Conferencia científica y práctica regional Sección Matemáticas Aleksandrova Kristina, Alekseeva Valeria Institución educativa presupuestaria municipal "Escuela secundaria Kovalinskaya" Octavo grado Líder: Nikolaeva I.M., profesora de matemáticas en la institución educativa municipal "Escuela secundaria Kovalinskaya" Urmary, 2012 Contenido trabajo de investigacion : 1. Introducción. 2. Relevancia del tema elegido. 3. Meta y objetivos 4. Polígonos 5. Polígonos regulares 1). Cuadrados mágicos 2). Tangrama 3). Polígonos estrella 6. Polígonos en la naturaleza 1). Panal 2). Copo de nieve 7. Polígonos que nos rodean 1). Parquet 2). Teselación 3). Remiendo 4). Adorno, bordado, tejido de punto 5). Talla geométrica 8. Ejemplos de la vida real 1). Al realizar capacitaciones 2). Significados de la adivinación del café 3). Quiromancia: adivinación a mano 4). Polígono asombroso 5) Pi y polígonos regulares 9. Polígonos regulares en arquitectura 1). Arquitectura de Moscú y otras ciudades del mundo. 2). Arquitectura de la ciudad de Cheboksary 3). Arquitectura del pueblo de Kovali 10. Conclusión. 11. Conclusión. Introducción A principios del siglo pasado, el gran arquitecto francés Corbusier exclamó una vez: “¡Todo lo que nos rodea es geometría!” Hoy, a principios del siglo XXI, podemos repetir esta exclamación con mayor asombro aún. De hecho, mire a su alrededor: ¡la geometría está en todas partes! Los conocimientos y habilidades geométricos, la cultura y el desarrollo geométricos son hoy de importancia profesional para muchas especialidades modernas, para diseñadores y constructores, para trabajadores y científicos. Es importante que la geometría sea un fenómeno de la cultura humana universal. Una persona no puede desarrollarse verdaderamente cultural y espiritualmente si no ha estudiado geometría en la escuela; La geometría surgió no solo de las necesidades prácticas, sino también espirituales del hombre. La geometría es todo un mundo que nos rodea desde el nacimiento. Al fin y al cabo, todo lo que vemos a nuestro alrededor se relaciona de una forma u otra con la geometría, nada escapa a su atenta mirada. La geometría ayuda a una persona a caminar por el mundo con los ojos bien abiertos, le enseña a mirar atentamente a su alrededor y a ver la belleza de las cosas ordinarias, a mirar y pensar, a pensar y sacar conclusiones. “Un matemático, al igual que un artista o un poeta, crea patrones. Y si sus patrones son más estables es sólo porque están compuestos de ideas... Los patrones de un matemático, al igual que los patrones de un artista o un poeta, deben ser hermosos; una idea, al igual que los colores o las palabras, deben estar en armonía entre sí. La belleza es el primer requisito: no hay lugar en el mundo para las matemáticas feas”. Relevancia del tema elegido En las lecciones de geometría de este año aprendimos las definiciones, características y propiedades de varios polígonos. Muchos objetos que nos rodean tienen una forma similar a las formas geométricas que ya conocemos. La superficie de un ladrillo o de un trozo de jabón consta de seis lados. Habitaciones, armarios, cajones, mesas, bloques de hormigón armado se asemejan en su forma a un paralelepípedo rectangular, cuyos bordes son cuadrángulos familiares. Los polígonos sin duda tienen belleza y se utilizan mucho en nuestras vidas. Los polígonos son importantes para nosotros, sin ellos no podríamos construir edificios, esculturas, frescos, gráficos y mucho más tan hermosos. Las matemáticas poseen no sólo la verdad, sino también la más alta belleza: aguda y estricta, sublimemente pura y que aspira a la verdadera perfección, que es característica sólo de los más grandes ejemplos del arte. Me interesé en el tema "Polígonos" después de una lección, un juego en el que el maestro nos presentó una tarea: un cuento de hadas sobre cómo elegir un rey. Todos los polígonos se reunieron en un claro del bosque y comenzaron a discutir el tema de elegir a su rey. Discutieron durante mucho tiempo y no pudieron llegar a una opinión común. Y entonces un viejo paralelogramo dijo: “Vayamos todos al reino de los polígonos. Quien llegue primero será el rey”. Temprano en la mañana todos emprendieron un largo viaje. En el camino, los viajeros se encontraron con un río que decía: "Sólo aquellos cuyas diagonales se cruzan y se dividen por la mitad por el punto de intersección nadarán a través de mí. Algunas de las figuras se quedaron en la orilla, el resto nadó con seguridad y siguió adelante". . En el camino se encontraron con una montaña alta, que decía que solo permitiría pasar a aquellos con diagonales iguales. Varios viajeros permanecieron cerca de la montaña, el resto continuó su camino. Llegamos a un gran acantilado donde había un puente estrecho. El puente dijo que permitiría el paso a aquellos cuyas diagonales se cruzan en ángulo recto. Sólo un polígono cruzó el puente, quien fue el primero en llegar al reino y fue proclamado rey. Entonces eligieron al rey. También elegí un tema para mi trabajo de investigación. Objeto del trabajo de investigación: Aplicación práctica de los polígonos en el mundo que nos rodea. Objetivos: 1. Realizar una revisión de la literatura sobre el tema. 2. Mostrar la aplicación práctica de los polígonos regulares en el mundo que nos rodea. Pregunta problemática: ¿Qué lugar ocupan los polígonos en nuestras vidas? Métodos de investigación: Recolección y estructuración del material recolectado en diversas etapas de la investigación. Realización de dibujos y dibujos; fotografías. Aplicación práctica prevista: Posibilidad de aplicar los conocimientos adquiridos en la vida cotidiana, al estudiar temas de otras materias. Conocimiento y procesamiento de materiales literarios, datos de Internet, encuentro con vecinos del pueblo. Etapas del trabajo de investigación: · selección de un tema de investigación de interés, · discusión del plan de investigación y resultados intermedios, · trabajo con diversas fuentes de información; · consultas intermedias con el profesor, · oratoria con presentación del material de presentación. Equipo utilizado: Cámara digital, equipo multimedia. Hipótesis: Los polígonos crean belleza en el entorno humano. Tema de estudio: Propiedades de los polígonos en la vida cotidiana, la vida, la naturaleza. Nota: Todo el trabajo completado contiene no solo material informativo, sino también científico. Cada sección cuenta con una presentación por computadora que ilustra cada área de investigación. Base experimental. La finalización exitosa del trabajo de investigación fue facilitada por una lección en el círculo "Geometría que nos rodea" y lecciones de geometría, geografía y física. Breve reseña literaria: Aprendimos sobre polígonos en las lecciones de geometría. Además, aprendimos del libro de Ya.I. Perelman "Entertaining Geometry", la revista "Mathematics at School", el periódico "Mathematics", el diccionario enciclopédico de un joven matemático editado por B.V. Gnedenko. Algunos datos fueron tomados de la revista “Lee, Aprende, Juega”. Mucha información se obtiene de Internet. Contribución personal: Para conectar las propiedades de los polígonos con la vida, comenzamos a hablar con estudiantes y profesores cuyos abuelos u otros familiares se dedicaban a tallar, bordar, tejer, hacer patchwork, etc. Recibimos información valiosa de ellos. Contenidos del trabajo de investigación: Polígonos Decidimos estudiar las formas geométricas que se encuentran a nuestro alrededor. Interesados ​​por el problema, elaboramos un plan de trabajo. Decidimos estudiar: el uso de polígonos en actividades humanas prácticas. Para responder a las preguntas planteadas, tuvimos que: pensar por nuestra cuenta, preguntarle a otra persona, consultar libros, realizar observaciones. Buscamos respuestas a preguntas en libros. - ¿Qué polígonos hemos estudiado? Realizamos una observación para responder la pregunta. - ¿Dónde puedo ver esto? La lección se llevó a cabo. actividad extracurricular en matemáticas “Desfile de Cuadriláteros”, donde aprendieron sobre las propiedades de los cuadriláteros. Geometría en arquitectura. La arquitectura moderna utiliza audazmente una variedad de formas geométricas. Muchos edificios residenciales están decorados con columnas. Se pueden ver figuras geométricas de diversas formas en la construcción de catedrales y diseños de puentes. Geometría en la naturaleza. Hay muchas formas geométricas maravillosas en la naturaleza misma. Los polígonos creados por la naturaleza son increíblemente hermosos y diversos. I. Polígonos regulares La geometría es una ciencia antigua y los primeros cálculos se hicieron hace más de mil años. Los antiguos hacían adornos de triángulos, rombos y círculos en las paredes de las cuevas. Desde la antigüedad, los polígonos regulares han sido considerados un símbolo de belleza y perfección. Con el tiempo, el hombre aprendió a utilizar las propiedades de las figuras en la vida práctica. Geometría en la vida cotidiana. Las paredes, el suelo y el techo son rectángulos. Muchas cosas se parecen a un cuadrado, un rombo, un trapezoide. De todos los polígonos con un número determinado de lados, el más agradable a la vista es el polígono regular, en el que todos los lados son iguales y todos los ángulos son iguales. Uno de estos polígonos es un cuadrado, o dicho de otra manera, un cuadrado es un cuadrilátero regular. Un cuadrado se puede definir de varias maneras: un cuadrado es un rectángulo en el que todos los lados son iguales y un cuadrado es un rombo en el que todos los ángulos son rectos. Del curso de geometría de la escuela sabemos: un cuadrado tiene todos los lados iguales, todos los ángulos son rectos, las diagonales son iguales, mutuamente perpendiculares, el punto de intersección está dividido por la mitad y los ángulos del cuadrado están divididos por la mitad. Un cuadrado tiene una fila. propiedades interesantes . Entonces, por ejemplo, si necesita encerrar un área cuadrangular del área más grande con una cerca de una longitud determinada, entonces debe elegir esta área en forma de cuadrado. El cuadrado tiene simetría, lo que le confiere sencillez y cierta perfección de forma: el cuadrado sirve como patrón para medir las áreas de todas las figuras. En el libro “The Amazing Square” de B.A. Kordemsky y N.V. Rusalev presenta en detalle las pruebas de algunas propiedades de un cuadrado, da un ejemplo de “cuadrado perfecto” y una solución a un problema de corte de un cuadrado del matemático árabe del siglo X Abul Vefa. El libro de I. Lehman "Matemáticas fascinantes" contiene varias docenas de problemas, incluidos algunos que tienen miles de años. Para una comprensión completa de la construcción doblando una hoja de papel cuadrada, utilicé el libro de I.N. Sergeev “Aplicar las matemáticas”. Aquí puede enumerar una serie de acertijos de cuadrados: cuadrados mágicos, tangrams, pentominós, tetrominós, poliominós, estómagoiones y origami. Quiero hablar de algunos de ellos. 1. Cuadrados mágicos Sagrados, mágicos, misteriosos, misteriosos, perfectos... Tan pronto como fueron llamados. "No conozco nada más hermoso en aritmética que estos números, llamados por unos planetarios y por otros mágicos", escribió sobre ellos el famoso matemático francés, uno de los creadores de la teoría de números, Pierre de Fermat. Atractivos con belleza natural, llenos de armonía interior, accesibles, pero aún incomprensibles, que esconden muchos secretos detrás de su aparente sencillez... Conozca los cuadrados mágicos, asombrosos representantes del mundo imaginario de los números. Los cuadrados mágicos se originaron en la antigüedad en China. Probablemente el "más antiguo" de los cuadrados mágicos que nos han llegado sea la mesa Lo Shu (c. 2200 a. C.). Tiene un tamaño de 3x3 y está lleno de números naturales del 1 al 9. 2. Tangram Tangram es un juego mundialmente famoso basado en antiguos rompecabezas chinos. Según la leyenda, hace 4 mil años, una baldosa de cerámica se cayó de las manos de un hombre y se rompió en 7 pedazos. Emocionado, intentó recogerlo con su bastón. Pero de las partes recién compuestas recibía cada vez nuevas imágenes interesantes. Esta actividad pronto resultó tan apasionante y desconcertante que el cuadrado formado por siete formas geométricas recibió el nombre de Tablero de la Sabiduría. Si cortas un cuadrado, obtienes el popular rompecabezas chino TANGRAM, que en China se llama “chi tao tu”, es decir. Rompecabezas mental de siete piezas. El nombre "tangram" se originó en Europa probablemente a partir de la palabra "tan", que significa "chino" y la raíz "gramo". En nuestro país ahora es común con el nombre de “Pitágoras”. 3. Polígonos estelares Además de los polígonos regulares habituales, también existen polígonos estelares. El término "estrellada" tiene una raíz común con la palabra "estrella", y esto no indica su origen. El pentágono estrella se llama pentagrama. Los pitagóricos eligieron una estrella de cinco puntas como talismán; se consideraba símbolo de salud y servía como marca de identificación. Existe la leyenda de que uno de los pitagóricos estaba enfermo en casa de extraños. Intentaron sacarlo, pero la enfermedad no remitió. Al no tener medios para pagar el tratamiento y la atención, antes de su muerte el paciente pidió al dueño de la casa que dibujara una estrella de cinco puntas en la entrada, explicando que con este letrero habría personas que lo recompensarían. Y de hecho, después de un tiempo, uno de los pitagóricos viajeros notó una estrella y comenzó a preguntar al dueño de la casa cómo aparecía en la entrada. Después del relato del dueño, el huésped lo recompensó generosamente. El pentagrama era muy conocido en el Antiguo Egipto. Pero sólo fue adoptado directamente como emblema de la salud en la Antigua Grecia. Fue la estrella de mar de cinco puntas la que nos “sugirió” la proporción áurea. Esta proporción se denominó más tarde “proporción áurea”. Donde está presente, se siente la belleza y la armonía. Un hombre bien formado, una estatua, el magnífico Partenón creado en Atenas también están sujetos a las leyes de la proporción áurea. Sí, toda vida humana necesita ritmo y armonía. 4. Poliedros estrellados Un poliedro estrellado es un cuerpo geométrico deliciosamente hermoso, cuya contemplación produce placer estético. Muchas formas de poliedros estrellados son sugeridas por la propia naturaleza. Los copos de nieve son poliedros en forma de estrella. Se conocen varios miles varios tipos copos de nieve. Pero Louis Poinsot logró descubrir otros dos poliedros estrellados 200 años después. Por lo tanto, los poliedros estrellados ahora se denominan cuerpos de Kepler-Poinsot. Con la ayuda de poliedros en forma de estrella, formas cósmicas sin precedentes irrumpen en la aburrida arquitectura de nuestras ciudades. El inusual poliedro "Estrella" del Doctor en Ciencias del Arte V. N. Gamayunov inspiró al arquitecto V. A. Somov a crear un proyecto para la Biblioteca Nacional de Damasco. Es conocido el libro del gran Johannes Kepler “La armonía del mundo”, y en su obra “Sobre los copos de nieve hexagonales” escribió: “La construcción de un pentágono es imposible sin la proporción que los matemáticos modernos llaman “divina”. Descubrió los dos primeros poliedros estrellados regulares. Los poliedros en forma de estrella son muy decorativos, lo que les permite ser muy utilizados en la industria joyera en la fabricación de todo tipo de joyas. También se utilizan en arquitectura. Conclusión: Hay alarmantemente pocos poliedros regulares, pero este modesto escuadrón logró adentrarse en las profundidades de diversas ciencias. El poliedro estrella es un cuerpo geométrico de deliciosa belleza, cuya contemplación produce placer estético. Los antiguos veían la belleza en las paredes de las cuevas en patrones de triángulos, rombos y círculos. Desde la antigüedad, los polígonos regulares han sido considerados un símbolo de belleza y perfección. El pentágono en forma de estrella, el pentagrama, se consideraba un símbolo de salud y servía como marca de identificación de los pitagóricos. II. Polígonos en la naturaleza 1. Panales Los polígonos regulares se encuentran en la naturaleza. Un ejemplo es el panal, que es un polígono cubierto de hexágonos regulares. Por supuesto, no estudiaron geometría, pero la naturaleza les dio el talento para construir casas con formas geométricas. En estos hexágonos, las abejas cultivan células a partir de cera. Las abejas depositan miel en ellos y luego los cubren nuevamente con un rectángulo sólido de cera. ¿Por qué las abejas eligieron el hexágono? Para responder a esta pregunta, debes comparar los perímetros de diferentes polígonos que tienen la misma área. Sean dados un triángulo regular, un cuadrado y un hexágono regular. ¿Cuál de estos polígonos tiene el perímetro más pequeño? Sea S el área de cada una de las figuras nombradas, el lado an sea el triángulo regular correspondiente. Para comparar los perímetros anotamos su relación: P3: P4: P6 = 1: 0,877: 0,816 Vemos que de los tres polígonos regulares con la misma área, el hexágono regular tiene el perímetro más pequeño. Por lo tanto, las abejas sabias ahorran cera y tiempo para construir panales. Los secretos matemáticos de las abejas no terminan ahí. Es interesante explorar más a fondo la estructura de los panales de abejas. Las abejas inteligentes llenan el espacio para que no queden huecos, ahorrando un 2% de cera. Cómo no estar de acuerdo con la opinión de la Abeja del cuento de hadas “Las mil y una noches”: “Mi casa fue construida según las leyes de la arquitectura más estricta. El propio Euclides podría aprender de la geometría de mi panal”. Así, con la ayuda de la geometría, abordamos el secreto de las obras maestras matemáticas hechas de cera, asegurándonos una vez más de la efectividad integral de las matemáticas. Entonces, las abejas, sin saber matemáticas, "determinaron" correctamente que un hexágono regular tiene el perímetro más pequeño entre figuras de igual área. En nuestro pueblo vive el apicultor Nikolai Mikhailovich Kuznetsov. Ha estado involucrado con las abejas desde la primera infancia. Explicó que cuando construyen panales, las abejas instintivamente intentan hacerlos lo más grandes posible, utilizando la menor cantidad de cera posible. La forma hexagonal es la forma más económica y eficiente para la construcción alveolar. El volumen celular es de aproximadamente 0,28 cm3. Al construir panales, las abejas utilizan el campo magnético terrestre como guía. Las células de los panales son zánganos, miel y crías. Se diferencian en tamaño y profundidad. Cariño, más profundo, zumbido, más ancho. 2. Copo de nieve. Un copo de nieve es una de las criaturas más bellas de la naturaleza. La simetría hexagonal natural surge de las propiedades de la molécula de agua, que tiene una red cristalina hexagonal unida por enlaces de hidrógeno, lo que le permite tener una forma estructural con una energía potencial mínima en la atmósfera fría. La belleza y variedad de las formas geométricas de los copos de nieve todavía se considera un fenómeno natural único. A los matemáticos les llamó especialmente la atención el “pequeño punto blanco” que se encuentra en el centro del copo de nieve, como si fuera la huella de la pata de un compás con la que se delineaba su circunferencia”. El gran astrónomo Johannes Kepler en su tratado "El regalo de Año Nuevo sobre los copos de nieve hexagonales" explicó la forma de los cristales por voluntad de Dios. El científico japonés Nakaya Ukichiro llamó a la nieve "una carta del cielo, escrita en jeroglíficos secretos". Fue el primero en crear una clasificación de los copos de nieve. El único museo de copos de nieve del mundo, ubicado en la isla de Hokkaido, lleva el nombre de Nakai. Entonces, ¿por qué los copos de nieve son hexagonales? Química: En la estructura cristalina del hielo, cada molécula de agua participa en 4 enlaces de hidrógeno dirigidos a los vértices del tetraedro en ángulos estrictamente definidos iguales a 109°28" (mientras que en las estructuras del hielo I, Ic, VII y VIII este tetraedro es regular ). En el centro de este tetraedro hay un átomo de oxígeno, en dos vértices hay un átomo de hidrógeno, cuyos electrones participan en la formación de un enlace covalente con el oxígeno. Los dos vértices restantes están ocupados por pares de electrones de valencia del oxígeno, que no participan en la formación de enlaces intramoleculares. Ahora queda claro por qué el cristal de hielo es hexagonal. La característica principal que determina la forma de un cristal es la conexión entre las moléculas de agua, similar a la conexión de los eslabones de una cadena. Además, debido a las diferentes proporciones de calor y humedad, los cristales, que en principio deberían ser iguales, adoptan formas diferentes. Al chocar con pequeñas gotas sobreenfriadas en su camino, el copo de nieve simplifica su forma manteniendo la simetría. Geometría: El principio formativo eligió un hexágono regular no por necesidad determinada por las propiedades de la materia y el espacio, sino sólo por su propiedad inherente de cubrir el plano completamente, sin un solo espacio, y por ser el más cercano a un círculo de todos los figuras que tienen la misma propiedad. Profesora de física - L.N. Sofronova A temperaturas inferiores a 0°C, el vapor de agua se vuelve inmediatamente sólido y se forman cristales de hielo en lugar de gotas. El cristal de agua principal tiene la forma de un hexágono regular en el plano. Luego se depositan nuevos cristales en los vértices de dicho hexágono, se depositan nuevos cristales sobre ellos y así se obtienen las diversas formas de estrellas, los copos de nieve, que nos son familiares. Profesora de matemáticas – Nikolaeva I.M. De todas las figuras geométricas regulares, sólo los triángulos, los cuadrados y los hexágonos pueden llenar un plano sin dejar vacíos, siendo el hexágono regular el que cubre el área más grande. En invierno tenemos mucha nieve. Por eso la naturaleza eligió copos de nieve hexagonales para ocupar menos espacio. Profesora de química – Maslova N.G. La forma hexagonal de los copos de nieve se explica por la estructura molecular del agua, pero aún no se ha respondido a la pregunta de por qué los copos de nieve son planos. La belleza de los copos de nieve la expresa E. Yevtushenko en su poema. Desde los copos de nieve hasta el hielo, se recostó en el suelo y en los tejados, bañando a todos con su blancura. Y él era realmente magnífico, y era realmente hermoso... III. Los polígonos que nos rodean “El arte del ornamento contiene de forma implícita la parte más antigua de las matemáticas superiores que conocemos” Herman Weyl. 1. Los lagartos de parquet, representados por el artista holandés M. Escher, forman, como dicen los matemáticos, un “parquet”. Cada lagarto se adapta perfectamente a sus vecinos sin el menor hueco, como un suelo de parquet. Una división regular del plano, llamada "mosaico", es un conjunto de figuras cerradas que se pueden utilizar para revestir el plano sin intersecciones de las figuras ni espacios entre ellas. Normalmente, los matemáticos utilizan polígonos simples, como cuadrados, triángulos, hexágonos, octágonos o combinaciones de estas figuras, como formas para hacer mosaicos. Los hermosos suelos de parquet están hechos de polígonos regulares: triángulos, cuadrados, pentágonos, hexágonos, octágonos. Por ejemplo, los círculos no pueden formar parquet. El suelo de parquet siempre ha sido considerado un símbolo de prestigio y buen gusto. El uso de maderas valiosas para la producción de parquet de lujo y el uso de varios patrones geométricos confieren a la habitación sofisticación y respetabilidad. La historia del parquet artístico es muy antigua: se remonta aproximadamente al siglo XII. Fue entonces cuando comenzaron a aparecer nuevas tendencias en ese momento en mansiones, palacios, castillos y propiedades familiares nobles y nobles: monogramas e insignias heráldicas en el piso de pasillos, pasillos y vestíbulos, como signo de afiliación especial con los poderes fácticos. . El primer parquet artístico se dispuso de forma bastante primitiva, desde un punto de vista moderno, a partir de piezas de madera ordinarias que combinaban en color. Hoy en día, está disponible la formación de adornos complejos y combinaciones de mosaicos. Esto se consigue gracias al corte mecánico y láser de alta precisión. A principios del siglo XIX, en lugar de las líneas sofisticadas del diseño del parquet, aparecieron líneas simples, contornos limpios y formas geométricas regulares, y en la estructura compositiva apareció una estricta simetría. Todas las aspiraciones en el arte decorativo tienen como objetivo mostrar el heroísmo y el significado único de la antigüedad clásica. El parquet adquirió un carácter geométrico severo: ahora fichas sólidas, ahora círculos, ahora cuadrados o polígonos con su división en franjas estrechas en diferentes direcciones. En los periódicos de la época se podían encontrar anuncios en los que se proponía elegir parquet exactamente de este diseño. Un parquet característico de los clásicos rusos del siglo XIX es el parquet diseñado por el arquitecto Voronikhin en la casa Stroganov en Nevsky Prospekt. Todo el parquet consta de grandes escudos con cuadrados colocados oblicuamente repetidos con precisión, en cuyo punto de mira se encuentran modestamente rosetas de cuatro pétalos, ligeramente trazadas con grafemas. Los parquets más típicos principios del XIX siglo son los suelos de parquet del arquitecto C. Rossi. Casi todos los dibujos que contienen se distinguen por un gran laconismo, repetición, geometrismo y clara división con lamas rectas u oblicuas que unían todo el suelo de parquet del apartamento. El arquitecto Stasov eligió suelos de parquet que consistían en formas simples de cuadrados y polígonos. En todos los proyectos de Stasov se puede sentir el mismo rigor que en el de Rossi, pero la necesidad de llevar a cabo los trabajos de restauración, que le correspondieron tras el incendio del palacio, lo hace más versátil y amplio. Al igual que el de Rossi, el parquet de Stasov en el Salón Azul del Palacio de Catalina se construyó a partir de simples cuadrados unidos por listones horizontales, verticales o diagonales, formando grandes celdas que dividen cada cuadrado en dos triángulos. El geométrico también se observa en los suelos de parquet de la biblioteca de María Feodorovna, donde sólo la variedad de colores del parquet (palo de rosa, amaranto, caoba, palo de rosa, etc.) aporta algo de animación. El color predominante del parquet es el caoba, en el que los lados de los rectángulos y cuadrados están dados por madera de peral, enmarcada por una fina capa de ébano, que confiere aún mayor claridad y linealidad a todo el patrón. El arce se presenta abundantemente en todo el parquet en forma de cintas, hojas de roble, rosetas e ionitas. Todos estos suelos de parquet no tienen un patrón central principal; todos consisten en motivos geométricos repetidos. Un parquet similar se conservó en antigua casa Yusupov en San Petersburgo. Los arquitectos Stasov y Bryullov restauraron los apartamentos. Palacio de Invierno después del incendio de 1837. Stasov creó los parquets del Palacio de Invierno en el estilo solemne, monumental y oficial de los clásicos rusos de los años 30 del siglo XIX. Los colores del parquet también fueron elegidos exclusivamente clásicos. Al elegir el parquet, cuando no era necesario combinarlo con el patrón del techo, Stasov se mantuvo fiel a sus principios compositivos. Por ejemplo, el parquet de la galería de 1812 se distingue por su majestuosidad seca y solemne, que se logró mediante la repetición de formas geométricas simples enmarcadas por un friso. 