Regionalna konferencja naukowo-praktyczna Sekcja Matematyka Aleksandrova Kristina, Alekseeva Valeria Miejska budżetowa instytucja edukacyjna „Szkoła średnia Kovalinskaya” 8. klasa Lider: Nikolaeva I.M., nauczyciel matematyki w miejskiej placówce oświatowej „Szkoła średnia Kovalinskaya” Urmary, 2012 Spis treści praca badawcza : 1. Wprowadzenie. 2. Trafność wybranego tematu. 3. Cel i zadania 4. Wielokąty 5. Wielokąty foremne 1). Magiczne kwadraty 2). Tangram 3). Wielokąty gwiazdowe 6. Wielokąty w przyrodzie 1). Plaster miodu 2). Płatek śniegu 7. Wielokąty wokół nas 1). Parkiet 2). Teselacja 3). Patchwork 4). Ozdoba, haft, dziewiarstwo 5). Rzeźba geometryczna 8. Przykłady z życia 1). Podczas prowadzenia szkoleń 2). Znaczenie wróżenia z kawy 3). Chiromancja - wróżenie ręczne 4). Niesamowity wielokąt 5) Pi i wielokąty foremne 9. Wielokąty foremne w architekturze 1). Architektura Moskwy i innych miast świata. 2). Architektura miasta Czeboksary 3). Architektura wsi Kovali 10. Zakończenie. 11. Wniosek. Wprowadzenie Na początku ubiegłego wieku wielki francuski architekt Corbusier wykrzyknął kiedyś: „Wszystko wokół jest geometrią!” Dziś, na początku XXI wieku, możemy powtórzyć ten okrzyk z jeszcze większym zdumieniem. Właściwie rozejrzyj się - geometria jest wszędzie! Wiedza i umiejętności geometryczne, kultura i rozwój geometryczny mają dziś znaczenie zawodowe dla wielu współczesnych specjalności, dla projektantów i konstruktorów, dla robotników i naukowców. Ważne jest, aby geometria była zjawiskiem uniwersalnej kultury ludzkiej. Osoba nie może naprawdę rozwijać się kulturowo i duchowo, jeśli nie uczyła się geometrii w szkole; geometria zrodziła się nie tylko z praktycznych, ale także duchowych potrzeb człowieka. Geometria to cały świat, który otacza nas od urodzenia. W końcu wszystko, co widzimy wokół nas, w taki czy inny sposób odnosi się do geometrii, nic nie umknie jego uważnemu spojrzeniu. Geometria pomaga człowiekowi chodzić po świecie z szeroko otwartymi oczami, uczy uważnego rozglądania się wokół i dostrzegania piękna zwykłych rzeczy, patrzenia i myślenia, myślenia i wyciągania wniosków. „Matematyk, podobnie jak artysta czy poeta, tworzy wzory. A jeśli jego wzory są trwalsze, to tylko dlatego, że składają się z idei... Wzory matematyka, tak jak wzory artysty czy poety, muszą być piękne; idea, podobnie jak kolory czy słowa, musi współgrać ze sobą. Piękno jest pierwszym wymogiem: na świecie nie ma miejsca na brzydką matematykę. Adekwatność wybranego tematu Na tegorocznych lekcjach geometrii poznaliśmy definicje, cechy i właściwości różnych wielokątów. Wiele otaczających nas obiektów ma kształt podobny do znanych nam już kształtów geometrycznych. Powierzchnie cegły lub kawałka mydła składają się z sześciu boków. Pokoje, szafki, szuflady, stoły, bloczki żelbetowe przypominają kształtem prostokątny równoległościan, którego krawędzie przypominają znane czworokąty. Wielokąty niewątpliwie mają piękno i są bardzo szeroko stosowane w naszym życiu. Wielokąty są dla nas ważne, bez nich nie bylibyśmy w stanie zbudować tak pięknych budynków, rzeźb, fresków, grafik i wielu innych. Matematyka ma w sobie nie tylko prawdę, ale i najwyższe piękno – wyostrzone i surowe, wzniośle czyste i dążące do prawdziwej doskonałości, charakterystycznej tylko dla największych przykładów sztuki. Tematem „Wielokąty” zainteresowałem się po lekcji – zabawie, podczas której nauczyciel przedstawił nam zadanie – bajkę o wyborze króla. Wszystkie wielokąty zebrały się na leśnej polanie i zaczęły omawiać kwestię wyboru króla. Długo się spierali i nie mogli dojść do wspólnego stanowiska. A potem jeden stary równoległobok powiedział: „Chodźmy wszyscy do królestwa wielokątów. Ktokolwiek przyjdzie pierwszy, zostanie królem.” Wszyscy się zgodzili. Wczesnym rankiem wszyscy wyruszyli w daleką podróż. Po drodze podróżnicy spotkali rzekę, która powiedziała: „Tylko te, których przekątne przecinają się i są podzielone na pół w punkcie przecięcia, przepłyną przeze mnie”. Część postaci pozostała na brzegu, reszta przepłynęła bezpiecznie i poruszyła się NA. Po drodze spotkali wysoką górę, która mówiła, że ​​przepuszcza tylko osoby o równych przekątnych. Kilku podróżnych pozostało w pobliżu góry, reszta kontynuowała podróż. Dotarliśmy do dużego klifu, gdzie znajdował się wąski most. Most miał umożliwić przejście osobom, których przekątne przecinają się pod kątem prostym. Tylko jeden wielokąt przekroczył most, który jako pierwszy dotarł do królestwa i został ogłoszony królem. Wybrali więc króla. Wybrałem także temat mojej pracy badawczej. Cel pracy badawczej: Praktyczne zastosowanie wielokątów w otaczającym nas świecie. Cele: 1. Przeprowadzić przegląd literatury na ten temat. 2. Pokaż praktyczne zastosowanie wielokątów foremnych w otaczającym nas świecie. Pytanie problematyczne: Jakie miejsce zajmują wielokąty w naszym życiu? Metody badawcze: Gromadzenie i porządkowanie materiału zebranego na różnych etapach badań. Wykonywanie rysunków i rysunków; fotografie. Zamierzone zastosowanie praktyczne: Możliwość zastosowania zdobytej wiedzy w życiu codziennym, podczas studiowania tematów z innych przedmiotów. Zapoznanie i przetwarzanie materiałów literackich, danych z Internetu, spotkania z mieszkańcami wsi. Etapy pracy badawczej: · wybór interesującego tematu badawczego, · omówienie planu badań i wyników pośrednich, · praca z różnymi źródłami informacji; · pośrednie konsultacje z nauczycielem, · wystąpienia publiczne z prezentacją materiału prezentacyjnego. Wykorzystywany sprzęt: Aparat cyfrowy, sprzęt multimedialny. Hipoteza: Wielokąty tworzą piękno w otoczeniu człowieka. Temat pracy: Właściwości wielokątów w życiu codziennym, życiu, przyrodzie. Uwaga: Całość ukończonej pracy zawiera nie tylko materiał informacyjny, ale także naukowy. Każda sekcja posiada prezentację komputerową ilustrującą każdy obszar badań. Baza eksperymentalna. Pomyślne zakończenie prac badawczych ułatwiła lekcja w kręgu „Geometria wokół nas” oraz lekcje z geometrii, geografii i fizyki. Krótka recenzja literacka: O wielokątach uczyliśmy się na lekcjach geometrii. Dodatkowo dowiedzieliśmy się z książki Y.I. Perelmana „Entertaining Geometry”, czasopisma „Matematyka w szkole”, gazety „Matematyka”, słownika encyklopedycznego młodego matematyka pod redakcją B.V. Gnedenko. Część danych została zaczerpnięta z magazynu „Czytaj, ucz się, baw się”. Wiele informacji czerpiemy z Internetu. Wkład osobisty: Aby powiązać właściwości wielokątów z życiem, zaczęliśmy rozmawiać z uczniami i nauczycielami, których dziadkowie lub inni krewni zajmowali się rzeźbieniem, haftem, dziewiarstwem, patchworkiem itp. Otrzymaliśmy od nich cenne informacje. Treść pracy badawczej: Wielokąty Postanowiliśmy zbadać kształty geometryczne, które można znaleźć wokół nas. Zainteresowani problemem opracowaliśmy plan pracy. Postanowiliśmy zbadać: wykorzystanie wielokątów w praktycznej działalności człowieka. Aby odpowiedzieć na postawione pytania, trzeba było: pomyśleć samodzielnie, zapytać drugą osobę, sięgnąć do książek, przeprowadzić obserwacje. Odpowiedzi na pytania szukaliśmy w książkach. - Jakie wielokąty badaliśmy? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przeprowadziliśmy obserwację. - Gdzie mogę to zobaczyć? Lekcja się odbyła zajęcia pozalekcyjne w matematyce „Parada czworokątów”, gdzie poznali właściwości czworokątów. Geometria w architekturze. Nowoczesna architektura odważnie wykorzystuje różnorodne geometryczne kształty. Wiele budynków mieszkalnych ozdobionych jest kolumnami. Figury geometryczne o różnych kształtach można zobaczyć w budowie katedr i projektach mostów. Geometria w przyrodzie. W samej naturze istnieje wiele wspaniałych geometrycznych kształtów. Wielokąty stworzone przez naturę są niezwykle piękne i różnorodne. I. Wielokąty foremne Geometria jest nauką starożytną, a pierwsze obliczenia wykonano ponad tysiąc lat temu. Starożytni ludzie wykonywali ozdoby z trójkątów, rombów i kół na ścianach jaskiń. Od czasów starożytnych wielokąty foremne uważane były za symbol piękna i doskonałości. Z biegiem czasu człowiek nauczył się wykorzystywać właściwości liczb w życiu praktycznym. Geometria w życiu codziennym. Ściany, podłoga i sufit są prostokątami. Wiele rzeczy przypomina kwadrat, romb, trapez. Ze wszystkich wielokątów o danej liczbie boków najbardziej przyjemny dla oka jest wielokąt foremny, w którym wszystkie boki są równe i wszystkie kąty są równe. Jeden z tych wielokątów jest kwadratem, czyli innymi słowy kwadrat jest foremnym czworobokiem. Kwadrat można zdefiniować na kilka sposobów: kwadrat to prostokąt, w którym wszystkie boki są równe, a kwadrat to romb, w którym wszystkie kąty są proste. Ze szkolnych zajęć z geometrii wiemy: kwadrat ma wszystkie boki równe, wszystkie kąty są proste, przekątne są równe, wzajemnie prostopadłe, punkt przecięcia jest podzielony na pół i kąty kwadratu są podzielone na pół. Kwadrat ma rząd ciekawe właściwości . Na przykład, jeśli chcesz ogrodzić czworokątny obszar o największej powierzchni ogrodzeniem o określonej długości, powinieneś wybrać ten obszar w formie kwadratu. Kwadrat ma symetrię, co nadaje mu prostotę i pewną doskonałość formy: kwadrat służy jako wzorzec do pomiaru pól wszystkich figur. W książce „Niesamowity kwadrat” B.A. Kordemsky i N.V. Rusalow szczegółowo przedstawia dowody niektórych właściwości kwadratu, podaje przykład „kwadratu doskonałego” i rozwiązanie jednego z problemów cięcia kwadratu autorstwa arabskiego matematyka Abula Vefy z X wieku. Książka I. Lehmana „Fascynująca matematyka” zawiera kilkadziesiąt problemów, w tym niektóre sprzed tysięcy lat. Aby w pełni zrozumieć konstrukcję poprzez złożenie kwadratowej kartki papieru, skorzystałem z książki I.N. Siergiejew „Zastosuj matematykę”. Tutaj możesz wymienić wiele kwadratowych puzzli: magiczne kwadraty, tangramy, pentomino, tetromino, poliomino, żołądki, origami. Chcę porozmawiać o niektórych z nich. 1. Magiczne kwadraty Święte, magiczne, tajemnicze, tajemnicze, doskonałe... Gdy tylko je wezwano. „Nie znam w arytmetyce nic piękniejszego niż te liczby, przez jednych nazywane planetarnymi, przez innych magicznymi” – napisał o nich słynny francuski matematyk, jeden z twórców teorii liczb, Pierre de Fermat. Atrakcyjne naturalnym pięknem, przepełnione wewnętrzną harmonią, przystępne, a jednocześnie niezrozumiałe, kryjące za swą pozorną prostotą wiele tajemnic... Poznaj magiczne kwadraty – niezwykłych przedstawicieli wyimaginowanego świata liczb. Magiczne kwadraty powstały już w czasach starożytnych w Chinach. Prawdopodobnie „najstarszym” z magicznych kwadratów, które do nas dotarły, jest stół Lo Shu (ok. 2200 r. p.n.e.). Ma wymiary 3x3 i jest wypełniony liczbami naturalnymi od 1 do 9. 2. Tangram Tangram to znana na całym świecie gra oparta na starożytnych chińskich łamigłówkach. Legenda głosi, że 4 tysiące lat temu z rąk jednego człowieka wypadła płytka ceramiczna i rozbiła się na 7 kawałków. Podekscytowany próbował go zebrać laską. Ale z nowo skomponowanych partii za każdym razem uzyskiwałem nowe, ciekawe obrazy. Zajęcie to wkrótce okazało się na tyle ekscytujące i zagadkowe, że kwadrat złożony z siedmiu geometrycznych kształtów nazwano Tablicą Mądrości. Jeśli wytniesz kwadrat, otrzymasz popularną chińską łamigłówkę TANGRAM, która w Chinach nazywa się „chi tao tu”, tj. siedmielementowa łamigłówka mentalna. Nazwa „tangram” wywodzi się z Europy najprawdopodobniej od słowa „tan”, które oznacza „chiński” i rdzenia „gram”. W naszym kraju jest to obecnie powszechne pod nazwą „Pitagoras”. 3. Wielokąty gwiazdowe Oprócz zwykłych wielokątów foremnych istnieją również wielokąty gwiazdowe. Termin „gwiaździsty” ma wspólny rdzeń ze słowem „gwiazda”, co nie wskazuje na jego pochodzenie. Pięciokąt gwiazdy nazywany jest pentagramem. Pitagorejczycy wybrali pięcioramienną gwiazdę jako talizman; uważano ją za symbol zdrowia i służyła jako znak identyfikacyjny. Istnieje legenda, że ​​​​jeden z pitagorejczyków zachorował w domu nieznajomych. Próbowali go wyciągnąć, ale choroba nie ustąpiła. Nie mając środków na leczenie i opiekę, pacjent przed śmiercią poprosił właściciela domu, aby przy wejściu narysował pięcioramienną gwiazdę, tłumacząc, że pod tym znakiem znajdą się ludzie, którzy go wynagrodzą. I rzeczywiście, po pewnym czasie jeden z podróżujących pitagorejczyków zauważył gwiazdę i zaczął pytać właściciela domu, jak wyglądała przy wejściu. Po opowieści właściciela gość hojnie go nagrodził. Pentagram był dobrze znany w starożytnym Egipcie. Ale został przyjęty bezpośrednio jako symbol zdrowia tylko w starożytnej Grecji. To właśnie pięcioramienna gwiazda morska „zasugerowała” nam złoty podział. Stosunek ten nazwano później „złotym podziałem”. Tam, gdzie jest obecny, odczuwa się piękno i harmonię. Dobrze zbudowany mężczyzna, posąg, wspaniały Partenon powstały w Atenach również podlegają prawom złotego podziału. Tak, całe życie ludzkie potrzebuje rytmu i harmonii. 4. Wielościan gwiaździsty Wielościan gwiaździsty to zachwycająco piękna bryła geometryczna, której kontemplacja sprawia przyjemność estetyczną. Wiele form wielościanów gwiaździstych sugeruje sama natura. Płatki śniegu to wielościany w kształcie gwiazdy. Znanych jest kilka tysięcy różne typy płatki śniegu. Ale 200 lat później Louisowi Poinsotowi udało się odkryć dwa inne wielościany gwiaździste. Dlatego wielościany gwiaździste nazywane są obecnie ciałami Keplera – Poinsota. Za pomocą gwiaździstych wielościanów niespotykane dotąd formy kosmiczne wdzierają się w nudną architekturę naszych miast. Niezwykły wielościan „Gwiazda” doktora nauk o sztuce V. N. Gamayunowa zainspirował architekta V. A. Somowa do stworzenia projektu dla Biblioteki Narodowej w Damaszku. Znana jest książka wielkiego Johannesa Keplera „Harmonia świata”, który w swoim dziele „O sześciokątnych płatkach śniegu” napisał: „Budowa pięciokąta jest niemożliwa bez proporcji, które współcześni matematycy nazywają „boskimi”. Odkrył pierwsze dwa regularne wielościany gwiaździste. Wielościany gwiaździste są bardzo dekoracyjne, co pozwala na ich szerokie zastosowanie w przemyśle jubilerskim przy wytwarzaniu wszelkiego rodzaju biżuterii. Wykorzystuje się je także w architekturze. Wniosek: Wielościanów foremnych jest niepokojąco mało, a jednak temu bardzo skromnemu zespołowi udało się dotrzeć w głąb różnych nauk. Wielościan gwiaździsty to zachwycająco piękna bryła geometryczna, której kontemplacja sprawia przyjemność estetyczną. Starożytni ludzie widzieli piękno na ścianach jaskiń we wzorach trójkątów, rombów i okręgów. Od czasów starożytnych wielokąty foremne uważane były za symbol piękna i doskonałości. Pięciokąt w kształcie gwiazdy - pentagram był uważany za symbol zdrowia i służył jako znak identyfikacyjny pitagorejczyków. II. Wielokąty w przyrodzie 1. Plastry miodu Wielokąty regularne występują w przyrodzie. Jednym z przykładów jest plaster miodu, który jest wielokątem pokrytym regularnymi sześciokątami. Oczywiście nie studiowali geometrii, ale natura obdarzyła ich talentem do budowania domów w formie geometrycznych kształtów. Na tych sześciokątach pszczoły hodują komórki z wosku. Pszczoły składają w nich miód, a następnie ponownie pokrywają je solidnym prostokątem wosku. Dlaczego pszczoły wybrały sześciokąt? Aby odpowiedzieć na to pytanie, należy porównać obwody różnych wielokątów o tym samym polu. Niech dany będzie trójkąt foremny, kwadrat i sześciokąt foremny. Który z tych wielokątów ma najmniejszy obwód? Niech S będzie obszarem każdej z wymienionych figur, bok a n będzie odpowiednim regularnym trójkątem. Aby porównać obwody, zapisujemy ich stosunek: P3: P4: P6 = 1: 0,877: 0,816. Widzimy, że spośród trzech wielokątów foremnych o tym samym polu najmniejszy obwód ma sześciokąt foremny. Dlatego mądre pszczoły oszczędzają wosk i czas na budowanie plastrów miodu. Na tym nie kończą się matematyczne sekrety pszczół. Interesujące jest dalsze badanie struktury plastrów miodu. Inteligentne pszczoły wypełniają przestrzeń tak, aby nie pozostały żadne szczeliny, oszczędzając 2% wosku. Jak nie zgodzić się z opinią Pszczółki z bajki „Tysiąc i jedna noc”: „Mój dom został zbudowany według praw najsurowszej architektury. Sam Euklides mógłby uczyć się na podstawie geometrii mojego plastra miodu. Tym samym za pomocą geometrii dotknęliśmy tajemnicy matematycznych arcydzieł wykonanych z wosku, po raz kolejny upewniając się o wszechstronnej efektywności matematyki. Tak więc pszczoły, nie znając matematyki, poprawnie „ustaliły”, że sześciokąt foremny ma najmniejszy obwód spośród figur o równej powierzchni. W naszej wiosce mieszka pszczelarz Nikołaj Michajłowicz Kuzniecow. Z pszczołami związany od najmłodszych lat. Wyjaśnił, że budując plastry miodu, pszczoły instynktownie starają się, aby były jak największe, zużywając przy tym jak najmniej wosku. Kształt sześciokątny jest najbardziej ekonomicznym i wydajnym kształtem w konstrukcji plastra miodu. Objętość komórek wynosi około 0,28 cm3. Budując plastry miodu, pszczoły wykorzystują ziemskie pole magnetyczne jako przewodnik. Komórki plastrów miodu to drony, miód i czerw. Różnią się wielkością i głębokością. Miód – głębiej, dron – szerzej. 2. Płatek śniegu. Płatek śniegu to jedno z najpiękniejszych stworzeń natury. Naturalna symetria sześciokątna wynika z właściwości cząsteczki wody, która ma sześciokątną sieć krystaliczną połączoną ze sobą wiązaniami wodorowymi, dzięki czemu może mieć formę strukturalną o minimalnej energii potencjalnej w zimnej atmosferze. Piękno i różnorodność geometrycznych kształtów płatków śniegu jest nadal uważane za wyjątkowe zjawisko naturalne. Matematyków szczególnie uderzyła „mała biała kropka” znaleziona pośrodku płatka śniegu, jak gdyby był to ślad nogi kompasu używanej do wyznaczania jego obwodu”. Wielki astronom Johannes Kepler w swoim traktacie „Prezent noworoczny o sześciokątnych płatkach śniegu” wyjaśnił kształt kryształów z woli Boga. Japoński naukowiec Nakaya Ukichiro nazwał śnieg „listem z nieba napisanym tajemnymi hieroglifami”. Jako pierwszy stworzył klasyfikację płatków śniegu. Jedyne na świecie muzeum płatków śniegu, znajdujące się na wyspie Hokkaido, nosi imię Nakai. Dlaczego więc płatki śniegu są sześciokątne? Chemia: W strukturze krystalicznej lodu każda cząsteczka wody uczestniczy w 4 wiązaniach wodorowych skierowanych do wierzchołków czworościanu pod ściśle określonymi kątami równymi 109°28" (podczas gdy w strukturach lodowych I, Ic, VII i VIII czworościan ten jest foremny ). W centrum tego czworościanu znajduje się atom tlenu, na dwóch wierzchołkach atom wodoru, którego elektrony biorą udział w tworzeniu wiązania kowalencyjnego z tlenem. Dwa pozostałe wierzchołki zajmują pary elektronów walencyjnych tlenu, które nie biorą udziału w tworzeniu wiązań wewnątrzcząsteczkowych. Teraz staje się jasne, dlaczego kryształ lodu jest sześciokątny. Główną cechą determinującą kształt kryształu jest połączenie cząsteczek wody, podobne do łączenia ogniw w łańcuchu. Dodatkowo, ze względu na różne stosunki ciepła i wilgoci, kryształy, które w zasadzie powinny być takie same, przybierają różne kształty. Zderzając się z przechłodzonymi małymi kropelkami, płatek śniegu upraszcza swój kształt, zachowując jednocześnie symetrię. Geometria: Zasada formacyjna wybrała sześciokąt foremny nie z konieczności wynikającej z właściwości materii i przestrzeni, ale tylko ze względu na jego wrodzoną właściwość, aby całkowicie pokrywać płaszczyznę, bez ani jednej przerwy i aby był najbliższy okręgowi wszystkich figury, które mają tę samą właściwość. Nauczyciel fizyki – L.N. Sofronova W temperaturach poniżej 0°C para wodna natychmiast przechodzi w stan stały, a zamiast kropelek tworzą się kryształki lodu. Główny kryształ wody ma na płaszczyźnie kształt regularnego sześciokąta. Następnie na wierzchołkach takiego sześciokąta osadzają się nowe kryształy, osadzają się na nich nowe kryształy i w ten sposób otrzymujemy te różne znane nam kształty gwiazd - płatków śniegu. Nauczyciel matematyki – Nikolaeva I.M. Ze wszystkich regularnych figur geometrycznych tylko trójkąty, kwadraty i sześciokąty mogą wypełnić płaszczyznę bez pozostawiania pustych przestrzeni, przy czym sześciokąt foremny zajmuje największą powierzchnię. Zimą mamy dużo śniegu. Dlatego natura wybrała sześciokątne płatki śniegu, aby zajmowały mniej miejsca. Nauczyciel chemii – Maslova N.G. Sześciokątny kształt płatków śniegu tłumaczy się molekularną budową wody, ale pytanie, dlaczego płatki śniegu są płaskie, nie zostało jeszcze wyjaśnione. E. Jewtuszenko w swoim wierszu wyraża piękno płatków śniegu. Od płatków śniegu po lód, położył się na ziemi i na dachach, uderzając wszystkich bielą. I był naprawdę wspaniały, i był naprawdę piękny... III. Wielokąty wokół nas „Sztuka zdobnictwa zawiera w ukrytej formie najstarszą znaną nam część wyższej matematyki” Herman Weyl. 1. Jaszczurki parkietowe, przedstawione przez holenderskiego artystę M. Eschera, tworzą, jak mówią matematycy, „parkiet”. Każda jaszczurka przylega ściśle do sąsiadów bez najmniejszej szczeliny, jak parkiet. Regularny podział płaszczyzny, zwany „mozaiką”, to zbiór zamkniętych figur, za pomocą których można ułożyć płaszczyznę bez przecięć figur i przerw między nimi. Zazwyczaj matematycy używają prostych wielokątów, takich jak kwadraty, trójkąty, sześciokąty, ośmiokąty lub kombinacje tych figur, jako kształtów do tworzenia mozaik. Piękne parkiety powstają z wielokątów foremnych: trójkątów, kwadratów, pięciokątów, sześciokątów, ośmiokątów. Na przykład koła nie mogą tworzyć parkietu. Parkiet od zawsze uważany był za symbol prestiżu i dobrego smaku. Zastosowanie cennych gatunków drewna do produkcji luksusowego parkietu oraz zastosowanie różnych wzorów geometrycznych nadaje pomieszczeniu wyrafinowania i szacunku. Historia samego parkietu artystycznego jest bardzo stara – sięga około XII wieku. To właśnie wtedy w szlacheckich i szlacheckich rezydencjach, pałacach, zamkach i majątkach rodzinnych zaczęły pojawiać się nowe ówczesne trendy - monogramy i insygnia heraldyczne na podłogach sal, sieni i przedsionków, na znak szczególnej przynależności do rządzących władzami . Pierwszy parkiet artystyczny został ułożony dość prymitywnie, z współczesnego punktu widzenia, ze zwykłych kawałków drewna dopasowanych kolorystycznie. Obecnie dostępne jest tworzenie skomplikowanych ozdób i kombinacji mozaik. Osiąga się to dzięki wysokiej precyzji cięcia laserowego i mechanicznego. Na początku XIX wieku zamiast wyrafinowanych linii wzoru parkietu pojawiły się proste linie, czyste kontury i regularne kształty geometryczne oraz ścisła symetria w strukturze kompozycyjnej. Wszystkie aspiracje w sztuce zdobniczej mają na celu ukazanie heroizmu i wyjątkowo wymownego klasycznego antyku. Parkiet nabrał surowego charakteru geometrycznego: raz solidną kratkę, raz koła, raz kwadraty lub wielokąty z ich podziałami w wąskie paski w różnych kierunkach. W ówczesnych gazetach można było znaleźć ogłoszenia, w których proponowano wybrać parkiet właśnie o tym wzorze. Charakterystycznym parkietem rosyjskiej klasyki XIX wieku jest parkiet zaprojektowany przez architekta Woronikina w domu Stroganowa przy Newskim Prospekcie. Całość parkietu tworzą duże tarcze z precyzyjnie powtarzającymi się, ukośnie umieszczonymi kwadratami, na których krzyżykach skromnie podano czteropłatkowe rozety, lekko zaznaczone grafemami. Najbardziej typowe parkiety początek XIX wieku znajdują się parkiety architekta C. Rossiego. Niemal wszystkie zawarte w nich rysunki wyróżniają się dużą lakonizmem, powtarzalnością, geometrią i wyraźnym podziałem na proste lub ukośne listwy, które spajały cały parkiet mieszkania. Architekt Stasov wybrał parkiety składające się z prostych kształtów kwadratów i wielokątów. We wszystkich projektach Stasova można wyczuć ten sam rygor co Rossiego, jednak konieczność przeprowadzenia prac restauratorskich, która spadła na niego po pożarze pałacu, czyni go bardziej uniwersalnym i szerszym. Podobnie jak u Rossiego, parkiet Stasowa w Błękitnym Salonie Pałacu Katarzyny został zbudowany z prostych kwadratów połączonych poziomymi, pionowymi lub ukośnymi listwami, tworząc duże komórki dzielące każdy kwadrat na dwa trójkąty. Geometrię widać także na parkietach biblioteki Marii Fiodorowna, gdzie jedynie różnorodność kolorów parkietu – palisander, amarant, mahoń, palisander itp. – wprowadza ożywienie. Dominującym kolorem parkietu jest mahoń, któremu boki prostokątów i kwadratów nadaje drewno gruszy, obramowane cienką warstwą hebanu, co nadaje jeszcze większej przejrzystości i liniowości całemu wzorowi. Klon na całym parkiecie występuje obficie w postaci wstęg, liści dębu, rozet i jonitów. Wszystkie te parkiety nie mają głównego wzoru centralnego, wszystkie składają się z powtarzających się motywów geometrycznych. Podobny parkiet zachował się w r dawny dom Jusupowa w Petersburgu. Architekci Stasov i Bryullov odrestaurowali mieszkania Pałac Zimowy po pożarze w 1837 r. Stasow stworzył parkiety Pałacu Zimowego w uroczystym, monumentalnym i oficjalnym stylu rosyjskiej klasyki lat 30. XIX wieku. Kolorystyka parkietu również została wybrana wyłącznie klasycznie. Wybierając parkiet, gdy nie było konieczne łączenie parkietu ze wzorem sufitu, Stasow pozostał wierny swoim zasadom kompozycyjnym. Na przykład parkiet galerii z 1812 roku wyróżnia się suchym i uroczystym majestatem, który uzyskano poprzez powtórzenie prostych geometrycznych kształtów otoczonych fryzem. 