Regional vetenskaplig och praktisk konferens Sektion Matematik Aleksandrova Kristina, Alekseeva Valeria Kommunal budgetutbildningsinstitution "Kovalinskaya gymnasieskola" 8:e klass Ledare: Nikolaeva I.M., matematiklärare vid kommunal läroanstalt "Kovalinskaya gymnasieskola" Urmary, 2012 Innehåll forskningsarbete : 1. Introduktion. 2. Relevans för det valda ämnet. 3. Mål och mål 4. Polygoner 5. Regelbundna polygoner 1). Magiska rutor 2). Tangram 3). Stjärnpolygoner 6. Polygoner i naturen 1). Honeycomb 2). Snowflake 7. Polygoner runt oss 1). Parkett 2). Tessellation 3). Patchwork 4). Prydnad, broderi, stickning 5). Geometrisk snidning 8. Verkliga exempel 1). När du genomför utbildningar 2). Kaffespådomsförklaringar 3). Palmistry - spådom för hand 4). Fantastisk polygon 5) Pi och vanliga polygoner 9. Regelbundna polygoner i arkitektur 1). Arkitektur i Moskva och andra städer i världen. 2). Arkitektur av staden Cheboksary 3). Byn Kovalis arkitektur 10. Slutsats. 11. Slutsats. Inledning I början av förra seklet utbrast den store franske arkitekten Corbusier en gång: "Allt runt omkring är geometri!" Idag, i början av 2000-talet, kan vi upprepa detta utrop med ännu större förvåning. Faktum är att se dig omkring - geometri finns överallt! Geometriska kunskaper och färdigheter, geometrisk kultur och utveckling är idag professionellt betydelsefulla för många moderna specialiteter, för designers och konstruktörer, för arbetare och vetenskapsmän. Det är viktigt att geometri är ett fenomen av universell mänsklig kultur. En person kan inte verkligen utvecklas kulturellt och andligt om han inte har studerat geometri i skolan; geometri uppstod inte bara från det praktiska utan också från människans andliga behov. Geometri är en hel värld som omger oss från födseln. Allt vi ser omkring oss relaterar ju på ett eller annat sätt till geometri, ingenting undgår dess uppmärksamma blick. Geometri hjälper en person att gå genom världen med vidöppna ögon, lär honom att se sig omkring och se skönheten i vanliga saker, att titta och tänka, tänka och dra slutsatser. ”En matematiker, precis som en konstnär eller poet, skapar mönster. Och om hans mönster är mer stabila är det bara för att de är sammansatta av idéer... En matematikers mönster, precis som en konstnärs eller en poet, måste vara vackra; en idé, precis som färger eller ord, måste vara harmoniska med varandra. Skönhet är det första kravet: det finns ingen plats i världen för ful matematik.” Relevansen av det valda ämnet I geometrilektioner i år lärde vi oss definitioner, egenskaper och egenskaper hos olika polygoner. Många föremål runt omkring oss har en form som liknar de geometriska former som vi redan känner till. Ytorna på en tegelsten eller en bit tvål består av sex sidor. Rum, skåp, lådor, bord, armerade betongblock liknar i sin form en rektangulär parallellepiped, vars kanter är bekanta fyrkanter. Polygoner har utan tvekan skönhet och används mycket flitigt i våra liv. Polygoner är viktiga för oss, utan dem skulle vi inte kunna bygga så vackra byggnader, skulpturer, fresker, grafik och mycket mer. Matematik besitter inte bara sanning, utan också den högsta skönhet - skärpt och strikt, sublimt ren och strävan efter sann perfektion, vilket bara är karakteristiskt för de största exemplen på konst. Jag blev intresserad av ämnet "Polygoner" efter en lektion - ett spel, där läraren gav oss en uppgift - en saga om att välja en kung. Alla polygoner samlades i en skogsglänta och började diskutera frågan om att välja sin kung. De bråkade länge och kunde inte komma fram till en gemensam uppfattning. Och sedan sa ett gammalt parallellogram: ”Låt oss alla gå till polygonernas rike. Den som kommer först kommer att bli kungen.” Tidigt på morgonen gav sig alla iväg på en lång resa. På vägen mötte resenärerna en flod som sa: "Bara de vars diagonaler skär varandra och delas på mitten av skärningspunkten kommer att simma tvärs över mig." på. På vägen mötte de ett högt berg, som sa att det bara skulle tillåta de med lika diagonaler att passera. Flera resenärer stannade kvar nära berget, resten fortsatte sin väg. Vi nådde en stor klippa där det fanns en smal bro. Bron sa att den skulle tillåta de vars diagonaler skär varandra i rät vinkel att passera. Endast en polygon gick över bron, som var den första att nå kungariket och utropades till kung. Så de valde kungen. Jag valde också ett ämne för mitt forskningsarbete. Syfte med forskningsarbetet: Praktisk tillämpning av polygoner i omvärlden. Mål: 1. Genomföra en litteraturgenomgång i ämnet. 2. Visa den praktiska tillämpningen av vanliga polygoner i världen omkring oss. Problematisk fråga: Vilken plats intar polygoner i våra liv? Forskningsmetoder: Insamling och strukturering av insamlat material i olika stadier av forskningen. Att göra ritningar och ritningar; fotografier. Avsedd praktisk tillämpning: Möjlighet att tillämpa de inhämtade kunskaperna i vardagen, när man studerar ämnen i andra ämnen. Bekantskap och bearbetning av litterärt material, data från Internet, möte med byborna. Stadier av forskningsarbetet: · urval av ett forskningsämne av intresse, · diskussion av forskningsplanen och delresultat, · arbete med olika informationskällor; · intermediära konsultationer med läraren, · offentliga tal med presentation av presentationsmaterial. Utrustning som används: Digitalkamera, multimediautrustning. Hypotes: Polygoner skapar skönhet i mänsklig omgivning. Studiens ämne: Polygoners egenskaper i vardagen, livet, naturen. Obs: Allt genomfört arbete innehåller inte bara informationsmaterial utan även vetenskapligt material. Varje avsnitt har en datorpresentation som illustrerar varje forskningsområde. Experimentell bas. Det framgångsrika slutförandet av forskningsarbetet underlättades av en lektion i cirkeln "Geometry Around Us" och lektioner i geometri, geografi och fysik. Kort litteraturöversikt: Vi lärde oss om polygoner i geometrilektioner. Dessutom lärde vi oss från boken av Y.I Perelman "Entertaining Geometry", tidningen "Mathematics at School", tidningen "Mathematics", en ung matematikers encyklopediska ordbok redigerad av B.V. Gnedenko. Vissa uppgifter hämtades från tidningen "Read, Learn, Play". Mycket information hämtas från Internet. Personligt bidrag: För att koppla ihop polygonernas egenskaper med livet började vi prata med elever och lärare vars morföräldrar eller andra släktingar ägnade sig åt snideri, broderi, stickning, lapptäcke etc. Vi fick värdefull information från dem. Forskningsarbetets innehåll: Polygoner Vi bestämde oss för att studera de geometriska former som finns runt omkring oss. Efter att ha blivit intresserad av problemet gjorde vi upp en arbetsplan. Vi bestämde oss för att studera: användningen av polygoner i praktiska mänskliga aktiviteter. För att svara på frågorna som ställdes var vi tvungna att: tänka på egen hand, fråga en annan person, konsultera böcker, genomföra observationer. Vi letade efter svar på frågor i böcker. - Vilka polygoner har vi studerat? Vi gjorde en observation för att svara på frågan. - Var kan jag se det här? Lektionen hölls fritidsaktiviteter i matematik "Parade of Quadrilaterals", där de lärde sig om fyrhörningars egenskaper. Geometri i arkitektur. Modern arkitektur använder djärvt en mängd olika geometriska former. Många bostadshus är dekorerade med pelare. Geometriska figurer av olika former kan ses i konstruktionen av katedraler och brodesigner. Geometri i naturen. Naturen själv har många underbara geometriska former. Polygonerna skapade av naturen är otroligt vackra och varierande. I. Reguljära polygoner Geometri är en gammal vetenskap och de första beräkningarna gjordes för över tusen år sedan. Forntida människor gjorde prydnader av trianglar, romber och cirklar på väggarna i grottor. Sedan antiken har vanliga polygoner ansetts vara en symbol för skönhet och perfektion. Med tiden lärde sig människan att använda figurernas egenskaper i det praktiska livet. Geometri i vardagen. Väggar, golv och tak är rektanglar. Många saker liknar en kvadrat, en romb, en trapets. Av alla polygoner med ett givet antal sidor är det mest tilltalande för ögat en vanlig polygon, där alla sidor är lika och alla vinklar är lika. En av dessa polygoner är en kvadrat, eller med andra ord, en kvadrat är en vanlig fyrhörning. En kvadrat kan definieras på flera sätt: en kvadrat är en rektangel där alla sidor är lika, och en kvadrat är en romb där alla vinklar är räta. Från skolans geometrikurs vet vi: en kvadrat har alla sidor lika, alla vinklar är räta, diagonaler är lika, inbördes vinkelräta, skärningspunkten delas på mitten och kvadratens vinklar är delade på mitten. En kvadrat har en rad intressanta egenskaper . Så, till exempel, om du behöver omsluta ett fyrkantigt område av det största området med ett staket av en given längd, bör du välja detta område i form av en kvadrat. Torget har symmetri, vilket ger det enkelhet och en viss formfulländning: torget fungerar som en standard för att mäta arean på alla figurer. I boken "The Amazing Square" av B.A. Kordemsky och N.V. Rusalev presenterar i detalj bevisen för vissa egenskaper hos en kvadrat, ger ett exempel på en "perfekt kvadrat" och en lösning på ett problem med att skära en kvadrat av den arabiska matematikern Abul Vefa från 1000-talet. I. Lehmans bok "Fascinating Mathematics" innehåller flera dussin problem, inklusive några som är tusentals år gamla. För en fullständig förståelse av konstruktionen genom att vika ett fyrkantigt pappersark använde jag boken av I.N. Sergeev "Tillämpa matematik". Här kan du lista ett antal kvadratiska pussel: magiska rutor, tangram, pentominoer, tetrominoer, polyominoer, magor, origami. Jag vill prata om några av dem. 1. Magiska rutor Heliga, magiska, mystiska, mystiska, perfekta... Så fort de kallades. "Jag vet inget vackrare i aritmetik än dessa tal, kallade planetariska av vissa och magiska av andra", skrev den berömda franske matematikern, en av skaparna av talteorin, Pierre de Fermat, om dem. Attraktiv med naturlig skönhet, fylld av inre harmoni, tillgänglig, men fortfarande obegriplig, döljer många hemligheter bakom sin uppenbara enkelhet... Möt magiska rutor - fantastiska representanter för siffrornas fantasivärld. Magiska rutor har sitt ursprung i antiken i Kina. Förmodligen den "äldsta" av de magiska rutor som har kommit ner till oss är Lo Shu-bordet (ca 2200 f.Kr.). Det är 3x3 i storlek och fyllt med naturliga tal från 1 till 9. 2. Tangram Tangram är ett världsberömt spel baserat på uråldriga kinesiska pussel. Enligt legenden, för 4 tusen år sedan, föll en keramisk kakel ur en mans händer och bröts i 7 bitar. Upprymd försökte han samla ihop den med sin personal. Men från de nykomponerade delarna fick jag nya intressanta bilder varje gång. Denna aktivitet visade sig snart vara så spännande och förbryllande att kvadraten som består av sju geometriska former kallades Visdomsstyrelsen. Om du skär en kvadrat får du det populära kinesiska pusslet TANGRAM, som i Kina kallas för ”chi tao tu”, d.v.s. mentalt pussel i sju bitar. Namnet "tangram" har sitt ursprung i Europa troligen från ordet "tan", som betyder "kinesiska" och roten "gram". I vårt land är den numera vanlig under namnet ”Pythagoras” 3. Stjärnpolygoner Utöver de vanliga regelbundna polygonerna finns även stjärnpolygoner. Termen "stellat" har en gemensam rot med ordet "stjärna", och detta indikerar inte dess ursprung. Stjärnfemhörningen kallas ett pentagram. Pythagoranerna valde en femuddig stjärna som talisman, den ansågs vara en symbol för hälsa och fungerade som ett identifikationsmärke. Det finns en legend att en av pytagoreerna var sjuk i främlingars hus. De försökte få ut honom, men sjukdomen avtog inte. Utan att ha möjlighet att betala för behandling och vård bad patienten före sin död ägaren av huset att rita en femuddig stjärna vid ingången och förklarade att med detta tecken skulle det finnas människor som skulle belöna honom. Och faktiskt, efter en tid, lade en av de resande pytagoreerna märke till en stjärna och började fråga ägaren av huset hur det såg ut vid ingången. Efter ägarens berättelse belönade gästen honom generöst. Pentagrammet var välkänt i det antika Egypten. Men det antogs direkt som ett hälsoemblem bara i antikens Grekland. Det var havets femuddiga stjärna som "föreslog" oss det gyllene snittet. Detta förhållande kallades senare för "det gyllene snittet". Där den är närvarande känns skönhet och harmoni. En välbyggd man, en staty, det magnifika Parthenon som skapades i Aten är också föremål för det gyllene snittets lagar. Ja, allt mänskligt liv behöver rytm och harmoni. 4. Stellat polyeder En stellat polyeder är en förtjusande vacker geometrisk kropp, vars kontemplation ger estetiskt nöje. Många former av stellika polyedrar föreslås av naturen själv. Snöflingor är stjärnformade polyedrar. Flera tusen är kända olika typer snöflingor. Men Louis Poinsot lyckades upptäcka två andra stellika polyedrar 200 år senare. Därför kallas stellerade polyedrar nu för Kepler-Poinsot-kroppar. Med hjälp av stjärnformade polyedrar bryter oöverträffade kosmiska former in i våra städers tråkiga arkitektur. Den ovanliga polyedern "Star" av Doctor of Art Sciences V. N. Gamayunov inspirerade arkitekten V. A. Somov att skapa ett projekt för Nationalbiblioteket i Damaskus. Den store Johannes Kepler skrev sin bok "The Harmony of the World" och i sitt verk "On Hexagonal Snowflakes" skrev han: "Konstruktionen av en femhörning är omöjlig utan den proportion som moderna matematiker kallar "gudomlig." Han upptäckte de två första vanliga stjärnformade polyedrarna. Stjärnformade polyedrar är mycket dekorativa, vilket gör att de kan användas i stor utsträckning inom smyckesindustrin vid tillverkning av alla typer av smycken. De används också inom arkitektur. Slutsats: Det finns oroväckande få vanliga polyedrar, men denna mycket blygsamma trupp lyckades komma in i djupet av olika vetenskaper. Stjärnpolyedern är en förtjusande vacker geometrisk kropp, vars kontemplation ger estetiskt nöje. Forntida människor såg skönhet på väggarna i grottor i mönster av trianglar, romber och cirklar. Sedan antiken har vanliga polygoner ansetts vara en symbol för skönhet och perfektion. Den stjärnformade femhörningen - pentagrammet ansågs vara en symbol för hälsa och fungerade som ett identifieringsmärke för pytagoreerna. II. Polygoner i naturen 1. Honeycombs Vanliga polygoner finns i naturen. Ett exempel är honungskakan, som är en polygon täckt med regelbundna hexagoner. Naturligtvis studerade de inte geometri, men naturen gav dem talangen att bygga hus i form av geometriska former. På dessa hexagoner växer bin celler från vax. Bina lägger honung i dem och täcker dem sedan igen med en solid rektangel av vax. Varför valde bina hexagonen? För att svara på denna fråga måste du jämföra omkretsen av olika polygoner som har samma area. Låt en regelbunden triangel, en kvadrat och en regelbunden hexagon ges. Vilken av dessa polygoner har den minsta omkretsen? Låt S vara arean för var och en av de namngivna figurerna, sidan a n är motsvarande regelbundna triangel. För att jämföra omkretsarna skriver vi deras förhållande: P3: P4: P6 = 1: 0,877: 0,816 Vi ser att av de tre reguljära polygonerna med samma area har den reguljära hexagonen den minsta omkretsen. Därför sparar kloka bin vax och tid för att bygga bikakor. Binas matematiska hemligheter slutar inte där. Det är intressant att ytterligare utforska strukturen hos bikakor. Smarta bin fyller utrymmet så att det inte finns några luckor kvar, vilket sparar 2% vax. Hur man inte håller med biets åsikt från sagan "Tusen och en natt": "Mitt hus byggdes enligt lagarna för den strängaste arkitekturen. Euklid själv kunde lära sig av geometrin i min honungskaka." Således, med hjälp av geometri, berörde vi hemligheten med matematiska mästerverk gjorda av vax, och återigen försäkrade oss om matematikens omfattande effektivitet. Så, utan att kunna matematik, "bestämde" bina korrekt att en vanlig hexagon har den minsta omkretsen bland figurer med lika stor yta. Biodlaren Nikolai Mikhailovich Kuznetsov bor i vår by. Han har sysslat med bin sedan tidig barndom. Han förklarade att när man bygger bikakor försöker bina instinktivt göra dem så stora som möjligt, samtidigt som de använder så lite vax som möjligt. Den sexkantiga formen är den mest ekonomiska och effektiva formen för bikakekonstruktion. Cellvolymen är cirka 0,28 cm3. När man bygger bikakor använder bin jordens magnetfält som vägledning. Celler av honungskakor är drönare, honung och yngel. De skiljer sig åt i storlek och djup. Honung - djupare, drönare - bredare. 2. Snöflinga. En snöflinga är en av naturens vackraste varelser. Naturlig hexagonal symmetri härrör från egenskaperna hos vattenmolekylen, som har ett hexagonalt kristallgitter som hålls samman av vätebindningar, vilket gör att den kan ha en strukturell form med minimal potentiell energi i den kalla atmosfären. Skönheten och variationen av geometriska former av snöflingor anses fortfarande vara ett unikt naturfenomen. Matematikerna slogs särskilt av den "liten vita prick" som hittades i mitten av snöflingan, som om det vore spåret av benet på en kompass som användes för att skissera dess omkrets." Den store astronomen Johannes Kepler förklarade i sin avhandling "Nyårsgåva på sexkantiga snöflingor" formen av kristaller av Guds vilja. Den japanska vetenskapsmannen Nakaya Ukichiro kallade snö "ett brev från himlen, skrivet i hemliga hieroglyfer." Han var den första att skapa en klassificering av snöflingor. Världens enda snöflingsmuseum, beläget på ön Hokkaido, är uppkallat efter Nakai. Så varför är snöflingor sexkantiga? Kemi: I isens kristallina struktur deltar varje vattenmolekyl i 4 vätebindningar riktade mot tetraederns hörn vid strikt definierade vinklar lika med 109°28" (medan i isstrukturerna I, Ic, VII och VIII är denna tetraeder regelbunden ). I mitten av denna tetraeder finns en syreatom, vid två hörn finns det en väteatom, vars elektroner är involverade i bildandet av en kovalent bindning med syre. De två återstående hörnen upptas av par av syrevalenselektroner, som inte deltar i bildandet av intramolekylära bindningar. Nu blir det klart varför iskristallen är sexkantig. Huvudfunktionen som bestämmer formen på en kristall är kopplingen mellan vattenmolekyler, liknande kopplingen av länkar i en kedja. Dessutom, på grund av de olika förhållandena mellan värme och fukt, antar kristallerna, som i princip ska vara likadana, olika former. När den kolliderar med underkylda små droppar på väg, förenklar snöflingan sin form samtidigt som den bibehåller symmetri. Geometri: Den formativa principen valde en regelbunden hexagon inte av nödvändighet bestämd av egenskaperna hos materia och rymd, utan bara på grund av dess inneboende egenskap att helt, utan ett enda mellanrum, täcka planet och vara närmast en cirkel av alla figurer som har samma egenskap. Fysiklärare – L.N. Sofronova Vid temperaturer under 0°C förvandlas vattenånga omedelbart till ett fast tillstånd och iskristaller bildas istället för droppar. Huvudvattenkristallen har formen av en vanlig hexagon i planet. Nya kristaller avsätts sedan på hörnen av en sådan hexagon, nya kristaller avsätts på dem, och det är så här de olika former av stjärnor - snöflingor, som är bekanta för oss, erhålls. Matematiklärare – Nikolaeva I.M. Av alla vanliga geometriska figurer är det bara trianglar, kvadrater och hexagoner som kan fylla ett plan utan att lämna tomrum, med den vanliga hexagonen som täcker det största området. På vintern har vi mycket snö. Det var därför naturen valde sexkantiga snöflingor för att ta mindre plats. Kemilärare – Maslova N.G. Den sexkantiga formen på snöflingor förklaras av vattnets molekylära struktur, men frågan om varför snöflingor är platta har ännu inte besvarats. E. Yevtushenko uttrycker skönheten i snöflingor i sin dikt. Från snöflingor till is lade han sig ner på marken och på taken och slog alla med vithet. Och han var verkligen magnifik, Och han var verkligen vacker... III. Polygoner runt omkring oss ”Smyckens konst innehåller i implicit form den äldsta delen av högre matematik som vi känner till” Herman Weyl. 1. Parkettödlor, avbildade av den holländska konstnären M. Escher, bildar, som matematiker säger, en "parkett". Varje ödla ligger tätt mot sina grannar utan minsta mellanrum, som klinkers på ett parkettgolv. En regelbunden uppdelning av ett plan, kallad en "mosaik", är en uppsättning slutna figurer som kan användas för att kakla planet utan skärningar mellan figurerna och mellanrum mellan dem. Vanligtvis använder matematiker enkla polygoner, såsom kvadrater, trianglar, hexagoner, oktagoner eller kombinationer av dessa figurer, som former för att göra mosaiker. Vackra parkettgolv är gjorda av vanliga polygoner: trianglar, fyrkanter, femhörningar, hexagoner, oktagoner. Till exempel kan cirklar inte bilda parkett. Parkettgolv har alltid ansetts vara en symbol för prestige och god smak. Användningen av värdefulla träslag för tillverkning av lyxparkett och användningen av olika geometriska mönster ger rummet sofistikering och respektabilitet. Den konstnärliga parkettens historia är mycket gammal - den går tillbaka till ungefär 1100-talet. Det var då som nya trender vid den tiden började dyka upp i ädla och ädla herrgårdar, palats, slott och släktgods - monogram och heraldiska insignier på golvet i salar, salar och vestibuler, som ett tecken på särskild anknytning till de makter som finns . Den första konstnärliga parketten lades ut ganska primitivt, ur modern synvinkel - från vanliga träbitar som matchade färgen. Idag är bildandet av komplexa ornament och mosaikkombinationer tillgänglig. Detta uppnås tack vare högprecisionslaser och mekanisk skärning. I början av 1800-talet uppträdde istället för parkettdesignens raffinerade linjer enkla linjer, rena konturer och regelbundna geometriska former, och strikt symmetri uppträdde i den sammansatta strukturen. Alla strävanden inom dekorativ konst syftar till att visa hjältemodet och den unikt meningsfulla klassiska antiken. Parketten fick en hård geometri: nu solida rutor, nu cirklar, nu kvadrater eller polygoner med sin uppdelning i smala ränder i olika riktningar. I den tidens tidningar kunde