiastki za x 2 + b x + do. Oznaczamy pierwiastki trójmianu jako x 1 I x 2 i przyjęło się to x 1< x 2 , ponieważ punkt z odciętą jest przedstawiony na osi Ox x 1 na lewo od punktu odciętej x 2.

Części paraboli znajdujące się powyżej osi O x zostaną oznaczone kolorem czerwonym, poniżej - kolorem niebieskim. Dzięki temu rysunek będzie bardziej wizualny.

Wybierzmy przestrzenie odpowiadające tym częściom i zaznaczmy je na obrazku polami o określonym kolorze.

Na czerwono zaznaczyliśmy odstępy (− ∞, x 1) i (x 2, + ∞), na nich parabola znajduje się powyżej osi O x. Są to a · x 2 + b · x + c > 0. Kolorem niebieskim zaznaczyliśmy przedział (x 1 , x 2), który jest rozwiązaniem nierówności a x 2 + b x + c< 0 . Числа x 1 и x 2 будут отвечать равенству a · x 2 + b · x + c = 0 .

Zróbmy krótkie podsumowanie rozwiązania. Dla a > 0 i D = b 2 − 4 a c > 0 (lub D " = D 4 > 0 dla parzystego współczynnika b) otrzymujemy:

• rozwiązaniem nierówności kwadratowej a x 2 + b x + c > 0 jest (− ∞ , x 1) ∪ (x 2 , + ∞) lub w innym zapisie x< x 1 , x >x2;
• rozwiązaniem nierówności kwadratowej a · x 2 + b · x + c ≥ 0 jest (− ∞ , x 1 ] ∪ [ x 2 , + ∞) lub w innym zapisie x ≤ x 1 , x ≥ x 2 ;
• rozwiązanie nierówności kwadratowej a x 2 + b x + c< 0 является (x 1 , x 2) или в другой записи x 1 < x < x 2 ;
• rozwiązaniem nierówności kwadratowej a x 2 + b x + c ≤ 0 jest [ x 1 , x 2 ] lub w innym zapisie x 1 ≤ x ≤ x 2 ,

gdzie x 1 i x 2 są pierwiastkami trójmianu kwadratowego a x 2 + b x + c i x 1< x 2 .

Na tym rysunku parabola dotyka osi O x tylko w jednym punkcie, który jest oznaczony jako x 0 a > 0. D=0, zatem trójmian kwadratowy ma jeden pierwiastek x 0.

Parabola znajduje się całkowicie powyżej osi O x, z wyjątkiem punktu styczności osi współrzędnych. Pokolorujmy interwały (− ∞, x 0) , (x 0, ∞) .

Zapiszmy wyniki. Na a > 0 I D=0:

• rozwiązanie nierówności kwadratowej za x 2 + b x + do > 0 to (− ∞, x 0) ∪ (x 0, + ∞) lub w innym zapisie x ≠ x 0;
• rozwiązanie nierówności kwadratowej a x 2 + b x + do ≥ 0 Jest (− ∞ , + ∞) lub w innym zapisie x ∈ R;
• nierówność kwadratowa za x 2 + b x + do< 0 nie ma rozwiązań (nie ma przedziałów, w których parabola znajduje się poniżej osi Wół);
• nierówność kwadratowa za x 2 + b x + do ≤ 0 ma unikalne rozwiązanie x = x 0(podaje osoba kontaktowa),

Gdzie x 0- pierwiastek trójmianu kwadratowego za x 2 + b x + do.

Rozważmy trzeci przypadek, gdy gałęzie paraboli są skierowane w górę i nie dotykają osi Wół. Gałęzie paraboli są skierowane w górę, co oznacza, że a > 0. Trójmian kwadratowy nie ma rzeczywistych pierwiastków, ponieważ D< 0 .

Na wykresie nie ma przedziałów, w których parabola znajdowałaby się poniżej osi x. Weźmiemy to pod uwagę przy wyborze koloru naszego rysunku.

Okazuje się, że kiedy a > 0 I D< 0 rozwiązywanie nierówności kwadratowych za x 2 + b x + do > 0 I a x 2 + b x + do ≥ 0 jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych i nierówności za x 2 + b x + do< 0 I za x 2 + b x + do ≤ 0 nie mają rozwiązań.