2. Teselacje Teselacje, zwane również kafelkami, to zbiory kształtów pokrywających całą płaszczyznę matematyczną i dopasowujących się do siebie bez nakładania się i przerw. Teselacje regularne składają się z figur w formie wielokątów foremnych, po połączeniu wszystkie narożniki mają ten sam kształt. Istnieją tylko trzy wielokąty nadające się do użycia w zwykłych teselacjach. Są to trójkąt foremny, kwadrat i sześciokąt foremny. Teselacje półregularne to teselacje, w których używane są wielokąty foremne dwóch lub trzech typów, a wszystkie wierzchołki są takie same. Istnieje tylko 8 półregularnych teselacji. Razem trzy regularne teselacje i osiem półregularnych nazywane są Archimedesem. Teselacja, w której poszczególne płytki są rozpoznawalnymi figurami, to jeden z głównych tematów twórczości Eschera. Jego zeszyty zawierają ponad 130 odmian teselacji. Wykorzystał je w ogromnej liczbie swoich obrazów, m.in. w „Dniu i nocy” (1938), w cyklu obrazów „Granica koła” I-IV i słynnych „Metamorfozach” I-III (1937-1968). . Poniższe przykłady to obrazy współczesnych autorów Hollistera Davida i Roberta Fathauera. 3. Patchwork z wielokątów Jeśli paski, kwadraty i trójkąty da się wykonać bez specjalnego przygotowania i umiejętności obsługi maszyny do szycia, to wielokąty będą wymagały od nas dużej cierpliwości i wprawy. Wiele osób zajmujących się pikowaniem woli ręcznie składać wielokąty. Życie każdego człowieka jest swego rodzaju patchworkowym płótnem, na którym jasne i magiczne chwile przeplatają się z szarymi i ciemnymi dniami. Jest taka przypowieść o patchworku. „Pewna kobieta przyszła do mędrca i powiedziała: „Nauczycielu, mam wszystko: męża, dzieci i dom – pełną miskę, ale zaczęłam się zastanawiać: po co to wszystko? I moje życie się rozpadło, wszystko nie jest radość!" Mędrzec wysłuchał jej, przemyślał i poradził, aby spróbowała poskładać swoje życie w całość. Kobieta pozostawiła mędrca z wątpliwościami, ale próbowała. Wzięła igłę i nitkę i przyszyła kawałek swoich wątpliwości na kawałku błękitnego nieba, który zobaczyła w oknie swojego pokoju. Jej mały wnuczek się roześmiał, a ona na płótnie umieściła fragment śmiechu. I tak poszło. Ptak śpiewa - i dodano kolejny kawałek; obrazią cię do łez - kolejny. Z tkaniny patchworkowej robiono koce, poduszki, serwetki i torebki. I wszyscy, do których trafili, poczuli, jak w ich duszy zagościły cząstki ciepła, i już nigdy nie byli samotni, a życie nie wydawało im się już puste i bezużyteczne.” Każda rzemieślniczka tworzy niejako płótno swojego życia. Można to zobaczyć w pracach Larisy Nikołajewnej Gorszkowej. Z pasją tworzy patchworkowe kołdry, narzuty, dywaniki, czerpiąc inspiracje z każdej ze swoich prac. 4. Ozdoba, haft i dziewiarstwo. 1). Ozdoba Ozdoba to jeden z najstarszych rodzajów ludzkiej aktywności wizualnej, który w odległej przeszłości miał symboliczne znaczenie magiczne, pewną symbolikę. Projekt był prawie wyłącznie geometryczny i składał się ze ścisłych form koła, półkola, spirali, kwadratu, rombu, trójkąta i ich różnych kombinacji. Starożytny człowiek nadał swoim wyobrażeniom o strukturze świata pewne znaki. Dzięki temu dekorator ma szerokie pole do popisu w doborze motywów swojej kompozycji. Dostarczają mu go w obfitości dwa źródła - geometria i natura. Na przykład okrąg to słońce, kwadrat to ziemia. 2). Haft Haft jest jednym z głównych rodzajów ludowej sztuki zdobniczej Czuwaski. Współczesny haft Czuwaski, jego zdobnictwo, technika i kolorystyka są genetycznie związane z kulturą artystyczną Czuwaski w przeszłości. Sztuka haftu ma długą historię. Z pokolenia na pokolenie udoskonalano i udoskonalano wzory i kolorystykę, tworzono wzory haftów o charakterystycznych cechach narodowych. Haft narodów naszego kraju wyróżnia się dużą oryginalnością, bogactwem technik technicznych i kolorystyką. Każdy naród, w zależności od lokalnych warunków, specyfiki życia, zwyczajów i przyrody, stworzył własne techniki haftu, motywy wzorów i ich strukturę kompozycyjną. Na przykład w hafcie rosyjskim dużą rolę odgrywają wzory geometryczne i geometryczne formy roślin i zwierząt: romby, motywy postać kobieca , ptaki, a także lampart z podniesioną łapą. Słońce przedstawiano w kształcie diamentu, ptak symbolizował nadejście wiosny itp. Bardzo interesujące są hafty ludów regionu Wołgi: Mari, Mordovian i Czuwaski. Hafty tych ludów mają wiele wspólnych cech. Różnice tkwią w motywach wzorów i ich technicznym wykonaniu. Wzory haftów złożone z geometrycznych kształtów i motywów wysoce geometrycznych. Haft starego Czuwaski jest niezwykle różnorodny. Do produkcji odzieży, zwłaszcza koszul płóciennych, wykorzystywano różne jego rodzaje. Koszula była bogato zdobiona haftem na piersi, u dołu, na rękawach i na plecach. Dlatego też uważam, że haft narodowy Czuwaski należy rozpocząć od określenia koszuli damskiej jako najbardziej kolorowej i bogato zdobionej ozdobami. Na ramionach i rękawach tego typu koszul znajdują się hafty w geometryczne, stylizowane wzory roślinne, a czasem także zwierzęce. Haft na ramionach różni się charakterem od haftu na rękawach i stanowi kontynuację haftu na ramionach. Na jednej ze starych koszul haft wraz z warkoczowymi paskami, schodzący od ramion, schodzi w dół i kończy się na klatce piersiowej pod ostrym kątem. Paski ułożone są w formie rombów, trójkątów i kwadratów. Wewnątrz tych geometrycznych figur znajduje się drobny, siateczkowy haft, a wzdłuż zewnętrznego brzegu wyhaftowane są duże figury w kształcie haczyków i gwiazdek. Takie hafty zachowały się w domu Nikołajewów. Wyhaftowała je Denisova Praskovya Petrovna, moja krewna. Innym rodzajem robótek ręcznych dla kobiet jest szydełkowanie. Od czasów starożytnych kobiety dużo i niestrudzenie robiły na drutach. Ten rodzaj robótek ręcznych jest nie mniej ekscytujący niż haft. Oto jedna z prac Tamary Fedorovny. Podzieliła się z nami swoimi wspomnieniami o tym, jak każdą dziewczynę we wsi uczono haftować krzyżykiem na płótnie, ściegiem atłasowym i robić na drutach. Po liczbie dzianinowych ściegów, po rzeczach ozdobionych haftem i koronką, dziewczynę oceniano jako pannę młodą i przyszłą gospodynię domową. Wzory ściegów były różne, przekazywane z pokolenia na pokolenie, wymyślane przez same rzemieślniczki. W zdobieniu przeszyciowym powtarzają się motywy roślinne, geometryczne kształty, gęste kolumny, przykryte i odsłonięte kraty. W wieku 89 lat Tamara Fedorovna zajmuje się szydełkowaniem. Oto jej rękodzieło. Robi na drutach dla dzieci, krewnych i sąsiadów. Nawet przyjmuje rozkazy. Wniosek: Znając wielokąty i ich rodzaje, możesz stworzyć bardzo piękne dekoracje. I całe to piękno nas otacza. Ludzie od dawna mieli potrzebę ozdabiania przedmiotów gospodarstwa domowego. 5. Rzeźba geometryczna Tak się składa, że ​​Ruś jest krajem lasów. A tak żyzny materiał jak drewno był zawsze pod ręką. Za pomocą siekiery, noża i innych narzędzi pomocniczych człowiek zaopatrzył się we wszystko, co niezbędne do życia: wznosił domy i budynki gospodarcze, mosty i wiatraki, mury i wieże twierdzy, kościoły, wytwarzał maszyny i narzędzia, statki i łódki, sanie i wózki, meble, naczynia, zabawki dla dzieci i wiele innych. W święta i w czasie wolnym bawił swoją duszę wesołymi melodiami na drewnianych instrumentach muzycznych: bałałajkach, piszczałkach, skrzypcach i gwizdkach. A donośny drewniany róg był nieodzownym towarzyszem wiejskiego pasterza. Wraz z pieśnią rogu rozpoczęło się życie zawodowe rosyjskiej wioski. Nawet pomysłowe i niezawodne zamki do drzwi zostały wykonane z drewna. Jeden z tych zamków znajduje się w Państwowym Muzeum Historycznym w Moskwie. Został wykonany przez mistrza stolarskiego już w XVIII wieku i pięknie ozdobiony rzeźbami z trójkątnymi karbami! (To jedna z nazw rzeźb geometrycznych.) Rzeźby geometryczne to jeden z najstarszych rodzajów rzeźb w drewnie, w którym przedstawione postacie mają kształty geometryczne w różnych kombinacjach. Rzeźba geometryczna składa się z szeregu elementów, które tworzą różnorodne kompozycje zdobnicze. Kwadraty, trójkąty, trapezy, romby i prostokąty to arsenał elementów geometrycznych, które umożliwiają tworzenie oryginalnych kompozycji z bogatą grą światła i cienia. Widziałem to piękno od dzieciństwa. Mój dziadek, Michaił Jakowlew Jakowlew, pracował jako nauczyciel technologii w szkole Kowalińskiego. Według mojej mamy prowadził zajęcia z rzeźbienia. Zrobiłem to sam. Córki Michaiła Jakowlewicza zachowały jego dzieła. Pudełko jest prezentem dla najstarszej wnuczki na 16 urodziny. Pudełko do backgammona dla najstarszego wnuka. Są stoły, lustra, ramki na zdjęcia. Mistrz starał się dodać kawałek piękna do każdego produktu. Przede wszystkim dużą uwagę zwrócono na kształt i proporcje. Do każdego produktu dobierano drewno biorąc pod uwagę jego właściwości fizyczne i mechaniczne. Jeśli piękna faktura drewna sama w sobie mogłaby ozdobić produkty, starano się ją zidentyfikować i podkreślić. IV. Przykłady z życia Chciałbym podać jeszcze kilka przykładów zastosowania wiedzy o wielokątach w naszym życiu. 1/Prowadząc treningi: Wielokąty rysują ludzie dość wymagający wobec siebie i innych, którzy osiągają sukcesy w życiu nie tylko dzięki patronatowi, ale także dzięki własnym siłom. Kiedy wielokąty mają pięć, sześć lub więcej kątów i są połączone z dekoracjami, to można powiedzieć, że narysowała je osoba emocjonalna, czasami podejmująca decyzje intuicyjnie. 2/Znaczenie wróżenia z kawy: Jeśli nie ma czworokąta, jest to zły znak, ostrzegający przed przyszłymi problemami. Najlepszym znakiem jest regularny czworokąt. Twoje życie będzie szczęśliwe, będziesz bezpieczny finansowo i będziesz mieć zyski. Podsumuj swoją pracę na karcie kontrolnej i wystaw sobie ocenę końcową. Czworokąt to przestrzeń na dłoni pomiędzy linią głowy a linią serca. Nazywa się go również stołem ręcznym. Jeśli środek czworoboku jest szeroki po stronie kciuka i jeszcze szerszy po stronie dłoni, oznacza to bardzo dobrą organizację i kompozycję, prawdomówność, wierność i ogólnie szczęśliwe życie. 3/ Chiromancja - wróżenie ręczne Figura czworokąta (ma też inną nazwę - „stół ręczny”) jest umieszczona pomiędzy liniami serca, umysłu, losu i Merkurego (wątroby). W przypadku słabego wyrazu lub jego całkowitego braku, jego funkcję pełni linia Apollo. Czworokąt o dużych rozmiarach, regularnym kształcie, ma wyraźne granice i rozciąga się w kierunku Góry Jowisza, wskazuje na dobre zdrowie i dobry charakter. Tacy ludzie są gotowi poświęcić się dla dobra innych, są otwarci, nieobłudni, za co cieszą się szacunkiem innych. Jeśli czworokąt jest szeroki, życie człowieka będzie wypełnione różnymi radosnymi wydarzeniami, będzie miał wielu przyjaciół. Zbyt skromna wielkość czworokąta czy krzywizna boków wyraźnie wskazuje, że osoba go posiadająca jest infantylna, niezdecydowana, samolubna, a jej zmysłowość jest nierozwinięta. Obfitość małych linii w czworokącie jest dowodem ograniczeń umysłu. Jeśli wewnątrz figury widoczny jest krzyżyk w kształcie „x”, oznacza to ekscentryczny charakter badanej osoby i jest to zły znak. Krzyż o prawidłowym kształcie wskazuje, że ma on skłonność do zainteresowania się mistycyzmem. 1. Niesamowity wielokąt Oprócz teorii qi, zasad yin, yang i Tao, w naukach feng shui istnieje jeszcze jedna fundamentalna koncepcja: „święty ośmiokąt” zwany ba gua. W tłumaczeniu z chińskiego słowo to oznacza „ciało smoka”. Kierując się zasadami Ba Gua, możesz zaplanować wyposażenie pokoju tak, aby tworzyło atmosferę sprzyjającą maksymalnemu komfortowi psychicznemu i dobrobyt materialny. W starożytnych Chinach wierzono, że ośmiokąt jest symbolem dobrobytu i szczęścia. Charakterystyka sektorów ba-gua. Kariera - Północ Kolor sektora jest czarny. Elementem sprzyjającym harmonizacji jest Woda. Branża jest bezpośrednio powiązana z rodzajem naszej działalności, miejscem pracy, realizacją potencjału zawodowego, profesjonalizmem i zarobkami. Sukces lub porażka w tym zakresie zależy bezpośrednio od koniunktury w obszarze tego sektora. Wiedza – północno-wschodni Kolor sektora – niebieski. Żywiołem jest Ziemia, ale ma raczej słabe działanie. Sektor kojarzony jest z umysłem, zdolnością myślenia, duchowością, chęcią samodoskonalenia, umiejętnością przyswajania otrzymanych informacji, pamięcią i doświadczeniem życiowym. Rodzina – Sektor Wschodni, kolor – zielony. Elementem sprzyjającym harmonizacji jest Drewno. Kierunek kojarzony jest z rodziną w najszerszym tego słowa znaczeniu. Dotyczy to nie tylko Twojego gospodarstwa domowego, ale także wszystkich bliskich, także tych dalszych. Bogactwo - południowy wschód Kolor sektora - fioletowy. Żywioł – Drewno – ma słabe działanie. Kierunek jest związany z naszą sytuacją finansową, symbolizuje dobrobyt i dobrobyt, bogactwo materialne i obfitość w absolutnie wszystkich obszarach. Chwała - południe Kolor - czerwony. Elementem, który sprawia, że ​​ta kula jest aktywna, jest Ogień. Ten sektor symbolizuje twoją sławę i reputację, opinię twoich bliskich i znajomych. Małżeństwo - południowo-zachodni kolor sektora - różowy. Żywioł – Ziemia. Sektor jest powiązany z ukochaną osobą i symbolizuje twoją relację z nim. Jeśli w Twoim życiu nie ma obecnie takiej osoby, ten sektor reprezentuje pustkę czekającą na wypełnienie. Stan kierunku powie Ci, jakie są Twoje szanse na szybką realizację swojego potencjału w obszarze relacji osobistych. Dzieci - Zachód Kolor sektora jest biały. Element – ​​Metal, ale ma słaby efekt. Symbolizuje twoją zdolność do reprodukcji w dowolnym obszarze, zarówno fizycznym, jak i duchowym. Możemy rozmawiać o dzieciach, twórczym wyrażaniu siebie, realizacji różnych planów, których wynik zadowoli Ciebie i innych oraz będzie Ci służył wizytówka w przyszłości. Branża jest między innymi powiązana z Twoją umiejętnością komunikowania się i odzwierciedla Twoją zdolność przyciągania do siebie ludzi. Pomocni ludzie – północno-zachodni Kolor sektora – szary. Element – ​​Metal. Kierunek symbolizuje ludzi, na których możesz polegać w trudnych sytuacjach; pokazuje obecność w twoim życiu tych, którzy są w stanie przyjść na ratunek, zapewnić wsparcie i przydać się w tej czy innej dziedzinie. Poza tym branża kojarzona jest z podróżami i męską połową rodziny. Zdrowie – centrum Kolor sektora jest żółty. Nie ma konkretnego elementu, jest połączony ze wszystkimi elementami jako całość i od każdego pobiera niezbędną część energii. Obszar ten symbolizuje zdrowie psychiczne i duchowe, połączenie i harmonię we wszystkich aspektach życia. 2. Pi i wielokąty foremne. 14 marca tego roku po raz dwudziesty będzie obchodzony Dzień Pi – nieformalne święto matematyków poświęcone tej dziwnej i tajemniczej liczbie. „Ojcem” święta był Larry Shaw, który zwrócił uwagę na fakt, że ten dzień (3.14 w amerykańskim systemie dat) przypada między innymi na urodziny Einsteina. I być może jest to najwłaściwszy moment, aby przypomnieć tym, którzy są daleko od matematyki, o cudownych i dziwnych właściwościach tej stałej matematycznej. Zainteresowanie wartością liczby π, która wyraża stosunek obwodu do średnicy, pojawiło się już w starożytności. Dobrze znany wzór na obwód L = 2 π R jest jednocześnie definicją liczby π. W starożytności wierzono, że π = 3. Wspomina o tym na przykład Biblia. W epoce hellenistycznej tak wierzono i tego znaczenia używał zarówno Leonardo da Vinci, jak i Galileo Galilei. Jednak oba przybliżenia są bardzo przybliżone. Rysunek geometryczny przedstawiający okrąg opisany na sześciokącie foremnym i wpisany w kwadrat od razu daje najprostsze szacunki dla π: 3< π < 4. Использование буквы π для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια Вывод: Мы ответили на вопрос: «Зачем изучать математику?» Затем, что в глубине души у каждого из нас живет тайная надежда познать себя, свой внутренний мир, совершенствовать себя. Математика дает такую возможность - через творчество, через целостное представление о мире. Восьмиугольник – символ достатка и счастья. V. Правильные многоугольники в архитектуре Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. На уроках геометрии мы узнали определения, признаки, свойства различных многоугольников. Прочитав литературу по истории архитектуры, мы пришли к такому выводу, что мир вокруг нас - это мир форм, он очень разнообразен и удивителен. Мы увидели, что здания имеют самую разнообразную форму. Нас окружают предметы быта различного вида. Изучив эту тему, мы действительно увидели, что многоугольники окружают нас повсюду. В России здания очень красивой архитектуры как исторические, так и современные, в каждом из которых можно найти различные виды многоугольников. 1. Архитектура города Москвы и других городов мира. Как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а ещё выше воздвигнута четырехугольная усечённая пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими. собор Василия Блаженного) Выразительный контраст треугольника и прямоугольника на фасаде привлекает внимание посетителей музея Гронингена (Голландия) (рис.9) Круглая, прямоугольная, квадратная – все эти формы прекрасно уживаются в здании Музея современного искусства в Сан-Франциско (США). Здание Центра современного искусства имени Жоржа Помпиду в Париже – сочетание гигантского прозрачного параллелепипеда с ажурной металлической арматурой. 2. Архитектура города Чебоксары Столица Чувашской Республики - город Чебоксары (чув. Шупашкар), расположенный на правом берегу Волги, имеет многовековую историю. В письменных источниках Чебоксары как поселение упоминаются с 1469 года – тогда русские воины остановились здесь на своем пути в Казанское ханство. Этот год принято считать временем основания города, но уже сейчас историки настаивают на пересмотре этой даты - найденные во время последних археологических раскопок материалы указывают, что Чебоксары основаны еще в 13 веке переселенцами из болгарского города Сувар. Город повсеместно славился и своим колокололитным производством – чебоксарские колокола были известны и в России, и в Европе. Развитие торговли, распространение православия и массовое крещение чувашского народа привели и к архитектурному расцвету города – город изобиловал церквями и храмами, в каждом из которых видны различные многоугольники Чебоксары – очень красивый город. В столице Чувашии удивительно переплелась новизна современного мегаполиса и старина, где выражен геометризм.. Выражено это прежде всего в архитектуре города. Причем очень гармоничное переплетение воспринимается как единый ансамбль и лишь дополняет друг друга. 3. Архитектура села Ковали Красоту и геометризм вы можете увидеть и в нашей деревне. Вот школа, которую построили 1924 году, памятник воинам – солдатам. Вывод: Без геометрии не было бы ничего, ведь все здания, которые окружают нас – это геометрические фигуры. Заключение Проведя исследования, мы пришли к выводу, что действительно, зная о многоугольниках и их видах, можно создать очень красивые предметы украшения, построить разнообразные и уникальные здания. И все это красота окружающая нас. Человеческие представления о красивом формируются под влиянием того, что человек видит в живой природе. В различных своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И мы можем сказать, что многоугольники создают красоту в искусстве, архитектуре, природе, в окружении человека. Красота - всюду. Есть она и в науке, и в особенности в её жемчужине – математике. Помните, что наука во главе с математикой откроет перед нами сказочные сокровища красоты. Список использованной литературы. 1.Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. В.В.Фирсова. М., «Мир», 1974 2. Гарднер М. Математические новеллы. Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М., «Мир», 1974. 3. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., Наука, 1966. 4. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. Пер. с польского. М., Наука, 1981. 5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для 5-6 кл. – Смоленск: Русич, 1995. 6. Яковлев И.И., Орлова Ю.Д. Резьба по дереву. М.: Искусство Интернет.

