การประชุมทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติระดับภูมิภาค ส่วนคณิตศาสตร์ Aleksandrova Kristina, Alekseeva Valeria สถาบันการศึกษางบประมาณเทศบาล "โรงเรียนมัธยม Kovalinskaya" ผู้นำชั้นประถมศึกษาปีที่ 8: Nikolaeva I.M. ครูคณิตศาสตร์ที่สถาบันการศึกษาเทศบาล "โรงเรียนมัธยม Kovalinskaya" Urmary, 2012 สารบัญ งานวิจัย : 1. บทนำ. 2. ความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่เลือก 3. เป้าหมายและวัตถุประสงค์ 4. รูปหลายเหลี่ยม 5. รูปหลายเหลี่ยมปกติ 1) สี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ 2) แทนแกรม 3) รูปหลายเหลี่ยมดาว 6. รูปหลายเหลี่ยมในธรรมชาติ 1) รังผึ้ง 2) เกล็ดหิมะ 7. รูปหลายเหลี่ยมรอบตัวเรา 1) ปาร์เก้ 2) เทสเซลเลชัน 3) การเย็บปะติดปะต่อกัน 4) เครื่องประดับ งานปัก งานถัก 5) การแกะสลักเรขาคณิต 8. ตัวอย่างชีวิตจริง 1). เมื่อทำการฝึกอบรม 2). กาแฟทำนายดวงชะตา ความหมาย 3) วิชาดูเส้นลายมือ - ดูดวงด้วยมือ 4) รูปหลายเหลี่ยมที่น่าทึ่ง 5) Pi และรูปหลายเหลี่ยมปกติ 9 รูปหลายเหลี่ยมปกติในสถาปัตยกรรม 1) สถาปัตยกรรมของกรุงมอสโกและเมืองอื่นๆ ของโลก 2). สถาปัตยกรรมเมืองเชบอคซารย์ 3) สถาปัตยกรรมหมู่บ้าน Kovali 10. บทสรุป 11. บทสรุป บทนำ ในช่วงต้นศตวรรษที่ผ่านมา กอร์บูซิเยร์ สถาปนิกชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่เคยอุทานว่า “ทุกสิ่งรอบตัวล้วนเป็นเรขาคณิต!” ปัจจุบันนี้ ในตอนต้นของศตวรรษที่ 21 เราสามารถพูดซ้ำเครื่องหมายอัศเจรีย์นี้ด้วยความประหลาดใจยิ่งกว่าเดิมอีก ลองมองไปรอบ ๆ สิ - เรขาคณิตมีอยู่ทั่วไป! ความรู้และทักษะทางเรขาคณิต วัฒนธรรมทางเรขาคณิต และการพัฒนาในปัจจุบันมีความสำคัญทางวิชาชีพสำหรับความเชี่ยวชาญเฉพาะทางสมัยใหม่จำนวนมาก สำหรับนักออกแบบและผู้สร้าง สำหรับคนงานและนักวิทยาศาสตร์ สิ่งสำคัญคือเรขาคณิตเป็นปรากฏการณ์ของวัฒนธรรมมนุษย์สากล บุคคลไม่สามารถพัฒนาวัฒนธรรมและจิตวิญญาณได้อย่างแท้จริงหากเขาไม่ได้เรียนเรขาคณิตที่โรงเรียน เรขาคณิตไม่เพียงเกิดขึ้นจากการปฏิบัติเท่านั้น แต่ยังมาจากความต้องการทางจิตวิญญาณของมนุษย์ด้วย เรขาคณิตคือโลกทั้งใบที่ล้อมรอบเราตั้งแต่แรกเกิด ท้ายที่สุดแล้ว ทุกสิ่งที่เราเห็นรอบตัวเราเกี่ยวข้องกับเรขาคณิตไม่ทางใดก็ทางหนึ่ง ไม่มีอะไรจะรอดพ้นจากการจ้องมองอย่างเอาใจใส่ของมัน เรขาคณิตช่วยให้บุคคลเดินผ่านโลกด้วยดวงตาที่เปิดกว้าง สอนให้เขามองไปรอบ ๆ อย่างรอบคอบและเห็นความงามของสิ่งธรรมดา มองและคิด คิดและสรุป “นักคณิตศาสตร์ก็เหมือนกับศิลปินหรือกวี ที่สร้างรูปแบบขึ้นมา และถ้ารูปแบบของเขามั่นคงกว่านี้ก็เพียงเพราะมันประกอบด้วยความคิด... รูปแบบของนักคณิตศาสตร์ เช่นเดียวกับรูปแบบของศิลปินหรือกวี จะต้องสวยงาม; ความคิดเช่นเดียวกับสีหรือคำพูดจะต้องสอดคล้องกัน ความงามคือข้อกำหนดแรก: ไม่มีที่ใดในโลกสำหรับคณิตศาสตร์ที่น่าเกลียด” ความเกี่ยวข้องของหัวข้อที่เลือก ในบทเรียนเรขาคณิตปีนี้ เราได้เรียนรู้คำจำกัดความ คุณลักษณะ และคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมต่างๆ วัตถุมากมายรอบตัวเรามีรูปร่างคล้ายกับรูปทรงเรขาคณิตที่เราคุ้นเคยอยู่แล้ว พื้นผิวของอิฐหรือสบู่ประกอบด้วยหกด้าน ห้อง, ตู้, ลิ้นชัก, โต๊ะ, บล็อกคอนกรีตเสริมเหล็กมีลักษณะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันซึ่งมีขอบเป็นรูปสี่เหลี่ยมที่คุ้นเคย รูปหลายเหลี่ยมมีความสวยงามอย่างไม่ต้องสงสัยและมีการใช้กันอย่างแพร่หลายในชีวิตของเรา รูปหลายเหลี่ยมมีความสำคัญสำหรับเรา หากไม่มีพวกมัน เราก็ไม่สามารถสร้างอาคาร ประติมากรรม จิตรกรรมฝาผนัง ภาพกราฟิก และอื่นๆ อีกมากมายที่สวยงามเช่นนี้ได้ คณิตศาสตร์ไม่เพียงครอบครองความจริงเท่านั้น แต่ยังมีความงดงามสูงสุดอีกด้วย - เฉียบแหลมและเข้มงวด บริสุทธิ์อย่างประเสริฐ และมุ่งมั่นเพื่อความสมบูรณ์แบบที่แท้จริง ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของตัวอย่างงานศิลปะที่ยิ่งใหญ่ที่สุดเท่านั้น ฉันเริ่มสนใจหัวข้อ "รูปหลายเหลี่ยม" หลังบทเรียน - เกมที่ครูนำเสนองานให้เรา - เทพนิยายเกี่ยวกับการเลือกกษัตริย์ รูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดรวมตัวกันในที่โล่งของป่าและเริ่มหารือเกี่ยวกับประเด็นการเลือกกษัตริย์ของพวกเขา พวกเขาโต้เถียงกันเป็นเวลานานและไม่สามารถมีความเห็นร่วมกันได้ แล้วรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานอันเก่าอันหนึ่งก็พูดว่า: "พวกเราทุกคนไปที่อาณาจักรแห่งรูปหลายเหลี่ยมกันเถอะ ใครมาก่อนจะเป็นกษัตริย์” ทุกคนเห็นด้วย ในตอนเช้าทุกคนออกเดินทางไกล ระหว่างทางนักเดินทางพบแม่น้ำที่กล่าวว่า: "เฉพาะผู้ที่มีเส้นทแยงมุมตัดกันและถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัดเท่านั้นที่จะว่ายข้ามฉัน" ร่างบางส่วนยังคงอยู่บนฝั่งส่วนที่เหลือว่ายอย่างปลอดภัยและเดินหน้าต่อไป . ระหว่างทางไปเจอภูเขาสูงที่บอกว่าให้ผ่านได้เฉพาะคนที่มีเส้นทแยงมุมเท่ากันเท่านั้น นักเดินทางหลายคนยังคงอยู่ใกล้ภูเขา ส่วนที่เหลือเดินทางต่อ เราไปถึงหน้าผาใหญ่ซึ่งมีสะพานแคบๆ สะพานบอกว่าจะช่วยให้ผู้ที่มีเส้นทแยงมุมตัดกันเป็นมุมฉากสามารถผ่านไปได้ มีรูปหลายเหลี่ยมเพียงรูปเดียวเท่านั้นที่ข้ามสะพาน ซึ่งเป็นคนแรกที่ไปถึงอาณาจักรและได้รับสถาปนาเป็นกษัตริย์ พวกเขาจึงเลือกกษัตริย์ ฉันยังเลือกหัวข้อสำหรับงานวิจัยของฉันด้วย วัตถุประสงค์ของงานวิจัย: การประยุกต์รูปหลายเหลี่ยมในโลกรอบตัวเราในทางปฏิบัติ วัตถุประสงค์: 1. ดำเนินการทบทวนวรรณกรรมในหัวข้อนี้ 2. แสดงการใช้งานจริงของรูปหลายเหลี่ยมปกติในโลกรอบตัวเรา คำถามที่มีปัญหา: รูปหลายเหลี่ยมครอบครองสถานที่ใดในชีวิตของเรา? วิธีการวิจัย: การรวบรวมและการจัดโครงสร้างวัสดุที่รวบรวมในขั้นตอนต่างๆ ของการวิจัย ทำภาพวาดและภาพวาด ภาพถ่าย วัตถุประสงค์การใช้งานจริง: ความเป็นไปได้ในการประยุกต์ความรู้ที่ได้รับในชีวิตประจำวันเมื่อศึกษาหัวข้อในวิชาอื่น การทำความคุ้นเคยและการประมวลผลวรรณกรรม ข้อมูลจากอินเทอร์เน็ต พบปะกับชาวหมู่บ้าน ขั้นตอนของงานวิจัย: · การเลือกหัวข้อการวิจัยที่สนใจ · การอภิปรายแผนการวิจัยและผลลัพธ์ระดับกลาง · ทำงานร่วมกับแหล่งข้อมูลต่างๆ · การปรึกษาหารือระดับกลางกับครู · การพูดในที่สาธารณะพร้อมการนำเสนอสื่อการนำเสนอ อุปกรณ์ที่ใช้ : กล้องดิจิตอล อุปกรณ์มัลติมีเดีย สมมติฐาน: รูปหลายเหลี่ยมสร้างความงามในสภาพแวดล้อมของมนุษย์ หัวข้อการศึกษา: คุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมในชีวิตประจำวัน ชีวิต ธรรมชาติ หมายเหตุ: งานที่เสร็จสมบูรณ์ทั้งหมดไม่เพียงแต่ประกอบด้วยข้อมูลเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเนื้อหาทางวิทยาศาสตร์ด้วย แต่ละส่วนมีการนำเสนอด้วยคอมพิวเตอร์ซึ่งแสดงให้เห็นแต่ละด้านของการวิจัย ฐานการทดลอง. ความสำเร็จของงานวิจัยได้รับการสนับสนุนจากบทเรียนในวงกลม “เรขาคณิตรอบตัวเรา” และบทเรียนในเรขาคณิต ภูมิศาสตร์ และฟิสิกส์ บทวิจารณ์วรรณกรรมโดยย่อ: เราได้เรียนรู้เกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมในบทเรียนเรขาคณิต นอกจากนี้เรายังได้เรียนรู้จากหนังสือของ Y.I. Perelman เรื่อง "Entertaining Geometry", นิตยสาร "Mathematics at School", หนังสือพิมพ์ "Mathematics" ซึ่งเป็นพจนานุกรมสารานุกรมของนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ที่เรียบเรียงโดย B.V. Gnedenko ข้อมูลบางส่วนนำมาจากนิตยสาร "อ่าน เรียนรู้ เล่น" ข้อมูลมากมายได้มาจากอินเทอร์เน็ต การมีส่วนร่วมส่วนตัว: เพื่อเชื่อมโยงคุณสมบัติของรูปหลายเหลี่ยมกับชีวิต พวกเขาเริ่มพูดคุยกับนักเรียนและครูที่มีปู่ย่าตายายหรือญาติคนอื่นๆ มีส่วนร่วมในการแกะสลัก เย็บปักถักร้อย ถักนิตติ้ง งานเย็บปะติดปะต่อกัน ฯลฯ เราได้รับข้อมูลอันมีค่าจากพวกเขา เนื้อหาของงานวิจัย: รูปหลายเหลี่ยม เราตัดสินใจศึกษารูปทรงเรขาคณิตที่มีอยู่รอบตัวเรา เมื่อเริ่มสนใจปัญหาแล้ว เราจึงจัดทำแผนงานขึ้นมา เราตัดสินใจศึกษา: การใช้รูปหลายเหลี่ยมในกิจกรรมเชิงปฏิบัติของมนุษย์ เพื่อตอบคำถามที่ถูกตั้งไว้ เราต้อง: คิดด้วยตัวเอง ถามบุคคลอื่น ปรึกษาหนังสือ และดำเนินการสังเกตการณ์ เราค้นหาคำตอบสำหรับคำถามในหนังสือ - เราศึกษารูปหลายเหลี่ยมอะไรบ้าง? เราทำการสังเกตเพื่อตอบคำถาม - ฉันสามารถดูสิ่งนี้ได้ที่ไหน? บทเรียนถูกจัดขึ้น กิจกรรมนอกหลักสูตรในวิชาคณิตศาสตร์ “ขบวนแห่รูปสี่เหลี่ยม” โดยได้เรียนรู้เกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปสี่เหลี่ยม เรขาคณิตในงานสถาปัตยกรรม สถาปัตยกรรมสมัยใหม่ใช้รูปทรงเรขาคณิตที่หลากหลายอย่างกล้าหาญ อาคารที่อยู่อาศัยหลายแห่งตกแต่งด้วยเสา รูปทรงเรขาคณิตต่างๆ สามารถมองเห็นได้ในการก่อสร้างอาสนวิหารและการออกแบบสะพาน เรขาคณิตในธรรมชาติ มีรูปทรงเรขาคณิตที่สวยงามมากมายในธรรมชาติ รูปหลายเหลี่ยมที่สร้างขึ้นโดยธรรมชาติมีความสวยงามและหลากหลายอย่างไม่น่าเชื่อ I. รูปหลายเหลี่ยมปกติ เรขาคณิตเป็นวิทยาศาสตร์โบราณและมีการคำนวณครั้งแรกเมื่อกว่าพันปีก่อน คนโบราณทำเครื่องประดับเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และวงกลมบนผนังถ้ำ ตั้งแต่สมัยโบราณ รูปหลายเหลี่ยมปกติถือเป็นสัญลักษณ์แห่งความงามและความสมบูรณ์แบบ เมื่อเวลาผ่านไป มนุษย์เรียนรู้ที่จะใช้คุณสมบัติของตัวเลขในชีวิตจริง เรขาคณิตในชีวิตประจำวัน ผนัง พื้น และเพดานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า หลายสิ่งหลายอย่างมีลักษณะคล้ายสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน หรือสี่เหลี่ยมคางหมู ในบรรดารูปหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มีด้านตามจำนวนที่กำหนด สิ่งที่น่ามองมากที่สุดคือรูปหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งด้านทุกด้านเท่ากันและทุกมุมเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมรูปหนึ่งเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส หรืออีกนัยหนึ่ง รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติ สี่เหลี่ยมจัตุรัสสามารถนิยามได้หลายวิธี ได้แก่ สี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสี่เหลี่ยมจัตุรัสซึ่งมีด้านทุกด้านเท่ากัน และสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่ทุกมุมตั้งฉากกัน จากหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนที่เรารู้จัก: สี่เหลี่ยมจัตุรัสมีทุกด้านเท่ากัน ทุกมุมถูกต้อง เส้นทแยงมุมเท่ากัน ตั้งฉากกัน จุดตัดแบ่งออกเป็นครึ่ง และมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแบ่งออกเป็นครึ่งหนึ่ง สี่เหลี่ยมมีแถว คุณสมบัติที่น่าสนใจ - ตัวอย่างเช่นหากคุณต้องการล้อมพื้นที่สี่เหลี่ยมของพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุดด้วยรั้วตามความยาวที่กำหนดคุณควรเลือกพื้นที่นี้ในรูปของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จัตุรัสมีความสมมาตร ซึ่งให้ความเรียบง่ายและมีรูปแบบที่สมบูรณ์แบบ โดยจัตุรัสทำหน้าที่เป็นมาตรฐานในการวัดพื้นที่ของตัวเลขทั้งหมด ในหนังสือ “The Amazing Square” โดย บี.เอ. Kordemsky และ N.V. รูซาเลฟนำเสนอรายละเอียดการพิสูจน์คุณสมบัติบางอย่างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยกตัวอย่าง "กำลังสองสมบูรณ์" และวิธีแก้ปัญหาหนึ่งของการตัดสี่เหลี่ยมจัตุรัสโดยอาบุล เวฟา นักคณิตศาสตร์ชาวอาหรับในคริสต์ศตวรรษที่ 10 I. หนังสือ "Fascinating Mathematics" ของเลห์แมนมีปัญหาหลายสิบข้อ รวมถึงบางปัญหาที่มีอายุหลายพันปีด้วย เพื่อให้เข้าใจการก่อสร้างโดยการพับกระดาษสี่เหลี่ยมจัตุรัสอย่างสมบูรณ์ ฉันใช้หนังสือของ I.N. Sergeev "ประยุกต์คณิตศาสตร์" ที่นี่คุณสามารถแสดงรายการปริศนาสี่เหลี่ยมจำนวนหนึ่งได้: สี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์, แทนแกรม, เพนโตมิโน, เทโตรมิโน, โพลีโอมิโน, ท้อง, โอริกามิ ฉันอยากจะพูดถึงบางส่วนของพวกเขา 1. สี่เหลี่ยมเวทย์มนตร์ ศักดิ์สิทธิ์ มหัศจรรย์ ลึกลับ ลึกลับ สมบูรณ์แบบ... ทันทีที่พวกเขาถูกเรียก “ ฉันไม่รู้จักเลขคณิตใดที่สวยงามไปกว่าตัวเลขเหล่านี้ซึ่งถูกเรียกโดยดาวเคราะห์บางดวงและเวทมนตร์ของผู้อื่น” นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้โด่งดังซึ่งเป็นหนึ่งในผู้สร้างทฤษฎีจำนวน Pierre de Fermat เขียนเกี่ยวกับพวกเขา น่าดึงดูดด้วยความงามตามธรรมชาติที่เต็มไปด้วยความสามัคคีภายใน เข้าถึงได้ แต่ยังคงเข้าใจยากซ่อนความลับมากมายเบื้องหลังความเรียบง่ายที่ชัดเจน... พบกับ Magic Squares - ตัวแทนที่น่าทึ่งของโลกแห่งจินตนาการของตัวเลข สี่เหลี่ยมมหัศจรรย์มีต้นกำเนิดในสมัยโบราณในประเทศจีน จัตุรัสเวทมนตร์ที่ "เก่าแก่ที่สุด" ที่มาหาเราอาจเป็นโต๊ะ Lo Shu (ประมาณ 2200 ปีก่อนคริสตกาล) มีขนาด 3x3 และเต็มไปด้วยตัวเลขธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 9 2. Tangram Tangram เป็นเกมที่มีชื่อเสียงระดับโลกที่สร้างจากปริศนาจีนโบราณ ตามตำนานเมื่อ 4 พันปีก่อน กระเบื้องเซรามิกชิ้นหนึ่งหลุดออกจากมือของชายคนหนึ่งและแตกออกเป็น 7 ชิ้น ด้วยความตื่นเต้นเขาจึงพยายามรวบรวมมันกับเจ้าหน้าที่ของเขา แต่จากส่วนที่แต่งใหม่ ผมก็ได้ภาพใหม่ๆ ที่น่าสนใจทุกครั้ง ในไม่ช้ากิจกรรมนี้กลายเป็นเรื่องที่น่าตื่นเต้นและน่างงงวยมากจนจัตุรัสที่ประกอบด้วยรูปทรงเรขาคณิตเจ็ดรูปทรงถูกเรียกว่ากระดานแห่งปัญญา หากคุณตัดสี่เหลี่ยมคุณจะได้ปริศนาจีนยอดนิยม TANGRAM ซึ่งในประเทศจีนเรียกว่า "chi tao tu" เช่น ปริศนาจิตเจ็ดชิ้น ชื่อ "แทนแกรม" มีต้นกำเนิดในยุโรปน่าจะมาจากคำว่า "ตาล" ซึ่งแปลว่า "จีน" และรากศัพท์คือ "กรัม" ในประเทศของเรา ปัจจุบันมีชื่อสามัญว่า "พีทาโกรัส" 3. รูปหลายเหลี่ยมรูปดาว นอกจากรูปหลายเหลี่ยมปกติทั่วไปแล้ว ยังมีรูปหลายเหลี่ยมรูปดาวด้วย คำว่า "stellate" มีรากศัพท์มาจากคำว่า "star" ซึ่งไม่ได้บ่งบอกถึงที่มาของมัน รูปห้าเหลี่ยมดาวเรียกว่ารูปดาวห้าแฉก ชาวพีทาโกรัสเลือกดาวห้าแฉกเป็นเครื่องรางซึ่งถือว่าเป็นสัญลักษณ์ของสุขภาพและทำหน้าที่เป็นเครื่องหมายประจำตัว มีตำนานเล่าว่าชาวพีทาโกรัสคนหนึ่งป่วยอยู่ในบ้านของคนแปลกหน้า พวกเขาพยายามจะพาเขาออกไปแต่โรคนี้ยังไม่ทุเลาลง หากไม่มีเงินจ่ายค่ารักษาและดูแล ผู้ป่วยก่อนเสียชีวิตจึงขอให้เจ้าของบ้านวาดรูปดาวห้าแฉกที่ทางเข้า โดยอธิบายว่าป้ายนี้จะมีคนให้รางวัลแก่เขา และในความเป็นจริง หลังจากนั้นไม่นาน หนึ่งในชาวพีทาโกรัสที่เดินทางสังเกตเห็นดาวดวงหนึ่ง และเริ่มถามเจ้าของบ้านว่ามันปรากฏที่ทางเข้าอย่างไร หลังจากเรื่องราวของเจ้าของ แขกก็ให้รางวัลเขาอย่างไม่เห็นแก่ตัว รูปดาวห้าแฉกเป็นที่รู้จักกันดีในอียิปต์โบราณ แต่ถูกนำมาใช้โดยตรงเพื่อเป็นสัญลักษณ์ของสุขภาพในสมัยกรีกโบราณเท่านั้น มันเป็นดาวห้าแฉกแห่งท้องทะเลที่ "แนะนำ" ให้เราทราบถึงอัตราส่วนทองคำ อัตราส่วนนี้ต่อมาเรียกว่า "อัตราส่วนทองคำ" ที่นั่นจะรู้สึกถึงความงามและความกลมกลืน มนุษย์ที่สร้างขึ้นอย่างดี, รูปปั้น, วิหารพาร์เธนอนอันงดงามที่สร้างขึ้นในกรุงเอเธนส์ก็อยู่ภายใต้กฎของอัตราส่วนทองคำเช่นกัน ใช่ ชีวิตมนุษย์ทุกคนต้องการจังหวะและความกลมกลืน 4. รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตลเลต รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตเลทเป็นรูปทรงทางเรขาคณิตที่สวยงามตระการตา การใคร่ครวญถึงสิ่งนี้ทำให้เกิดความพึงพอใจในเชิงสุนทรีย์ รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบสเตเลทหลายรูปแบบได้รับการแนะนำโดยธรรมชาติ เกล็ดหิมะเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว มีคนรู้จักหลายพันคน หลากหลายชนิด เกล็ดหิมะ แต่หลุยส์ พอยโซต์สามารถค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวอีก 2 รูปในอีก 200 ปีต่อมา ดังนั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาวจึงถูกเรียกว่าวัตถุเคปเลอร์–พอยน์โซต์ ด้วยความช่วยเหลือของรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปดาว รูปแบบจักรวาลที่ไม่เคยมีมาก่อนได้ระเบิดเข้าสู่สถาปัตยกรรมที่น่าเบื่อของเมืองของเรา รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ผิดปกติ "Star" โดย Doctor of Art Sciences V. N. Gamayunov เป็นแรงบันดาลใจให้สถาปนิก V. A. Somov สร้างโครงการสำหรับหอสมุดแห่งชาติในดามัสกัส หนังสือ "Harmony of the World" ของโยฮันเนส เคปเลอร์ผู้ยิ่งใหญ่เป็นที่รู้จัก และในงานของเขา "On Hexagonal Snowflakes" เขาเขียนว่า "การสร้างรูปห้าเหลี่ยมเป็นไปไม่ได้หากไม่มีสัดส่วนที่นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่เรียกว่า "ศักดิ์สิทธิ์" เขาค้นพบรูปทรงหลายเหลี่ยมที่เป็นดาวฤกษ์ปกติสองอันแรก โพลีเฮดรารูปดาวมีการตกแต่งอย่างดีซึ่งช่วยให้สามารถนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในอุตสาหกรรมเครื่องประดับในการผลิตเครื่องประดับทุกชนิด พวกเขายังใช้ในสถาปัตยกรรมอีกด้วย สรุป: มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอยู่ไม่กี่ตัวที่น่าตกใจ แต่ทีมที่เจียมเนื้อเจียมตัวนี้สามารถเจาะลึกวิทยาศาสตร์ต่างๆ ได้ รูปทรงหลายเหลี่ยมของดาวเป็นรูปทรงทางเรขาคณิตที่สวยงามตระการตา ซึ่งการใคร่ครวญซึ่งให้ความสุขทางสุนทรีย์ คนโบราณเห็นความงามบนผนังถ้ำเป็นรูปทรงสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และวงกลม ตั้งแต่สมัยโบราณ รูปหลายเหลี่ยมปกติถือเป็นสัญลักษณ์แห่งความงามและความสมบูรณ์แบบ รูปห้าเหลี่ยมรูปดาว - รูปดาวห้าแฉกถือเป็นสัญลักษณ์ของสุขภาพและทำหน้าที่เป็นเครื่องหมายประจำตัวของชาวพีทาโกรัส ครั้งที่สอง รูปหลายเหลี่ยมในธรรมชาติ 1. รวงผึ้ง รูปหลายเหลี่ยมปกติพบได้ในธรรมชาติ ตัวอย่างหนึ่งคือรังผึ้ง ซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่ปกคลุมไปด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ แน่นอนว่าพวกเขาไม่ได้ศึกษาเรขาคณิต แต่ธรรมชาติทำให้พวกเขามีความสามารถในการสร้างบ้านเป็นรูปทรงเรขาคณิต บนรูปหกเหลี่ยมเหล่านี้ ผึ้งจะเติบโตเซลล์จากขี้ผึ้ง ผึ้งจะสะสมน้ำผึ้งไว้ในนั้น จากนั้นจึงคลุมอีกครั้งด้วยแว็กซ์ทรงสี่เหลี่ยมทึบ ทำไมผึ้งถึงเลือกรูปหกเหลี่ยม? เพื่อตอบคำถามนี้ คุณต้องเปรียบเทียบเส้นรอบรูปของรูปหลายเหลี่ยมต่างๆ ที่มีพื้นที่เท่ากัน ให้สามเหลี่ยมปกติ สี่เหลี่ยมจตุรัส และหกเหลี่ยมธรรมดามา รูปหลายเหลี่ยมใดต่อไปนี้มีเส้นรอบรูปเล็กที่สุด ให้ S เป็นพื้นที่ของตัวเลขแต่ละรูปที่ระบุชื่อ ด้าน a n เป็นสามเหลี่ยมปกติที่สอดคล้องกัน เพื่อเปรียบเทียบเส้นรอบวง เราเขียนอัตราส่วน: P3: P4: P6 = 1: 0.877: 0.816 เราจะเห็นว่ารูปหลายเหลี่ยมปกติสามรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน รูปหกเหลี่ยมปกติจะมีเส้นรอบรูปเล็กที่สุด ดังนั้นผึ้งที่ฉลาดจึงประหยัดขี้ผึ้งและเวลาในการสร้างรวงผึ้ง ความลับทางคณิตศาสตร์ของผึ้งไม่ได้จบเพียงแค่นั้น การสำรวจโครงสร้างของรวงผึ้งเพิ่มเติมเป็นเรื่องน่าสนใจ Smart bees เติมเต็มพื้นที่จนไม่มีช่องว่าง ประหยัดขี้ผึ้ง 2% จะไม่เห็นด้วยกับความคิดเห็นของผึ้งจากเทพนิยายเรื่องพันหนึ่งคืนได้อย่างไร: “ บ้านของฉันสร้างขึ้นตามกฎหมายของสถาปัตยกรรมที่เข้มงวดที่สุด ยูคลิดเองก็สามารถเรียนรู้จากเรขาคณิตของรวงผึ้งของฉันได้” ดังนั้น ด้วยความช่วยเหลือของเรขาคณิต เราได้สัมผัสถึงความลับของผลงานชิ้นเอกทางคณิตศาสตร์ที่ทำจากขี้ผึ้ง และทำให้แน่ใจอีกครั้งถึงประสิทธิภาพที่ครอบคลุมของคณิตศาสตร์ ดังนั้น เหล่าผึ้งที่ไม่รู้คณิตศาสตร์ จึง "กำหนด" ได้อย่างถูกต้องว่ารูปหกเหลี่ยมปกติมีเส้นรอบวงที่เล็กที่สุดในบรรดาตัวเลขที่มีพื้นที่เท่ากัน คนเลี้ยงผึ้ง Nikolai Mikhailovich Kuznetsov อาศัยอยู่ในหมู่บ้านของเรา เขาเกี่ยวข้องกับผึ้งมาตั้งแต่เด็ก เขาอธิบายว่าเมื่อสร้างรวงผึ้ง ผึ้งจะพยายามทำให้รังผึ้งมีขนาดใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ตามสัญชาตญาณ และใช้ขี้ผึ้งให้น้อยที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ รูปทรงหกเหลี่ยมเป็นรูปทรงที่ประหยัดและมีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับการก่อสร้างแบบรังผึ้ง ปริมาตรเซลล์ประมาณ 0.28 cm3 เมื่อสร้างรวงผึ้ง ผึ้งจะใช้สนามแม่เหล็กโลกเป็นตัวนำทาง เซลล์ของรวงผึ้ง ได้แก่ โดรน น้ำผึ้ง และกก มีขนาดและความลึกต่างกัน อันที่รักนั้นลึกกว่า ส่วนโดรนนั้นกว้างกว่า 2. เกล็ดหิมะ เกล็ดหิมะเป็นหนึ่งในสิ่งมีชีวิตที่สวยงามที่สุดในธรรมชาติ ความสมมาตรหกเหลี่ยมตามธรรมชาติเกิดขึ้นจากคุณสมบัติของโมเลกุลของน้ำ ซึ่งมีโครงผลึกหกเหลี่ยมยึดติดกันด้วยพันธะไฮโดรเจน ทำให้มีรูปแบบโครงสร้างที่มีพลังงานศักย์น้อยที่สุดในบรรยากาศเย็น ความงดงามและความหลากหลายของรูปทรงเรขาคณิตของเกล็ดหิมะยังคงถือเป็นปรากฏการณ์ทางธรรมชาติที่มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว นักคณิตศาสตร์รู้สึกประทับใจเป็นพิเศษกับ “จุดสีขาวเล็กๆ” ที่พบในใจกลางของเกล็ดหิมะ ราวกับว่ามันเป็นร่องรอยของขาของเข็มทิศที่ใช้กำหนดเส้นรอบวงของมัน” โยฮันเนส เคปเลอร์ นักดาราศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ในบทความเรื่อง “ของขวัญปีใหม่บนเกล็ดหิมะหกเหลี่ยม” อธิบายรูปร่างของคริสตัลตามพระประสงค์ของพระเจ้า นาคายะ อุกิจิโระ นักวิทยาศาสตร์ชาวญี่ปุ่น เรียกหิมะว่า “จดหมายจากสวรรค์ เขียนด้วยอักษรอียิปต์โบราณที่เป็นความลับ” เขาเป็นคนแรกที่สร้างการจำแนกประเภทของเกล็ดหิมะ พิพิธภัณฑ์เกล็ดหิมะแห่งเดียวในโลกที่ตั้งอยู่บนเกาะฮอกไกโด ตั้งชื่อตามนาไค แล้วทำไมเกล็ดหิมะถึงมีหกเหลี่ยมล่ะ? เคมี: ในโครงสร้างผลึกของน้ำแข็ง แต่ละโมเลกุลของน้ำมีส่วนร่วมในพันธะไฮโดรเจน 4 พันธะที่พุ่งตรงไปยังจุดยอดของจัตุรมุขที่มุมที่กำหนดอย่างเคร่งครัดเท่ากับ 109°28" (ในขณะที่โครงสร้างน้ำแข็ง I, Ic, VII และ VIII จัตุรมุขนี้เป็นปกติ ). ในใจกลางของจัตุรมุขนี้มีอะตอมออกซิเจนที่จุดยอดสองจุดจะมีอะตอมไฮโดรเจนซึ่งอิเล็กตรอนมีส่วนร่วมในการก่อตัวของพันธะโควาเลนต์กับออกซิเจน จุดยอดที่เหลืออีกสองจุดถูกครอบครองโดยอิเล็กตรอนวาเลนซ์ออกซิเจนคู่หนึ่ง ซึ่งไม่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของพันธะภายในโมเลกุล ตอนนี้มันชัดเจนแล้วว่าทำไมผลึกน้ำแข็งถึงเป็นรูปหกเหลี่ยม ลักษณะสำคัญที่กำหนดรูปร่างของคริสตัลคือการเชื่อมต่อระหว่างโมเลกุลของน้ำ คล้ายกับการเชื่อมต่อของการเชื่อมโยงในสายโซ่ นอกจากนี้ เนื่องจากอัตราส่วนความร้อนและความชื้นที่แตกต่างกัน ผลึกซึ่งโดยหลักการแล้วควรจะเหมือนกันจึงมีรูปร่างที่แตกต่างกัน เมื่อชนกับหยดเล็กๆ ที่เย็นจัดเป็นพิเศษระหว่างทาง เกล็ดหิมะจึงทำให้รูปร่างดูเรียบง่ายขึ้นในขณะที่ยังคงรักษาความสมมาตรไว้ เรขาคณิต: หลักการก่อรูปเลือกรูปหกเหลี่ยมปกติไม่ใช่จากความจำเป็นที่กำหนดโดยคุณสมบัติของสสารและพื้นที่ แต่เพียงเพราะคุณสมบัติโดยธรรมชาติของมันจึงครอบคลุมระนาบได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่มีช่องว่างเดียว และอยู่ใกล้กับวงกลมของตัวเลขทั้งหมดมากที่สุด ที่มีคุณสมบัติเหมือนกัน ครูฟิสิกส์ - L.N. Sofronova ที่อุณหภูมิต่ำกว่า 0°C ไอน้ำจะเปลี่ยนเป็นสถานะของแข็งและกลายเป็นผลึกน้ำแข็งแทนหยดน้ำ ผลึกน้ำหลักมีรูปร่างเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติในระนาบ จากนั้นคริสตัลใหม่จะถูกสะสมบนจุดยอดของรูปหกเหลี่ยมคริสตัลใหม่จะถูกสะสมไว้และนี่คือวิธีการได้รับดาวรูปทรงต่างๆ - เกล็ดหิมะซึ่งเราคุ้นเคย ครูคณิตศาสตร์ – Nikolaeva I.M. ในบรรดารูปทรงเรขาคณิตปกติทั้งหมด มีเพียงสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส และหกเหลี่ยมเท่านั้นที่สามารถเติมระนาบได้โดยไม่ทิ้งช่องว่าง โดยมีรูปหกเหลี่ยมปกติครอบคลุมพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุด ในฤดูหนาวเรามีหิมะเยอะมาก นั่นเป็นเหตุผลที่ธรรมชาติเลือกเกล็ดหิมะหกเหลี่ยมเพื่อใช้พื้นที่น้อยลง ครูสอนเคมี – Maslova N.G. เกล็ดหิมะรูปร่างหกเหลี่ยมนั้นอธิบายได้ด้วยโครงสร้างโมเลกุลของน้ำ แต่คำถามที่ว่าทำไมเกล็ดหิมะถึงแบนยังไม่ได้รับคำตอบ ความงามของเกล็ดหิมะแสดงโดย E. Yevtushenko ในบทกวีของเขา จากเกล็ดหิมะไปจนถึงน้ำแข็ง พระองค์ทรงนอนลงบนพื้นและบนหลังคา ทำให้ทุกคนขาวโพลนไป พระองค์งดงามมาก พระองค์งดงามมาก... สาม. รูปหลายเหลี่ยมรอบตัวเรา “ศิลปะแห่งการตกแต่งประกอบด้วยส่วนที่เก่าแก่ที่สุดของคณิตศาสตร์ชั้นสูงที่เรารู้จักในรูปแบบโดยปริยาย” เฮอร์แมน ไวล์ 1. Parquet Lizards ซึ่งวาดโดยศิลปินชาวดัตช์ M. Escher ก่อตัวขึ้นตามที่นักคณิตศาสตร์เรียกว่า "ไม้ปาร์เก้" กิ้งก่าแต่ละตัวมีขนาดพอดีกับเพื่อนบ้านโดยไม่มีช่องว่างแม้แต่น้อย เช่น พื้นไม้ปาร์เก้ การแบ่งระนาบปกติเรียกว่า "โมเสก" คือชุดของตัวเลขปิดที่สามารถใช้เพื่อเรียงต่อระนาบโดยไม่มีจุดตัดกันของตัวเลขและมีช่องว่างระหว่างพวกมัน โดยทั่วไปแล้ว นักคณิตศาสตร์จะใช้รูปหลายเหลี่ยมอย่างง่าย เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม หกเหลี่ยม แปดเหลี่ยม หรือการรวมกันของตัวเลขเหล่านี้เป็นรูปทรงเพื่อสร้างโมเสก พื้นไม้ปาร์เก้ที่สวยงามทำจากรูปหลายเหลี่ยมปกติ: สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยม, ห้าเหลี่ยม, หกเหลี่ยม, แปดเหลี่ยม ตัวอย่างเช่น วงกลมไม่สามารถสร้างไม้ปาร์เก้ได้ พื้นไม้ปาร์เก้ถือเป็นสัญลักษณ์ของศักดิ์ศรีและรสนิยมที่ดีมาโดยตลอด การใช้พันธุ์ไม้ที่มีคุณค่าในการผลิตไม้ปาร์เก้ที่หรูหราและการใช้ลวดลายเรขาคณิตต่างๆ ทำให้ห้องมีความซับซ้อนและน่านับถือ ประวัติความเป็นมาของไม้ปาร์เก้เชิงศิลปะนั้นเก่าแก่มาก - มีอายุย้อนกลับไปประมาณศตวรรษที่ 12 ในเวลานั้นกระแสใหม่เริ่มปรากฏในคฤหาสน์พระราชวังปราสาทและที่ดินของครอบครัวผู้สูงศักดิ์และสูงส่ง - พระปรมาภิไธยย่อและเครื่องราชอิสริยาภรณ์บนพื้นห้องโถงห้องโถงและห้องโถงซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของความร่วมมือพิเศษกับอำนาจที่เป็น . ไม้ปาร์เก้ศิลปะชิ้นแรกถูกจัดวางค่อนข้างดั้งเดิมจากมุมมองสมัยใหม่ - จากชิ้นไม้ธรรมดาที่เข้ากับสี ปัจจุบันมีการก่อตัวของเครื่องประดับที่ซับซ้อนและการผสมผสานกระเบื้องโมเสค ความสำเร็จนี้เกิดขึ้นได้ด้วยการใช้เลเซอร์และการตัดเชิงกลที่มีความแม่นยำสูง ในตอนต้นของศตวรรษที่ 19 แทนที่จะเป็นเส้นสายที่ประณีตของการออกแบบไม้ปาร์เก้ กลับมีเส้นเรียบง่าย รูปทรงที่สะอาดตาและรูปทรงเรขาคณิตปกติปรากฏขึ้น และความสมมาตรที่เข้มงวดในโครงสร้างองค์ประกอบ แรงบันดาลใจทั้งหมดในงานศิลปะการตกแต่งมีจุดมุ่งหมายเพื่อแสดงความกล้าหาญและโบราณวัตถุคลาสสิกที่มีความหมายอย่างมีเอกลักษณ์ ไม้ปาร์เก้ได้รับรูปทรงเรขาคณิตที่รุนแรง: ตอนนี้เป็นหมากฮอสแข็ง, ตอนนี้เป็นวงกลม, ตอนนี้เป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือรูปหลายเหลี่ยมโดยแบ่งเป็นแถบแคบ ๆ ในทิศทางที่ต่างกัน ในหนังสือพิมพ์สมัยนั้นสามารถพบโฆษณาที่เสนอให้เลือกไม้ปาร์เก้ที่มีดีไซน์นี้ พื้นไม้ปาร์เก้ที่มีลักษณะเฉพาะของรัสเซียคลาสสิกในศตวรรษที่ 19 คือไม้ปาร์เก้ที่ออกแบบโดยสถาปนิก Voronikhin ในบ้าน Stroganov บน Nevsky Prospekt ไม้ปาร์เก้ทั้งหมดประกอบด้วยโล่ขนาดใหญ่ที่มีสี่เหลี่ยมจัตุรัสวางซ้อนกันอย่างแม่นยำ ที่กากบาทซึ่งมีดอกกุหลาบสี่กลีบซึ่งมีลายเส้นเล็กน้อยด้วยกราฟีม ไม้ปาร์เก้ทั่วไปที่สุด ต้น XIXศตวรรษเป็นพื้นไม้ปาร์เก้ของสถาปนิก C. Rossi ภาพวาดเกือบทั้งหมดในนั้นมีความโดดเด่นด้วยการพูดน้อย, การทำซ้ำ, เรขาคณิตและการแบ่งที่ชัดเจนด้วยแผ่นไม้ตรงหรือเฉียงที่รวมพื้นไม้ปาร์เก้ทั้งหมดของอพาร์ทเมนท์เข้าด้วยกัน สถาปนิก Stasov เลือกพื้นปาร์เกต์ที่ประกอบด้วยรูปทรงสี่เหลี่ยมและรูปหลายเหลี่ยมที่เรียบง่าย ในโครงการทั้งหมดของ Stasov เรารู้สึกได้ถึงความเข้มงวดเช่นเดียวกับ Rossi แต่ความจำเป็นในการดำเนินการบูรณะที่พังทลายลงหลังจากไฟไหม้ในพระราชวังทำให้มีความหลากหลายและกว้างขึ้น เช่นเดียวกับ Rossi พื้นไม้ปาร์เก้ของ Stasov ในห้องรับแขกสีน้ำเงินของพระราชวังแคทเธอรีนถูกสร้างขึ้นจากสี่เหลี่ยมธรรมดา ๆ ที่รวมกันด้วยแผ่นแนวนอน แนวตั้ง หรือแนวทแยง ทำให้เกิดเซลล์ขนาดใหญ่ที่แบ่งแต่ละตารางออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูป พื้นปาร์เกต์ของห้องสมุดของ Maria Feodorovna ยังพบรูปทรงเรขาคณิตซึ่งมีเพียงไม้ปาร์เก้หลากหลายสี - ชิงชัน, ผักโขม, มะฮอกกานี, ชิงชัน ฯลฯ - นำมาซึ่งแอนิเมชั่น สีเด่นของไม้ปาร์เก้คือมะฮอกกานีซึ่งด้านข้างของสี่เหลี่ยมและสี่เหลี่ยมนั้นทำด้วยไม้ลูกแพร์ล้อมรอบด้วยไม้มะเกลือบาง ๆ ซึ่งให้ความชัดเจนและเป็นเส้นตรงให้กับลวดลายทั้งหมด ไม้เมเปิลบนไม้ปาร์เก้ทั้งหมดได้รับอย่างล้นหลามในรูปแบบของริบบิ้น, ใบโอ๊ก, ดอกกุหลาบและไอโอไนต์ พื้นไม้ปาร์เก้ทั้งหมดนี้ไม่มีลวดลายหลักตรงกลาง แต่ทั้งหมดประกอบด้วยลวดลายเรขาคณิตที่ซ้ำกัน ไม้ปาร์เก้ที่คล้ายกันถูกเก็บรักษาไว้ บ้านเก่า Yusupov ในเซนต์ปีเตอร์สเบิร์ก สถาปนิก Stasov และ Bryullov บูรณะอพาร์ทเมนท์ พระราชวังฤดูหนาว หลังเหตุเพลิงไหม้ในปี พ.