2. Teselados Los teselados, también conocidos como mosaicos, son colecciones de formas que cubren todo el plano matemático, encajando sin superposiciones ni espacios. Los teselados regulares consisten en figuras en forma de polígonos regulares, cuando se combinan, todas las esquinas tienen la misma forma. Sólo hay tres polígonos adecuados para su uso en teselados regulares. Se trata de un triángulo regular, un cuadrado y un hexágono regular. Los teselados semirregulares son aquellos en los que se utilizan polígonos regulares de dos o tres tipos y todos los vértices son iguales. Sólo hay 8 teselados semirregulares. En conjunto, los tres teselados regulares y los ocho semirregulares se denominan Arquímedes. La teselación, en la que los azulejos individuales son figuras reconocibles, es uno de los temas principales de la obra de Escher. Sus cuadernos contienen más de 130 variaciones de teselados. Los utilizó en una gran cantidad de sus pinturas, entre ellas "Día y noche" (1938), la serie de pinturas "El límite del círculo" I-IV y las famosas "Metamorfosis" I-III (1937-1968). . Los siguientes ejemplos son pinturas de autores contemporáneos Hollister David y Robert Fathauer. 3. Patchwork de polígonos Si se pueden hacer rayas, cuadrados y triángulos sin una preparación especial y sin habilidades usando una máquina de coser, entonces los polígonos requerirán mucha paciencia y habilidad de nuestra parte. Muchos quilters prefieren ensamblar polígonos a mano. La vida de cada persona es una especie de lienzo de mosaico, donde momentos brillantes y mágicos se alternan con días grises y oscuros. Hay una parábola sobre el mosaico. “Una mujer se acercó al sabio y le dijo: “Maestro, lo tengo todo: un marido, hijos y una casa, una taza llena, pero comencé a pensar: ¿por qué todo esto y mi vida se vino abajo, no todo es así? ¡alegría!" El sabio la escuchó, pensó en ello y le aconsejó que intentara recomponer su vida. La mujer dejó al sabio en duda, pero lo intentó. Tomó aguja e hilo y cosió un trozo de sus dudas en un trozo de cielo azul que vio en la ventana de su habitación. Su nieto se rió y ella cosió un trozo de risa en su lienzo. Y así fue. El pájaro canta y se añade otra pieza; te ofenderán hasta las lágrimas, otra más. La tela patchwork se utilizó para confeccionar mantas, almohadas, servilletas y bolsos. Y todas las personas a las que acudieron sintieron cómo pedazos de calidez se asentaban en sus almas, y nunca más se sintieron solos, y la vida nunca les pareció vacía e inútil. Cada artesana, por así decirlo, crea el lienzo de su vida”. Esto se puede ver en las obras de Larisa Nikolaevna Gorshkova. Trabaja con pasión creando edredones de patchwork, colchas, alfombras, inspirándose en cada una de sus obras. 4. Adornos, bordados y tejidos. 1). El ornamento El ornamento es uno de los tipos más antiguos de actividad visual humana, que en el pasado lejano tenía un significado mágico simbólico, un cierto simbolismo. El diseño era casi exclusivamente geométrico y constaba de formas estrictas de círculo, semicírculo, espiral, cuadrado, rombo, triángulo y sus diversas combinaciones. El hombre antiguo dotó a sus ideas sobre la estructura del mundo de ciertos signos. Con todo ello, el ornamentista dispone de un amplio margen a la hora de elegir los motivos de su composición. Se los suministran en abundancia dos fuentes: la geometría y la naturaleza. Por ejemplo, un círculo es el sol, un cuadrado es la tierra. 2). El bordado El bordado es uno de los principales tipos del arte ornamental popular de Chuvash. El bordado moderno de Chuvash, su ornamentación, técnica y combinación de colores están genéticamente relacionados con la cultura artística del pueblo de Chuvash en el pasado. El arte del bordado tiene una larga historia. De generación en generación, se refinaron y mejoraron los patrones y combinaciones de colores, y se crearon muestras de bordado con rasgos nacionales característicos. El bordado de los pueblos de nuestro país se distingue por una gran originalidad, una gran riqueza de técnicas y combinaciones de colores. Cada nación, dependiendo de las condiciones locales, las peculiaridades de la vida, las costumbres y la naturaleza, creó sus propias técnicas de bordado, motivos de patrones y su estructura compositiva. En el bordado ruso, por ejemplo, los patrones geométricos y las formas geométricas de plantas y animales desempeñan un papel importante: rombos, motivos. figura femenina , pájaros y un leopardo con la pata levantada. El sol estaba representado en forma de diamante, un pájaro simbolizaba la llegada de la primavera, etc. De gran interés son los bordados de los pueblos de la región del Volga: Mari, Mordovia y Chuvash. Los bordados de estos pueblos tienen muchos rasgos comunes. Las diferencias radican en los motivos de los patrones y su ejecución técnica. Patrones de bordado compuestos de formas geométricas y motivos muy geométricos. El bordado antiguo de Chuvash es extremadamente diverso. Se utilizaron varios tipos en la confección de prendas de vestir, en particular camisas de lona. La camisa estaba ricamente decorada con bordados en el pecho, el dobladillo, las mangas y la espalda. Por lo tanto, creo que el bordado nacional de Chuvash debería comenzar con la descripción de la camisa de mujer como la más colorida y ricamente decorada con adornos. En los hombros y mangas de este tipo de camisas hay bordados de motivos geométricos, estilizados de plantas y en ocasiones de animales. El bordado de hombros es de naturaleza diferente al bordado de mangas y es como una continuación del bordado de hombros. En una de las camisas viejas, el bordado junto con rayas trenzadas, que desciende desde los hombros, desciende y termina en el pecho en un ángulo agudo. Las rayas están dispuestas en forma de rombos, triángulos y cuadrados. En el interior de estas figuras geométricas hay pequeños bordados de malla, y a lo largo del borde exterior están bordadas grandes figuras en forma de gancho y de estrella. Estos bordados se conservaron en la casa de los Nikolaev. Los bordó Denisova Praskovya Petrovna, mi pariente. Otro tipo de costura femenina es el crochet. Desde la antigüedad, las mujeres han tejido mucho e incansablemente. Este tipo de costura no es menos fascinante que el bordado. Aquí está una de las obras de Tamara Fedorovna. Ella compartió con nosotros sus recuerdos de cómo a todas las niñas del pueblo se les enseñaba a hacer punto de cruz sobre lienzo y punto de satén, y a tejer. Por la cantidad de puntos tejidos, por las cosas decoradas con bordados y encajes, la niña era juzgada como novia y futura ama de casa. Los patrones de costura eran diferentes, se transmitían de generación en generación y fueron inventados por las propias artesanas. En el adorno cosido se repiten motivos florales, formas geométricas, columnas densas, rejas cubiertas y descubiertas. A los 89 años, Tamara Fedorovna se dedica al crochet. Aquí están sus artesanías. Teje para niños, familiares y vecinos. Incluso recibe órdenes. Conclusión: Conociendo los polígonos y sus tipos, podrás crear decoraciones muy bonitas. Y toda esta belleza nos rodea. La gente ha tenido la necesidad de decorar artículos del hogar durante mucho tiempo. 5. Talla geométrica Sucede que Rusia es un país de bosques. Y un material tan fértil como la madera siempre estuvo a mano. Con la ayuda de un hacha, un cuchillo y algunas otras herramientas auxiliares, una persona se abastecía de todo lo necesario para: la vida: erigió viviendas y dependencias, puentes y molinos de viento, murallas y torres de fortalezas, iglesias, fabricó máquinas y herramientas, barcos y botes, trineos y carros, muebles, platos, juguetes para niños y mucho más. En las vacaciones y en las horas de ocio, divertía su alma con sus divertidas melodías interpretadas con instrumentos musicales de madera: balalaikas, flautas, violines y silbatos. Y el ruidoso cuerno de madera era el compañero indispensable del pastor del pueblo. Con el canto del cuerno comenzaba la vida laboral del pueblo ruso. Incluso las cerraduras de puertas ingeniosas y fiables se fabricaban con madera. Uno de estos castillos se conserva en el Museo Estatal de Historia de Moscú. Fue hecho por un maestro carpintero en el siglo XVIII y decorado con mucho cariño con tallas con muescas triangulares. (Este es uno de los nombres de las tallas geométricas). Las tallas geométricas son uno de los tipos más antiguos de tallas en madera, en las que las figuras representadas tienen formas geométricas en varias combinaciones. La talla geométrica consta de una serie de elementos que forman diversas composiciones ornamentales. Cuadrados, triángulos, trapecios, rombos y rectángulos son un arsenal de elementos geométricos que permiten crear composiciones originales con un rico juego de luces y sombras. Pude ver esta belleza desde la infancia. Mi abuelo, Mikhail Yakovlevich Yakovlev, trabajó como profesor de tecnología en la escuela Kovalinsky. Según mi madre, daba clases de tallado. Esto lo hice yo mismo. Las hijas de Mikhail Yakovlevich han conservado sus obras. La caja es un regalo para la nieta mayor en su cumpleaños número 16. Una caja para jugar al "Backgammon" - para el nieto mayor. Hay mesas, espejos, marcos de fotos. El maestro intentó añadir un toque de belleza a cada producto. En primer lugar se prestó gran atención a la forma y las proporciones. Para cada producto se seleccionó la madera teniendo en cuenta sus propiedades físicas y mecánicas. Si la hermosa textura de la madera podía decorar los productos, entonces intentaron identificarla y enfatizarla. IV. Ejemplos de la vida Me gustaría dar algunos ejemplos más de cómo aplicar el conocimiento sobre polígonos en nuestras vidas. 1/Al realizar entrenamientos: Los polígonos los atraen personas bastante exigentes consigo mismas y con los demás, que logran el éxito en la vida no sólo gracias al patrocinio, sino también a sus propias fuerzas. Cuando los polígonos tienen cinco, seis o más ángulos y están conectados con decoraciones, entonces podemos decir que fueron dibujados por una persona emocional que a veces toma decisiones intuitivas. 2/Significados de la adivinación del café: Si no hay un cuadrilátero, es un mal augurio, que advierte de problemas inminentes. Un cuadrilátero regular es la mejor señal. Su vida transcurrirá felizmente, estará financieramente seguro y obtendrá ganancias. Resume tu trabajo en la hoja de control y date una nota final. El cuadrilátero es el espacio en la palma entre la línea de la cabeza y la línea del corazón. También se le llama mesa de mano. Si el centro del cuadrilátero es ancho en el lado del pulgar y aún más ancho en el lado de la palma, esto indica muy buena organización y composición, veracidad, fidelidad y una vida generalmente feliz. 3/ Quiromancia - adivinación a mano La figura del cuadrilátero (también tiene otro nombre: "mesa de mano") se coloca entre las líneas del corazón, la mente, el destino y Mercurio (hígado). En caso de expresión débil o ausencia total de este último, su función la realiza la línea Apolo. Un cuadrilátero de tamaño grande, de forma regular, con límites claros y que se extiende hacia el Monte de Júpiter indica buena salud y buen carácter. Estas personas están dispuestas a sacrificarse por el bien de los demás, son abiertas, sin hipocresía y por eso son respetadas por los demás. Si el cuadrilátero es amplio, la vida de una persona estará llena de diversos acontecimientos alegres y tendrá muchos amigos. El tamaño demasiado modesto del cuadrilátero o la curvatura de los lados indica claramente que quien lo tiene es infantil, indeciso, egoísta y su sensualidad está poco desarrollada. La abundancia de pequeñas líneas dentro del cuadrilátero es evidencia de las limitaciones de la mente. Si dentro de la figura se ve una cruz en forma de “x”, esto indica el carácter excéntrico de la persona examinada y es una mala señal. Una cruz que tiene la forma correcta indica que está inclinado a interesarse por el misticismo. 1. El asombroso polígono Además de la teoría del qi, los principios del yin y el yang y el Tao, existe otro concepto fundamental en las enseñanzas del feng shui: el “octógono sagrado”, llamado ba gua. Traducido del chino, esta palabra significa "cuerpo de dragón". Guiado por los principios de Ba Gua, puede planificar el mobiliario de la habitación para que cree una atmósfera que promueva el máximo confort espiritual y bienestar material. En la antigua China, se creía que el octágono era un símbolo de prosperidad y felicidad. Características de los sectores ba-gua. Carrera - Norte El color del sector es negro. El elemento que favorece la armonización es el Agua. El sector está directamente relacionado con nuestro tipo de actividad, lugar de trabajo, realización del potencial laboral, profesionalismo y ganancias. El éxito o el fracaso en este sentido depende directamente de la prosperidad en el ámbito de este sector. Conocimiento: color del sector noreste: azul. El elemento es la Tierra, pero tiene un efecto bastante débil. El sector está asociado con la mente, la capacidad de pensar, la espiritualidad, el deseo de superación personal, la capacidad de asimilar la información recibida, la memoria y la experiencia de vida. Familia – Color del Sector Este – verde. El elemento que favorece la armonización es la Madera. La dirección está asociada a la familia en el sentido más amplio de la palabra. Esto se refiere no sólo a su hogar, sino también a todos los parientes, incluidos los lejanos. Riqueza - sureste Color del sector - violeta. El elemento – Madera – tiene un efecto débil. La dirección está asociada a nuestra situación financiera; simboliza bienestar y prosperidad, riqueza material y abundancia en absolutamente todos los ámbitos. Gloria - sur Color - rojo. El elemento que activa esta esfera es el Fuego. Este sector simboliza tu fama y reputación, la opinión de tus seres queridos y conocidos sobre ti. Matrimonio - color del sector suroeste - rosa. Elemento – Tierra. El sector está asociado con tu ser querido y simboliza tu relación con él. Si no existe tal persona en tu vida en este momento, este sector representa un vacío esperando ser llenado. El estado de la dirección le dirá cuáles son sus posibilidades de realizar rápidamente su potencial en el campo de las relaciones personales. Infantil - Oeste El color del sector es blanco. Elemento – ​​Metal, pero tiene un efecto débil. Simboliza tu capacidad de reproducirte en cualquier ámbito, tanto físico como espiritual. Podemos hablar de niños, de la autoexpresión creativa, de la implementación de diversos planes, cuyo resultado le agradará a usted y a los demás y servirá a su tarjeta de visita en el futuro. Entre otras cosas, el sector está asociado con su capacidad para comunicarse y refleja su capacidad para atraer gente hacia usted. Personas serviciales – color del sector noroeste – gris. Elemento – Metal. La dirección simboliza personas en las que puede confiar en situaciones difíciles; muestra la presencia en su vida de aquellos que pueden acudir al rescate, brindarle apoyo y resultarle útiles en un área u otra. Además, el sector está asociado a los viajes y a la mitad masculina de la familia. Centro de salud El color del sector es amarillo. No tiene un elemento específico, está conectado con todos los elementos en su conjunto y de cada uno toma la parte necesaria de energía. El área simboliza su salud mental y espiritual, conexión y armonía en todos los aspectos de la vida. 2. Pi y polígonos regulares. El 14 de marzo de este año se celebrará por vigésima vez el Día del Pi, una fiesta informal de los matemáticos dedicada a este extraño y misterioso número. El "padre" de la festividad fue Larry Shaw, quien llamó la atención sobre el hecho de que este día (3,14 en el sistema de fechas estadounidense) cae, entre otras cosas, en el cumpleaños de Einstein. Y, quizás, este sea el momento más apropiado para recordar a quienes están alejados de las matemáticas las maravillosas y extrañas propiedades de esta constante matemática. El interés por el valor del número π, que expresa la relación entre la circunferencia y el diámetro, apareció en la antigüedad. La conocida fórmula para la circunferencia L = 2 π R es también la definición del número π. En la antigüedad se creía que π = 3. Esto se menciona, por ejemplo, en la Biblia. En la época helenística se creía así, y este significado fue utilizado tanto por Leonardo da Vinci como por Galileo Galilei. Sin embargo, ambas aproximaciones son muy aproximadas. Un dibujo geométrico que representa un círculo circunscrito alrededor de un hexágono regular e inscrito en un cuadrado proporciona inmediatamente las estimaciones más simples para π: 3< π < 4. Использование буквы π для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια Вывод: Мы ответили на вопрос: «Зачем изучать математику?» Затем, что в глубине души у каждого из нас живет тайная надежда познать себя, свой внутренний мир, совершенствовать себя. Математика дает такую возможность - через творчество, через целостное представление о мире. Восьмиугольник – символ достатка и счастья. V. Правильные многоугольники в архитектуре Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. На уроках геометрии мы узнали определения, признаки, свойства различных многоугольников. Прочитав литературу по истории архитектуры, мы пришли к такому выводу, что мир вокруг нас - это мир форм, он очень разнообразен и удивителен. Мы увидели, что здания имеют самую разнообразную форму. Нас окружают предметы быта различного вида. Изучив эту тему, мы действительно увидели, что многоугольники окружают нас повсюду. В России здания очень красивой архитектуры как исторические, так и современные, в каждом из которых можно найти различные виды многоугольников. 1. Архитектура города Москвы и других городов мира. Как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а ещё выше воздвигнута четырехугольная усечённая пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими. собор Василия Блаженного) Выразительный контраст треугольника и прямоугольника на фасаде привлекает внимание посетителей музея Гронингена (Голландия) (рис.9) Круглая, прямоугольная, квадратная – все эти формы прекрасно уживаются в здании Музея современного искусства в Сан-Франциско (США). Здание Центра современного искусства имени Жоржа Помпиду в Париже – сочетание гигантского прозрачного параллелепипеда с ажурной металлической арматурой. 2. Архитектура города Чебоксары Столица Чувашской Республики - город Чебоксары (чув. Шупашкар), расположенный на правом берегу Волги, имеет многовековую историю. В письменных источниках Чебоксары как поселение упоминаются с 1469 года – тогда русские воины остановились здесь на своем пути в Казанское ханство. Этот год принято считать временем основания города, но уже сейчас историки настаивают на пересмотре этой даты - найденные во время последних археологических раскопок материалы указывают, что Чебоксары основаны еще в 13 веке переселенцами из болгарского города Сувар. Город повсеместно славился и своим колокололитным производством – чебоксарские колокола были известны и в России, и в Европе. Развитие торговли, распространение православия и массовое крещение чувашского народа привели и к архитектурному расцвету города – город изобиловал церквями и храмами, в каждом из которых видны различные многоугольники Чебоксары – очень красивый город. В столице Чувашии удивительно переплелась новизна современного мегаполиса и старина, где выражен геометризм.. Выражено это прежде всего в архитектуре города. Причем очень гармоничное переплетение воспринимается как единый ансамбль и лишь дополняет друг друга. 3. Архитектура села Ковали Красоту и геометризм вы можете увидеть и в нашей деревне. Вот школа, которую построили 1924 году, памятник воинам – солдатам. Вывод: Без геометрии не было бы ничего, ведь все здания, которые окружают нас – это геометрические фигуры. Заключение Проведя исследования, мы пришли к выводу, что действительно, зная о многоугольниках и их видах, можно создать очень красивые предметы украшения, построить разнообразные и уникальные здания. И все это красота окружающая нас. Человеческие представления о красивом формируются под влиянием того, что человек видит в живой природе. В различных своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И мы можем сказать, что многоугольники создают красоту в искусстве, архитектуре, природе, в окружении человека. Красота - всюду. Есть она и в науке, и в особенности в её жемчужине – математике. Помните, что наука во главе с математикой откроет перед нами сказочные сокровища красоты. Список использованной литературы. 1.Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. В.В.Фирсова. М., «Мир», 1974 2. Гарднер М. Математические новеллы. Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М., «Мир», 1974. 3. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., Наука, 1966. 4. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. Пер. с польского. М., Наука, 1981. 5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для 5-6 кл. – Смоленск: Русич, 1995. 6. Яковлев И.И., Орлова Ю.Д. Резьба по дереву. М.: Искусство Интернет.