Osoba wykazuje zainteresowanie wielościanami przez całą swoją świadomą aktywność – od dwuletniego dziecka bawiącego się drewnianymi klockami po dojrzałego matematyka. Niektóre z ciał regularnych i półregularnych występują w przyrodzie w postaci kryształów, inne - w postaci wirusów, które można oglądać jedynie za pomocą mikroskopu elektronowego. Co to jest wielościan? Aby odpowiedzieć na to pytanie, przypomnijmy, że sama geometria jest czasami definiowana jako nauka o przestrzeni i figurach przestrzennych – dwuwymiarowych i trójwymiarowych. Figurę dwuwymiarową można zdefiniować jako zbiór prostych odcinków, które ograniczają część płaszczyzny. Taka płaska figura nazywana jest wielokątem. Wynika z tego, że wielościan można zdefiniować jako zbiór wielokątów ograniczających część przestrzeni trójwymiarowej. Wielokąty tworzące wielościan nazywane są jego ścianami.

Naukowcy od dawna interesują się wielokątami „idealnymi”, czyli foremnymi, czyli wielokątami o równych bokach i równych kątach. Najprostszy wielokąt foremny można uznać za trójkąt równoboczny, ponieważ ma najmniejszą liczbę boków, które mogą ograniczać część płaszczyzny. Ogólny obraz interesujących nas wielokątów foremnych, wraz z trójkątem równobocznym, to: kwadrat (cztery boki), pięciokąt (pięć boków), sześciokąt (sześć boków), ośmiokąt (osiem boków), dziesięciokąt (dziesięć boków) itp. Oczywiście teoretycznie Nie ma ograniczeń co do liczby boków wielokąta foremnego, to znaczy liczba wielokątów foremnych jest nieskończona.