ศ. 2380 Stasov สร้างไม้ปาร์เก้ของพระราชวังฤดูหนาวในรูปแบบที่เคร่งขรึมอนุสาวรีย์และเป็นทางการของรัสเซียคลาสสิกในยุค 30 ของศตวรรษที่ 19 สีของไม้ปาร์เก้ยังได้รับการคัดเลือกแบบคลาสสิกโดยเฉพาะ ในการเลือกไม้ปาร์เก้เมื่อไม่จำเป็นต้องรวมไม้ปาร์เก้เข้ากับลวดลายของเพดาน Stasov ยังคงยึดมั่นในหลักการจัดองค์ประกอบของเขา ตัวอย่างเช่นพื้นไม้ปาร์เก้ของแกลเลอรีปี 1812 มีความโดดเด่นด้วยความสง่างามที่แห้งแล้งซึ่งทำได้โดยการทำซ้ำรูปทรงเรขาคณิตที่เรียบง่ายซึ่งล้อมรอบด้วยผ้าสักหลาด 2. Tessellations Tessellations หรือที่เรียกว่าการเรียงต่อกันเป็นชุดของรูปทรงที่ครอบคลุมระนาบทางคณิตศาสตร์ทั้งหมด โดยประกอบเข้าด้วยกันโดยไม่มีการทับซ้อนกันหรือช่องว่าง เทสเซลเลชั่นปกติประกอบด้วยตัวเลขที่อยู่ในรูปหลายเหลี่ยมปกติ เมื่อรวมกัน มุมทั้งหมดจะมีรูปร่างเหมือนกัน มีรูปหลายเหลี่ยมเพียงสามรูปเท่านั้นที่เหมาะสำหรับใช้ในการเทสเซลเลชั่นปกติ เหล่านี้คือสามเหลี่ยมปกติ สี่เหลี่ยมจตุรัส และหกเหลี่ยมปกติ เทสเซลล์แบบกึ่งปกติคือแบบที่ใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีสองหรือสามประเภทและจุดยอดทั้งหมดเหมือนกัน เทสเซลล์กึ่งปกติมีเพียง 8 ตัวเท่านั้น เทสเซลแบบปกติสามแบบและแบบกึ่งปกติแปดแบบรวมกันเรียกว่าอาร์คิมีดีน Tessellation ซึ่งแต่ละแผ่นเป็นตัวเลขที่จดจำได้ เป็นหนึ่งในธีมหลักของงานของ Escher สมุดบันทึกของเขามีเทสเซลเลชั่นมากกว่า 130 รูปแบบ เขาใช้สิ่งเหล่านี้ในภาพวาดของเขาจำนวนมาก รวมถึง “Day and Night” (1938), ชุดภาพวาด “The Limit of the Circle” I-IV และ “Metamorphoses” I-III ที่มีชื่อเสียง (1937-1968) . ตัวอย่างด้านล่างนี้เป็นภาพวาดโดยนักเขียนร่วมสมัย Hollister David และ Robert Fathauer 3. การเย็บปะติดปะต่อจากรูปหลายเหลี่ยม หากสามารถทำลายทาง สี่เหลี่ยม และสามเหลี่ยมได้โดยไม่ต้องเตรียมการเป็นพิเศษ และไม่มีทักษะในการใช้จักรเย็บผ้า รูปหลายเหลี่ยมจะต้องอาศัยความอดทนและทักษะอย่างมากจากเรา นักควิ้ลท์หลายคนชอบประกอบรูปหลายเหลี่ยมด้วยมือ ชีวิตของทุกคนเป็นเหมือนผืนผ้าใบที่มีการเย็บปะติดปะต่อกันซึ่งช่วงเวลาที่สดใสและมหัศจรรย์สลับกับวันสีเทาและมืดมน มีคำอุปมาเกี่ยวกับการเย็บปะติดปะต่อกัน “ ผู้หญิงคนหนึ่งมาหาปราชญ์แล้วพูดว่า:“ อาจารย์ฉันมีทุกอย่าง: สามี, ลูก ๆ และบ้าน - เต็มถ้วย แต่ฉันเริ่มคิดว่า: ทำไมทั้งหมดนี้? และชีวิตของฉันก็แตกสลายทุกอย่างไม่ใช่ ความสุข!” ปราชญ์ฟังเธอ ครุ่นคิด และแนะนำให้เธอลองเย็บชีวิตของเธอเข้าด้วยกัน ผู้หญิงคนนั้นทิ้งให้ปราชญ์สงสัย แต่เธอก็พยายาม เธอหยิบเข็มและด้ายมาเย็บส่วนที่เธอสงสัยไว้บนท้องฟ้าสีครามที่เธอเห็นที่หน้าต่างห้องของเธอ หลานชายตัวน้อยของเธอหัวเราะ และเธอก็เย็บเสียงหัวเราะไว้บนผืนผ้าใบของเธอ และมันก็ไป นกร้องเพลง - และเพิ่มอีกชิ้น พวกเขาจะทำให้คุณขุ่นเคือง - อีกชิ้นหนึ่ง ผ้าเย็บปะติดปะต่อกันใช้ทำผ้าห่ม หมอน ผ้าเช็ดปาก และกระเป๋าถือ และทุกคนที่มาสัมผัสก็รู้สึกได้ถึงความอบอุ่นที่ฝังอยู่ในจิตวิญญาณของพวกเขา และพวกเขาก็ไม่เคยโดดเดี่ยวอีกต่อไป และชีวิตก็ไม่เคยดูว่างเปล่าและไร้ประโยชน์สำหรับพวกเขา” ช่างฝีมือหญิงแต่ละคนสร้างผืนผ้าใบแห่งชีวิตของเธอขึ้นมา สิ่งนี้สามารถเห็นได้ในผลงานของ Larisa Nikolaevna Gorshkova เธอทุ่มเทสร้างสรรค์งานผ้านวม ผ้าคลุมเตียง พรม งานเย็บปะติดปะต่อกัน โดยได้รับแรงบันดาลใจจากผลงานแต่ละชิ้นของเธอ 4. เครื่องประดับ งานปัก และงานถัก 1). เครื่องประดับ เป็นหนึ่งในกิจกรรมการมองเห็นของมนุษย์ที่เก่าแก่ที่สุดซึ่งในอดีตอันไกลโพ้นมีความหมายเชิงสัญลักษณ์ที่น่าอัศจรรย์ซึ่งเป็นสัญลักษณ์บางอย่าง การออกแบบเป็นแบบเรขาคณิตเกือบทั้งหมด ประกอบด้วยรูปแบบที่เข้มงวดของวงกลม ครึ่งวงกลม เกลียว สี่เหลี่ยม สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สามเหลี่ยม และการผสมผสานต่างๆ คนโบราณมอบความคิดของเขาเกี่ยวกับโครงสร้างของโลกด้วยสัญญาณบางอย่าง ด้วยเหตุนี้ นักตกแต่งจึงมีขอบเขตกว้างขวางในการเลือกแรงจูงใจในการจัดองค์ประกอบภาพ สิ่งเหล่านี้จัดหามาให้เขาอย่างมากมายจากสองแหล่ง - เรขาคณิตและธรรมชาติ เช่น วงกลมคือดวงอาทิตย์ สี่เหลี่ยมคือโลก 2). การเย็บปักถักร้อย การเย็บปักถักร้อยเป็นหนึ่งในประเภทหลักของศิลปะประดับพื้นบ้านชูวัช การเย็บปักถักร้อยแบบชูวัชสมัยใหม่ การตกแต่ง เทคนิค และโทนสีมีความเกี่ยวข้องทางพันธุกรรมกับวัฒนธรรมทางศิลปะของชาวชูวัชในอดีต ศิลปะการปักมีประวัติศาสตร์อันยาวนาน จากรุ่นสู่รุ่น รูปแบบและโทนสีได้รับการปรับปรุงและปรับปรุง และสร้างตัวอย่างงานปักที่มีลักษณะเฉพาะประจำชาติ การเย็บปักถักร้อยของประชาชนในประเทศของเรานั้นโดดเด่นด้วยความคิดริเริ่มที่ยอดเยี่ยมเทคนิคทางเทคนิคมากมายและโทนสี แต่ละประเทศขึ้นอยู่กับสภาพท้องถิ่น ลักษณะเฉพาะของชีวิต ประเพณี และธรรมชาติ ได้สร้างเทคนิคการเย็บปักถักร้อย ลวดลายลวดลาย และโครงสร้างองค์ประกอบของตนเอง ขึ้นอยู่กับสภาพท้องถิ่น ตัวอย่างเช่นในการเย็บปักถักร้อยของรัสเซียรูปแบบทางเรขาคณิตและรูปแบบทางเรขาคณิตของพืชและสัตว์มีบทบาทอย่างมาก: รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน, ลวดลาย รูปผู้หญิง นกเช่นเดียวกับเสือดาวที่มีอุ้งเท้ายกขึ้น ภาพวาดดวงอาทิตย์เป็นรูปเพชร นกเป็นสัญลักษณ์ของการมาถึงของฤดูใบไม้ผลิ ฯลฯ สิ่งที่น่าสนใจอย่างยิ่งคือการปักของชาวภูมิภาคโวลก้า: Mari, Mordovians และ Chuvash การปักของคนเหล่านี้มีลักษณะทั่วไปหลายประการ ความแตกต่างอยู่ที่ลวดลายของรูปแบบและการดำเนินการทางเทคนิค รูปแบบการปักประกอบด้วยรูปทรงเรขาคณิตและลวดลายเรขาคณิตขั้นสูง การเย็บปักถักร้อย Old Chuvash มีความหลากหลายอย่างมาก มีการใช้หลายประเภทในการผลิตเสื้อผ้า โดยเฉพาะเสื้อเชิ้ตผ้าใบ เสื้อเชิ้ตตกแต่งด้วยงานปักอย่างหรูหราที่หน้าอก ชายเสื้อ แขนเสื้อ และด้านหลัง ดังนั้นฉันเชื่อว่าการเย็บปักถักร้อยประจำชาติของ Chuvash ควรเริ่มต้นด้วยคำอธิบายของเสื้อเชิ้ตผู้หญิงว่ามีสีสันที่สุดและประดับประดาอย่างหรูหราด้วยเครื่องประดับ ที่ไหล่และแขนเสื้อของเสื้อประเภทนี้มีการปักลายเรขาคณิต พืชเก๋ๆ และบางครั้งก็มีลวดลายสัตว์ การปักไหล่มีลักษณะแตกต่างจากการปักแขนเสื้อ และเป็นเหมือนการต่อยอดจากการปักไหล่ บนเสื้อเชิ้ตเก่าตัวหนึ่งมีการปักลายถักเปียลงไปจากไหล่ลงไปสิ้นสุดที่หน้าอกเป็นมุมแหลม ลายทางจะจัดเรียงเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน สามเหลี่ยม และสี่เหลี่ยม ภายในรูปทรงเรขาคณิตเหล่านี้มีการปักผ้าตาข่ายขนาดเล็ก และปักรูปตะขอและรูปดาวขนาดใหญ่ที่ขอบด้านนอก งานปักดังกล่าวได้รับการเก็บรักษาไว้ในบ้านของ Nikolaev Denisova Praskovya Petrovna ญาติของฉันปักมัน งานเย็บปักถักร้อยของผู้หญิงอีกประเภทหนึ่งคือการถักโครเชต์ ตั้งแต่สมัยโบราณผู้หญิงถักนิตติ้งกันมากมายและไม่เหน็ดเหนื่อย งานเย็บปักถักร้อยประเภทนี้น่าตื่นเต้นไม่น้อยไปกว่าการปัก นี่คือผลงานชิ้นหนึ่งของ Tamara Fedorovna เธอเล่าความทรงจำของเธอให้เราฟังว่าเด็กผู้หญิงทุกคนในหมู่บ้านได้รับการสอนให้ปักครอสติชบนผืนผ้าใบ ปักผ้าซาติน และถักนิตติ้ง จากจำนวนการถักนิตติ้งโดยสิ่งต่าง ๆ ที่ตกแต่งด้วยงานปักและลูกไม้ เด็กผู้หญิงถูกตัดสินให้เป็นเจ้าสาวและแม่บ้านในอนาคต รูปแบบการเย็บแตกต่างกัน พวกมันถูกสืบทอดจากรุ่นสู่รุ่น พวกมันถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยช่างฝีมือหญิงเอง ลวดลายดอกไม้ รูปทรงเรขาคณิต เสาหนาแน่น ตะแกรงที่มีฝาปิดและไม่มีฝาปิด จะถูกทำซ้ำในเครื่องประดับที่เย็บ เมื่ออายุ 89 ปี Tamara Fedorovna มีส่วนร่วมในการถักโครเชต์ นี่คืองานฝีมือของเธอ เธอถักให้เด็กๆ ญาติ และเพื่อนบ้าน เขายังรับคำสั่งอีกด้วย สรุป: เมื่อทราบเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมและประเภทของรูปหลายเหลี่ยมแล้ว คุณสามารถสร้างการตกแต่งที่สวยงามมากได้ และความงามทั้งหมดนี้อยู่รอบตัวเรา ผู้คนมีความจำเป็นในการตกแต่งของใช้ในครัวเรือนมาเป็นเวลานาน 5. การแกะสลักทางเรขาคณิต เกิดขึ้นจน Rus' เป็นดินแดนแห่งป่าไม้ และวัสดุที่อุดมสมบูรณ์เช่นไม้ก็อยู่ใกล้แค่เอื้อม ด้วยความช่วยเหลือของขวาน มีด และเครื่องมือเสริมอื่น ๆ บุคคลจึงเตรียมทุกสิ่งที่จำเป็นสำหรับชีวิต: เขาสร้างที่อยู่อาศัยและสิ่งปลูกสร้าง สะพานและกังหันลม กำแพงป้อมปราการและหอคอย โบสถ์ สร้างเครื่องจักรและเครื่องมือ เรือและ เรือ เลื่อนและเกวียน เฟอร์นิเจอร์ จาน ของเล่นเด็ก และอื่นๆ อีกมากมาย ในวันหยุดและเวลาว่าง เขาจะสนุกสนานไปกับจิตวิญญาณของเขาด้วยบทเพลงอันไพเราะจากเครื่องดนตรีไม้ เช่น บาลาไลกา ไปป์ ไวโอลิน และเสียงนกหวีด และแตรไม้ที่ดังก้องก็เป็นเพื่อนที่ขาดไม่ได้ของคนเลี้ยงแกะในหมู่บ้าน ด้วยเสียงเพลงแตรทำให้ชีวิตการทำงานของหมู่บ้านรัสเซียเริ่มต้นขึ้น แม้แต่ล็อคประตูที่ชาญฉลาดและเชื่อถือได้ก็ทำมาจากไม้ หนึ่งในปราสาทเหล่านี้ถูกเก็บไว้ในพิพิธภัณฑ์ประวัติศาสตร์แห่งรัฐในมอสโก สร้างขึ้นโดยช่างไม้ระดับปรมาจารย์ในศตวรรษที่ 18 ตกแต่งอย่างสวยงามด้วยงานแกะสลักรูปสามเหลี่ยมที่มีรอยบาก! (นี่คือหนึ่งในชื่อของงานแกะสลักเรขาคณิต) งานแกะสลักเรขาคณิตเป็นงานแกะสลักไม้ประเภทหนึ่งที่เก่าแก่ที่สุด ซึ่งภาพที่ปรากฎมีรูปทรงเรขาคณิตผสมกัน การแกะสลักทางเรขาคณิตประกอบด้วยองค์ประกอบหลายอย่างที่ประกอบเป็นองค์ประกอบประดับต่างๆ สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน และสี่เหลี่ยมเป็นคลังแสงขององค์ประกอบทางเรขาคณิตที่ทำให้สามารถสร้างองค์ประกอบดั้งเดิมด้วยการเล่นแสงและเงาได้อย่างเต็มที่ ฉันเห็นความงามนี้มาตั้งแต่เด็ก ปู่ของฉัน มิคาอิล ยาโคฟเลวิช ยาโคฟเลฟ ทำงานเป็นครูสอนเทคโนโลยีที่โรงเรียนโควาลินสกายา ตามที่แม่ของฉันบอก เขาสอนชั้นเรียนแกะสลัก ฉันทำสิ่งนี้ด้วยตัวเอง ลูกสาวของมิคาอิลยาโคฟเลวิชยังคงรักษาผลงานของเขาไว้ กล่องนี้เป็นของขวัญสำหรับหลานสาวคนโตในวันเกิดปีที่ 16 ของเธอ กล่องแบ็คแกมมอนสำหรับหลานชายคนโต มีทั้งโต๊ะ กระจก กรอบรูป อาจารย์พยายามเพิ่มความสวยงามให้กับผลิตภัณฑ์แต่ละชิ้น ประการแรกให้ความสำคัญกับรูปร่างและสัดส่วนเป็นอย่างมาก สำหรับแต่ละผลิตภัณฑ์ ไม้ถูกเลือกโดยคำนึงถึงคุณสมบัติทางกายภาพและทางกล หากเนื้อไม้ที่สวยงามในตัวเองสามารถตกแต่งผลิตภัณฑ์ได้พวกเขาก็พยายามระบุและเน้นย้ำ IV. ตัวอย่างจากชีวิต ฉันอยากจะยกตัวอย่างเพิ่มเติมเกี่ยวกับการประยุกต์ใช้ความรู้เกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมในชีวิตของเรา 1/เมื่อทำการฝึกอบรม: รูปหลายเหลี่ยมถูกดึงดูดโดยผู้คนที่ค่อนข้างเรียกร้องตนเองและผู้อื่น ซึ่งประสบความสำเร็จในชีวิตไม่เพียงแต่ต้องขอบคุณการอุปถัมภ์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงความแข็งแกร่งของตนเองด้วย เมื่อรูปหลายเหลี่ยมมีมุมห้า, หกมุมขึ้นไป และเชื่อมต่อกับการตกแต่ง เราสามารถพูดได้ว่ารูปหลายเหลี่ยมนั้นถูกดึงดูดโดยคนที่มีอารมณ์ความรู้สึกซึ่งบางครั้งก็ตัดสินใจตามสัญชาตญาณ 2/ความหมายของการทำนายดวงชะตากาแฟ: หากไม่มีรูปสี่เหลี่ยมแสดงว่าเป็นลางร้ายเตือนถึงปัญหาที่จะเกิดขึ้น รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนปกติเป็นสัญญาณที่ดีที่สุด ชีวิตคุณจะผ่านไปอย่างมีความสุข มีความมั่นคงทางการเงิน และมีกำไร สรุปงานของคุณในเอกสารควบคุมและให้คะแนนตัวเองในขั้นสุดท้าย รูปสี่เหลี่ยมคือช่องว่างบนฝ่ามือระหว่างเส้นศีรษะและเส้นหัวใจ เรียกอีกอย่างว่าโต๊ะมือ ถ้าตรงกลางของรูปสี่เหลี่ยมกว้างบนด้านข้างของนิ้วหัวแม่มือและกว้างกว่านั้นอีกที่ด้านข้างของฝ่ามือ นี่บ่งชี้ว่ามีการจัดระเบียบและองค์ประกอบที่ดีมาก ความซื่อสัตย์ ความซื่อสัตย์ และชีวิตที่มีความสุขโดยทั่วไป 3/ วิชาดูเส้นลายมือ - ดูดวงด้วยมือ รูปสี่เหลี่ยม (มีอีกชื่อหนึ่งว่า "โต๊ะมือ") วางอยู่ระหว่างเส้นหัวใจ ความคิด โชคชะตา และดาวพุธ (ตับ) ในกรณีที่มีการแสดงออกที่อ่อนแอหรือไม่มีอย่างหลังโดยสิ้นเชิง การทำงานของมันจะดำเนินการโดยเส้น Apollo รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีขนาดใหญ่ รูปร่างสม่ำเสมอ มีขอบเขตชัดเจน และทอดยาวไปทางภูเขาดาวพฤหัส บ่งบอกถึงสุขภาพที่ดีและอุปนิสัยที่ดี คนเหล่านี้พร้อมที่จะเสียสละตนเองเพื่อผู้อื่น พวกเขาเปิดกว้าง ไม่หน้าซื่อใจคด ซึ่งผู้อื่นได้รับความเคารพนับถือ หากสี่เหลี่ยมกว้างชีวิตของบุคคลจะเต็มไปด้วยเหตุการณ์สนุกสนานต่าง ๆ เขาจะมีเพื่อนมากมาย ขนาดที่เล็กเกินไปของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสหรือความโค้งของด้านข้างแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าผู้ที่มีรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นยังเด็ก ไม่แน่ใจ เห็นแก่ตัว และราคะของเขายังไม่พัฒนา เส้นเล็กๆ มากมายภายในจตุรัสเป็นข้อพิสูจน์ถึงข้อจำกัดของจิตใจ หากมองเห็นกากบาทที่เป็นรูป "x" ภายในภาพ แสดงว่าคุณมีลักษณะผิดปกติของบุคคลที่ถูกตรวจและเป็นสัญญาณที่ไม่ดี ไม้กางเขนที่มีรูปร่างถูกต้องบ่งบอกว่าเขามีแนวโน้มที่จะสนใจเรื่องเวทย์มนต์ 1. รูปหลายเหลี่ยมที่น่าทึ่ง นอกเหนือจากทฤษฎีฉี หลักการของหยินหยางและเต่าแล้ว ยังมีแนวคิดพื้นฐานอีกประการหนึ่งในคำสอนของฮวงจุ้ย: “แปดเหลี่ยมศักดิ์สิทธิ์” เรียกว่า ปากัว คำนี้แปลจากภาษาจีนแปลว่า "ร่างมังกร" ตามหลักการของ Ba Gua คุณสามารถวางแผนการตกแต่งห้องเพื่อสร้างบรรยากาศที่ส่งเสริมความสบายทางจิตสูงสุดและ ความเป็นอยู่ที่ดีของวัสดุ- ในประเทศจีนโบราณ เชื่อกันว่ารูปแปดเหลี่ยมเป็นสัญลักษณ์ของความเจริญรุ่งเรืองและความสุข ลักษณะของภาค ba-gua อาชีพ-ภาคเหนือ สีของภาคคือสีดำ องค์ประกอบที่ส่งเสริมความสามัคคีคือน้ำ ภาคส่วนนี้เกี่ยวข้องโดยตรงกับประเภทของกิจกรรม สถานที่ทำงาน การตระหนักถึงศักยภาพในการทำงาน ความเป็นมืออาชีพ และรายได้ ความสำเร็จหรือความล้มเหลวในเรื่องนี้ขึ้นอยู่กับความเจริญรุ่งเรืองในภาคส่วนนี้โดยตรง ความรู้ – สีภาคตะวันออกเฉียงเหนือ – สีฟ้า ธาตุคือโลกแต่มีผลค่อนข้างอ่อน ภาคนี้เกี่ยวข้องกับจิตใจ, ความสามารถในการคิด, จิตวิญญาณ, ความปรารถนาที่จะพัฒนาตนเอง, ความสามารถในการดูดซึมข้อมูลที่ได้รับ, ความทรงจำและประสบการณ์ชีวิต ตระกูล – ภาคตะวันออก สี – สีเขียว องค์ประกอบที่ส่งเสริมความสามัคคีคือไม้ ทิศทางมีความเกี่ยวข้องกับครอบครัวในความหมายที่กว้างที่สุดของคำ ซึ่งหมายความว่าไม่เพียงแต่ในครัวเรือนของคุณเท่านั้น แต่ยังรวมถึงญาติทั้งหมดรวมถึงคนห่างไกลด้วย ความมั่งคั่ง - ตะวันออกเฉียงใต้ สีของภาค - สีม่วง ธาตุ – ไม้ – มีผลน้อย ทิศทางนี้เกี่ยวข้องกับสภาพทางการเงินของเรา ซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของความเป็นอยู่ที่ดีและความเจริญรุ่งเรือง ความมั่งคั่งทางวัตถุ และความอุดมสมบูรณ์ในทุกด้าน ความรุ่งโรจน์ - ใต้ สี - แดง องค์ประกอบที่ทำให้ทรงกลมนี้ทำงานคือไฟ ภาคส่วนนี้เป็นสัญลักษณ์ของชื่อเสียงและชื่อเสียงของคุณ ความคิดเห็นของคนที่คุณรักและคนรู้จัก การแต่งงาน - ตะวันตกเฉียงใต้ สีของภาคคือสีชมพู ธาตุ – โลก ภาคนี้เกี่ยวข้องกับคนที่คุณรักและเป็นสัญลักษณ์ของความสัมพันธ์ของคุณกับเขา หากไม่มีบุคคลดังกล่าวในชีวิตของคุณในขณะนี้ ภาคส่วนนี้แสดงถึงความว่างเปล่าที่รอการเติมเต็ม สถานะของทิศทางจะบอกคุณถึงโอกาสที่คุณจะตระหนักถึงศักยภาพของคุณในด้านความสัมพันธ์ส่วนตัวได้อย่างรวดเร็ว เด็ก-ตะวันตก สีของภาคคือสีขาว ธาตุ – โลหะ แต่มีฤทธิ์อ่อน เป็นสัญลักษณ์ของความสามารถของคุณในการสืบพันธุ์ในทุกด้านทั้งทางร่างกายและจิตวิญญาณ เราสามารถพูดคุยเกี่ยวกับเด็ก ๆ การแสดงออกอย่างสร้างสรรค์ การดำเนินการตามแผนต่าง ๆ ผลลัพธ์ที่จะทำให้คุณและผู้อื่นพอใจและจะให้บริการคุณ นามบัตรไกลออกไป. เหนือสิ่งอื่นใด ภาคส่วนนี้เกี่ยวข้องกับความสามารถของคุณในการสื่อสารและสะท้อนถึงความสามารถของคุณในการดึงดูดผู้คนเข้ามาหาคุณ คนช่วยเหลือ – สีภาคตะวันตกเฉียงเหนือ – สีเทา ธาตุ – ​​โลหะ ทิศทางเป็นสัญลักษณ์ของผู้คนที่คุณสามารถพึ่งพาได้ในสถานการณ์ที่ยากลำบาก มันแสดงให้เห็นถึงการมีอยู่ในชีวิตของคุณของผู้ที่สามารถมาช่วยเหลือ ให้การสนับสนุน และเป็นประโยชน์กับคุณในด้านใดด้านหนึ่ง นอกจากนี้ภาคนี้ยังเกี่ยวข้องกับการเดินทางและผู้ชายครึ่งหนึ่งของครอบครัวคุณ สุขภาพ – ศูนย์กลาง สีของภาคคือสีเหลือง ไม่มีองค์ประกอบเฉพาะ แต่เชื่อมโยงกับองค์ประกอบทั้งหมดโดยรวมและใช้พลังงานจากแต่ละองค์ประกอบที่จำเป็น พื้นที่นี้เป็นสัญลักษณ์ของสุขภาพจิตและจิตวิญญาณ การเชื่อมโยงและความสามัคคีในทุกด้านของชีวิต 2. Pi และรูปหลายเหลี่ยมปกติ ในวันที่ 14 มีนาคมปีนี้ จะมีการเฉลิมฉลองวันปี่เป็นครั้งที่ 20 ซึ่งเป็นวันหยุดอย่างไม่เป็นทางการของนักคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับตัวเลขที่แปลกและลึกลับนี้ “บิดา” ของวันหยุดนี้คือแลร์รี ชอว์ ซึ่งให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าวันนี้ (3.14 ในระบบวันที่แบบอเมริกัน) ตรงกับวันเกิดของไอน์สไตน์ เหนือสิ่งอื่นใด และบางทีนี่อาจเป็นช่วงเวลาที่เหมาะสมที่สุดที่จะเตือนผู้ที่อยู่ห่างไกลจากคณิตศาสตร์เกี่ยวกับคุณสมบัติอันมหัศจรรย์และแปลกประหลาดของค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์นี้ ความสนใจในค่าของตัวเลข π ซึ่งแสดงอัตราส่วนของเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางปรากฏในสมัยโบราณ สูตรที่รู้จักกันดีสำหรับเส้นรอบวง L = 2 π R ก็เป็นคำจำกัดความของตัวเลข π เช่นกัน ในสมัยโบราณเชื่อกันว่า π = 3 ตัวอย่างเช่น มีกล่าวไว้ในพระคัมภีร์ ในยุคขนมผสมน้ำยามีความเชื่อเช่นนั้น และความหมายนี้ถูกใช้โดยทั้ง Leonardo da Vinci และ Galileo Galilei อย่างไรก็ตาม การประมาณค่าทั้งสองนั้นหยาบมาก การวาดภาพทางเรขาคณิตที่แสดงวงกลมที่ล้อมรอบรูปหกเหลี่ยมปกติและเขียนไว้ในสี่เหลี่ยมจัตุรัสจะให้ค่าประมาณที่ง่ายที่สุดสำหรับ π: 3< π < 4. Использование буквы π для обозначения этого числа было впервые предложено Уильямом Джонсом (William Jones, 1675–1749) в 1706 году. Это первая буква греческого слова περιφέρεια Вывод: Мы ответили на вопрос: «Зачем изучать математику?» Затем, что в глубине души у каждого из нас живет тайная надежда познать себя, свой внутренний мир, совершенствовать себя. Математика дает такую возможность - через творчество, через целостное представление о мире. Восьмиугольник – символ достатка и счастья. V. Правильные многоугольники в архитектуре Большой интерес к формам правильных многогранников проявляли также скульпторы, архитекторы, художники. На уроках геометрии мы узнали определения, признаки, свойства различных многоугольников. Прочитав литературу по истории архитектуры, мы пришли к такому выводу, что мир вокруг нас - это мир форм, он очень разнообразен и удивителен. Мы увидели, что здания имеют самую разнообразную форму. Нас окружают предметы быта различного вида. Изучив эту тему, мы действительно увидели, что многоугольники окружают нас повсюду. В России здания очень красивой архитектуры как исторические, так и современные, в каждом из которых можно найти различные виды многоугольников. 1. Архитектура города Москвы и других городов мира. Как красив Московский Кремль. Прекрасны его башни! Сколько интересных геометрических фигур положено в их основу! Например, Набатная башня. На высоком параллелепипеде стоит параллелепипед поменьше, с проемами для окон, а ещё выше воздвигнута четырехугольная усечённая пирамида. На ней расположены четыре арки, увенчанные восьмиугольной пирамидой Геометрические фигуры различной формы можно узнать и в других замечательных сооружениях, возведенных русскими зодчими. собор Василия Блаженного) Выразительный контраст треугольника и прямоугольника на фасаде привлекает внимание посетителей музея Гронингена (Голландия) (рис.9) Круглая, прямоугольная, квадратная – все эти формы прекрасно уживаются в здании Музея современного искусства в Сан-Франциско (США). Здание Центра современного искусства имени Жоржа Помпиду в Париже – сочетание гигантского прозрачного параллелепипеда с ажурной металлической арматурой. 2. Архитектура города Чебоксары Столица Чувашской Республики - город Чебоксары (чув. Шупашкар), расположенный на правом берегу Волги, имеет многовековую историю. В письменных источниках Чебоксары как поселение упоминаются с 1469 года – тогда русские воины остановились здесь на своем пути в Казанское ханство. Этот год принято считать временем основания города, но уже сейчас историки настаивают на пересмотре этой даты - найденные во время последних археологических раскопок материалы указывают, что Чебоксары основаны еще в 13 веке переселенцами из болгарского города Сувар. Город повсеместно славился и своим колокололитным производством – чебоксарские колокола были известны и в России, и в Европе. Развитие торговли, распространение православия и массовое крещение чувашского народа привели и к архитектурному расцвету города – город изобиловал церквями и храмами, в каждом из которых видны различные многоугольники Чебоксары – очень красивый город. В столице Чувашии удивительно переплелась новизна современного мегаполиса и старина, где выражен геометризм.. Выражено это прежде всего в архитектуре города. Причем очень гармоничное переплетение воспринимается как единый ансамбль и лишь дополняет друг друга. 3. Архитектура села Ковали Красоту и геометризм вы можете увидеть и в нашей деревне. Вот школа, которую построили 1924 году, памятник воинам – солдатам. Вывод: Без геометрии не было бы ничего, ведь все здания, которые окружают нас – это геометрические фигуры. Заключение Проведя исследования, мы пришли к выводу, что действительно, зная о многоугольниках и их видах, можно создать очень красивые предметы украшения, построить разнообразные и уникальные здания. И все это красота окружающая нас. Человеческие представления о красивом формируются под влиянием того, что человек видит в живой природе. В различных своих творениях, очень далёких друг от друга, она может использовать одни и те же принципы. И мы можем сказать, что многоугольники создают красоту в искусстве, архитектуре, природе, в окружении человека. Красота - всюду. Есть она и в науке, и в особенности в её жемчужине – математике. Помните, что наука во главе с математикой откроет перед нами сказочные сокровища красоты. Список использованной литературы. 1.Веннинджер М. Модели многогранников. Пер. с англ. В.В.Фирсова. М., «Мир», 1974 2. Гарднер М. Математические новеллы. Пер. с англ. Ю.А.Данилова. М., «Мир», 1974. 3. Кокстер Г.С.М. Введение в геометрию. М., Наука, 1966. 4. Штейнгауз Г. Математический калейдоскоп. Пер. с польского. М., Наука, 1981. 5. Шарыгин И.Ф., Ерганжиева Л. Н. Наглядная геометрия: Учебное пособие для 5-6 кл. – Смоленск: Русич, 1995. 6. Яковлев И.И., Орлова Ю.Д. Резьба по дереву. М.: Искусство Интернет.