man hitta annonser där det föreslogs att välja parkett av exakt denna design. En karakteristisk parkett av de ryska klassikerna från 1800-talet är parketten designad av arkitekten Voronikhin i Stroganov-huset på Nevskij Prospekt. Hela parketten består av stora sköldar med noggrant upprepade snett placerade rutor, vid vilkas hårkors, fyrbladiga rosetter, lätt spårade med grafemer, blygsamt givna. De mest typiska parketterna tidiga XIXårhundradet är parkettgolv av arkitekten C. Rossi. Nästan alla ritningar i dem kännetecknas av stor lakonism, upprepning, geometri och tydlig uppdelning med raka eller sneda lameller som förenade hela parkettgolvet i lägenheten. Arkitekt Stasov valde parkettgolv som bestod av enkla former av kvadrater och polygoner. I alla Stasovs projekt kan man känna samma stränghet som Rossis, men behovet av att utföra restaureringsarbeten, som föll på hans lott efter branden i palatset, gör det mer mångsidigt och bredare. Precis som Rossis byggdes Stasovs parkettgolv i Katarinapalatsets blå salong av enkla kvadrater förenade av horisontella, vertikala eller diagonala lameller, som bildar stora celler som delar varje kvadrat i två trianglar. Geometrisism observeras också i parkettgolven i Maria Feodorovnas bibliotek, där bara variationen i färgen på parketten - rosenträ, amarant, mahogny, rosenträ, etc. - ger en viss animation. Den dominerande färgen på parketten är mahogny, på vilken sidorna av rektanglarna och fyrkanterna ges av päronträ, inramat av ett tunt lager av ebenholts, vilket ger ännu större klarhet och linjäritet till hela mönstret. Lönn på hela parketten ges rikligt i form av band, ekblad, rosetter och joniter. Alla dessa parkettgolv har inte ett centralt mönster, de består alla av återkommande geometriska motiv. En liknande parkett bevarades i tidigare hus Yusupov i St Petersburg. Arkitekterna Stasov och Bryullov restaurerade lägenheterna Vinterpalatset efter branden 1837. Stasov skapade parketten på Vinterpalatset i den högtidliga, monumentala och officiella stilen av ryska klassiker från 30-talet av 1800-talet. Färgerna på parketten valdes också exklusivt klassiska. När han valde parkett, när det inte var nödvändigt att kombinera parketten med takets mönster, förblev Stasov trogen sina kompositionsprinciper. Till exempel kännetecknas parkettgolvet i galleriet från 1812 av sin torra och högtidliga majestät, som uppnåddes genom upprepningen av enkla geometriska former inramade av en fris. 2. Tessellations Tessellations, även känd som kakel, är samlingar av former som täcker hela det matematiska planet och passar ihop utan överlappning eller mellanrum. Reguljära tesseller består av figurer i form av regelbundna polygoner, när de kombineras har alla hörn samma form. Det finns bara tre polygoner som är lämpliga för användning i vanliga tesselleringar. Dessa är en vanlig triangel, en kvadrat och en vanlig hexagon. Halvregelbundna tesselleringar är de där regelbundna polygoner av två eller tre typer används och alla hörn är desamma. Det finns bara 8 halvvanliga tesselleringar. Tillsammans kallas de tre reguljära tessellerna och åtta halvregelbundna arkimedeiska. Tessellation, där enskilda brickor är igenkännbara figurer, är ett av huvudteman i Eschers verk. Hans anteckningsböcker innehåller mer än 130 varianter av tesseller. Han använde dem i ett stort antal av sina målningar, inklusive "Dag och natt" (1938), serien av målningar "The Limit of the Circle" I-IV och den berömda "Metamorphoses" I-III (1937-1968) . Exemplen nedan är målningar av samtida författarna Hollister David och Robert Fathauer. 3. Patchwork från polygoner Om ränder, rutor och trianglar kan göras utan speciella förberedelser och utan färdigheter med hjälp av en symaskin, kommer polygoner att kräva mycket tålamod och skicklighet av oss. Många quiltare föredrar att montera polygoner för hand. Varje persons liv är ett slags lapptäcke, där ljusa och magiska ögonblick växlar med gråa och mörka dagar. Det finns en liknelse om lapptäcke. "En kvinna kom till vismannen och sa: "Lärare, jag har allt: en man, barn och ett hus - en full kopp, men jag började tänka: varför allt detta och mitt liv föll isär, allt är inte en glädje!" Vismannen lyssnade på henne, tänkte på det och rådde henne att försöka sy ihop sitt liv. Kvinnan lämnade vismannen i tvivel, men hon försökte. Hon tog en nål och tråd och sydde en bit av sina tvivel på en bit blå himmel som hon såg i fönstret i sitt rum. Hennes lilla barnbarn skrattade och hon sydde ett skratt på sin duk. Och så gick det. Fågeln sjunger - och ytterligare ett stycke läggs till, de kommer att förolämpa dig till tårar. Patchworktyget användes för att göra filtar, kuddar, servetter och handväskor. Och alla de kom till kände hur värmebitar satte sig i deras själ, och de var aldrig ensamma igen, och livet verkade aldrig tomt och värdelöst för dem." Detta kan ses i Larisa Nikolaevna Gorshkovas verk. Hon arbetar passionerat med att skapa lapptäcken, överkast, mattor och hämtar inspiration från vart och ett av hennes verk. 4. Prydnad, broderi och stickning. 1). Ornament Ornament är en av de äldsta typerna av mänsklig visuell aktivitet, som i ett avlägset förflutet bar en symbolisk magisk innebörd, en viss symbolik. Designen var nästan uteslutande geometrisk, bestående av strikta former av cirkel, halvcirkel, spiral, kvadrat, romb, triangel och deras olika kombinationer. Den forntida människan försåg sina idéer om världens struktur med vissa tecken. Med allt detta har ornamentisten ett brett utrymme när han väljer motiv för sin komposition. De levereras till honom i överflöd av två källor - geometri och natur. Till exempel är en cirkel solen, en kvadrat är jorden. 2). Broderi Broderi är en av huvudtyperna av Chuvash folklig prydnadskonst. Modernt Chuvash-broderi, dess ornament, teknik och färgschema är genetiskt relaterade till Chuvash-folkets konstnärliga kultur förr i tiden. Konsten att broderi har en lång historia. Från generation till generation förfinades och förbättrades mönster och färgscheman, och broderiprover med karaktäristiska nationella drag skapades. Broderiet av folken i vårt land kännetecknas av stor originalitet, en mängd tekniska tekniker och färgscheman. Varje nation, beroende på lokala förhållanden, särdrag i livet, seder och natur, skapade sina egna broderitekniker, mönstermotiv och deras kompositionsstruktur. I ryskt broderi, till exempel, spelas en stor roll av geometriska mönster och geometriska former av växter och djur: romber, motiv kvinnlig figur , fåglar, samt en leopard med en upphöjd tass. Solen avbildades i form av en diamant, en fågel symboliserade vårens ankomst, etc. Av stort intresse är broderierna av folken i Volga-regionen: Mari, Mordovianer och Chuvash. Dessa folks broderier har många gemensamma drag. Skillnaderna ligger i mönstrens motiv och deras tekniska utförande. Broderimönster som består av geometriska former och mycket geometriska motiv. Gamla Chuvash-broderier är extremt varierande. Olika typer av det användes vid tillverkning av kläder, särskilt canvasskjortor. Skjortan var rikt dekorerad med broderier på bröstet, fållen, ärmarna och ryggen. Och därför tror jag att Chuvash nationella broderier bör börja med en beskrivning av damskjortan som den mest färgstarka och rikt dekorerad med ornament. På axlarna och ärmarna på denna typ av skjorta finns broderier av geometriska, stiliserade växtmönster och ibland djurmönster. Axelbroderi skiljer sig till sin natur från ärmbroderi, och det är som en fortsättning på axelbroderiet. På en av de gamla skjortor, broderi tillsammans med flätade ränder, som går ner från axlarna, går ner och slutar vid bröstet med en spetsig vinkel. Ränderna är arrangerade i form av romber, trianglar och fyrkanter. Inuti dessa geometriska figurer finns små nätbroderier, och stora krokformade och stjärnformade figurer är broderade längs ytterkanten. Sådana broderier bevarades i Nikolaevs hus. Denisova Praskovya Petrovna, min släkting, broderade dem. En annan typ av kvinnors handarbete är virkning. Sedan urminnes tider har kvinnor stickat mycket och outtröttligt. Den här typen av handarbete är inte mindre spännande än broderi. Här är ett av Tamara Fedorovnas verk. Hon delade med oss ​​av sina minnen av hur varje flicka i byn fick lära sig att korsstygn på duk och satinstygn och sticka stygn. Med antalet stickade stygn, av saker dekorerade med broderier och spetsar, bedömdes flickan som en brud och framtida hemmafru. Stygnmönstren var olika, de gick i arv från generation till generation, de uppfanns av hantverkarna själva. Blommotivet, geometriska former, täta pelare, täckta och otäckta galler går igen i stickprydnaden. Vid 89 år gammal är Tamara Fedorovna engagerad i virkning. Här är hennes hantverk. Hon stickar till barn, släktingar och grannar. Han tar till och med beställningar. Slutsats: Genom att veta om polygoner och deras typer kan du skapa mycket vackra dekorationer. Och all denna skönhet omger oss. Människor har haft behov av att dekorera hushållsartiklar under lång tid. 5. Geometrisk snidning Det råkar vara så att Rus är ett skogland. Och ett sådant bördigt material som trä fanns alltid till hands. Med hjälp av en yxa, en kniv och några andra hjälpverktyg försåg en person sig själv med allt som behövs för: livet: han byggde bostäder och uthus, broar och väderkvarnar, fästningsmurar och torn, kyrkor, tillverkade maskiner och verktyg, fartyg och båtar, slädar och vagnar, möbler, fat, barnleksaker och mycket mer. På helgdagar och på fritiden roade han sin själ med sina rullande låtar på trämusikinstrument: balalajkor, pipor, fioler och visselpipor. Och det högljudda trähornet var en oumbärlig följeslagare till byns herde Med hornets sång började arbetslivet i den ryska byn. Även geniala och pålitliga dörrlås tillverkades av trä. Ett av dessa slott förvaras i det statliga historiska museet i Moskva. Den gjordes av en mästare på 1700-talet, kärleksfullt dekorerad med triangulära sniderier! (Detta är ett av namnen på geometriska sniderier.) Geometriska sniderier är en av de äldsta typerna av träsniderier, där de avbildade figurerna har geometriska former i olika kombinationer. Geometrisk snidning består av ett antal element som bildar olika prydnadskompositioner. Kvadrater, trianglar, trapetser, romber och rektanglar är en arsenal av geometriska element som gör det möjligt att skapa originalkompositioner med ett rikt spel av ljus och skugga. Jag kunde se denna skönhet sedan barndomen. Min farfar, Mikhail Yakovlevich Yakovlev, arbetade som tekniklärare på Kovalinskaya-skolan. Enligt min mamma undervisade han i sniderikurser. Jag gjorde det här själv. Mikhail Yakovlevichs döttrar har bevarat hans verk. Boxen är en present till äldsta barnbarnet på hennes 16-årsdag. En backgammonlåda för äldsta barnbarnet. Det finns bord, speglar, fotoramar. Mästaren försökte lägga till ett stycke skönhet till varje produkt. Först och främst ägnades stor uppmärksamhet åt form och proportioner. För varje produkt valdes trä med hänsyn till dess fysiska och mekaniska egenskaper. Om den vackra texturen av trä i sig kunde dekorera produkterna, försökte de identifiera och betona det. IV. Exempel från livet Jag skulle vilja ge några fler exempel på hur kunskap om polygoner tillämpas i våra liv. 1/När du genomför utbildningar: Polygoner dras av människor som är ganska krävande av sig själva och andra, som uppnår framgång i livet inte bara tack vare beskydd, utan också till sin egen styrka. När polygoner har fem, sex eller fler vinklar och är kopplade till dekorationer, då kan vi säga att de ritades av en känslomässig person som ibland fattar intuitiva beslut. 2/Betyder av kaffespådom: Om det inte finns någon fyrkant är detta ett dåligt omen, varning för annalkande problem. En vanlig fyrhörning är det bästa tecknet. Ditt liv kommer att passera lyckligt, och du kommer att vara ekonomiskt säker och ha vinster. Sammanfatta ditt arbete på kontrollbladet och ge dig själv ett slutbetyg. Fyrkanten är utrymmet på handflatan mellan huvudlinjen och hjärtlinjen. Det kallas också handbordet. Om mitten av fyrhörningen är bred på sidan av tummen och ännu bredare på sidan av handflatan, indikerar detta mycket god organisation och sammansättning, sanningsenlighet, trohet och ett allmänt lyckligt liv. 3/ Palmistry - spådomar för hand Fyrkantens figur (den har också ett annat namn - "handbord") är placerad mellan linjerna i hjärtat, sinnet, ödet och Merkurius (lever). I händelse av svagt uttryck eller fullständig frånvaro av det senare utförs dess funktion av Apollo-linjen. En fyrhörning som är stor i storleken, regelbunden i formen, har tydliga gränser och sträcker sig mot Jupiterberget tyder på god hälsa och god karaktär. Sådana människor är redo att offra sig själva för andras skull, de är öppna, ohycklande, för vilka de respekteras av andra. Om fyrkanten är bred kommer en persons liv att fyllas med olika glada händelser, han kommer att ha många vänner. Den alltför blygsamma storleken på fyrkanten eller sidornas krökning säger tydligt att personen som har den är infantil, obeslutsam, självisk och hans sensualitet är outvecklad. Överflödet av små linjer i fyrkanten är bevis på sinnets begränsningar. Om ett kors i form av ett "x" är synligt inuti figuren, indikerar detta den excentriska karaktären hos personen som undersöks och är ett dåligt tecken. Ett kors som har rätt form indikerar att han är benägen att intressera sig för mystik. 1. Den fantastiska polygonen Förutom teorin om qi, principerna för yin och yang och Tao, finns det ett annat grundläggande koncept i feng shuis läror: den "heliga oktagonen", kallad ba gua. Översatt från kinesiska betyder detta ord "drakkropp". Med ledning av Ba Guas principer kan du planera inredningen av rummet så att det skapar en atmosfär som främjar maximal andlig komfort och materiellt välbefinnande. I det antika Kina trodde man att oktagonen var en symbol för välstånd och lycka. Egenskaper för ba-gua-sektorerna. Karriär - Nord Färgen på sektorn är svart. Det element som främjar harmonisering är vatten. Sektorn är direkt relaterad till vår typ av verksamhet, arbetsplats, realisering av arbetspotential, professionalism och förtjänst. Framgång eller misslyckande i detta avseende beror direkt på välståndet inom området för denna sektor. Kunskap – nordost Sektor färg – blå. Grundämnet är jord, men det har en ganska svag effekt. Sektorn är förknippad med sinnet, förmågan att tänka, andlighet, önskan om självförbättring, förmågan att tillgodogöra sig mottagen information, minne och livserfarenhet. Familj – Östsektorns färg – grön. Det element som främjar harmonisering är trä. Riktningen förknippas med familj i ordets vidaste bemärkelse. Det betyder inte bara ditt hushåll, utan även alla släktingar, inklusive avlägsna sådana. Rikedom - sydost Färg på sektorn - lila. Elementet – trä – har en svag effekt. Riktningen är förknippad med vår ekonomiska situation, den symboliserar välbefinnande och välstånd, materiell rikedom och överflöd på absolut alla områden. Glory - syd Färg - röd. Elementet som gör denna sfär aktiv är Eld. Denna sektor symboliserar din berömmelse och ditt rykte, dina nära och käras åsikter om dig. Äktenskap - sydväst Sektor färg - rosa. Element - Jord. Sektorn är förknippad med din älskade och symboliserar din relation med honom. Om det inte finns någon sådan person i ditt liv för tillfället, representerar denna sektor ett tomrum som väntar på att fyllas. Riktningens tillstånd kommer att berätta för dig vad dina chanser är att snabbt realisera din potential inom området personliga relationer. Barn - Väst Sektorns färg är vit. Elementet är metall, men har en svag effekt. Symboliserar din förmåga att fortplanta sig inom vilket område som helst, både fysiskt och andligt. Vi kan prata om barn, kreativt självuttryck, genomförandet av olika planer, vars resultat kommer att glädja dig och andra och tjäna dina visitkort i framtiden. Sektorn är bland annat förknippad med din förmåga att kommunicera och speglar din förmåga att attrahera människor till dig. Hjälpsamma människor – nordvästra sektorns färg – grå. Element - metall. Riktningen symboliserar människor du kan lita på i svåra situationer den visar närvaron i ditt liv av de som kan komma till undsättning, ge stöd och bli användbara för dig på ett eller annat område. Dessutom är sektorn förknippad med resor och den manliga hälften av din familj. Hälsa – centrum Färgen på sektorn är gul. Det har inte ett specifikt element, det är kopplat till alla element som en helhet, och från varje tar det den nödvändiga andelen energi. Området symboliserar din mentala och andliga hälsa, anknytning och harmoni i alla aspekter av livet. 2. Pi och vanliga polygoner. Den 14 mars i år kommer Pi-dagen att firas för tjugonde gången - en informell högtid för matematiker tillägnad detta märkliga och mystiska nummer. Semesterns "fader" var Larry Shaw, som uppmärksammade det faktum att denna dag (3.14 i det amerikanska datumsystemet) bland annat infaller på Einsteins födelsedag. Och kanske är detta det mest lämpliga ögonblicket för att påminna dem som är långt ifrån matematik om de underbara och märkliga egenskaperna hos denna matematiska konstant. Intresset för värdet av talet π, som uttrycker förhållandet mellan omkretsen och diametern, uppstod i gamla tider. Den välkända formeln för omkretsen L = 2 π R är också definitionen av talet π. I gamla tider trodde man att π = 3. Detta nämns till exempel i Bibeln. Under den hellenistiska eran trodde man det, och denna betydelse användes av både Leonardo da Vinci och Galileo Galilei. Båda uppskattningarna är dock mycket grova. En geometrisk ritning som visar en cirkel omskriven kring en regelbunden hexagon och inskriven i en kvadrat ger omedelbart de enklaste uppskattningarna för π: 3< π < 4. Использование буквы π для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια Вывод: Мы ответили на вопрос: «Зачем изучать математику?» Затем, что в глубине души у каждого из нас живет тайная надежда познать себя, свой внутренний мир, совершенствовать себя. Математика дает такую возможность - через творчество, через целостное представление о мире. Восьмиугольник – символ достатка и счастья. V. Правильные многоугольники в архитектуре Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. На уроках геометрии мы узнали определения, признаки, свойства различных многоугольников. Прочитав литературу по истории архитектуры, мы пришли к такому выводу, что мир вокруг нас - это мир форм, он очень разнообразен и удивителен. Мы увидели, что здания имеют самую разнообразную форму. Нас окружают предметы быта различного вида. Изучив эту тему, мы действительно увидели, что многоугольники окружают нас повсюду. В России здания очень красивой архитектуры как исторические, так и современные, в каждом из которых можно найти различные виды многоугольников. 1. Архитектура города Москвы и других городов мира. Как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а ещё выше воздвигнута четырехугольная усечённая пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими. собор Василия Блаженного) Выразительный контраст треугольника и прямоугольника на фасаде привлекает внимание посетителей музея Гронингена (Голландия) (рис.9) Круглая, прямоугольная, квадратная – все эти формы прекрасно уживаются в здании Музея современного искусства в Сан-Франциско (США). Здание Центра современного искусства имени Жоржа Помпиду в Париже – сочетание гигантского прозрачного параллелепипеда с ажурной металлической арматурой. 2. Архитектура города Чебоксары Столица Чувашской Республики - город Чебоксары (чув. Шупашкар), расположенный на правом берегу Волги, имеет многовековую историю. В письменных источниках Чебоксары как поселение упоминаются с 1469 года – тогда русские воины остановились здесь на своем пути в Казанское ханство. Этот год принято считать временем основания города, но уже сейчас историки настаивают на пересмотре этой даты - найденные во время последних археологических раскопок материалы указывают, что Чебоксары основаны еще в 13 веке переселенцами из болгарского города Сувар. Город повсеместно славился и своим колокололитным производством – чебоксарские колокола были известны и в России, и в Европе. Развитие торговли, распространение православия и массовое крещение чувашского народа привели и к архитектурному расцвету города – город изобиловал церквями и храмами, в каждом из которых видны различные многоугольники Чебоксары – очень красивый город. В столице Чувашии удивительно переплелась новизна современного мегаполиса и старина, где выражен геометризм.. Выражено это прежде всего в архитектуре города. Причем очень гармоничное переплетение воспринимается как единый ансамбль и лишь дополняет друг друга. 3. Архитектура села Ковали Красоту и геометризм вы можете увидеть и в нашей деревне. Вот школа, которую построили 1924 году, памятник воинам – солдатам. Вывод: Без геометрии не было бы ничего, ведь все здания, которые окружают нас – это геометрические фигуры. Заключение Проведя исследования, мы пришли к выводу, что действительно, зная о многоугольниках и их видах, можно создать очень красивые предметы украшения, построить разнообразные и уникальные здания. И все это красота окружающая нас. Человеческие представления о красивом формируются под влиянием того, что человек видит в живой природе. В различных своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И мы можем сказать, что многоугольники создают красоту в искусстве, архитектуре, природе, в окружении человека. Красота - всюду. Есть она и в науке, и в особенности в её жемчужине – математике. Помните, что наука во главе с математикой откроет перед нами сказочные сокровища красоты. Список использованной литературы. 1.Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. В.В.Фирсова. М., «Мир», 1974 2. Гарднер М. Математические новеллы. Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М., «Мир», 1974. 3. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., Наука, 1966. 4. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. Пер. с польского. М., Наука, 1981. 5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для 5-6 кл. – Смоленск: Русич, 1995. 6. Яковлев И.И., Орлова Ю.Д. Резьба по дереву. М.: Искусство Интернет.