Pozostały nam trzy opcje do rozważenia, gdy ramiona paraboli są skierowane w dół. Nie ma potrzeby szczegółowo rozwodzić się nad tymi trzema opcjami, ponieważ mnożąc obie strony nierówności przez - 1, otrzymujemy równoważną nierówność z dodatnim współczynnikiem x 2.

Rozważenie poprzedniej części artykułu przygotowało nas do dostrzeżenia algorytmu rozwiązywania nierówności metodą graficzną. Aby przeprowadzić obliczenia, za każdym razem będziemy musieli skorzystać z rysunku, który przedstawi linię współrzędnych O x i parabolę odpowiadającą funkcji kwadratowej y = za x 2 + b x + do. W większości przypadków nie będziemy przedstawiać osi O y, ponieważ nie jest ona potrzebna do obliczeń i jedynie przeciąży rysunek.

Aby skonstruować parabolę, musimy wiedzieć dwie rzeczy:

Definicja 2

• kierunek gałęzi, który jest określony przez wartość współczynnika a;
• obecność punktów przecięcia paraboli i osi odciętych, które są określone przez wartość dyskryminatora trójmianu kwadratowego a · x 2 + b · x + do .

Punkty przecięcia i styczności będziemy oznaczać w zwykły sposób przy rozwiązywaniu nierówności nieścisłych i puste przy rozwiązywaniu nierówności ścisłych.

Posiadanie gotowego rysunku pozwala przejść do kolejnego etapu rozwiązania. Polega ona na określeniu odstępów, w jakich parabola znajduje się powyżej lub poniżej osi O x. Przedziały i punkty przecięcia są rozwiązaniem nierówności kwadratowej. Jeżeli nie ma punktów przecięcia lub styczności i nie ma odstępów, to uważa się, że nierówność określona w warunkach zadania nie ma rozwiązań.

Rozwiążmy teraz kilka nierówności kwadratowych, korzystając z powyższego algorytmu.

Przykład 1

Należy rozwiązać graficznie nierówność 2 x 2 + 5 1 3 x - 2.

Rozwiązanie

Narysujmy wykres funkcji kwadratowej y = 2 · x 2 + 5 1 3 · x - 2 . Współczynnik przy x 2 dodatni, ponieważ jest równy 2 . Oznacza to, że ramiona paraboli będą skierowane w górę.

Obliczmy dyskryminator trójmianu kwadratowego 2 x 2 + 5 1 3 x - 2, aby dowiedzieć się, czy parabola ma punkty wspólne z osią odciętych. Otrzymujemy:

D = 5 1 3 2 - 4 2 (- 2) = 400 9

Jak widzimy, D jest większe od zera, dlatego mamy dwa punkty przecięcia: x 1 = - 5 1 3 - 400 9 2 2 i x 2 = - 5 1 3 + 400 9 2 2, czyli x 1 = - 3 I x 2 = 1 3.

Rozwiązujemy nieścisłą nierówność, dlatego na wykresie umieszczamy punkty zwyczajne. Narysujmy parabolę. Jak widać, rysunek ma taki sam wygląd, jak w pierwszym rozważanym przez nas szablonie.

Nasza nierówność ma znak ≤. Musimy zatem zaznaczyć na wykresie przedziały, w których parabola znajduje się poniżej osi O x i dodać do nich punkty przecięcia.

Przedział, którego potrzebujemy, to 3, 1 3. Dodajemy do niego punkty przecięcia i otrzymujemy odcinek liczbowy – 3, 1 3. To jest rozwiązanie naszego problemu. Odpowiedź można zapisać w postaci podwójnej nierówności: − 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Odpowiedź:- 3 , 1 3 lub - 3 ≤ x ≤ 1 3 .

Przykład 2

− x 2 + 16 x − 63< 0 metoda graficzna.

Rozwiązanie

Kwadrat zmiennej ma ujemny współczynnik liczbowy, więc ramiona paraboli będą skierowane w dół. Obliczmy czwartą część wyróżnika re " = 8 2 - (- 1) · (- 63) = 64 - 63 = 1. Wynik ten mówi nam, że będą dwa punkty przecięcia.

Obliczmy pierwiastki trójmianu kwadratowego: x 1 = - 8 + 1 - 1 i x 2 = - 8 - 1 - 1, x 1 = 7 i x2 = 9.

Okazuje się, że parabola przecina oś x w punktach 7 I 9 . Oznaczmy te punkty na wykresie jako puste, ponieważ pracujemy ze ścisłą nierównością. Następnie narysuj parabolę przecinającą oś O x w zaznaczonych punktach.

