Como encontrar a derivada?

Regras de diferenciação.

Para encontrar a derivada de qualquer função, você precisa dominar apenas três conceitos:

2. Regras de diferenciação.

3. Derivada de uma função complexa.

Exatamente nessa ordem. É uma dica.)

Claro, seria bom ter uma ideia sobre derivativos em geral). O que é uma derivada e como trabalhar com a tabela de derivadas é explicado claramente na lição anterior. Aqui vamos lidar com as regras de diferenciação.

A diferenciação é a operação de encontrar a derivada. Não há nada mais escondido por trás deste termo. Aqueles. expressões "encontrar a derivada de uma função" E "diferenciar uma função"- É o mesmo.

Expressão "regras de diferenciação" refere-se a encontrar a derivada partir de operações aritméticas. Esse entendimento ajuda muito a evitar confusões na sua cabeça.

Vamos nos concentrar e lembrar de todas, todas, todas as operações aritméticas. Há quatro deles). Adição (soma), subtração (diferença), multiplicação (produto) e divisão (quociente). Aqui estão elas, as regras de diferenciação:

A placa mostra cinco regras sobre quatro operaçoes aritimeticas. Não fui enganado.) Acontece que a regra 4 é uma consequência elementar da regra 3. Mas é tão popular que faz sentido escrevê-la (e lembre-se!) como uma fórmula independente.

Sob as designações você E V algumas funções (absolutamente qualquer!) estão implícitas você(x) E V(x).

Vejamos alguns exemplos. Primeiro - os mais simples.

Encontre a derivada da função y=sinx - x 2

Aqui temos diferença duas funções elementares. Aplicamos a regra 2. Assumiremos que senx é uma função você, e x 2 é a função V. Temos todo o direito de escrever:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Assim é melhor, certo?) Tudo o que resta é encontrar as derivadas do seno e do quadrado de x. Existe uma tabela de derivadas para isso. Apenas procuramos as funções que precisamos na tabela ( sinx E x 2), veja quais derivadas eles têm e escreva a resposta:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

É isso. A regra 1 para diferenciar uma soma funciona exatamente da mesma maneira.

E se tivermos vários termos? Não tem problema.) Dividimos a função em termos e procuramos a derivada de cada termo independentemente dos outros. Por exemplo:

Encontre a derivada da função y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Escrevemos com ousadia:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

No final da aula darei dicas para facilitar a vida na hora de diferenciar.)

Conselho prático:

1. Antes da diferenciação, veja se é possível simplificar a função original.

2. Em exemplos complicados, descrevemos a solução detalhadamente, com todos os parênteses e travessões.

3. Ao diferenciar frações com um número constante no denominador, transformamos a divisão em multiplicação e usamos a regra 4.

O problema de encontrar a derivada de uma determinada função é um dos principais nos cursos de matemática do ensino médio e nas instituições de ensino superior. É impossível explorar completamente uma função e construir seu gráfico sem derivar sua derivada. A derivada de uma função pode ser facilmente encontrada se você conhecer as regras básicas de diferenciação, bem como a tabela de derivadas de funções básicas. Vamos descobrir como encontrar a derivada de uma função.

A derivada de uma função é o limite da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento quando o incremento do argumento tende a zero.

Compreender esta definição é bastante difícil, uma vez que o conceito de limite não é totalmente estudado na escola. Mas para determinar derivadas de várias funções, não é necessário compreender a definição, deixemos isso para os matemáticos e passemos diretamente para a determinação da derivada.

O processo de encontrar a derivada é chamado de diferenciação. Ao derivarmos uma função, obteremos uma nova função.

Para designá-los usaremos as letras latinas f, g, etc.

Existem muitas notações diferentes para derivadas. Usaremos um golpe. Por exemplo, escrever g" significa que encontraremos a derivada da função g.

Tabela de derivativos

Para responder à questão de como encontrar a derivada, é necessário fornecer uma tabela de derivadas das funções principais. Para calcular as derivadas de funções elementares, não é necessário realizar cálculos complexos. Basta olhar o seu valor na tabela de derivativos.

1. (pecado x)"= cos x
2. (cos x)"= –sin x
3. (x n)"=n x n-1
4. (e x)"=e x
5. (em x)"=1/x
6. (a x)"=a x ln a
7. (log a x)"=1/x ln a
8. (tg x)"=1/cos 2 x
9. (ctg x)"= – 1/sen 2 x
10. (arco seno x)"= 1/√(1-x 2)
11. (arcos x)"= - 1/√(1-x 2)
12. (arctg x)"= 1/(1+x 2)
13. (arcctg x)"= - 1/(1+x 2)

Exemplo 1. Encontre a derivada da função y=500.