Co to jest wielościan foremny? Wielościan foremny to taki wielościan, którego wszystkie ściany są sobie równe (lub przystające, jak to jest w matematyce) i jednocześnie są wielokątami foremnymi. Ile jest wielościanów foremnych? Na pierwszy rzut oka odpowiedź na to pytanie jest bardzo prosta - tyle, ile jest wielokątów foremnych, to znaczy na pierwszy rzut oka wydaje się, że możliwe jest utworzenie wielościanu foremnego, którego boki mogą być dowolnym wielokątem foremnym. Jednak nie jest to prawdą. Już w Elementach Euklidesa zostało ściśle udowodnione, że liczba wielościanów foremnych jest bardzo ograniczona i że istnieje tylko pięć wielościanów foremnych, których ścianami mogą być tylko trzy rodzaje wielokątów foremnych: trójkąty, kwadraty i pięciokąty. Te regularne wielościany nazywane są bryłami platońskimi. Pierwszym z nich jest czworościan. Jego ściany to cztery trójkąty równoboczne. Czworościan ma najmniejszą liczbę ścian spośród brył platońskich i jest trójwymiarowym odpowiednikiem płaskiego trójkąta foremnego, który ma najmniejszą liczbę boków spośród wielokątów foremnych. Słowo „czworościan” pochodzi od greckiego słowa „tetra” – cztery i „edra” – podstawa. Jest to trójkątna piramida. Kolejną bryłą jest sześcian, zwany także sześcianem. Sześcian ma sześć ścian, które są kwadratami. Ściany ośmiościanu są trójkątami foremnymi, a ich liczba w oktaedrze wynosi osiem. Następną co do wielkości liczbą ścian jest dwunastościan. Jego ściany są pięciokątami, a ich liczba w dwunastościanie wynosi dwanaście. Dwudziestościan zamyka pięć brył platońskich. Jego ściany są regularnymi trójkątami, a ich liczba wynosi dwadzieścia.

W mojej pracy badam podstawowe definicje i właściwości wielościanów wypukłych. Udowodniono istnienie tylko pięciu wielościanów foremnych. Szczegółowo rozważono zależności między regularną piramidą n-gonalną a czworościanem foremnym, które najczęściej spotyka się w zagadnieniach stereometrii. Praca zawiera dużą ilość materiału analitycznego i ilustracyjnego, który można wykorzystać w badaniu niektórych działów stereometrii.

Studia Platona

Platon stworzył bardzo interesującą teorię. Zasugerował, że atomy czterech „podstawowych żywiołów” (ziemia, woda, powietrze i ogień), z których zbudowane jest wszystko, mają kształt foremnych wielościanów: czworościan - ogień, sześcian (sześcian) - ziemia, ośmiościan - powietrze , dwudziestościan - woda. Piąty wielościan - dwunastościan - symbolizował „Wielki Umysł” lub „Harmonię Wszechświata”. Cząsteczki trzech łatwo przekształcających się w siebie żywiołów, czyli ognia, powietrza i wody, okazały się zbudowane z identycznych figur – regularnych trójkątów. A ziemia, która znacznie się od nich różni, składa się z cząstek innego rodzaju - sześcianów, a raczej kwadratów. Platon bardzo jasno wyjaśnił wszystkie przekształcenia za pomocą trójkątów. W niespokojnym chaosie dwie cząstki powietrza spotykają się z cząstką ognia, czyli dwie ośmiościany spotykają się z czworościanem. Dwa ośmiościany mają w sumie szesnaście ścian trójkątów, podczas gdy czworościan ma cztery. W sumie dwadzieścia. Z dwudziestu łatwo tworzy się jeden dwudziestościan, a jest to cząstka wody.

Kosmologia Platona stała się podstawą tak zwanej doktryny ikozaedryczno-dwunastościennej, która od tego czasu niczym czerwona nić przewija się przez całą naukę ludzką. Istotą tej doktryny jest to, że dwunastościan i dwudziestościan są typowe formy natura we wszystkich jej przejawach, od przestrzeni po mikrokosmos.

Regularne wielościany

Od czasów starożytnych wielościany regularne przyciągały uwagę naukowców, budowniczych, architektów i wielu innych. Byli zdumieni pięknem, doskonałością i harmonią tych wielościanów. Pitagorejczycy uważali te wielościany za boskie i wykorzystywali je w swoich pismach filozoficznych na temat istoty świata. Ostatnia, trzynasta księga słynnych „Żywiołów” Euklidesa poświęcona jest wielościanom foremnym.

Powtórzmy, że wielościan wypukły nazywa się foremnym, jeśli jego ściany są równymi wielokątom foremnym i w każdym wierzchołku spotyka się taka sama liczba ścian.

Najprostszym takim foremnym wielościanem jest trójkątna piramida, której ściany są regularnymi trójkątami. Trzy ściany spotykają się na każdym wierzchołku. Mając wszystkie cztery twarze, ten wielościan nazywany jest również czworościanem, co w tłumaczeniu z języka greckiego oznacza „czworościan”.

Czasami czworościan nazywany jest również dowolną piramidą. Dlatego w przypadku, gdy mówimy o wielościanie foremnym, powiemy - czworościanie foremnym.

Wielościan, którego ściany są trójkątami foremnymi, a w każdym wierzchołku spotykają się cztery ściany i którego powierzchnia składa się z ośmiu trójkątów foremnych, nazywa się ośmiościanem.

Wielościan, w którym na każdym wierzchołku spotyka się pięć regularnych trójkątów, a którego powierzchnia składa się z dwudziestu regularnych trójkątów, nazywa się dwudziestościanem.

Należy zauważyć, że ponieważ więcej niż pięć regularnych trójkątów nie może zbiegać się w wierzchołkach wielościanu wypukłego, nie ma innych wielościanów foremnych, których ściany są trójkątami foremnymi.

Podobnie, skoro tylko trzy kwadraty mogą zbiegać się w wierzchołkach wielościanu wypukłego, to poza sześcianem nie ma innych wielościanów foremnych, których ściany są kwadratami. Sześcian ma sześć ścian i dlatego nazywany jest sześcianem.

Wielościan, którego ściany są pięciokątami foremnymi i trzema ścianami spotykającymi się w każdym wierzchołku. Jego powierzchnia składa się z dwunastu pięciokątów foremnych, nazywa się ją dwunastościanem.

Ponieważ wielokąty foremne mające więcej niż pięć boków nie mogą zbiegać się w wierzchołkach wielościanu wypukłego, nie ma innych wielościanów foremnych, a zatem istnieje tylko pięć wielościanów foremnych: czworościan, sześcian (sześcian), ośmiościan, dwunastościan, dwudziestościan.

Nazwy wielościanów foremnych pochodzą z Grecji. W dosłownym tłumaczeniu z języka greckiego „czworościan”, „oktaedr”, „sześcian”, „dwunastościan”, „dwuścian” oznacza: „czworościan”, „oktaedr”, „sześcian”. „dwunastościan”, „dwadzieścian”. Tym pięknym ciałom poświęcona jest 13. księga Elementów Euklidesa. Nazywa się je także ciałami Platona, gdyż zajmowały ważne miejsce w filozoficznej koncepcji budowy wszechświata Platona.

Przyjrzyjmy się teraz niektórym właściwościom, lematom i twierdzeniom związanym z tymi figurami.

Rozważmy kąt wielościenny z wierzchołkiem S, w którym wszystkie kąty płaskie i wszystkie kąty dwuścienne są równe. Wybierzmy punkty A1, A2, An na jego krawędziach tak, aby SA1 = SA2 = SAn. Wtedy punkty A1, A2, An leżą w tej samej płaszczyźnie i są wierzchołkami n-kąta foremnego.

Dowód.

Udowodnimy, że dowolne kolejne punkty leżą w tej samej płaszczyźnie. Rozważ cztery kolejne punkty A1, A2, A3 i A4. Piramidy SA1 A2 A3 i SA2 A3 A4 są równe, ponieważ można je łączyć, łącząc krawędzie SA2 i SA3 (oczywiście brane są pod uwagę krawędzie różnych piramid) oraz kąty dwuścienne na tych krawędziach. Podobnie można wykazać, że piramidy SA1 A3A4 i SA1 A2 A4 są równe, ponieważ wszystkie ich krawędzie są równe. Oznacza to równość

Z ostatniej równości wynika, że ​​objętość piramidy A1A2A3A4 jest równa zeru, to znaczy wskazane cztery punkty leżą w tej samej płaszczyźnie. Oznacza to, że wszystkie n punktów leży w tej samej płaszczyźnie, a w n-kącie A1 A2 An wszystkie boki i kąty są równe. Oznacza to, że jest ono poprawne i lemat udowodniony.

Udowodnimy, że istnieje co najwyżej pięć różnych typów wielościanów foremnych.

Dowód.

Z definicji wielościanu foremnego wynika, że ​​jego ścianami mogą być tylko trójkąty, czworokąty i pięciokąty. Rzeczywiście, udowodnijmy na przykład, że ściany nie mogą być sześciokątami foremnymi. Z definicji wielościanu foremnego co najmniej trzy ściany muszą zbiegać się w każdym wierzchołku. Jednakże w foremnym sześciokącie kąty wynoszą 120°. Okazuje się, że suma trzech kątów płaskich kąta wielościennego wypukłego jest równa 360°, ale jest to niemożliwe, ponieważ suma ta jest zawsze mniejsza niż 360°. Co więcej, ściany foremnego wielościanu nie mogą okazać się wielokątami o dużej liczbie boków.

Dowiedzmy się, ile ścian może zbiegać się w wierzchołku foremnego wielościanu. Jeżeli wszystkie jego ściany są trójkątami foremnymi, to do każdego wierzchołka nie może przylegać więcej niż pięć trójkątów, gdyż w przeciwnym razie suma kątów płaskich w tym wierzchołku będzie wynosić co najmniej 360°, co, jak widzieliśmy, jest niemożliwe. Tak więc, jeśli wszystkie ściany foremnego wielościanu są regularnymi trójkątami, to do każdego wierzchołka przylegają trzy, cztery lub pięć trójkątów. Stosując podobne rozumowanie, jesteśmy przekonani, że w każdym wierzchołku wielościanu foremnego, którego ściany są foremnymi czworokątami i pięciokątami, zbiegają się dokładnie trzy krawędzie.

Udowodnimy teraz, że istnieje tylko jeden wielościan danego typu o stałej długości krawędzi. Rozważmy na przykład przypadek, gdy wszystkie ściany są pięciokątami foremnymi. Załóżmy odwrotnie: niech będą dwa wielościany, których wszystkie ściany są pięciokątami foremnymi o boku a i wszystkie kąty dwuścienne w każdym wielościanie są sobie równe. Zauważ, że nie jest konieczne, aby wszystkie kąty dwuścienne jednego wielościanu były równe kątom dwuściennym innego wielościanu: dokładnie to teraz udowodnimy.

Jak pokazaliśmy, z każdego wierzchołka każdego wielościanu wychodzą trzy krawędzie. Niech krawędzie AB, AC i AD wychodzą z wierzchołka A jednego wielościanu, a krawędzie A1B1, A1C1 i A1D1 wychodzą z wierzchołka A1 drugiego wielościanu. ABCD i A1B1C1D1 są regularnymi ostrosłupami trójkątnymi, ponieważ mają równe krawędzie wychodzące z wierzchołków A i A1 oraz kąty płaskie w tych wierzchołkach.