บุคคลแสดงความสนใจในรูปทรงหลายเหลี่ยมตลอดกิจกรรมที่มีสติทั้งหมดของเขา - ตั้งแต่เด็กอายุ 2 ขวบที่เล่นบล็อกไม้ไปจนถึงนักคณิตศาสตร์ที่เป็นผู้ใหญ่ ร่างกายปกติและกึ่งปกติบางส่วนเกิดขึ้นในธรรมชาติในรูปแบบของผลึกและอื่น ๆ - ในรูปแบบของไวรัสที่สามารถดูได้ด้วยกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนเท่านั้น รูปทรงหลายเหลี่ยมคืออะไร? เพื่อตอบคำถามนี้ ขอให้เราจำไว้ว่าบางครั้งเรขาคณิตก็ถูกกำหนดให้เป็นศาสตร์แห่งอวกาศและตัวเลขเชิงพื้นที่ - สองมิติและสามมิติ รูปสองมิติสามารถกำหนดเป็นชุดของส่วนตรงที่ผูกเป็นส่วนหนึ่งของระนาบ รูปร่างแบนเช่นนี้เรียกว่ารูปหลายเหลี่ยม ตามมาว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมสามารถกำหนดเป็นชุดของรูปหลายเหลี่ยมที่ผูกมัดส่วนหนึ่งของพื้นที่สามมิติ รูปหลายเหลี่ยมที่ประกอบเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมเรียกว่าใบหน้า