Una persona muestra interés por los poliedros a lo largo de toda su actividad consciente, desde un niño de dos años que juega con bloques de madera hasta un matemático maduro. Algunos de los cuerpos regulares y semirregulares se encuentran en la naturaleza en forma de cristales, otros, en forma de virus, que sólo pueden observarse con la ayuda de un microscopio electrónico. ¿Qué es un poliedro? Para responder a esta pregunta, recordemos que la geometría misma a veces se define como la ciencia del espacio y de las figuras espaciales, bidimensionales y tridimensionales. Una figura bidimensional se puede definir como un conjunto de segmentos rectos que delimitan una parte de un plano. Una figura tan plana se llama polígono. De ello se deduce que un poliedro puede definirse como un conjunto de polígonos que limitan una porción del espacio tridimensional. Los polígonos que forman un poliedro se llaman caras.

Los científicos llevan mucho tiempo interesados ​​en los polígonos “ideales” o regulares, es decir, polígonos con lados y ángulos iguales. El polígono regular más simple puede considerarse un triángulo equilátero, ya que tiene el menor número de lados que pueden limitar parte del plano. El cuadro general de los polígonos regulares que nos interesan, junto con el triángulo equilátero, son: cuadrado (cuatro lados), pentágono (cinco lados), hexágono (seis lados), octágono (ocho lados), decágono (diez lados), etc. Obviamente, teóricamente no hay restricciones en el número de lados de un polígono regular, es decir, el número de polígonos regulares es infinito.