Wynika z tego, że kąty dwuścienne jednego wielościanu są równe kątom dwuściennym drugiego. Oznacza to, że jeśli połączymy piramidy ABCD i A1B1C1D1, to same wielościany również zostaną połączone. Oznacza to, że jeśli istnieje wielościan foremny, którego wszystkie ściany są pięciokątami foremnymi o boku a, to taki wielościan jest jedyny.

Pozostałe wielościany traktuje się podobnie. W przypadku, gdy wszystkie ściany są trójkątami, a do każdego wierzchołka przylega cztery lub pięć trójkątów, należy skorzystać z Lematu 2. 1. Wynika z niego, że końce krawędzi wychodzących z jednego wierzchołka leżą w tej samej płaszczyźnie i służą jako wierzchołki foremnego cztero- i pięciokąta. Twierdzenie zostało udowodnione.

Należy zauważyć, że twierdzenie to nie implikuje, że istnieje dokładnie pięć typów wielościanów foremnych. Twierdzenie stwierdza jedynie, że istnieje nie więcej niż pięć takich typów, a teraz pozostaje nam tylko udowodnić, że rzeczywiście istnieje pięć takich typów, przedstawiając wszystkie pięć typów wielościanów.

Regularna piramida n-gonalna

Rozważmy regularną piramidę n-gonalną. Wielościan ten często spotyka się w problemach stereometrycznych, dlatego też bardziej szczegółowe i dokładne badanie jego właściwości jest bardzo interesujące. Co więcej, jeden z naszych regularnych wielościanów - czworościan - jest jednym z nich.

Niech SA1A2 An będzie regularną piramidą n-gonalną. Wprowadźmy następującą notację:

α jest kątem nachylenia krawędzi bocznej do płaszczyzny podstawy;

β – kąt dwuścienny u podstawy;

γ – kąt płaski przy wierzchołku;

δ – kąt dwuścienny na krawędzi bocznej.

Niech O będzie środkiem podstawy ostrosłupa, B środkiem krawędzi A1A2, D punktem przecięcia odcinków A1A3 i OA2, C punktem na bocznej krawędzi SA2 tak, że A1CSA2, E punktem przecięcia odcinków SB i A1C , K punkt przecięcia odcinków A1A3 i OV. Niech A1OA2=. Łatwo to pokazać

Oznaczmy także wysokość piramidy przez H, apotem przez m, krawędź boczną przez l, bok podstawy przez a, a przez r i R promienie okręgów wpisanych w podstawę i opisanych wokół niej.

Poniżej przedstawiono zależności pomiędzy kątami α, β, γ, δ regularnej piramidy n-gonalnej, sformułowane w formie twierdzeń.

Regularny czworościan

Jego właściwości

Zastosowanie zależności uzyskanych w poprzednim rozdziale do czworościanu foremnego pozwala nam uzyskać szereg interesujących zależności dla tego ostatniego. W tej części przedstawimy wzory otrzymane dla tego konkretnego przypadku, a ponadto znajdziemy wyrażenia na niektóre cechy czworościanu foremnego, takie jak na przykład objętość, pole powierzchni całkowitej i tym podobne.

Zgodnie z zapisem z poprzedniej sekcji, rozważmy czworościan foremny SA1A2A3 o długości krawędzi a. Pozostawmy oznaczenia jego kątów takie same i obliczmy je.

W trójkącie foremnym długość wysokości jest równa. Ponieważ ten trójkąt jest regularny, jego wysokość jest zarówno dwusieczną, jak i środkową. Mediany, jak wiadomo, dzieli się przez punkt przecięcia w stosunku 2:1, licząc od wierzchołka. Znalezienie punktu przecięcia środkowych nie jest trudne. Ponieważ czworościan jest regularny, punktem tym będzie punkt O - środek regularnego trójkąta A1A2A3. Podstawa wysokości czworościanu foremnego opuszczonego z punktu S jest również rzutowana na punkt O. Oznacza to. W trójkącie foremnym SA1A2 długość apotema czworościanu jest równa. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa dla Δ SBO:. Stąd.

Zatem wysokość regularnego czworościanu jest równa.

Pole podstawy czworościanu - trójkąt foremny:

Oznacza to, że objętość czworościanu foremnego wynosi:

Całkowita powierzchnia czworościanu jest czterokrotnością pola jego podstawy:

Kąt dwuścienny na ścianie bocznej czworościanu foremnego jest oczywiście równy kątowi nachylenia ściany bocznej do płaszczyzny podstawy:

Kąt płaski w wierzchołku czworościanu foremnego jest równy.

Kąt nachylenia żebra bocznego do płaszczyzny podstawy można znaleźć z:

Promień kuli wpisanej w czworościanie foremnym można obliczyć za pomocą dobrze znanego wzoru, który wiąże go z objętością i polem całkowitej powierzchni czworościanu (należy pamiętać, że ostatni wzór obowiązuje dla dowolnego wielościanu, w który można wpisać kulę). W naszym przypadku tak.

Znajdźmy promień opisanej kuli. Środek kuli opisanej na czworościanie foremnym leży na jego wysokości, ponieważ to prosta SO jest prostopadła do płaszczyzny podstawy i przechodzi przez jej środek, a na tej prostej musi leżeć punkt w równej odległości od wszystkich wierzchołków podstawy czworościanu. Niech to będzie punkt O1, a następnie O1S=O1A2=R. Mamy. Zastosujmy twierdzenie Pitagorasa do trójkątów BA2O1 i BO1O:

Zauważ, że R = 3r, r + R = H.

Interesujące jest obliczenie, czyli kąt, pod jakim krawędź czworościanu foremnego jest widoczna od środka opisanej kuli. Znajdźmy to:

Jest to wielkość znana nam z zajęć z chemii: jest to kąt pomiędzy wiązaniami C–H w cząsteczce metanu, który można bardzo dokładnie zmierzyć eksperymentalnie, a ponieważ w cząsteczce CH4 nie jest oczywiście izolowany ani jeden atom wodoru w każdym razie rozsądne jest założenie, że cząsteczka ta ma kształt foremnego czworościanu. Fakt ten potwierdzają zdjęcia cząsteczki metanu uzyskane za pomocą mikroskopu elektronowego.

Regularny sześcian (sześcian)

Typ twarzy Kwadratowa

Liczba twarzy 6

Liczba żeber 12

Liczba wierzchołków 8

Kąt płaski 90°

Suma kątów płaskich 270 o

Czy istnieje środek symetrii? Tak (punkt przecięcia przekątnych)

Liczba osi symetrii 9

Liczba płaszczyzn symetrii 9

Regularny ośmiościan

Liczba twarzy 8

Liczba żeber 12

Liczba wierzchołków 6

Kąt płaski 60°

Liczba kątów płaskich w wierzchołku 4

Suma kątów płaskich 240°

Czy istnieje oś symetrii Tak

Istnienie ośmiościanu foremnego

Rozważmy kwadrat ABCD i zbudujmy na nim, jak na podstawie, po obu stronach jego płaszczyzny czworokątne piramidy, których boczne krawędzie są równe bokom kwadratu. Powstały wielościan będzie ośmiościanem.

Aby to udowodnić, wystarczy sprawdzić, czy wszystkie jego kąty dwuścienne są równe. Rzeczywiście, niech O będzie środkiem kwadratu ABCD. Łącząc punkt O ze wszystkimi wierzchołkami naszego wielościanu, otrzymujemy osiem trójkątnych ostrosłupów ze wspólnym wierzchołkiem O. Rozważmy jeden z nich, na przykład ABEO. AO = BO = EO i dodatkowo krawędzie te są parami prostopadłe. Piramida ABEO jest regularna, ponieważ jej podstawą jest trójkąt foremny ABE. Oznacza to, że wszystkie kąty dwuścienne u podstawy są równe. Podobnie wszystkie osiem piramid mających wierzchołek w punkcie O i podstawy – ściany ośmiościanu ABCDEG – są regularne i w dodatku sobie równe. Oznacza to, że wszystkie kąty dwuścienne tego ośmiościanu są równe, ponieważ każdy z nich jest dwukrotnie większy od kąta dwuściennego u podstawy każdej z piramid.

*Notatka ciekawy fakt, związany z sześcianem (sześcianem) i ośmiościanem. Sześcian ma 6 ścian, 12 krawędzi i 8 wierzchołków, a ośmiościan ma 8 ścian, 12 krawędzi i 6 wierzchołków. Oznacza to, że liczba ścian jednego wielościanu jest równa liczbie wierzchołków drugiego i odwrotnie. Jak mówią, sześcian i sześcian są wobec siebie podwójne. Przejawia się to również w tym, że jeśli weźmiemy sześcian i zbudujemy wielościan z wierzchołkami w środkach jego ścian, to jak łatwo zauważyć otrzymamy ośmiościan. Jest też odwrotnie - środki ścian ośmiościanu służą jako wierzchołki sześcianu. To jest dwoistość ośmiościanu i sześcianu.

Łatwo się domyślić, że jeśli weźmiemy środki ścian czworościanu foremnego, ponownie otrzymamy czworościan foremny. Zatem czworościan jest podwójny sam w sobie. *

Regularny dwudziestościan

Typ twarzy: Regularny trójkąt

Liczba twarzy 20

Liczba żeber 30

Liczba wierzchołków 12

Kąt płaski 60°

Liczba kątów płaskich w wierzchołku 5

Suma kątów płaskich 300 o

Czy istnieje środek symetrii? Tak

Liczba osi symetrii Kilka

Liczba płaszczyzn symetrii Kilka

Istnienie dwudziestościanu foremnego

Istnieje foremny wielościan, w którym wszystkie ściany są regularnymi trójkątami, a każdy wierzchołek ma 5 krawędzi. Ten wielościan ma 20 ścian, 30 krawędzi, 12 wierzchołków i nazywany jest dwudziestościanem (icosi - dwadzieścia).

Dowód

Rozważmy ośmiościan ABCDEG o krawędzi 1. Wybierzmy punkty M, K, N, Q, L i P na jego krawędziach odpowiednio AE, BE, CE, DE, AB i BC, tak że AM = EK = CN = EQ = BL = BP = x. Wybierzmy x takie, aby wszystkie odcinki łączące te punkty były sobie równe.

Oczywiście w tym celu wystarczy spełnić równość KM = KQ. Ponieważ jednak KEQ jest trójkątem prostokątnym równoramiennym z nogami KE i EQ, zatem. Napiszmy twierdzenie cosinus dla trójkąta MEK, w którym:

Stąd. Drugi pierwiastek, który jest większy niż 1, nie jest odpowiedni. Wybierając w ten sposób x, konstruujemy wymagany wielościan. Wybierzmy jeszcze sześć punktów symetrycznych do punktów K, L, P, N, Q i M względem środka czworościanu i oznaczmy je odpowiednio K1, L1, P1, N1, Q1 i M1. Powstały wielościan o wierzchołkach K, L, P, N, Q, M, K1, L1, P1, N1, Q1 i M1 jest pożądany. Wszystkie jego ściany są regularnymi trójkątami, z pięcioma krawędziami wychodzącymi z każdego wierzchołka. Udowodnimy teraz, że wszystkie jego kąty dwuścienne są sobie równe.

Aby to zrobić, należy pamiętać, że wszystkie wierzchołki skonstruowanego dwudziestościanu są w jednakowej odległości od punktu O - środka ośmiościanu, czyli znajdują się na powierzchni kuli o środku O. Następnie będziemy postępować w w taki sam sposób, jak przy dowodzie istnienia ośmiościanu foremnego. Połączmy wszystkie wierzchołki dwudziestościanu z punktem O. Dokładnie w ten sam sposób udowodnimy równość ostrosłupów trójkątnych, których podstawy są ścianami zbudowanego wielościanu i upewnimy się, że wszystkie kąty dwuścienne dwudziestościanu są dwa razy większe niż kąty u podstawy tych równych trójkątnych piramid. W konsekwencji wszystkie kąty dwuścienne są równe, co oznacza, że ​​powstały wielościan jest regularny. Nazywa się to dwudziestościanem.

Dwunastościan regularny

Widok na twarz Pentagonu (zwykły pięciokąt)

Liczba twarzy 12

Liczba żeber 30

Liczba wierzchołków 20

Kąt płaski 108°

Liczba kątów płaskich w wierzchołku 3

Suma kątów płaskich 324 o

Czy istnieje środek symetrii tak

Liczba osi symetrii Kilka

Liczba płaszczyzn symetrii Kilka

Istnienie dwunastościanu foremnego

Istnieje foremny wielościan, w którym wszystkie ściany są foremnymi pięciokątami, a z każdego wierzchołka wychodzą 3 krawędzie. Ten wielościan ma 12 ścian, 30 krawędzi i 20 wierzchołków i nazywany jest dwunastościanem (dodeka - dwanaście).

Dowód.

Jak widać liczba ścian i wierzchołków wielościanu, którego istnienie staramy się teraz udowodnić, jest równa liczbie wierzchołków i ścian dwudziestościanu. Jeśli zatem udowodnimy istnienie wielościanu omawianego w tym twierdzeniu, wówczas z pewnością okaże się on dualny w stosunku do dwudziestościanu. Na przykładzie sześcianu i ośmiościanu widzieliśmy, że figury podwójne mają tę właściwość, że wierzchołki jednej z nich leżą w środkach ścian drugiej. Sugeruje to pomysł udowodnienia tego twierdzenia.

Weźmy dwudziestościan i rozważmy wielościan z wierzchołkami w środkach jego ścian. Jest oczywiste, że środki pięciu ścian dwudziestościanu, które mają wspólny wierzchołek, leżą w tej samej płaszczyźnie i służą jako wierzchołki pięciokąta foremnego (można to sprawdzić w podobny sposób, jak wykorzystaliśmy w dowodzie z lematu). Zatem każdemu wierzchołkowi dwudziestościanu odpowiada ściana nowego wielościanu, którego ściany są pięciokątami foremnymi, a wszystkie kąty dwuścienne są równe. Wynika to z faktu, że dowolne trzy krawędzie wychodzące z jednego wierzchołka nowego wielościanu można uznać za boczne krawędzie regularnej piramidy trójkątnej, a wszystkie powstałe ostrosłupy są równe (mają równe krawędzie boczne i kąty płaskie pomiędzy nimi, co są kątami pięciokąta foremnego). Z powyższego wynika, że ​​powstały wielościan jest regularny i ma 12 ścian, 30 krawędzi i 20 wierzchołków. Taki wielościan nazywa się dwunastościanem.

Tak więc w przestrzeni trójwymiarowej istnieje tylko pięć rodzajów wielościanów foremnych. Określiliśmy ich typ i ustaliliśmy, że wszystkie wielościany mają podwójne. Sześcian jest dualnością ośmiościanu i odwrotnie. Dwudziestościan do dwunastościanu i odwrotnie. Czworościan jest podwójny sam w sobie.

Wzór Eulera na wielościany foremne

Stwierdzono więc, że istnieje dokładnie pięć regularnych wielościanów. Jak określić liczbę znajdujących się w nich krawędzi, ścian i wierzchołków? Nie jest to trudne w przypadku wielościanów o małej liczbie krawędzi, ale jak na przykład uzyskać taką informację dla dwudziestościanu? Słynny matematyk L. Euler otrzymał wzór B+G-P=2, który łączy liczbę wierzchołków /B/, ścian /G/ i krawędzi /P/ dowolnego wielościanu. Prostota tego wzoru polega na tym, że nie jest on powiązany ani z odległością, ani z kątami. Aby wyznaczyć liczbę krawędzi, wierzchołków i ścian wielościanu foremnego, najpierw znajdujemy liczbę k = 2y - xy + 2x, gdzie x to liczba krawędzi należących do jednej ściany, y to liczba ścian spotykających się w jeden wierzchołek. Aby znaleźć liczbę ścian, wierzchołków i krawędzi foremnego wielościanu, używamy wzorów. Następnie łatwo jest wypełnić tabelę, która zawiera informacje o elementach regularnych wielościanów:

Nazwa Wierzchołki (V) Krawędzie (P) Ściany (D) Wzór

Czworościan 4 6 4 4-6+4=2

Sześcian (sześcian) 8 12 6 8-12+6=2

Ośmiościan 6 12 8 6-12+8=2

Dwudziestościan 12 30 20 12-30+20=2

Dwunastościan 20 30 12 20-30+12=2

Rozdział II: Wielościany regularne w życiu

Przestrzeń i Ziemia

Istnieje wiele hipotez i teorii związanych z wielościanami na temat budowy Wszechświata, w tym naszej planety. Poniżej znajdują się niektóre z nich.