En person visar intresse för polyedrar under hela sin medvetna aktivitet - från ett tvåårigt barn som leker med träklossar till en mogen matematiker. Vissa av de reguljära och halvregelbundna kropparna förekommer i naturen i form av kristaller, andra - i form av virus som bara kan ses med hjälp av ett elektronmikroskop. Vad är en polyeder? För att besvara denna fråga, låt oss komma ihåg att geometri i sig ibland definieras som vetenskapen om rymd och rumsliga figurer - tvådimensionella och tredimensionella. En tvådimensionell figur kan definieras som en uppsättning raka segment som avgränsar en del av ett plan. En sådan platt figur kallas en polygon. Det följer att en polyeder kan definieras som en uppsättning polygoner som avgränsar en del av det tredimensionella rummet. Polygonerna som bildar en polyeder kallas dess ytor.

Forskare har länge varit intresserade av "ideala" eller vanliga polygoner, det vill säga polygoner med lika sidor och lika vinklar. Den enklaste regelbundna polygonen kan betraktas som en liksidig triangel, eftersom den har det minsta antalet sidor som kan begränsa en del av planet. Den allmänna bilden av de regelbundna polygonerna som intresserar oss, tillsammans med den liksidiga triangeln, är: kvadrat (fyra sidor), femhörning (fem sidor), hexagon (sex sidor), oktagon (åtta sidor), dekagon (tio sidor), etc. Uppenbarligen, teoretiskt sett finns det inga begränsningar för antalet sidor av en vanlig polygon, det vill säga antalet vanliga polygoner är oändligt.