นักวิทยาศาสตร์มีความสนใจมานานแล้วเกี่ยวกับรูปหลายเหลี่ยมแบบ "อุดมคติ" หรือรูปหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งก็คือรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านเท่ากันและมุมเท่ากัน รูปหลายเหลี่ยมปกติที่ง่ายที่สุดถือได้ว่าเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า เนื่องจากมีด้านจำนวนน้อยที่สุดที่สามารถจำกัดส่วนหนึ่งของระนาบได้ รูปภาพทั่วไปของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เราสนใจพร้อมกับรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ได้แก่ สี่เหลี่ยมจัตุรัส (สี่ด้าน) ห้าเหลี่ยม (ห้าด้าน) หกเหลี่ยม (หกด้าน) แปดเหลี่ยม (แปดด้าน) สิบเหลี่ยม (สิบด้าน) ฯลฯ เห็นได้ชัดว่าตามทฤษฎีแล้ว ไม่มีข้อจำกัดเกี่ยวกับจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยมปกติ กล่าวคือ จำนวนรูปหลายเหลี่ยมปกตินั้นไม่มีที่สิ้นสุด

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคืออะไร? รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติคือรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเท่ากัน (หรือเท่ากันทุกประการ ตามธรรมเนียมในคณิตศาสตร์) และในขณะเดียวกันก็เป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติด้วย มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติกี่แบบ? เมื่อเห็นแวบแรกคำตอบสำหรับคำถามนี้นั้นง่ายมาก - มากเท่ากับรูปหลายเหลี่ยมปกตินั่นคือเมื่อเห็นแวบแรกดูเหมือนว่าเป็นไปได้ที่จะสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งด้านข้างอาจเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติก็ได้ อย่างไรก็ตามมันไม่ใช่ ใน Euclid's Elements ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวดแล้วว่าจำนวนของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นมีจำกัดมาก และมีเพียงห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเท่านั้น ซึ่งใบหน้าสามารถเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติได้เพียงสามประเภทเท่านั้น ได้แก่ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยม รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเหล่านี้เรียกว่าของแข็งพลาโตนิก สิ่งแรกคือจัตุรมุข ใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าสี่อัน จัตุรมุขมีจำนวนหน้าน้อยที่สุดในบรรดาของแข็งสงบและเป็นอะนาล็อกสามมิติของสามเหลี่ยมปกติแบน ซึ่งมีจำนวนด้านน้อยที่สุดในบรรดารูปหลายเหลี่ยมปกติ คำว่า "จัตุรมุข" มาจากภาษากรีก "tetra" - สี่และ "edra" - ฐาน เป็นปิรามิดทรงสามเหลี่ยม ตัวถัดไปคือรูปทรงหกเหลี่ยมหรือที่เรียกว่าลูกบาศก์ รูปทรงหกเหลี่ยมมีหน้าหกหน้าซึ่งเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ใบหน้าของทรงแปดหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และจำนวนในทรงแปดหน้าคือแปด จำนวนใบหน้าที่มากที่สุดรองลงมาคือรูปทรงสิบสองหน้า ใบหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมและจำนวนในรูปทรงสิบสองเหลี่ยมคือสิบสอง icosahedron ปิดของแข็ง Platonic ทั้งห้า หน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติและมีจำนวนยี่สิบ

งานของฉันตรวจสอบคำจำกัดความพื้นฐานและคุณสมบัติของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน มีการพิสูจน์การมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้ารูปทรงเท่านั้น ความสัมพันธ์ของปิระมิด n-gonal ปกติและจัตุรมุขปกติซึ่งมักพบบ่อยที่สุดในปัญหาสามมิตินั้นได้รับการพิจารณาโดยละเอียด งานนี้มีเนื้อหาเชิงวิเคราะห์และภาพประกอบจำนวนมากที่สามารถใช้ในการศึกษาบางส่วนของสเตอริโอเมทรี

เพลโตศึกษา

เพลโตสร้างทฤษฎีที่น่าสนใจมาก เขาแนะนำว่าอะตอมของ "องค์ประกอบพื้นฐาน" ทั้งสี่ (ดิน น้ำ ลม และไฟ) ซึ่งทุกสิ่งถูกสร้างขึ้น มีรูปร่างรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: จัตุรมุข - ไฟ, หกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) - ดิน, แปดหน้า - อากาศ , icosahedron - น้ำ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ห้า - รูปทรงสิบสองหน้า - เป็นสัญลักษณ์ของ "จิตใจอันยิ่งใหญ่" หรือ "ความสามัคคีของจักรวาล" อนุภาคขององค์ประกอบทั้งสามที่เปลี่ยนรูปซึ่งกันและกันได้ง่าย ได้แก่ ไฟ อากาศ และน้ำ กลายเป็นองค์ประกอบที่เหมือนกัน - สามเหลี่ยมปกติ และโลกซึ่งแตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากพวกมันประกอบด้วยอนุภาคประเภทอื่น - ลูกบาศก์หรือค่อนข้างสี่เหลี่ยม เพลโตอธิบายการแปลงทั้งหมดอย่างชัดเจนโดยใช้รูปสามเหลี่ยม ในความสับสนวุ่นวายที่ไม่สงบ อนุภาคอากาศสองอนุภาคมาบรรจบกับอนุภาคไฟ นั่นคือ แปดด้านแปดด้านพบกับจัตุรมุข ทรงแปดหน้าสองหน้ามีหน้าสามเหลี่ยมทั้งหมดสิบหกหน้า ในขณะที่จัตุรมุขมีสี่หน้า รวมยี่สิบ. จากทั้งหมดยี่สิบหน้า มีหนึ่งรูปหน้าคล้ายไอโคซาเฮดรอนเกิดขึ้นได้ง่าย และนี่คืออนุภาคของน้ำ

จักรวาลวิทยาของเพลโตกลายเป็นพื้นฐานของสิ่งที่เรียกว่าหลักคำสอนไอโคซาฮีดรัล-โดเดคาฮีดรัล ซึ่งตั้งแต่นั้นมาก็ดำเนินไปราวกับเส้นด้ายสีแดงในวิทยาศาสตร์ของมนุษย์ทั้งหมด แก่นแท้ของหลักคำสอนนี้คือ รูปทรงสิบสองหน้าและรูปทรงหลายหน้าเป็นรูปทรงสิบสองหน้า แบบฟอร์มทั่วไปธรรมชาติในทุกรูปแบบตั้งแต่อวกาศไปจนถึงพิภพเล็ก ๆ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ตั้งแต่สมัยโบราณ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติดึงดูดความสนใจของนักวิทยาศาสตร์ ผู้สร้าง สถาปนิก และคนอื่นๆ อีกมากมาย พวกเขาประหลาดใจกับความงาม ความสมบูรณ์แบบ และความกลมกลืนของรูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้ ชาวพีทาโกรัสถือว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้เป็นเทพเจ้าและใช้มันในงานเขียนเชิงปรัชญาเกี่ยวกับแก่นแท้ของโลก หนังสือเล่มที่ 13 เล่มสุดท้ายของ "องค์ประกอบ" อันโด่งดังของ Euclid อุทิศให้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ให้เราทำซ้ำอีกครั้งว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมนูนเรียกว่าปกติ หากหน้าของมันเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติเท่ากันและมีหน้าจำนวนเท่ากันที่จุดยอดแต่ละจุด

รูปทรงหลายเหลี่ยมแบบธรรมดาที่ง่ายที่สุดคือปิรามิดรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีใบหน้าสามหน้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด

บางครั้งจัตุรมุขก็เรียกว่าปิรามิดตามอำเภอใจ ดังนั้นในกรณีที่เรากำลังพูดถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเราจะพูดว่า - จัตุรมุขปกติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และมีสี่หน้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด และพื้นผิวประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติแปดรูป เรียกว่า แปดหน้า

รูปทรงหลายเหลี่ยมซึ่งมีรูปสามเหลี่ยมปกติ 5 รูปมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด ซึ่งมีพื้นผิวประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติ 20 รูป เรียกว่า อิโคซาฮีดรอน

โปรดทราบว่าเนื่องจากสามเหลี่ยมปกติมากกว่าห้ารูปไม่สามารถมาบรรจบกันที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนได้ จึงไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นที่มีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ

ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากมีเพียงสามสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่านั้นที่สามารถมาบรรจบกันที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน ดังนั้น นอกจากลูกบาศก์แล้ว จึงไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นที่มีใบหน้าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์มีหกหน้าจึงเรียกว่าทรงหกเหลี่ยม

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีใบหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติและมีใบหน้าสามหน้ามาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด พื้นผิวประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติจำนวน 12 รูป เรียกว่าทรงสิบสองหน้า

เนื่องจากรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีมากกว่าห้าด้านไม่สามารถมาบรรจบกันที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนได้ จึงไม่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติอื่น ๆ ดังนั้นจึงมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าแบบเท่านั้น ได้แก่ จัตุรมุข เฮกซะเฮดรอน (ลูกบาศก์) แปดหน้า สิบสองหน้า และไอโคซาฮีดรอน

ชื่อของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติมาจากกรีซ แปลตามตัวอักษรจากภาษากรีก "จัตุรมุข", "แปดหน้า", "หกเหลี่ยม", "สิบสองหน้า", "icosahedron" หมายถึง: "จัตุรมุข", "แปดหน้า", "หกเหลี่ยม" "สิบสองหน้า", "ยี่สิบเฮดรอน" หนังสือเล่มที่ 13 ของ Euclid's Elements อุทิศให้กับร่างกายที่สวยงามเหล่านี้ พวกมันถูกเรียกว่าร่างกายของเพลโตเพราะพวกมันครอบครองสถานที่สำคัญในแนวคิดทางปรัชญาของเพลโตเกี่ยวกับโครงสร้างของจักรวาล

ตอนนี้เรามาดูคุณสมบัติ บทแทรก และทฤษฎีบทบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับตัวเลขเหล่านี้กัน

พิจารณามุมหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอด S ซึ่งมุมระนาบและมุมไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน ให้เราเลือกจุด A1, A2, An บนขอบเพื่อให้ SA1 = SA2 = SAn จากนั้นจุด A1, A2, An อยู่ในระนาบเดียวกันและเป็นจุดยอดของ n-gon ปกติ

การพิสูจน์.

ให้เราพิสูจน์ว่าจุดต่อเนื่องกันอยู่ในระนาบเดียวกัน พิจารณาสี่จุดติดต่อกัน A1, A2, A3 และ A4 ปิรามิด SA1 A2 A3 และ SA2 A3 A4 นั้นเท่ากันเนื่องจากสามารถรวมกันได้โดยการรวมขอบ SA2 และ SA3 (แน่นอนว่าต้องใช้ขอบของปิรามิดที่แตกต่างกัน) และมุมไดฮีดรัลที่ขอบเหล่านี้ ในทำนองเดียวกันสามารถแสดงให้เห็นว่าปิรามิด SA1 A3A4 และ SA1 A2 A4 เท่ากันเนื่องจากขอบทั้งหมดเท่ากัน นี่หมายถึงความเท่าเทียมกัน

จากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุดปริมาตรของปิรามิด A1A2A3A4 เท่ากับศูนย์นั่นคือจุดสี่จุดที่ระบุนั้นอยู่ในระนาบเดียวกัน ซึ่งหมายความว่าจุดทั้งหมด n จุดอยู่ในระนาบเดียวกัน และใน n-gon A1 A2 ด้านและมุมทั้งหมดเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าถูกต้องและบทแทรกได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้เราพิสูจน์ว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่แตกต่างกันมากที่สุดห้าประเภท

การพิสูจน์.

จากคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ใบหน้าของมันสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปสี่เหลี่ยม และห้าเหลี่ยมเท่านั้น อันที่จริง ขอให้เราพิสูจน์ว่าใบหน้าไม่สามารถเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติได้ ตามคำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ใบหน้าอย่างน้อยสามหน้าจะต้องมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด อย่างไรก็ตาม ในรูปหกเหลี่ยมปกติ มุมจะเท่ากับ 120° ปรากฎว่าผลรวมของมุมระนาบสามมุมของมุมหลายเหลี่ยมนูนเท่ากับ 360° แต่เป็นไปไม่ได้ เนื่องจากผลรวมนี้จะน้อยกว่า 360° เสมอ ยิ่งไปกว่านั้น ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติไม่สามารถกลายเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีด้านจำนวนมากได้

มาดูกันว่ามีกี่หน้าที่สามารถมาบรรจบกันที่จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้ ถ้าหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ก็จะมีรูปสามเหลี่ยมที่อยู่ติดกันกับแต่ละจุดยอดได้ไม่เกินห้ารูป เพราะไม่เช่นนั้นผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดนี้จะเท่ากับ 360° เป็นอย่างน้อย ซึ่งดังที่เราได้เห็นแล้วว่าเป็นไปไม่ได้ ดังนั้น หากหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ รูปสามเหลี่ยมสาม, สี่หรือห้ารูปก็จะอยู่ติดกับจุดยอดแต่ละจุด เมื่อใช้เหตุผลที่คล้ายกัน เรามั่นใจว่าที่แต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและห้าเหลี่ยมปกติ ขอบทั้งสามมาบรรจบกันพอดี

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมเพียงอันเดียวในประเภทที่กำหนดและมีความยาวขอบคงที่ ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณากรณีที่ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ ให้เราสมมติสิ่งที่ตรงกันข้าม: ให้มีรูปทรงหลายเหลี่ยมสองหน้า โดยทุกหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติและมีด้าน a และมุมไดฮีดรัลทั้งหมดในแต่ละรูปทรงหลายเหลี่ยมจะเท่ากัน โปรดทราบว่าไม่จำเป็นว่ามุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยมหนึ่งจะเท่ากับมุมไดฮีดรัลของรูปทรงหลายเหลี่ยมอีกอันหนึ่ง นี่คือสิ่งที่เราจะพิสูจน์อย่างแน่นอน

ดังที่เราได้แสดงไปแล้ว ขอบทั้งสามจะโผล่ออกมาจากแต่ละจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมแต่ละอัน ปล่อยให้ขอบ AB, AC และ AD ออกมาจากจุดยอด A ของรูปทรงหลายเหลี่ยมหนึ่ง และขอบ A1B1, A1C1 และ A1D1 ออกมาจากจุดยอด A1 ของอีกรูปทรงหนึ่ง ABCD และ A1B1C1D1 เป็นปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ เนื่องจากมีขอบเท่ากันที่มาจากจุดยอด A และ A1 และมีมุมระนาบที่จุดยอดเหล่านี้

ตามมาว่ามุมไดฮีดรัลของรูปทรงหลายเหลี่ยมหนึ่งมีค่าเท่ากับมุมไดฮีดรัลของอีกมุมหนึ่ง ซึ่งหมายความว่าถ้าเรารวมปิรามิด ABCD และ A1B1C1D1 เข้าด้วยกัน รูปทรงหลายเหลี่ยมก็จะถูกรวมเข้าด้วยกัน ซึ่งหมายความว่า ถ้ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติและมีด้าน a รูปทรงหลายเหลี่ยมนั้นก็มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว

รูปทรงหลายเหลี่ยมที่เหลือได้รับการปฏิบัติในทำนองเดียวกัน ในกรณีที่หน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมและมีสามเหลี่ยมสี่หรือห้ารูปอยู่ติดกับจุดยอดแต่ละจุด ควรใช้บทแทรก 2 1. จากนั้นปลายของขอบที่โผล่ออกมาจากจุดยอดหนึ่งจะอยู่ในระนาบเดียวกันและทำหน้าที่เป็น จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมปกติและรูปห้าเหลี่ยม ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

โปรดทราบว่าทฤษฎีบทนี้ไม่ได้หมายความว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอยู่ห้าประเภทอย่างแน่นอน ทฤษฎีบทระบุเพียงว่ามีประเภทดังกล่าวไม่เกินห้าประเภท และตอนนี้เราแค่ต้องพิสูจน์ว่ามีห้าประเภทเหล่านี้จริงๆ โดยการนำเสนอรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งห้าประเภท

ปิรามิด n-gonal ปกติ

พิจารณาปิระมิด n-gonal ปกติ รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มักพบในปัญหาสามมิติ ดังนั้นการศึกษาคุณสมบัติของมันอย่างละเอียดและถี่ถ้วนมากขึ้นจึงเป็นที่สนใจอย่างมาก ยิ่งไปกว่านั้น หนึ่งในรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติของเรา - จัตุรมุข - ก็เป็นหนึ่งในนั้น

ให้ SA1A2 An เป็นปิระมิด n-gonal ปกติ ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:

α คือมุมเอียงของขอบด้านข้างกับระนาบของฐาน

β – มุมไดฮีดรัลที่ฐาน

γ – มุมแบนที่จุดยอด;

δ – มุมไดฮีดรัลที่ขอบด้านข้าง

ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของฐานของพีระมิด, B ตรงกลางของขอบ A1A2, D เป็นจุดตัดของส่วน A1A3 และ OA2, C จุดที่ขอบด้านข้าง SA2 โดยที่ A1CSA2, E เป็นจุดตัดของส่วน SB และ A1C , K จุดตัดของส่วน A1A3 และ OV ให้ A1OA2=. มันง่ายที่จะแสดง

ขอให้เราแทนด้วย H ความสูงของปิรามิด, เส้นตั้งฉากในฐานด้วย m, ขอบด้านข้างด้วย l, ด้านข้างของฐานด้วย a และโดย r และ R รัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในฐานและล้อมรอบมัน

ด้านล่างนี้คือความสัมพันธ์ระหว่างมุม α, β, γ, δ ของปิรามิด n-gonal ปกติ ซึ่งกำหนดไว้ในรูปแบบของทฤษฎีบท

จัตุรมุขปกติ

คุณสมบัติของมัน

การใช้ความสัมพันธ์ที่ได้รับในส่วนที่แล้วกับจัตุรมุขปกติทำให้เราได้รับความสัมพันธ์ที่น่าสนใจจำนวนหนึ่งสำหรับส่วนหลัง ในส่วนนี้ เราจะนำเสนอสูตรที่ได้รับสำหรับกรณีเฉพาะนี้ และนอกจากนี้ เราจะค้นหานิพจน์สำหรับคุณลักษณะบางอย่างของจัตุรมุขปกติ เช่น ปริมาตร พื้นที่ผิวทั้งหมด และอื่นๆ ในทำนองเดียวกัน

ตามหมายเหตุในส่วนที่แล้ว ให้พิจารณารูปทรงสี่หน้าธรรมดา SA1A2A3 ที่มีความยาวขอบ a ปล่อยให้สัญลักษณ์สำหรับมุมของมันเหมือนเดิมแล้วคำนวณมัน

ในรูปสามเหลี่ยมปกติ ความยาวของระดับความสูงจะเท่ากัน เนื่องจากสามเหลี่ยมนี้เป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ ระดับความสูงจึงเป็นทั้งเส้นแบ่งครึ่งและค่ามัธยฐาน ตามที่ทราบกันดีอยู่แล้ว ค่ามัธยฐานจะถูกหารด้วยจุดตัดกันในอัตราส่วน 2:1 นับจากจุดยอด หาจุดตัดกันของค่ามัธยฐานได้ไม่ยาก เนื่องจากจัตุรมุขเป็นแบบปกติ จุดนี้จะเป็นจุด O - จุดศูนย์กลางของสามเหลี่ยมปกติ A1A2A3 ฐานความสูงของจัตุรมุขปกติที่ตกลงมาจากจุด S ก็ถูกฉายไปที่จุด O เช่นกัน ซึ่งหมายความว่า ในรูปสามเหลี่ยมปกติ SA1A2 ความยาวของจุดกึ่งกลางของจัตุรมุขจะเท่ากัน ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับ Δ SBO: จากที่นี่.

ดังนั้นความสูงของจัตุรมุขปกติจึงเท่ากัน

พื้นที่ฐานของจัตุรมุข - สามเหลี่ยมปกติ:

ซึ่งหมายความว่าปริมาตรของจัตุรมุขปกติคือ:

พื้นที่ผิวรวมของจัตุรมุขเป็นสี่เท่าของพื้นที่ฐาน:

มุมไดฮีดรัลที่ใบหน้าด้านข้างของจัตุรมุขปกตินั้นเห็นได้ชัดว่าเท่ากับมุมเอียงของใบหน้าด้านข้างกับระนาบของฐาน:

มุมระนาบที่จุดยอดของจัตุรมุขปกติมีค่าเท่ากับ

มุมเอียงของซี่โครงด้านข้างกับระนาบฐานสามารถพบได้จาก:

รัศมีของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้สำหรับจัตุรมุขปกติสามารถพบได้โดยใช้สูตรที่รู้จักกันดีซึ่งเกี่ยวข้องกับปริมาตรและพื้นที่ของพื้นผิวทั้งหมดของจัตุรมุข (โปรดทราบว่าสูตรสุดท้ายใช้ได้กับรูปทรงหลายเหลี่ยมใด ๆ ที่ a สามารถจารึกทรงกลมได้) ในกรณีของเราเรามี

ลองหารัศมีของทรงกลมที่มีขอบเขตจำกัดกัน จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบด้วยจัตุรมุขปกตินั้นอยู่ที่ระดับความสูง เนื่องจากเป็นเส้น SO ที่ตั้งฉากกับระนาบของฐานและผ่านจุดศูนย์กลาง และบนเส้นนี้จะต้องมีจุดที่อยู่ห่างจากจุดยอดทั้งหมดเท่ากัน ของฐานของจัตุรมุข ให้จุดนี้คือ O1 จากนั้น O1S=O1A2=R เรามี. ลองใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกับสามเหลี่ยม BA2O1 และ BO1O:

โปรดทราบว่า R = 3r, r + R = H.

การคำนวณที่น่าสนใจคือมุมที่มองเห็นขอบของจัตุรมุขธรรมดาจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ล้อมรอบไว้นั้นน่าสนใจ มาหากัน:

นี่เป็นปริมาณที่เราคุ้นเคยจากหลักสูตรเคมี นี่คือมุมระหว่างพันธะ C-H ในโมเลกุลมีเทน ซึ่งสามารถวัดได้อย่างแม่นยำมากในการทดลอง และเนื่องจากไม่มีอะตอมไฮโดรเจนแม้แต่อะตอมเดียวในโมเลกุล CH4 ที่ถูกแยกออกจากกันอย่างเห็นได้ชัด ไม่ว่าจะด้วยวิธีใดก็ตาม ก็สมเหตุสมผลที่จะสรุปได้ว่าโมเลกุลนี้มีรูปร่างของจัตุรมุขปกติ ข้อเท็จจริงนี้ได้รับการยืนยันจากภาพถ่ายของโมเลกุลมีเทนที่ได้รับจากกล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอน

รูปทรงหกเหลี่ยมแบบปกติ (Cube)

ประเภทใบหน้า ทรงสี่เหลี่ยม

จำนวนใบหน้า 6

จำนวนซี่โครง 12

จำนวนจุดยอด 8

มุมแบน 90°

ผลรวมของมุมระนาบ 270 o

มีจุดศูนย์กลางสมมาตรหรือไม่ ใช่ (จุดตัดของเส้นทแยงมุม)

จำนวนแกนสมมาตร 9

จำนวนระนาบสมมาตร 9

ทรงแปดหน้าปกติ

จำนวนใบหน้า 8

จำนวนซี่โครง 12

จำนวนจุดยอด 6

มุมแบน 60°

จำนวนมุมแบนที่จุดยอด 4

ผลรวมของมุมระนาบ 240°

มีแกนสมมาตรใช่หรือไม่

การดำรงอยู่ของรูปแปดด้านปกติ

ลองพิจารณาสี่เหลี่ยม ABCD แล้วสร้างปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสขึ้นมาบนฐานทั้งสองด้านของระนาบ โดยมีขอบด้านข้างเท่ากับด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะเป็นทรงแปดหน้า

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ เราแค่ต้องตรวจสอบว่ามุมไดฮีดรัลทุกมุมเท่ากัน โดยแท้จริงแล้ว ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของสี่เหลี่ยม ABCD เมื่อเชื่อมต่อจุด O กับจุดยอดทั้งหมดของรูปทรงหลายเหลี่ยม เราจะได้ปิรามิดสามเหลี่ยม 8 อันที่มีจุดยอดร่วม O ลองพิจารณาปิรามิดอันใดอันหนึ่ง เช่น ABEO AO = BO = EO และนอกจากนี้ ขอบเหล่านี้จะตั้งฉากกันเป็นคู่ ปิรามิด ABEO เป็นปิรามิดปกติเพราะฐานของมันคือสามเหลี่ยม ABE ซึ่งหมายความว่ามุมไดฮีดรัลทั้งหมดที่ฐานเท่ากัน ในทำนองเดียวกัน ปิรามิดทั้งแปดที่มียอดอยู่ที่จุด O และฐาน - ใบหน้าของทรงแปดหน้า ABCDEG - เป็นแบบปกติและยิ่งกว่านั้น ยังเท่ากันอีกด้วย ซึ่งหมายความว่ามุมไดฮีดรัลทั้งหมดของทรงแปดหน้านี้เท่ากัน เนื่องจากแต่ละมุมมีสองเท่าของมุมไดฮีดรัลที่ฐานของปิรามิดแต่ละอัน

*บันทึก ความจริงที่น่าสนใจที่เกี่ยวข้องกับรูปหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) และรูปแปดหน้า ลูกบาศก์มี 6 หน้า 12 ขอบและ 8 จุดยอด และทรงแปดหน้ามี 8 หน้า 12 ขอบและ 6 จุดยอด นั่นคือจำนวนหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมหนึ่งเท่ากับจำนวนจุดยอดของอีกรูปหนึ่งและในทางกลับกัน อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าลูกบาศก์และรูปทรงหกเหลี่ยมนั้นเป็นของคู่กัน สิ่งนี้แสดงให้เห็นด้วยความจริงที่ว่าหากคุณหยิบลูกบาศก์และสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยมีจุดยอดอยู่ตรงกลางใบหน้า ดังที่คุณเห็นได้ง่าย คุณจะได้รูปทรงแปดหน้า สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน - จุดศูนย์กลางของใบหน้าทรงแปดหน้าทำหน้าที่เป็นจุดยอดของลูกบาศก์ นี่คือความเป็นคู่ของทรงแปดหน้าและทรงลูกบาศก์

เป็นเรื่องง่ายที่จะคิดได้ว่าถ้าเราเอาจุดศูนย์กลางของใบหน้าของจัตุรมุขปกติ เราจะได้จัตุรมุขปกติอีกครั้ง ดังนั้นจัตุรมุขจึงเป็นสองเท่าของตัวมันเอง -

ไอโคซาฮีดรอนปกติ

ประเภทของใบหน้า: สามเหลี่ยมปกติ

จำนวนหน้า 20

จำนวนซี่โครง 30

จำนวนจุดยอด 12

มุมแบน 60°

จำนวนมุมแบนที่จุดยอด 5

ผลรวมของมุมระนาบ 300 o

มีศูนย์กลางสมมาตรไหม?

จำนวนแกนสมมาตรหลายแกน

จำนวนระนาบสมมาตรหลายอัน

การดำรงอยู่ของไอโคซาฮีดรอนปกติ

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ และแต่ละจุดยอดมีขอบ 5 ด้าน รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มี 20 หน้า 30 ขอบ 12 จุดยอด และเรียกว่า icosahedron (icosi - 20)

การพิสูจน์

พิจารณารูปทรงแปดหน้า ABCDEG ที่มีขอบ 1 เลือกจุด M, K, N, Q, L และ P บนขอบ AE, BE, CE, DE, AB และ BC ตามลำดับ เพื่อให้ AM = EK = CN = EQ = BL = บีพี = x ให้เราเลือก x เพื่อให้ทุกส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้มีค่าเท่ากัน

เห็นได้ชัดว่าสำหรับสิ่งนี้ก็เพียงพอที่จะตอบสนองความเท่าเทียมกัน KM = KQ อย่างไรก็ตาม เนื่องจาก KEQ เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่มีขา KE และ EQ ดังนั้น ให้เราเขียนทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับสามเหลี่ยม MEK โดยที่:

จากที่นี่. รูตที่สองซึ่งมากกว่า 1 ไม่เหมาะสม เมื่อเลือก x ด้วยวิธีนี้ เราจะสร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ต้องการ ให้เราเลือกจุดสมมาตรอีกหกจุดกับจุด K, L, P, N, Q และ M ที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของจัตุรมุข และแสดงว่า K1, L1, P1, N1, Q1 และ M1 ตามลำดับ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้ซึ่งมีจุดยอด K, L, P, N, Q, M, K1, L1, P1, N1, Q1 และ M1 เป็นที่ต้องการ ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติ โดยมีขอบทั้งห้าออกมาจากแต่ละจุดยอด ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ว่ามุมไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน

ในการทำเช่นนี้ โปรดทราบว่าจุดยอดทั้งหมดของยี่สิบเฮดรอนที่สร้างขึ้นนั้นมีระยะห่างเท่ากันจากจุด O - จุดศูนย์กลางของทรงแปดหน้านั่นคือพวกมันตั้งอยู่บนพื้นผิวของทรงกลมที่มีศูนย์กลาง O ต่อไป เราจะดำเนินการใน เช่นเดียวกับการพิสูจน์การมีอยู่ของทรงแปดหน้าปกติ ให้เราเชื่อมต่อจุดยอดทั้งหมดของทรงยี่สิบเฮดรอนกับจุด O ในทำนองเดียวกัน เราจะพิสูจน์ความเท่าเทียมกันของปิรามิดสามเหลี่ยม โดยฐานคือใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่สร้างขึ้น และเราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่า มุมไดฮีดรัลของทรงยี่สิบเฮดรอนมีขนาดใหญ่เป็นสองเท่าของมุมที่ฐานของปิรามิดสามเหลี่ยมที่เท่ากันเหล่านี้ ดังนั้น มุมไดฮีดรัลทั้งหมดจะเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้จะออกมาสม่ำเสมอ มันถูกเรียกว่า รูปทรงหลายเหลี่ยม

สิบสองหน้าปกติ

มุมมองใบหน้าเพนตากอน (ห้าเหลี่ยมปกติ)

จำนวนใบหน้า 12

จำนวนซี่โครง 30

จำนวนจุดยอด 20

มุมแบน 108°

จำนวนมุมแบนที่จุดยอด 3

ผลรวมของมุมระนาบ 324 o

มีศูนย์กลางสมมาตรใช่หรือไม่

จำนวนแกนสมมาตรหลายแกน

จำนวนระนาบสมมาตรหลายอัน

การดำรงอยู่ของรูปทรงสิบสองหน้าปกติ

มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติซึ่งใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ และมีขอบ 3 ด้านโผล่ออกมาจากแต่ละจุดยอด รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มี 12 หน้า 30 ขอบ และ 20 จุดยอด และเรียกว่ารูปทรงสิบสองหน้า (โดเดกา - สิบสอง)

การพิสูจน์.

อย่างที่คุณเห็น จำนวนใบหน้าและจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม ซึ่งเรากำลังพยายามพิสูจน์อยู่นั้น เท่ากับจำนวนจุดยอดและใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยม ดังนั้น หากเราพิสูจน์การมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กล่าวถึงในทฤษฎีบทนี้ มันก็จะกลายเป็นสองเท่าของรูปทรงหลายหน้าอย่างแน่นอน จากตัวอย่างของลูกบาศก์และทรงแปดหน้า เราพบว่าร่างคู่มีคุณสมบัติที่จุดยอดของร่างหนึ่งอยู่ตรงกลางใบหน้าของอีกร่าง สิ่งนี้บ่งบอกถึงแนวคิดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้

ลองใช้รูปทรงหลายหน้าและพิจารณารูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ตรงกลางหน้า เห็นได้ชัดว่าจุดศูนย์กลางของใบหน้าทั้งห้าของไอโคซาฮีดรอนซึ่งมีจุดยอดร่วมนั้นอยู่ในระนาบเดียวกันและทำหน้าที่เป็นจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมปกติ (ซึ่งสามารถตรวจสอบได้ในลักษณะเดียวกับที่เราใช้ในการพิสูจน์ ของบทแทรก) ดังนั้น จุดยอดแต่ละจุดของไอโคซาเฮดรอนจะสัมพันธ์กับหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมใหม่ ซึ่งหน้าเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ และมุมไดฮีดรัลทั้งหมดเท่ากัน สิ่งนี้ตามมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าขอบทั้งสามที่โผล่ออกมาจากจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมใหม่ถือได้ว่าเป็นขอบด้านข้างของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ และปิรามิดที่ได้ทั้งหมดจะเท่ากัน (มีขอบด้านข้างเท่ากันและมุมระนาบระหว่างพวกเขา ซึ่ง เป็นมุมของรูปห้าเหลี่ยมปกติ) จากที่กล่าวมาทั้งหมด ส่งผลให้รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ได้ออกมานั้นสม่ำเสมอและมี 12 หน้า 30 ขอบ และ 20 จุดยอด รูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่ารูปทรงสิบสองหน้า

ดังนั้นในพื้นที่สามมิติจะมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าประเภทเท่านั้น เราได้กำหนดประเภทของพวกมันและกำหนดว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดนั้นมีแบบคู่ ลูกบาศก์นั้นเป็นคู่ของทรงแปดหน้าและในทางกลับกัน Icosahedron ถึง dodecahedron และในทางกลับกัน จัตุรมุขนั้นมีความเป็นคู่ในตัวมันเอง

สูตรของออยเลอร์สำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ

ดังนั้นจึงพบว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอยู่ห้าแบบพอดี เราจะกำหนดจำนวนขอบ ใบหน้า และจุดยอดได้อย่างไร นี่ไม่ใช่เรื่องยากสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีขอบจำนวนไม่มาก แต่เราจะรับข้อมูลดังกล่าวสำหรับไอโคซาเฮดรอนได้อย่างไร นักคณิตศาสตร์ชื่อดัง แอล. ออยเลอร์ ได้สูตร B+G-P=2 ซึ่งเชื่อมโยงจำนวนจุดยอด /B/ ใบหน้า /G/ และขอบ /P/ ของรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ ความเรียบง่ายของสูตรนี้อยู่ที่ว่ามันไม่เกี่ยวข้องกับระยะทางหรือมุม ในการหาจำนวนขอบ จุดยอด และหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ อันดับแรกเราจะหาจำนวน k = 2y - xy + 2x โดยที่ x คือจำนวนขอบของหน้าเดียว y คือจำนวนหน้าที่มาบรรจบกันที่ จุดยอดหนึ่ง ในการค้นหาจำนวนหน้า จุดยอด และขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ เราใช้สูตร หลังจากนั้นมันง่ายที่จะกรอกตารางซึ่งให้ข้อมูลเกี่ยวกับองค์ประกอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ:

ชื่อจุดยอด (V) ขอบ (P) ใบหน้า (D) สูตร

จัตุรมุข 4 6 4 4-6+4=2

รูปทรงหกเหลี่ยม (ลูกบาศก์) 8 12 6 8-12+6=2

แปดหน้า 6 12 8 6-12+8=2

อิโคซาเฮดรอน 12 30 20 12-30+20=2

สิบสองหน้า 20 30 12 20-30+12=2

บทที่ II: รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติในชีวิต

อวกาศและโลก

มีสมมติฐานและทฤษฎีมากมายเกี่ยวกับโครงสร้างของจักรวาลรวมถึงดาวเคราะห์ของเราด้วย ด้านล่างนี้คือบางส่วนของพวกเขา

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติครอบครองสถานที่สำคัญในระบบโครงสร้างที่กลมกลืนของโลกของ I. Kepler ความเชื่อแบบเดียวกันในเรื่องความกลมกลืน ความงาม และโครงสร้างปกติทางคณิตศาสตร์ของจักรวาลทำให้ I. Kepler เกิดแนวคิดที่ว่าเนื่องจากมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ จึงมีดาวเคราะห์เพียงหกดวงเท่านั้นที่สอดคล้องกับพวกมัน ในความเห็นของเขา ทรงกลมของดาวเคราะห์เชื่อมต่อกันด้วยของแข็ง Platonic ที่จารึกไว้ในนั้น เนื่องจากสำหรับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติแต่ละอัน จุดศูนย์กลางของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้และที่ถูกจำกัดขอบเขตจะตรงกัน โมเดลทั้งหมดจะมีจุดศูนย์กลางเดียวที่ดวงอาทิตย์จะตั้งอยู่

หลังจากทำงานด้านการคำนวณจำนวนมหาศาล ในปี 1596 I. Kepler ได้ตีพิมพ์ผลการค้นพบของเขาในหนังสือเรื่อง The Mystery of the Universe เขาจารึกลูกบาศก์เข้าไปในทรงกลมของวงโคจรของดาวเสาร์, เข้าไปในลูกบาศก์ - ทรงกลมของดาวพฤหัสบดี, เข้าไปในทรงกลมของดาวพฤหัสบดี - จัตุรมุข, และอื่น ๆ , ทรงกลมของดาวอังคาร - รูปทรงสิบสองหน้า, ทรงกลมของโลก - รูปทรงหลายเหลี่ยม ทรงกลมของดาวศุกร์ - ทรงแปดหน้า, ทรงกลมของดาวพุธ ความลึกลับของจักรวาลดูเหมือนจะเปิดกว้าง