Wielościany foremne zajmowały ważne miejsce w systemie harmonijnej struktury świata I. Keplera. Ta sama wiara w harmonię, piękno i matematycznie regularną strukturę wszechświata doprowadziła I. Keplera do poglądu, że skoro istnieje pięć wielościanów foremnych, odpowiada im tylko sześć planet. Jego zdaniem sfery planet łączą wpisane w nie platońskie bryły. Ponieważ dla każdego wielościanu foremnego środki sfer wpisanych i opisanych pokrywają się, cały model będzie miał jedno centrum, w którym będzie znajdować się Słońce.

Po wykonaniu ogromnej ilości pracy obliczeniowej, w 1596 roku I. Kepler opublikował wyniki swojego odkrycia w swojej książce „Tajemnica Wszechświata”. Wpisuje sześcian w kulę orbity Saturna, w sześcian – kulę Jowisza, w kulę Jowisza – czworościan i tak dalej, kulę Marsa – dwunastościan, kulę Ziemi – dwudziestościan, kula Wenus - ośmiościan, kula Merkurego. Tajemnica wszechświata wydaje się otwarta.

Dziś możemy śmiało powiedzieć, że odległości między planetami nie są powiązane z żadnym wielościanem. Możliwe jednak, że bez „Tajemnicy Wszechświata”, „Harmonii Świata” I. Keplera, wielościanów foremnych nie istniałyby trzy słynne prawa I. Keplera, które odgrywają ważną rolę w opisie ruchu planet.

Gdzie jeszcze można zobaczyć te niesamowite ciała? W bardzo pięknej książce niemieckiego biologa z początku tego stulecia, E. Haeckela „Piękno form w przyrodzie”, można przeczytać następujące wersety: „Natura pielęgnuje w swoim łonie niewyczerpaną liczbę niesamowitych stworzeń, które pięknem i różnorodnością znacznie przewyższa wszelkie formy stworzone przez sztukę ludzką.” Stworzenia natury pokazane w tej książce są piękne i symetryczne. Jest to nieodłączna cecha naturalnej harmonii. Ale tutaj można zobaczyć także organizmy jednokomórkowe - feodaria, których kształt dokładnie odzwierciedla dwudziestościan. Co powoduje tę naturalną geometrię? Być może ze względu na wszystkie wielościany o tej samej liczbie ścian, to dwudziestościan ma największą objętość i najmniejszą powierzchnię. Ta właściwość geometryczna pomaga mikroorganizmom morskim pokonać ciśnienie słupa wody.

Co ciekawe, to właśnie dwudziestościan stał się przedmiotem uwagi biologów w ich sporach dotyczących kształtu wirusów. Wirus nie może być idealnie okrągły, jak wcześniej sądzono. Aby ustalić jego kształt, wzięli różne wielościany i skierowali na nie światło pod tymi samymi kątami, pod którymi przepływa atomy w kierunku wirusa. Okazało się, że tylko jeden wielościan daje dokładnie ten sam cień – dwudziestościan. Jego właściwości geometryczne, o których mowa powyżej, pozwalają na zapisanie informacji genetycznej. Najkorzystniejsze są figury regularne wielościany. A przyroda szeroko to wykorzystuje. Kryształy niektórych znanych nam substancji mają kształt regularnych wielościanów. Zatem sześcian ma kształt kryształów soli kuchennej NaCl, monokryształ ałunu glinowo-potasowego (KAlSO4)2 · 12H2O ma kształt ośmiościanu, kryształ pirytu siarkowego FeS ma kształt dwunastościanu, siarczanu antymonu sodu ma kształt czworościanu, bor ma kształt dwudziestościanu. Wielościany regularne określają kształt sieci krystalicznych niektórych substancji chemicznych. Zilustrujmy tę myśl następującym problemem.

Zadanie. Model cząsteczki metanu CH4 ma kształt foremnego czworościanu, w którym w czterech wierzchołkach znajdują się atomy wodoru, a w środku atom węgla. Wyznacz kąt wiązania pomiędzy dwoma wiązaniami CH.

Rozwiązanie. Ponieważ czworościan foremny ma sześć równych krawędzi, można wybrać taki sześcian, aby przekątne jego ścian były krawędziami czworościanu foremnego. Środek sześcianu jest jednocześnie środkiem czworościanu, ponieważ cztery wierzchołki czworościanu są jednocześnie wierzchołkami sześcianu, a opisana wokół nich kula jest jednoznacznie wyznaczona przez cztery punkty, które nie leżą w tej samej płaszczyźnie. Pożądany kąt j pomiędzy dwoma wiązaniami CH jest równy kątowi AOC. Trójkąt AOC jest równoramienny. Stąd, gdzie a jest bokiem sześcianu, d jest długością przekątnej ściany bocznej lub krawędzi czworościanu. Skąd więc bierze się =54,73561О i j=109,47О?

Pytanie o kształt Ziemi nieustannie zaprzątało umysły naukowców starożytności. A kiedy potwierdziła się hipoteza o kulistym kształcie Ziemi, zrodził się pomysł, że Ziemia ma kształt dwunastościanu. Dlatego Platon napisał już: „Ziemia, jeśli spojrzeć na nią z góry, wygląda jak kula uszyta z 12 kawałków skóry”. Ta hipoteza Platona znalazła dalszy rozwój naukowy w pracach fizyków, matematyków i geologów. Tak więc francuski geolog de Bimon i słynny matematyk Poincaré wierzyli, że kształt Ziemi to zdeformowany dwunastościan.

Istnieje inna hipoteza. Znaczenie tego jest takie, że Ziemia ma kształt dwudziestościanu. Na kuli ziemskiej przyjmuje się dwa równoleżniki - 30° szerokości geograficznej północnej i południowej. Odległość każdego z nich do bieguna jego półkuli wynosi 60°, a między nimi również 60°. Na północy tych równoleżników punkty są zaznaczone na 1/5 pełnego koła, czyli 72°: na przecięciu z południkami 32°, 104° i 176°. D. oraz 40o i 112o W. e. Na równoleżniku południowym punkty zaznaczono na przecięciach z południkami przechodzącymi dokładnie pośrodku pomiędzy wymienionymi: 68o i 140o. d. oraz 4o, 76o i 148o W. d. Pięć punktów na równoleżniku 30o. w. , pięć - na równoleżniku 30o S. w. i dwa bieguny Ziemi i utworzą 12 wierzchołków wielościanu.

Opinię na temat dwunastościennego kształtu Ziemi podzielił także rosyjski geolog S. Kislitsin. Postawił hipotezę, że 400–500 milionów lat temu dwunastościenna geosfera zamieniła się w geoikoszaedr. Przejście to okazało się jednak niepełne i niepełne, w efekcie czego geododekaedr znalazł się w strukturze dwudziestościanu. W ostatnie lata Sprawdzono hipotezę o ikozaedryczno-dwunastościennym kształcie Ziemi. Aby to zrobić, naukowcy wyrównali oś dwunastościanu z osią globu i obracając wokół niego wielościan, zauważyli, że jego krawędzie pokrywają się z gigantycznymi zakłóceniami w skorupie ziemskiej (na przykład z podwodnym grzbietem środkowoatlantyckim). Następnie przyjmując dwudziestościan jako wielościan ustalili, że jego krawędzie pokrywają się z mniejszymi podziałami skorupy ziemskiej (grzbiety, uskoki itp.). Obserwacje te potwierdzają hipotezę, że budowa tektoniczna skorupy ziemskiej jest podobna do form dwunastościanu i dwudziestościanu.

Węzły hipotetycznego geokryształu są niejako ośrodkami pewnych anomalii na planecie: znajdują się w nich wszystkie światowe centra ekstremalnego ciśnienia atmosferycznego, obszary, z których powstają huragany; w jednym z węzłów dwudziestościanu (w Gabonie) odkryto „naturalny reaktor atomowy”, który działał jeszcze 1,7 miliarda lat temu. Gigantyczne złoża minerałów (na przykład pole naftowe Tiumeń), anomalie świata zwierząt (Jezioro Bajkał) i ośrodki rozwoju kultur ludzkich ( Starożytny Egipt, cywilizacja protoindyjska Mohendżo-Daro, północna mongolska itp.).

Jest jeszcze jedno założenie. Idee Pitagorasa, Platona, I. Keplera dotyczące połączenia wielościanów foremnych z harmonijną strukturą świata znalazły już kontynuację w naszych czasach w ciekawej hipotezie naukowej, której autorami (na początku lat 80.) byli moskiewscy inżynierowie W. Makarow i W. Morozow. Wierzą, że jądro Ziemi ma kształt i właściwości rosnącego kryształu, co wpływa na rozwój wszystkich naturalnych procesów zachodzących na planecie. Promienie tego kryształu, a raczej jego pole siłowe, wyznaczają ikozaedryczno-dwunastościarną budowę Ziemi, co objawia się tym, że w skorupie ziemskiej pojawiają się rzuty wielościanów foremnych wpisanych w kulę ziemską: dwudziestościanu i dwunastościanu. Ich 62 wierzchołki i środki krawędzi, zwane przez autorów węzłami, posiadają szereg specyficznych właściwości, które pozwalają wyjaśnić pewne niezrozumiałe zjawiska.

Dalsze badania Ziemi mogą określić stosunek do tej pięknej hipotezy naukowej, w której, jak widać, ważne miejsce zajmują wielościany foremne.

I w związku z wielościanami foremnymi pojawia się jeszcze jedno pytanie: czy można nimi wypełnić przestrzeń, aby nie było między nimi przerw? Powstaje przez analogię do wielokątów foremnych, z których część może wypełnić płaszczyznę. Okazuje się, że przestrzeń można wypełnić tylko za pomocą jednej regularnej kostki wielościanowej. Przestrzeń można również wypełnić dwunastościanami rombowymi. Aby to zrozumieć, musisz rozwiązać problem.

Zadanie. Z siedmiu kostek tworzących przestrzenny „krzyż” zbuduj dwunastościan rombowy i pokaż, że mogą wypełnić przestrzeń.

Rozwiązanie. Kostki mogą wypełnić przestrzeń. Rozważmy część siatki sześciennej. Środkową kostkę pozostawimy nietkniętą, a w każdej z „krawędziowych” kostek narysujemy płaszczyzny przez wszystkie sześć par przeciwległych krawędzi. W tym przypadku kostki „krawędziowe” zostaną podzielone na sześć równych piramid o kwadratowych podstawach i krawędziach bocznych równych połowie przekątnej sześcianu. Piramidy sąsiadujące z nienaruszonym sześcianem tworzą wraz z tym ostatnim dwunastościan rombowy. Z tego jasno wynika, że ​​dwunastościany rombowe mogą wypełnić całą przestrzeń. W konsekwencji stwierdzamy, że objętość dwunastościanu rombowego jest równa dwukrotności objętości sześcianu, którego krawędź pokrywa się z mniejszą przekątną ściany dwunastościanu.

Rozwiązując ten problem, doszliśmy do dwunastościanów rombowych. Co ciekawe, komórki pszczół, które również wypełniają przestrzeń bez szczelin, są jednocześnie figurami idealnie geometrycznymi. Szczyt komórki pszczół jest częścią dwunastościanu rombowego.

W 1525 roku Dürer napisał traktat, w którym przedstawił pięć wielościanów foremnych, których powierzchnie służą jako dobre modele perspektywy.

Tak więc regularne wielościany ujawniły nam próby naukowców zbliżenia się do tajemnicy światowej harmonii i pokazały nieodpartą atrakcyjność geometrii.

Wielościany regularne i złoty podział

W okresie renesansu rzeźbiarze, architekci i artyści wykazali duże zainteresowanie formami wielościanów foremnych. Na przykład Leonardo da Vinci interesował się teorią wielościanów i często przedstawiał je na swoich płótnach. Zilustrował książkę swojego przyjaciela, mnicha Luca Pacioli (1445 - 1514) „O boskiej proporcji” obrazami wielościanów regularnych i półregularnych.

W 1509 roku w Wenecji Luca Pacioli opublikował książkę O boskiej proporcji. Pacioli znalazł trzynaście przejawów „boskiej proporcji” w pięciu bryłach platońskich – wielokątach foremnych (czworościanu, sześcianu, oktaedru, dwudziestościanu i dwunastościanu). W rozdziale „O dwunastej prawie nadprzyrodzonej własności” bada dwudziestościan foremny. Pięć trójkątów spotyka się na każdym wierzchołku dwudziestościanu, tworząc pięciokąt foremny. Jeśli połączymy dwie przeciwległe krawędzie dwudziestościanu, otrzymamy prostokąt, w którym większy bok ma się do mniejszego, jak suma boków do większego.

Zatem złota proporcja przejawia się w geometrii pięciu regularnych wielościanów, które według starożytnych naukowców leżą u podstawy wszechświata.

Geometria brył platońskich w malarstwie wielkich artystów

Słynnym artystą renesansu, pasjonującym się także geometrią, był A. Durer. W jego słynnej rycinie „Melancholia” na pierwszym planie przedstawiono dwunastościan.

Rozważ obraz obrazu artysty Salvadora Dali „Ostatnia wieczerza”. Na pierwszym planie obrazu Chrystus ze swoimi uczniami na tle ogromnego przezroczystego dwunastościanu.

Kryształy - naturalne wielościany

Wiele form wielościanów nie zostało wymyślonych przez samego człowieka, ale zostały stworzone przez naturę w postaci kryształów.

Często ludzie, patrząc na cudowne, opalizujące wielościany kryształów, nie mogą uwierzyć, że stworzyła je natura, a nie człowiek. Dlatego narodziło się tak wiele niesamowitych opowieści ludowych o kryształach.

Zachowały się ciekawe materiały pisane, np. tzw. „papirus Ebersa”, który zawiera opis metod uzdrawiania kamieniami za pomocą specjalnych rytuałów i zaklęć, w których przypisuje się tajemniczą moc kamieniom szlachetnym.

Wierzono, że kryształ granatu przynosi szczęście. Ma kształt rombowego dwunastościanu (czasami nazywanego romboidalnym lub rombowym dwunastościanem) - dwunastościanu, którego ściany to dwanaście równych rombów.

Kryształy dwunastościenne są tak typowe dla granatu, że kształt takiego wielościanu nazywa się nawet granatedrem.

Granat jest jednym z głównych minerałów tworzących skały. Istnieją ogromne skały zbudowane ze skał granatowych zwanych skarnami. Jednak kamienie szlachetne, pięknie wybarwione i przezroczyste są dalekie od pospolitości. Mimo to to granat - krwistoczerwony pirop - archeolodzy uważają za najstarszą biżuterię, ponieważ odkryto go w Europie w starożytnym neolicie na terenie współczesnych Czech i Słowacji, gdzie jest obecnie szczególnie popularny.

O tym, że granat, czyli rombowy wielościan dwunastościanowy, znany jest od czasów starożytnych, można sądzić po historii pochodzenia jego nazwy, która w tłumaczeniu ze starożytnej greki oznaczała „czerwoną farbę”. Ponadto nazwa kojarzona była z kolorem czerwonym – najpowszechniejszym kolorem granatów.

Granat jest wysoko ceniony przez koneserów klejnotów. Wykorzystuje się go do wyrobu biżuterii najwyższej klasy, granat ma właściwość obdarzania kobietami, które go noszą, daru przewidywania i odpędzania od nich ciężkich myśli, a mężczyzn chroni przed gwałtowną śmiercią.

Granaty podkreślają niezwykłość sytuacji, oryginalność działań ludzi oraz podkreślają czystość i wzniosłość ich uczuć.

To kamień talizman dla osób urodzonych w STYCZNIU.