Vad är en vanlig polyeder? En vanlig polyeder är en sådan polyeder, vars alla ytor är lika (eller kongruenta, som är brukligt i matematik) med varandra och samtidigt är regelbundna polygoner. Hur många vanliga polyedrar finns det? Vid första anblicken är svaret på denna fråga mycket enkelt - så många som det finns vanliga polygoner, det vill säga vid första övervägande verkar det vara möjligt att skapa en vanlig polyeder, vars sidor kan vara vilken vanlig polygon som helst. Detta är dock inte sant. Redan i Euklids element var det strängt bevisat att antalet reguljära polyedrar är mycket begränsat och att det bara finns fem reguljära polyedrar, vars ytor bara kan vara tre typer av regelbundna polygoner: trianglar, kvadrater och femhörningar. Dessa regelbundna polyedrar kallas platonska fasta ämnen. Den första av dessa är tetraedern. Dess ansikten är fyra liksidiga trianglar. Tetraedern har det minsta antalet ytor bland de platonska soliderna och är den tredimensionella analogen till en platt regelbunden triangel, som har det minsta antalet sidor bland vanliga polygoner. Ordet "tetraeder" kommer från grekiskans "tetra" - fyra och "edra" - bas. Det är en triangulär pyramid. Nästa kropp är en hexaeder, även kallad en kub. Hexaedern har sex ytor, som är kvadrater. Oktaederns ytor är regelbundna trianglar och deras antal i oktaedern är åtta. Det näst största antalet ansikten är dodekaedern. Dess ansikten är femhörningar och deras antal i dodekaedern är tolv. Ikosaedern stänger de fem platoniska soliderna. Dess ansikten är regelbundna trianglar och deras antal är tjugo.

Mitt arbete undersöker de grundläggande definitionerna och egenskaperna hos konvexa polyedrar. Existensen av endast fem vanliga polyedrar har bevisats. Relationerna för den reguljära n-gonala pyramiden och den reguljära tetraedern, som oftast påträffas i stereometriproblem, övervägs i detalj. Verket innehåller en stor mängd analytiskt och illustrativt material som kan användas vid studier av vissa delar av stereometri.

Platonstudier

Platon skapade en mycket intressant teori. Han föreslog att atomerna i de fyra "grundämnena" (jord, vatten, luft och eld), från vilka allt är byggt, har formen av vanliga polyedrar: tetraeder - eld, hexaeder (kub) - jord, oktaeder - luft , icosahedron - vatten. Den femte polyedern - dodekaedern - symboliserade "Great Mind" eller "Harmony of the Universe". Partiklar av de tre elementen som lätt förvandlas till varandra, nämligen eld, luft och vatten, visade sig vara sammansatta av identiska figurer - regelbundna trianglar. Och jorden, som skiljer sig betydligt från dem, består av partiklar av en annan typ - kuber, eller snarare kvadrater. Platon förklarade mycket tydligt alla transformationer med hjälp av trianglar. I rastlöst kaos möter två luftpartiklar en eldpartikel, det vill säga två oktaedrar möter en tetraeder. Två oktaedrar har totalt sexton triangelytor, medan en tetraeder har fyra. Sammanlagt tjugo. Av tjugo bildas lätt en ikosaeder, och detta är en vattenpartikel.

Platons kosmologi blev grunden för den så kallade icosahedral-dodecahedral doktrinen, som sedan dess har löpt som en röd tråd genom all humanvetenskap. Kärnan i denna doktrin är att dodekaedern och ikosaedern är det typiska former naturen i alla dess yttringar, från rymden till mikrokosmos.

Vanliga polyedrar

Sedan urminnes tider har vanliga polyedrar uppmärksammats av forskare, byggare, arkitekter och många andra. De blev förvånade över skönheten, perfektionen och harmonin hos dessa polyedrar. Pytagoreerna ansåg att dessa polyedrar var gudomliga och använde dem i sina filosofiska skrifter om världens väsen. Den sista, 13:e boken av Euklids berömda "Element" är tillägnad vanliga polyedrar.

Låt oss upprepa att en konvex polyeder kallas regelbunden om dess ytor är lika regelbundna polygoner och samma antal ytor möts vid varje vertex.

Den enklaste sådana regelbundna polyedern är en triangulär pyramid, vars ytor är regelbundna trianglar. Tre ytor möts vid varje hörn. Denna polyeder kallas också en tetraeder, vilket översatts från grekiska betyder "tetraeder".

Ibland kallas en tetraeder också för en godtycklig pyramid. Därför, i fallet när vi talar om en vanlig polyeder, kommer vi att säga - en vanlig tetraeder.

En polyeder vars ytor är regelbundna trianglar, och fyra ytor möts vid varje vertex, och vars yta består av åtta regelbundna trianglar kallas en oktaeder.

En polyeder, vid varje spets av vilken fem regelbundna trianglar möts, vars yta består av tjugo regelbundna trianglar, kallas en ikosaeder.

Observera att eftersom mer än fem reguljära trianglar inte kan konvergera vid hörnen på en konvex polyeder, finns det inga andra vanliga polyedrar vars ytor är regelbundna trianglar.

På samma sätt, eftersom endast tre kvadrater kan konvergera vid hörnen av en konvex polyeder, så finns det förutom kuben inga andra vanliga polyedrar vars ytor är kvadrater. En kub har sex ytor och kallas därför en hexaeder.

En polyeder vars ansikten är regelbundna femhörningar och tre ansikten möts vid varje vertex. Dess yta består av tolv regelbundna femhörningar, den kallas en dodekaeder.

Eftersom reguljära polygoner med fler än fem sidor inte kan konvergera vid hörn av en konvex polyeder, finns det inga andra reguljära polyedrar, och det finns alltså bara fem reguljära polyedrar: tetraeder, hexaeder (kub), oktaeder, dodekaeder, icosahedron.

Namnen på vanliga polyedrar kommer från Grekland. Bokstavligen översatt från grekiska betyder "tetraeder", "oktaeder", "hexaeder", "dodekaeder", "ikosaeder": "tetraeder", "oktaeder", "hexaeder". "dodekaeder", "tjugohedron". Den 13:e boken av Euklids element är tillägnad dessa vackra kroppar. De kallas också för Platons kroppar, eftersom de intog en viktig plats i Platons filosofiska uppfattning om universums struktur.

Låt oss nu titta på några av egenskaperna, lemman och teorem som är förknippade med dessa figurer.

Betrakta en polyedrisk vinkel med vertex S, där alla plan och alla dihedriska vinklar är lika. Låt oss välja punkterna A1, A2, An på dess kanter så att SA1 = SA2 = SAn. Då ligger punkterna A1, A2, An i samma plan och är hörnpunkten för en regelbunden n-gon.

Bevis.

Låt oss bevisa att alla på varandra följande punkter ligger i samma plan. Betrakta fyra på varandra följande punkter A1, A2, A3 och A4. Pyramiderna SA1 A2 A3 och SA2 A3 A4 är lika, eftersom de kan kombineras genom att kombinera kanterna SA2 och SA3 (naturligtvis tas kanterna på olika pyramider) och de tvåsidiga vinklarna vid dessa kanter. På liknande sätt kan det visas att pyramiderna SA1 A3A4 och SA1 A2 A4 är lika, eftersom alla deras kanter är lika. Detta innebär jämlikhet

Av den sista likheten följer att volymen av pyramiden A1A2A3A4 är lika med noll, det vill säga de angivna fyra punkterna ligger i samma plan. Det betyder att alla n punkter ligger i samma plan, och i n-gon A1 A2 An är alla sidor och vinklar lika. Det betyder att det är korrekt och lemmat är bevisat.

Låt oss bevisa att det finns högst fem olika typer av vanliga polyedrar.

Bevis.

Av definitionen av en vanlig polyeder följer att dess ytor endast kan vara trianglar, fyrkanter och femhörningar. Låt oss till exempel bevisa att ansiktena inte kan vara vanliga hexagoner. Enligt definitionen av en vanlig polyeder måste minst tre ytor konvergera vid varje vertex. Men i en vanlig hexagon är vinklarna 120°. Det visar sig att summan av tre plana vinklar i en konvex polyedrisk vinkel är lika med 360°, men detta är omöjligt, eftersom denna summa alltid är mindre än 360°. Dessutom kan ytorna på en vanlig polyeder inte visa sig vara polygoner med ett stort antal sidor.

Låt oss ta reda på hur många ansikten som kan konvergera i spetsen på en vanlig polyeder. Om alla dess ytor är regelbundna trianglar, kan inte mer än fem trianglar ligga intill varje vertex, eftersom summan av planvinklarna vid denna vertex annars kommer att vara minst 360°, vilket, som vi har sett, är omöjligt. Så, om alla ytor på en vanlig polyeder är regelbundna trianglar, så ligger tre, fyra eller fem trianglar intill varje vertex. Med liknande resonemang är vi övertygade om att vid varje hörn av en regelbunden polyeder, vars ytor är regelbundna fyrhörningar och femhörningar, konvergerar exakt tre kanter.

Låt oss nu bevisa att det bara finns en polyeder av en given typ med en fast kantlängd. Tänk till exempel på fallet när alla ansikten är vanliga femhörningar. Låt oss anta motsatsen: låt det finnas två polyedrar, vars alla ytor är regelbundna femhörningar med sidan a, och alla dihedriska vinklar i varje polyeder är lika med varandra. Observera att det inte är nödvändigt att alla dihedriska vinklar för en polyeder är lika med dihedriska vinklar för en annan polyeder: det är exakt vad vi nu ska bevisa.

Som vi har visat kommer tre kanter fram från varje hörn av varje polyeder. Låt kanterna AB, AC och AD komma ut ur vertex A på en polyeder och kanterna A1B1, A1C1 och A1D1 kommer ut ur toppunkt A1 på den andra. ABCD och A1B1C1D1 är regelbundna triangulära pyramider, eftersom de har lika kanter som kommer från hörn A och A1, och plana vinklar vid dessa hörn.