ปัจจุบันเราสามารถพูดได้อย่างมั่นใจว่าระยะห่างระหว่างดาวเคราะห์ไม่เกี่ยวข้องกับรูปทรงหลายเหลี่ยมใดๆ อย่างไรก็ตามเป็นไปได้ว่าหากไม่มี "ความลึกลับของจักรวาล", "ความสามัคคีของโลก" โดย I. Kepler รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติก็คงไม่มีกฎที่มีชื่อเสียงสามข้อของ I. Kepler ซึ่งเล่น บทบาทสำคัญในการอธิบายการเคลื่อนที่ของดาวเคราะห์

คุณสามารถเห็นร่างกายที่น่าทึ่งเหล่านี้ได้ที่ไหนอีก? ในหนังสือที่สวยงามมากโดยนักชีววิทยาชาวเยอรมันเมื่อต้นศตวรรษนี้ E. Haeckel "ความงามของรูปแบบในธรรมชาติ" คุณสามารถอ่านบรรทัดต่อไปนี้: "ธรรมชาติหล่อเลี้ยงสิ่งมีชีวิตที่น่าทึ่งจำนวนไม่สิ้นสุดในอกของมันซึ่ง ในด้านความงามและความหลากหลายนั้นเหนือกว่าทุกรูปแบบที่สร้างขึ้นด้วยศิลปะของมนุษย์” สิ่งมีชีวิตในธรรมชาติที่แสดงในหนังสือเล่มนี้มีความสวยงามและสมมาตร นี่เป็นคุณสมบัติที่แยกกันไม่ออกของความกลมกลืนตามธรรมชาติ แต่ที่นี่คุณยังสามารถเห็นสิ่งมีชีวิตเซลล์เดียว - feodaria ซึ่งรูปร่างที่สะท้อน icosahedron ได้อย่างแม่นยำ อะไรทำให้เกิดรูปทรงเรขาคณิตตามธรรมชาตินี้ อาจเป็นเพราะรูปทรงหลายเหลี่ยมทั้งหมดที่มีจำนวนหน้าเท่ากัน จึงเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีปริมาตรมากที่สุดและพื้นที่ผิวน้อยที่สุด คุณสมบัติทางเรขาคณิตนี้ช่วยให้จุลินทรีย์ในทะเลสามารถเอาชนะแรงกดดันของคอลัมน์น้ำได้

สิ่งที่น่าสนใจก็คือ icosahedron ที่กลายเป็นจุดสนใจของนักชีววิทยาในข้อพิพาทเกี่ยวกับรูปร่างของไวรัส ไวรัสไม่สามารถกลมได้อย่างสมบูรณ์อย่างที่คิดไว้ก่อนหน้านี้ เพื่อสร้างรูปร่าง พวกมันใช้รูปทรงหลายเหลี่ยมหลายแบบและส่องแสงไปที่พวกมันในมุมเดียวกันกับการไหลของอะตอมที่ไวรัส ปรากฎว่ามีรูปทรงหลายเหลี่ยมเพียงอันเดียวเท่านั้นที่ให้เงาแบบเดียวกันนั่นคือไอโคซาเฮดรอน คุณสมบัติทางเรขาคณิตที่กล่าวข้างต้นช่วยให้สามารถบันทึกข้อมูลทางพันธุกรรมได้ รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นตัวเลขที่ได้เปรียบที่สุด และธรรมชาติก็ใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้อย่างกว้างขวาง ผลึกของสารบางชนิดที่เราคุ้นเคยนั้นมีรูปร่างเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ดังนั้น ลูกบาศก์จึงสื่อถึงรูปร่างของผลึกของเกลือแกง NaCl ซึ่งเป็นผลึกเดี่ยวของอะลูมิเนียม-โพแทสเซียมสารส้ม (KAlSO4)2 · 12H2O มีรูปร่างของทรงแปดหน้า ผลึกของซัลเฟอร์ไพไรต์ FeS มีรูปร่างของรูปทรงสิบสองหน้า โซเดียมพลวงซัลเฟต มีรูปร่างคล้ายจัตุรมุข โบรอนมีรูปร่างเหมือนไอโคซาฮีดรอน รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติกำหนดรูปร่างของโครงผลึกของสารเคมีบางชนิด ให้เราอธิบายแนวคิดนี้ด้วยปัญหาต่อไปนี้

งาน. แบบจำลองของโมเลกุลมีเทน CH4 มีรูปร่างคล้ายจัตุรมุขปกติ โดยมีอะตอมไฮโดรเจนอยู่ที่จุดยอดทั้งสี่และมีอะตอมของคาร์บอนอยู่ตรงกลาง กำหนดมุมพันธะระหว่างพันธะ CH สองตัว

สารละลาย. เนื่องจากจัตุรมุขธรรมดามีขอบเท่ากันหกด้าน จึงเป็นไปได้ที่จะเลือกลูกบาศก์โดยให้เส้นทแยงมุมของหน้าเป็นขอบของจัตุรมุขปกติ ศูนย์กลางของลูกบาศก์ก็เป็นศูนย์กลางของจัตุรมุขเช่นกัน เนื่องจากจุดยอดทั้งสี่ของจัตุรมุขก็เป็นจุดยอดของลูกบาศก์เช่นกัน และทรงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ พวกมันนั้นถูกกำหนดโดยเฉพาะจากจุดสี่จุดที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน มุม j ที่ต้องการระหว่างพันธะ CH สองตัวจะเท่ากับมุม AOS สามเหลี่ยม AOC คือหน้าจั่ว ดังนั้น เมื่อ a คือด้านของลูกบาศก์ d คือความยาวของเส้นทแยงมุมของด้านด้านข้างหรือขอบของทรงสี่หน้า แล้ว =54.73561О และ j=109.47О มาจากไหน?

คำถามเกี่ยวกับรูปร่างของโลกอยู่ในจิตใจของนักวิทยาศาสตร์ในสมัยโบราณอย่างต่อเนื่อง และเมื่อสมมติฐานเกี่ยวกับรูปร่างทรงกลมของโลกได้รับการยืนยัน แนวคิดก็เกิดขึ้นว่าโลกมีรูปร่างทรงสิบสองหน้า ดังนั้น เพลโตจึงเขียนไว้ว่า “ถ้าคุณมองโลกจากด้านบน โลกก็ดูเหมือนลูกบอลที่เย็บจากหนัง 12 ชิ้น” สมมติฐานของเพลโตนี้พบการพัฒนาทางวิทยาศาสตร์เพิ่มเติมในงานของนักฟิสิกส์ นักคณิตศาสตร์ และนักธรณีวิทยา ดังนั้น นักธรณีวิทยาชาวฝรั่งเศส เดอ บิมง และนักคณิตศาสตร์ชื่อดัง ปัวน์กาเร จึงเชื่อว่ารูปร่างของโลกคือรูปทรงสิบสองหน้าที่ผิดรูป

มีอีกสมมติฐานหนึ่ง ความหมายของมันคือโลกมีรูปร่างเหมือนไอโคซาฮีดรอน โลกมีเส้นขนานสองเส้น - ละติจูด 30° เหนือและใต้ ระยะห่างระหว่างพวกมันถึงขั้วของซีกโลกคือ 60° และระหว่างพวกมันคือ 60° เช่นกัน ทางตอนเหนือของเส้นขนานเหล่านี้ จุดต่างๆ จะถูกทำเครื่องหมายไว้ที่ 1/5 ของวงกลมเต็มวง หรือ 72o: ที่จุดตัดกับเส้นเมอริเดียน 32o, 104o และ 176o D. และ 40o และ 112o W. จ. บนเส้นขนานด้านใต้ จุดต่างๆ จะถูกทำเครื่องหมายไว้ที่จุดตัดโดยมีเส้นเมอริเดียนผ่านไปตรงกลางระหว่างจุดที่ระบุชื่อ: 68o และ 140o D. และ 4o, 76o และ 148o W. d. ห้าจุดบนเส้นขนาน 30o ว. , ห้า - บนขนาน 30o S. ว. และขั้วโลกสองขั้วและจะประกอบเป็น 12 จุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยม

นักธรณีวิทยาชาวรัสเซีย S. Kislitsin ยังได้แบ่งปันความคิดเห็นเกี่ยวกับรูปทรงสิบสองหน้าของโลกด้วย เขาตั้งสมมติฐานว่าเมื่อ 400-500 ล้านปีก่อน ธรณีสเฟียร์ทรงสิบสองหน้ากลายเป็นทรงไอโคซาฮีดรอน อย่างไรก็ตาม การเปลี่ยนแปลงดังกล่าวกลายเป็นความไม่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์ ซึ่งเป็นผลมาจากการที่ geo-dodecahedron พบว่าตัวเองถูกจารึกไว้ในโครงสร้างของ icosahedron ใน ปีที่ผ่านมาได้มีการทดสอบสมมติฐานเกี่ยวกับรูปทรงไอโคซาฮีดัล-สิบสองหน้าของโลก ในการทำเช่นนี้ นักวิทยาศาสตร์ได้จัดแนวแกนของรูปทรงสิบสองหน้าให้ตรงกับแกนของโลก และเมื่อหมุนรูปทรงหลายเหลี่ยมไปรอบ ๆ มัน สังเกตว่าขอบของมันตรงกับการรบกวนขนาดยักษ์ในเปลือกโลก (ตัวอย่างเช่น กับสันเขาใต้น้ำกลางมหาสมุทรแอตแลนติก) จากนั้นจึงนำไอโคซาเฮดรอนมาเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม พวกเขาพบว่าขอบของมันตรงกับส่วนเล็กๆ ของเปลือกโลก (สันเขา รอยเลื่อน ฯลฯ) การสังเกตเหล่านี้ยืนยันสมมติฐานที่ว่าโครงสร้างเปลือกโลกของเปลือกโลกมีความคล้ายคลึงกับรูปแบบของรูปทรงสิบสองหน้าและรูปทรงหลายเหลี่ยม

โหนดของธรณีคริสตัลสมมุตินั้นเป็นศูนย์กลางของความผิดปกติบางอย่างบนโลก: ศูนย์กลางของความกดดันบรรยากาศที่รุนแรงของโลกทั้งหมดซึ่งเป็นพื้นที่ที่มีต้นกำเนิดของพายุเฮอริเคนนั้นตั้งอยู่ในนั้น ในโหนดหนึ่งของ icosahedron (ในกาบอง) มีการค้นพบ "เครื่องปฏิกรณ์ปรมาณูธรรมชาติ" ซึ่งยังคงปฏิบัติการอยู่เมื่อ 1.7 พันล้านปีก่อน แหล่งแร่ขนาดยักษ์ (เช่น แหล่งน้ำมัน Tyumen) ความผิดปกติของสัตว์โลก (ทะเลสาบไบคาล) ศูนย์กลางการพัฒนาวัฒนธรรมของมนุษย์ ( อียิปต์โบราณ, อารยธรรมอินเดียยุคแรก โมเฮนโจ-ดาโร, มองโกเลียเหนือ เป็นต้น)

มีอีกหนึ่งสมมติฐาน แนวคิดของ Pythagoras, Plato, I. Kepler เกี่ยวกับการเชื่อมโยงของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติกับโครงสร้างที่กลมกลืนของโลกได้ค้นพบความต่อเนื่องของพวกเขาในยุคของเราในสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ที่น่าสนใจซึ่งผู้เขียน (ในช่วงต้นทศวรรษที่ 80) เป็นวิศวกรของมอสโก V. Makarov และ V. Morozov พวกเขาเชื่อว่าแกนกลางของโลกมีรูปร่างและคุณสมบัติของผลึกที่กำลังเติบโต ซึ่งมีอิทธิพลต่อการพัฒนากระบวนการทางธรรมชาติทั้งหมดที่เกิดขึ้นบนโลก รังสีของคริสตัลนี้หรือสนามพลังของมัน เป็นตัวกำหนดโครงสร้างไอโคซาฮีดอล-สิบสองหน้าของโลก ซึ่งแสดงให้เห็นในความจริงที่ว่าเส้นโครงของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติที่ถูกจารึกไว้ในโลกนั้นปรากฏในเปลือกโลก: ไอโคซาฮีดรอนและสิบสองหน้า จุดยอดและจุดกึ่งกลางของขอบทั้ง 62 จุดซึ่งผู้เขียนเรียกว่าโหนดนั้นมีคุณสมบัติเฉพาะหลายประการที่ทำให้สามารถอธิบายปรากฏการณ์บางอย่างที่ไม่อาจเข้าใจได้

การศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับโลกอาจกำหนดทัศนคติต่อสมมติฐานทางวิทยาศาสตร์ที่สวยงามนี้ ซึ่งดังที่เห็นได้ว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติครอบครองสถานที่สำคัญ

และอีกหนึ่งคำถามเกิดขึ้นเกี่ยวกับรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ: เป็นไปได้ไหมที่จะเติมช่องว่างด้วยเพื่อไม่ให้มีช่องว่างระหว่างกัน? มันเกิดขึ้นจากการเปรียบเทียบกับรูปหลายเหลี่ยมปกติ ซึ่งบางรูปสามารถเต็มระนาบได้ ปรากฎว่าสามารถเติมช่องว่างได้ด้วยความช่วยเหลือของลูกบาศก์รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติหนึ่งลูกบาศก์เท่านั้น พื้นที่นี้ยังสามารถเติมด้วยขนมเปียกปูนรูปทรงสิบสองหน้าได้ เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ คุณจะต้องแก้ไขปัญหา

งาน. ใช้ลูกบาศก์เจ็ดก้อนที่ก่อตัวเป็น "กากบาท" เชิงพื้นที่ สร้างรูปทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและแสดงว่าพวกมันเติมพื้นที่ได้

สารละลาย. ลูกบาศก์สามารถเติมพื้นที่ได้ พิจารณาส่วนหนึ่งของลูกบาศก์ขัดแตะ เราจะปล่อยให้ลูกบาศก์ตรงกลางไม่ถูกแตะต้อง และในแต่ละลูกบาศก์ "ขอบ" เราจะวาดระนาบผ่านขอบตรงข้ามทั้งหกคู่ ในกรณีนี้ ลูกบาศก์ "ขอบ" จะถูกแบ่งออกเป็นปิรามิดเท่าๆ กัน 6 ชิ้น โดยมีฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสและขอบด้านข้างเท่ากับครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมของลูกบาศก์ ปิรามิดที่อยู่ติดกับรูปทรงลูกบาศก์ที่ไม่มีใครแตะต้อง ร่วมกับปิรามิดทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน จากนี้เห็นได้ชัดว่าขนมเปียกปูนรูปทรงสิบสองหน้าสามารถเติมเต็มพื้นที่ทั้งหมดได้ ด้วยเหตุนี้ เราจึงพบว่าปริมาตรของรูปทรงสิบสองหน้าของขนมเปียกปูนเท่ากับปริมาตรของลูกบาศก์สองเท่า ซึ่งขอบของรูปทรงนั้นเกิดขึ้นพร้อมกับเส้นทแยงมุมที่เล็กกว่าของใบหน้าของรูปทรงสิบสองหน้า

เพื่อแก้ปัญหานี้ เรามาถึงขนมเปียกปูนรูปทรงสิบสองหน้า สิ่งที่น่าสนใจคือเซลล์ผึ้งซึ่งเติมเต็มพื้นที่โดยไม่มีช่องว่าง ก็เป็นรูปทรงเรขาคณิตเช่นกัน ด้านบนของเซลล์ผึ้งเป็นส่วนหนึ่งของรูปทรงสิบสองเหลี่ยมขนมเปียกปูน

ในปี 1525 Dürer ได้เขียนบทความที่เขานำเสนอรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ 5 แบบซึ่งมีพื้นผิวเป็นแบบจำลองที่ดีของมุมมอง

ดังนั้นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเปิดเผยให้เราทราบถึงความพยายามของนักวิทยาศาสตร์ที่จะเข้าใกล้ความลับของความสามัคคีของโลกและแสดงให้เห็นถึงความน่าดึงดูดใจของเรขาคณิตที่ไม่อาจต้านทานได้

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติและอัตราส่วนทองคำ

ในช่วงยุคเรอเนซองส์ ประติมากร สถาปนิก และศิลปินแสดงความสนใจอย่างมากในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ตัวอย่างเช่น เลโอนาร์โด ดา วินชี มีความกระตือรือร้นในทฤษฎีรูปทรงหลายเหลี่ยมและมักวาดภาพพวกมันบนผืนผ้าใบของเขา เขาอธิบายหนังสือของพระเพื่อนของเขา ลูก้า ปาซิโอลี (1445 - 1514) เรื่อง “On Divine Proportion” พร้อมรูปภาพรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติและกึ่งปกติ

ในปี 1509 ในเมืองเวนิส ลูก้า ปาซิโอลีได้ตีพิมพ์หนังสือเรื่อง On Divine Proportion Pacioli พบการปรากฏของ "สัดส่วนศักดิ์สิทธิ์" สิบสามครั้งในของแข็ง Platonic ทั้งห้า - รูปหลายเหลี่ยมปกติ (จัตุรมุข, ลูกบาศก์, แปดหน้า, icosahedron และ dodecahedron) ในบท “ในวันที่สิบสอง ทรัพย์สินที่เกือบจะเหนือธรรมชาติ” เขาตรวจสอบไอโคซาเฮดรอนปกติ สามเหลี่ยมห้ารูปมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของไอโคซาฮีดรอนจนกลายเป็นรูปห้าเหลี่ยมปกติ หากคุณเชื่อมต่อขอบด้านตรงข้ามสองด้านของไอโคซาเฮดรอน คุณจะได้สี่เหลี่ยมผืนผ้าโดยที่ด้านที่ใหญ่กว่าสัมพันธ์กับด้านที่เล็กกว่า เนื่องจากผลรวมของด้านเท่ากับด้านที่ใหญ่กว่า

ดังนั้นสัดส่วนทองคำจึงปรากฏในเรขาคณิตของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้ารูปทรงซึ่งตามที่นักวิทยาศาสตร์โบราณกล่าวไว้นั้นอยู่ที่พื้นฐานของจักรวาล

เรขาคณิตของของแข็ง Platonic ในภาพวาดของศิลปินผู้ยิ่งใหญ่

A. Durer ศิลปินชื่อดังแห่งยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาผู้ชื่นชอบเรขาคณิตเช่นกัน ในงานแกะสลักอันโด่งดังของเขา "Melancholia" มีการแสดงรูปทรงสิบสองหน้าอยู่เบื้องหน้า

พิจารณาภาพภาพวาดของศิลปิน Salvador Dali "The Last Supper" เบื้องหน้าของภาพคือพระคริสต์กับเหล่าสาวกโดยมีฉากหลังเป็นรูปสิบสองหน้าโปร่งใสขนาดใหญ่

คริสตัล - รูปทรงหลายเหลี่ยมตามธรรมชาติ

รูปทรงหลายเหลี่ยมหลายรูปแบบไม่ได้ถูกประดิษฐ์ขึ้นโดยมนุษย์เอง แต่ถูกสร้างขึ้นโดยธรรมชาติในรูปของคริสตัล

บ่อยครั้งที่ผู้คนเมื่อมองดูคริสตัลรูปทรงหลายเหลี่ยมอันน่าอัศจรรย์และมีสีรุ้ง ไม่สามารถเชื่อได้ว่าพวกมันถูกสร้างขึ้นโดยธรรมชาติ ไม่ใช่โดยมนุษย์ ด้วยเหตุนี้จึงมีนิทานพื้นบ้านที่น่าทึ่งเกี่ยวกับคริสตัลเกิดขึ้นมากมาย

วัสดุที่เป็นลายลักษณ์อักษรที่น่าสนใจได้รับการเก็บรักษาไว้เช่นสิ่งที่เรียกว่า "กระดาษปาปิรัส Eber" ซึ่งมีคำอธิบายวิธีการรักษาด้วยหินพร้อมพิธีกรรมและคาถาพิเศษซึ่งพลังลึกลับนั้นมาจากอัญมณีล้ำค่า

เชื่อกันว่าคริสตัลโกเมนจะนำความโชคดีมาให้ มันมีรูปร่างของขนมเปียกปูนรูปทรงสิบสองหน้า (บางครั้งเรียกว่ารูปทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนหรือรูปทรงสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน) - รูปทรงสิบสองหน้าซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเท่ากันสิบสองรูป

ผลึกสิบสองหน้ามีลักษณะทั่วไปสำหรับโกเมน จนรูปร่างของรูปทรงหลายเหลี่ยมดังกล่าวเรียกว่าการ์เนโทฮีดรอนด้วยซ้ำ

โกเมนเป็นหนึ่งในแร่ธาตุหลักที่ก่อตัวเป็นหิน มีหินขนาดใหญ่ที่ประกอบด้วยหินโกเมนที่เรียกว่าสการ์น อย่างไรก็ตาม หินล้ำค่า สีสันสวยงาม และโปร่งใสนั้นยังห่างไกลจากสิ่งธรรมดาทั่วไป อย่างไรก็ตามเรื่องนี้ มันเป็นโกเมน - ไพโรปสีแดงเลือด - ที่นักโบราณคดีพิจารณาว่าเป็นเครื่องประดับที่เก่าแก่ที่สุดเนื่องจากถูกค้นพบในยุโรปในยุคหินใหม่โบราณในดินแดนของสาธารณรัฐเช็กสมัยใหม่และสโลวาเกียซึ่งปัจจุบันได้รับความนิยมเป็นพิเศษ

ความจริงที่ว่าโกเมนนั่นคือรูปทรงหลายเหลี่ยมรูปทรงสิบสองเหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นที่รู้จักมาตั้งแต่สมัยโบราณสามารถตัดสินได้จากประวัติความเป็นมาของที่มาของชื่อซึ่งแปลจากภาษากรีกโบราณแปลว่า "สีแดง" นอกจากนี้ชื่อยังเกี่ยวข้องกับสีแดงซึ่งเป็นสีโกเมนที่พบมากที่สุด

โกเมนได้รับการยกย่องอย่างสูงจากผู้ที่ชื่นชอบอัญมณี ใช้ทำเครื่องประดับชั้นหนึ่ง โกเมนมีคุณสมบัติในการมอบของขวัญแห่งการมองการณ์ไกลให้กับผู้หญิงที่สวมใส่และขับไล่ความคิดหนักๆ ไปจากพวกเขา ในขณะเดียวกันก็ปกป้องผู้ชายจากความตายที่รุนแรง

โกเมนเน้นถึงความไม่ปกติของสถานการณ์ ความคิดริเริ่มในการกระทำของผู้คน และเน้นย้ำถึงความบริสุทธิ์และความประณีตในความรู้สึกของพวกเขา

เป็นหินมงคลสำหรับผู้ที่เกิดเดือนมกราคม

ลองพิจารณาหินซึ่งมีการศึกษารูปร่างอย่างดีและแสดงถึงรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติ กึ่งปกติ และรูปดาว

Pyrite มาจากคำภาษากรีกว่า pyros แปลว่าไฟ การฟาดฟันทำให้เกิดประกายไฟ ในสมัยโบราณ ชิ้นส่วนของไพไรต์ทำหน้าที่เป็นฟืน ความแวววาวเหมือนกระจกบนใบหน้าทำให้ไพไรต์แตกต่างจากซัลไฟด์อื่นๆ ไพไรต์ขัดเงาจะส่องสว่างยิ่งขึ้น นักโบราณคดีพบกระจกที่ทำจากไพไรต์ขัดเงาในหลุมศพของชาวอินคา นั่นเป็นสาเหตุที่ไพไรต์มีสิ่งนี้ ชื่อที่หายาก- หินอินคา ในช่วงที่มีการระบาดของยุคตื่นทอง ไพไรต์เปล่งประกายในหลอดเลือดดำควอตซ์ บนทรายเปียกบนถาดซักผ้า ทำให้เกิดความร้อนขึ้นมากกว่าหนึ่งหัว แม้กระทั่งตอนนี้ คนรักหินมือใหม่ยังเข้าใจผิดว่าไพไรต์เป็นทองคำ