Rozważmy kamienie, których kształt jest dobrze zbadany i reprezentuje wielościany regularne, półregularne i gwiaździste.

Piryt ma swoją nazwę od greckiego słowa pyros, oznaczającego ogień. Uderzenie w niego powoduje iskrę; w starożytności kawałki pirytu służyły jako drewno opałowe. Lustrzany połysk na powierzchniach odróżnia piryt od innych siarczków. Polerowany piryt błyszczy jeszcze jaśniej. Archeolodzy odkryli w grobach Inków lustra wykonane z polerowanego pirytu. Dlatego piryt to ma rzadkie imię- Kamień Inków. W czasie epidemii gorączki złota piryt błyszczy w żyłce kwarcu, w mokrym piasku na tacy do mycia, niejedna osoba zawracała sobie głowę. Nawet teraz początkujący miłośnicy kamienia mylą piryt ze złotem.

Ale przyjrzyjmy się temu bliżej, posłuchajmy przysłowia: „Nie wszystko złoto, co się świeci!” Kolor pirytu jest mosiężno-żółty. Krawędzie kryształów pirytu mają silny metaliczny połysk. ? W miejscu złamania połysk jest przyćmiony.

Piryt ma twardość 6-6,5 i łatwo rysuje szkło. Jest najtwardszym minerałem z klasy siarczkowej.

A jednak najbardziej charakterystyczną cechą wyglądu pirytu jest kształt kryształów. Najczęściej jest to sześcian. Od najmniejszych „kostek zagnieżdżonych wzdłuż pęknięć, po kostki o wysokości krawędzi 5 cm, 15 cm, a nawet 30 cm! Ale nie tylko kryształy pirytu są cięte na kostki; w arsenale tego minerału znajdują się znane nam już ośmiościany W przypadku pirytu są one dość rzadkie, ale piryt pozwala osobiście podziwiać kształt o tej nazwie - pięciokątny dwunastościan „Penta” jest pięciokątny, wszystkie ściany tej formy są pięcioboczne, a „dodeka” to pięciokąt. kilkanaście – w sumie jest ich dwanaście. Kształt ten jest tak typowy dla pirytu, że w dawnych czasach otrzymał nawet nazwę „pirytoedr”. Zdarzają się także okazy łączące w sobie ściany o różnych kształtach: sześcian i pięciokąt.

KASETA

Kasyteryt to błyszczący, kruchy brązowy minerał będący podstawową rudą cyny. Kształt zapada w pamięć - czworościenny, wysoki, ostre piramidy u góry i u dołu, a pośrodku znajduje się krótka kolumna, również fasetowana. W żyłach kwarcu wyrastają kryształy kasyterytu o zupełnie innym wyglądzie. NA Półwysep Czukotka Znajduje się tam złoże Iultin, gdzie od dawna słyną żyły z doskonałymi kryształami kasyterytu.

Galena wygląda jak metal i w rudzie po prostu nie sposób jej nie zauważyć. Natychmiast ujawnia się mocny metaliczny połysk i ciężkość. Galena to prawie zawsze srebrzyste sześciany (lub równoległościany). I niekoniecznie są to całe kryształy. Galena ma doskonały dekolt do sześcianu. Oznacza to, że rozpada się nie na bezkształtne fragmenty, ale na zgrabne, srebrzyste, błyszczące kostki. Jego naturalne kryształy mają kształt ośmiościanu lub prostopadłościanu. Galena wyróżnia się także następującą właściwością: minerał ten jest miękki i mało odporny chemicznie.

CYRKON

„Cyrkon” – od perskich słów „król” i „pistolet” – kolor złoty.

Cyrkon odkryto w latach 1789/0 w cennym cyrkonie cejlońskim. Odkrywcą tego pierwiastka jest M. Claporte. Wspaniałe przezroczyste i jasno błyszczące cyrkonie były znane już w czasach starożytnych. Kamień ten był bardzo ceniony w Azji.

Chemicy i hutnicy musieli dużo pracować, zanim w reaktorach jądrowych pojawiły się cyrkonowe powłoki prętów i innych elementów konstrukcyjnych.

Zatem cyrkon jest skutecznym kamieniem szlachetnym - pomarańczowym, słomkowożółtym, niebiesko-niebieskim, zielonym - błyszczy i gra jak diament.

Cyrkonie często reprezentowane są przez małe, regularne kryształki o charakterystycznym wdzięcznym kształcie. Motyw ich sieci krystalicznej, a co za tym idzie kształt kryształów, podporządkowany jest czwartej osi symetrii. Kryształy cyrkonu należą do układu tetragonalnego. Ich przekrój jest kwadratowy. A sam kryształ składa się z tetragonalnego pryzmatu (czasami wzdłuż krawędzi jest stępiony przez drugi podobny pryzmat) i tetragonalnej bipiramidy, która uzupełnia pryzmat na obu końcach.

Jeszcze większe wrażenie robią kryształy z dwiema dipiramidami na końcach: jedną na szczytach, a drugą jedynie przyciemniającą krawędzie pomiędzy pryzmatem a górną piramidą.

Kryształy soli kuchennej mają kształt sześcianu, kryształy lodu i kryształu górskiego (kwarcu) przypominają obustronnie zaostrzony ołówek, czyli mają kształt sześciokątnego pryzmatu, na podstawie którego umieszczone są sześciokątne piramidy.

Diament najczęściej występuje w postaci ośmiościanu, czasem sześcianu, a nawet prostopadłościanu.

Drzewko islandzkie, które rozwidla obraz, ma kształt ukośnego równoległościanu.

Ciekawy

Wszystkie inne regularne wielościany można uzyskać z sześcianu poprzez transformację.

W procesie podziału jaja najpierw powstaje czworościan czterech komórek, następnie ośmiościan, sześcian, a na końcu dwunastościenno-ikozaedryczna gastrula.

I wreszcie, być może najważniejsza rzecz – struktura DNA kodu genetycznego życia – to czterowymiarowy rozwój (wzdłuż osi czasu) obracającego się dwunastościanu!

Wierzono, że regularne wielościany przynoszą szczęście. Dlatego istniały kości nie tylko w kształcie sześcianu, ale wszystkich innych kształtach. Na przykład matryca w kształcie dwunastościanu została nazwana d12.

Niemiecki matematyk August Ferdinand Möbius w swojej pracy „O objętości wielościanów” opisał powierzchnię geometryczną, która ma niesamowitą właściwość: ma tylko jedną stronę! Jeśli skleimy końce paska papieru po uprzednim obróceniu jednego z nich o 180 stopni, otrzymamy arkusz lub pasek Mobiusa. Spróbuj pomalować skręconą wstążkę na 2 kolory - jeden na zewnątrz, drugi w środku. Nie uda ci się! Ale mrówka czołgająca się wzdłuż wstęgi Mobiusa nie musi przepełzać przez jej krawędź, aby dostać się na przeciwną stronę.

„Istnieje niepokojąco niewiele foremnych wielościanów wypukłych” – zauważył kiedyś Lewis Carroll – „Ale nawet tej bardzo skromnej grupie, wspaniałej piątce, udało się przeniknąć głęboko w głąb nauki. »

Wszystkie te przykłady potwierdzają zadziwiającą przenikliwość intuicji Platona.

Wniosek

Prezentowana praca uwzględnia:

Definicja wielościanów wypukłych;

Podstawowe własności wielościanów wypukłych, w tym twierdzenie Eulera, które wiąże liczbę wierzchołków, krawędzi i ścian danego wielościanu;

Definicja wielościanu foremnego, udowodniono istnienie tylko pięciu wielościanów foremnych;

Szczegółowo omówiono zależności pomiędzy kątami charakterystycznymi regularnej piramidy n-gonalnej, która jest integralną częścią wielościanu foremnego;

Niektóre cechy czworościanu foremnego, takie jak objętość, pole powierzchni itp., Omówiono szczegółowo.

W załącznikach znajdują się dowody podstawowych własności wielościanów wypukłych oraz innych twierdzeń zawartych w tej pracy. Przedstawione twierdzenia i zależności mogą być przydatne w rozwiązywaniu wielu problemów stereometrii. Praca może być wykorzystana podczas studiowania poszczególnych zagadnień stereometrii jako materiał referencyjny i ilustracyjny.

Wielościany otaczają nas wszędzie: kostki dziecięce, meble, konstrukcje architektoniczne itp. W życiu codziennym prawie przestaliśmy je zauważać, ale bardzo ciekawe jest poznanie historii znanych każdemu przedmiotów, zwłaszcza jeśli są tak fascynujące.

Prawidłowe parkiety. Projekt przygotowała uczennica Miejskiej Placówki Oświatowej – Gimnazjum nr 6, Marx Zhilnikova Nastya Opiekun: Martyshova Lyudmila Iosifovna Cele i zadania Dowiedz się, z jakich wielokątów foremnych wypukłych można wykonać regularny parkiet. Rozważ wszystkie rodzaje właściwych parkietów i odpowiedz na pytanie o ich ilość. Rozważ przykłady zastosowania regularnych wielokątów w przyrodzie. . Z parkietem często spotykamy się na co dzień: pokrywa on podłogi w domach, pokrywa ściany pomieszczeń różnymi płytkami, a często także zdobi budynki ozdobami. . . . . . . . . . . Pierwsze pytanie, które nas interesuje i które jest łatwe do rozwiązania, brzmi: z jakich wielokątów foremnych wypukłych można wykonać parkiet? Suma kątów wielokąta. Niech płyta parkietowa będzie regularnym n-gonem. Suma wszystkich kątów n-kąta wynosi 180(n-2), a ponieważ wszystkie kąty są równe, każdy z nich wynosi 180(n-2)/n. Ponieważ na każdym wierzchołku parkietu spotyka się całkowita liczba kątów, liczba 360 musi być całkowitą wielokrotnością 180(n-2)/n. Przekształcając stosunek tych liczb, otrzymujemy 360n/ 180(n-2)= 2n/ n-2. 180(n-2), n jest liczbą boków wielokąta. Całkiem łatwo jest upewnić się, że parkiet nie tworzy żadnego innego wielokąta foremnego. I tutaj potrzebujemy wzoru na sumę kątów wielokąta. Jeśli parkiet składa się z n-kątów, to k 360: a n wielokątów zbiegnie się w każdym wierzchołku parkietu, gdzie an jest kątem regularnego n-kąta. Łatwo stwierdzić, że a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120°. 360° jest podzielne przez n tylko wtedy, gdy n = 3; 4; 6. Jasne jest z tego, że n-2 może przyjmować tylko wartości 1, 2 lub 4; dlatego jedynymi możliwymi wartościami dla n są 3, 4, 6. W ten sposób otrzymujemy parkiety złożone z regularnych trójkątów, kwadratów lub foremnych sześciokątów. Inne parkiety wykonane z wielokątów foremnych są niemożliwe. PARKIETY - ZAKOŃCZENIE PŁASZCZYZNY WIELOBOKAMI Już pitagorejczycy wiedzieli, że istnieją tylko trzy rodzaje wielokątów foremnych, za pomocą których można całkowicie wyłożyć płaszczyznę bez przerw i zakładek - trójkąt, kwadrat i sześciokąt. PARKIETY - PŁYTKI PŁASKIE Z WIELOBOKAMI Można wymagać, aby parkiet był regularny tylko „na wierzchołkach”, ale dopuszczać można stosowanie różnych typów wielokątów foremnych. Następnie do pierwotnych trzech zostanie dodanych osiem kolejnych parkietów. . Parkiety z różnych wielokątów foremnych. Najpierw dowiedzmy się, ile różnych wielokątów foremnych (o tej samej długości boków) może znajdować się wokół każdego punktu. Kąt wielokąta foremnego musi mieścić się w przedziale od 60° do 180° (nie wliczając); dlatego liczba wielokątów znajdujących się w sąsiedztwie punktu musi być większa od 2 (360°/180°) i nie może przekraczać 6 (360°/60°). Parkiety z różnych wielokątów foremnych. Można wykazać, że istnieją następujące sposoby układania parkietu przy użyciu kombinacji wielokątów foremnych: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - dwie opcje parkietu; (3,4,4,6) - cztery opcje; (3,3,3,4,4) - cztery opcje; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (Liczby w nawiasach to oznaczenia wielokątów zbiegających się w każdym wierzchołku: 3 - trójkąt foremny, 4 kwadrat, 6 - sześciokąt foremny, 12 dwunastokąt foremny). Pokrycia płaszczyzny wielokątami foremnymi spełniają następujące wymagania: 1 Płaszczyzna jest pokryta w całości wielokątami foremnymi, bez przerw i pokryć podwójnych, tj. dwa wielokąty pokrywające albo mają wspólny bok, mają wspólny wierzchołek, albo nie mają w ogóle wspólnych punktów. Ten rodzaj pokrycia nazywa się parkietem. 2 Wokół wszystkich wierzchołków wielokąty foremne są ułożone w ten sam sposób, tj. Wokół wszystkich wierzchołków wielokąty o tych samych nazwach znajdują się w tej samej kolejności. Przykładowo, jeśli wokół jednego wierzchołka wielokąty ułożone są w kolejności: trójkąt – kwadrat – sześciokąt – kwadrat, to wokół dowolnego innego wierzchołka tego samego zakrywającego wielokąty ułożone są dokładnie w tej samej kolejności. Parkiet zwykły Parkiet można więc nałożyć na siebie w taki sposób, że dowolny jego wierzchołek nałoży się na dowolny inny wcześniej podany wierzchołek. Ten rodzaj parkietu nazywa się poprawnym. Ile jest zwykłych parkietów i jak są ułożone? Podzielmy wszystkie regularne parkiety na grupy według liczby różnych wielokątów foremnych wchodzących w skład parkietu 1.a). Sześciokąty b). Kwadraty c). Trójkąty 2.a). Kwadraty i trójkąty b). Kwadraty i ośmiokąty c). Trójkąty i sześciokąty d). Trójkąty i dwunastoboki 3.a). Kwadraty, sześciokąty i dwunastoboki b). Kwadraty, sześciokąty i trójkąty Parkiety regularne wykonane z jednego wielokąta foremnego Grupa 1 a). Sześciokąty b). Kwadraty c). Trójkąty 1a. Powłoka składająca się z regularnych sześciokątów. 1b. Parkiet składający się wyłącznie z kwadratów. I wiek Parkiet składający się wyłącznie z trójkątów. Parkiety regularne złożone z dwóch wielokątów foremnych Grupa 2 a). Kwadraty i trójkąty b). Kwadraty i ośmiokąty c). Trójkąty i sześciokąty d). Trójkąty i dwunastoboki 2a. Parkiety składające się z kwadratów i trójkątów. Widok I. Układ wielokątów wokół wierzchołka: trójkąt - trójkąt - trójkąt - kwadrat - kwadrat 2a. Typ II. Parkiety składające się z kwadratów i trójkątów Układ wielokątów wokół góry: trójkąt – trójkąt – kwadrat – trójkąt – kwadrat 2 b. Parkiet składający się z kwadratów i ośmiokątów 2c. Parkiet składający się z trójkątów i sześciokątów. Typ I i ​​typ II. Parkiety regularne złożone z trzech wielokątów foremnych Grupa 3 a). Kwadraty, sześciokąty i dwunastoboki b). Kwadraty, sześciokąty i trójkąty 2d. Parkiet składający się z dwunastoboków i trójkątów 3a. Parkiet składający się z kwadratów, sześciokątów i dwunastokątów. 3b. Parkiet składający się z kwadratów, sześciokątów i trójkątów. Pokrycie w formie ciągu: trójkąt - kwadrat - sześciokąt - kwadrat. To niemożliwe: Parkiet składający się z pięciokątów foremnych nie istnieje. Nie są możliwe przekrycia w formie ciągu: 1) trójkąt – kwadrat – sześciokąt – kwadrat; 2) trójkąt – trójkąt – kwadrat – dwunastokąt; 3) trójkąt – kwadrat – trójkąt – dwunastokąt. Wnioski Zwróć uwagę na parkiety, które składają się wyłącznie z wielokątów foremnych o tej samej nazwie - trójkątów równobocznych, kwadratów i sześciokątów foremnych. Spośród tych kształtów (jeśli wszystkie boki są równe) największą powierzchnię zajmuje sześciokąt foremny. Jeśli zatem chcemy np. podzielić nieskończone pole na odcinki o wielkości 1 hektara, aby na ogrodzenie wydać jak najmniej materiału, to odcinki te należy uformować w sześciokąty foremne. . Kolejna ciekawostka: okazuje się, że wycięcie plastra miodu również wygląda jak płaszczyzna pokryta regularnymi sześciokątami. Pszczoły instynktownie starają się zbudować jak największe plastry miodu, aby zgromadzić jak najwięcej miodu. . Wniosek Zatem rozważono wszystkie możliwe kombinacje. Tak wyszło 11 poprawnych parkietów. Są bardzo piękne, prawda? Który parkiet przypadł Ci do gustu najbardziej? . . Katalog produktów.