Nas będą interesować odstępy, w których parabola znajduje się poniżej osi Ox. Zaznaczmy te odstępy na niebiesko.

Otrzymujemy odpowiedź: rozwiązaniem nierówności są przedziały (− ∞, 7) , (9, + ∞) .

Odpowiedź:(− ∞, 7) ∪ (9, + ∞) lub w innym zapisie x< 7 , x > 9 .

W przypadkach, gdy dyskryminator trójmianu kwadratowego wynosi zero, należy dokładnie rozważyć, czy uwzględnić w odpowiedzi odciętą punktów stycznych. Aby podjąć właściwą decyzję, należy wziąć pod uwagę znak nierówności. W nierównościach ścisłych punkt styczności osi x nie jest rozwiązaniem nierówności, ale w nierównościach nieścisłych tak.

Przykład 3

Rozwiąż nierówność kwadratową 10 x 2 - 14 x + 4, 9 ≤ 0 metoda graficzna.

Rozwiązanie

Gałęzie paraboli w tym przypadku będą skierowane w górę. Dotknie osi O x w punkcie 0, 7, ponieważ

Narysujmy funkcję y = 10 x 2 - 14 x + 4, 9. Jego gałęzie są skierowane w górę, ponieważ współczynnik przy x 2 dodatni i dotyka osi x w punkcie osi x 0 , 7 , ponieważ re " = (- 7) 2 - 10 4, 9 = 0, skąd x 0 = 7 10 lub 0 , 7 .

Umieśćmy punkt i narysujmy parabolę.

Rozwiązujemy nieścisłą nierówność ze znakiem ≤. Stąd. Nas będą interesować odstępy, w których parabola znajduje się poniżej osi x oraz punkt styczności. Na rysunku nie ma przedziałów, które spełniałyby nasze warunki. Jest tylko punkt styku 0, 7. To jest rozwiązanie, którego szukamy.

Odpowiedź: Nierówność ma tylko jedno rozwiązanie 0, 7.

Przykład 4

Rozwiąż nierówność kwadratową – x 2 + 8 x − 16< 0 .

Rozwiązanie

Gałęzie paraboli są skierowane w dół. Dyskryminator wynosi zero. Punkt przecięcia x 0 = 4.

Zaznaczamy punkt styczności na osi x i rysujemy parabolę.

Mamy do czynienia z poważną nierównością. W związku z tym interesują nas odstępy, w jakich parabola znajduje się poniżej osi O x. Zaznaczmy je na niebiesko.

Punkt z odciętą 4 nie jest rozwiązaniem, gdyż parabola w nim nie leży poniżej osi Ox. W rezultacie otrzymujemy dwa przedziały (− ∞ , 4) , (4 , + ∞) .

Odpowiedź: (− ∞ , 4) ∪ (4 , + ∞) lub w innym zapisie x ≠ 4 .

Nie zawsze z wartość ujemna nierówność dyskryminacyjna nie będzie miała rozwiązań. Zdarzają się przypadki, gdy rozwiązaniem jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Przykład 5

Rozwiąż graficznie nierówność kwadratową 3 x 2 + 1 > 0.

Rozwiązanie

Współczynnik a jest dodatni. Wyróżnik jest ujemny. Gałęzie paraboli będą skierowane w górę. Nie ma punktów przecięcia paraboli z osią O x. Spójrzmy na rysunek.

Pracujemy ze ścisłą nierównością, która ma znak >. Oznacza to, że interesują nas odstępy, w których parabola znajduje się nad osią x. Dzieje się tak dokładnie w przypadku, gdy odpowiedzią jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Odpowiedź:(− ∞, + ∞) lub mniej więcej x ∈ R.

Przykład 6

Należy znaleźć rozwiązanie nierówności – 2 x 2 – 7 x – 12 ≥ 0 graficznie.

Rozwiązanie

Gałęzie paraboli są skierowane w dół. Dyskryminator jest ujemny, dlatego nie ma punktów wspólnych między parabolą a osią x. Spójrzmy na rysunek.

Pracujemy z nierównością nieścisłą ze znakiem ≥, dlatego interesują nas odstępy, w jakich parabola znajduje się nad osią x. Sądząc po wykresie, takich luk nie ma. Oznacza to, że nierówność podana w warunkach problemowych nie ma rozwiązań.

Odpowiedź:Żadnych rozwiązań.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter