Tarefa 18 Catálogo de tarefas. Declarações lógicas

1. Tarefa 18 nº 701. Para qual nome a afirmação é falsa:

(A primeira letra do nome é uma vogal→ A quarta letra do nome é uma consoante).

1) ELENA

2) VADIM

3) ANTÔNIO

4) FEDOR

Explicação.

Uma implicação é falsa se e somente se a premissa for verdadeira e o consequente for falso. No nosso caso - se a primeira letra do nome for uma vogal e a quarta letra for uma vogal. O nome Anton satisfaz esta condição.

Observação.

O mesmo resultado segue das seguintes transformações: ¬ (A→ B) = ¬ (¬ A∨ B) = UMA∧ (¬B).

A resposta correta está listada no número 3.

2. Tarefa 18 nº 8666. Existem dois segmentos na reta numérica: P = e Q =. Indique o maior comprimento possível do intervalo A para o qual a fórmula

(¬(xA)→ (xP))→ ((xA)→ (xP))

é identicamente verdadeiro, ou seja, assume o valor 1 para qualquer valor da variável x.

Explicação.

Vamos transformar esta expressão:

(¬ ( xA) → ( x P)) → (( x A) → ( xP))

((xA)∨ (x P))→ ((x Não A)∨ (x P))

¬(( xpertenciaA) ∨ ( xpertenciaP)) ∨ (( x não pertenciaA) ∨ ( x pertenciaP))

( xnão pertenciaA) ∧ ( xnão pertenciaP) ∨ ( x pertenciaA) ∨ ( x não pertenciaP)

( xnão pertenciaA) ∨ ( x pertenciaP)

Assim, ou x deve pertencer a Q ou não pertencer a A. Isso significa que para alcançar a verdade para todo x, A deve estar completamente contido em Q. Então o máximo que ele pode se tornar é todo Q, ou seja, comprimento 15.

3. Tarefa 18 nº 9170. Existem dois segmentos na reta numérica: P = e Q =.

Indique o maior comprimento possível do segmento A para o qual a fórmula

((xA)→ ¬(xP))→ ((xA)→ (xP))

identicamente verdadeiro, ou seja, assume o valor 1 para qualquer valor da variávelX .

Explicação.

Vamos transformar esta expressão.

(( x€ A) → ¬( xpertenciaP)) → (( x pertenciaA) → ( x pertenciaP))

(( xnão pertenciaA) ∨ ( xnão pertenciaP)) → (( x não pertenciaA) ∨ ( x pertenciaP))

¬((x não pertencia a A)∨ (xnão pertencia a P))∨ ((xnão pertencia a A)∨ (xpertencia a Q))

É verdade que A∧ B∨ ¬A = ¬A∨ B. Aplicando isso aqui, obtemos:

(x pertence a P)∨ (xnão pertencia a A)∨ (x pertence a Q)

Ou seja, ou um ponto deve pertencer a Q, ou pertencer a P, ou não pertencer a A. Isso significa que A pode cobrir todos os pontos que cobrem P e Q. Ou seja, A = P Q = =. |A| = 48 - 10 = 38.

4. Tarefa 18 nº 9202. Os elementos dos conjuntos A, P, Q são números naturais, com P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Sabe-se que a expressão

((xA)→ (xP))∨ (¬(xP)→ ¬(xA))

verdadeiro (ou seja, assume o valor 1) para qualquer valor da variável x.

5. Tarefa 18 nº 9310. Os elementos dos conjuntos A, P, Q são números naturais, com P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50).

Sabe-se que a expressão

((xA)→ (xP))∨ (¬(xP)→ ¬(xA))

verdadeiro (ou seja, assume o valor 1) para qualquer valor da variável x.

Determine o maior número possível de elementos no conjunto A.

6. Tarefa 18 nº 9321. Vamos denotar porDEL ( n, m ) a afirmação “um número natural n é divisível por um número natural sem restoeu " Pois qual é o maior número naturalA Fórmula

¬ DEL ( x, UMA ) → (¬ DEL ( x , 21) ∧ ¬ DEL ( x , 35))

é identicamente verdadeiro (ou seja, assume o valor 1 para qualquer valor natural da variávelx )?

(Tarefa de M.V. Kuznetsova)

7. Tarefa 18 nº 9768. Vamos denotar por eu & n eu E n 2 & 0101 2 = 0100 2 A Fórmula

x & 29 ≠ 0 → (x & 12 = 0 → x & A ≠ 0)

é identicamente verdadeiro (ou seja, assume o valor 1 para qualquer valor inteiro não negativo da variável X )?

8. Tarefa 18 nº 9804. Vamos denotar por eu & n conjunção bit a bit de inteiros não negativos eu E n . Então, por exemplo, 14 e 5 = 1110 2 & 0101 2 = 0100 2 = 4. Para qual é o menor número inteiro não negativo A Fórmula

x & 29 ≠ 0 → (x & 17 = 0 → x & A ≠ 0)

é identicamente verdadeiro (ou seja, assume o valor 1 para qualquer valor inteiro não negativo da variável x )?

9. Tarefa 18 nº 723. Para qual nome a afirmação é verdadeira:

Vogal da terceira letra→ ¬ (A primeira letra é uma consoante \/ Existem 4 vogais na palavra)?

1) Rima

2) Anatólia

3) Svetlana

4)Dmitri

Explicação.

Vamos aplicar a transformação de implicação:

Consoante da terceira letra∨ (Primeira letra vogal∧ A palavra NÃO tem 4 vogais)

Uma disjunção é verdadeira quando pelo menos uma afirmação é verdadeira. Portanto, apenas a opção 1 é adequada.

10. Tarefa 18 nº 4581. Qual dos nomes fornecidos satisfaz a condição lógica:

(a primeira letra é uma consoante→ a última letra é uma consoante) /\ (a primeira letra é uma vogal→ a última letra é uma vogal)?

Se houver várias dessas palavras, indique a mais longa.

1) ANA

2) BELA

3) ANTÔNIO

4) BÓRIS

Explicação.

Lógico E é verdadeiro somente se ambas as afirmações forem verdadeiras.(1)

Uma implicação só é falsa se a verdade implicar uma mentira.(2)

A opção 1 atende a todas as condições.

A opção 2 não é adequada devido à condição (2).

A opção 3 não é adequada devido à condição (2).

A opção 4 atende a todas as condições.

A palavra mais longa deve ser especificada, portanto a resposta é 4.

Tarefas para solução independente

1. Tarefa 18 nº 711. Qual dos nomes de países fornecidos satisfaz a seguinte condição lógica: ((consoante da última letra) \/ (consoante da primeira letra))→ (o nome contém a letra "p")?

1) Brasil

2) México

3) Argentina

4) Cuba

2. Tarefa 18 nº 709. Qual dos nomes fornecidos satisfaz a condição lógica:

(A primeira letra é vogal)∧ ((consoante da quarta letra)∨ (A palavra tem quatro letras))?

1) Sergei

2) Vadim

3) Antônio

4) Ilia

№3

№4

№5. Tarefa 18 nº 736. Qual dos nomes fornecidos satisfaz a condição lógica

A primeira letra é vogal∧ A quarta letra é uma consoante∨ Existem quatro letras na palavra?

1) Sergei

2) Vadim

3) Antônio

4) Ilia

Belova TV.
como ensinar como resolver a tarefa 18 do Exame Estadual Unificado em ciência da computação

instituição educacional orçamentária municipal "Liceu",

Arzamás, sim. Bellova. Tatiana@ Yandex. ru

Antes de começar a resolver as tarefas 18 “Verificar a veracidade de uma expressão lógica” da prova de informática, é necessário explicar (ou lembrar) aos alunos o que é o conceito de “união” e “intersecção” de vários conjuntos. E como a tarefa 18 está relacionada à definição de segmentos, é melhor explicar esses conceitos em segmentos. Mas é necessário conectar esses conceitos com os conceitos da álgebra lógica - “conjunção” e “disjunção” e, claro, “inversão”. Vou te dar um exemplo. Primeiro, consideremos a inversão de um segmento, ou, mais simplesmente, a negação de um segmento.

Dado o segmento P=. Encontre os segmentos que serão o inverso do segmento P=. Considere a linha de coordenadas (Fig. 1):

arroz. 1

Na reta marcamos o segmento P (área azul), então fica claro que os intervalos não P serão intervalos e (área verde) - Fig. 1. Atendendo ao fato de que os pontos 6 e 15 não serão incluídos na inversão do segmento.

Consideremos outro exemplo: são dados dois segmentos P= e Q= (as mesmas notações são fornecidas como na tarefa do Exame Estadual Unificado, para que os alunos se acostumem imediatamente com as notações). Encontre um segmento que denotará a conjunção (união) e a disjunção (interseção) desses segmentos

Desenhamos segmentos na linha de coordenadas (Fig. 2):

arroz. 2

Primeiramente marcamos as áreas na reta de coordenadas, que indicam os segmentos P (azul) e Q (amarelo). Em seguida, determinamos qual parte da linha de coordenadas servirá como conjunção desses dois segmentos. Aqui lembramos que a conjunção é uma operação lógica que combina duas afirmações simples em uma complexa usando o conectivo lógico “e”, e a afirmação complexa adquirirá o significado “verdadeiro” se e somente se ambas as afirmações simples originais forem verdadeiras. Assim, descobrimos que precisamos encontrar regiões onde existem tanto o segmento P quanto o segmento Q, e existe apenas uma dessas regiões - o segmento (vermelho). Estudaremos todos os segmentos de reta com mais detalhes para que os alunos possam compreender com mais clareza e compreensão o material, portanto:

Agora vamos examinar a disjunção destes segmentos de forma semelhante. Voltemos novamente à definição desta operação lógica - “disjunção é uma operação lógica que, de acordo com duas ou mais afirmações lógicas, coloca uma nova, que é verdadeira se e somente se pelo menos uma das afirmações iniciais de entrada for verdadeiro." Ou seja, precisamos encontrar intervalos na reta coordenada onde existe pelo menos um de nossos segmentos originais, esse intervalo desejado ficará verde (Fig. 2). Também analisaremos cada um dos intervalos e mostraremos que este é realmente o caso:

Combinando os intervalos encontrados, obtemos que o segmento requerido, denotando a disjunção dos segmentos originais, é o segmento - verde (Fig. 2).

Depois de analisar este exemplo, você pode permitir que os alunos tentem encontrar várias combinações de operações lógicas – disjunção, conjunção e negação. Por exemplo, dados dois segmentos P=[-4,10] e Q=. Encontre um segmento que denotará as seguintes operações lógicas: , , (você pode criar várias outras combinações dessas operações lógicas).

arroz. 3

arroz. 4

arroz. 5

Quando todos os exemplos forem analisados, os alunos não terão dificuldades em compreender e resolver a tarefa nº 18 da prova do exame estadual unificado de informática.

Aqui estão exemplos de soluções para várias tarefas:

Existem dois segmentos na reta numérica: P = e Q =. Escolha um segmento A tal que a fórmula

(x  A) → ((x  P) → (x  P)) é identicamente verdadeiro, ou seja, assume o valor 1 para qualquer valor da variável X. Possíveis respostas:

1) 2) 3) 4)

Solução (Fig. 6): para simplificar a compreensão da expressão, vamos denotar as afirmações individuais com letras - A:x A,P:x P,P:x Q. Assim, obtemos a seguinte expressão levando em consideração a substituição: → ( P→ )=1. A igualdade da expressão 1 significa que qualquer que seja o valor da variável X não pegamos, nossa expressão lógica assume o valor 1, ou seja, em toda a reta numérica. Vamos lembrar algumas leis e igualdades lógicas e transformar nossa expressão: =1. Como resultado, descobrimos que precisamos construir uma disjunção de três segmentos, dois dos quais conhecemos. Nós os construiremos (Fig. 7). Para começar, como em todos os exemplos acima, devemos construir as inversões dos segmentos P (laranja) e Q (vermelho). Então, a partir de toda a expressão, podemos determinar os intervalos de disjunção =1 (áreas verdes na Fig. 7). Assim, descobrimos que temos uma parte “livre” na linha de coordenadas - . Esta parte é reta e deve se sobrepor ao segmento desejado A.

Sabe-se que a expressão

((x ∈ A) → (x ∈ P)) ∧ ((x ∈ Q) → ¬(x ∈ A))

verdadeiro (ou seja, assume o valor 1) para qualquer valor da variável x. Determine o maior número possível de elementos no conjunto A.

Solução.

Vamos introduzir a seguinte notação:

(x ∈ P) ≡ P; (x ∈ Q) ≡ Q; (x ∈ UMA) ≡ UMA; ∧ ≡ · ; ∨ ≡ +.

Então, aplicando a transformação de implicação, obtemos:

(¬A + P) · (¬Q + ¬A) ⇔ ¬A · ¬Q + ¬Q · P + ¬A + ¬A · P ⇔

⇔ ¬A · (¬Q + P + 1) + ¬Q · P ⇔ ¬A + ¬Q · P.

É necessário que ¬A + ¬Q · P = 1. A expressão ¬Q · P é verdadeira quando x ∈ (2, 4, 8, 10, 14, 16, 20). Então ¬A deve ser verdadeiro quando x ∈ (1, 3, 5, 6, 7, 9, 11, 12, 13, 15, 17, 18, 19, 21, 22, 23,...).

Portanto, o número máximo de elementos no conjunto A será se A incluir todos os elementos do conjunto ¬Q · P, existem sete desses elementos.

Resposta: 7.

Resposta: 7

Os elementos do conjunto A são números naturais. Sabe-se que a expressão

(x (2, 4, 6, 8, 10, 12)) → (((x (3, 6, 9, 12, 15)) ∧ ¬(x A)) → ¬(x (2, 4, 6 , 8, 10, 12)))

Solução.

Vamos introduzir a seguinte notação:

(x ∈ (2, 4, 6, 8, 10, 12)) ≡ P; (x ∈ (3, 6, 9, 12, 15)) ≡ Q; (x ∈ UMA) ≡ UMA.

Transformando, obtemos:

P → ((Q ∧ ¬A) → ¬P) = P → (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ (¬(Q ∧ ¬A) ∨ ¬P) = ¬P ∨ ¬Q ∨A.

O OR lógico é verdadeiro se pelo menos uma afirmação for verdadeira. A expressão ¬P ∨ ¬Q é verdadeira para todos os valores de x, exceto os valores 6 e 12. Portanto, o intervalo A deve conter os pontos 6 e 12. Ou seja, o conjunto mínimo de pontos no intervalo A ≡ ( 6, 12). A soma dos elementos do conjunto A é 18.

Resposta: 18.

Resposta: 18

Os elementos dos conjuntos A, P, Q são números naturais, com P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Sabe-se que a expressão

verdadeiro (ou seja, assume o valor 1) para qualquer valor da variável x. Determine o menor valor possível da soma dos elementos do conjunto A.

Solução.

Vamos simplificar:

¬(x P) ∨ ¬(x Q) fornece 0 somente quando o número está em ambos os conjuntos. Isso significa que para que toda a expressão seja verdadeira, precisamos colocar todos os números que estão em P e Q em A. Esses números são 6, 12, 18. Sua soma é 36.

Resposta: 36.

Resposta: 36

Fonte: Trabalho de formação em INFORMÁTICA, 11º ano, 18 de janeiro de 2017 Opção IN10304

Os elementos dos conjuntos A, P, Q são números naturais, com P = (2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30).

Sabe-se que a expressão ((x A) → (x P)) ∨ (¬(x Q) → ¬(x A))

verdadeiro (ou seja, assume o valor 1) para qualquer valor da variável x.

Determine o maior número possível de elementos no conjunto A.

Solução.

Vamos transformar esta expressão:

((x A) → (x P)) ∨ ((x Q) → (x A))

((x A) ∨ (x P)) ∨ ((x Q) ∨ (x A))

(x UMA) ∨ (x P) ∨ (x Q)

Assim, um elemento deve estar incluído em P ou Q, ou não estar incluído em A. Assim, A só pode conter elementos de P e Q. E no total existem 17 elementos não repetitivos nesses dois conjuntos.

Resposta: 17

Os elementos dos conjuntos A, P, Q são números naturais, e P = (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21), Q = (3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30). Sabe-se que a expressão

((x P) → (x A)) ∨ (¬(x A) → ¬(x Q))

verdadeiro (ou seja, assume o valor 1) para qualquer valor da variável x. Determine o menor valor possível da soma dos elementos do conjunto A.

Solução.

Vamos revelar duas implicações. Nós temos:

(¬(x P) ∨ (x A)) ∨ ((x A) ∨ ¬(x Q))

Vamos simplificar:

(¬(x P) ∨ (x A) ∨ ¬(x Q))

¬(x P) ∨ ¬(x Q) fornece 0 somente quando o número está em ambos os conjuntos. Isso significa que para que toda a expressão seja verdadeira, você precisa colocar todos os números de P e Q em A. Esses números são 3, 9, 15 e 21. Sua soma é 48.

Resposta: 48.

Resposta: 48

Fonte: Trabalho de formação em INFORMÁTICA, 11º ano, 18 de janeiro de 2017 Opção IN10303

E a expressão

(y + 2x 30) ∨ (y > 20)

X e você?

Solução.

Observe que para que esta expressão seja identicamente verdadeira, a expressão (y + 2x Resposta: 81.

Resposta: 81

Fonte: Exame Estadual Unificado - 2018. Vaga inicial. Opção 1., Exame Estadual Unificado - 2018. Onda inicial. Opção 2.

Um segmento A é dado na reta numérica. Sabe-se que a fórmula.

((x ∈ A) → (x 2 ≤ 100)) ∧ ((x 2 ≤ 64) → (x ∈ A))

é identicamente verdadeiro para qualquer real x. Qual é o menor comprimento do segmento A?

Solução.

Expandindo a implicação de acordo com a regra A → B = ¬A + B, substituindo a soma lógica por um conjunto, e o produto lógico por um sistema de relações, determinamos os valores do parâmetro A, em que o sistema de agregados

terá soluções para quaisquer números reais.

Para que as soluções do sistema sejam todas números reais, é necessário e suficiente que as soluções de cada uma das coleções sejam todas números reais.

As soluções para a desigualdade são todos números do intervalo [−10; 10]. Para que a coleção seja válida para todos os números reais, os números x, não estando no segmento especificado, deve pertencer ao segmento A. Conseqüentemente, o segmento A não deve ultrapassar os limites do segmento [−10; 10].

Da mesma forma, as soluções para a desigualdade são os números dos raios e Para que a coleção seja válida para todos os números reais, os números x, não estando nos raios indicados, deve estar no segmento A. Conseqüentemente, o segmento A deve conter o segmento [−8; 8].

Assim, o menor comprimento do segmento A pode ser igual a 8 + 8 = 16.

Resposta: 16.

Resposta: 16

A expressão

(sim + 2x ≠ 48) ∨ (A x) ∨ ( x e)

é identicamente verdadeiro, ou seja, assume o valor 1 para quaisquer números inteiros não negativos x E sim?

Solução.

A x E sim, vamos considerar em quais casos as condições ( sim + 2x≠ 48) e ( x y) são falsas.

sim = 48 − 2x) e (x ≥ y). Esse x na faixa de 16 a 24 e sim no intervalo de 0 a 16. Observe que para que a expressão seja adequada para qualquer x E sim, obrigado a tomar x= 16 e sim= 16. Então A A será igual a 15.

Resposta: 15.

Resposta: 15

Fonte: Exame Estadual Unificado em Ciência da Computação 28/05/2018. A onda principal, versão de A. Imaev - “Kotolis”.

Pois qual é o maior número inteiro não negativo A expressão

(sim + 2x ≠ 48) ∨ (A x) ∨ ( A e)

é identicamente verdadeiro, ou seja, assume o valor 1 para quaisquer números inteiros não negativos x E sim?

Solução.

Para encontrar o maior número inteiro não negativo A, em que a expressão será x E sim, vamos considerar em quais casos a condição ( sim + 2x≠ 48) é falso.

Assim, encontramos todas as soluções quando ( sim = 48 − 2x). Esse x na faixa de 0 a 24 e sim na faixa de 48 a 0. Observe que para que a expressão seja adequada para qualquer x E sim, obrigado a tomar x= 16 e sim= 16. Então A A será igual a 15.

Resposta: 15.

Resposta: 15

Fonte: Versão demo do Exame Estadual Unificado 2019 em ciência da computação.

Pois qual é o menor número inteiro não negativo A expressão

(2x + 3sim > 30) ∨ (x + sim ≤ A)

é identicamente verdadeiro para quaisquer números inteiros não negativos x E sim?

Solução.

A, em que a expressão será identicamente verdadeira para quaisquer números inteiros não negativos x E simsim + 2x> 30) falso.

sim + 2x≤ 30). Esse x na faixa de 0 a 15 e sim no intervalo de 10 a 0. Observe que para que a expressão seja adequada para qualquer x E sim, obrigado a tomar x= 15 e sim= 0. Então 15 + 0 ≤ A. Portanto, o menor número inteiro não negativo A será igual a 15.

Resposta: 15.

Resposta: 15

Pois qual é o maior número inteiro não negativo A expressão

(2x + 3sim x+ sim ≥ A)

é identicamente verdadeiro para quaisquer números inteiros não negativos x E sim?

Solução.

Para encontrar o maior número inteiro não negativo A, em que a expressão será identicamente verdadeira para quaisquer números inteiros não negativos x E sim, vamos considerar em quais casos a condição (3 sim + 2x Assim, encontramos todas as soluções quando (3 sim + 2x≥ 30). Esse x mais de 15 e sim maior que 10. Observe que para que a expressão seja adequada para qualquer x E sim, obrigado a tomar x= 0 e sim= 10. Então 0 + 10 ≤ A. Portanto, o maior número inteiro não negativo A será igual a 10.

Resposta: 10.

Resposta: 10

Pois qual é o menor número inteiro não negativo A expressão

(3x + 4sim ≠ 70) ∨ (A > x) ∨ (A > sim)

é identicamente verdadeiro para quaisquer números inteiros não negativos x E sim?

Solução.

Para encontrar o menor número inteiro não negativo A, em que a expressão será identicamente verdadeira para quaisquer números inteiros não negativos x E sim, vamos considerar em quais casos a condição (3 x + 4sim≠ 70) é falso.

Assim, encontramos todas as soluções quando (3 x + 4sim= 70). Esse x na faixa de 2 a 22 e sim no intervalo de 16 a 1. Observe que para que a expressão seja adequada para qualquer x E sim, obrigado a tomar x= 10 e sim= 10. Então A> 10. Portanto, o menor número inteiro não negativo A será igual a 11.

1. Exemplo da versão demo

(consoante da primeira letra → consoante da segunda letra) / (vogal da penúltima letra → vogal da última letra)

1) KRISTINA 2) MAXIM 3) STEPAN 4) MARIA

Esboço da solução Implicação a → b é equivalente a ¬a/b.

A primeira implicação é verdadeira para as palavras KRISTINA e STEPAN. Destas palavras, a segunda implicação é verdadeira apenas para a palavra CHRISTINE.

Resposta: 1. CRISTINA

2. Mais dois exemplos

Exemplo 1 (segmento aberto do Banco FIPI)

Qual dos nomes fornecidos satisfaz a condição lógica:

(primeira consoante → primeira vogal) / (última vogal → última consoante)

1. IRINA 2. MAXIM 3. ARTEM 4. MARIA

Esboço da solução. Implicação a → b é equivalente a ¬a/b. Esta expressão é verdadeira se uma das expressões a for falsa ou se ambas as expressões a e b forem verdadeiras. Como em nosso caso em nenhuma das implicações ambas as expressões podem ser verdadeiras ao mesmo tempo, as afirmações “a primeira letra é uma consoante” e “a última letra é uma vogal” devem ser falsas, ou seja, precisamos de uma palavra cuja a primeira letra é uma vogal e a última é uma consoante.

Responder: 3. ARTEM.

Exemplo 2. Para qual dos valores indicados do número X a afirmação é verdadeira?