¿Qué es un poliedro regular? Un poliedro regular es un poliedro cuyas caras son todas iguales (o congruentes, como es habitual en matemáticas) entre sí y al mismo tiempo son polígonos regulares. ¿Cuántos poliedros regulares hay? A primera vista, la respuesta a esta pregunta es muy simple: tantos como polígonos regulares hay, es decir, a primera vista parece que es posible crear un poliedro regular, cuyos lados pueden ser cualquier polígono regular. Sin embargo, esto no es cierto. Ya en los Elementos de Euclides quedó estrictamente demostrado que el número de poliedros regulares es muy limitado y que sólo existen cinco poliedros regulares, cuyas caras sólo pueden ser tres tipos de polígonos regulares: triángulos, cuadrados y pentágonos. Estos poliedros regulares se denominan sólidos platónicos. El primero de ellos es el tetraedro. Sus caras son cuatro triángulos equiláteros. El tetraedro tiene el menor número de caras entre los sólidos platónicos y es el análogo tridimensional de un triángulo regular plano, que tiene el menor número de lados entre los polígonos regulares. La palabra "tetraedro" proviene del griego "tetra" - cuatro y "edra" - base. Es una pirámide triangular. El siguiente cuerpo es un hexaedro, también llamado cubo. El hexaedro tiene seis caras, que son cuadrados. Las caras del octaedro son triángulos regulares y su número en el octaedro es ocho. El siguiente mayor número de caras es el dodecaedro. Sus caras son pentágonos y su número en el dodecaedro es doce. El icosaedro cierra los cinco sólidos platónicos. Sus caras son triángulos regulares y su número es veinte.

Mi trabajo examina las definiciones y propiedades básicas de los poliedros convexos. Se ha demostrado la existencia de sólo cinco poliedros regulares. Se consideran en detalle las relaciones para la pirámide n-gonal regular y el tetraedro regular, que se encuentran con mayor frecuencia en problemas de estereometría. La obra contiene una gran cantidad de material analítico e ilustrativo que puede utilizarse en el estudio de determinadas secciones de la estereometría.

Estudios de Platón

Platón creó una teoría muy interesante. Sugirió que los átomos de los cuatro "elementos básicos" (tierra, agua, aire y fuego), a partir de los cuales se construyen todas las cosas, tienen la forma de poliedros regulares: tetraedro - fuego, hexaedro (cubo) - tierra, octaedro - aire. , icosaedro - agua. El quinto poliedro, el dodecaedro, simbolizaba la "Gran Mente" o la "Armonía del Universo". Las partículas de los tres elementos que se transforman fácilmente entre sí, es decir, fuego, aire y agua, resultaron estar compuestas por figuras idénticas: triángulos regulares. Y la Tierra, que se diferencia significativamente de ellos, está formada por partículas de otro tipo: cubos, o más bien cuadrados. Platón explicó muy claramente todas las transformaciones utilizando triángulos. En un caos inquieto, dos partículas de aire se encuentran con una partícula de fuego, es decir, dos octaedros se encuentran con un tetraedro. Dos octaedros tienen un total de dieciséis caras triangulares, mientras que un tetraedro tiene cuatro. En total veinte. De cada veinte, se forma fácilmente un icosaedro, que es una partícula de agua.

La cosmología de Platón se convirtió en la base de la llamada doctrina icosaédrica-dodecaédrica, que desde entonces recorre como un hilo rojo toda la ciencia humana. La esencia de esta doctrina es que el dodecaedro y el icosaedro son formas típicas la naturaleza en todas sus manifestaciones, desde el espacio hasta el microcosmos.

Poliedros regulares

Desde la antigüedad, los poliedros regulares han atraído la atención de científicos, constructores, arquitectos y muchos otros. Quedaron asombrados por la belleza, perfección y armonía de estos poliedros. Los pitagóricos consideraban que estos poliedros eran divinos y los utilizaron en sus escritos filosóficos sobre la esencia del mundo. El último libro, el decimotercero, de los famosos "Elementos" de Euclides está dedicado a los poliedros regulares.

Repitamos que un poliedro convexo se llama regular si sus caras son polígonos regulares iguales y en cada vértice confluyen el mismo número de caras.

El poliedro regular más simple es una pirámide triangular, cuyas caras son triángulos regulares. En cada vértice se encuentran tres caras, este poliedro también se llama tetraedro, que en griego significa "tetraedro".

A veces, un tetraedro también se llama pirámide arbitraria. Por lo tanto, en el caso de que estemos hablando de un poliedro regular, diremos: un tetraedro regular.

Un poliedro cuyas caras son triángulos regulares, y cuatro caras se encuentran en cada vértice, y cuya superficie consta de ocho triángulos regulares se llama octaedro.

Un poliedro, en cada vértice del cual se encuentran cinco triángulos regulares, cuya superficie consta de veinte triángulos regulares, se llama icosaedro.

Tenga en cuenta que dado que más de cinco triángulos regulares no pueden converger en los vértices de un poliedro convexo, no existen otros poliedros regulares cuyas caras sean triángulos regulares.

De manera similar, dado que sólo tres cuadrados pueden converger en los vértices de un poliedro convexo, además del cubo no hay otros poliedros regulares cuyas caras sean cuadrados. Un cubo tiene seis caras y por eso se llama hexaedro.

Un poliedro cuyas caras son pentágonos regulares y en cada vértice se juntan tres caras. Su superficie consta de doce pentágonos regulares, se llama dodecaedro.

Dado que los polígonos regulares con más de cinco lados no pueden converger en los vértices de un poliedro convexo, no hay otros poliedros regulares y, por lo tanto, solo hay cinco poliedros regulares: tetraedro, hexaedro (cubo), octaedro, dodecaedro e icosaedro.

Los nombres de los poliedros regulares proceden de Grecia. Traducido literalmente del griego, "tetraedro", "octaedro", "hexaedro", "dodecaedro", "icosaedro" significa: "tetraedro", "octaedro", "hexaedro". "dodecaedro", "veinteedro". El libro 13 de los Elementos de Euclides está dedicado a estos hermosos cuerpos. También se les llama cuerpos de Platón porque ocupaban un lugar importante en el concepto filosófico de Platón sobre la estructura del universo.

Ahora veamos algunas de las propiedades, lemas y teoremas asociados con estas figuras.

Considere un ángulo poliédrico con vértice S, en el que todos los ángulos planos y diédricos son iguales. Elijamos los puntos A1, A2, An en sus aristas de modo que SA1 = SA2 = SAn. Entonces los puntos A1, A2, An se encuentran en el mismo plano y son los vértices de un n-gón regular.

Prueba.

Demostremos que todos los puntos consecutivos se encuentran en el mismo plano. Consideremos cuatro puntos consecutivos A1, A2, A3 y A4. Las pirámides SA1 A2 A3 y SA2 A3 A4 son iguales, ya que se pueden combinar combinando las aristas SA2 y SA3 (por supuesto, se toman las aristas de diferentes pirámides) y los ángulos diédricos en estas aristas. De manera similar, se puede demostrar que las pirámides SA1 A3A4 y SA1 A2 A4 son iguales, ya que todas sus aristas son iguales. Esto implica la igualdad

De la última igualdad se deduce que el volumen de la pirámide A1A2A3A4 es igual a cero, es decir, los cuatro puntos indicados se encuentran en el mismo plano. Esto significa que todos los n puntos se encuentran en el mismo plano, y en el n-gón A1 A2 An todos los lados y ángulos son iguales. Esto significa que es correcto y el lema está probado.

Demostremos que existen como máximo cinco tipos diferentes de poliedros regulares.

Prueba.

De la definición de poliedro regular se deduce que sus caras sólo pueden ser triángulos, cuadrángulos y pentágonos. De hecho, demostremos, por ejemplo, que las caras no pueden ser hexágonos regulares. Por definición de poliedro regular, al menos tres caras deben converger en cada vértice. Sin embargo, en un hexágono regular los ángulos miden 120°. Resulta que la suma de tres ángulos planos de un ángulo poliédrico convexo es igual a 360°, pero esto es imposible, ya que esta suma siempre es menor que 360°. Además, las caras de un poliedro regular no pueden resultar polígonos con un gran número de lados.

Averigüemos cuántas caras pueden converger en el vértice de un poliedro regular. Si todas sus caras son triángulos regulares, entonces no pueden ser adyacentes a cada vértice más de cinco triángulos, ya que de lo contrario la suma de los ángulos planos en este vértice será al menos 360°, lo cual, como hemos visto, es imposible. Entonces, si todas las caras de un poliedro regular son triángulos regulares, entonces tres, cuatro o cinco triángulos son adyacentes a cada vértice. Utilizando un razonamiento similar, estamos convencidos de que en cada vértice de un poliedro regular, cuyas caras son cuadriláteros y pentágonos regulares, convergen exactamente tres aristas.