Vemos que isso é uma constante. Da tabela de derivadas sabe-se que a derivada de uma constante é igual a zero (fórmula 1).

Exemplo 2. Encontre a derivada da função y=x 100.

Esta é uma função de potência cujo expoente é 100, e para encontrar sua derivada é necessário multiplicar a função pelo expoente e reduzi-la por 1 (fórmula 3).

(x 100)"=100x99

Exemplo 3. Encontre a derivada da função y=5 x

Esse função exponencial, vamos calcular sua derivada usando a fórmula 4.

Exemplo 4. Encontre a derivada da função y= log 4 x

Encontramos a derivada do logaritmo usando a fórmula 7.

(log 4 x)"=1/x ln 4

Regras de diferenciação

Vamos agora descobrir como encontrar a derivada de uma função se ela não estiver na tabela. A maioria das funções estudadas não são elementares, mas são combinações de funções elementares utilizando operações simples (adição, subtração, multiplicação, divisão e multiplicação por um número). Para encontrar suas derivadas, você precisa conhecer as regras de diferenciação. Abaixo, as letras f e g denotam funções e C é uma constante.

1. O coeficiente constante pode ser retirado do sinal da derivada

Exemplo 5. Encontre a derivada da função y= 6*x 8

Tiramos um fator constante de 6 e derivamos apenas x 4. Esta é uma função de potência, cuja derivada é encontrada usando a fórmula 3 da tabela de derivadas.

(6*x 8)" = 6*(x 8)"=6*8*x 7 =48* x 7

2. A derivada de uma soma é igual à soma das derivadas

(f + g)"=f" + g"

Exemplo 6. Encontre a derivada da função y= x 100 +sen x

Uma função é a soma de duas funções, cujas derivadas podemos encontrar na tabela. Como (x 100)"=100 x 99 e (sen x)"=cos x. A derivada da soma será igual à soma destas derivadas:

(x 100 + pecado x)"= 100 x 99 + cos x

3. A derivada da diferença é igual à diferença das derivadas

(f – g)"=f" – g"

Exemplo 7. Encontre a derivada da função y= x 100 – cos x

Esta função é a diferença de duas funções, cujas derivadas também podemos encontrar na tabela. Então a derivada da diferença é igual à diferença das derivadas e não se esqueça de mudar o sinal, pois (cos x)"= – sen x.

(x 100 – cos x)"= 100 x 99 + sen x

Exemplo 8. Encontre a derivada da função y=e ​​x +tg x– x 2.

Esta função tem uma soma e uma diferença, vamos encontrar as derivadas de cada termo:

(e x)"=e x, (tg x)"=1/cos 2 x, (x 2)"=2 x. Então a derivada da função original é igual a:

(e x +tg x– x 2)"= e x +1/cos 2 x –2 x

4. Derivada do produto

(f*g)"=f"*g + f*g"

Exemplo 9. Encontre a derivada da função y= cos x *e x

Para fazer isso, primeiro encontramos a derivada de cada fator (cos x)"=–sin x e (e x)"=e x. Agora vamos substituir tudo na fórmula do produto. Multiplicamos a derivada da primeira função pela segunda e somamos o produto da primeira função pela derivada da segunda.

(cos x* e x)"= e x cos x – e x *sin x

5. Derivada do quociente

(f / g)"= f" * g – f * g"/ g 2

Exemplo 10. Encontre a derivada da função y= x 50 /sen x

Para encontrar a derivada de um quociente, primeiro encontramos a derivada do numerador e do denominador separadamente: (x 50)"=50 x 49 e (sin x)"= cos x. Substituindo a derivada do quociente na fórmula, obtemos:

(x 50 /sen x)"= 50x 49 *sen x – x 50 *cos x/sen 2 x

Derivada de uma função complexa

Uma função complexa é uma função representada por uma composição de várias funções. Também existe uma regra para encontrar a derivada de uma função complexa:

(você(v))"=você"(v)*v"

Vamos descobrir como encontrar a derivada de tal função. Seja y= u(v(x)) uma função complexa. Vamos chamar a função de você externa e v - interna.

Por exemplo:

y=sin (x 3) é uma função complexa.

Então y=sin(t) é uma função externa

t=x 3 - interno.

Vamos tentar calcular a derivada desta função. De acordo com a fórmula, é necessário multiplicar as derivadas das funções internas e externas.