(X< 4)→(X >15)

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

Solução. Nenhum número pode ser menor que 4 e maior que 15. Portanto, a implicação só é verdadeira se a premissa X< 4 falso.

Responder 4.

2. Problemas no formato do Exame Estadual Unificado 2013-2014.

2.1. Versão demo 2013

Existem dois segmentos na reta numérica: P = e Q =.

Escolha um segmento A tal que a fórmula

1) 2) 3) 4)

2.2. Versão demo 2014

Existem dois segmentos na reta numérica: P = e Q =. Dos segmentos propostos, escolha um segmento A tal que a expressão lógica

((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q))→ ¬ (x ∈ A)

identicamente verdadeiro, ou seja, assume o valor 1 para qualquer valor da variável

Opções de resposta: 1) 2) 3) 4)

Solução. Vamos transformar a expressão usando . Nós temos:

¬((x ∈ P) → ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - substituindo a implicação por uma disjunção;

¬(¬(x ∈ P) ∨ ¬ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - substituindo a implicação por uma disjunção;

((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) ∨ (¬ (x ∈ A)) - regra de Morgan e remoção da dupla negação;

(x ∈ A) → ((x ∈ P) ∧ (x ∈ Q)) - substituindo disjunção por implicação

A última expressão é identicamente verdadeira se e somente se A ⊆ P∩ Q = ∩ = (ver). Dos quatro segmentos dados, apenas o segmento - opção nº 2 - satisfaz esta condição.

Responder: - opção nº 2

3. Problemas no formato do Exame Estadual Unificado 2015-2016.

3.1. Tarefa 1.

Existem dois segmentos na reta numérica: P = e Q =.

Sabe-se que os limites do segmento A são pontos inteiros e para o segmento A, a fórmula

((x ∈ A) → (x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

é identicamente verdadeiro, ou seja, assume o valor 1 para qualquer valor da variável x.

Qual é o maior comprimento possível do segmento A?

Resposta correta : 10

Solução:

Vamos transformar a expressão - substitua a implicação por uma disjunção. Nós temos:

(¬(x ∈ A)) \/ ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q)

A expressão ((x ∈ P)) \/ (x ∈ Q) é verdadeira apenas para aqueles x que estão em P ou em Q, em outras palavras, para x ∈ R = P ∪ Q = ∪ . Expressão

(¬(x ∈ A)) \/ (x ∈ R)

é identicamente verdadeiro se e somente se A ∈ R. Como A é um segmento, então A ∈ R se e somente se A ∈ P ou A ∈ Q. Como o segmento Q é maior que o segmento P, então o maior comprimento do o segmento A é alcançado, quando A = Q = . O comprimento do segmento A, neste caso, é 30 – 20 = 10.

3.2. Tarefa 2.

Vamos denotar por eu&n conjunção bit a bit de inteiros não negativos eu E n. Então, por exemplo, 14&5 = 1110 2 &0101 2 = 0100 2 = 4. Qual é o menor número inteiro não negativo A Fórmula

x&25 ≠ 0 → (x&33 ≠ 0 → x&A ≠ 0)

é identicamente verdadeiro, ou seja, assume o valor 1 para qualquer valor inteiro não negativo da variável X?

Resposta correta : 57

Solução:

Vamos transformar a expressão – substituir as implicações por disjunções. Nós temos:

¬( x&25 ≠ 0) ∨ (¬( x&33 ≠ 0) ∨ x&A ≠ 0)

Vamos abrir os colchetes e substituir as negações das desigualdades por igualdades:

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0 ∨ x&A ≠ 0 (*)

Temos: 25 = 11001 2 e 33 = 100001 2. Portanto a fórmula

x&25 = 0 ∨ x&33 = 0

falso se e somente se a representação binária do número x contém 1 em pelo menos um dos seguintes dígitos binários: 100000 (32), 10000 (16), 1000 (8) e 1.

Para que a fórmula (*) seja verdadeira para todos esses xÉ necessário e suficiente que a representação binária do número A contenha 1 em todos esses bits. O menor desses números é o número 32+16+8+1 = 57.