Demostremos ahora que sólo hay un poliedro de un tipo dado con una longitud de arista fija. Consideremos, por ejemplo, el caso en el que todas las caras son pentágonos regulares. Supongamos lo contrario: sean dos poliedros, todas cuyas caras sean pentágonos regulares de lado a, y todos los ángulos diédricos de cada poliedro sean iguales entre sí. Tenga en cuenta que no es necesario que todos los ángulos diédricos de un poliedro sean iguales a los ángulos diédricos de otro poliedro: esto es exactamente lo que demostraremos ahora.

Como hemos mostrado, de cada vértice de cada poliedro emergen tres aristas. Dejemos que las aristas AB, AC y AD salgan del vértice A de un poliedro, y las aristas A1B1, A1C1 y A1D1 salgan del vértice A1 del otro. ABCD y A1B1C1D1 son pirámides triangulares regulares, ya que tienen aristas iguales provenientes de los vértices A y A1, y ángulos planos en estos vértices.

De ello se deduce que los ángulos diédricos de un poliedro son iguales a los ángulos diédricos de otro. Esto significa que si combinamos las pirámides ABCD y A1B1C1D1, los poliedros también se combinarán. Esto significa que si hay un poliedro regular, todas cuyas caras son pentágonos regulares con lado a, entonces dicho poliedro es único.

Los poliedros restantes se tratan de manera similar. En el caso de que todas las caras sean triángulos y cuatro o cinco triángulos sean adyacentes a cada vértice, se debe usar el Lema 2.1. De él se deduce que los extremos de las aristas que emergen de un vértice se encuentran en el mismo plano y sirven como los vértices de un pentágono regular de cuatro y un pentágono. El teorema ha sido demostrado.

Tenga en cuenta que este teorema no implica que existan exactamente cinco tipos de poliedros regulares. El teorema sólo establece que no hay más de cinco tipos de este tipo, y ahora sólo tenemos que demostrar que realmente hay cinco de estos tipos presentando los cinco tipos de poliedros.

Pirámide n-gonal regular

Considere una pirámide n-gonal regular. Este poliedro se encuentra a menudo en problemas estereométricos y, por tanto, es de gran interés un estudio más detallado y exhaustivo de sus propiedades. Además, uno de nuestros poliedros regulares, el tetraedro, lo es.

Sea SA1A2 An una pirámide n-gonal regular. Introduzcamos la siguiente notación:

α – ángulo de inclinación del borde lateral con respecto al plano de la base;

β – ángulo diédrico en la base;

γ – ángulo plano en el vértice;

δ – ángulo diédrico en el borde lateral.

Sea O el centro de la base de la pirámide, B el centro del borde A1A2, D el punto de intersección de los segmentos A1A3 y OA2, C el punto en el borde lateral SA2 tal que A1CSA2, E el punto de intersección de los segmentos SB y A1C , K el punto de intersección de los segmentos A1A3 y OV. Sea A1OA2=. es fácil de mostrar

Denotaremos también por H la altura de la pirámide, la apotema por m, el borde lateral por l, el lado de la base por a, y por r y R los radios de los círculos inscritos en la base y circunscritos a su alrededor.

A continuación se muestran las relaciones entre los ángulos α, β, γ, δ de una pirámide n-gonal regular, formuladas en forma de teoremas.

tetraedro regular

Sus propiedades

Aplicando las relaciones obtenidas en el apartado anterior a un tetraedro regular nos permite obtener una serie de relaciones interesantes para este último. En esta sección presentaremos las fórmulas obtenidas para este caso particular y, además, encontraremos expresiones para algunas características de un tetraedro regular, como, por ejemplo, volumen, área de superficie total, etc.

Siguiendo la notación de la sección anterior, considere un tetraedro regular SA1A2A3 con longitud de arista a. Dejemos las notaciones para sus ángulos iguales y calculémoslas.

En un triángulo regular, la longitud de la altitud es igual. Como este triángulo es regular, su altura es a la vez bisectriz y mediana. Las medianas, como se sabe, se dividen por su punto de intersección en una proporción de 2:1, contando desde el vértice. No es difícil encontrar el punto de intersección de las medianas. Dado que el tetraedro es regular, este punto será el punto O, el centro del triángulo regular A1A2A3. La base de la altitud de un tetraedro regular que cae desde el punto S también se proyecta hacia el punto O. Esto significa. En el triángulo regular SA1A2, la longitud de la apotema del tetraedro es igual. Apliquemos el teorema de Pitágoras para Δ SBO:. Desde aquí.

Por tanto, la altura de un tetraedro regular es igual.

Área de la base de un tetraedro - triángulo regular:

Esto significa que el volumen de un tetraedro regular es:

La superficie total de un tetraedro es cuatro veces el área de su base:

El ángulo diédrico en la cara lateral de un tetraedro regular es obviamente igual al ángulo de inclinación de la cara lateral con respecto al plano de la base:

El ángulo plano en el vértice de un tetraedro regular es igual a.

El ángulo de inclinación de la nervadura lateral con respecto al plano base se puede encontrar a partir de:

El radio de la esfera inscrita para un tetraedro regular se puede encontrar usando la conocida fórmula que lo relaciona con el volumen y el área de la superficie total del tetraedro (tenga en cuenta que la última fórmula es válida para cualquier poliedro en el que esfera se puede inscribir). En nuestro caso lo tenemos.

Encontremos el radio de la esfera circunscrita. El centro de una esfera circunscrita a un tetraedro regular está en su altura, ya que es la recta SO la que es perpendicular al plano de la base y pasa por su centro, y sobre esta recta debe estar un punto equidistante de todos los vértices. de la base del tetraedro. Sea este el punto O1, luego O1S=O1A2=R. Tenemos. Apliquemos el teorema de Pitágoras a los triángulos BA2O1 y BO1O:

Tenga en cuenta que R = 3r, r + R = H.

Es interesante calcular, es decir, el ángulo en el que el borde de un tetraedro regular es visible desde el centro de la esfera circunscrita. Encontrémoslo:

Se trata de una cantidad que conocemos de un curso de química: es el ángulo entre los enlaces C-H en una molécula de metano, que se puede medir con mucha precisión en el experimento, y dado que ni un solo átomo de hidrógeno en la molécula de CH4 está obviamente aislado Por cualquier motivo, es razonable suponer que esta molécula tiene la forma de un tetraedro regular. Este hecho se confirma mediante fotografías de una molécula de metano obtenidas mediante un microscopio electrónico.

Hexaedro regular (Cubo)

Tipo de cara Cuadrada

Número de caras 6

Número de costillas 12

Número de vértices 8

Ángulo plano 90°

Suma de ángulos planos 270 o

¿Existe un centro de simetría? Sí (punto de intersección de diagonales)

Número de ejes de simetría 9

Número de planos de simetría 9

Octaedro regular

Número de caras 8

Número de costillas 12

Número de vértices 6

Ángulo plano 60°

Número de ángulos planos en el vértice 4

Suma de ángulos planos 240°

¿Existe un eje de simetría? Sí

Existencia de un octaedro regular

Consideremos un cuadrado ABCD y construyamos sobre él, como sobre una base, a ambos lados de su plano, pirámides cuadrangulares, cuyas aristas laterales sean iguales a los lados del cuadrado. El poliedro resultante será un octaedro.

Para comprobarlo sólo tenemos que comprobar que todos sus ángulos diédricos son iguales. De hecho, sea O el centro del cuadrado ABCD. Al conectar el punto O con todos los vértices de nuestro poliedro, obtenemos ocho pirámides triangulares con un vértice común O. Consideremos una de ellas, por ejemplo ABEO. AO = BO = EO y, además, estas aristas son perpendiculares por pares. La pirámide ABEO es regular porque su base es el triángulo regular ABE. Esto significa que todos los ángulos diédricos en la base son iguales. De manera similar, las ocho pirámides con cima en el punto O y bases (las caras del octaedro ABCDEG) son regulares y, además, iguales entre sí. Esto quiere decir que todos los ángulos diédricos de este octaedro son iguales, ya que cada uno de ellos es el doble del ángulo diédrico en la base de cada una de las pirámides.

*Nota hecho interesante, relacionado con el hexaedro (cubo) y el octaedro. Un cubo tiene 6 caras, 12 aristas y 8 vértices, y un octaedro tiene 8 caras, 12 aristas y 6 vértices. Es decir, el número de caras de un poliedro es igual al número de vértices de otro y viceversa. Como suele decirse, el cubo y el hexaedro son duales entre sí. Esto también se manifiesta en el hecho de que si tomas un cubo y construyes un poliedro con vértices en los centros de sus caras, entonces, como puedes ver fácilmente, obtienes un octaedro. Lo contrario también es cierto: los centros de las caras del octaedro sirven como vértices del cubo. Ésta es la dualidad del octaedro y el cubo.

Es fácil darse cuenta de que si tomamos los centros de las caras de un tetraedro regular, obtendremos nuevamente un tetraedro regular. Por tanto, el tetraedro es dual consigo mismo. *

Icosaedro regular

Tipo de cara: Triángulo regular

Número de caras 20

Número de costillas 30

Número de vértices 12

Ángulo plano 60°

Número de ángulos planos en el vértice 5

Suma de ángulos planos 300 o

¿Existe un centro de simetría?

Número de ejes de simetría Varios

Número de planos de simetría Varios

Existencia de un icosaedro regular

Hay un poliedro regular en el que todas las caras son triángulos regulares y cada vértice tiene 5 aristas. Este poliedro tiene 20 caras, 30 aristas, 12 vértices y se llama icosaedro (icosi - veinte).

Prueba

Considere el octaedro ABCDEG con arista 1. Elija los puntos M, K, N, Q, L y P en sus aristas AE, BE, CE, DE, AB y BC, respectivamente, de modo que AM = EK = CN = EQ = BL = PA = x. Elijamos x tal que todos los segmentos que conectan estos puntos sean iguales entre sí.

Evidentemente, para ello basta con satisfacer la igualdad KM = KQ. Sin embargo, dado que KEQ es un triángulo rectángulo isósceles con catetos KE y EQ, entonces. Escribamos el teorema del coseno para el triángulo MEK, en el que:

Desde aquí. La segunda raíz, que es mayor que 1, no es adecuada. Habiendo elegido x de esta manera, construimos el poliedro requerido. Seleccionemos seis puntos más simétricos a los puntos K, L, P, N, Q y M con respecto al centro del tetraedro, y denotémoslos K1, L1, P1, N1, Q1 y M1, respectivamente. El poliedro resultante con vértices K, L, P, N, Q, M, K1, L1, P1, N1, Q1 y M1 es el deseado. Todas sus caras son triángulos regulares, de cada vértice salen cinco aristas. Demostremos ahora que todos sus ángulos diédricos son iguales entre sí.

Para hacer esto, tenga en cuenta que todos los vértices del veinteedro construido están equidistantes del punto O, el centro del octaedro, es decir, están ubicados en la superficie de una esfera con centro O. A continuación, procederemos en el de la misma manera que cuando se prueba la existencia de un octaedro regular. Conectemos todos los vértices del veinteedro con el punto O. Exactamente de la misma manera, demostraremos la igualdad de las pirámides triangulares, cuyas bases son las caras del poliedro construido, y nos aseguraremos de que todos los Los ángulos diédricos del veinteedro son dos veces más grandes que los ángulos en la base de estas pirámides triangulares iguales. En consecuencia, todos los ángulos diédricos son iguales, lo que significa que el poliedro resultante es regular. Se llama icosaedro.

Dodecaedro regular

Vista de la cara del Pentágono (pentágono regular)

Número de caras 12

Número de costillas 30

Número de vértices 20

Ángulo plano 108°

Número de ángulos planos en el vértice 3

Suma de ángulos planos 324 o

¿Hay un centro de simetría? Sí.

Número de ejes de simetría Varios

Número de planos de simetría Varios

Existencia de un dodecaedro regular

Hay un poliedro regular en el que todas las caras son pentágonos regulares y de cada vértice emergen 3 aristas. Este poliedro tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices y se llama dodecaedro (dodeka - doce).

Prueba.

Como puede ver, el número de caras y vértices del poliedro, cuya existencia ahora estamos intentando probar, es igual al número de vértices y caras del icosaedro. Por lo tanto, si demostramos la existencia del poliedro discutido en este teorema, seguramente resultará ser dual al icosaedro. Usando el ejemplo del cubo y el octaedro, vimos que las figuras duales tienen la propiedad de que los vértices de una de ellas se encuentran en los centros de las caras de la otra. Esto sugiere la idea de demostrar este teorema.

Tomemos un icosaedro y consideremos un poliedro con vértices en los centros de sus caras. Es obvio que los centros de las cinco caras del icosaedro, que tienen un vértice común, se encuentran en el mismo plano y sirven como vértices de un pentágono regular (esto se puede verificar de forma similar a lo que usamos en la demostración). del lema). Así, cada vértice del icosaedro corresponde a una cara de un nuevo poliedro, cuyas caras son pentágonos regulares, y todos los ángulos diédricos son iguales. Esto se desprende del hecho de que tres aristas cualesquiera que surjan de un vértice del nuevo poliedro pueden considerarse aristas laterales de una pirámide triangular regular, y todas las pirámides resultantes son iguales (tienen aristas laterales iguales y ángulos planos entre ellas, que son los ángulos de un pentágono regular). De todo lo anterior se deduce que el poliedro resultante es regular y tiene 12 caras, 30 aristas y 20 vértices. Un poliedro así se llama dodecaedro.

Entonces, en el espacio tridimensional solo hay cinco tipos de poliedros regulares. Determinamos su tipo y establecimos que todos los poliedros tienen duales. El cubo es el dual del octaedro y viceversa. Icosaedro a dodecaedro y viceversa. El tetraedro es dual consigo mismo.

Fórmula de Euler para poliedros regulares.