Det följer att de tvåledsvinklarna för en polyeder är lika med de tvåsidiga vinklarna för en annan. Det betyder att om vi kombinerar pyramiderna ABCD och A1B1C1D1, så kommer även polyedrarna själva att kombineras. Det betyder att om det finns en vanlig polyeder, vars alla ytor är regelbundna femhörningar med sidan a, så är en sådan polyeder unik.

De återstående polyedrarna behandlas på liknande sätt. I det fall då alla ytor är trianglar och fyra eller fem trianglar ligger intill varje vertex, bör man använda Lemma 2. 1. Av det följer att ändarna av kanterna som kommer ut från en vertex ligger i samma plan och tjänar som hörnen på en vanlig fyr- och en femhörning. Teoremet har bevisats.

Observera att det inte följer av denna sats att det finns exakt fem typer av vanliga polyedrar. Satsen säger bara att det inte finns fler än fem sådana typer, och nu ska vi bara bevisa att det verkligen finns fem av dessa typer genom att presentera alla fem typer av polyedrar.

Vanlig n-gonal pyramid

Tänk på en vanlig n-gonal pyramid. Denna polyeder påträffas ofta i stereometriska problem och därför är en mer detaljerad och grundlig studie av dess egenskaper av stort intresse. Dessutom är en av våra vanliga polyedrar - tetraedern - det.

Låt SA1A2 An vara en vanlig n-gonal pyramid. Låt oss presentera följande notation:

α är sidokantens lutningsvinkel mot basens plan;

β – dihedrisk vinkel vid basen;

γ – platt vinkel vid spetsen;

δ – dihedrisk vinkel vid sidokanten.

Låt O vara mitten av pyramidens bas, B mitten av kanten A1A2, D skärningspunkten för segmenten A1A3 och OA2, C punkten på sidokanten SA2 så att A1CSA2, E skärningspunkten för segmenten SB och A1C , K skärningspunkten för segmenten A1A3 och OV. Låt A1OA2=. Det är lätt att visa

Låt oss också beteckna höjden på pyramiden med H, apotem med m, sidokanten med l, sidan av basen med a, och med r och R radierna för de cirklar som är inskrivna i basen och omskrivna runt den.

Nedan visas sambanden mellan vinklarna α, β, γ, δ för en regelbunden n-gonal pyramid, formulerade i form av satser.

Vanlig tetraeder

Dess egenskaper

Genom att tillämpa de relationer som erhölls i föregående avsnitt på en vanlig tetraeder kan vi få ett antal intressanta relationer för den senare. I det här avsnittet kommer vi att presentera formlerna som erhållits för just detta fall och dessutom hittar vi uttryck för vissa egenskaper hos en vanlig tetraeder, som till exempel volym, total yta och liknande.

Efter notationen i föregående avsnitt, överväg en vanlig tetraeder SA1A2A3 med kantlängd a. Låt oss lämna notationerna för dess vinklar desamma och beräkna dem.

I en vanlig triangel är höjden lika lång. Eftersom denna triangel är regelbunden är dess höjd både en bisektrik och en median. Medianer, som är känt, divideras med sin skärningspunkt i förhållandet 2:1, räknat från vertex. Det är inte svårt att hitta skärningspunkten för medianerna. Eftersom tetraedern är regelbunden kommer denna punkt att vara punkt O - mitten av den regelbundna triangeln A1A2A3. Basen för höjden för en vanlig tetraeder som faller från punkt S projiceras också till punkt O. Detta betyder. I regelbunden triangel SA1A2 är längden på tetraederns apotem lika. Låt oss tillämpa Pythagoras sats för Δ SBO:. Härifrån.

Således är höjden på en vanlig tetraeder lika stor.

Arean av basen av en tetraeder - vanlig triangel:

Detta betyder att volymen av en vanlig tetraeder är:

Den totala ytan av en tetraeder är fyra gånger arean av dess bas:

Den dihedriska vinkeln vid sidoytan för en vanlig tetraeder är uppenbarligen lika med lutningsvinkeln för sidoytan mot basens plan:

Planvinkeln vid spetsen av en vanlig tetraeder är lika med.

Lutningsvinkeln för sidoribban till basplanet kan hittas från:

Radien för den inskrivna sfären för en vanlig tetraeder kan hittas med den välkända formeln som relaterar den till volymen och arean av tetraederns totala yta (observera att den sista formeln är giltig för alla polyeder i vilken en sfär kan inskrivas). I vårt fall har vi.

Låt oss hitta radien för den omskrivna sfären. Mitten av en sfär omskriven om en vanlig tetraeder ligger på sin höjd, eftersom det är linjen SO som är vinkelrät mot basens plan och går genom dess centrum, och på denna linje måste det ligga en punkt på samma avstånd från alla hörn av tetraederns bas. Låt detta vara punkt O1, då O1S=O1A2=R. Det har vi. Låt oss tillämpa Pythagoras sats på trianglarna BA2O1 och BO1O:

Observera att R = 3r, r + R = H.

Det är intressant att beräkna, det vill säga vinkeln vid vilken kanten av en vanlig tetraeder är synlig från mitten av den omskrivna sfären. Låt oss hitta det:

Detta är en storhet som vi känner till från en kemikurs: detta är vinkeln mellan C–H-bindningarna i en metanmolekyl, som kan mätas mycket noggrant i experiment, och eftersom inte en enda väteatom i CH4-molekylen uppenbarligen är isolerad vad som helst är det rimligt att anta att denna molekyl har formen av en vanlig tetraeder. Detta faktum bekräftas av fotografier av en metanmolekyl som erhållits med hjälp av ett elektronmikroskop.

Vanlig hexaeder (kub)

Ansiktstyp Fyrkantig

Antal ansikten 6

Antal revben 12

Antal hörn 8

Plan vinkel 90°

Summan av plana vinklar 270 o

Finns det ett symmetricentrum Ja (skärningspunkt för diagonaler)

Antal symmetriaxlar 9

Antal symmetriplan 9

Vanlig oktaeder

Antal ansikten 8

Antal revben 12

Antal hörn 6

Plan vinkel 60°

Antal plana vinklar vid vertex 4

Summan av plana vinklar 240°

Finns det en symmetriaxel Ja

Förekomsten av en vanlig oktaeder

Låt oss betrakta kvadraten ABCD och bygga på den, som på en bas, på båda sidor av dess plan, fyrkantiga pyramider, vars laterala kanter är lika med kvadratens sidor. Den resulterande polyedern kommer att vara en oktaeder.

För att bevisa detta måste vi bara kontrollera att alla dess dihedriska vinklar är lika. Låt O vara mitten av kvadraten ABCD. Genom att koppla ihop punkt O med alla hörn i vår polyeder får vi åtta triangulära pyramider med en gemensam vertex O. Betrakta en av dem, till exempel ABEO. AO = BO = EO och dessutom är dessa kanter parvis vinkelräta. Pyramiden ABEO är regelbunden eftersom dess bas är den regelbundna triangeln ABE. Detta betyder att alla dihedriska vinklar vid basen är lika. På liknande sätt är alla åtta pyramiderna med en topp i punkt O och baser - ytorna på oktaedern ABCDEG - regelbundna och dessutom lika med varandra. Detta betyder att alla dihedriska vinklar i denna oktaeder är lika, eftersom var och en av dem är två gånger den dihedriska vinkeln vid basen av var och en av pyramiderna.

*Notera intressant faktum, besläktad med hexaedern (kuben) och oktaedern. En kub har 6 ytor, 12 kanter och 8 hörn, och en oktaeder har 8 ytor, 12 kanter och 6 hörn. Det vill säga antalet ytor på en polyeder är lika med antalet hörn på en annan och vice versa. Som de säger är kuben och hexaedern dubbla till varandra. Detta manifesteras också i det faktum att om du tar en kub och bygger en polyeder med hörn i mitten av dess ytor, då, som du lätt kan se, får du en oktaeder. Det omvända är också sant - mitten av oktaederytorna fungerar som kubens hörn. Detta är dualiteten av oktaedern och kuben.

Det är lätt att räkna ut att om vi tar mitten av ansiktena på en vanlig tetraeder kommer vi återigen att få en vanlig tetraeder. Således är tetraedern dubbel till sig själv. *

Vanlig icosahedron

Ansiktstyp: Vanlig triangel

Antal ansikten 20

Antal revben 30

Antal hörn 12

Plan vinkel 60°

Antal plana vinklar vid spets 5

Summan av plana vinklar 300 o

Finns det ett symmetricentrum Ja

Antal symmetriaxlar Flera

Antal symmetriplan Flera

Förekomsten av en vanlig icosahedron

Det finns en vanlig polyeder där alla ytor är regelbundna trianglar, och varje vertex har 5 kanter. Denna polyeder har 20 ytor, 30 kanter, 12 hörn och kallas en icosahedron (icosi - tjugo).

Bevis

Betrakta oktaedern ABCDEG med kant 1. Välj punkterna M, K, N, Q, L och P på dess kanter AE, BE, CE, DE, AB respektive BC, så att AM = EK = CN = EQ = BL = BP = x. Låt oss välja x så att alla segment som förbinder dessa punkter är lika med varandra.

Uppenbarligen räcker det för detta att uppfylla likheten KM = KQ. Men eftersom KEQ är en likbent rätvinklig triangel med benen KE och EQ, alltså. Låt oss skriva cosinussatsen för triangeln MEK, där:

Härifrån. Den andra roten, som är större än 1, är inte lämplig. Efter att ha valt x på detta sätt konstruerar vi den erforderliga polyedern. Låt oss välja ytterligare sex punkter som är symmetriska med punkterna K, L, P, N, Q och M relativt tetraederns centrum, och beteckna dem K1, L1, P1, N1, Q1 respektive M1. Den resulterande polyedern med hörn K, L, P, N, Q, M, K1, L1, P1, N1, Q1 och M1 är den som krävs. Alla dess ansikten är regelbundna trianglar, med fem kanter som kommer ut från varje vertex. Låt oss nu bevisa att alla dess dihedriska vinklar är lika med varandra.

För att göra detta, notera att alla hörn av den konstruerade tjugohedronen är på samma avstånd från punkt O - mitten av oktaedern, det vill säga de är belägna på ytan av en sfär med centrum O. Därefter fortsätter vi i samma sätt som när man bevisar existensen av en vanlig oktaeder. Låt oss förbinda alla hörn på tjugohedronen med punkten O. På exakt samma sätt kommer vi att bevisa likheten mellan triangulära pyramider, vars baser är ytorna på den konstruerade polyedern, och vi kommer att se till att alla dihedriska vinklarna på tjugohedronen är dubbelt så stora som vinklarna vid basen av dessa lika triangulära pyramider. Följaktligen är alla dihedriska vinklar lika, vilket betyder att den resulterande polyedern är regelbunden. Det kallas en icosahedron.

Vanlig dodekaeder

Vy över Pentagon-ansiktet (vanlig femhörning)

Antal ansikten 12

Antal revben 30

Antal hörn 20

Plan vinkel 108°

Antal plana vinklar vid vertex 3

Summan av plana vinklar 324 o

Finns det ett symmetricentrum ja

Antal symmetriaxlar Flera

Antal symmetriplan Flera

Förekomsten av en vanlig dodekaeder

Det finns en vanlig polyeder där alla ytor är regelbundna femhörningar och 3 kanter kommer fram från varje vertex. Denna polyeder har 12 ytor, 30 kanter och 20 hörn och kallas en dodekaeder (dodeka - tolv).

Bevis.

Som du kan se är antalet ytor och hörn av polyedern, vars existens vi nu försöker bevisa, lika med antalet hörn och ytor i icosahedron. Således, om vi bevisar existensen av polyedern som diskuteras i denna sats, kommer den säkerligen att visa sig vara dubbel till ikosaedern. Med hjälp av exemplet med kuben och oktaedern såg vi att dubbla figurer har egenskapen att spetsarna på en av dem ligger i mitten av den andras ansikten. Detta antyder idén att bevisa detta teorem.

Låt oss ta en ikosaeder och betrakta en polyeder med hörn i mitten av dess ytor. Det är uppenbart att mittpunkterna för de fem ytorna av ikosaedern, som har en gemensam vertex, ligger i samma plan och fungerar som hörn av en vanlig femhörning (detta kan verifieras på ett sätt som liknar det vi använde i beviset av lemma). Så varje vertex av ikosaedern motsvarar en yta av en ny polyeder, vars ytor är regelbundna femhörningar, och alla dihedriska vinklar är lika. Detta följer av det faktum att alla tre kanter som kommer fram från en vertex av den nya polyedern kan betraktas som sidokanter av en vanlig triangulär pyramid, och alla de resulterande pyramiderna är lika (de har lika sidokanter och plana vinklar mellan dem, vilket är vinklarna för en vanlig femhörning). Av allt ovanstående följer att den resulterande polyedern är regelbunden och har 12 ytor, 30 kanter och 20 hörn. En sådan polyeder kallas en dodekaeder.

Så i det tredimensionella rymden finns det bara fem typer av vanliga polyedrar. Vi bestämde deras typ och fastställde att alla polyedrar har dualer till sig. Kuben är dualen av oktaedern och vice versa. Icosahedron till dodecahedron och vice versa. Tetraedern är dubbel till sig själv.

Eulers formel för vanliga polyedrar

Så det visade sig att det finns exakt fem vanliga polyedrar. Hur kan vi bestämma antalet kanter, ytor och hörn i dem? Detta är inte svårt att göra för polyedrar med ett litet antal kanter, men hur kan man till exempel få sådan information för en ikosaeder? Den berömda matematikern L. Euler fick formeln B+G-P=2, som förbinder antalet hörn /B/, ytor /G/ och kanter /P/ på vilken polyeder som helst. Enkelheten med denna formel ligger i det faktum att den inte är relaterad till vare sig avstånd eller vinklar. För att bestämma antalet kanter, hörn och ytor på en vanlig polyeder hittar vi först talet k = 2y - xy + 2x, där x är antalet kanter som hör till en yta, y är antalet ytor som möts kl. en vertex. För att hitta antalet ytor, hörn och kanter på en vanlig polyeder använder vi formler. Efter detta är det lätt att fylla i tabellen, som ger information om elementen i vanliga polyedrar:

Namn Vertices (V) Kanter (P) Ytor (D) Formel

Tetraeder 4 6 4 4-6+4=2

Hexaeder (Kub) 8 12 6 8-12+6=2

Octahedron 6 12 8 6-12+8=2

Icosahedron 12 30 20 12-30+20=2

Dodekaeder 20 30 12 20-30+12=2

Kapitel II: Regelbundna polyedrar i livet

Rymden och jorden

Det finns många hypoteser och teorier relaterade till polyedrar om universums struktur, inklusive vår planet. Nedan är några av dem.