แต่ลองมาดูให้ละเอียดยิ่งขึ้นฟังสุภาษิต: "สิ่งที่แวววาวไม่ใช่ทองคำ!" สีของไพไรต์คือทองเหลืองเหลือง ขอบของผลึกไพไรต์มีความแวววาวของโลหะที่แข็งแกร่ง - บริเวณรอยร้าวนี้ความแวววาวจะมัวลง

ไพไรต์มีความแข็ง 6-6.5 และกระจกเป็นรอยขีดข่วนได้ง่าย เป็นแร่ธาตุที่แข็งที่สุดในกลุ่มซัลไฟด์

และสิ่งที่มีลักษณะเฉพาะมากที่สุดในรูปลักษณ์ของไพไรต์ก็คือรูปร่างของคริสตัล ส่วนใหญ่มักจะเป็นลูกบาศก์ ตั้งแต่ก้อน "ที่เล็กที่สุดที่วางเรียงกันตามรอยแตกไปจนถึงลูกบาศก์ที่มีขอบสูง 5 ซม. 15 ซม. และ 30 ซม.! แต่ไม่เพียง แต่คริสตัลไพไรต์เท่านั้นที่ถูกตัดเป็นก้อน ในคลังแสงของแร่นี้มีรูปแปดด้านที่เรารู้จักอยู่แล้ว แมกนีไทต์นั้นค่อนข้างหายาก แต่ไพไรต์ช่วยให้คุณชื่นชมรูปร่างด้วยชื่อนี้ได้ - เพนตากอนโดเดคาเฮดรอนคือห้าหน้าของแบบฟอร์มนี้มีห้าด้านและ "โดเดก้า" คือ โหล - มีทั้งหมดสิบสองรูปร่าง รูปร่างนี้เป็นเรื่องปกติสำหรับไพไรต์ในสมัยก่อน มันยังได้รับชื่อ "pyritohedron"

คาสเซไทร์

แคสซิเตไรต์เป็นแร่สีน้ำตาลมันวาวเปราะซึ่งเป็นแร่ปฐมภูมิของดีบุก รูปร่างเป็นที่น่าจดจำมาก - ปิรามิดทรงสูงทรงจัตุรมุขที่แหลมคมที่ด้านบนและด้านล่างและตรงกลางมีเสาสั้น ๆ ก็มีเหลี่ยมเพชรพลอยเช่นกัน ผลึกแคสสิเตอไรต์ที่มีลักษณะแตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิงเติบโตในเส้นเลือดควอตซ์ บน คาบสมุทรชูคตกามีแหล่งสะสมของ Iultin ซึ่งเส้นเลือดที่มีคริสตัลแคสซิเทอไรต์ชั้นเยี่ยมมีชื่อเสียงมายาวนาน

กาเลนาดูเหมือนโลหะและเป็นไปไม่ได้เลยที่จะไม่สังเกตเห็นมันในแร่ สีจะออกทันทีด้วยความเงาและความหนักของโลหะ กาเลนาเป็นลูกบาศก์สีเงินเกือบตลอดเวลา (หรือขนานกัน) และสิ่งเหล่านี้ไม่จำเป็นต้องเป็นผลึกทั้งหมด กาเลนามีความแตกแยกที่สมบูรณ์แบบกับลูกบาศก์ ซึ่งหมายความว่ามันไม่แตกออกเป็นชิ้น ๆ ที่ไม่มีรูปร่าง แต่เป็นก้อนสีเงินแวววาวเรียบร้อย ผลึกธรรมชาติมีรูปร่างเป็นทรงแปดหน้าหรือทรงลูกบาศก์ กาเลนายังโดดเด่นด้วยคุณสมบัติดังต่อไปนี้: แร่ธาตุนี้มีความอ่อนและทนต่อสารเคมีได้ไม่มากนัก

เซอร์โคเนียม

"เพทาย" - จากคำเปอร์เซีย "ราชา" และ "ปืน" - สีทอง

เซอร์โคเนียมถูกค้นพบในปี 1789/0 ในเพทายซีลอนอันล้ำค่า ผู้ค้นพบองค์ประกอบนี้คือ M. Claporte เพทายที่โปร่งใสและเป็นประกายแวววาวอันงดงามมีชื่อเสียงในสมัยโบราณ หินก้อนนี้มีมูลค่าสูงในเอเชีย

นักเคมีและนักโลหะวิทยาต้องทำงานหนักมากก่อนที่เปลือกเซอร์โคเนียมของแท่งและชิ้นส่วนโครงสร้างอื่นๆ จะปรากฏในเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์

ดังนั้น เซอร์คอนจึงเป็นอัญมณีที่มีประสิทธิภาพ - สีส้ม สีเหลืองฟาง ฟ้า-น้ำเงิน เขียว - มันเปล่งประกายและเล่นเหมือนเพชร

เพทายมักแสดงด้วยคริสตัลขนาดเล็กปกติที่มีรูปร่างสง่างามเป็นพิเศษ ลวดลายของโครงตาข่ายคริสตัล และรูปร่างของคริสตัลตามลำดับ อยู่ภายใต้แกนสมมาตรที่สี่ คริสตัลเพทายอยู่ในระบบ tetragonal หน้าตัดเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส และตัวคริสตัลเองนั้นประกอบด้วยปริซึมทรงสี่เหลี่ยม (บางครั้งตามขอบก็จะถูกทื่อด้วยปริซึมที่คล้ายกันตัวที่สอง) และปิรามิดสองเหลี่ยมทรงสี่เหลี่ยมที่ทำให้ปริซึมสมบูรณ์ที่ปลายทั้งสองข้าง

สิ่งที่น่าประทับใจยิ่งกว่านั้นคือคริสตัลที่มีปิรามิดสองอันอยู่ที่ปลาย อันหนึ่งอยู่ที่ด้านบน และอีกอันทำให้ขอบระหว่างปริซึมและปิรามิดด้านบนมัวหมองเท่านั้น

ผลึกเกลือแกงมีรูปร่างของลูกบาศก์น้ำแข็งและคริสตัลหิน (ควอตซ์) มีลักษณะคล้ายดินสอเหลาทั้งสองด้านนั่นคือมีรูปร่างของปริซึมหกเหลี่ยมบนฐานที่วางปิรามิดหกเหลี่ยม

เพชรมักพบอยู่ในรูปของทรงแปดหน้า บางครั้งก็เป็นรูปลูกบาศก์ หรือแม้แต่ทรงลูกบาศก์

สปาร์ไอซ์แลนด์ซึ่งแยกภาพออกเป็นสองส่วนมีรูปร่างขนานเฉียงเฉียง

น่าสนใจ

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติอื่นๆ ทั้งหมดสามารถหาได้จากลูกบาศก์โดยการแปลง

ในระหว่างกระบวนการแบ่งไข่ ในตอนแรกจะมีการสร้างจัตุรมุขซึ่งประกอบด้วยเซลล์สี่เซลล์ จากนั้นจึงเกิดรูปทรงแปดหน้า ลูกบาศก์ และสุดท้ายก็เกิดโครงสร้างแกสทรูลาแบบสิบสองหน้า-ไอโคซาฮีดรัล

และสุดท้าย บางทีสิ่งที่สำคัญที่สุดคือ โครงสร้าง DNA ของรหัสพันธุกรรมของชีวิตคือการพัฒนาสี่มิติ (ตามแกนเวลา) ของรูปทรงสิบสองหน้าที่หมุนได้!

เชื่อกันว่ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจะนำโชคดีมาให้ ดังนั้น กระดูกจึงไม่เพียงแต่มีรูปร่างเป็นลูกบาศก์เท่านั้น แต่ยังมีรูปร่างอื่นๆ ทั้งหมดด้วย ตัวอย่างเช่น แม่พิมพ์รูปทรงสิบสองหน้าเรียกว่า d12

นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน August Ferdinand Möbius ในงานของเขา "On the Volume of Polyhedra" บรรยายถึงพื้นผิวทางเรขาคณิตที่มีคุณสมบัติอันน่าทึ่ง: มันมีเพียงด้านเดียว! หากคุณติดปลายแถบกระดาษเข้าด้วยกันหลังจากหมุนหนึ่งในนั้น 180 องศา คุณจะได้แผ่นหรือแถบ Mobius ลองทาสีริบบิ้นบิดเป็น 2 สี - สีหนึ่งอยู่ด้านนอก และอีกสีอยู่ด้านใน คุณจะไม่ประสบความสำเร็จ! แต่มดที่คลานไปตามแถบ Mobius ไม่จำเป็นต้องคลานข้ามขอบเพื่อไปฝั่งตรงข้าม

“มีรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนสม่ำเสมออยู่สองสามหน้าอย่างน่าตกใจ” ลูอิส แคร์โรลล์เคยตั้งข้อสังเกต “แต่แม้แต่ทีมที่เจียมเนื้อเจียมตัวมาก ทั้งห้าที่งดงามก็สามารถเจาะลึกเข้าไปในส่วนลึกของวิทยาศาสตร์ได้ -

ตัวอย่างทั้งหมดนี้ยืนยันถึงความเข้าใจอันน่าทึ่งเกี่ยวกับสัญชาตญาณของเพลโต

บทสรุป

งานที่นำเสนอถือว่า:

ความหมายของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน

คุณสมบัติพื้นฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน รวมถึงทฤษฎีบทของออยเลอร์ซึ่งสัมพันธ์กับจำนวนจุดยอด ขอบ และหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด

คำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบปกติ การมีอยู่ของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเพียงห้าแบบเท่านั้นที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว

ความสัมพันธ์ระหว่างมุมที่เป็นลักษณะเฉพาะของปิรามิด n-gonal ปกติซึ่งเป็นส่วนสำคัญของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกตินั้นได้รับการพิจารณาในรายละเอียด

คุณลักษณะบางอย่างของจัตุรมุขปกติ เช่น ปริมาตร พื้นที่ผิว และอื่นๆ ที่คล้ายกัน จะถูกกล่าวถึงในรายละเอียด

ภาคผนวกประกอบด้วยข้อพิสูจน์เกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของรูปทรงหลายเหลี่ยมนูนและทฤษฎีบทอื่นๆ ที่มีอยู่ในงานนี้ ทฤษฎีบทและความสัมพันธ์ที่นำเสนอจะมีประโยชน์ในการแก้ปัญหาต่างๆ ในด้านสามมิติ งานนี้สามารถนำมาใช้เมื่อศึกษาแต่ละหัวข้อของ Stereometry เพื่อเป็นข้อมูลอ้างอิงและภาพประกอบ

รูปทรงหลายเหลี่ยมล้อมรอบเราทุกที่: ลูกบาศก์สำหรับเด็ก เฟอร์นิเจอร์ โครงสร้างทางสถาปัตยกรรม ฯลฯ ในชีวิตประจำวันเราเกือบจะหยุดสังเกตเห็นสิ่งเหล่านี้ แต่มันน่าสนใจมากที่จะรู้ประวัติของวัตถุที่ทุกคนคุ้นเคยโดยเฉพาะอย่างยิ่งถ้ามันน่าทึ่งมาก

พื้นไม้ปาร์เก้ที่ถูกต้อง โครงการนี้จัดทำโดยนักเรียนของสถาบันการศึกษาเทศบาล-โรงเรียนมัธยมหมายเลข 6 Marx Zhilnikova Nastya หัวหน้างาน: Martyshova Lyudmila Iosifovna เป้าหมายและวัตถุประสงค์ ค้นหาว่ารูปหลายเหลี่ยมนูนปกติแบบใดที่สามารถนำมาใช้ทำไม้ปาร์เก้ธรรมดาได้ พิจารณาไม้ปาร์เก้ที่ถูกต้องทุกประเภทและตอบคำถามเกี่ยวกับปริมาณของพวกเขา ลองพิจารณาตัวอย่างการใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติในธรรมชาติ - ในชีวิตประจำวันเรามักพบไม้ปาร์เก้: พวกเขาปูพื้นในบ้าน, ปูผนังห้องด้วยกระเบื้องต่าง ๆ และมักจะตกแต่งอาคารด้วยเครื่องประดับ - - - - - - - - - - คำถามแรกที่เราสนใจและคำถามใดที่สามารถแก้ไขได้ง่ายมีดังต่อไปนี้: ไม้ปาร์เก้สามารถสร้างรูปหลายเหลี่ยมนูนธรรมดาจากอะไรได้บ้าง? ผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม ปล่อยให้แผ่นไม้ปาร์เก้เป็นแบบ n-gon ธรรมดา ผลรวมของมุมทั้งหมดของ n-gon คือ 180(n-2) และเนื่องจากมุมทุกมุมเท่ากัน แต่ละมุมจึงเท่ากับ 180(n-2)/n เนื่องจากมุมจำนวนเต็มมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของไม้ปาร์เก้ ตัวเลข 360 จึงต้องเป็นผลคูณจำนวนเต็มของ 180(n-2)/n เมื่อแปลงอัตราส่วนของตัวเลขเหล่านี้ เราจะได้ 360n/ 180(n-2)= 2n/ n-2 180(n-2) n คือจำนวนด้านของรูปหลายเหลี่ยม ค่อนข้างง่ายที่จะตรวจสอบให้แน่ใจว่าไม่มีรูปหลายเหลี่ยมปกติอื่นใดเป็นไม้ปาร์เก้ และตรงนี้เราต้องการสูตรสำหรับผลรวมของมุมของรูปหลายเหลี่ยม หากไม้ปาร์เก้ประกอบด้วย n-gons ดังนั้น k 360: รูปหลายเหลี่ยม n จะมาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอดของไม้ปาร์เก้ โดยที่ n คือมุมของ n-gon ปกติ เป็นเรื่องง่ายที่จะพบว่า 3 = 60°, 4 = 90°, 5 = 108°, 6 = 120° 360° หารด้วย n เฉพาะเมื่อ n = 3; 4; 6. จากนี้ชัดเจนว่า n-2 สามารถรับได้เฉพาะค่า 1, 2 หรือ 4 เท่านั้น ดังนั้นค่าเดียวที่เป็นไปได้สำหรับ n คือ 3, 4, 6 ดังนั้นเราจึงได้ไม้ปาร์เก้ที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมปกติ สี่เหลี่ยมจัตุรัส หรือรูปหกเหลี่ยมปกติ ไม้ปาร์เก้อื่นๆ ที่ทำจากรูปหลายเหลี่ยมธรรมดาเป็นไปไม่ได้ ไม้ปาร์เก้ - การยุติระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยม ชาวพีทาโกรัสรู้อยู่แล้วว่ามีรูปหลายเหลี่ยมปกติเพียงสามประเภทเท่านั้นที่สามารถปูระนาบได้อย่างสมบูรณ์โดยไม่มีช่องว่างหรือทับซ้อนกัน - สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมจัตุรัส และหกเหลี่ยม ไม้ปาร์เก้ - กระเบื้องระนาบที่มีรูปหลายเหลี่ยม คุณสามารถกำหนดให้ไม้ปาร์เก้เป็นแบบปกติเท่านั้น "ที่จุดยอด" แต่อนุญาตให้ใช้รูปหลายเหลี่ยมปกติประเภทต่างๆ จากนั้นจึงเพิ่มพื้นไม้ปาร์เก้อีก 8 พื้นจากเดิม 3 พื้น - ไม้ปาร์เก้จากรูปหลายเหลี่ยมปกติต่างๆ ขั้นแรก เรามาดูกันว่ามีรูปหลายเหลี่ยมปกติ (ที่มีความยาวด้านเท่ากัน) ล้อมรอบจุดแต่ละจุดได้กี่รูป มุมของรูปหลายเหลี่ยมปกติต้องอยู่ในช่วงตั้งแต่ 60° ถึง 180° (ไม่รวม) ดังนั้น จำนวนรูปหลายเหลี่ยมที่อยู่ในบริเวณใกล้เคียงกับจุดจะต้องมากกว่า 2 (360°/180°) และต้องไม่เกิน 6 (360°/60°) ไม้ปาร์เก้จากรูปหลายเหลี่ยมปกติต่างๆ แสดงให้เห็นว่ามีวิธีต่อไปนี้ในการวางไม้ปาร์เก้โดยใช้การรวมกันของรูปหลายเหลี่ยมปกติ: (3,12,12); (4,6,12); (6,6,6); (3,3,6,6) - ไม้ปาร์เก้สองตัวเลือก; (3,4,4,6) - สี่ตัวเลือก; (3,3,3,4,4) - สี่ตัวเลือก; (3,3,3,3,6); (3,3,3,3,3,3) (ตัวเลขในวงเล็บคือชื่อของรูปหลายเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่แต่ละจุดยอด: 3 - สามเหลี่ยมปกติ, 4 สี่เหลี่ยมจัตุรัส, 6 - หกเหลี่ยมปกติ, 12 เหลี่ยมปกติ) การหุ้มระนาบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้ 1 ระนาบถูกหุ้มด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด โดยไม่มีช่องว่างหรือสิ่งปกคลุมสองชั้น เช่น รูปหลายเหลี่ยมสองรูปที่มีด้านร่วมกัน หรือมีจุดยอดร่วม หรือไม่มีจุดร่วมเลย การหุ้มนี้เรียกว่าไม้ปาร์เก้ 2 รอบจุดยอดทั้งหมด รูปหลายเหลี่ยมปกติจะถูกจัดเรียงในลักษณะเดียวกัน กล่าวคือ รอบๆ จุดยอดทั้งหมด รูปหลายเหลี่ยมที่มีชื่อเดียวกันจะเรียงตามลำดับเดียวกัน ตัวอย่างเช่น ถ้ารอบจุดยอดหนึ่งรูปหลายเหลี่ยมถูกจัดเรียงตามลำดับ: สามเหลี่ยม - สี่เหลี่ยมจัตุรัส - หกเหลี่ยม - สี่เหลี่ยม ดังนั้น รอบจุดยอดอื่นๆ ที่มีจุดเดียวกันซึ่งครอบคลุมรูปหลายเหลี่ยมนั้นจะถูกจัดเรียงในลำดับเดียวกันทุกประการ ไม้ปาร์เก้ปกติ ดังนั้น ไม้ปาร์เก้สามารถวางทับบนตัวมันเองในลักษณะที่จุดยอดใด ๆ ของมันจะถูกทับบนจุดยอดอื่น ๆ ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ ไม้ปาร์เก้ชนิดนี้เรียกว่าถูกต้อง ไม้ปาร์เก้ธรรมดามีกี่แบบและจัดเรียงอย่างไร? ให้เราแบ่งไม้ปาร์เก้ธรรมดาทั้งหมดออกเป็นกลุ่มตามจำนวนรูปหลายเหลี่ยมปกติต่างๆ ที่รวมอยู่ในไม้ปาร์เก้ 1.a) หกเหลี่ยม ข) สี่เหลี่ยม ค) สามเหลี่ยม 2.a) สี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม b) สี่เหลี่ยมและแปดเหลี่ยม c) สามเหลี่ยมและหกเหลี่ยม d) สามเหลี่ยมและสิบสองเหลี่ยม 3.a) สี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม และสิบสองเหลี่ยม ข) สี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม และสามเหลี่ยม ไม้ปาร์เก้ธรรมดาที่ทำจากรูปหลายเหลี่ยมปกติกลุ่ม 1 ก) หกเหลี่ยม ข) สี่เหลี่ยม ค) สามเหลี่ยม 1a สารเคลือบที่ประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ 1ข. ไม้ปาร์เก้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมเท่านั้น ศตวรรษที่ 1 ไม้ปาร์เก้ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมเท่านั้น ไม้ปาร์เก้ธรรมดาประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติสองรูป กลุ่ม 2 ก) สี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม b) สี่เหลี่ยมและแปดเหลี่ยม c) สามเหลี่ยมและหกเหลี่ยม d) สามเหลี่ยมและสิบสองเหลี่ยม 2a ไม้ปาร์เก้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม มุมมอง I. การจัดเรียงรูปหลายเหลี่ยมรอบจุดยอด: สามเหลี่ยม - สามเหลี่ยม - สามเหลี่ยม - สี่เหลี่ยมจัตุรัส - สี่เหลี่ยมจัตุรัส 2a ประเภทที่สอง ไม้ปาร์เก้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมและสามเหลี่ยม การจัดเรียงรูปหลายเหลี่ยมรอบด้านบน: สามเหลี่ยม – สามเหลี่ยม – สี่เหลี่ยม – สามเหลี่ยม – สี่เหลี่ยม 2 b. ไม้ปาร์เก้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมและแปดเหลี่ยม 2c ไม้ปาร์เก้ประกอบด้วยรูปสามเหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยม พิมพ์ I และประเภท II ไม้ปาร์เก้ธรรมดาประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติสามกลุ่ม 3 ก) สี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม และสิบสองเหลี่ยม ข) สี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม และสามเหลี่ยม 2 มิติ ไม้ปาร์เก้ประกอบด้วยสิบสองเหลี่ยมและสามเหลี่ยม 3aไม้ปาร์เก้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส หกเหลี่ยม และสิบแปดเหลี่ยม 3บี ไม้ปาร์เก้ประกอบด้วยสี่เหลี่ยม หกเหลี่ยม และสามเหลี่ยม ครอบคลุมในรูปแบบของลำดับ: สามเหลี่ยม - สี่เหลี่ยม - หกเหลี่ยม - สี่เหลี่ยมจัตุรัส สิ่งนี้เป็นไปไม่ได้: ไม่มีไม้ปาร์เก้ที่ประกอบด้วยห้าเหลี่ยมปกติ ไม่สามารถปูเป็นลำดับได้: 1) สามเหลี่ยม – สี่เหลี่ยมจัตุรัส – หกเหลี่ยม – สี่เหลี่ยมจัตุรัส; 2) สามเหลี่ยม – สามเหลี่ยม – สี่เหลี่ยม – สิบสองเหลี่ยม; 3) สามเหลี่ยม – สี่เหลี่ยม – สามเหลี่ยม – สิบสองเหลี่ยม ข้อสรุป ให้ความสนใจกับไม้ปาร์เก้ที่ประกอบด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติที่มีชื่อเดียวกันเท่านั้น - สามเหลี่ยมด้านเท่า, สี่เหลี่ยมและรูปหกเหลี่ยมปกติ ในบรรดารูปร่างเหล่านี้ (หากทุกด้านเท่ากัน) รูปหกเหลี่ยมปกติจะครอบคลุมพื้นที่ที่ใหญ่ที่สุด ดังนั้นหากเราต้องการแบ่งสนามที่ไม่มีที่สิ้นสุดออกเป็นส่วน ๆ ขนาด 1 เฮกตาร์เพื่อใช้วัสดุในการฟันดาบให้น้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ส่วนนั้นจะต้องมีรูปร่างเป็นรูปหกเหลี่ยมปกติ - ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจอีกประการหนึ่ง: ปรากฎว่าการตัดรังผึ้งนั้นดูเหมือนเครื่องบินที่ปกคลุมไปด้วยรูปหกเหลี่ยมปกติ ผึ้งพยายามสร้างรวงผึ้งที่ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้โดยสัญชาตญาณเพื่อกักเก็บน้ำผึ้งได้มากขึ้น - ข้อสรุป ดังนั้น จึงได้พิจารณาชุดค่าผสมที่เป็นไปได้ทั้งหมดแล้ว นี่คือลักษณะพื้นปาร์เก้ที่ถูกต้อง 11 แบบ พวกมันสวยมากใช่ไหม? พื้นไม้ปาร์เก้แบบไหนที่คุณชอบที่สุด? - - แคตตาล็อกสินค้า.