Entonces, se encontró que hay exactamente cinco poliedros regulares. ¿Cómo podemos determinar el número de aristas, caras y vértices que tienen? Esto no es difícil de hacer para poliedros con un pequeño número de aristas, pero ¿cómo, por ejemplo, se puede obtener esa información para un icosaedro? El famoso matemático L. Euler obtuvo la fórmula B+G-P=2, que conecta el número de vértices /B/, caras /G/ y aristas /P/ de cualquier poliedro. La simplicidad de esta fórmula radica en que no está relacionada ni con la distancia ni con los ángulos. Para determinar el número de aristas, vértices y caras de un poliedro regular, primero encontramos el número k = 2y - xy + 2x, donde x es el número de aristas que pertenecen a una cara, y es el número de caras que se encuentran en un vértice. Para encontrar el número de caras, vértices y aristas de un poliedro regular, utilizamos fórmulas. Después de esto, es fácil completar la tabla, que proporciona información sobre los elementos de los poliedros regulares:

Nombre Vértices (V) Aristas (P) Caras (D) Fórmula

Tetraedro 4 6 4 4-6+4=2

Hexaedro (Cubo) 8 12 6 8-12+6=2

Octaedro 6 12 8 6-12+8=2

Icosaedro 12 30 20 12-30+20=2

Dodecaedro 20 30 12 20-30+12=2

Capítulo II: Poliedros regulares en la vida

Espacio y Tierra

Existen muchas hipótesis y teorías relacionadas con los poliedros sobre la estructura del Universo, incluido nuestro planeta. A continuación se muestran algunos de ellos.

Los poliedros regulares ocuparon un lugar importante en el sistema de estructura armoniosa del mundo de I. Kepler. La misma creencia en la armonía, la belleza y la estructura matemáticamente regular del universo llevó a I. Kepler a la idea de que, dado que hay cinco poliedros regulares, sólo les corresponden seis planetas. En su opinión, las esferas de los planetas están interconectadas por los sólidos platónicos inscritos en ellas. Dado que para cada poliedro regular coinciden los centros de las esferas inscrita y circunscrita, todo el modelo tendrá un único centro en el que se ubicará el Sol.

Habiendo realizado una enorme cantidad de trabajo computacional, en 1596 I. Kepler publicó los resultados de su descubrimiento en su libro "El misterio del universo". Inscribe un cubo en la esfera de la órbita de Saturno, en un cubo - la esfera de Júpiter, en la esfera de Júpiter - un tetraedro, etc., en la esfera de Marte - un dodecaedro, en la esfera de la Tierra - un icosaedro, la esfera de Venus: un octaedro, la esfera de Mercurio. El misterio del universo parece estar abierto.

Hoy podemos decir con seguridad que las distancias entre planetas no están relacionadas con ningún poliedro. Sin embargo, es posible que sin el "Misterio del Universo", "La Armonía del Mundo" de I. Kepler, los poliedros regulares no hubieran existido las tres famosas leyes de I. Kepler, que juegan papel importante al describir los movimientos de los planetas.

¿Dónde más puedes ver estos cuerpos increíbles? En un bellísimo libro del biólogo alemán de principios de este siglo E. Haeckel, “La belleza de las formas en la naturaleza”, se pueden leer las siguientes líneas: “La naturaleza alimenta en su seno un número inagotable de criaturas asombrosas, que en belleza y diversidad superan con creces todas las formas creadas por el arte humano”. Las criaturas de la naturaleza que se muestran en este libro son hermosas y simétricas. Esta es una propiedad inseparable de la armonía natural. Pero aquí también puedes ver organismos unicelulares: feodaria, cuya forma refleja exactamente el icosaedro. ¿Qué causa esta geometrización natural? Quizás porque de todos los poliedros con el mismo número de caras, es el icosaedro el que tiene mayor volumen y menor superficie. Esta propiedad geométrica ayuda al microorganismo marino a superar la presión de la columna de agua.

También es interesante que fue el icosaedro el que se convirtió en el centro de atención de los biólogos en sus disputas sobre la forma de los virus. El virus no puede ser perfectamente redondo, como se pensaba hasta ahora. Para establecer su forma, tomaron varios poliedros y les dirigieron luz en los mismos ángulos que el flujo de átomos hacia el virus. Resultó que sólo un poliedro da exactamente la misma sombra: el icosaedro. Sus propiedades geométricas, mencionadas anteriormente, permiten guardar información genética. Los poliedros regulares son las figuras más ventajosas. Y la naturaleza hace un amplio uso de esto. Los cristales de algunas sustancias que nos son familiares tienen la forma de poliedros regulares. Así, el cubo transmite la forma de cristales de sal de mesa NaCl, un monocristal de alumbre de aluminio y potasio (KAlSO4)2 · 12H2O tiene forma de octaedro, un cristal de pirita de azufre FeS tiene forma de dodecaedro, sulfato de sodio y antimonio tiene forma de tetraedro y el boro tiene forma de icosaedro. Los poliedros regulares determinan la forma de las redes cristalinas de algunas sustancias químicas. Ilustremos esta idea con el siguiente problema.

Tarea. El modelo de la molécula de metano CH4 tiene la forma de un tetraedro regular, con átomos de hidrógeno en los cuatro vértices y un átomo de carbono en el centro. Determine el ángulo de enlace entre dos enlaces CH.

Solución. Dado que un tetraedro regular tiene seis aristas iguales, es posible seleccionar un cubo tal que las diagonales de sus caras sean las aristas de un tetraedro regular. El centro del cubo es también el centro del tetraedro, porque los cuatro vértices del tetraedro son también los vértices del cubo, y la esfera descrita a su alrededor está determinada únicamente por cuatro puntos que no se encuentran en el mismo plano. El ángulo j deseado entre dos enlaces CH es igual al ángulo AOC. El triángulo AOC es isósceles. Por tanto, donde a es el lado del cubo, d es la longitud de la diagonal de la cara lateral o la arista del tetraedro. Entonces, ¿de dónde vienen =54.73561О y j=109.47О?

La cuestión de la forma de la Tierra ocupaba constantemente la mente de los científicos de la antigüedad. Y cuando se confirmó la hipótesis sobre la forma esférica de la Tierra, surgió la idea de que la Tierra tiene forma de dodecaedro. Así, Platón ya escribió: “La tierra, si la miras desde arriba, parece una bola cosida con 12 piezas de cuero”. Esta hipótesis de Platón encontró un mayor desarrollo científico en los trabajos de físicos, matemáticos y geólogos. Así, el geólogo francés de Bimon y el famoso matemático Poincaré creían que la forma de la Tierra es la de un dodecaedro deformado.

Hay otra hipótesis. Su significado es que la Tierra tiene forma de icosaedro. Se toman dos paralelos en el mundo: 30° de latitud norte y sur. La distancia de cada uno de ellos al polo de su hemisferio es de 60°, y entre ellos también es de 60°. En el norte de estos paralelos, los puntos están marcados a lo largo de 1/5 de un círculo completo, o 72°: en la intersección con los meridianos 32°, 104° y 176°. D. y 40o y 112o O. d. En el paralelo sur, los puntos están marcados en las intersecciones con los meridianos que pasan exactamente en el medio entre los nombrados: 68o y 140o. d. y 4o, 76o y 148o O. d. Cinco puntos en el paralelo 30o. w. , cinco - en el paralelo 30o S. w. y dos polos de la Tierra y formarán 12 vértices del poliedro.

El geólogo ruso S. Kislitsin también compartió su opinión sobre la forma dodecaédrica de la Tierra. Planteó la hipótesis de que hace 400-500 millones de años, la geosfera dodecaédrica se convirtió en un geoicosaedro. Sin embargo, tal transición resultó incompleta e incompleta, como resultado de lo cual el geododecaedro quedó inscrito en la estructura del icosaedro. EN últimos años Se puso a prueba la hipótesis sobre la forma icosaédrica-dodecaédrica de la Tierra. Para ello, los científicos alinearon el eje del dodecaedro con el eje del globo y, al girar este poliedro a su alrededor, observaron que sus bordes coinciden con perturbaciones gigantes en la corteza terrestre (por ejemplo, con la cresta submarina del Atlántico Medio). Luego, tomando el icosaedro como un poliedro, establecieron que sus aristas coinciden con divisiones más pequeñas de la corteza terrestre (crestas, fallas, etc.). Estas observaciones confirman la hipótesis de que la estructura tectónica de la corteza terrestre es similar a las formas del dodecaedro y el icosaedro.

Los nodos de un hipotético geocristal son, por así decirlo, centros de determinadas anomalías en el planeta: en ellos se ubican todos los centros de presión atmosférica extrema del mundo, zonas donde se originan los huracanes; En uno de los nodos del icosaedro (en Gabón) se descubrió un “reactor atómico natural” que todavía estaba en funcionamiento hace 1.700 millones de años. Depósitos minerales gigantes (por ejemplo, el campo petrolífero de Tyumen), anomalías del mundo animal (lago Baikal) y centros para el desarrollo de las culturas humanas ( Antiguo Egipto, civilización protoindia Mohenjo-Daro, norte de Mongolia, etc.).

Hay una suposición más. Las ideas de Pitágoras, Platón y I. Kepler sobre la conexión de los poliedros regulares con la estructura armoniosa del mundo ya han encontrado su continuación en nuestro tiempo en una interesante hipótesis científica, cuyos autores (a principios de los años 80) eran ingenieros de Moscú. V. Makarov y V. Morozov. Creen que el núcleo de la Tierra tiene la forma y las propiedades de un cristal en crecimiento, lo que influye en el desarrollo de todos los procesos naturales que ocurren en el planeta. Los rayos de este cristal, o mejor dicho, su campo de fuerza, determinan la estructura icosaédrica-dodecaédrica de la Tierra, que se manifiesta en el hecho de que en la corteza terrestre aparecen proyecciones de poliedros regulares inscritos en el globo: el icosaedro y el dodecaedro. Sus 62 vértices y puntos medios de aristas, llamados nodos por los autores, tienen una serie de propiedades específicas que permiten explicar algunos fenómenos incomprensibles.

Futuros estudios de la Tierra podrán determinar la actitud ante esta bella hipótesis científica, en la que, como se ve, los poliedros regulares ocupan un lugar importante.

Y surge una pregunta más en relación con los poliedros regulares: ¿es posible llenar el espacio con ellos para que no queden espacios entre ellos? Surge por analogía con los polígonos regulares, algunos de los cuales pueden llenar un plano. Resulta que el espacio sólo se puede llenar con la ayuda de un cubo poliedro regular. El espacio también se puede llenar con dodecaedros rómbicos. Para entender esto, es necesario resolver el problema.

Tarea. Usando siete cubos que forman una "cruz" espacial, construye un dodecaedro rómbico y demuestra que pueden llenar el espacio.

Solución. Los cubos pueden llenar el espacio. Considere parte de una red cúbica. Dejaremos el cubo del medio intacto y en cada uno de los cubos "bordeantes" dibujaremos planos a través de los seis pares de aristas opuestas. En este caso, los cubos “bordeantes” se dividirán en seis pirámides iguales con bases cuadradas y aristas laterales iguales a la mitad de la diagonal del cubo. Las pirámides adyacentes al cubo intacto forman, junto con este último, un dodecaedro rómbico. De esto queda claro que los dodecaedros rómbicos pueden llenar todo el espacio. Como consecuencia, encontramos que el volumen de un dodecaedro rómbico es igual al doble del volumen de un cubo, cuya arista coincide con la diagonal menor de la cara del dodecaedro.

Resolviendo este problema, llegamos a los dodecaedros rómbicos. Curiosamente, las células de las abejas, que también llenan el espacio sin huecos, también son figuras geométricas ideales. La parte superior de la celda de la abeja es parte de un dodecaedro rómbico.

En 1525, Durero escribió un tratado en el que presentaba cinco poliedros regulares cuyas superficies sirven como buenos modelos de perspectiva.

Así, los poliedros regulares nos revelaron los intentos de los científicos de acercarse al secreto de la armonía mundial y mostraron el atractivo irresistible de la geometría.

Poliedros regulares y la proporción áurea.

Durante el Renacimiento, escultores, arquitectos y artistas mostraron un gran interés por las formas de los poliedros regulares. Leonardo da Vinci, por ejemplo, estaba interesado en la teoría de los poliedros y los representaba a menudo en sus lienzos. Ilustró el libro de su amigo el monje Luca Pacioli (1445 - 1514) "Sobre la divina proporción" con imágenes de poliedros regulares y semirregulares.

En 1509, en Venecia, Luca Pacioli publicó el libro Sobre la divina proporción. Pacioli encontró trece manifestaciones de la “proporción divina” en los cinco sólidos platónicos: polígonos regulares (tetraedro, cubo, octaedro, icosaedro y dodecaedro). En el capítulo “Sobre la duodécima propiedad, casi sobrenatural”, examina el icosaedro regular. Cinco triángulos se encuentran en cada vértice del icosaedro para formar un pentágono regular. Si conectas dos bordes opuestos cualesquiera de un icosaedro, obtendrás un rectángulo en el que el lado mayor está relacionado con el más pequeño como la suma de los lados está relacionado con el mayor.

Así, la proporción áurea se manifiesta en la geometría de cinco poliedros regulares que, según los científicos antiguos, se encuentran en la base del universo.

Geometría de los sólidos platónicos en las pinturas de grandes artistas.

El famoso artista del Renacimiento, también aficionado a la geometría, fue A. Durero. En su famoso grabado "Melancolía", en primer plano se representaba un dodecaedro.

Considere la imagen del cuadro del artista Salvador Dalí "La Última Cena". En primer plano de la imagen está Cristo con sus discípulos contra el fondo de un enorme dodecaedro transparente.

Cristales - poliedros naturales

Muchas formas de poliedros no fueron inventadas por el hombre mismo, sino que fueron creadas por la naturaleza en forma de cristales.

A menudo, la gente, al contemplar los maravillosos poliedros de cristales iridiscentes, no puede creer que fueron creados por la naturaleza y no por el hombre. Por eso nacieron tantos cuentos populares asombrosos sobre los cristales.

Se han conservado materiales escritos interesantes, por ejemplo, el llamado "papiro de Ebers", que contiene una descripción de los métodos de curación con piedras con rituales y hechizos especiales, donde se atribuyen poderes misteriosos a las piedras preciosas.

Se creía que el cristal de granate traía buena suerte. Tiene la forma de un dodecaedro rómbico (a veces llamado dodecaedro romboidal o rómbico), un dodecaedro cuyas caras son doce rombos iguales.

Los cristales dodecaédricos son tan típicos del granate que la forma de dicho poliedro incluso se llama granetoedro.