Regelbundna polyedrar upptog en viktig plats i I. Keplers system för harmonisk struktur i världen. Samma tro på harmoni, skönhet och universums matematiskt regelbundna struktur ledde I. Kepler till idén att eftersom det finns fem regelbundna polyedrar, motsvarar endast sex planeter dem. Enligt hans åsikt är planeternas sfärer sammankopplade av de platonska fasta ämnen som är inskrivna i dem. Eftersom de inskrivna och omskrivna sfärernas centra för varje vanlig polyeder sammanfaller, kommer hela modellen att ha ett enda centrum där solen kommer att befinna sig.

Efter att ha gjort en enorm mängd beräkningsarbete publicerade I. Kepler 1596 resultaten av sin upptäckt i boken "The Mystery of the Universe." Han skriver in en kub i Saturnus sfär, i en kub - Jupiters sfär, i Jupiters sfär - en tetraeder, och så vidare, Mars sfär - en dodekaeder, jordens sfär - en ikosaeder, Venus sfär - en oktaeder, Merkurius sfär. Mysteriet med universum verkar vara öppet.

Idag kan vi med tillförsikt säga att avstånden mellan planeterna inte är relaterade till några polyedrar. Det är dock möjligt att utan "Universums mysterium", "Harmony of the World" av I. Kepler, vanliga polyedrar, skulle det inte ha funnits tre kända lagar för I. Kepler, som spelar viktig roll i att beskriva planeternas rörelser.

Var annars kan du se dessa fantastiska kroppar? I en mycket vacker bok av den tyske biologen från början av detta århundrade, E. Haeckel, "The Beauty of Forms in Nature", kan du läsa följande rader: "Naturen fostrar i sin famn ett outtömligt antal fantastiska varelser, som i skönhet och mångfald överträffar vida alla former skapade av mänsklig konst." Naturvarelserna som visas i den här boken är vackra och symmetriska. Detta är en oskiljaktig egenskap hos naturlig harmoni. Men här kan du också se encelliga organismer - feodaria, vars form återspeglar icosahedronen. Vad orsakar denna naturliga geometrisering? Kanske på grund av alla polyedrar med samma antal ansikten, är det ikosaedern som har den största volymen och den minsta ytan. Denna geometriska egenskap hjälper den marina mikroorganismen att övervinna trycket från vattenpelaren.

Det är också intressant att det var icosahedron som blev fokus för biologer i deras dispyter om formen på virus. Viruset kan inte vara perfekt runt, som man tidigare trott. För att fastställa dess form tog de olika polyedrar och riktade ljus mot dem i samma vinklar som flödet av atomer mot viruset. Det visade sig att bara en polyeder ger exakt samma skugga - ikosaedern. Dess geometriska egenskaper, som nämns ovan, gör det möjligt att spara genetisk information. Vanliga polyedrar är de mest fördelaktiga figurerna. Och naturen använder sig av detta i stor utsträckning. Kristallerna av vissa ämnen som vi känner till har formen av vanliga polyedrar. Sålunda förmedlar kuben formen av kristaller av bordssalt NaCl, en enkristall av aluminium-kaliumalun (KAlSO4)2 12H2O har formen av en oktaeder, en kristall av svavelkis FeS har formen av en dodekaeder, natriumantimonsulfat har formen av en tetraeder, och bor har formen av en ikosaeder. Regelbundna polyedrar bestämmer formen på kristallgittren hos vissa kemiska ämnen. Låt oss illustrera denna idé med följande problem.

Uppgift. Modellen av CH4-metanmolekylen har formen av en vanlig tetraeder, med väteatomer vid de fyra hörnen och en kolatom i mitten. Bestäm bindningsvinkeln mellan två CH-bindningar.

Lösning. Eftersom en vanlig tetraeder har sex lika kanter, är det möjligt att välja en kub så att diagonalerna på dess ytor är kanterna på en vanlig tetraeder. Kubens centrum är också tetraederns centrum, eftersom tetraederns fyra hörn också är kubens hörn, och sfären som beskrivs runt dem bestäms unikt av fyra punkter som inte ligger i samma plan. Den önskade vinkeln j mellan två CH-bindningar är lika med vinkeln AOC. Triangel AOC är likbent. Därför, där a är sidan av kuben, är d längden på diagonalen på sidoytan eller kanten av tetraedern. Så, var kommer =54.73561О och j=109.47О ifrån?

Frågan om jordens form upptog ständigt sinnena hos forskare från antiken. Och när hypotesen om jordens sfäriska form bekräftades, uppstod idén att jorden är en dodekaeder till formen. Således har Platon redan skrivit: "Jorden, om du tittar på den ovanifrån, ser ut som en boll som sys av 12 läderbitar." Denna hypotes om Platon fann ytterligare vetenskaplig utveckling i verk av fysiker, matematiker och geologer. Således trodde den franske geologen de Bimon och den berömda matematikern Poincaré att jordens form är en deformerad dodekaeder.

Det finns en annan hypotes. Dess betydelse är att jorden har formen av en ikosaeder. Två paralleller tas på jordklotet - 30° nordlig och sydlig latitud. Avståndet från var och en av dem till polen på dess halvklot är 60°, och mellan dem är också 60°. På den norra av dessa paralleller är punkter markerade genom 1/5 av en hel cirkel, eller 72°: i skärningspunkten med meridianerna 32°, 104° och 176°. D. och 40o och 112o W. e. På den södra breddgraden är punkterna markerade vid skärningspunkter med meridianerna som passerar exakt i mitten mellan de namngivna: 68o och 140o. d. och 4o, 76o och 148o W. d. Fem punkter på parallellen 30o. w. , fem - på parallellen 30o S. w. och två poler på jorden och kommer att utgöra 12 hörn av polyedern.

Den ryske geologen S. Kislitsin delade också åsikten om jordens dodekaedriska form. Han antog att den dodekaedriska geosfären för 400-500 miljoner år sedan förvandlades till en geo-ikosaeder. En sådan övergång visade sig dock vara ofullständig och ofullständig, vilket resulterade i att geo-dodekaedern fann sig inskriven i ikosaederns struktur. I senaste åren Hypotesen om jordens ikosaedriska-dodekaedriska form testades. För att göra detta justerade forskare dodekaederns axel med jordklotets axel och, när de roterade denna polyeder runt den, märkte de att dess kanter sammanfaller med gigantiska störningar i jordskorpan (till exempel med den mittatlantiska undervattensryggen). Sedan de tog icosahedronen som en polyeder, konstaterade de att dess kanter sammanfaller med mindre uppdelningar av jordskorpan (åsar, förkastningar, etc.). Dessa observationer bekräftar hypotesen att den tektoniska strukturen av jordskorpan liknar formerna av dodekaedern och ikosaedern.

Noderna i en hypotetisk geokristall är så att säga centra för vissa anomalier på planeten: alla världens centra för extremt atmosfäriskt tryck, områden där orkaner har sitt ursprung, finns i dem; i en av noderna i ikosaedern (i Gabon) upptäcktes en "naturlig atomreaktor" som fortfarande var i drift för 1,7 miljarder år sedan. Jättemineralfyndigheter (till exempel Tyumen-oljefältet), anomalier i djurvärlden (Bajkalsjön) och centra för utveckling av mänskliga kulturer ( Forntida Egypten, proto-indisk civilisation Mohenjo-Daro, norra mongoliska, etc.).

Det finns ytterligare ett antagande. Pythagoras, Platon, I. Keplers idéer om kopplingen mellan vanliga polyedrar och världens harmoniska struktur har redan funnit sin fortsättning i vår tid i en intressant vetenskaplig hypotes, vars författare (i början av 80-talet) var ingenjörer från Moskva V. Makarov och V. Morozov. De tror att jordens kärna har formen och egenskaperna hos en växande kristall, vilket påverkar utvecklingen av alla naturliga processer som sker på planeten. Strålarna från denna kristall, eller snarare dess kraftfält, bestämmer jordens ikosaedriska-dodekaedriska struktur, vilket manifesterar sig i det faktum att projektioner av vanliga polyedrar inskrivna i jordklotet visas i jordskorpan: ikosaedern och dodekaedern. Deras 62 hörn och mittpunkter av kanter, kallade noder av författarna, har ett antal specifika egenskaper som gör det möjligt att förklara några obegripliga fenomen.

Ytterligare studier av jorden kan bestämma inställningen till denna vackra vetenskapliga hypotes, där, som man kan se, regelbundna polyedrar upptar en viktig plats.

Och ytterligare en fråga uppstår i samband med vanliga polyedrar: är det möjligt att fylla utrymmet med dem så att det inte finns några luckor mellan dem? Det uppstår i analogi med vanliga polygoner, av vilka några kan fylla ett plan. Det visar sig att utrymmet endast kan fyllas med hjälp av en vanlig polyederkub. Utrymmet kan också fyllas med rombiska dodekaedrar. För att förstå detta måste du lösa problemet.

Uppgift. Med hjälp av sju kuber som bildar ett rumsligt "kors", bygg en rombisk dodekaeder och visa att de kan fylla utrymmet.

Lösning. Kuber kan fylla utrymmet. Betrakta en del av ett kubiskt galler. Vi lämnar den mellersta kuben orörd, och i var och en av de "kantade" kuberna kommer vi att rita plan genom alla sex paren av motsatta kanter. I det här fallet kommer de "kantade" kuberna att delas upp i sex lika stora pyramider med fyrkantiga baser och sidokanter lika med halva diagonalen av kuben. Pyramiderna som gränsar till den orörda kuben bildar tillsammans med den senare en rombisk dodekaeder. Av detta är det tydligt att rombiska dodekaedrar kan fylla hela utrymmet. Som en konsekvens finner vi att volymen av en rombisk dodekaeder är lika med två gånger volymen av en kub, vars kant sammanfaller med den mindre diagonalen på dodekaederns yta.

För att lösa detta problem kom vi till rombiska dodekaedrar. Intressant nog är biceller, som också fyller utrymme utan luckor, också idealiskt geometriska figurer. Den övre delen av bicellen är en del av en rombisk dodekaeder.

År 1525 skrev Dürer en avhandling där han presenterade fem vanliga polyedrar vars ytor fungerar som bra perspektivmodeller.

Så, vanliga polyedrar avslöjade för oss forskarnas försök att komma närmare hemligheten med världsharmoni och visade geometrins oemotståndliga attraktionskraft.

Vanliga polyedrar och det gyllene snittet

Under renässansen visade skulptörer, arkitekter och konstnärer stort intresse för de vanliga polyedrarnas former. Leonardo da Vinci, till exempel, var angelägen om teorin om polyedrar och avbildade dem ofta i sina dukar. Han illustrerade sin vän munken Luca Paciolis (1445 - 1514) bok "On Divine Proportion" med bilder av regelbundna och halvregelbundna polyedrar.

1509, i Venedig, publicerade Luca Pacioli boken On Divine Proportion. Pacioli hittade tretton manifestationer av "gudomlig proportion" i de fem platoniska fasta kropparna - regelbundna polygoner (tetraeder, kub, oktaeder, ikosaeder och dodekaeder). I kapitlet "På den tolfte, nästan övernaturlig egendom" undersöker han den vanliga ikosaedern. Fem trianglar möts vid varje hörn av ikosaedern för att bilda en regelbunden femhörning. Om du kopplar samman två motsatta kanter av en ikosaeder får du en rektangel där den större sidan är relaterad till den mindre eftersom summan av sidorna är till den större.

Således manifesteras den gyllene proportionen i geometrin hos fem vanliga polyedrar, som, enligt forntida forskare, ligger till grund för universum.

Geometri av platonska solider i målningar av stora konstnärer

Den berömda konstnären från renässansen, också förtjust i geometri, var A. Durer. I hans berömda gravyr "Melancholia" avbildades en dodekaeder i förgrunden.

Tänk på bilden av målningen av konstnären Salvador Dali "The Last Supper". I förgrunden av bilden är Kristus med sina lärjungar mot bakgrund av en enorm genomskinlig dodekaeder.

Kristaller - naturliga polyedrar

Många former av polyedrar uppfanns inte av människan själv, utan de skapades av naturen i form av kristaller.

Ofta kan människor, som tittar på de underbara, iriserande polyedrarna av kristaller, inte tro att de skapades av naturen och inte av människan. Det är därför så många fantastiska folksagor om kristaller föddes.

Intressant skriftligt material har bevarats, till exempel den så kallade "Ebers papyrus", som innehåller en beskrivning av stenläkningsmetoder med speciella ritualer och besvärjelser, där mystiska krafter tillskrivs ädelstenar.

Granatkristallen troddes ge lycka. Den har formen av en rombisk dodekaeder (ibland kallad en rombisk eller rombisk dodekaeder) - en dodekaeder, vars ansikten är tolv lika stora romber.

Dodekaedriska kristaller är så typiska för granat att formen på en sådan polyeder till och med kallas en granathedron.

Granat är ett av de viktigaste stenbildande mineralerna. Det finns enorma stenar som är sammansatta av granatstenar som kallas skarns. Ädelstenar, vackert färgade och genomskinliga stenar är dock långt ifrån vanliga. Trots detta är det granaten - blodröd pyrope - som arkeologer anser vara de äldsta smyckena, eftersom de upptäcktes i Europa i den antika neolitiska tiden på det moderna Tjeckiens och Slovakiens territorium, där det för närvarande är särskilt populärt.

Det faktum att granat, det vill säga en rombisk dodekaederpolyeder, har varit känd sedan antiken kan bedömas av historien om ursprunget till dess namn, som översatt från antikens grekiska betydde "röd färg". Dessutom var namnet associerat med den röda färgen - den vanligaste färgen på granater.

Granat är mycket uppskattat av ädelstenskännare. Det används för att göra förstklassiga smycken, granat har egenskapen att ge framsynthetens gåva till kvinnor som bär det och driver bort tunga tankar från dem, samtidigt som det skyddar män från våldsam död.