ธรรมชาติที่มีชีวิต.

รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติเป็นตัวเลขที่ "ทำกำไรได้" มากที่สุด และธรรมชาติก็ใช้ประโยชน์จากสิ่งนี้อย่างกว้างขวาง ผลึกของสารบางชนิดที่เราคุ้นเคยนั้นมีรูปร่างเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ ดังนั้น, ลูกบาศก์ส่ง รูปร่างผลึกเกลือแกง NaCl ซึ่งเป็นผลึกเดี่ยวของอลูมิเนียมโพแทสเซียมสารส้มมีรูปร่างของแปดหน้าซึ่งเป็นผลึกของซัลเฟอร์ไพไรต์ FeS - รูปทรงสิบสองหน้า, พลวงโซเดียมซัลเฟต - จัตุรมุข, โบรอน - icosahedron รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติกำหนดรูปร่างของโครงผลึกของสารเคมีหลายชนิด

ขณะนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วว่ากระบวนการสร้างเอ็มบริโอมนุษย์จากไข่นั้นดำเนินการโดยการแบ่งตามกฎ "ไบนารี่" นั่นคือขั้นแรกไข่จะกลายเป็นสองเซลล์ จากนั้นที่ระยะสี่เซลล์ เอ็มบริโอจะมีรูปทรงของจัตุรมุข และในระยะที่แปดเซลล์ จะมีรูปทรงของจัตุรมุขที่เชื่อมโยงกันสองตัว (จัตุรมุขรูปดาวหรือลูกบาศก์) (ภาคผนวก หมายเลข 1 รูปที่ 3 ). จากสองลูกบาศก์ในระยะสิบหกเซลล์จะเกิดทรงกลมและจากทรงกลมในช่วงหนึ่งของการแบ่งจะมีการสร้างพรูจำนวน 512 เซลล์ Planta Earth และสนามแม่เหล็กก็เป็นพรูเช่นกัน

ควอซิคริสตัล โดย Dan Shekhtman

12 พฤศจิกายน 2527 ในบทความสั้น ๆ ที่ตีพิมพ์ในนิตยสารเผด็จการ " จดหมายทบทวนทางกายภาพ» Dan Shechtman นักฟิสิกส์ชาวอิสราเอล นำเสนอหลักฐานการทดลองเกี่ยวกับการมีอยู่ของโลหะผสมที่มีคุณสมบัติพิเศษ เมื่อศึกษาโดยวิธีการเลี้ยวเบนของอิเล็กตรอน โลหะผสมนี้แสดงสัญญาณทั้งหมดของคริสตัล รูปแบบการเลี้ยวเบนของมันประกอบด้วยจุดสว่างและมีระยะห่างสม่ำเสมอ เหมือนกับคริสตัล อย่างไรก็ตาม ภาพนี้มีลักษณะเฉพาะคือมีความสมมาตรแบบ "icosahedral" หรือ "ห้าเหลี่ยม" ซึ่งเป็นสิ่งต้องห้ามอย่างเคร่งครัดในคริสตัลด้วยเหตุผลทางเรขาคณิต โลหะผสมที่ผิดปกติดังกล่าวถูกเรียกว่า ผลึกควอติกส์ภายในเวลาไม่ถึงหนึ่งปี มีการค้นพบโลหะผสมประเภทนี้อีกหลายชนิด มีจำนวนมากจนสถานะควอซิคริสตัลไลน์กลายเป็นเรื่องธรรมดามากกว่าที่ใครจะจินตนาการได้

ควอซิคริสตัลคืออะไร? คุณสมบัติของมันคืออะไรและสามารถอธิบายได้อย่างไร? ดังที่ได้กล่าวมาแล้วตาม กฎพื้นฐานของผลึกศาสตร์โครงสร้างคริสตัลมีข้อจำกัดที่เข้มงวด ตามแนวคิดคลาสสิก คริสตัลประกอบด้วยเซลล์เดียว ซึ่งควรจะ "ปิด" ทั่วทั้งระนาบอย่างแน่นหนา (แบบเผชิญหน้า) โดยไม่มีข้อจำกัดใดๆ

ดังที่ทราบกันดีว่าการเติมเครื่องบินอย่างหนาแน่นสามารถทำได้โดยใช้ สามเหลี่ยม, สี่เหลี่ยมและ รูปหกเหลี่ยม- โดยใช้ รูปห้าเหลี่ยม (เพนตากอน) การเติมดังกล่าวเป็นไปไม่ได้

สิ่งเหล่านี้คือหลักการของผลึกศาสตร์แบบดั้งเดิมซึ่งมีอยู่ก่อนการค้นพบโลหะผสมที่ผิดปกติของอลูมิเนียมและแมงกานีสที่เรียกว่าควอซิคริสตัล โลหะผสมดังกล่าวเกิดขึ้นจากการหล่อเย็นอย่างรวดเร็วเป็นพิเศษในอัตรา 10 6 K ต่อวินาที ยิ่งไปกว่านั้น ในระหว่างการศึกษาการเลี้ยวเบนของโลหะผสมดังกล่าว รูปแบบตามลำดับจะปรากฏบนหน้าจอ ซึ่งเป็นลักษณะเฉพาะของความสมมาตรของไอโคซาฮีดรอน ซึ่งมีแกนสมมาตรลำดับที่ 5 ที่มีชื่อเสียงซึ่งเป็นที่ต้องห้าม

ในอีกไม่กี่ปีข้างหน้า กลุ่มวิทยาศาสตร์หลายแห่งทั่วโลกได้ศึกษาโลหะผสมที่ผิดปกตินี้โดยใช้กล้องจุลทรรศน์อิเล็กตรอนที่มีความละเอียดสูง ทั้งหมดนี้ยืนยันความเป็นเนื้อเดียวกันในอุดมคติของสสาร โดยรักษาความสมมาตรลำดับที่ 5 ไว้ในพื้นที่มหภาคซึ่งมีขนาดใกล้เคียงกับอะตอม (หลายสิบนาโนเมตร)

ตามมุมมองสมัยใหม่ได้มีการพัฒนา รุ่นถัดไปได้รับโครงสร้างผลึกของผลึกควอซิคริสตัล โมเดลนี้มีพื้นฐานมาจากแนวคิดเรื่อง "องค์ประกอบพื้นฐาน" ตามแบบจำลองนี้ ไอโคซาเฮดรอนชั้นในของอะตอมอะลูมิเนียมถูกล้อมรอบด้วยไอโคซาเฮดรอนชั้นนอกของอะตอมแมงกานีส Icosahedrons เชื่อมต่อกันด้วยแปดด้านของอะตอมแมงกานีส "ธาตุฐาน" ประกอบด้วยอะลูมิเนียม 42 อะตอม และแมงกานีส 12 อะตอม ในระหว่างกระบวนการแข็งตัว การก่อตัวของ "องค์ประกอบพื้นฐาน" อย่างรวดเร็วเกิดขึ้น ซึ่งเชื่อมต่อกันอย่างรวดเร็วด้วย "สะพาน" แปดด้านที่แข็งแกร่ง จำไว้ว่าใบหน้าของไอโคซาฮีดรอนเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า ในการที่จะสร้างสะพานแมงกานีสแปดด้านนั้น จำเป็นที่สามเหลี่ยมสองอันดังกล่าว (อันหนึ่งในแต่ละเซลล์) จะเข้ามาใกล้กันมากพอและเรียงขนานกัน จากกระบวนการทางกายภาพดังกล่าว โครงสร้างควอซิคริสตัลไลน์ที่มีความสมมาตรแบบ "ไอโคซาฮีดรัล" จึงเกิดขึ้น

ในช่วงไม่กี่ทศวรรษที่ผ่านมา มีการค้นพบโลหะผสมควอซิคริสตัลไลน์หลายประเภท นอกจากจะมีโลหะผสมที่มีสมมาตรแบบ “icosahedral” (อันดับที่ 5) แล้ว ยังมีโลหะผสมที่มีสมมาตรแบบสิบเหลี่ยม (อันดับที่ 10) และสมมาตรแบบสิบเหลี่ยม (อันดับที่ 12) อีกด้วย คุณสมบัติทางกายภาพ Quasicrystal เพิ่งเริ่มมีการศึกษา

ตามที่ระบุไว้ในบทความของ Gratia ที่กล่าวถึงข้างต้น “ความแข็งแรงทางกลของโลหะผสมควอซิคริสตัลไลน์เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว การไม่มีช่วงเวลาทำให้การแพร่กระจายของการเคลื่อนที่ช้าลงเมื่อเทียบกับโลหะทั่วไป... คุณสมบัตินี้มีความสำคัญในทางปฏิบัติอย่างยิ่ง: การใช้เฟส icosahedral จะทำให้ได้โลหะผสมที่เบาและแข็งแรงมากโดยการแนะนำอนุภาคขนาดเล็กของ ผลึกควอซิคริสตัลเข้าไปในเมทริกซ์อะลูมิเนียม”

จัตุรมุขในธรรมชาติ

1. ฟอสฟอรัส

กว่าสามร้อยปีที่แล้ว เมื่อ Genning Brand นักเล่นแร่แปรธาตุชาวฮัมบูร์กค้นพบธาตุใหม่นั่นคือฟอสฟอรัส เช่นเดียวกับนักเล่นแร่แปรธาตุคนอื่นๆ Brand พยายามค้นหาน้ำอมฤตแห่งชีวิตหรือศิลาอาถรรพ์ ด้วยความช่วยเหลือที่ทำให้คนเฒ่าดูอ่อนกว่าวัย คนป่วยฟื้นตัว และโลหะพื้นฐานกลายเป็นทองคำ ในระหว่างการทดลองครั้งหนึ่ง เขาทำให้ปัสสาวะระเหย ผสมสิ่งตกค้างกับถ่านหินและทราย แล้วระเหยต่อไป ในไม่ช้าก็มีสสารที่ก่อตัวขึ้นในการตอบโต้ที่เรืองแสงในความมืด ผลึกฟอสฟอรัสสีขาวเกิดจากโมเลกุล P4 โมเลกุลดังกล่าวมีรูปร่างของจัตุรมุข

2. กรดไฮโปฟอสฟอรัส H 3 ร 2 .

โมเลกุลของมันมีรูปร่างของจัตุรมุขที่มีอะตอมฟอสฟอรัสอยู่ตรงกลาง ที่จุดยอดของจัตุรมุขจะมีอะตอมไฮโดรเจนสองอะตอมคืออะตอมออกซิเจนและหมู่ไฮดรอกโซ

3. มีเทน

คริสตัลเซลล์ มีเทนมีรูปร่างเป็นจัตุรมุข มีเทนเผาไหม้ด้วยเปลวไฟที่ไม่มีสี ก่อให้เกิดสารผสมที่ระเบิดได้กับอากาศ. ใช้เป็นเชื้อเพลิง

4. น้ำ.

โมเลกุลของน้ำเป็นไดโพลขนาดเล็กที่มีประจุบวกและลบที่ขั้วของมัน เนื่องจากมวลและประจุของนิวเคลียสออกซิเจนมากกว่านิวเคลียสของไฮโดรเจน เมฆอิเล็กตรอนจึงถูกดึงเข้าหานิวเคลียสของออกซิเจน ในกรณีนี้ นิวเคลียสของไฮโดรเจนจะ “ถูกเปิดเผย” ดังนั้นเมฆอิเล็กตรอนจึงมีความหนาแน่นไม่สม่ำเสมอ มีความหนาแน่นของอิเล็กตรอนไม่เพียงพอใกล้กับนิวเคลียสของไฮโดรเจน และที่ด้านตรงข้ามของโมเลกุล ใกล้กับนิวเคลียสออกซิเจน มีความหนาแน่นของอิเล็กตรอนมากเกินไป โครงสร้างนี้เองที่กำหนดขั้วของโมเลกุลน้ำ หากคุณเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของประจุบวกและลบด้วยเส้นตรง คุณจะได้รูปทรงเรขาคณิตสามมิติ - จัตุรมุขปกติ

5. แอมโมเนีย.

โมเลกุลแอมโมเนียแต่ละโมเลกุลมีอิเล็กตรอนคู่ที่ไม่ถูกแบ่งใช้ที่อะตอมไนโตรเจน วงโคจรของอะตอมไนโตรเจนที่มีอิเล็กตรอนคู่ที่ไม่ได้ใช้ร่วมกันซ้อนทับกัน เอสพี 3-ไฮบริดออร์บิทัลของสังกะสี(II) ก่อรูปไอออนบวกเชิงซ้อนจัตุรมุขของเตตระแอมมีน ซิงค์(II) 2+

6. เพชร

หน่วยเซลล์ของคริสตัลเพชรคือจัตุรมุขที่มีอะตอมของคาร์บอนอยู่ตรงกลางและมีจุดยอดสี่จุด อะตอมที่ตั้งอยู่ที่จุดยอดของจัตุรมุขก่อตัวเป็นจุดศูนย์กลางของจัตุรมุขใหม่และถูกล้อมรอบด้วยอะตอมอีกสี่อะตอมเป็นต้น อะตอมของคาร์บอนทั้งหมดในโครงตาข่ายคริสตัลอยู่ห่างจากกัน (154 น.) เท่ากัน

ลูกบาศก์ (hexahedron) ในธรรมชาติ

จากหลักสูตรฟิสิกส์ เรารู้ว่าสสารสามารถมีอยู่ได้ในสถานะการรวมกลุ่มสามสถานะ ได้แก่ ของแข็ง ของเหลว และก๊าซ พวกมันก่อตัวเป็นโปรยคริสตัล

โครงสร้างผลึกของสสารคือการจัดเรียงอนุภาค (อะตอม โมเลกุล ไอออน) ตามลำดับ ณ จุดที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดในอวกาศ จุดวางตำแหน่งของอนุภาคเรียกว่าโหนดคริสตัลขัดแตะ

ขึ้นอยู่กับชนิดของอนุภาคที่อยู่ที่โหนดของโครงตาข่ายคริสตัลและลักษณะของการเชื่อมต่อระหว่างพวกมัน โครงตาข่ายคริสตัล 4 ประเภทมีความโดดเด่น: อิออน, อะตอม, โมเลกุล, โลหะ

อิออนิค

โครงผลึกไอออนิกคือส่วนที่โหนดประกอบด้วยไอออน พวกมันถูกสร้างขึ้นจากสารที่มีพันธะไอออนิก โครงผลึกไอออนิกประกอบด้วยเกลือและออกไซด์ของโลหะและไฮดรอกไซด์บางชนิด ให้เราพิจารณาโครงสร้างของผลึกเกลือแกงซึ่งมีคลอรีนและโซเดียมไอออนอยู่ในโหนด พันธะระหว่างไอออนในคริสตัลมีความแข็งแรงและเสถียรมาก ดังนั้นสารที่มีโครงตาข่ายไอออนิกจึงมีความแข็งและความแข็งแรงสูง ทนไฟและไม่ระเหย

โครงผลึกของโลหะหลายชนิด (Li, Na, Cr, Pb, Al, Au และอื่นๆ) มีรูปร่างเป็นลูกบาศก์

โมเลกุล

โมเลกุลคือโครงผลึกซึ่งมีโมเลกุลอยู่ที่โหนด พันธะเคมีในนั้นเป็นโควาเลนต์ทั้งแบบมีขั้วและไม่มีขั้ว พันธะในโมเลกุลมีความแข็งแรง แต่พันธะระหว่างโมเลกุลไม่แข็งแรง ด้านล่างเป็นโครงผลึกของ I 2 สารที่มี MCR มีความแข็งต่ำ ละลายที่อุณหภูมิต่ำ มีความผันผวน และภายใต้สภาวะปกติจะอยู่ในสถานะก๊าซหรือของเหลว รูปทรงหลายเหลี่ยม สมมาตร จัตุรมุข

ไอโคซาเฮดรอนในธรรมชาติ

ฟูลเลอรีนเป็นโครงสร้างโพลีไซคลิกที่น่าทึ่งที่มีรูปร่างเป็นทรงกลม ประกอบด้วยอะตอมของคาร์บอนที่เชื่อมโยงกันเป็นวงแหวนหกและห้าสมาชิก นี่คือการดัดแปลงใหม่ของคาร์บอน ซึ่งแตกต่างจากการดัดแปลงสามครั้งที่รู้จักก่อนหน้านี้ (เพชร กราไฟท์ และคาร์ไบน์) โดยมีโครงสร้างโมเลกุลมากกว่าโพลีเมอร์ กล่าวคือ โมเลกุลฟูลเลอรีนไม่ต่อเนื่องกัน

สารเหล่านี้ได้ชื่อมาจากวิศวกรและสถาปนิกชาวอเมริกัน Richard Buckminster Fuller ผู้ออกแบบโครงสร้างสถาปัตยกรรมครึ่งทรงกลมซึ่งประกอบด้วยรูปหกเหลี่ยมและห้าเหลี่ยม

Fullerenes C 60 และ C 70 ถูกสังเคราะห์ครั้งแรกในปี 1985 โดย H. Kroto และ R. Smalley จากกราไฟท์ภายใต้อิทธิพลของลำแสงเลเซอร์อันทรงพลัง D. Huffman และ W. Kretschmer จัดการเพื่อให้ได้ C 60 -ฟูลเลอรีนในปริมาณที่เพียงพอสำหรับการวิจัยในปี 1990 โดยทำการระเหยกราไฟท์โดยใช้ส่วนโค้งไฟฟ้าในบรรยากาศฮีเลียม ในปี 1992 มีการค้นพบฟูลเลอรีนตามธรรมชาติในแร่คาร์บอน - พลาดพลั้ง(แร่นี้ได้ชื่อมาจากชื่อหมู่บ้าน Shunga ใน Karelia) และหิน Precambrian อื่น ๆ

โมเลกุลฟูลเลอรีนสามารถประกอบด้วยอะตอมของคาร์บอนได้ตั้งแต่ 20 ถึง 540 อะตอมที่อยู่บนพื้นผิวทรงกลม สารประกอบเหล่านี้มีความเสถียรและศึกษาดีที่สุด C60-ฟูลเลอรีน (คาร์บอน 60 อะตอม) ประกอบด้วยวงแหวนหกสมาชิก 20 วงและห้าสมาชิก 12 วง โครงกระดูกคาร์บอนของโมเลกุล C 60 -ฟูลเลอรีนคือ icosahedron ที่ถูกตัดทอน.

ในธรรมชาติมีวัตถุที่มีความสมมาตรลำดับที่ 5 ตัวอย่างเช่น เป็นที่ทราบกันว่าไวรัสมีกระจุกที่มีรูปร่างคล้ายไอโคซาฮีดรอน

โครงสร้างของอะดีโนไวรัสก็มีรูปร่างของไอโคซาฮีดรอนเช่นกัน Adenoviruses (จากภาษากรีกเอเดน - เหล็กและไวรัส) ซึ่งเป็นกลุ่มของไวรัส DNA ที่ทำให้เกิดโรค adenoviral ในมนุษย์และสัตว์

ไวรัสตับอักเสบบีเป็นสาเหตุเชิงสาเหตุของไวรัสตับอักเสบบีซึ่งเป็นตัวแทนหลักของตระกูลไวรัสตับอักเสบบี ครอบครัวนี้ยังรวมถึงไวรัสตับอักเสบตับของมาร์มอต กระรอกดิน เป็ด และกระรอก ไวรัสตับอักเสบบีประกอบด้วย DNA เป็นอนุภาคที่มีเส้นผ่านศูนย์กลาง 42-47 นาโนเมตร ประกอบด้วยนิวเคลียส - นิวครอยด์ที่มีรูปร่าง รูปทรงหลายเหลี่ยมมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 28 นาโนเมตร ภายในมี DNA โปรตีนส่วนปลาย และเอนไซม์ DNA polymerase

"รูปหลายเหลี่ยม" - วัสดุสำหรับ การศึกษาด้วยตนเองในหัวข้องาน "รูปหลายเหลี่ยม" สำหรับเกม สามเหลี่ยม (ด้านเท่ากันหมด) แตกหัก. ไม่นูน รวบรวมโดย โซโลนินคินา ที.วี. ส่วนอันจำกัดของระนาบที่ล้อมรอบด้วยรูปหลายเหลี่ยม วาดรูปห้าเหลี่ยมนูน. เพนตากอน รูปหลายเหลี่ยมปกติ ผู้เชี่ยวชาญ 2.

“การวัดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยม” - เรียนรู้สิ่งใหม่ๆ 1. จะวัดพื้นที่ของรูปได้อย่างไร? - ทุกคนรู้แนวคิดของพื้นที่จากประสบการณ์ชีวิต อบู ร-รอยฮาน อัล-บูรูนี. 3. วัตถุประสงค์ของบทเรียน: ตั้งแต่วันนี้เราจะเรียนรู้การคำนวณพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิตต่างๆ เรามักจะได้ยินว่า: “พื้นที่อพาร์ตเมนต์ของเราคือ 63 ตร.ม.” เชเรวินา ออคซานา นิโคลาเยฟนา

“พื้นที่ของเรขาคณิตของตัวเลข” - ตัวเลขที่มีพื้นที่เท่ากันเรียกว่าเท่ากันในพื้นที่ ฮ.ส=(ก?ข):2. สี่เหลี่ยม สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน ค. ส=ก?ข. D. ครู: Ivniaminova L.A. พื้นที่ของตัวเลข เอบีบี ผู้แต่ง: Zyryanova N. Jafarova เกรด A 8b

“รูปหลายเหลี่ยมปกติ” - ข้อพิสูจน์ที่ 1 รูปหลายเหลี่ยมปกติ สูตรพื้นฐาน อาร์ สามเหลี่ยมปกติ ข้อพิสูจน์ 2. วงกลมที่ล้อมรอบรูปหลายเหลี่ยมปกติ ร. ผลที่ตามมา. วงกลมที่ถูกจารึกไว้ในรูปหลายเหลี่ยมปกติ หกเหลี่ยมปกติ ทุมการประยุกต์ใช้สูตร ในรูปหลายเหลี่ยมปกติใดๆ คุณสามารถเขียนวงกลมได้เพียงอันเดียวเท่านั้น

"สี่เหลี่ยมด้านขนาน" - สี่เหลี่ยมด้านขนาน หากรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนมีด้านตรงข้ามกันเท่ากัน รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าด้านสองด้านของรูปสี่เหลี่ยมเท่ากันและขนานกัน สี่เหลี่ยมด้านขนานคืออะไร? สัญญาณของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ในสี่เหลี่ยมด้านขนาน ด้านตรงข้ามและมุมตรงข้ามจะเท่ากัน เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดตัด

“สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนสี่เหลี่ยม” - การแก้ปัญหาในหัวข้อ “สี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน” ก. เฉลยข้อสอบคัดกรอง. ค้นหา: MD + DN รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน วัตถุประสงค์ของบทเรียน: เพื่อรวบรวมเนื้อหาทางทฤษฎีในหัวข้อ "สี่เหลี่ยมผืนผ้า" งานอิสระเชิงทฤษฎี กรอกตาราง ทำเครื่องหมายเครื่องหมาย + (ใช่), - (ไม่ใช่) คำตอบที่ถูกต้องสำหรับงานอิสระเชิงทฤษฎี

มีการนำเสนอทั้งหมด 19 เรื่อง