(sin t)"=cos (t) - derivada da função externa (onde t=x 3)

(x 3)"=3x 2 - derivada da função interna

Então (sin (x 3))"= cos (x 3)* 3x 2 é a derivada de uma função complexa.

Resolver problemas físicos ou exemplos em matemática é completamente impossível sem o conhecimento da derivada e dos métodos para calculá-la. A derivada é um dos conceitos mais importantes da análise matemática. Decidimos dedicar o artigo de hoje a este tema fundamental. O que é uma derivada, qual o seu significado físico e geométrico, como calcular a derivada de uma função? Todas essas questões podem ser combinadas em uma: como entender a derivada?

Significado geométrico e físico da derivada

Que haja uma função f(x) , especificado em um determinado intervalo (a,b) . Os pontos x e x0 pertencem a este intervalo. Quando x muda, a própria função muda. Mudando o argumento - a diferença em seus valores x-x0 . Essa diferença é escrita como deltax e é chamado de incremento de argumento. Uma mudança ou incremento de uma função é a diferença entre os valores de uma função em dois pontos. Definição de derivada:

A derivada de uma função em um ponto é o limite da razão entre o incremento da função em um determinado ponto e o incremento do argumento quando este tende a zero.

Caso contrário, pode ser escrito assim:

Qual é o sentido de encontrar tal limite? E aqui está o que é:

a derivada de uma função em um ponto é igual à tangente do ângulo entre o eixo OX e a tangente ao gráfico da função em um determinado ponto.

Significado físico da derivada: a derivada do caminho em relação ao tempo é igual à velocidade do movimento retilíneo.

Na verdade, desde os tempos escolares todos sabem que a velocidade é um caminho particular x=f(t) e tempo t . Velocidade média durante um determinado período de tempo:

Para descobrir a velocidade do movimento em um momento no tempo t0 você precisa calcular o limite:

Regra um: defina uma constante

A constante pode ser retirada do sinal da derivada. Além disso, isso deve ser feito. Ao resolver exemplos em matemática, tome como regra - Se você pode simplificar uma expressão, simplifique-a .

Exemplo. Vamos calcular a derivada:

Regra dois: derivada da soma das funções

A derivada da soma de duas funções é igual à soma das derivadas dessas funções. O mesmo se aplica à derivada da diferença de funções.

Não daremos uma prova deste teorema, mas sim consideraremos um exemplo prático.

Encontre a derivada da função:

Regra três: derivada do produto de funções

A derivada do produto de duas funções diferenciáveis ​​​​é calculada pela fórmula:

Exemplo: encontre a derivada de uma função:

Solução:

É importante falar aqui sobre o cálculo de derivadas de funções complexas. A derivada de uma função complexa é igual ao produto da derivada desta função em relação ao argumento intermediário e a derivada do argumento intermediário em relação à variável independente.

No exemplo acima encontramos a expressão:

Neste caso, o argumento intermediário é 8x elevado à quinta potência. Para calcular a derivada de tal expressão, primeiro calculamos a derivada da função externa em relação ao argumento intermediário e depois multiplicamos pela derivada do próprio argumento intermediário em relação à variável independente.

Regra quatro: derivada do quociente de duas funções

Fórmula para determinar a derivada do quociente de duas funções:

Tentamos falar sobre derivativos para manequins do zero. Este tópico não é tão simples quanto parece, então esteja avisado: muitas vezes há armadilhas nos exemplos, então tome cuidado ao calcular derivadas.

Em caso de dúvidas sobre este e outros temas, você pode entrar em contato com o atendimento ao aluno. Em pouco tempo, ajudaremos você a resolver os testes mais difíceis e a entender as tarefas, mesmo que você nunca tenha feito cálculos de derivadas antes.

A calculadora calcula as derivadas de todas as funções elementares, fornecendo uma solução detalhada. A variável de diferenciação é determinada automaticamente.

Derivada de uma função- um dos conceitos mais importantes da análise matemática. O surgimento da derivada levou a problemas como, por exemplo, calcular a velocidade instantânea de um ponto em um momento no tempo, se o caminho dependente do tempo for conhecido, o problema de encontrar a tangente a uma função em um ponto.

Na maioria das vezes, a derivada de uma função é definida como o limite da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento, se existir.

Definição. Deixe a função ser definida em alguma vizinhança do ponto. Então a derivada da função em um ponto é chamada de limite, se existir

Como calcular a derivada de uma função?

Para aprender a diferenciar funções, você precisa aprender e compreender regras de diferenciação e aprenda a usar tabela de derivadas.