El granate es uno de los principales minerales formadores de rocas. Hay rocas enormes que están compuestas por rocas granates llamadas skarns. Sin embargo, las piedras preciosas, transparentes y de hermosos colores están lejos de ser comunes. A pesar de esto, es el granate, el piropo rojo sangre, el que los arqueólogos consideran la joya más antigua, ya que fue descubierto en Europa en el Neolítico antiguo en el territorio de la actual República Checa y Eslovaquia, donde actualmente es especialmente popular.

El hecho de que el granate, es decir, un poliedro dodecaedro rómbico, se conozca desde la antigüedad se puede juzgar por la historia del origen de su nombre, que en la traducción del griego antiguo significaba "pintura roja". Además, el nombre estaba asociado con el color rojo, el color más común de los granates.

El granate es muy apreciado por los conocedores de gemas. Se utiliza para fabricar joyas de primera calidad, el granate tiene la propiedad de impartir el don de la previsión a las mujeres que lo usan y aleja de ellas los pensamientos pesados, mientras protege a los hombres de una muerte violenta.

Los granates enfatizan lo inusual de la situación, la originalidad de las acciones de las personas y enfatizan la pureza y sublimidad de sus sentimientos.

Esta es una piedra talismán para las personas nacidas en ENERO.

Consideremos las piedras, cuya forma está bien estudiada y representa poliedros regulares, semirregulares y estrellados.

La pirita recibe su nombre de la palabra griega pyros, que significa fuego. De un golpe se desprende una chispa; en la antigüedad, los trozos de pirita servían como leña. El brillo de espejo en las caras distingue a la pirita de otros sulfuros. La pirita pulida brilla aún más. Los arqueólogos han encontrado espejos hechos de pirita pulida en tumbas incas. Por eso la pirita tiene esto. nombre raro- Piedra inca. Durante las epidemias de la fiebre del oro, los destellos de pirita en una veta de cuarzo, en la arena húmeda de una bandeja de lavado, excitaron a más de una persona. Incluso ahora, los amantes principiantes de las piedras confunden la pirita con el oro.

Pero mirémoslo más de cerca, escuchemos el proverbio: "¡No todo lo que brilla es oro!" El color de la pirita es amarillo latón. Los bordes de los cristales de pirita tienen un fuerte brillo metálico. ? Aquí en la fractura el brillo es más apagado.

La pirita tiene una dureza de 6-6,5 y raya fácilmente el vidrio. Es el mineral más duro de la clase de los sulfuros.

Sin embargo, lo más característico en el aspecto de la pirita es la forma de los cristales. La mayoría de las veces es un cubo. ¡Desde los "cubos más pequeños, encajados a lo largo de las grietas, hasta cubos con una altura de arista de 5 cm, 15 cm e incluso 30 cm! Pero no solo los cristales de pirita se cortan en cubos; en el arsenal de este mineral hay octaedros que ya conocemos de Las magnetitas son bastante raras, pero la pirita te permite admirar personalmente la forma con este nombre: el pentagondodecaedro "Penta" tiene cinco caras, todas las caras de esta forma tienen cinco lados y la "dodeca" es una. docenas, en total hay doce. Esta forma es tan típica de la pirita que en la antigüedad incluso recibió el nombre de "piritoedro". También pueden surgir ejemplares que combinan caras de diferentes formas: cubo y pentagondodecaedro.

CASETERÍA

La casiterita es un mineral marrón brillante y quebradizo que es el mineral principal del estaño. La forma es muy memorable: pirámides tetraédricas, altas y afiladas en la parte superior e inferior, y en el medio hay una columna corta, también facetada. En las vetas de cuarzo crecen cristales de casiterita de apariencia completamente diferente. En Península de Chukotka Allí se encuentra el yacimiento de Iultin, donde son famosas desde hace mucho tiempo las vetas con excelentes cristales de casiterita.

Galena parece metal y es simplemente imposible no notarlo en el mineral. Inmediatamente se nota por un fuerte brillo metálico y pesadez. Galena es casi siempre cubos plateados (o paralelepípedos). Y estos no son necesariamente cristales completos. Galena tiene un escote perfecto al cubo. Esto significa que no se rompe en fragmentos informes, sino en limpios cubos plateados y brillantes. Sus cristales naturales tienen forma de octaedro o cuboctaedro. Galena también se distingue por la siguiente propiedad: este mineral es blando y poco resistente químicamente.

CIRCONIO

"Zircón" - de las palabras persas "rey" y "pistola" - color dorado.

El circonio fue descubierto en 1789/0 en el precioso circón de Ceilán. El descubridor de este elemento es el señor Claporte. En la antigüedad eran famosas las magníficas circonitas transparentes y brillantes. Esta piedra era muy valorada en Asia.

Los químicos y metalúrgicos tuvieron que trabajar mucho antes de que aparecieran en los reactores nucleares carcasas de varillas de circonio y otras piezas estructurales.

Entonces, el circón es una piedra preciosa eficaz (naranja, amarillo pajizo, azul azulado, verde), brilla y juega como un diamante.

Los circones suelen estar representados por pequeños cristales regulares con una forma elegante característica. El motivo de su red cristalina y, en consecuencia, la forma de los cristales, está subordinado al cuarto eje de simetría. Los cristales de circón pertenecen al sistema tetragonal. Su sección transversal es cuadrada. Y el cristal en sí consta de un prisma tetragonal (a veces a lo largo de los bordes está embotado por un segundo prisma similar) y una bipirámide tetragonal que completa el prisma en ambos extremos.

Aún más impresionantes son los cristales con dos bipirámides en los extremos: una en la parte superior y la otra solo opaca los bordes entre el prisma y la pirámide superior.

Los cristales de sal de mesa tienen forma de cubo, los cristales de hielo y cristal de roca (cuarzo) se asemejan a un lápiz afilado por ambos lados, es decir, tienen la forma de un prisma hexagonal, sobre cuyas bases se colocan pirámides hexagonales.

El diamante se encuentra con mayor frecuencia en forma de octaedro, a veces de cubo e incluso de cuboctaedro.

El mástil islandés, que bifurca la imagen, tiene la forma de un paralelepípedo oblicuo.

Interesante

Todos los demás poliedros regulares se pueden obtener del cubo mediante transformación.

Durante el proceso de división del óvulo, primero se forma un tetraedro de cuatro células, luego un octaedro, un cubo y finalmente una estructura de gástrula dodecaédrica-icosaédrica.

Y finalmente, quizás lo más importante, la estructura del ADN del código genético de la vida, es el desarrollo en cuatro dimensiones (a lo largo del eje del tiempo) de un dodecaedro giratorio.

Se creía que los poliedros regulares traían buena suerte. Por lo tanto, había huesos no solo en forma de cubo, sino de todas las demás formas. Por ejemplo, un dado con forma de dodecaedro se llamaba d12.

El matemático alemán August Ferdinand Möbius, en su obra “Sobre el volumen de los poliedros”, describió una superficie geométrica con una propiedad increíble: ¡tiene un solo lado! Si pegas los extremos de una tira de papel después de girar primero una de ellas 180 grados, obtendrás una hoja o tira de Moebius. Intente pintar la cinta retorcida en 2 colores: uno por fuera y el otro por dentro. ¡No lo conseguirás! Pero una hormiga que se arrastra a lo largo de una franja de Mobius no tiene que arrastrarse sobre su borde para llegar al lado opuesto.

“Hay alarmantemente pocos poliedros regulares convexos”, señaló una vez Lewis Carroll, “pero incluso este escuadrón muy modesto, los cinco magníficos, lograron penetrar profundamente en las profundidades de las ciencias. »

Todos estos ejemplos confirman la sorprendente intuición de la intuición de Platón.

Conclusión

El trabajo presentado considera:

Definición de poliedros convexos;

Propiedades básicas de los poliedros convexos, incluido el teorema de Euler, que relaciona el número de vértices, aristas y caras de un poliedro determinado;

Definición de poliedro regular, está comprobada la existencia de sólo cinco poliedros regulares;

Se consideran en detalle las relaciones entre los ángulos característicos de una pirámide n-gonal regular, que es parte integral de un poliedro regular;

Se analizan en detalle algunas características de un tetraedro regular, como el volumen, el área de superficie y similares.

Los apéndices contienen pruebas de las propiedades básicas de los poliedros convexos y otros teoremas contenidos en este trabajo. Los teoremas y relaciones presentados pueden resultar útiles para resolver muchos problemas de estereometría. El trabajo se puede utilizar al estudiar temas individuales de estereometría como material de referencia e ilustración.

Los poliedros nos rodean por todas partes: cubos infantiles, muebles, estructuras arquitectónicas, etc. En la vida cotidiana casi hemos dejado de notarlos, pero es muy interesante conocer la historia de objetos familiares para todos, sobre todo si son tan fascinantes.

Corregir suelos de parquet. El proyecto fue preparado por una estudiante de la Institución Educativa Municipal-Escuela Secundaria No. 6, Marx Zhilnikova Nastya Supervisora: Martyshova Lyudmila Iosifovna Metas y objetivos Descubra qué polígonos regulares convexos se pueden usar para hacer un parquet regular. Considere todos los tipos de parquets correctos y responda la pregunta sobre su cantidad. Considere ejemplos del uso de polígonos regulares en la naturaleza. . A menudo encontramos parquet en la vida cotidiana: cubren los pisos de las casas, cubren las paredes de las habitaciones con varios azulejos y, a menudo, decoran los edificios con adornos. . . . . . . . . . . La primera cuestión que nos interesa y que tiene fácil solución es la siguiente: ¿a partir de qué polígonos regulares convexos se puede fabricar un parquet? Suma de ángulos de un polígono. Sea la losa de parquet un n-gon regular. La suma de todos los ángulos de un n-gón es 180(n-2), y como todos los ángulos son iguales, cada uno de ellos es 180(n-2)/n. Dado que en cada vértice del parquet confluyen un número entero de ángulos, el número 360 debe ser un múltiplo entero de 180(n-2)/n. Transformando la relación de estos números, obtenemos 360n/ 180(n-2)= 2n/ n-2. 180(n-2), n es el número de lados del polígono. Es bastante sencillo asegurarse de que ningún otro polígono regular forme el parquet. Y aquí necesitamos la fórmula para la suma de los ángulos de un polígono. Si el parquet está formado por n-gónos, entonces k 360: n polígonos convergerán en cada vértice del parquet, donde an es el ángulo de un n-gón regular. Es fácil encontrar que a 3 = 60°, a 4 = 90°, a 5 = 108°, a 6 = 120°. 360° es divisible por n sólo cuando n = 3; 4; 6. De esto se desprende claramente que n-2 sólo puede tomar los valores 1, 2 o 4; por tanto, los únicos valores posibles para n son 3, 4, 6. Así, los suelos de parquet están formados por triángulos, cuadrados o hexágonos regulares. Otros parquets hechos de polígonos regulares son imposibles. PARQUETES - TERMINACIÓN DE UN PLANO CON POLÍGONOS Ya los pitagóricos sabían que sólo hay tres tipos de polígonos regulares con los que se puede pavimentar un plano por completo, sin espacios ni superposiciones: triángulo, cuadrado y hexágono. PARQUETES - AZULEJOS PLANOS CON POLÍGONOS Se puede exigir que el parquet sea regular sólo “en los vértices”, pero se permite el uso de diferentes tipos de polígonos regulares. A los tres originales se añadirán ocho suelos de parquet más. . Parquets de diferentes polígonos regulares. Primero, averigüemos cuántos polígonos regulares diferentes (con la misma longitud de lado) pueden haber alrededor de cada punto. El ángulo de un polígono regular debe estar en el rango de 60° a 180° (sin incluir); por lo tanto, el número de polígonos ubicados en las proximidades de un punto debe ser mayor que 2 (360°/180°) y no puede exceder 6 (360°/60°). Parquets de diferentes polígonos regulares. Se puede demostrar que existen las siguientes formas de colocar parquet utilizando combinaciones de polígonos regulares: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - dos opciones de parquet; (3,4,4,6) - cuatro opciones; (3,3,3,4,4) - cuatro opciones; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (los números entre paréntesis son las designaciones de polígonos que convergen en cada vértice: 3 - triángulo regular, 4 cuadrado, 6 - hexágono regular, 12 dodecágono regular). Las coberturas de un plano con polígonos regulares cumplen los siguientes requisitos: 1. El plano está cubierto íntegramente con polígonos regulares, sin huecos ni dobles coberturas, es decir. Dos polígonos de cobertura tienen un lado común, un vértice común o no tienen ningún punto común. Este revestimiento se llama parquet. 2 Alrededor de todos los vértices, los polígonos regulares están dispuestos de la misma manera, es decir, Alrededor de todos los vértices, los polígonos con los mismos nombres siguen en el mismo orden. Por ejemplo, si alrededor de un vértice los polígonos están dispuestos en la secuencia: triángulo - cuadrado - hexágono - cuadrado, entonces alrededor de cualquier otro vértice del mismo que cubre los polígonos se organizan exactamente en la misma secuencia. Parquet regular Así, un parquet puede superponerse a sí mismo de tal manera que cualquier vértice dado del mismo se superponga a cualquier otro vértice previamente dado. Este tipo de parquet se llama correcto. ¿Cuántos parquets normales hay y cómo están dispuestos? Dividamos todos los parquets regulares en grupos según el número de polígonos regulares diferentes incluidos en el parquet 1.a). Hexágonos b). Cuadrados c). Triángulos 2.a). Cuadrados y triángulos b). Cuadrados y octágonos c). Triángulos y hexágonos d). Triángulos y dodecágonos 3.a). Cuadrados, hexágonos y dodecágonos b). Cuadrados, hexágonos y triángulos Parquets regulares formados por un polígono regular Grupo1 a). Hexágonos b). Cuadrados c). Triángulos 1a. Un revestimiento formado por hexágonos regulares. 1b. Parquet compuesto únicamente por cuadrados. siglo primero Parquet formado únicamente por triángulos. Parquets regulares compuestos por dos polígonos regulares Grupo 2 a). Cuadrados y triángulos b). Cuadrados y octágonos c). Triángulos y hexágonos d). Triángulos y dodecágonos 2a. Parquets formados por cuadrados y triángulos. Vista I. Disposición de polígonos alrededor del vértice: triángulo - triángulo - triángulo - cuadrado - cuadrado 2a. Tipo II. Parquets formados por cuadrados y triángulos Disposición de los polígonos en la parte superior: triángulo – triángulo – cuadrado – triángulo – cuadrado 2 b. Parquet formado por cuadrados y octógonos 2c. Parquet formado por triángulos y hexágonos. Tipo I y tipo II. Parquets regulares compuestos por tres polígonos regulares Grupo 3 a). Cuadrados, hexágonos y dodecágonos b). Cuadrados, hexágonos y triángulos 2d. Parquet formado por dodecágonos y triángulos 3a.Parquet formado por cuadrados, hexágonos y dodecágonos. 3b. Parquet formado por cuadrados, hexágonos y triángulos Revestimiento en forma de secuencia: triángulo - cuadrado - hexágono - cuadrado Esto es imposible: el parquet formado por pentágonos regulares no existe. No son posibles coberturas en forma de secuencia: 1) triángulo – cuadrado – hexágono – cuadrado; 2) triángulo – triángulo – cuadrado – dodecágono; 3) triángulo – cuadrado – triángulo – dodecágono. Conclusiones Preste atención a los parquets que se componen únicamente de polígonos regulares del mismo nombre: triángulos equiláteros, cuadrados y hexágonos regulares. Entre estas formas (si todos los lados son iguales), el hexágono regular cubre el área más grande. Por lo tanto, si queremos, por ejemplo, dividir un campo interminable en secciones de 1 hectárea para gastar la menor cantidad de material posible en vallar, entonces las secciones deben tener la forma de hexágonos regulares. . Otro dato interesante: resulta que el corte de un panal también parece un plano cubierto de hexágonos regulares. Las abejas se esfuerzan instintivamente por construir panales lo más grandes posibles para almacenar más miel. . Conclusión Entonces, se han considerado todas las combinaciones posibles. Así quedaron 11 suelos de parquet correctos. Son muy bonitos ¿no? ¿Qué suelo de parquet te gustó más? . . Catálogo de productos.