Granater betonar det ovanliga i situationen, originaliteten i människors handlingar och betonar renheten och sublimiteten i deras känslor.

Detta är en talismansten för personer födda i JANUARI.

Låt oss överväga stenar, vars form är väl studerad och representerar regelbundna, halvregelbundna och stellika polyedrar.

Pyrit har fått sitt namn från det grekiska ordet pyros, som betyder eld. Ett slag mot det ger upphov till en gnista i gamla tider, bitar av pyrit tjänade som ved. Den spegelliknande glansen på ansiktena skiljer pyrit från andra sulfider. Polerad pyrit lyser ännu starkare. Arkeologer har hittat speglar gjorda av polerad pyrit i inkagravar. Det är därför pyrit har detta sällsynt namn- Inkasten. Under guldrushepidemierna gnistrar pyrit i en kvartsven, i våt sand på en tvättbricka, vände mer än ett varmt huvud. Redan nu förväxlar nybörjare stenälskare pyrit för guld.

Men låt oss titta närmare på det, lyssna på ordspråket: "Allt som glittrar är inte guld!" Färgen på pyrit är mässingsgul. Kanterna på pyritkristaller har en stark metallisk glans. ? Här i frakturen är glansen mattare.

Pyrit har en hårdhet på 6-6,5 och repar lätt glas. Det är det hårdaste mineralet i sulfidklassen.

Och ändå är det mest karakteristiska i utseendet av pyrit formen på kristallerna. Oftast är det en kub. Från de minsta "kuberna kapslade längs sprickor, till kuber med en kanthöjd på 5 cm, 15 cm och till och med 30 cm! Men inte bara pyritkristaller skärs i kuber; i arsenalen av detta mineral finns oktaedrar redan kända för oss från För pyrit är de ganska sällsynta Men pyrit låter dig personligen beundra formen med detta namn - pentagondodecahedronen "Penta" är fem, alla ansikten i denna form är femsidiga, och "dodecaen" är en. dussin - det finns tolv av dem totalt. Den här formen är så typisk för pyrit att den till och med fick namnet "pyritohedron."

KASSETIR

Cassiterit är ett glänsande, sprött brunt mineral som är den primära malmen av tenn. Formen är mycket minnesvärd - tetraedriska, höga, vassa pyramider i toppen och botten, och i mitten finns en kort kolumn, också fasetterad. Cassiteritkristaller med ett helt annat utseende växer i kvartsårer. På Chukotka halvön Det finns Iultin-fyndigheten, där ådror med utmärkta kassiteritkristaller länge har varit kända.

Galena ser ut som metall och det är helt enkelt omöjligt att inte lägga märke till det i malmen. Det ges omedelbart bort av en stark metallisk glans och tyngd. Galena är nästan alltid silverfärgade kuber (eller parallellepipeder). Och det här är inte nödvändigtvis hela kristaller. Galena har perfekt klyvning till kuben. Detta innebär att det inte går sönder i formlösa fragment, utan i prydliga silverglänsande kuber. Dess naturliga kristaller har formen av en oktaeder eller kuboktaeder. Galena kännetecknas också av följande egenskap: detta mineral är mjukt och inte särskilt kemiskt resistent.

ZIRKONIUM

"Zirkon" - från de persiska orden "kung" och "pistol" - gyllene färg.

Zirkonium upptäcktes 1789/0 i dyrbar Ceylon zirkon. Upptäckaren av detta element är M. Claporte. Magnifika transparenta och ljust gnistrande zirkoner var kända i antiken. Denna sten var högt värderad i Asien.

Kemister och metallurger var tvungna att arbeta mycket innan zirkoniumskal av stavar och andra strukturella delar dök upp i kärnreaktorer.

Så, zirkon är en effektiv ädelsten - orange, halmgul, blå-blå, grön - den gnistrar och spelar som en diamant.

Zirkoner representeras ofta av små vanliga kristaller med en karakteristisk graciös form. Motivet för deras kristallgitter, och följaktligen formen på kristallerna, är underordnat den fjärde symmetriaxeln. Zirkonkristaller tillhör det tetragonala systemet. Deras tvärsnitt är kvadratiskt. Och själva kristallen består av ett tetragonalt prisma (ibland längs kanterna är det trubbigt av ett andra liknande prisma) och en tetragonal bipyramid som kompletterar prismat i båda ändar.

Ännu mer imponerande är kristaller med två dipyramider i ändarna: en i toppen och den andra dämpar bara kanterna mellan prismat och den övre pyramiden.

Bordssaltkristaller har formen av en kub, is- och bergkristaller (kvarts) liknar en penna som är vässad på båda sidor, det vill säga de har formen av ett sexkantigt prisma, på vars bas hexagonala pyramider är placerade.

Diamant finns oftast i form av en oktaeder, ibland en kub och till och med en kuboktaeder.

Islandspar, som delar bilden, har formen av en sned parallellepiped.

Intressant

Alla andra vanliga polyedrar kan erhållas från kuben genom transformation.

Under processen med äggdelning bildas först en tetraeder av fyra celler, sedan en oktaeder, en kub och slutligen en dodekaedrisk-ikosaedrisk gastrulastruktur.

Och slutligen, det kanske viktigaste - DNA-strukturen i livets genetiska kod - är en fyrdimensionell utveckling (längs tidsaxeln) av en roterande dodekaeder!

Vanliga polyedrar troddes ge lycka. Därför fanns det ben inte bara i form av en kub, utan av alla andra former. Till exempel kallades en dodekaederformad form d12.

Den tyske matematikern August Ferdinand Möbius beskrev i sitt arbete "On the Volume of Polyhedra" en geometrisk yta som har en otrolig egenskap: den har bara en sida! Om du limmar ihop ändarna på en pappersremsa efter att du först roterat en av dem 180 grader får du ett ark eller Mobius-remsa. Prova att måla det tvinnade bandet i 2 färger - en på utsidan, den andra på insidan. Du kommer inte att lyckas! Men en myra som kryper längs en Mobiusremsa behöver inte krypa över dess kant för att komma till motsatt sida.

"Det finns oroväckande få vanliga konvexa polyedrar," noterade Lewis Carroll en gång, "men även denna mycket blygsamma trupp, den magnifika femman, lyckades tränga djupt in i vetenskapens djup. »

Alla dessa exempel bekräftar den fantastiska insikten om Platons intuition.

Slutsats

Det presenterade arbetet tar upp:

Definition av konvexa polyedrar;

Grundläggande egenskaper hos konvexa polyedrar, inklusive Eulers teorem, som relaterar antalet hörn, kanter och ytor av en given polyeder;

Definition av en vanlig polyeder, existensen av endast fem vanliga polyeder är bevisad;

Relationerna mellan de karakteristiska vinklarna för en regelbunden n-gonal pyramid, som är en integrerad del av en vanlig polyeder, övervägs i detalj;

Vissa egenskaper hos en vanlig tetraeder, såsom volym, ytarea, etc., diskuteras i detalj.

Bilagorna innehåller bevis på de grundläggande egenskaperna hos konvexa polyedrar och andra satser som ingår i detta arbete. De satser och samband som presenteras kan vara användbara för att lösa många problem inom stereometri. Arbetet kan användas när man studerar enskilda ämnen inom stereometri som referens- och illustrativt material.

Polyedrar omger oss överallt: barnkuber, möbler, arkitektoniska strukturer etc. I vardagen har vi nästan slutat lägga märke till dem, men det är väldigt intressant att känna till historien om föremål som är bekanta för alla, särskilt om det är så fascinerande.

Rätt parkettgolv. Projektet har förberetts av en elev från Kommunal utbildningsinstitution-Secondary School nr 6, Marx Zhilnikova Nastya Handledare: Martyshova Lyudmila Iosifovna Mål och mål Ta reda på vilka vanliga konvexa polygoner som kan användas för att göra en vanlig parkett. Tänk på alla typer av korrekta parketter och svara på frågan om deras kvantitet. Betrakta exempel på användningen av vanliga polygoner i naturen. . Vi möter ofta parkett i vardagen: de täcker golv i hus, täcker rumsväggar med olika kakelplattor och dekorerar ofta byggnader med ornament. . . . . . . . . . . Den första frågan som intresserar oss och som är lätt att lösa är följande: av vilka vanliga konvexa polygoner kan en parkett tillverkas? Summan av vinklarna för en polygon. Låt parkettplattan vara en vanlig n-gon. Summan av alla vinklar för en n-gon är 180(n-2), och eftersom alla vinklar är lika är var och en av dem 180(n-2)/n. Eftersom ett heltal av vinklar möts vid varje vertex av parketten, måste talet 360 vara en heltalsmultipel av 180(n-2)/n. Om vi ​​transformerar förhållandet mellan dessa tal får vi 360n/ 180(n-2)= 2n/n-2. 180(n-2), n är antalet sidor av polygonen Det är ganska enkelt att se till att ingen annan vanlig polygon bildar parketten. Och här behöver vi formeln för summan av vinklarna för en polygon. Om parketten består av n-goner, då k 360: a n polygoner kommer att konvergera vid varje vertex av parketten, där a n är vinkeln för en vanlig n-gon. Det är lätt att hitta att a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120°. 360° är delbart med n endast när n = 3; 4; 6. Det framgår av detta att n-2 bara kan ta värdena 1, 2 eller 4; därför är de enda möjliga värdena för n 3, 4, 6. Således får vi parketter uppbyggda av regelbundna trianglar, kvadrater eller regelbundna hexagoner. Andra parketter gjorda av vanliga polygoner är omöjliga. PARKETT - AVSLUTNING AV ETT PLAN MED POLYGONER Redan pytagoreerna visste att det bara finns tre typer av regelbundna polygoner med vilka ett plan kan beläggas helt utan mellanrum eller överlappningar - triangel, kvadrat och hexagon. PARKETT - PLAN MED POLYGONER Du kan kräva att parketten är regelbunden endast "vid hörnen", men tillåter användning av olika typer av vanliga polygoner. Sedan kommer ytterligare åtta parkettgolv att läggas till de ursprungliga tre. . Parketter från olika vanliga polygoner. Låt oss först ta reda på hur många olika regelbundna polygoner (med samma sidolängder) som kan finnas runt varje punkt. Vinkeln för en vanlig polygon måste vara i intervallet från 60° till 180° (ej inklusive); därför måste antalet polygoner som finns i närheten av en punkt vara större än 2 (360°/180°) och får inte överstiga 6 (360°/60°). Parketter från olika vanliga polygoner. Det kan visas att det finns följande sätt att lägga parkett med kombinationer av vanliga polygoner: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - två parkettalternativ; (3,4,4,6) - fyra alternativ; (3,3,3,4,4) - fyra alternativ; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (siffrorna inom parentes är beteckningarna på polygoner som konvergerar vid varje vertex: 3 - regelbunden triangel, 4 kvadrat, 6 - regelbunden sexhörning, 12 regelbunden tvåhörning). Täckningar av ett plan med regelbundna polygoner uppfyller följande krav: 1 Planet täcks helt med regelbundna polygoner, utan mellanrum eller dubbeltäckningar, d.v.s. två täckande polygoner har antingen en gemensam sida, eller har en gemensam vertex, eller har inga gemensamma punkter alls. Denna beläggning kallas parkett. 2 Runt alla hörn är regelbundna polygoner ordnade på samma sätt, d.v.s. Runt alla hörn följer polygoner med samma namn i samma ordning. Till exempel, om polygonerna är ordnade runt en vertex i sekvensen: triangel - kvadrat - hexagon - kvadrat, så är polygonerna arrangerade i exakt samma sekvens runt en annan vertex av samma som täcker. Vanlig parkett Således kan en parkett läggas över sig själv på ett sådant sätt att varje given vertex av den överlagras på någon annan tidigare given vertex. Denna typ av parkett kallas korrekt. Hur många vanliga parketter finns det och hur är de ordnade? Låt oss dela in alla vanliga parketter i grupper efter antalet olika vanliga polygoner som ingår i parketten 1.a). Hexagoner b). Rutor c). Trianglar 2.a). Kvadrater och trianglar b). Kvadrater och oktagoner c). Trianglar och hexagoner d). Kvadrater, hexagoner och dodecagoner b). Kvadrater, hexagoner och trianglar Vanliga parketter gjorda av en vanlig polygon Grupp1 a). Hexagoner b). Rutor c). Trianglar 1a. En beläggning som består av vanliga hexagoner. Ib. Parkett som endast består av rutor. 1:a århundradet Parkett som endast består av trianglar. Vanliga parketter sammansatta av två vanliga polygoner Grupp 2 a). Kvadrater och trianglar b). Kvadrater och oktagoner c). Trianglar och hexagoner d). Parketter bestående av rutor och trianglar. Vy I. Arrangemang av polygoner runt vertex: triangel - triangel - triangel - kvadrat - kvadrat 2a. Typ II. Parketter bestående av kvadrater och trianglar Arrangemang av polygoner runt toppen: triangel – triangel – kvadrat – triangel – kvadrat 2 b. Parkett bestående av rutor och oktagoner 2c. Parkett bestående av trianglar och hexagoner. Typ I och typ II. Vanliga parketter sammansatta av tre vanliga polygoner Grupp 3 a). Kvadrater, hexagoner och dodecagoner b). Kvadrater, hexagoner och trianglar 2d. Parkett bestående av tvåkanter och trianglar 3a. Parkett bestående av fyrkanter, sexkanter och tvåkanter. 3b. Parkett bestående av fyrkanter, hexagoner och trianglar Täckning i form av en sekvens: triangel - fyrkant - hexagon - fyrkant Detta är omöjligt: ​​Parkett bestående av regelbundna femhörningar finns inte. Täckningar i form av en sekvens är inte möjliga: 1) triangel – kvadrat – hexagon – kvadrat; 2) triangel – triangel – kvadrat – dodecagon; 3) triangel – kvadrat – triangel – dodecagon. Slutsatser Var uppmärksam på parketter som endast är sammansatta av regelbundna polygoner med samma namn - liksidiga trianglar, fyrkanter och regelbundna hexagoner. Bland dessa former (om alla sidor är lika) täcker den vanliga hexagonen det största området. Därför, om vi till exempel vill dela upp ett oändligt fält i sektioner om 1 hektar stora så att så lite material som möjligt går åt till stängsel, så behöver sektionerna formas till vanliga hexagoner. . Ett annat intressant faktum: det visar sig att snittet av en honeycomb också ser ut som ett plan täckt med vanliga hexagoner. Bin strävar instinktivt efter att bygga en så stor kam som möjligt för att lagra mer honung. . Slutsats Så alla möjliga kombinationer har övervägts. Så här blev 11 korrekta parkettgolv. De är väldigt vackra, eller hur? Vilket parkettgolv gillade du bäst? . . Produktkatalog.