Dzika przyroda.

Wielościany regularne są najbardziej „dochodowymi” figurami. A przyroda szeroko to wykorzystuje. Kryształy niektórych znanych nam substancji mają kształt regularnych wielościanów. Więc, sześcian transmituje formularz kryształy soli kuchennej NaCl, monokryształ ałunu glinowo-potasowego mają kształt ośmiościanu, kryształ pirytu siarkowego FeS – dwunastościan, siarczan antymonu sodu – czworościan, bor – dwudziestościan. Wielościany regularne określają kształt sieci krystalicznych wielu substancji chemicznych.

Obecnie udowodniono, że proces powstawania ludzkiego zarodka z komórki jajowej odbywa się poprzez podzielenie go zgodnie z prawem „binarnym”, czyli najpierw jajo zamienia się w dwie komórki. Następnie w fazie czterokomórkowej zarodek przyjmuje kształt czworościanu, a w fazie ośmiokomórkowej – dwóch połączonych ze sobą czworościanów (czworościanu gwiaździstego lub sześcianu), (Załącznik nr 1, ryc. 3). ). Z dwóch sześcianów na etapie szesnastu komórek powstaje kula, a z kuli na pewnym etapie podziału powstaje torus 512 komórek. Planta Ziemia i jej pole magnetyczne również są torusami.

Kwazikryształy autorstwa Dana Shekhtmana.

12 listopada 1984 w krótkim artykule opublikowanym w autorytatywnym czasopiśmie „ Listy z przeglądu fizycznego» Izraelski fizyk Dan Shechtman przedstawił eksperymentalne dowody na istnienie stopu metalu o wyjątkowych właściwościach. Stop ten, badany metodami dyfrakcji elektronów, wykazywał wszystkie cechy kryształu. Jego wzór dyfrakcyjny składa się z jasnych i regularnie rozmieszczonych punktów, podobnie jak kryształ. Jednak obraz ten charakteryzuje się obecnością symetrii „dwudziestościennej” lub „pięciokątnej”, która jest surowo zabroniona w krysztale ze względów geometrycznych. Takie niezwykłe stopy nazywano kwazikryształy. W niecały rok odkryto wiele innych stopów tego typu. Było ich tak wiele, że stan quasikrystaliczny okazał się znacznie bardziej powszechny, niż można było sobie wyobrazić.

Co to jest kwazikryształ? Jakie ma właściwości i jak można go opisać? Jak wspomniano powyżej, zgodnie z podstawowe prawa krystalografii Na strukturę kryształu nałożone są ścisłe ograniczenia. Według klasycznych koncepcji kryształ składa się z pojedynczej komórki, która powinna szczelnie (twarzą w twarz) „zakrywać” całą płaszczyznę bez żadnych ograniczeń.

Jak wiadomo, gęste wypełnienie płaszczyzny można przeprowadzić za pomocą trójkąty, kwadraty I sześciokąty. Używając pięciokąty (Pięciokąty) takie wypełnienie jest niemożliwe.

Takie były kanony tradycyjnej krystalografii, która istniała przed odkryciem niezwykłego stopu aluminium i manganu, zwanego kwazikryształem. Taki stop powstaje w wyniku ultraszybkiego chłodzenia stopu z szybkością 10,6 K na sekundę. Ponadto podczas badania dyfrakcyjnego takiego stopu na ekranie pojawia się uporządkowany wzór charakterystyczny dla symetrii dwudziestościanu, który ma słynne zabronione osie symetrii piątego rzędu.

W ciągu następnych kilku lat kilka grup naukowych na całym świecie badało ten niezwykły stop za pomocą mikroskopii elektronowej o wysokiej rozdzielczości. Wszystkie potwierdziły idealną jednorodność substancji, w której zachowana została symetria piątego rzędu w obszarach makroskopowych o wymiarach bliskich atomom (kilkadziesiąt nanometrów).

Według współczesnych poglądów został on rozwinięty następny model uzyskanie struktury krystalicznej kwazikryształu. Model ten opiera się na koncepcji „elementu podstawowego”. Zgodnie z tym modelem dwudziestościan wewnętrzny złożony z atomów glinu jest otoczony dwudziestościanem zewnętrznym złożonym z atomów manganu. Dwudziestościany są połączone ośmiościanami atomów manganu. „Element podstawowy” zawiera 42 atomy glinu i 12 atomów manganu. Podczas procesu krzepnięcia następuje szybkie powstawanie „elementów podstawowych”, które szybko łączą się ze sobą sztywnymi „mostkami” oktaedrycznymi. Przypomnijmy, że ściany dwudziestościanu są trójkątami równobocznymi. Aby powstał oktaedryczny mostek manganowy, konieczne jest, aby dwa takie trójkąty (po jednym w każdej komórce) zbliżyły się do siebie i ułożyły równolegle. W wyniku takiego procesu fizycznego powstaje struktura kwazikrystaliczna o symetrii „ikozaedrycznej”.

W ostatnich dziesięcioleciach odkryto wiele rodzajów stopów kwazikrystalicznych. Oprócz stopów o symetrii „ikosedrycznej” (5. rząd) istnieją również stopy o symetrii dziesięciokątnej (10. rząd) i dwunastokątnej (12. rząd). Właściwości fizyczne Badania nad kwazikryształami zaczęto badać dopiero niedawno.

Jak zauważono we wspomnianym powyżej artykule Gratii, „wytrzymałość mechaniczna stopów kwazikrystalicznych gwałtownie wzrasta; brak okresowości prowadzi do spowolnienia propagacji dyslokacji w porównaniu do metali konwencjonalnych... Właściwość ta ma ogromne znaczenie praktyczne: zastosowanie fazy ikozaedrycznej umożliwi uzyskanie lekkich i bardzo mocnych stopów poprzez wprowadzenie małych cząstek kwazikryształów w osnowę aluminiową.”

Tetraedr w przyrodzie.

1. Fosfor

Ponad trzysta lat temu hamburski alchemik Genning Brand odkrył nowy pierwiastek – fosfor. Podobnie jak inni alchemicy, Brand próbował znaleźć eliksir życia lub kamień filozoficzny, za pomocą którego starzy ludzie wyglądają młodziej, chorzy wracają do zdrowia, a metale nieszlachetne zamieniają się w złoto. Podczas jednego z eksperymentów odparował mocz, pozostałość zmieszał z węglem i piaskiem i kontynuował odparowywanie. Wkrótce w retorcie utworzyła się substancja, która świeciła w ciemności. Kryształy białego fosforu powstają z cząsteczek P4. Taka cząsteczka ma kształt czworościanu.

2. Kwas podfosforawy H 3 RO 2 .

Jego cząsteczka ma kształt czworościanu z atomem fosforu w środku; na wierzchołkach czworościanu znajdują się dwa atomy wodoru, atom tlenu i grupa hydroksylowa.

3. Metan.

Sieć krystaliczna metan ma kształt czworościanu. Metan pali się bezbarwnym płomieniem. Tworzy mieszaniny wybuchowe z powietrzem. Używany jako paliwo.

4. Woda.

Cząsteczka wody to mały dipol zawierający ładunki dodatnie i ujemne na biegunach. Ponieważ masa i ładunek jądra tlenu jest większa niż jądra wodoru, chmura elektronów jest przyciągana w kierunku jądra tlenu. W tym przypadku jądra wodoru są „odsłonięte”. Zatem chmura elektronów ma niejednorodną gęstość. W pobliżu jąder wodoru brakuje gęstości elektronowej, a po przeciwnej stronie cząsteczki, w pobliżu jądra tlenu, występuje nadmiar gęstości elektronowej. To właśnie ta struktura określa polarność cząsteczki wody. Jeśli połączysz epicentra ładunków dodatnich i ujemnych liniami prostymi, otrzymasz trójwymiarową figurę geometryczną - czworościan foremny.

5. Amoniak.

Każda cząsteczka amoniaku ma niewspółdzieloną parę elektronów przy atomie azotu. Orbitale atomów azotu zawierające niewspółdzielone pary elektronów pokrywają się sp 3-hybrydowe orbitale cynku(II), tworzące tetraedryczny kompleks kationu tetraaminy cynku(II) 2+.

6. Diament

Komórką elementarną kryształu diamentu jest czworościan z atomami węgla umieszczonymi w środku i czterema wierzchołkami. Atomy znajdujące się na wierzchołkach czworościanu tworzą środek nowego czworościanu i w ten sposób są również otoczone czterema kolejnymi atomami itp. Wszystkie atomy węgla w sieci krystalicznej znajdują się w tej samej odległości (154 µm) od siebie.

Sześcian (sześcian) w przyrodzie.

Z kursu fizyki wiemy, że substancje mogą występować w trzech stanach skupienia: stałym, ciekłym i gazowym. Tworzą sieci krystaliczne.

Sieci krystaliczne substancji to uporządkowany układ cząstek (atomów, cząsteczek, jonów) w ściśle określonych punktach przestrzeni. Punkty umieszczenia cząstek nazywane są węzłami sieci krystalicznej.

W zależności od rodzaju cząstek znajdujących się w węzłach sieci krystalicznej i charakteru połączenia między nimi wyróżnia się 4 typy sieci krystalicznych: jonowe, atomowe, molekularne, metalowe.

JOŃSKI

Jonowe sieci krystaliczne to takie, których węzły zawierają jony. Tworzą je substancje posiadające wiązania jonowe. Jonowe sieci krystaliczne zawierają sole oraz niektóre tlenki i wodorotlenki metali. Rozważmy strukturę kryształu soli kuchennej, w którego węzłach znajdują się jony chloru i sodu. Wiązania między jonami w krysztale są bardzo mocne i stabilne. Dlatego substancje z siecią jonową mają wysoką twardość i wytrzymałość, są ogniotrwałe i nielotne.

Sieci krystaliczne wielu metali (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au i innych) mają kształt sześcianu.

MOLEKULARNY

Molekularne nazywane są sieciami krystalicznymi, w węzłach których znajdują się cząsteczki. Wiązania chemiczne w nich są kowalencyjne, zarówno polarne, jak i niepolarne. Wiązania w cząsteczkach są mocne, ale wiązania między cząsteczkami nie są mocne. Poniżej znajduje się sieć krystaliczna I 2. Substancje o MCR mają niską twardość, topią się w niskich temperaturach, są lotne i w normalnych warunkach występują w stanie gazowym lub ciekłym. czworościan o symetrii wielościanu

Dwudziestościan w przyrodzie.

Fulereny to niesamowite policykliczne struktury o kulistym kształcie, składające się z atomów węgla połączonych w pierścienie sześcio- i pięcioczłonowe. Jest to nowa modyfikacja węgla, która w odróżnieniu od trzech znanych wcześniej modyfikacji (diamentu, grafitu i karbinu) charakteryzuje się raczej strukturą molekularną niż polimerem, czyli tzw. cząsteczki fulerenu są dyskretne.

Substancje te wzięły swoją nazwę od amerykańskiego inżyniera i architekta Richarda Buckminstera Fullera, który zaprojektował półkuliste konstrukcje architektoniczne składające się z sześciokątów i pięciokątów.

Fulereny C 60 i C 70 zostały po raz pierwszy zsyntetyzowane w 1985 roku przez H. Kroto i R. Smalley z grafitu pod wpływem silnej wiązki lasera. D. Huffmanowi i W. Kretschmerowi udało się otrzymać fuleren C 60 w ilościach wystarczających do badań w 1990 r., którzy odparowali grafit za pomocą łuku elektrycznego w atmosferze helu. W 1992 roku w minerałach węglowych odkryto naturalne fulereny - schrzań to(minerał ten wziął swoją nazwę od nazwy wioski Shunga w Karelii) i innych skał prekambryjskich.

Cząsteczki fulerenów mogą zawierać od 20 do 540 atomów węgla rozmieszczonych na kulistej powierzchni. Najbardziej stabilny i najlepiej zbadany z tych związków, fuleren C60 (60 atomów węgla), składa się z 20 pierścieni sześcioczłonowych i 12 pięcioczłonowych. Szkielet węglowy cząsteczki C 60-fullerenu jest ścięty dwudziestościan.

W przyrodzie istnieją obiekty o symetrii piątego rzędu. Na przykład znane są wirusy zawierające skupiska w kształcie dwudziestościanu.

Struktura adenowirusów ma również kształt dwudziestościanu. Adenowirusy (od greckiego aden – żelazo i wirusy), rodzina wirusów DNA wywołujących choroby adenowirusowe u ludzi i zwierząt.

Wirus zapalenia wątroby typu B jest czynnikiem wywołującym wirusowe zapalenie wątroby typu B, głównym przedstawicielem rodziny hepadnowirusów. Do tej rodziny należą także wirusy hepatotropowego zapalenia wątroby świstaków, wiewiórek ziemnych, kaczek i wiewiórek. Wirus zapalenia wątroby typu B zawiera DNA. Jest to cząstka o średnicy 42-47 nm, zbudowana z rdzenia - nukleoidu, w kształcie dwudziestościan o średnicy 28 nm, wewnątrz którego znajduje się DNA, białko końcowe i enzym polimeraza DNA.

„Wielokąty” – materiał do samokształcenie na temat „Wielokąty” Zadania do gry. Trójkąt (równoboczny). Złamany. Nie wypukły. Opracowany przez Soloninkina T.V. Skończona część płaszczyzny ograniczona wielokątem. Narysuj wypukły pięciokąt. Pięciokąt. Regularne wielokąty. Ekspert 2.

„Pomiar pola wielokąta” – nauka czegoś nowego. 1. Jak zmierzyć powierzchnię figury? -Każdy zna pojęcie obszaru z doświadczenia życiowego. Abu r-Rayhan al-Buruni. 3. Cele lekcji: Od dzisiaj będziemy uczyć się obliczania pól różnych kształtów geometrycznych. Często słyszymy: „powierzchnia naszego mieszkania to 63 m2”. Czerewina Oksana Nikołajewna.

„Obszary geometrii figur” - Figury o równych polach nazywane są równymi powierzchniami. H. S=(a?b):2. Prostokąt, trójkąt, równoległobok. C. S=a?b. D. Nauczyciel: Ivniaminova L.A. Obszary figur. A. B. ur. Autorzy: Zyryanova N. Jafarova A, klasa 8b.

„Wielokąt foremny” – wniosek 1. Regularne wielokąty. Podstawowe formuły. R. Trójkąt regularny. Konsekwencja 2. Okrąg opisany na wielokącie foremnym. R. Konsekwencje. Okrąg wpisany w wielokąt foremny. Zwykły sześciokąt. O. Stosowanie formuł. W dowolny wielokąt foremny można wpisać okrąg i tylko jeden.

„Równoległobok” - Równoległobok. Jeśli czworokąt ma przeciwne strony równe parami, wówczas czworokąt jest równoległobokiem. Jeśli dwa boki czworokąta są równe i równoległe. Co to jest równoległobok? Znaki równoległoboku. W równoległoboku przeciwległe boki i przeciwne kąty są równe. Przekątne równoległoboku są podzielone na pół w punkcie przecięcia.

„Prostokąt kwadrat romb” - Rozwiązywanie problemów na temat „Prostokąt. A. Odpowiedzi na badanie przesiewowe. Znajdź: MD + DN. Romb. Cel lekcji: Utrwalenie materiału teoretycznego na temat „Prostokąt. Samodzielna praca teoretyczna Wypełnij tabelę, zaznaczając znaki + (tak), - (nie). Prawidłowe odpowiedzi na teoretyczną niezależną pracę.

W sumie odbyło się 19 prezentacji