Fauna.

Los poliedros regulares son las figuras más "rentables". Y la naturaleza hace un amplio uso de esto. Los cristales de algunas sustancias que nos son familiares tienen la forma de poliedros regulares. Entonces, cubo transmite forma Los cristales de sal de mesa NaCl, un monocristal de alumbre de aluminio y potasio tienen la forma de un octaedro, un cristal de pirita de azufre FeS - un dodecaedro, sulfato de antimonio y sodio - un tetraedro, boro - un icosaedro. Los poliedros regulares determinan la forma de las redes cristalinas de muchas sustancias químicas.

Ahora se ha demostrado que el proceso de formación de un embrión humano a partir de un óvulo se lleva a cabo dividiéndolo según la ley "binaria", es decir, primero el óvulo se convierte en dos células. Luego, en la etapa de cuatro células, el embrión toma la forma de un tetraedro, y en la etapa de ocho células, toma la forma de dos tetraedros unidos (tetraedro en estrella o cubo), (Apéndice No. 1, Fig. 3 ). A partir de dos cubos en la etapa de dieciséis celdas se forma una esfera, y a partir de una esfera en una determinada etapa de división se forma un toro de 512 celdas. La Planta Tierra y su campo magnético también son un toroide.

Cuasicristales de Dan Shekhtman.

12 de noviembre de 1984 en un breve artículo publicado en la revista autorizada " Cartas de revisión física» El físico israelí Dan Shechtman, presentó evidencia experimental de la existencia de una aleación metálica con propiedades excepcionales. Cuando se estudió mediante métodos de difracción de electrones, esta aleación mostró todos los signos de un cristal. Su patrón de difracción se compone de puntos brillantes y regularmente espaciados, como un cristal. Sin embargo, esta imagen se caracteriza por la presencia de simetría “icosaédrica” o “pentangonal”, que está estrictamente prohibida en el cristal por razones geométricas. Estas aleaciones inusuales fueron llamadas cuasicristales. En menos de un año se descubrieron muchas otras aleaciones de este tipo. Había tantos que el estado cuasicristalino resultó ser mucho más común de lo que uno podría imaginar.

¿Qué es un cuasicristal? ¿Cuáles son sus propiedades y cómo se puede describir? Como se mencionó anteriormente, según ley básica de la cristalografía Se imponen restricciones estrictas a la estructura cristalina. Según los conceptos clásicos, un cristal se compone de una sola celda, que debe "cubrir" firmemente (cara a cara) todo el plano sin ninguna restricción.

Como es sabido, el llenado denso del avión se puede realizar utilizando triangulos, cuadrícula Y hexágonos. Al usar pentágonos (Pentágonos) tal relleno es imposible.

Estos eran los cánones de la cristalografía tradicional, que existían antes del descubrimiento de una aleación inusual de aluminio y manganeso, llamada cuasicristal. Esta aleación se forma mediante un enfriamiento ultrarrápido de la masa fundida a una velocidad de 10,6 K por segundo. Además, durante el estudio de difracción de dicha aleación, aparece en la pantalla un patrón ordenado, característico de la simetría de un icosaedro, que tiene los famosos ejes de simetría prohibidos de quinto orden.

Durante los años siguientes, varios grupos científicos de todo el mundo estudiaron esta inusual aleación mediante microscopía electrónica de alta resolución. Todos ellos confirmaron la homogeneidad ideal de la sustancia, en la que se conservaba simetría de quinto orden en regiones macroscópicas con tamaños cercanos al tamaño de los átomos (varias decenas de nanómetros).

Según las opiniones modernas, se ha desarrollado. siguiente modelo Obtención de la estructura cristalina de un cuasicristal. Este modelo se basa en el concepto de “elemento básico”. Según este modelo, un icosaedro interior de átomos de aluminio está rodeado por un icosaedro exterior de átomos de manganeso. Los icosaedros están conectados por octaedros de átomos de manganeso. El "elemento base" contiene 42 átomos de aluminio y 12 átomos de manganeso. Durante el proceso de solidificación se produce una rápida formación de “elementos básicos”, que rápidamente se conectan entre sí mediante “puentes” octaédricos rígidos. Recuerda que las caras del icosaedro son triángulos equiláteros. Para que se forme un puente octaédrico de manganeso, es necesario que dos de esos triángulos (uno en cada celda) se acerquen lo suficiente entre sí y se alineen en paralelo. Como resultado de tal proceso físico, se forma una estructura cuasicristalina con simetría "icosaédrica".

En las últimas décadas se han descubierto muchos tipos de aleaciones cuasicristalinas. Además de las que tienen simetría “icosaédrica” (quinto orden), también existen aleaciones con simetría decagonal (décimo orden) y simetría dodecagonal (12° orden). Propiedades físicas Los cuasicristales apenas han comenzado a estudiarse.

Como se señala en el artículo de Gratia mencionado anteriormente, “la resistencia mecánica de las aleaciones cuasicristalinas aumenta considerablemente; la ausencia de periodicidad conduce a una desaceleración en la propagación de dislocaciones en comparación con los metales convencionales... Esta propiedad es de gran importancia práctica: el uso de la fase icosaédrica permitirá obtener aleaciones ligeras y muy fuertes mediante la introducción de pequeñas partículas de cuasicristales en la matriz de aluminio”.

Tetraedro en la naturaleza.

1. Fósforo

Hace más de trescientos años, cuando el alquimista de Hamburgo Genning Brand descubrió un nuevo elemento: el fósforo. Como otros alquimistas, Brand intentó encontrar el elixir de la vida o la piedra filosofal, con la ayuda de la cual los ancianos parecen más jóvenes, los enfermos se recuperan y los metales básicos se convierten en oro. Durante uno de los experimentos, evaporó la orina, mezcló el residuo con carbón y arena y continuó la evaporación. Pronto se formó una sustancia en la retorta que brillaba en la oscuridad. Los cristales de fósforo blanco están formados por moléculas de P4. Una molécula así tiene la forma de un tetraedro.

2. Ácido hipofosforoso H 3 RO 2 .

Su molécula tiene forma de tetraedro con un átomo de fósforo en el centro; en los vértices del tetraedro se encuentran dos átomos de hidrógeno, un átomo de oxígeno y un grupo hidroxo.

3. Metano.

celosía cristalina metano tiene forma de tetraedro. El metano arde con una llama incolora. Forma mezclas explosivas con el aire. Utilizado como combustible.

4. Agua.

Una molécula de agua es un pequeño dipolo que contiene cargas positivas y negativas en sus polos. Dado que la masa y la carga del núcleo de oxígeno es mayor que la de los núcleos de hidrógeno, la nube de electrones es atraída hacia el núcleo de oxígeno. En este caso, los núcleos de hidrógeno quedan “expuestos”. Por tanto, la nube de electrones tiene una densidad no uniforme. Hay una falta de densidad electrónica cerca de los núcleos de hidrógeno, y en el lado opuesto de la molécula, cerca del núcleo de oxígeno, hay un exceso de densidad electrónica. Es esta estructura la que determina la polaridad de la molécula de agua. Si conectas los epicentros de cargas positivas y negativas con líneas rectas, obtendrás una figura geométrica tridimensional: un tetraedro regular.

5. Amoníaco.

Cada molécula de amoníaco tiene un par de electrones no compartidos en el átomo de nitrógeno. Los orbitales de los átomos de nitrógeno que contienen pares de electrones no compartidos se superponen con sp Orbitales 3 híbridos de zinc (II), formando un catión complejo tetraédrico de tetraamina zinc (II) 2+.

6. Diamante

La celda unitaria de un cristal de diamante es un tetraedro con átomos de carbono ubicados en el centro y cuatro vértices. Los átomos situados en los vértices del tetraedro forman el centro del nuevo tetraedro y, por tanto, también están rodeados cada uno por cuatro átomos más, etc. Todos los átomos de carbono de la red cristalina se encuentran a la misma distancia (154 pm) entre sí.

Cubo (hexaedro) en la naturaleza.

Por un curso de física sabemos que las sustancias pueden existir en tres estados de agregación: sólido, líquido y gaseoso. Forman redes cristalinas.

Las redes cristalinas de sustancias son una disposición ordenada de partículas (átomos, moléculas, iones) en puntos estrictamente definidos del espacio. Los puntos de ubicación de las partículas se denominan nodos de la red cristalina.

Dependiendo del tipo de partículas ubicadas en los nodos de la red cristalina y la naturaleza de la conexión entre ellas, se distinguen 4 tipos de redes cristalinas: iónica, atómica, molecular, metálica.

IÓNICO

Las redes cristalinas iónicas son aquellas cuyos nodos contienen iones. Están formados por sustancias con enlaces iónicos. Las redes cristalinas iónicas contienen sales y algunos óxidos e hidróxidos metálicos. Consideremos la estructura de un cristal de sal de mesa, en cuyos nodos hay iones de cloro y sodio. Los enlaces entre iones en un cristal son muy fuertes y estables. Por tanto, las sustancias con red iónica tienen alta dureza y resistencia, son refractarias y no volátiles.

Las redes cristalinas de muchos metales (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au y otros) tienen forma de cubo.

MOLECULAR

Los moleculares son redes cristalinas en las que las moléculas se encuentran en los nodos. Los enlaces químicos que contienen son covalentes, tanto polares como apolares. Los enlaces en las moléculas son fuertes, pero los enlaces entre moléculas no son fuertes. A continuación se muestra la red cristalina del I 2. Las sustancias con MCR tienen baja dureza, se funden a bajas temperaturas, son volátiles y en condiciones normales se encuentran en estado gaseoso o líquido. poliedro simetría tetraedro

Icosaedro en la naturaleza.

Los fullerenos son sorprendentes estructuras policíclicas de forma esférica, que consisten en átomos de carbono unidos en anillos de seis y cinco miembros. Se trata de una nueva modificación del carbono que, a diferencia de las tres modificaciones conocidas anteriormente (diamante, grafito y carbino), se caracteriza por una estructura molecular más que por un polímero, es decir. Las moléculas de fullereno son discretas.

Estas sustancias deben su nombre al ingeniero y arquitecto estadounidense Richard Buckminster Fuller, quien diseñó estructuras arquitectónicas hemisféricas que consisten en hexágonos y pentágonos.

Los fullerenos C 60 y C 70 fueron sintetizados por primera vez en 1985 por H. Kroto y R. Smalley a partir de grafito bajo la influencia de un potente rayo láser. D. Huffman y W. Kretschmer lograron obtener fullereno C 60 en cantidades suficientes para la investigación en 1990, quienes evaporaron grafito mediante un arco eléctrico en una atmósfera de helio. En 1992, se descubrieron fullerenos naturales en el mineral de carbono. arruinarlo(este mineral debe su nombre al nombre del pueblo de Shunga en Karelia) y otras rocas precámbricas.

Las moléculas de fullereno pueden contener de 20 a 540 átomos de carbono ubicados en una superficie esférica. El más estable y mejor estudiado de estos compuestos, el fullereno C60 (60 átomos de carbono), consta de 20 anillos de seis miembros y 12 de cinco miembros. El esqueleto de carbono de la molécula de fullereno C 60 es icosaedro truncado.

En la naturaleza existen objetos con simetría de quinto orden. Por ejemplo, se conocen virus que contienen grupos en forma de icosaedro.

La estructura de los adenovirus también tiene forma de icosaedro. Adenovirus (del griego aden - hierro y virus), una familia de virus de ADN que causan enfermedades adenovirales en humanos y animales.

El virus de la hepatitis B es el agente causante de la hepatitis B, el principal representante de la familia de los hepadnovirus. Esta familia también incluye los virus de la hepatitis hepatotrópica de marmotas, ardillas terrestres, patos y ardillas. El virus de la hepatitis B contiene ADN. Es una partícula con un diámetro de 42-47 nm, consta de un núcleo, un nucleoide, con forma. icosaedro con un diámetro de 28 nm, en cuyo interior se encuentra el ADN, una proteína terminal y la enzima ADN polimerasa.

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"Paralelogramo" - Paralelogramo. Si un cuadrilátero tiene lados opuestos iguales en pares, entonces el cuadrilátero es un paralelogramo. Si dos lados de un cuadrilátero son iguales y paralelos. ¿Qué es un paralelogramo? Signos de un paralelogramo. En un paralelogramo, los lados opuestos y los ángulos opuestos son iguales. Las diagonales de un paralelogramo se dividen por la mitad por el punto de intersección.

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