Vilda djur och växter.

Vanliga polyedrar är de mest "lönsamma" figurerna. Och naturen använder sig av detta i stor utsträckning. Kristallerna av vissa ämnen som vi känner till har formen av vanliga polyedrar. Så, kub sänder form kristaller av bordssalt NaCl, en enkristall av aluminium-kaliumalun har formen av en oktaeder, en kristall av svavelkis FeS - en dodekaeder, antimonnatriumsulfat - en tetraeder, bor - en ikosaeder. Regelbundna polyedrar bestämmer formen på kristallgittren för många kemiska ämnen.

Det har nu bevisats att processen att bilda ett mänskligt embryo från ett ägg utförs genom att dela det enligt den "binära" lagen, det vill säga först förvandlas ägget till två celler. Sedan, på fyrcellsstadiet, antar embryot formen av en tetraeder, och vid åttacellsstadiet får det formen av två sammanlänkade tetraeder (stjärntetraeder eller kub), (bilaga nr 1, fig. 3) ). Från två kuber i stadiet av sexton celler bildas en sfär, och från en sfär vid ett visst delningsstadium bildas en torus av 512 celler. Planta Jorden och dess magnetfält är också en torus.

Quasikristaller av Dan Shekhtman.

12 november 1984 i en kort artikel publicerad i den auktoritativa tidskriften " Fysiska granskningsbrev» Den israeliska fysikern Dan Shechtman presenterade experimentella bevis på förekomsten av en metallegering med exceptionella egenskaper. När den studerades med elektrondiffraktionsmetoder visade denna legering alla tecken på en kristall. Dess diffraktionsmönster består av ljusa och regelbundet åtskilda punkter, precis som en kristall. Men denna bild kännetecknas av närvaron av "icosahedral" eller "pentangonal" symmetri, vilket är strängt förbjudet i kristallen av geometriska skäl. Sådana ovanliga legeringar kallades kvasikristaller. På mindre än ett år upptäcktes många andra legeringar av denna typ. Det fanns så många av dem att det kvasikristallina tillståndet visade sig vara mycket vanligare än man kan föreställa sig.

Vad är en kvasikristall? Vad är dess egenskaper och hur kan det beskrivas? Som ovan nämnts, enl grundläggande lag för kristallografi Stränga restriktioner läggs på kristallstrukturen. Enligt klassiska begrepp är en kristall sammansatt av en enda cell, som tätt (öga mot ansikte) ska "täcka" hela planet utan några begränsningar.

Som är känt kan tät fyllning av planet utföras med användning av trianglar, rutor Och hexagoner. Genom att använda femhörningar (Pentagoner) sådan fyllning är omöjlig.

Dessa var kanonerna för traditionell kristallografi, som fanns innan upptäckten av en ovanlig legering av aluminium och mangan, kallad en kvasikristall. En sådan legering bildas genom ultrasnabb kylning av smältan med en hastighet av 10 6 K per sekund. Dessutom, under en diffraktionsstudie av en sådan legering, visas ett ordnat mönster på skärmen, karakteristiskt för symmetrin hos en ikosaeder, som har de berömda förbjudna 5:e ordningens symmetriaxlar.

Under de närmaste åren studerade flera vetenskapliga grupper runt om i världen denna ovanliga legering med hjälp av högupplöst elektronmikroskopi. Alla bekräftade den ideala homogeniteten hos ämnet, där femte ordningens symmetri bevarades i makroskopiska områden med dimensioner nära atomernas (flera tiotals nanometer).

Enligt moderna synsätt har den utvecklats nästa modell erhålla kristallstrukturen av en kvasikristall. Denna modell är baserad på konceptet "grundelement". Enligt denna modell är en inre ikosaeder av aluminiumatomer omgiven av en yttre ikosaeder av manganatomer. Ikosaedrar är förbundna med oktaedrar av manganatomer. "Baselementet" innehåller 42 aluminiumatomer och 12 manganatomer. Under stelningsprocessen sker den snabba bildningen av "grundämnen", som snabbt förbinds med varandra genom styva oktaedriska "broar". Kom ihåg att ikosaederns ytor är liksidiga trianglar. För att en oktaedrisk manganbro ska bildas krävs att två sådana trianglar (en i varje cell) kommer tillräckligt nära varandra och ställer upp parallellt. Som ett resultat av en sådan fysisk process bildas en kvasikristallin struktur med "ikosaedrisk" symmetri.

Under de senaste decennierna har många typer av kvasikristallina legeringar upptäckts. Förutom de som har "ikosaedrisk" symmetri (5:e ordningen), finns det också legeringar med dekagonal symmetri (10:e ordningen) och dodekagonal symmetri (12:e ordningen). Fysiska egenskaper Kvasikristaller har först nyligen börjat studeras.

Som noterats i Gratias artikel som nämns ovan, "den mekaniska hållfastheten hos kvasikristallina legeringar ökar kraftigt; frånvaron av periodicitet leder till en avmattning i utbredningen av dislokationer jämfört med konventionella metaller... Denna egenskap är av stor praktisk betydelse: användningen av den ikosaedriska fasen kommer att göra det möjligt att erhålla lätta och mycket starka legeringar genom att införa små partiklar av kvasikristaller in i aluminiummatrisen."

Tetraeder i naturen.

1. Fosfor

För mer än trehundra år sedan, när Hamburg-alkemisten Genning Brand upptäckte ett nytt grundämne - fosfor. Precis som andra alkemister försökte Brand hitta livselixiret eller de vises sten, med hjälp av vilken gamla människor ser yngre ut, de sjuka blir friska och oädla metaller förvandlas till guld. Under ett av experimenten indunstade han urinen, blandade återstoden med kol och sand och fortsatte avdunstning. Snart bildades ett ämne i repliken som glödde i mörkret. Vita fosforkristaller bildas av P4-molekyler. En sådan molekyl har formen av en tetraeder.

2. Hypofosforsyra H 3 RO 2 .

Dess molekyl har formen av en tetraeder med en fosforatom i centrum vid tetraederns hörn finns två väteatomer, en syreatom och en hydroxogrupp.

3. Metan.

Kristallgitter metan har formen av en tetraeder. Metan brinner med en färglös låga. Bildar explosiva blandningar med luft. Används som bränsle.

4. Vatten.

En vattenmolekyl är en liten dipol som innehåller positiva och negativa laddningar vid sina poler. Eftersom syrekärnans massa och laddning är större än vätekärnornas, dras elektronmolnet mot syrekärnan. I det här fallet är vätekärnorna "exponerade". Således har elektronmolnet en ojämn densitet. Det finns en brist på elektrontäthet nära vätekärnorna, och på motsatt sida av molekylen, nära syrekärnan, finns det ett överskott av elektrontäthet. Det är denna struktur som bestämmer vattenmolekylens polaritet. Om du kopplar samman positiva och negativa laddningars epicentra med raka linjer får du en tredimensionell geometrisk figur - en vanlig tetraeder.

5. Ammoniak.

Varje ammoniakmolekyl har ett odelat elektronpar vid kväveatomen. Orbitaler av kväveatomer som innehåller odelade elektronpar överlappar med sp 3-hybridorbitaler av zink(II), som bildar en tetraedrisk komplex katjon av tetraamminzink(II)2+.

6. Diamant

Enhetscellen i en diamantkristall är en tetraeder med kolatomer placerade i mitten och fyra hörn. Atomerna som ligger vid tetraederns hörn bildar centrum av den nya tetraedern och omges därmed också av var och en av ytterligare fyra atomer osv. Alla kolatomer i kristallgittret är belägna på samma avstånd (154 pm) från varandra.

Kub (hexaeder) i naturen.

Från en fysikkurs vet vi att ämnen kan existera i tre aggregationstillstånd: fast, flytande, gasformig. De bildar kristallgitter.

Kristallgitter av ämnen är ett ordnat arrangemang av partiklar (atomer, molekyler, joner) vid strikt definierade punkter i rymden. Placeringspunkterna för partiklar kallas kristallgitternoder.

Beroende på vilken typ av partiklar som finns vid noderna av kristallgittret och arten av kopplingen mellan dem, särskiljs 4 typer av kristallgitter: joniska, atomära, molekylära, metall.

JONISK

Joniska kristallgitter är de vars noder innehåller joner. De bildas av ämnen med jonbindningar. Jonkristallgitter innehåller salter och vissa metalloxider och -hydroxider. Låt oss överväga strukturen hos en bordsaltkristall, i vars noder det finns klor- och natriumjoner. Bindningarna mellan joner i en kristall är mycket starka och stabila. Därför har ämnen med ett joniskt gitter hög hårdhet och styrka, är eldfasta och icke-flyktiga.

Kristallgittren av många metaller (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au och andra) har en kubform.

MOLEKYL

Molekylära kallas kristallgitter, i vars noder molekyler finns. De kemiska bindningarna i dem är kovalenta, både polära och opolära. Bindningarna i molekyler är starka, men bindningarna mellan molekylerna är inte starka. Nedan visas kristallgittret av I 2. Ämnen med MCR har låg hårdhet, smälter vid låga temperaturer, är flyktiga och är under normala förhållanden i gasformigt eller flytande tillstånd. polyhedron symmetri tetrahedron

Icosahedron i naturen.

Fullerener är fantastiska polycykliska strukturer av sfärisk form, bestående av kolatomer kopplade i sex- och femledade ringar. Detta är en ny modifiering av kol, som till skillnad från de tre tidigare kända modifikationerna (diamant, grafit och karbyn) kännetecknas av en molekylstruktur snarare än en polymer, d.v.s. fullerenmolekyler är diskreta.

Dessa ämnen fick sitt namn från den amerikanske ingenjören och arkitekten Richard Buckminster Fuller, som designade halvsfäriska arkitektoniska strukturer bestående av hexagoner och femhörningar.

Fullerener C 60 och C 70 syntetiserades första gången 1985 av H. Kroto och R. Smalley från grafit under påverkan av en kraftfull laserstråle. D. Huffman och W. Kretschmer lyckades få C 60 -fulleren i tillräckliga mängder för forskning 1990, som förångade grafit med hjälp av en elektrisk ljusbåge i en heliumatmosfär. 1992 upptäcktes naturliga fullerener i kolmineralet - skruva upp det(detta mineral har fått sitt namn från namnet på byn Shunga i Karelen) och andra prekambriska bergarter.

Fullerenmolekyler kan innehålla från 20 till 540 kolatomer placerade på en sfärisk yta. Den mest stabila och bäst studerade av dessa föreningar, C60-fulleren (60 kolatomer), består av 20 sexledade och 12 femledade ringar. Kolskelettet för C 60 -fullerenmolekylen är stympad icosahedron.

I naturen finns föremål med 5:e ordningens symmetri. Till exempel är virus kända som innehåller kluster i form av en ikosaeder.

Strukturen hos adenovirus har också formen av en ikosaeder. Adenovirus (från grekiskans aden - järn och virus), en familj av DNA-virus som orsakar adenovirala sjukdomar hos människor och djur.

Hepatit B-virus är det orsakande medlet för hepatit B, huvudrepresentanten för hepadnovirusfamiljen. Denna familj inkluderar också hepatotropa hepatitvirus från murmeldjur, markekorrar, ankor och ekorrar. Hepatit B-viruset är DNA-innehållande. Det är en partikel med en diameter på 42-47 nm, består av en kärna - en nukleoid, formad icosahedron 28 nm i diameter, inuti vilken det finns DNA, ett terminalt protein och enzymet DNA-polymeras.

"Polygoner" - Material för självstudier på ämnet "Polygoner" Uppgifter för spelet. Triangel (liksidig). Bruten. Icke-konvex. Sammanställt av Soloninkina T.V. Den ändliga delen av ett plan som begränsas av en polygon. Rita en konvex femhörning. Pentagon. Regelbundna polygoner. Expert 2.

"Mäta arean av en polygon" - Att lära sig något nytt. 1. Hur mäter man arean på en figur? -Alla känner till begreppet område från livserfarenhet. Abu r-Rayhan al-Buruni. 3. Lektionens mål: Från och med idag kommer vi att lära oss att beräkna arean av olika geometriska former. Vi hör ofta: "ytan på vår lägenhet är 63 m2." Cherevina Oksana Nikolaevna.

"Geometri för figurer" - Figurer med lika area kallas lika i area. H.S=(a?b):2. Rektangel, triangel, parallellogram. C. S=a?b. D. Lärare: Ivniaminova L.A. Ytor av figurer. A. B. b. Författare: Zyryanova N. Jafarova A 8b betyg.

"Regular polygon" - Följd 1. Regelbundna polygoner. Grundläggande formler. R. Regelbunden triangel. Följd 2. En cirkel omskriven om en vanlig polygon. r. Konsekvenser. En cirkel inskriven i en vanlig polygon. Vanlig hexagon. O. Tillämpning av formler. I vilken vanlig polygon som helst kan du skriva in en cirkel, och bara en.

"Parallelogram" - Parallelogram. Om en fyrhörning har motsatta sidor lika i par, så är fyrhörningen ett parallellogram. Om två sidor av en fyrhörning är lika och parallella. Vad är ett parallellogram? Tecken på ett parallellogram. I ett parallellogram är motsatta sidor och motsatta vinklar lika. Diagonalerna i ett parallellogram delas på mitten av skärningspunkten.

"Rektangel romb kvadrat" - Lösa problem på ämnet "Rektangel. A. Svar på screeningtestet. Hitta: MD + DN. Romb. Syfte med lektionen: Att konsolidera teoretiskt material om ämnet ”Rektangel. Teoretiskt självständigt arbete Fyll i tabellen, markera tecknen + (ja), - (nej). Rätt svar på teoretiskt självständigt arbete.

Det finns totalt 19 presentationer