Regras de diferenciação

Sejam e funções diferenciáveis ​​arbitrárias de uma variável real e alguma constante real. Então

— regra para diferenciar o produto de funções

— regra para diferenciar funções quocientes

0" altura="33" largura="370" estilo="vertical-align: -12px;"> — diferenciação de uma função com um expoente variável

— regra para diferenciar uma função complexa

— regra para diferenciar uma função de potência

Derivada de uma função online

Nossa calculadora calculará com rapidez e precisão a derivada de qualquer função online. O programa não cometerá erros no cálculo da derivada e o ajudará a evitar cálculos longos e tediosos. Calculadora on-line Também será útil no caso em que seja necessário verificar a exatidão da sua solução e, se estiver incorreta, encontrar rapidamente o erro.

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A derivada é constante.

Ao derivar a primeira fórmula da tabela, procederemos da definição da derivada de uma função em um ponto. Tomemos , onde x é qualquer número real, ou seja, x é qualquer número do domínio de definição da função. Vamos anotar o limite da razão entre o incremento da função e o incremento do argumento em :

Deve-se notar que sob o sinal de limite obtém-se a expressão, o que não é , pois o numerador não contém um valor infinitesimal, mas precisamente zero. Em outras palavras, o incremento de uma função constante é sempre zero.

Por isso, a derivada de uma função constante é igual a zero em todo o domínio de definição.

Exemplo.

Encontre derivadas das seguintes funções constantes

Solução.

No primeiro caso temos a derivada do número natural 3, no segundo caso temos que tirar a derivada do parâmetro a, que pode ser qualquer número real, no terceiro - a derivada do número irracional, no quarto caso temos a derivada de zero (zero é um número inteiro), no quinto – derivada de uma fração racional.

Responder:

As derivadas de todas essas funções são iguais a zero para qualquer x real (em todo o domínio de definição)

Derivada de uma função de potência.

A fórmula para a derivada de uma função de potência tem a forma , onde o expoente p é qualquer número real.

Vamos primeiro provar a fórmula do expoente natural, ou seja, para p = 1, 2, 3, ...

Usaremos a definição de derivada. Vamos escrever o limite da razão entre o incremento de uma função de potência e o incremento do argumento:

Para simplificar a expressão no numerador, recorremos à fórmula:

Por isso,

Isto prova a fórmula para a derivada de uma função de potência para um expoente natural.

Dois casos devem ser considerados: para x positivo e x negativo.

Vamos supor primeiro. Nesse caso . Vamos pegar o logaritmo da igualdade na base e e aplicar a propriedade do logaritmo:

Chegamos a uma função especificada implicitamente. Encontramos sua derivada:

Resta realizar a prova para x negativo.

Quando o expoente p é um número par, então a função potência também é definida para e é par (ver seção). Aquilo é, . Neste caso, você também pode usar a prova através da derivada logarítmica.

Quando o expoente p é um número ímpar, então a função potência também é definida para e é ímpar. Aquilo é, . Neste caso, a derivada logarítmica não pode ser utilizada. Para provar a fórmula neste caso, você pode usar as regras de diferenciação e a regra para encontrar a derivada de uma função complexa:

A última transição é possível devido ao fato de que se p é um número ímpar, então p-1 é um número par ou zero (para p=1), portanto, para x negativo a igualdade é verdadeira .

Assim, a fórmula da derivada de uma função de potência é provada para qualquer p real.

Exemplo.

Encontre derivadas de funções.

Solução.

Trazemos a primeira e a terceira funções para a forma tabular, usando as propriedades de uma potência, e aplicamos a fórmula para a derivada de uma função de potência:

Derivada de uma função exponencial.

Apresentamos a derivação da fórmula derivada com base na definição:

Chegamos à incerteza. Para expandi-lo, introduzimos uma nova variável, e em . Então . Na última transição, utilizamos a fórmula de transição para uma nova base logarítmica.

Vamos substituir no limite original:

Pela definição da derivada da função seno, temos .

Vamos usar a fórmula da diferença de senos:

Resta voltar ao primeiro limite notável:

Assim, a derivada da função sin x é cos x.

A fórmula da derivada do cosseno é provada exatamente da mesma maneira.

Ao resolver problemas de diferenciação, iremos constantemente nos referir à tabela de derivadas de funções básicas, caso contrário, por que a compilamos e provamos cada fórmula. Recomendamos que você se lembre de todas essas fórmulas; no futuro, você economizará muito tempo.

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